Оценка пределов применимости технической теории анизотропных пластин в задачах устойчивости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Батов, Павел Александрович

• Батов, Павел Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Батов, Павел Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ТЕОРИЙ АНИЗОТРОПНЫХ TEJI.

1.1.Некоторые аналитические исследования и преобразования основных разрешающих уравнений теории упругости анизотропных тел.

1.2.Основные направления расчёта анизотропных пластин.

1.3.Некоторые вариационные принципы и их особенности в теории пластин.

2. УПРУГАЯ АНИЗОТРОПИЯ В МОДИФИЦИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.

2.1.Основные определяющие соотношения теории упругости анизотропных сред в физическом и модифицированных пространствах.

2.2.0сновные уравнения осесимметричных задач трансверсально изотропных тел в физическом и эталонном пространствах.

2.3.Графическое представление упругих свойств анизотропных материалов в физическом и эталонном пространствах.

3. УСТОЙЧИВОСТЬ ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНЫХ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН В ЭТАЛОННОМ ПРОСТРАНСТВЕ.

3.1 .Уточнённая теория.

3.2.Устойчивость шарнирно опёртой по контуру круглой пластины под действием равномерного радиального сжатия.

3.3.Устойчивость защемлённой по контуру круглой пластины под действием равномерного радиального сжатия.

4. УСТОЙЧИВ ОСТЬ ОРТОТРОПНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ

ПЛАСТИН В ЭТАЛОННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

4.1 .Уточнённая теория.

4.2.Техническая теория.

4.3.Устойчивость шарнирно опёртой прямоугольной пластины сжатой в одном направлении.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценка пределов применимости технической теории анизотропных пластин в задачах устойчивости»

Пластинчатые системы широко применяются в строительном деле, машиностроении, гидротехнике, судо- и авиастроении, дорожном деле и в других областях техники. Пластины являются одним из наиболее распространнённых монтажных элементов сборных пространственных конструкций типа оболочек, складок, вантовых покрытий и других систем.

Применение пластин в качестве конструктивных элементов сопряжено с необходимостью их расчёта на прочность с целью обоснованного выбора толщины и других параметров, от которых зависят величины напряжений и деформаций. Использование новых высокопрочных материалов обусловило широкое распространение легких, изящных и экономичных тонкостенных конструкций в современной технике. Для таких конструкций роль расчётов на устойчивость в общем цикле прочностных расчётов существенно возросла, ибо разрушение тонкостенной конструкции чаще всего связано с потерей её общей устойчивости или устойчивости отдельных элементов.

Большинство из таких современных высокопрочных материалов обладают анизотропными свойствами. Слово «анизотропия» происходит от греческих: «анизос» - неравный и «тропос» - направление и означает неодинаковость свойств материала в различных структурных направлениях. Анизотропия является следствием упорядоченности в расположении структурных элементов и их ориентации.

При рассмотрении анизотропии в первом приближении не учитываются неоднородность строения и изменчивость свойств материала.

Из реальных анизотропных тел в первую очередь следует назвать монокристаллы различных веществ, а также стержни и пластинки, вырезанные из монокристаллов, поэтому большие успехи в изучении физических свойств анизотропных тел накопились в кристаллофизике. Доказано, например, что существует всего 32 вида геометрической симметрии кристаллов, объединённых в семь сингоний. Что касается классов упругой симметрии, то их значительно меньше, так как одна и та же форма уравнений обобщённого закона Гука имеет место для нескольких видов геометрической симметрии. Симметрия кристаллических тел является следствием их правильного внутреннего строения, поэтому не только форма, но и свойства кристаллов симметричны. Широко применяемое в кристаллофизике учение о симметрии открывает новые возможности и для исследования анизотропии механических свойств композитов. Такие материалы состоят из армирующих элементов высокой прочности и жёсткости и из менее прочного и жёсткого связующего, обеспечивающего монолитность композиции. Армированный материал можно с некоторым приближением рассматривать как однородную и анизотропную среду, обладающую, в зависимости от структуры армирования, тем или иным видом структурной симметрии, которая влечёт за собой упругую симметрию.

Ортотропные (ортогонально анизотропные) материалы характеризуются наличием в каждом элементарном объёме трёх взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии свойств. К таким материалам относятся композиционные материалы (КМ), армированные последовательно чередующимися слоями волокон в двух взаимно перпендикулярных направлениях (рис. В 1.1.) и тканями с продольно-поперечной укладкой, а также слоистые композиционные материалы, армированные в двух неортогональных направлениях xj и х'2 с правильным чередованием слоев. В последнем случае плоскостями симметрии являются срединная г плоскость листа и две плоско X у сти, перпендикулярные ей и проходящие через биссектрисы углов, образованных осями х',

Рис. В1.1. Схематическое изображение структуры ортотропного КМ, армированного чередующимися слоями волокон в двух взаимно перпендикулярных направлениях и хо .

Слоистые композиционные материалы со звездной укладкой волокон в смежных слоях (рис. В 1.2.) обладают изотропией свойств в плоскости листа в том случае, если угол между направлениями укладки волокон в смежных слоях меньше 72°. Например, в слоистых композиционных материалах, у которых волокна в смежных слоях образуют друг с другом равные углы - 60, 45 или 30°, все направления в плоскости листа эквивалентны друг другу. Такие материалы, имеющие плоскость изотропии и перпендикулярную ей ось симметрии бесконечного порядка, называются трансверсально-изотропными (или транстропными). К трансверсальноизотропным относятся одноосноармированные, или однонаправленные, композиционные материалы, в которых оси волокна ориентированы в одном направлении. В этом лярна направлению укладки волокон х (рис. В1.3.).

Одноосно-армированные композиционные материалы называют также композиционными материалами с ориентацией волокон 1:0; двухосно-армированные слоистые композиционные материалы с взаимно перпендикулярной укладкой волокон обозначают дробями 1:1, 1:2, 1:3, 3:4 и т. д., в которых цифры указывают отношение числа слоев в продольном и поперечном направлениях. Трехосно-армированные ориентированные композиционные материалы по

Рис. В 1.3. Схематическое лучагот армированием матриц волокнами в изображение однонаправленного КМ грех взаимно перпендикулярных направлениях или объемными тканями.1 волокон КМ со звёздной укладкой волокон в смежных слоях

1 Композиционные материалы: Справочник / Под ред. Карпиноса Д.М. - Киев: Наукова думка, 1985.-с. 19-20.

К ортотропным материалам также относят древесину в малых объёмах с незначительной кривизной годичных слоев, однако в стволе древесину следует рассматривать как материал с криволинейной (цилиндрической) анизотропией. В изделиях и элементах конструкций древесине можно присваивать ортогональную, цилиндрическую или трансверсальную схему анизотропии в зависимости от формы, размеров и ориентации сечений. При достаточно больших размерах сечений и при отсутствии правильной их ориентации по отношению к годичным слоям (доски, брусья, рейки) направление волокон древесины условно считается осью симметрии её строения, а плоскость, перпендикулярная этой оси, плоскостью изотропии всех её свойств. На допущении о поперечной изотропии (транстропности) основано рассмотрение древесины в СНиП Н-25-80. Лущённый шпон имеет структуру, свойственную тангенциальному разрезу древесного ствола, и представляет собой словно развёртку ствола на тангенциальную плоскость симметрии древесины. Лущёный шпон, фанеру и плиты, склеенные из лущеного шпона, можно ещё с большим основанием, чем древесину отнести к материалам ортогонально изотропным, так как кривизна годичных колец не влияет на их механические свойства.

Анизотропия может возникнуть в деталях машин как следствие определенной технологии их изготовления. Особенно опасной может оказаться анизотропия металлических деталей, которые после обработки давлением подвергались обработке резанием. Проектирование ответственных деталей без учета возникающей в них по тем или иным причинам анизотропии может привести к серьезным ошибкам.

Широкое распространение материалов, обладающих анизотропными свойствами, породило весьма широкие исследования в области механики анизотропных тел. Однако известно ограниченное число работ, посвященных уточнённым теориям эффективного аналитического решения задач теории анизотропных пластин (в частности задачам устойчивости), а в имеющихся недостаточно изучена параметрическая роль упругих постоянных. Кроме того, весьма важным и мало изученным остаётся вопрос о выработке общих критериев для сопоставления различных теорий анизотропных пластин между собой и разработке рекомендаций по их применимости.

Нельзя не отметить появившееся в последнее время большое количество численных методов решения подобных задач, которые, с одной стороны, являются альтернативой аналитическим, а с другой, имея ряд недостатков, присущих всем численным методам, дополнительно подчёркивают изящество аналитических.

Таким образом, можно констатировать, что построение подхода, позволяющего упростить уравнения при описании анизотропных тел, получить уточнённую теорию анизотропных пластин с наглядно представленной параметрической ролью упругих постоянных, выработать критерии для сопоставления теорий анизотропных пластин и оценить пределы применимости технической теории анизотропных пластин в задачах устойчивости, является актуальной задачей как в научном, так и в прикладном плане.

Цель работы. Исследовать представления анизотроного тела в теории упругости при введении определённого класса аффинных преобразований и разработать на основе этого представления подход, позволяющий упростить уравнения при построении уточнённой теории устойчивости анизотропных пластин, наглядно представить параметрическую роль упругих постоянных при решении конкретных прикладных задач, выработать общие рекомендации по применимости технической теории анизотропных пластин в задачах устойчивости.

Научная новизна работы.

1. В бесконечном множестве модифицированных пространств, введённых посредством аффинных преобразований координат, перемещений, компонентов тензоров напряжений и деформаций, выделяется одно -эталонное.

2. Приводятся соответствующие эталонному пространству аффинные преобразования, а также основные уравнения МДТТ для ортотропного материала в декартовой системе координат и для трансверсально изотропного в цилиндрической системе координат.

3. Проведён сравнительный анализ механических характеристик ряда ортотропных материалов в разных направлениях при помощи диаграмм и поверхностей анизотропии в физическом и эталонном пространствах.

4. Предложена уточнённая теория устойчивости трансверсально изотропных круглых пластин в эталонном пространстве при осесимметричной нагрузке.

5. Для шарнирно опёртых и защемлённых круглых трансверсально изотропных пластин при потере устойчивости под действием равномерного радиального сжатия в эталонном пространстве исследована роль упругих постоянных и даны рекомендации по применимости технической теории.

6. Предложена уточнённая теория устойчивости ортотропных прямоугольных пластин в эталонном пространстве.

7. Для шарнирно опёртых прямоугольных ортотропных пластин при потере устойчивости под действием сжатия в одном направлении исследована роль упругих постоянных и даны рекомендации по применимости технической теории.

Полученные в работе результаты имеют важное практическое значение, так как аналитические решения задач доведены до алгебраических формул, которые могут быть использованы в инженерных расчётах; разработаны альтернативные алгоритмы и программы численного решения этих же задач, которые несложно использовать при решении аналогичных задач с другими граничными условиями; даны простые в использовании рекомендации по применимости технической теории анизотропных пластин в задачах устойчивости.

Достоверность результатов обеспечивается применением фундаментального математического аппарата механики деформируемого твёрдого тела при постановке задач, сравнением с ранее полученными результатами других исследователей и использованием различных методов решения поставленных задач.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы и приложений.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Батов, Павел Александрович

Основные результаты выполненной работы были сформулированы в каждой из глав. Не повторяя, остановимся здесь на тех из них, которые, по мнению автора, имеют самостоятельную научную и практическую ценность:

1. Введено понятие эталонного пространства и выделены соответствующие ему аффинные преобразования координат, компонентов вектора перемещений, компонентов тензоров напряжений и деформаций. Показано, что в эталонном пространстве уменьшается число независимых упругих постоянных, а модули упругости любого анизотропного материала в главных направлениях равны между собой и равны единице.

2. Предложена уточнённая теория устойчивости трансверсально изотропных круглых пластин в эталонном пространстве. Получена система дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях, учитывающая влияние нормального напряжения gz, деформации поперечного сдвига, а также обжатия по толщине.

3. Выработаны рекомендации по применимости технической теории пластин при потере устойчивости под действием равномерного радиального сжатия для шарнирно опёртых и защемлённых круглых трансверсально изотропных пластин.

4. Предложена уточнённая теория устойчивости ортотропных прямоугольных пластин в эталонном пространстве. Получена система дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях, учитывающая влияние нормального напряжения az, деформаций поперечного сдвига и обжатия по толщине, а также система уравнений статических граничных условий.

5. Разработаны рекомендации по применимости технической теории пластин при потере устойчивости под действием сжатия в одном направлении для шарнирно опёртых прямоугольных ортотропных пластин.

6. Критерии, использованные для сопоставления технической теории и уточнённой, представленной в данной работе, могут быть применены для сопоставления других теорий трансверсально изотропных круглых и ортотропных прямоугольных пластин и при решении задач с другими граничными условиями.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В целом по своему теоретическому и практическому значению проведенные исследования можно квалифицировать как новое решение научно-технической задачи механики деформируемого твердого тела.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Батов, Павел Александрович, 2002 год

1. Авдодин А.С. Прикладные методы расчёта оболочек и тонкостенных конструкций. - М.: Машиностроение, 1969- 402 с. ил.

2. Агаловян JI.A. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек М.: Наука, Физматлит. 1997 -414 с.

3. Агаловян JI.A. О граничных условиях в теории анизотропных пластинок // Учёные записки Ереванск. ун-та. Ест. Науки 1978 - №3 (139). - С. 21-30.

4. Агаловян JI.A. Об уравнениях изгиба анизотропных пластин // Тр. VII Всесоюзн. Конференции по теории оболочек и пластинок. М.: Наука-1970. - С.17-21.

5. Алумяэ Н.А. Теория упругих оболочек и пластинок // В сб. Механика в СССР за 50 лет. Т.З.- М.: Наука 1972. - с. 227-266.

6. Ал футов Н.А. Основы расчёта на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1991.-311с.: ил.

7. Амбарцумян С. А. К теории изгиба анизотропных пластинок // Изв. АН СССР. ОТН- 1958,-№5.-С. 67-77.

8. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1967. -266 с.

9. Андреевская Г.Д. Высокопрочные ориентированные стеклопластики. -М.: Наука, 1967 с.

10. Ашкенази Е.И. Прочность анизотропных древесных и синтетических материалов. М.: Лесная промышленность, 1966. - 168 с.

11. Ашкенази Е.К. Анизотропия машиностроительных материалов. Л.: Машиностроение, 1969.-112 с.

12. Ашкенази Е.К. Вопросы анизотропии прочности // Механика полимеров. 1965,-№2.-С. 79-82.

13. Ашкенази Е.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов: Справочник. Л.: Машиностроение, 1972. 216 с.

14. Бабич И.Ю. Анализ расчётных схем в теории устойчивости стержней, пластин и оболочек из композиционных материалов // Прикладная механика, 1995.-31, №12.-С. 24-31.

15. Бабич И.Ю. Задачи устойчивости равновесия трёхмерных ортотропных тел при малых деформациях. // Прикл. Механика- 1972. 8,№2. - С.16-24.

16. Бабич И.Ю., Гузь А.Н. О влиянии свойств материала пластинки на величину критической силы. // Механика полимеров. 1969. - №2. -С.355-357.

17. Бабич И.Ю., Гузь А.Н. Об устойчивости пластин и оболочек, выполненных из материалов с малой сдвиговой жёсткостью. // Тр. НТО Судпром. 1969. - № 130-С. 28-37.

18. Бабич И.Ю., Гузь А.Н. Устойчивость стержней, пластин и оболочек из композиционных материалов (трёхмерная постановка): Обзор // Прикладная механика. 1983. - 19, № 10. - С. 3-19.

19. Бабич И.Ю., Семенюк Н.П. Устойчивость и начальное закритическое поведение оболочек из композитов // Прикладная механика. Том. 34, №6.-С. 3-38.

20. Бабич И.Ю., Чернушенко И.И., Шульна Н.А. Сравнительный анализ прикладных теорий устойчивости пластин и цилиндрических оболочек из композиционных материалов. // Сопротивление материалов и теория сооружений. 1975. - №25. - С.22-26.

21. Батов П.А. Некоторые рекомендации по оценке теорий расчёта ортотропных пластин // На пороге третьего тысячелетия: Сб. науч. тр. -Тула, ТулГУ. 1999 - С. 31-35.

22. Батов П.А., Матченко Н.М. Об одном подходе к решению задачи устойчивости ортотропной пластины средней толщины В кн.: Сборник материалов «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии», С. 31-32 / ТулГУ, Тула, 2001.

23. Батов П.А., Матченко О.Н. Использование модифицированного пространства в теории тонких ортотропных пластин. В кн.: Изв. ТулГУ, Серия Строительство и архитектура. Выпуск 2, Тула, 2002. С. 31 - 38.

24. Батырев К.Г. Изгиб ортотропной пластины средней толщины // На пороге третьего тысячелетия: Сборник научных трудов. Тула: ТулГУ-1999.-С. 35 40.

25. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач. М.: Высшая школа, 1974. - 200 с.

26. Безухов Н.И., Лужин О.Е., Колкунов Н.В. Устойчивость и динамика сооружений. 3-у изд. М.: Васшая школа, 1987.-264 с.

27. Белл А. Влияние расположения стеклянных волокон на прочность армированных материалов // Ракетная техника. 1961-т. 31, №9.

28. Бердичевский B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983.-446 с.

29. Бехтерев П. Аналитическое исследование обобщенного закона Гука:. -Л.:Литограф. изд. автора, 1926., или Журнал Русского физ.-хим. общества. VIII, вып. 3-4.

30. Бидерман B.JI. Механика тонкостенных конструкций: Статика. М.: Машиностроение, 1977. - 488с.: ил.

31. Бидерман B.JI. Упругость и прочность анизотропных стеклопластиков // в сб. Расчёты на прочность, вып. 11, М., Машгиз, 1965 420 с.

32. Биргер И.А. Круглые пластины и оболочки вращения. М.: Оборонгиз, 1961.-368с.: ил.

33. Буров А.К., Андреевская Г.Д. Стекловолокнистые анизотропные материалы и их техническое применение. М.: Изд-во АН СССР, 1956. -71 с.

34. Бутенко Ю.И. Модифицированный метод асимтотического интегрирования при построении теории стержней из ортотропного материала. 4.1. // Изв. АН РФ. МТТ. 2001. -№4. - С. 91-105.

35. Быковцев Г.И. О предельном равновесии анизотропных пластин и оболочек вращения // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. -1961.-№6.- С. 69-77.

36. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Расчёт пластин. 2-е изд., перераб. и доп. - Киев: Буд1вельник, 1970. - 435с.:ил.

37. Ван Фо Фы Г.А. Упругие постоянные и напряжённое состояние стеклоленты// Механика полимеров. 1966. - №4. - С. 593-602.

38. Васильев В.В, Лурье С.А. К проблеме построения неклассических теорий пластин //Механика твёрдого тела. 1990. - №2. - С. 158-167.

39. Васильев В.В. К дискуссии по классической теории пластин // Изв. АН. МТТ. 1995,-№4.-С. 140-150.

40. Васильев В.В. Классическая теория пластин история и современный анализ // Изв. АН РФ. МТТ. - 1998. - №3. - С. 46-58.

41. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. 270с.

42. Васильев В.В. О теории тонких пластин П Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1990. - №2.

43. Власов В.В. Метод начальных функций в задачах теории упругости и строительной механики. М.: Стройиздат, 1975. 224с.

44. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. -984с. ил.

45. Ворович И.И. Общие проблемы теории пластин и оболочек // Тр. VI Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластинок, М.: Наука, 1966. -С. 896-903.

46. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. -455 с.

47. Ворович И.И., Шленев М.А. Пластины иоболочки. II Итоги науки. Механика. 1963. М.: Изд-во АН СССР, 1965.

48. Воронцов Г.В. Современные методы расчёта стержней, стержневых систем и пластин на устойчивость: Учеб. Пособие. Новочеркасск: НПИ, 1979.-96с.: ил.

49. Галимов К.З., Суркин Р.Г. О работах Казанских учёных по теории пластин и оболочек // В сб.: Исследования по теории пластин и оболочек, сборник V. Изд-во Казанского ун-та. 1967.

50. Галиньш А.К. Расчёт пластин и оболочек по уточнённым теориям // В сб.: Исследования по теории пластин и оболочек. Казань. 1967. - Вып. 5, 1970.-Вып. 6.

51. Гершберг М.В. Исследование изменения модуля упругости стеклопластиков в произвольном направлении // Технология судостроения. 1964. -№7.

52. Гольденвейзер A.JL Построение приближённой теории изгиба пластинки методом асимтотического интегрирования уравнений теории упругости // ПММ. 1962. - т. 26, вып. 4. - с. 668-686.

53. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гостехиздат, 1953.

54. Гольденвейзер A.JL, Колос А.В. К построению двумерных уравнений теории упругих тонких пластинок // ПММ. 1965. - Т. 29, Вып. 1. - С. 141-155.

55. Гольдман А.Я., Савельев Н.Ф., Смирнова В.И. Исследование механических свойств тканевых стеклопластиков при растяжении, сжатии нормально к плоскости армирования // Механика полимеров. -1968.-№5.-С. 803 809.

56. Горяинова А.В. Стеклопластики в машиностроении. М.: Машгиз, 1961 -215 с.

57. Грач С.А. Расчёт круглых пластин: в 2-х ч./ Фрунзен. Полит. Ин-т. -Фрунзе: Мех-тел.-Ч. 1.-1979.-254 с.

58. Грач С.А. Расчёт круглых пластин: в 2-х ч./ Фрунзен. Полит. Ин-т. -Фрунзе: Мех-тел. Ч.2.-1981.—455с.: ил.

59. Гузь А.Н, Коханенко Ю.В. Решение плоских задач трёхмерной теории упругой устойчивости при неоднородных докритических состояниях. // Прикл. Механика. 1977 - 13, №12. - С. 63-72.

60. Гузь А.Н. О точности гипотезы Кирхгофа Лява при определении критических сил в теории упругой устойчивости. // Докл. АН СССР. -1968,- 179, №3.-С. 552-554.

61. Гузь А.Н., Зеленский B.C., Коханенко Ю.В. О решении пространственных задач трёхмерной теории упругой устойчивости пластин и стержней при неоднородных докритических состояниях. // Механика композиционных материалов. 1980. - №1. - С. 49-52.

62. Гузь А.Н., Пелех Б.Л., Бабич И.Ю., Тетере Г.А. Об области применимости прикладных теорий в задачах устойчивости стержней и пластинок с низкой сдвиговой жёсткостью в случае одноосного сжатия. // Механика полимеров. 1969 - №6. - С. 1124-1126.

63. Гузь О.М. Устойчивость ортотропных тел. // Прикл. Механика. 1967. -3, №5.-С. 40-51.

64. Гуртовой А.Г., Пискунов В.Г. О сравнительном анализе уточнённых моделей слоистых ортотропных пластин // Прикладная механика. 1998. том 34, №1. - С. 79-84.

65. Гусейн-Заде М.И. Асимптотический анализ трёхмерных динамических уравнений тонкой пластинки // ПММ. -.1974 т. 38. вып. 6. С. 10721078.

66. Гусейн-Заде М.И. Построение теории изгиба слоистых пластинок // Тр. VI Всесозн. конф. по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1966. С. 333-343.

67. Дараган В.И., Саченков A.B. Об одном подходе к теории пластин средней толщины // Исследование по теории пластин и оболочек. Сборник статей под редакцией К.З. Галимова. Казань., 1972. - сборник 8.-С. 96-109.

68. Деревянко Н.И. Свойства армированного полистирола при кратковременном растяжении, сжатии и изгибе // Механика полимеров. -1968,-№6.-С. 1059- 1064.

69. Дургарьян С.М. К температурному расчёту ортотропной пластинки с учётом поперечных сдвигов. // Изв. АН СССР, ОТН, механика и машиностроение, 1962, №6, С. 154-160.

70. Жилин П.А. О классической теории пластин и преобразовании Кельвина Тэта // Изв. АН. МТТ. - 1995. -№4. - С. 134-140.

71. Жилин П.А. О теориях пластин Пуассона и Кирхгофа с позиций современной теории пластин // Изв. АН. ММТ. -1992. №3. - С. 48-64.

72. Жуков A.M., Вялухина С.Д. Механические свойства стеклопластиков при комнатной температуре // Инженерный журнал. 1962. -т.Н, вып. 4. -С. 330-336.

73. Зайцев О.В., Матченко О.Н. Аффинные преобразования в осесимметричной задаче трансверсально-изотропного тела В кн.: Сборник материалов «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии», с.65, / ТулГУ, Тула, 2000

74. Зеленский B.C. О решении пространственных задач трёхмерной теории упругости пластин и стержней при неоднородном докритическои состоянии. Докл. АН УССР. Сер. А. - 1980. - №2. - С. 41-43.

75. Калинка Ю.А., Боровикова С.М. Исследование физико-механических свойств хаотически наполненных стеклопластиков // Механика полимеров. 1971. - №3. - С. 411 - 415.

76. Киселев Б.А. Стеклопластики. М.: Госхимиздат, 1961. 240с.

77. Колос А.В. Методы уточнения классической теории изгиба и растяжения пластинок//ПММ. 1965. - Т. 29, Вып.4-С. 771-781.

78. Колос А.В. Об области применения приближенных теорий изгиба пластин типа теории Рейснера // Тр. VI Всесоюзн. Конф. по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1966.

79. Колос А.В. Об уточнении классической теории изгиба круглых пластинок // ПММ. 1964. - Т. 28. Вып. 3. - С. 582-588.

80. Композиционные материалы: Справочник / Васильев В.В., Протасов В.Д., Болотин В.В. и др.; Под общ. ред. Васильева В.В., Тарнопольского Ю.М. -М.: Машиностроение, 1990.

81. Композиционные материалы: Справочник / Вишняков Л .Р., Грудина Т.В., Кадыров В.Х и др.; Под ред. Карпиноса Д.М. Киев: Наукова думка, 1985. -592 с.

82. Конструкционные стеклопластики.-М.: Химия, 1979- 258с.: ил. -(Полимерные материалы в народном хозяйстве. Научные основы и практика применения)

83. Копейкин Ю.Д. Интегральные уравнения задач об изгибе ортотропных пластинок // Механика твёрдого тела. 1994. - №4,- с. 175-178.

84. Корбукова Л.Д. Изиб квадратной анизотропной пластинки, заделанной по краю. // Изв. АН СССР, ОТН, механика и машиностроение. 1959. -№3. - С. 184-189.

85. Королёв В.И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. М.: Машиностроение, 1966. -272 с.

86. Коханенко Ю.В. Решение трёхмерной задачи устойчивости пластины при неоднородном докритическом состоянии. // Прикл. Механика. -1976,- 12, №2.-С. 117-119.

87. Крегер А.Ф., Тетере Г.А. Оптимизация структуры пространственного армирования композитов в задачах устойчивости. // Механика композиционных материалов. 1979. -№1. - С. 79-85.

88. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982.

89. Левицкая О.М. и др. О некоторых свойствах стекловолокнистого анизотропного материала (СВАМ) // Пластические массы. 1962. - №2

90. Лейбензон Л.С. Вариационные методы решения задач теории упругости. М.-Л.: Гостехиздат, 1943. 287 с.

91. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: Гостехиздат, 1957. -463 с.

92. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1950. - 416 с.

93. Лехницкий С.Г. Упругое равновесие трансверсально изотропного слоя и толстой плиты // ПММ. 1962. т. 26. Вып. 4. С. 687-696.

94. Лехницкий С.Г. Устойчивость анизотропных пластинок. Пособие для авиаконструкторов. М.-Л., Гостехиздат, 1943. 80 с.

95. Локшин А.З. Устойчивость судовых пластин и перекрытий из стеклопластиков. Л., Судостроение, 1964. 92 с.

96. Ломакин В.А., Огибалов П.М, Тюнеева И.М. Механические свойства стеклотекстолита при статическом нагружении. // Вестник МГУ, 1961, сер. 1 матем., мех. №3. - С 46-52.

97. Лурье А.И. К теории толстых плит // ПММ. 1942. - Т.6. Вып.2,3.

98. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955.-491 с.

99. Мальмейстер А.И., Тамуж В.П., Тетере Г.А. Сопротивление полимерных композитных материалов. Рига: Зинатне, 1980. - 572 с.

100. Матвеев К.А. О вариационных принципах теории упругой устойчивости пластин. Расчет локально-нагруженных анизотропных пластин // Научный вестник НГТУ. 1996. -№2. - С. 43-57.

101. Матченко И.Н., Матченко Н.М., Матченко О.Н. О множественности модифицированных пространств в анизотропных средах. Тезисы докладов, Всероссийская научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики», Тула, 2000. С. 97.

102. Матченко И.Н., Матченко Н.М., Матченко О.Н. О множественности эквивалентных представлений анизотропных материалов В кн.: Сборник материалов «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии», ТулГУ, Тула, 2000. - С.83

103. Матченко Н.М., Матченко И.Н. Об одном представлении уравнений плоской задачи теории упругости ортотропной среды // Механика деформируемого твёрдого тела. Сборник научных трудов. Тула: Тул. гос. тех. ун-т, 1994. - С. 80 - 83.

104. Матченко Н.М., Матченко О.Н. Модифицированное пространство в плоской задаче теории упругости ортотропного тела (асимптотический метод) В кн.: Современные проблемы механики и прикладной математики / ВГУ, Воронеж, 1998.

105. Матченко Н.М., Матченко О.Н. Плоская задача теории упругости ортотропного тела (асимптотический метод) В кн.: Теория приближений и гармонический анализ / ТулГУ, Тула, 1998.

106. Микляев П.Г., Фридман Л.Б. Анизотропия механических свойств материалов. М.: Металлургия, 1969. 269 с.

107. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.-512 с.

108. Муштари Х.М. Теория плит средней толщины // Изв. АН СССР. ОТН. Мех. и маш. 1959. - №2. - С. 107-113.

109. Немировский Ю.В. Об устойчивости армированных оболочек и пластин за пределом упругости // Изв. АН СССР. -МТТ. 1970. - №2. - С. 6774.

110. Нигул У.К. О применении символического метода А.И. Лурье к анализу напряжённых состояний и двумерных теорий упругих плит // ПММ. -1963. т. 27, вып. 3. - С. 583-588.

111. Огибалов П.М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок. М.: МГУ, 1958.- 389 с.

112. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Изд-во МГУ, 1969. 695 с.

113. Огибалов П.М., Суворов Ю.В. Механика армированных пластиков. Изд-во МГУ, 1965.-480 с.

114. Павленко А.В. Применение асимптотического метода к пространственной задаче теории упругости для композиционных материалов // Механика твёрдого тела. 1980. - №3. - С. 50-61.

115. Плеханов А.В., Прусаков А.П. Об одном асимптотическом методе построения теории изгиба пластин средней толщины // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1976. - №3. -С. 84-90.

116. Полиновская Л.Г., Полиновский Л.А. Расчёт предельного состояния ортотропной плиты // Извю ВУЗов Стр-во и Архит. 1991. - №3. - С. 37-40.

117. Понятовский В.В. К теории изгиба анизотропных пластинок // ПММ. -1964.-т. 28, Вып. 6.-С. 1033-1039.

118. Понятовский В.В. Уравнения теории анизотропных пластинок // В сб.: Исследования по упругости и пластичности. Изд-во. ЛГУ 1965 - №4.

119. Прокопов В.К. Применеие символического метода к выводу уравнений теории плит // ПММ. 1965. т. 29. вып. 5. С. 902-919.

120. Прокопов В.К., Груздев Ю.А. Полимоментная теория равновесия толстых плит // ПММ. 1968. - т. 32. вып.2. - С. 344-352.

121. Протасов В.Д., Георгиевский В.П. Анизотропия упругих и прочностных свойств армированных пластиков // Механика полимеров. 1967. - №2.

122. Рабинович A.JI. Об основных вопросах механики монолитных ориентированных стеклопластиков. Сб. Физико-химия и механика оринтированных стеклопластиков. М.: Наука, 1967.

123. Рабинович А.Л. Об упругих постоянных и прочности анизотропных материалов. Труды ЦАГИ, №582, М.: Оборонгиз, 1946. 56 с.

124. Рабинович А.Л., Верховский И.А. Об упругих постоянных ориентированных стеклопластиков // Инженерный журнал. 1964. - т. IV, вып. 1,-С. 90-100.

125. Радионова В.А. Уточнённая прикладная теория нетонких анизотропных пластин // Вестник СпбГУ. Сер. 1. 1994. - вып. 3, №15. - С. 95-100.

126. Расчёт пластин из композиционных материалов: Учебное пособие/ А.А. Дулченко, А.Н. Елпатьевский, С.А. Лурье, В.В. Фирсанов. М.: Изд-во МАИ, 1993. - 68с.:ил.

127. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига: Зинатне, 1977. 284с.

128. Рогачёва Н.Н. О соотношениях упругости Рейсн&ра-Нахди // ПММ. -1974.-т. 38. вып. 6.-С. 1063-1071.

129. Сидорин Я.С. Об экспериментальном исследовании анизотропии стеклопластиков. Изв. АН СССР Механика и машиностроение. 1964. -№3. - С. 122-126.

130. Сопротивление стеклопластиков / Под ред. И.И. Гольденблата. -М.Машиностроение, 1968. 304 с.

131. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1978. - 832 с. ил.

132. Теория гибких круглых пластинок / Под ред. Вольмира А.С. М.: Издательство Иностранной литературы, 1957. - 208 с.

133. Терегулов И.Г. К построению уточнённых теорий пластин и оболочек // ПММ,- 1962. Т. 26. вып. - 346-350.

134. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней. Пластин и оболочек. Избранные работы. М.: Наука, 1967. 808с.

135. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1946. -532 с.

136. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. - 636 с.

137. Францевич И.Н., Воронов Ф.Ф., Бакута С.А. Упругие постоянные и модули упругости металлов и неметаллов: Справочник. Киев: Наукова Думка, 1982.-286 с.

138. Хантингтон Г. Упругие постоянные кристаллов. УФН. - 1961. - Т. 74, а) вып. 2, б) вып. 3.

139. Хаткевич А.Г. Об упругих постоянных кристаллов // Кристалография. -1961.-Т6, вып. 5.

140. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. М.: Мир, 1971. -192 с.

141. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1988. -192 с.

142. Черных К.Ф. О формах связи между симметричными тензорами в механике сплошных сред // МТТ.-1967.-№3.

143. Черных К.Ф. Определяющие неравенства упругих тел // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа (к 80-летию академика Н.И. Мусхелишвили).-М.: Наука, 1972.

144. Чернышев Г.Н. Асимтотический метод в теории оболочек (сосредоточенные нагрузки) // Тр. VI Всесоюзн. Конф. по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1966. С. 799-810.

145. Чжень, Чжен. Механические свойства анизотропных волокнистых материалов // Прикладная механика. Тр. ASME. 1970. - Т. 37, №1. Изд-во Мир.-С. 197-199.

146. Adewale А.О., Oyediran A.A. Applications of the singularity function method to orthotropic plate problems // Int. J. Mech. Sci. 1989. - Vol. 31, № 11/12.-p. 853-864.

147. Allman D.J. Calculation of the elastic buckling loads of thin flat reinforced plates using triangular finite elements // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1975. - №9. - p.415-432.

148. Altman W., Venancio-Filho F. Stability of plates using a mixed finite element formulation // Computers and Structures. 1974. - № 4. - p. 437-443.

149. Bao G., Jiang W., Roberts J.C. Analytic and finite element solutions for bending and buckling of orthotropic rectangular plates // Int. J. Solids Struct. 1997,-Vol. 34, № 14.-p. 1797-1822.

150. Bert C.W. Fundamental frequencies of orthotropic plates with various plan forms and edge conditions // Shock and Vibration Bulletin. 1977. - Vol. 47, № 2. - p. 89-94.

151. Bohuslav Novotny. On the asymptotic integration of the three-dimentional non-linear equations of thin elastic shells and plates // Int. J. Solids Structures. -1970.-vol. 6.-p. 433-451.

152. Brunelle E.J. Generic Karman-Rostovstev plate equations in an affine space // AIAA Journal. 1986, № 3. - p. 472-478.

153. Brunelle E.J. The fundamental constants of orthotropic affine plate/slab equations//AIAA Journal. 1985,-Vol.23, № 12.-p. 1957-1961.

154. Brunelle E.J., Oyibo G.A. Generic buckling curves for specially orthotropic rectangular plates // AIAA Journal. Vol. 21, №7. - p. 1150-1156.

155. Carson W.G., Newton R.E. Plate buckling analysis using a fully compatible finite element // AIAA Journal. 1969. № 7. - p. 527-529.

156. Cook R.D. Eigenvalue problems with a "mixed" plate element // AIAA Journal. 1969. - Vol. 7, №5. - p. 982-983.

157. Cowin C.S., Yang G. Averaging anisotropic elastic constant data // Journal of Elasticity. 1997.-Vol. 46.-p. 151-180.

158. Deng Changgen. Analyses of orthotropic plates by the method of analogy with isotropic plates Hi. Tongji Univ. 1992. - Vol. 20, №2. - p. 227-231.

159. Doong Ji-Liang, Chen Tsyr-Jang. Vibration and stability of an orthotropic plate //Appl. Acoust. 1987.-Vol. 22, №1,-P. 1-13.

160. Everall P.R., Hunt G.W. Arnold tongue predictions of secondary buckling in thin elastic plates //J. Mech. Phys. Solids. 1999. - Vol. 47. - p. 2187-2206.

161. Fan Jiarang, Ye Jianqiao // Int. J. Solids and Struct. 1990. — Vol. 26, №7. -p. 773-778.

162. Green A.E. On the linear theory of thin elastic shells // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1962.-Vol. 266, №1325.

163. Hearmon R.F.S. An Introduction to applied anisotropic elasticity London; New York: Oxford Univ. Press, 1961.

164. Jung H.K., Cheong Y.M., Ryu H.J., Hong S.H. Analysis of anisotropy in elastic constants of SiCp/2124 A1 Metal matrix composites //Elastic anisotropy 1999. - Vol. 41, №12. - p. 1261-1267.

165. Kapur K.K., Harts B.J. Stability of plates using the finite element method // Journal of the Engineering Mechanics Division, Proceedings of the American society of Civil Engineers. 1966. - Vol. 92 (EM2). - p. 177-195.

166. Kirchhoff G. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung einer Elastischen Scheibe // J. Reine Angew. Math. 1850. Bd. 40. - S. 51-58.

167. Librescu Liviu, Reddy J.N. A general transver-shear deformation theory of anisotropic plates // Lect. Notes Eng. 1987. -№28. - p.32-43.

168. Lodge A. Quart J. Mech. Appl. Math., 8, 1955, pp. 211-225

169. Mizusawa T. Buckling of rectangular Mndlin plates with tapered thickness by the spline strip method // Int. J. Solids Struct. 1993. Vol. 30. - p. 16631677.

170. Reddy J.N., Robbins D.H. Theories and computational models for composit laminates // Appl. Mech. Rev. 1994. - Vol. 47, №6, pt. 1. - P. 21-35.

171. Reddy J.N., Tsay C.S. Stability and vibration of thin rectangular plates by simplified mixed finite elements // Journal of Sound and Vibration. 1977. -Vol. 55, №2.-p. 289-302.

172. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates // J. Math. And Phys. 1944. Vol. 23, №4.-p. 184-191.

173. Reissner E. Reflection on the theory of elastic plates // Appl. Mech. Rev. -1965,- Vol. 38, №11.-P. 1453-1464.

174. Reissner E. The effects of transverse shear deformation on the bending of elastic plates // J. of Appl. Mech.- Vol. 12, № 2., Trans. ASME. 1945. -V.67, p. 69-77.

175. Rutten H.S. Asymptotyc approximation in the three-dimensional theory of thin and thick elastic shells // Nederlandse bockdruk indusrie N.Y. Hertogenbosch. 1971.

176. Shuleshko P. Buckling of rectangular plates uniformly compressed in two perpendicular directions with one free edge and opposite edge elastically restrained // J. Appl. Mech. Trans. ASME. 1956. - Vol. 78. - P. 359-363.

177. Shuleshko P. Buckling of rectangular plates with two unsupported edges // J. Appl. Mech. Trans. ASME. 1957. Vol. 79. - P. 537-540.

178. Srinivas S., Rao A.K. Bending, vibration and buckling of simply supported thick orthotropic rectangular plates and laminates // Int. J. Solids Struct. -1970.-Vol. 6.-p. 1463-1481.

179. Srinivas S., Rao A.K. Buckling of thick rectangular plates // AIAA Journal -1969.-Vol. 7.-p. 1645-1646.

180. Steele C.R. FORTRAN Program PLATE6 for computation of a clamped rectangular plate with pressure load and axial resultant forse // Stanford University. 1994.

181. Тео Т.М., Liew К.М. Three-dimensional elasticity solutions to some orthotropic plate problems 11 Int. J. Solids Struct. 1999. - Vol. 36. - p. 5301-5326.

182. Turvey G. Buckling and postbuckling of composite plates. Chapman & Hall, England. - 1995.

183. Ward I.M. Mechanical anisotropy of highly oriented polymers // Journal of Computer-Aided Design. 1997. - № 4. - p. 43-52.

184. Widera O.E. An Asymptotic theory for the moderately large deflections of anisotropic plates // Journal of Engineering Math. 1969. - V.3, №3.

185. Wu Z.J., Wardenier J. Further investigation on the exact elasticity solution for anisotropic thick rectangular plates // Int. J. Solids Structures. 1998. Vol. 35, №7-8.-p. 747-758.

186. Yang G., Kabel J., Van Rietbergen В., Odgaard A., Huiskes R., Cowin S.C. The anisotropic Hooke's Law for cancellous bone and wood // Journal of Elasticity. 1999.-Vol. 53.-p. 125-146.

187. Yang I.H., Liu C.R. Buckling and bending behaviour of initially stressed specially orthotropic thick plates // Int. J. Mech. Sci. 1987. - Vol. 29, № 12. -p. 779-791.

188. Yuan S., Jin Y. Computation of elastic buckling loads of rectangular thin plates using the extended Kantorovich method // Сотр. & Struct. 1998. -Vol. 66, №6.-p. 861-867.

189. Число упругих постоянных, определяющих свойства материалов с различными типами симметрии