Обобщенное преобразование Фурье и его применения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Панюшкин, Сергей Владимирович

• Панюшкин, Сергей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Панюшкин, Сергей Владимирович

Введение

I Обобщенное преобразование Фурье

1.1 Определение и основные свойства обобщенного преобразования Фурье

1.2 Весовые пространства целых функций как множество значений обобщенного преобразования Фурье.

1.3 Пространства аналитических функций как множество значений обобщенного преобразования Фурье.

1.4 Обобщенное преобразование Фурье в конкретных пространствах

II Применения обобщенного преобразования Фурье

2.1 Применение обобщенного преобразования Фурье к нахождению порядков и типов операторов

2.2 Применение обобщенного преобразования Фурье к нахождению общего вида линейного непрерывного функционала на пространствах векторнозначных функций . 65 2.3 Применение обобщенного преобразования Фурье к представлению элементов локально выпуклого пространства . 77 Список литературы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенное преобразование Фурье и его применения»

Для решения разнообразных задач анализа часто применяется преобразование Фурье сопряженного пространства и его обобщения. Пусть Н — отделимое локально выпуклое пространство функций аргумента содержащее экспоненты. Оператор Т, действующий на сильно сопряженном к Н пространстве по правилу:

Т(1) = 1{еХг) = <р(А), VI £Н*, называется преобразованием Фурье пространства Н*. В литературе употребляются также и другие названия оператора Т : преобразование Фурье-Лапласа, преобразование Лапласа, преобразование Фурье-Боре ля.

Образом преобразования Фурье часто является некоторое пространство целых функций А. Как правило, оно обладает достаточно "хоро-шими"свойствами, позволяющими изучать пространства Н и Я*.

К числу наиболее ранних исследований по данной теме относятся работы Л.Эренпрайса [43], [44], [45]. В них рассмотрено, в частности, преобразование Фурье пространства, сопряженного к пространству целых функций Н(С) и установлено, что это пространство является изоморфным пространству целых функций экспоненциального типа. В дальнейшем Л.Эренпрайс применил преобразование Фурье для введения важного понятия равномерно аналитических пространств и изучения их свойств (см. [42]).

И.М. Гельфанд и Г.Е. Шилов в работе [3] рассмотрели преобразование Фурье пространства обобщенных функций (как функционалов на пространстве основных функций) и применили его к решению задачи Коши в данном пространстве.

Преобразование Фурье в весьма широком классе весовых пространств целых функций рассматривалось Б.А. Тейлором в работе [48]. В этой же работе преобразование Фурье применяется для решения задач спектрального синтеза и решения уравнений свертки в данных пространствах. В работе Б.А. Тейлора [49] с помощью преобразования Фурье доказана равномерная аналитичность ряда пространств бесконечно дифференцируемых функций действительного переменного.

И.Ф. Красичков применял преобразование Фурье для решения задач спектрального синтеза и описания подпространств, инвариантных относительно оператора дифференцирования в пространствах аналитических функций, (см. [19], [20])

Ю.А.Дубинский эффективно использовал преобразование Фурье для решения задачи Коши в пространствах аналитических функций многих комплексных переменных (см. [11]).

Преобразование Фурье использовалось В.В. Напалковым для решения уравнений свертки ([31]). И.Х. Мусин ([28], [29]) с помощью преобразования Фурье дал описание сопряженных пространств к весовым пространствам бесконечно дифференцируемых функций действительного переменного, О.В. Епифанов ([42]), Н.Ф. Абузярова и P.C. Юл-мухаметов ([2]) - сопряженных пространств к весовым пространствам аналитических функций.

Весьма широкий круг важных задач, для решения которых применялось преобразование Фурье, говорит о необходимости обобщения этого метода. Укажем ряд работ, в которых проводилось обобщение преобразования Фурье в различных направлениях. Наиболее распространенным способом обобщения является использование вместо экспоненты какой-либо другой векторнозначной функции в качестве ядра.

И.С. Елисеев рассмотрел в пространстве, сопряженном к пространству Hr функций, аналитических в круге, обобщенное преобразование

Фурье с ядром у (г, А) , являющимся решением уравнения Вп{у) = \пу с начальными условиями у^ (О, Л) = — Хк, к = 0,1,., п — 1, где Бп — дифференциальный оператор

Dn{y) - у{п) + <ЭоМу(п1) + ■ ■ • + Яп-1{г)у, ок{я) е Яд.

С помощью обобщенного преобразования Фурье И.С.Елисеев получил общий вид оператора, перестановочного с оператором Бп в пространстве Яд (см. [12]).

В.П. Громов, используя обобщенное преобразование Фурье с ядром f(Xz), где / — целая функция, установил полноту некоторых систем вида {/(Лпг)} в пространствах Фреше (см. [4]).

Весьма широкое обобщение преобразования Фурье исследовалось в работах Ю.Ф. Коробейника и С.Н. Мелихова [16], Ю.Ф. Коробейника [17]. Реализация сопряженного пространства при этом подходе дается в виде пространства последовательностей.

Настоящая работа посвящена дальнейшему обобщению преобразования Фурье, исследованию его свойств и возможностей применения к решению ряда задач анализа.

Работа состоит из введения и двух глав. Во введении дан краткий исторический очерк решаемых задач и содержание основных результатов автора.

В первой главе подробно изучается обобщенное преобразование Фурье пространства, сопряженного к произвольному локально выпуклому, с ядром, являющимся целой векторнозначной функцией довольно общего вида. Полученные результаты иллюстрируются разнообразными примерами.

В параграфе 1.1 дано определение обобщенного преобразования Фурье в пространстве, сопряженном к локально выпуклому, в случае, когда ядром является произвольная аналитическая вектор-функция. Найдены достаточные условия, в которых обобщенное преобразование Фурье устанавливает алгебраический и топологический изоморфизм между пространством, сильно сопряженным к локально выпуклому, и весовым пространством целых функций.

В параграфах 1.2, 1.3 детально иследованы случаи совпадения множества значений обобщенного преобразования Фурье с распространенными и широко применяемыми в анализе пространствами: пространствами целых и аналитических в круге функций, весовыми пространствами целых функций с экспоненциальной шкалой. Предпосылками результатов данного параграфа являются теоремы А.Ф. Леонтьева и А. И. Маркушевича об общем виде линейного непрерывного функционала на них. Даны необходимые и достаточные условия, в которых обобщенное преобразование Фурье устанавливает алгебраический и топологический изоморфизм между пространством, сильно сопряженным к локально выпуклому, и данными пространствами.

В параграфе 1.4 приведены примеры, иллюстрирующие основные теоремы предыдущих параграфов. Многие из них являются широкими обобщениями известных результатов. В частности, рассматривается обобщенное преобразование Фурье пространств, сопряженных к пространствам целых и аналитических функций: Н(С), Нц, Нц, [р, ст], [р, сг), [р, оо), а также к пространству быстро убывающих последовательностей Е, пространству Е[—1,1] бесконечно дифференцируемых вещественных или комплексных функций на отрезке [—1,1] и к пространству быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций ^ (то есть, обобщенное преобразование Фурье обобщенных функций умеренного роста).

Вторая глава посвящена применению обобщенного преобразования Фурье к решению ряда задач современного анализа.

В параграфе 2.1 данной работы обобщенное преобразование Фурье применяется к нахождению порядка и типа линейного непрерывного оператора, действующего в локально выпуклом пространстве.

Порядок и тип оператора — его важные внутренние характеристики. Они были введены в работах В.П. Громова [8],[9] и получили дальнейшее обобщение и развитие в работах С.Н. Мишина [24], [25], [26]. Они применяются при решении разнообразных задач анализа: решении дифференциально-операторных уравнений (см. [6],[7]), изучении операторов, коммутирующих с данным (см. [24], [25]), построении правого обратного оператора к данному (см. [27]), изучении операторов с век-торнозначной характеристической функцией (см. [24], [25]), изучении спектра операторов, действующих в локально-выпуклом пространстве (см. [25]). Вычисление этих характеристик непосредственно по определению весьма затруднительно, поэтому желательно отыскать эффективные косвенные способы их нахождения. Одним из таких способов является применение обобщенного преобразования Фурье.

В данном параграфе приводятся теоремы, позволяющие найти порядок и тип оператора, действующего в локально выпуклом пространстве. С их помощью найдены характеристики оператора обобщенного дифференцирования Гельфонда-Леонтьева Df в пространствах Н(С), Нц, [р,а], [р,&), [р, оо), что позволило уточнить некоторые оценки итераций данного оператора, полученные А.Ф. Леонтьевым (см. [22]). Данные результаты также обобщают аналогичные теоремы, полученные С.Н. Мишиным для оператора обычного дифференцирования (см. [24], [25]). Также найдены характеристики оператора обобщенного сдвига и дифференциального оператора с переменными коэффициентами в пространствах Н(С) и Нц.

Найденные характеристики оператора Df применены к задаче о применимости к различным пространствам целых функций дифференциального оператора с постоянными коэффициентами в обобщенных производных Гельфонда-Леонтьева: оо п-О

Для важных пространств целых и аналитических функций Н(С), Не., [р,*7], [р, оо] в случае обычных производных эта задача решалась в работах Ритта [47], Валирона [51], Муггли [46]. В данной диссертации рассмотрена задача применимости оператора В к пространствам индуктивного типа — [р, <т), [р, оо); полученные результаты являются новыми. В условиях существования оператора В найдены его характеристики (порядок и тип) в данных пространствах.

В параграфе 2.2 рассматривается применение обобщенного преобразования Фурье к нахождению общего вида линейного непрерывного функционала на пространствах векторнозначных функций.

Для многих используемых в анализе функциональных пространств известен общий вид линейного непрерывного функционала на них (см. [15], [10], [41]). В связи с тем, что векторнозначные функции играют важную роль в современной математике, их изучение средствами функционального анализа имеет большое значение. В последние десятилетия растет интерес к топологическим пространствам векторнозначных функций. Одной из важных задач при их изучении является нахождение общего вида линейного непрерывного функционала на таких пространствах.

В данном параграфе устанавливаются теоремы, описывающие общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве целых векторнозначных функций, пространстве аналитических в круге векторнозначных функций и весовом пространстве целых векторнозначных функций с экспоненциальной шкалой. Данные теоремы сформулированы в терминах порядка и типа последовательности линейных непрерывных функционалов, поэтому для их применения необходим способ подсчета этих характеристик. Показано, что одним из эффективных способов их нахождения является применение обобщенного преобразования Фурье к данной последовательности функционалов, установлены соответствующие теоремы, рассмотрены примеры.

В параграфе 2.3 исследуется применение обобщенного преобразования Фурье к задаче слабого и сильного представления элементов локально выпуклого пространства. Основополагающими в этом направлении являются работы Л.Эренпрайса (см. [42]), который с помощью классического преобразования Фурье получил представление целой функции: = / ^ € я (С), с где ш — комплексная счетно-аддитивная мера ограниченной вариации на С, к(А) — положительная функция.

Применение обобщенного преобразования Фурье дает представление

ЯМ с обобщающее указанное выше.

Также в данном параграфе рассматривается представление элементов пространства Н в виде ряда по системе значений функции /. Для случая экспоненты оно изучалось Б.А. Тейлором (см. [50]), В.В. Напалковым (см. [30]), для функций вида /(Лг) — Ю.Ф. Коробейником (см. [18]).

Если »Б1 = {Л,/} - дискретное слабо достаточное множество пространства Л, (см. [30]) то имеет место слабое представление векторов пространства Н рядом вида:

А.,)

Приведены условия, в которых данный ряд сходится сильно и абсолютно по топологии Н.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях автора [33] — [38] и докладывались на научно-исследовательских семинарах по теории операторов Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководитель — профессор А.Г.Костюченко), по дифференциальным уравнениям Московского Энергетического института (руководитель — профессор Ю.А.Дубинский), по комплексному анализу Российского университета Дружбы Народов (руководитель — профессор А.В.Арутюнов), на Воронежской зимней математической школе — 2005 "Современные методы теории функций и смежные проблемы", а также на ежегодных научных конференциях Орловского государственного университета в 2003-2005 гг.

Автор выражает признательность профессору В.П. Громову за постановку задачи, постоянное внимание и помощь при написании данной работы.

Глс1Вс1 I

Обобщенное преобразование Фурье

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Панюшкин, Сергей Владимирович, 2005 год

1. Абанин, A.B. Слабо достаточные множества и абсолютно представляющие системы: Дис. .д.ф.-м.н. / A.B. Абанин. Ростовский государственный университет. — Ростов-на-Дону, 1995.

2. Абузярова, Н.Ф., Юлмухаметов, P.C. Сопряженные пространства к весовым пространствам аналитических функций. // Сибирский математический журнал. — 2001. — Т. 42, №1. — С. 3-17.

3. Гельфанд, И.М., Шилов, Г.Е. Преобразования Фурье быстро растущих функций и вопросы единственности решения задачи Коши. // Успехи мат. наук. 1958. - Т.8, вып. 6(58). - С. 207-214.

4. Громов, В.П. О полноте значений голоморфной вектор-функции в пространстве Фреше. // Математические заметки. — 2003. — Т. 73, вып. 6. С. 827-840.

5. Громов, В.П. Аналоги разложения Тейлора. // Фундаментальная и прикладная математика. — 1999. — Т.5, вып.З. — С.801-808.

6. Громов, В.П. Операторный метод решения линейных уравнений. // Ученые записки / ОГУ. — Орел, 2002. — вып.З. — С. 4-36.

7. Громов, В.П. Аналитические решения дифференциально-операторных уравнений в локально-выпуклых пространствах. // ДАН. 2004. - Т. 394, №3. - С. 305-308.

8. Данфорд, Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория.- М.: УРСС. 2004.

9. Дубинский, Ю.А. Задача Коши в комплексной области. — М.: Изд-во МУИ, 1996.ф 12. Елисеев, И.С. Перестановочность с линейным дифференциальнымоператором. // Математические заметки. — 1979. — Т. 23, вып. 5.- С. 719-738.

10. Епифанов, О.В. Двойственность одной пары пространств аналитических функций ограниченного роста. // ДАН СССР. — 1991. —■ Т.319, №6. С.1297-1300.

11. Жаринов, В.В. Компактные семейства ЛВП и пространства ЕЯ и БРЭ. // Успехи математических наук. — 1979. — Т. 34, вып. 4(208).- . С. 97-131.

12. Канторович, Л.В., Акилов, Г.П. Функциональный анализ в норми-^ рованных пространствах. — М.: Физматгиз, 1959.

13. Коробейник, Ю.Ф., Мелихов, С.Н. Реализация сопряженного пространства с помощью обобщенного преобразования Фурье-Бореля. Приложения. // Комплексный анализ и математическая физика. — Красноярск, 1988. С. 62-78.

14. Коробейник, Ю.Ф. Абсолютно представляющие системы и реализация сопряженного пространства. // Изв. вузов. Математика. —Ф 1990. №2. - С. 68-76.

15. Коробейник, Ю.Ф. Индуктивные и проективные топологии. Достаточные множества и представляющие системы. // Изв. АН СССР. 1986. - Т. 50. №3. - С. 539-565.

16. Красичков, И.Ф. О замкнутых идеалах в локально выпуклых алгебрах целых функций. // Известия АН СССР. — 1967. — Т. 31, вып.1. С. 37-60.

17. Красичков, И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. 1. Спектральный синтез на выпуклых областях. // Мат. сборник. 1972. - Т. 87, №4. - С. 459-489.

18. Леонтьев, А.Ф. Об одном обобщении ряда Фурье. // Мат. сборник, 1951, Т. 29, №3, С.477-500.

19. Леонтьев, А.Ф. Обобщения рядов экспонент. — М.: Наука, 1981.

20. Маркушевич, А.И. Избранные главы теории аналитических функций. М.: Наука, 1976.

21. Мишин, С.Н. Порядок и тип оператора и последовательности операторов, действующих в локально выпуклых пространствах. // Ученые записки, / ОГУ. Орел, 2002. — вып. 3. - С. 47-98.

22. Мишин, С.Н. Операторы конечного порядка в локально выпуклых пространствах и их применение. // Дис. .к.ф.-м.н. / С.Н. Мишин. Орловский государственный университет. — Орел, 2002.

23. Мишин, С.Н. О порядке и типе оператора. // ДАН. — 2001. — Т. 381, №3. С. 309-312.

24. Мусин, И.Х. Теорема Пэли-Винера для весового пространства бесконечно дифференцируемых функций. Известия РАН, серия математическая, 2000, Т. 64, №6, С. 181-204.

25. Напалков, В.В. О дискретных достаточных множествах в некоторых пространствах целых функций. // Докл. АН СССР. — 1980. —• Т.250, т. С.809-812.

26. Напалков, В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982.

27. Напалков, В.В. (мл.), Юлмухаметов, P.C. О преобразовании Гильберта в пространстве Бергмана. // Математические заметки. — 2001. Т. 70, вып. 1. - С. 68-78.

28. Панюшкин, C.B. Обобщенное преобразование Фурье и его применение к нахождению порядков и типов последовательностей функционалов. // Ученые записки / ОГУ. — Орел, 2005. — вып. 5. — С. 79-85.

29. Панюшкин, C.B. Обобщенное преобразование Фурье и его применения. // Материалы ВЗМШ Современные методы теории функций и смежные проблемы. — 2005. — С. 176-177.

30. Пич, А. Ядерные локально выпуклые пространства. — М.: Мир, 1967.

31. Робертсон, А., Робертсон, В. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1979.

32. Садовничий, В.А. Теория операторов. — М.: Наука, 1999.

33. Ehrenpreis, L. Analytically uniform spaces and same applications. // Trans. Amer. Math. Soc. 1961. -v. 101, Ш. - P.52-74.

34. Ehrenpreis, L. Mean periodic functions. //I, Amer. J. Math. — 1955. v.77. - P.293-328

35. Ehrenpreis, L. Solution of some problems of division. II. // Amer. J. Math. 1955. - v.77 - P.286-292.

36. Ehrenpreis, L. Solution of some problems of division. III. // Amer. J. Math. 1956. v.78. - P.685-715

37. Mnggli, H. Differentialgleichungen unendlich honer Ordnung mit konstanten Koeffitienten. / / Commentarii M at hem. Helvetici. — 1938.- 11. P. 151-179.

38. Ritt, J.E. On a general class of linear homogeneous differential equations of infinite order with constant coefficients. // Trans, of the Amer. Math. Soc. 1917. - v. 18. - P. 21-49.

39. Taylor, B.A. Some locally convex spaces of entire functions. // Proc. Symp. Pure Math, XI, Amer. Math. Soc. Prov. Rhode-Island. — 1968.- P.431-467.

40. Taylor, B.A. Analitically uniform spaces of infinitely differentiable functions. // Comm. Pure and App. Math. 1971. v.XXIV. - 1971.- P. 39-51.

41. Taylor, B.A. Discrete sufficient sets for some spaces of entire functions. // Trans, of Amer. Math. Soc. 1972. - v. 163. - P.207-214.

42. Valiron, G. Sur les solutions des equations différentielles lineaires d'ordre infini et a coefficients constants. // Ann. scient. Ecole Norm, sup. 1929. - v.16. - P. 25-53.