Напряженно-деформированное состояние гибких слоистых пластин из анизотропных разносопротивляющихся материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат технических наук Васильев, Николай Владимирович

• Васильев, Николай Владимирович
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Васильев, Николай Владимирович

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1.ОБЗОР МОДЕЛЕЙ РАСЧЕТА ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ И МАТЕРИАЛОВ С УЧЕТОМ АНИЗОТРОПИИ И ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ К ВИДУ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

1.1.Некоторые модели расчета анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного

состояния

1.2.Основные направления расчета многослойных

конструкций

2.ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ СТРУКТУРНО АНИЗОТРОПНЫХ РАЗН0С0ПР0ТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ

2.1.Вариант соотношений в девятимерном «пространстве», предложенный Н.М. Матченко,

А.А. Трещевым, З.В. Аркания

2 .1.1. Ортотропное тело

2.1.2. Трансверсально изотропное тело

2.2.Вариант определяющих соотношений для анизотропных разносопротивляющихся материалов

2.2 .1. Общий случай анизотропии

2 . 2 . 2 . Плоскость упругой симметрии

2.2.3. Ортотропное тело

2.2.4. Трансверсально изотропное тело

2.2.5. Определение констант уравнений состояния

2.2.6. Исследование принятых определяющих со-

отношений

3.ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН СРЕДНЕЙ ТОЛЩИНЫ

3.1.НДС трехслойных круглых пластин средней толщины

3 .1.1. Постановка задачи

3 .1. 2 . Численная реализация

3.1.3. Результаты расчета

3.2.НДС прямоугольных пластин средней толщины

3 . 2 .1. Постановка задачи

3.2.2. Результаты расчета

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Напряженно-деформированное состояние гибких слоистых пластин из анизотропных разносопротивляющихся материалов»

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время в различных отраслях промышленности (машиностроении, ракетостроении, строительстве) многие элементы конструкций и детали машин изготавливаются из анизотропных материалов, механические характеристики которых зависят от вида напряженного состояния. К таким материалам относятся бетоны, керамика, чугуны, некоторые марки конструкционных графитов, полимеры, композиты.

Зависимость деформационных характеристик от вида напряженного состояния для таких материалов достаточно сложна и не сводится только к различающемуся поведению при одноосных растяжении и сжатии. Так, экспериментально установлено, что жесткость большинства разносопро-тивляющихся материалов может зависеть не только от знаков возникающих напряжений, но и от их относительных значений. Классические теории, базирующиеся на существовании однозначной зависимости между напряжениями и деформациями, очевидно, не могут описать подобные особенности .

Анализ экспериментальных данных показывает, что зависимость механических характеристик многих анизотропных материалов от вида напряженного состояния в большей мере проявляется при достаточно высоком уровне напряжений в нелинейной области деформирования, что особенно актуально при анализе конструкций в условиях развитых деформаций и больших перемещений.

Несмотря на сравнительно большое число предложенных моделей определяющих соотношений сред, чувствительных к виду напряженного состояния, прикладные исследования

эффектов, вызванных разносопротивляемостью анизотропных материалов конструкций, сдерживаются наличием существенных недостатков в известных моделях, а также недостаточной ориентацией известных моделей механики разно-сопротивляющихся сред на их дальнейшее использование в приложениях.

Анизотропные разносопротивляющиеся материалы широко используются для изготовления элементов конструкций, таких как цилиндрические оболочки различных видов, оболочки положительной гауссовой кривизны, диски, пластины и плиты. Причем конструкции могут быть как однородными, так и неоднородными. К числу последних относятся круглые и прямоугольные многослойные пластины средней толщины из сложных композитов.

Расчеты трехслойных пластин в условиях геометрически нелинейного деформирования показали, что их жесткость при поперечном сдвиге заметно зависит от механических свойств материалов и от толщины слоев, откуда следует что нецелесообразно пренебрегать деформациями поперечного сдвига для достижения высокой точности определения напряженно-деформированного состояния конструкций .

Таким образом, можно констатировать, что учет явления разносопротивляемости материалов при определении напряженно-деформированного состояния элементов различных конструкций в виде многослойных пластин средней толщины различной геометрической конфигурации, с учетом больших прогибов и поперечных сдвигов, является актуальной задачей, как в научном, так и в прикладном плане .

- б -

Целью диссертационной работы является построение в рамках подхода, связанного с нормированным пространством напряжений, обобщенной модели деформирования слоистых пластин средней толщины, составленных из анизотропных материалов, свойства которых зависят от вида напряженного состояния, а также решение ряда прикладных задач упругого деформирования пластин с учетом поперечного сдвига в геометрически нелинейной постановке.

Для этой цели необходимо:

- выбрать наиболее точную модель для описания определения напряженно-деформированного состояния анизотропных сред, деформирование которых зависит от вида напряженного состояния в рамках подхода связанного с нормированными пространствами.

- выполнить сравнение принятой модели деформирования анизотропных разносопротивляющихся материалов и наиболее известных моделей с экспериментальными диаграммами по деформированию этих материалов.

- на основе выбранной модели, построить математическую модель определения напряженно-деформированного состояния прямоугольных и круглых трехслойных пластин средней толщины с учетом больших прогибов и поперечных сдвигов., в условиях воздействия поперечной равномерно распределенной нагрузки;

выбрать методы решения поставленной прикладной задачи и разработать алгоритм ее реализации на ЭВМ. Разработать соответствующий пакет прикладных программ.

- решить ряд прикладных задач по упругому деформированию трехслойных пластин с учетом поперечного сдвига при различных видах закрепления, сравнить полученные

результаты с аналогичными, полученными на основе других моделей.

- проанализировать полученные результаты и выработать рекомендации по расчету элементов конструкций из материалов, чувствительных к виду напряженного состояния .

Новыми научными результатами, которые выносятся на защиту, являются:

уравнения, описывающие упругое деформирование трехслойных круглой и прямоугольной пластин средней толщины при больших прогибах, с учетом поперечных сдвигов, выполненных из анизотропных материалов чувствительных к виду напряженного состояния;

- вариант двухшагового метода последовательных возмущений параметров В.В. Петрова для решения задачи определения напряженно-деформированного состояния трехслойных пластин средней толщины с учетом поперечного сдвига, выполненных из анизотропных материалов чувствительных к виду напряженного состояния, с учетом геометрической нелинейности и его программная реализация

- полученные результаты расчетов, выявляющие новые эффекты деформирования трехслойных пластин, связанные с явлением разносопротивляемости анизотропных материалов и учетом конечной трансверсальной сдвиговой жесткости.

Достоверность представленных научных положений и выводов подтверждается получением теоретических результатов строгими математическими методами, основанными на фундаментальных положениях механики деформируемого твердого тела, решением тестовых задач, хорошим соответствием принятых уравнений состояния экспериментальным диаграммам деформирования, сравнением расчетных

данных с результатами исследований на основе иных подходов .

Используемые определяющие соотношения исследовались на примере ряда анизотропных разносопротивляющихся материалов на предмет соответствия диаграмм деформирования полученных экспериментальным путем с теоретическими диаграммами, полученными с использованием указанных определяющих соотношений. Причем принятые соотношения более точно описывают экспериментальные диаграммы деформирования этих материалов, чем известные ранее модели.

Математическая модель решения задачи изгиба прямоугольных и круглых пластин средней толщины из материалов, обладающих чувствительностью к виду напряженного состояния, построена на основе традиционных зависимостей статико-геометрической природы с использованием общеизвестных гипотез. Данная модель реализована численно методом конечных разностей, все численные расчеты выполнены на ЭВМ, при этом полученные результаты апробированы сравнением с ранее известными моделями.

Полученные в работе результаты имеют важное теоретическое и практическое значение для построения моделей анализа напряженно-деформированного состояния трехслойных элементов конструкций, выполненных из материалов, поведение которых не описывается классическими теориями. Данные модели могут быть использованы как для проектных, так и для проверочных расчетов конструкций с разными уровнями точности.

Внедрение результатов работы осуществлено в проектную практику проектно-сметного бюро на ОАО «ТУЛАОБЛГАЗ» (г. Тула) и ООО «Строительное проектирование» (г. Ту-

ла) . Использование результатов работы подтверждено актами о внедрении пакета прикладных программ.

Диссертационная работа состоит из введения, трех основных разделов, заключения, списка литературы и приложений .

В первом разделе приводится обзор основных направлений в моделировании свойств анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния, а также в описании напряженно-деформированного состояния многослойных пластин.

Во втором разделе рассматривается пространство нормированных напряжений. Приводится предложенное в работах Н.М. Матченко, A.A. Трещева, З.В. Аркания выражение для потенциала деформаций, рассматриваются два уровня его точности и отмечаются недостатки этого потенциала. Проводится построение определяющих соотношений структурно анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния, описывающих их упругую работу. Рассмотрены принципы определения констант конституционных соотношений с учетом выполнения постулата устойчивости в малом. Проведено сравнение принятых определяющих соотношений с результатами экспериментальных исследований а также с моделями других авторов, которое показывает адекватность предложенных теоретических зависимостей реальным напряженно-деформированным состояниям ряда конструкционных материалов при линейной аппроксимации диаграмм деформирования, что подтверждает их достоверность .

В третьем разделе на основе принятого варианта определяющих соотношений разработана общая методика решения задач упругого деформирования трехслойных пластин

средней толщины из анизотропных разносопротивляющихся материалов с учетом влияния поперечного сдвига и геометрической нелинейности. Решены задачи о поперечном изгибе круглой и прямоугольной пластин при различных видах опирания.

Детально рассмотрена постановка задач, описана численная реализация и особенности расчета. Проведен анализ расчетов.

Заключение содержит основные результаты и общие выводы, сформулированные на основе проведенных исследований .

В приложениях приводится графический материал с результатами расчета трехслойных круглых и прямоугольных пластин средней толщины, выполненных из анизотропных разносопротивляющихся материалов, а также фрагмент пакета прикладных программ по расчету трехслойной круглой пластины на поперечный изгиб.

1. ОБЗОР МОДЕЛЕЙ РАСЧЕТА ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ И МАТЕРИАЛОВ С УЧЕТОМ АНИЗОТРОПИИ И ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ К

ВИДУ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

1.1. Некоторые модели расчета анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния

В настоящее время известно достаточно большое количество работ, в которых предлагаются различные подходы к построению определяющих соотношений анизотропных разносо-противляющихся сред. Эти подходы вытекают из тех или иных гипотез и зачастую не связаны друг с другом, но все их можно объединить в две группы.

В основу первой группы положена зависимость механических характеристик материала от знаков возникающих напряжений или развивающихся деформаций. В рамках данной модели выделены определяющие соотношения, предложенные в работах С.А. Амбарцумяна, A.A. Хачатряна, М.С. Саркисян, P.M. Джонса, К.В. Берта, Ф. Табаддора, В.В. Петрова, И.Г. Овчинникова и других. Вторая группа моделей определяет жесткость материалов в зависимости от непрерывных функций вида напряженного состояния, и базируется на работах Н.М. Матченко, A.A. Трещева, Е.В. Ломакина, A.A. Золочевского, A.B. Березина, П.Л. Пономарева, П.В. Божанова и других. В качестве функций, зависящих от вида напряженного состояния, указанные авторы использовали нормированные напряжения, отношение средних напряжений к интенсивности напряжений, эквивалентное напряжение.

- 12-

Модель С.А. Амбарцумяна.

Амбарцумян предложил систему соотношений [1 - 7], связывающих напряжения и деформации в анизотропном материале с разными модулями при растяжении и при сжатии. Совокупность этих соотношений будем называть моделью Амбарцумяна .

Для ортотропного материала, находящегося в условиях плоского напряженного состояния, соотношения Амбарцумяна, записанные в координатах главных осей напряженного состояния, имеют вид:

„ _ орд^ , оРЯ0

(1.2.1)

где Б?? (податливости в системе координат pq) принимают

разные значения в зависимости от знаков главных напряжений :

при ор>0 и сгд > 0 : сРЯ _ оРЯ (1. 2 . 2)

при °р <о и сгд <0: оРЯ _ ЯРЯ 0íj (1. 2 . 3)

при °р >0 и а д <0: сРЯ сРЯ аРЯ оРЯ оРЯ оРЯ °11Ь' °12с' °22с' °61Ь' °62с' (1 .2 . 4

при °р <о и стд >0: оРЯ пРЯ аРЯ пРЯ оРЯ оРЯ °21с' °61с' °62Ьт (1. 2 . 5)

Податливости и связаны с податливостями

и в координатах главных осей анизотропии материала

обычными соотношениями теории упругости анизотропного тела: 511^ = 3111сС034(5 + + з±п2(5соз2(1 + 1п4/3,(1-2.6)

= Сс + С + - - Б™с) з1п2(1соз2(3, (1.2.7)

qpg 21tc

_ ^тп , , Qinn ~ ü21tc ^^

. QÜin _ 9 c'

lite + ü22tc ^ 21tc

,mn

- SgQtc) sin2¡icos2(5, (1.2.8)

qPq 22tc

S^tccos4p + (2Sj2tc + s66tc) sín2(3cos2(3 + S^tcsin4p,(1-2.9)

Sfftc =[S^tcsin^-S?>tccos^ + 0,5(2sr2tc + + s66tc) cos2/3cos22f3f3

(1.2.10

+ соз2(5соб22(5(5

Здесь нижний индекс Ьс означает, что каждый раз нужно брать соответствующие величины с индексом t или с; /3 — угол между главными направлениями напряженного состояния и главными направлениями материала (рис. 1.2.1) .

1.2.11

Рис. 1.2.1. Ориентация ортотропии материала, главных напряжений и произвольной системы координат

Податливости связаны с обычными «техническими»

постоянными формулами:

S

тп lite

Qmn _ qTtrn

b12tc ~ b21tc

тп /¡-.шш _ .nm /рлп

te ' te -~Vtc./ hte Г

s

mn 12tc

= 1/Ete,

qmn _ ? /r 66te ~ ±/ ^mntc'

(1.2.12)

(1.2.13)

(1.2.14)

(1.2.15)

где ~-£п/Ет, когда стш=сгс, а все остальные компоненты напряжений равны нулю. В соотношения (1.2.12 - 1.2.15)

входят восемь независимых постоянных материала: три — для растяжения, три — для сжатия и две — для сдвига.

Отметим, что в выражениях (1.2.1) урцФ0 , и, следовательно, главные оси напряжений не совпадают с главными осями деформаций. Кроме того, Амбарцумян связывал значения перекрестных податливостей и соответственно со знаками напряжений о и ад, причем условие =

не ставилось. Но даже если в системе координат (тп) навязать условие симметрии податливостей, то в других системах координат матрица податливостей окажется несимметричной. Из преобразований (1.2.6 - 1.2.11) видно, что в общем случае (т. е. при произвольном повороте системы

координат) Б12ь совпадает с 312с только при чрезмерно жестких и физически нереальных условиях, наложенных на параметры ортотропного материала показанных в работе Исабе-кяна и Хачатряна. Следовательно, требование симметрии, не удовлетворяется. Это обстоятельство иллюстрируют диаграммы, показанные на рис. 1.2.2.

Рис. 1.2.2. Диаграммы податливостей в модели Амбар

цумяна

Здесь расстояние от начала координат пропорционально рассматриваемой податливости (эта величина меняется при изменении знака главного напряжения). Податливость

$11 резко меняет величину при переходе от положительных

значений а , к отрицательным. Податливости Б12 и 321 равны между собой в тех квадратах, где главные напряжения имеют одинаковый знак (либо растяжение, либо сжатие по обеим осям), но различны при смешанном напряженном состоянии (по одной оси растяжение, а по другой сжатие). В случае изотропного материала Амбарцумян обеспечил совпадение окружностей для Б12 и Б21 при помощи условия vc/£c = vt/.Et . Однако для ортотропных материалов он подобных условий не ставил, поэтому перекрестные податливости оказываются несимметричными.

Итак, модель Амбарцумяна не удовлетворяет условиям непротиворечивости, так как податливости оказываются несимметричными. Главная причина асимметрии заключается в том, что согласно модели Амбарцумяна, податливости определены по одноосному напряженному состоянию, тогда как в действительности нужно учитывать оба главных напряжения. Остальные условия непротиворечивости не проверялись, поскольку уже одно из них оказалось нарушенным. Однако эффективный модуль сдвига для площадок под углом 45° к главным направлениям материала принимает разные значения при касательных напряжениях разного знака.

-16-

Модель Ф. Тобаддора

Рассматривая общую тензорную форму связи между деформациями и напряжениями, в рамках модели Амбарцумяна [1-7] получил единое математическое представление закона упругости для ортотропного разносопротивляющегося материала при любых сочетаниях знаков главных напряжений. Однако принципиальных отличий между вариантом соотношений Ф.Тобаддора и зависимостями Амбарцумяна нет, а объединению уравнений состояния для областей с одинаковыми и с разными знаками главных напряжений (области первого и второго рода) способствовало введение функции и(х), которая имеет два фиксированных значения:

И(х) = 0 , при х < 0 ;

(1.2.16)

Щх) = 1, при х > 0 .

Из анализа приведенных моделей определяющих соотношений разносопротивляющихся материалов видно, что все они имеют ряд существенных недостатков. Кроме того, во всех этих моделях принимается жесткая зависимость характеристик материалов от опытов на одноосное растяжение и сжатие, а их зависимость от других видов напряженного состояния отсутствует. Указанные недостатки зачастую приводят ко многим ограничениям на применение данных моделей.

При использовании моделей, в которых для описания разносопротивляемости используются различные функции вида напряженного состояния, отпадает необходимость в предварительном определении областей растяжения и сжатия, но возникают некоторые трудности, связанные с нелинейностью основных соотношений между деформациями и напряжениями.

Отметим, что рассмотренный способ построения определяющих соотношений не позволяет создать законченной модели деформирования разносопротивляющихся материалов.

Модель Джонса-Нельсона-Моргана

Для плоского напряженного состояния в ортотропном материале с разными модулями упругости при сжатии и при растяжении предлагаются следующие соотношения между деформациями и напряжениями [103 - 10 9], записанные в координатах (рд) , которые совпадают с главными осями напряжений :

-рд_ с РЯ,

£р ~ ^11 ° р ^ 12 яг р - оряп , оряп

£„ — о 21 °р ^ ° 92 ° а'

■я

>22"Jq^

1.2.17)

,, _ оряп , оряп

Урд ~Ь61 °р 62 я '

Главные оси напряжений не совпадают с главными осями деформаций. Податливости БЦ4 задаются по следующим правилам:

при ор>0 и од>0: (1.2.18)

при оо<0 и оа<0: (1.2.19)

при ор > 0 и стд < 0 :

Б

ря _ с ря 22

~ 22сг 61

при ор < 0 и Оу > 0:

я

с ря _ сря с ^22 ~~ 22Ьг 61

РЯ

аРЯ _ - аРЯ сРЯ _ 12 ~ к Ярч р 12t + к Ярч (1 .2 .20)

_ оРЯ ~ °61Ь' аРЯ _ °62 ~ . сРЯ ' 62сг

еРЯ _ сРЯ оРЯ _ 12 ~ к р 12с + к 9рд (1 .2 .21)

_ оРЯ с<РЯ -62 ~ - аРЯ ' °62Ьш

Здесь к.

ор ь —

+ +

1.2.22

В качестве весовых коэффициентов можно взять и другие функции главных напряжений. Окончательно определить вид весовых коэффициентов можно лишь после проведения экспериментальных исследований. Матрица податливостей приведена к симметрии без использования искусственных соотношений, накладываемых на свойства материала при растяжении и при сжатии. В отличие от модели Амбарцумяна перекрестная податливость Б^ при изменении соотношения главных напряжений повсюду меняется непрерывно, однако касательная к кривой перекрестной податливости претерпевает разрывы.

Для перекрестной податливости Б^ должна использоваться взвешенная сумма, зависящая от обоих главных напряжений. Например, если ог.>0, о„<0, то

р ч

сР<? _ ь- аРЯ I ь- сР? / -] о 904

где кр и кд зависят от ор и стд . Даже при трехосном напряженном состоянии перекрестная податливость зависит не более чем от двух главных напряжений. Слова «не более» употреблены здесь потому, что представляется разумным считать значение Б^ зависящим только от знака а , т. е.

при о р > 0 : при ор<0: Б^ = Б™, (1.2.24)

поскольку второе напряжение, в данном случае касательное,

равно нулю по определению. Перекрестная податливость Б^ задается аналогично.

Податливости Б?^ и Б[?с в координатах главных напряжений (рф связаны с податливостями и Б^с в координатах (т, п) , совпадающих с главными направлениями материала. Податливости, взятые в главных осях материала, выра-

жаются через обычные инженерные постоянные по формулам (1.2.28 - 1.2.31). Однако податливости и (соот-

ветственно и 1/С™£с) нельзя измерить при сдвиговых

испытаниях ортотропного материала с разными модулями при сжатии и при растяжении, так как эти испытания происходят в условиях, когда одно главное напряжение сжимающее, а

другое - растягивающее. Вместо этого измеряется Е45 при растяжении под углом 4 5° к главным направлениям материала, а вычисляется по формуле:

1 2-у—Л

(1.2.25

с;тп — ^ — ^ b66t ~ ~

Gmnt Et

Г 1 , 1__2-vmnt^

\Emmt Ennt Emmt J

Аналогичная формула используется при вычислении Sqqc

45

по известному Ес .

Симметрия матрицы податливостей достигается заданием условия Sf2 -S21 с Учетом двух главных напряжений. В координатах, связанных с главными направлениями материала, податливости анизотропного материала, конечно, симметричны. В любой другой системе координат матрица податливостей также симметрична, так как при повороте симметрия сохраняется .

Для произвольной системы координат (ху) податливости выражаются через Sf? при помощи преобразований:

siítc = snPqcos4u + (2S?2tc + s66tc) sin2cdcos2од + S^tcsin4oj, (1.2.26) qxy _ qpq ,/cPg ■ qpq _ ?qpq _ qpq , 7- n2 2

12tc ~^12tc ' lite 22tc 12tc b66tc^Sln ^>COS Cú ~ ^ ^ ^

~ 0, 5 ■ (Sj?itc - S^tc) sin2(oscos2ú)o SX2y2tc = S^tcsin4c¿ + (2S?2\c + S™tc) sin2cocos20) +

1.2.28

+ S^tccos4(ú + (S^tcsin2co + S¡?jtccos2w) sin2a)

= -[Б^сз1п2и - Б^соз'со + 0,5 +

О 2 £

соз2оюз2со ]со + 3^1Ьссоз со • (сог о-Зз1п а)+ (1.2.29! + Б^ссоз2со ■ (сов2и - Зз1п2со) ,

= ЧЗ^ссоз2» - Б^З^СО -0,5 +

соз2сооз2о)] а + 3^сз±п2со ■ (3 • соз2со - з1п2и) + (1.2.30)

о о О

+ Б^Ьссоз со • (соз со-Зз1п о), З^а = Зйс + 4 <3&с + З&с - 2 ■ ^с {и2_31)

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Васильев, Николай Владимирович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получено новое решение научно-технической задачи механики деформируемого твердого тела, заключающееся в разработке математической модели и программного комплекса, ориентированных на решение задач по исследованию напряженно-деформированного состояния слоистых пластин, выполненных из анизотропных разносопротивляющихся материалов, с учетом больших перемещений. Получены решения для трехслойных пластин различной геометрической конфигурации, которыми подтверждено наличие известных фактов и обнаружены новые эффекты деформирования. В частности показано, что совместный учет поперечных сдвигов и явления разносопротивляемости оказывает существенное влияние на работу многослойных элементов конструкций, что свидетельствует о необходимости учета указанных неклассических свойств материала и конструкций при проведении расчетов любых видов.

2. В рамках методики нормированных пространств напряжений, предложенных в работах Н.М. Матченко, JI.А.Толоконникова и А.А.Трещева, на основе определяющих соотношений предложенных A.A. Трещевым, построена математическая модель для описания НДС слоистых пластин из анизотропных разносопротивляющихся материалов. Указанные определяющие соотношения исследованы на предмет соответствия экспериментальным данным. Проведены сравнения теоретических диаграмм деформирования для ряда известных моделей, в частности С.А. Амбарцумяна, P.M. Джонса - Д.А.Р. Нельсона с определяющими соотношения предложенными A.A. Трещевым и данными экспериментов. Показано, что принятые соотношения более точно описывают экспериментальные диаграммы деформирования, чем известные ранее модели.

3. Получены разрешающие уравнения для расчета НДС для круглой и прямоугольной трехслойных пластин из 2-х различных по своим физико-механическим свойствам материалов в условиях воздействия поперечной равномерно распределенной нагрузки.

4. Разработан алгоритм численного решения полученных систем дифференциальных уравнений на базе двухшагового метода последовательных возмущений параметров В.В. Петрова. Алгоритм реализован в виде программного комплекса в среде Ма1:1аЬ К2011а.

5. С использованием разработанного программного обеспечения решены следующие задачи по определению характеристик НДС:

- жестко защемленной по контуру и шарнирно опертой трехслойной квадратной пластины из ортотропных материалов: графита Аи-Б с внешними прокладками из стеклопластика под действием равномерно распределенной нагрузки, с учетом больших перемещений. Результаты расчета показали, что за счет учета эффекта разносопротивляемости и поперечных сдвигов удалось получить уточнение результатов, по сравнению с «классической теорией» и другими известными моделями в среднем до 25% для перемещений и углов поворота сечений и до 7 0% для максимальных напряжений;

- жестко защемленной по контуру и шарнирно опертой трехслойной круглой пластины из ортотропных материалов: графита АТО^-Б с внешними прокладками из стеклопластика по действием равномерно распределенной нагрузки, с учетом больших перемещений. Уточнение результатов составило, по сравнению с «классической теорией» и другими известными моделями в среднем до 20% для перемещений и углов поворота сечений и до 60% для максимальных напряжений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Как показывают экспериментальные данные, у многих конструкционных материалов деформационные свойства зависят от вида напряженного состояния.

Большинство известных определяющих соотношений для разносопротивляющихся материалов имеют ряд недостатков, не учитывающих важных особенностей их деформирования, либо они вносят существенные ограничения на характеристики материалов, либо с большой погрешностью аппроксимируют экспериментальные данные.

Решение задач теории механики анизотропных разносопротивляющихся сред требует применения достаточно универсальных и надежных определяющих соотношений, а также усовершенствования известных вариантов численного решения таких задач.

Полученные результаты указывают на то, что рассмотренные определяющие соотношения для материалов с неклассическими свойствами и специально ориентированные на их использование численные методы решения задач могут служить удовлетворительной основой для исследования эффекта разносопротивляемости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Васильев, Николай Владимирович, 2012 год

ЛИТЕРАТУРА

1.Александров А.Я., Брюккер Л.Э., Куршин Л.М., Прусаков А.П. Расчет трехслойных панелей. - М.: Оборонгиз, 19 60.

- 272 с.

2.Александров А.Я., Куршин Л.М. Многослойные пластинки и оболочки. - В кн.: Тр. VII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок. - М.: Наука, 1970. - с. 714-721.

3.Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. -М.: Наука, 1974. - 446 с.

4.Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. - М.: Наука, 1976. - 268 с.

5.Амбарцумян С. А. Разномодульная теория упругости. М.: Наука, 1982. - 320 с.

6.Амбарцумян O.A. Основные уравнения и соотношения раз-номодульной теории упругости анизотропного тела // Изв. АН СССР. МТТ. - 19 66. - №3. - с. 51 - 61.

7.Амбарцумян С.А., Хачатрян A.A. К разномодульной теории упругости // Инж. журнал МТТ. - 1966. - №6. - с. 64

- 67.

8.Амбарцумян С. А. Теория симметрично нагруженных, сла-бомоментных оболочек вращения, изготовленных из разно-модульных материалов // Инж. журнал МТТ. - 19 67. - №6.

- с. 33 - 46.

Э.Аркания 3. В., Трещев А. А. Изгиб пластин из материалов, обладающих анизотропией двоякого рода // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. - Тула: ТулГТУ, 1994. - с. 70 - 74.

10. Аркания З.В. О связи между напряжениями и деформациями в разномодульных анизотропных средах // Механика сплошных сред. - Тбилиси: ГПИ, 1984. - №9. - с. 86 -87 .

11. Аркания 3 . В . , Трещев A.A. Изгиб пластин из материалов, обладающих анизотропией двоякого рода // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. - Тула: Тул-ГТУ, 1994. - с. 70 - 74.

12. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач. -М.: Высшая школа, 197 4. - 200 с.

13. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т. 1. - М.: Наука, 1966. - 632 с.

14. Березин A.B., Строков В.И., Барабанов В.Н. Деформируемость и разрушение изотропных графитовых материалов // Конструкционные материалы на основе углерода. -М.: Металлургия, 1976.- Вып. 11. - с. 102-110.

15. Биргер И.А. Некоторые математические методы решения инженерных задач. - М.: Оборонгиз, 1956. - 151 с.

16. Болотин В. В. К теории слоистых плит. - Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1963. - №3. - с. 65 - 72.

17. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. - М.: Машиностроение, 1980. - 376 с.

18. Божанов П. В. Задачи пластического деформирования тонких пластинок из дилатирующих разносопротивляющихся материалов. Дисс. ... канд. техн. наук. Тула, 2002. - 233 с.

19. Божанов П.В., Трещев A.A. Пластический изгиб пластин из разносопротивляющегося материала // Сборник материалов всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: Тул-ГУ, 2001. - С. 61-62.

20. Бригадиров Г.В., Матченко Н.М. Вариант построения основных соотношений разномодульной теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ. - 1971. - №5. - с. 109 - 111.

21. Бригадиров Г.В., Логунов В.М., Толоконников Л.А. К изгибу пластин из разномодульных материалов // Технология машиностроения. - Тула: ТПИ, 1969. - Вып. 14. - с. 78 - 83.

22. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Расчет пластин. - Киев: Будивельник, 1970. - 435 с.

23. Васильев Н.В., Трещёв A.A., Теличко В.Г. Моделирование напряженно-деформированного состояния гибких слоистых пластин из анизотропных разносопротивляющихся материалов с учетом геометрической нелинейности // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 2. Проблемы специального машиностроения. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. -с. 541-547.

24. Васильев Н.В., Трещев A.A. Расчет напряженно-деформированного состояния трехслойной гибкой пластины из анизотропного разнсопротивляющегося материала с учетом больших прогибов // Строительная механика и расчет сооружений. Научно-технический журнал №6(239). М. : ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко, 2011. - с. 42-48.

25. Васильев Н.В., Трещёв A.A. Расчет напряженно-деформированного состояния трехслойной гибкой пластины

из анизотропных разносопротивляющихся материалов с учетом больших прогибов // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. - с. 179-188.

26. Васильев Н.В., Трещёв A.A. Напряженно-деформированное состояние гибких слоистых пластин из анизотропных, разносопротивляющихся материалов // IV-я молодежная научно-техническая конференция студентов Тульского государственного университета «Молодежные инновации»: сборник докладов. Часть 2 / под общей редакцией д-ра техн. наук, проф. Ядыкина Е.А. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. - с. 33-35.

27. Васильев Н.В., Трещёв A.A. К расчету гибких слоистых пластин из анизотропных, разносопротивляющихся материалов // Современные технологии в машиностроении: сборник статей XIV Международной научно-практиктической конференции. - Пенза: Приволжский Дом знаний, 2010. -с. 271-272.

28. Васильев Н.В., Трещёв A.A. Поперечный изгиб гибких трехслойных пластин из анизотропных разносопротивляющихся материалов с учетом геометрической нелинейности // Проблемы современного строительства: сборник статей международной научно-практической конференции. - Пенза: Приволжский Дом знаний, 2011. - с. 33-37.

29. Васильев Н.В. К расчету гибких слоистых пластин из анизотропных, разносопротивляющихся материалов // XII Международная научно-техническая конференция с заочным участием «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии», Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. - с. 5-6.

30. Васильев Н.В., Трещёв A.A. Расчет напряженно-деформированного состояния трехслойной гибкой пластины из анизотропных разносопротивляющихся материалов // Новые идеи нового века - 2012 : материалы двенадцатой международной научной конференции ФАД ТОГУ: в 2 т. / Тихоокеанский государственный университет. - Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2012. - Т. 2. - с. 148153 .

31. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. - М. : Стройиздат, 1977. - 160 с.

32. Гаврилов Д.А. Зависимости между напряжениями и деформациями для квазилинейного разномодульного тела // Проблемы прочности. - 1979. - №9. - с. 10 - 12.

33. Гаврилов Д.А. Определяющие уравнения для нелинейных тел неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию // Доклады АН УССР. - Серия А. Физико-математические и технические науки. - 1980. - №3. - с. 37 - 41.

34. Гольдман А.Я., Савельев Н.Ф., Смирнова В.И. Исследование механических свойств тканевых стеклопластиков при растяжении, сжатии нормально к плоскости армирования // Механика полимеров. - 1968. - №5. - с. 803 -809.

35. Гордеев Ю.С., Овчинников И.Г. Об аппроксимации диаграмм деформирования нелинейных разномодульных композитных материалов / СПИ. - Саратов, 1982. - 15 с. -Деп. в ВИНИТИ 04.08.82, №4279-82.

36. Деревянко Н.И. Свойства армированного полистирола при кратковременном растяжении, сжатии и изгибе // Механика полимеров. - 1968. - №6. - с. 1059 - 1064.

37. Дудченко A.A., Лурье С.А., Образцов И.Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки // Итоги науки и техники. Механика деформируемых твердых тел. М. : ВИНИТИ, 1983. - т. 15. - с. 3 - 68.

38. Ельчанинов П.Н., Климов М.И. Расчет круглых плит с учетом нелинейной разномодульности материала // Расчет строительных конструкций с учетом физической нелинейности материала на статические и динамические нагрузки. -Л.: ЛИСИ, 1984. - с. 42 - 47.

39. Ельчанинов П.Н., Климов М.И., Альбакасов А. И. О решении некоторых задач строительной механики с учетом нелинейной разномодульности материала // 2-я Всесоюзная конференция по нелинейной теории упругости: Тез. докл. - Фрунзе: ИЛИМ, 198 5. - с. 45 - 46.

40. Золочевский A.A. Определяющие уравнения и некоторые задачи разномодульной теории упругости анизотропных материалов // ПМТФ. - 1985. - №4. - с. 131 - 138.

41. Золочевский A.A. Соотношения разномодульной теории упругости анизотропных материалов на основе трех смешанных инвариантов // Динамика и прочность машин. -Харьков: Вища школа, 198 7. - Вып. 46. - с. 85 - 89.

42. Золочевский A.A. О соотношениях теории упругости анизотропных разномодульных материалов // Динамика и прочность машин. - Харьков: Вища школа. - 1981. - Вып. 34. - с. 3 - 8.

43. Золочевский A.A. К тензорной связи в теориях упругости и пластичности анизотропных композитных материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию // Механика композитных материалов. - 1985. - №1. - с. 53 -58 .

44. Золочевский A.A., Морачковский O.K. Направления развития моделей и методов расчета нелинейного деформирования тел и элементов машиностроительных конструкций // Динамика и прочность машин. - Харьков: Вища школа, 1989. - Вып. 50. - с. 3 - 9.

45. Исабекян Н.Г., Хачатрян A.A. К разномодульной теории упругости анизотропного тела при плоском напряженном состоянии // Изв. АН Арм. ССР. Механика. - 1969. -т. 22. - №5. - с. 25 - 34.

46. Калинка Ю.А., Боровикова С.М. Исследование физико-механических свойств хаотически наполненных стеклопластиков // Механика полимеров. - 1971. - №3. - с. 411 -415 .

47. Кобелев В.Н., Коварский JI.M., Тимофеев С.И. Расчет трехслойных конструкций. - М.: Машиностроение, 1984. -304 с.

48. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - М.: Наука, 1974. - 831 с.

49. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. - М.: Машиностроение, 1965. - 272 с.

50. Кузюшин Г.А. Изгиб пластин, армированных разносо-противляющимся материалом // Технология машиностроения. - Тула: ТПИ, 1970. - Вып. 20. - с. 46 - 52.

51. Ломакин Е.В. Соотношения теории упругости для анизотропного тела, деформационные характеристики которых зависят от вида напряженного состояния // Изв. АН СССР. МТТ. - 1983. - №3. - с. 63 - 69.

52. Ломакин Е.В. Нелинейная деформация материалов, сопротивление которых зависит от вида напряженного состояния // Изв. АН СССР. МТТ. - 1980. - №4 . - с. 92 -99.

53. Ломакин Е.В. Определяющие соотношения механики разномодульных тел. - М. - 1980. - 64 с. (Препринт ин-т пробл. механики АН СССР; - №159).

54. Ломакин Е.В. Разномодульность композитных материалов // Механика композитных материалов. - 1981. - №1. -с. 23 - 29.

55. Ломакин Е.В., Гаспарян Г.О. Поперечный изгиб разномодульных пластин // Механика композитных материалов. - 1984. - №1. - с. 67 - 73.

56. Макеев А.Ф. К расчету пластинок из нелинейно-упругого материала, разносопротивляющегося растяжению и сжатию // Механика деформируемых сред. - Саратов: СГУ,

1979. - с. 50 - 57.

57. Макеев А.Ф. Об изгибе пластинки из разносопротивляющегося нелинейно-упругого материала // Строительная механика пространственных конструкций. - Саратов: СПИ,

1980. - с. 79 - 86.

58. Макеев А.Ф., Овчинников И. Г. Изгиб пластинки из нелинейно-упругого материала, разносопротивляющегося растяжению и сжатию // Прикладная теория упругости. -Саратов: СПИ, 1979. - Вып. 2.-е. 115 - 122.

59. Макеев А.Ф., Овчинников И.Г. Петров В.В. Об изгибе прямоугольных пластинок из разносопротивляющегося деформированию и разрушению при растяжении и сжатии нелинейно-упругого материала/ СПИ. - Саратов, 1982. - 20 с.

- Деп. в ВИНИТИ 16.03.82, №1280-82.

60. Маркин A.A. Расчет круглой трехслойной пластины. В сб: «Работы по механике сплошных сред», Тула: ТПИ. 1975 .

61. Матченко Н.М., Трещев A.A. К решению разрешающих дифференциальных уравнений изгиба разномодульных пластин // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи.

- Тула: ТулПИ, 1985. - с. 95 - 102.

62. Матченко Н.М., Трещев A.A. Об изгибе кольцевой пластины, выполненной из разномодульного материала / ТулПИ. - Тула, 1984. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.11.84, №7213-84.

63. Матченко Н.М., Трещев A.A., Аруцев М.В. Некоторые осесимметричные задачи изгиба пластин, выполненных из материалов, механические характеристики которых зависят от вида напряженного состояния / ТулПИ. - Тула, 1984. -18 с. - Деп. в ВИНИТИ 31.01.84, №557-84.

64. Матченко Н.М., Трещев A.A. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Тонкие пластины и оболочки.- М.: Тула:РААСН; ТулГУ, 2005.-186 с.

65. Мкртчян P.E. Закон упругости для слоистого материала, разносопротивляющегося деформациям растяжения и сжатия // Механика полимеров. - 1978. - №2. - с. 199 -203.

66. Новожилов B.B. Теория упругости. - JI.: Судпромгиз, 1958. - 370 с.

67. Огибалов П.М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок. - М.: МГУ, 1958. - 389 с.

68. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Изд-во МГУ, 1969. - 695 с.

69. Охлопков H.JI., Акимов A.B., Зубчанинов В.Г. и др. Расчеты и испытания на прочность. Методы испытания стержней, пластин и оболочек на устойчивость за пределом упругости // Методические рекомендации Госстандарта СССР Р-54-314-91.-М: ВНШЭС, 1991. - 78 с.

70. Охлопков Н.Л., Акимов A.B., Лошкарев A.B. Экспериментальное исследование устойчивости круговых цилиндрических оболочек при сложном нагружении в пространстве деформаций // Актуальные проблемы теории пластичности и устойчивости. - Тверь: ТвеПИ, 1991.- с. 81-86.

71. Панферов В.М. О нелинейной теории упругости огнеупорных материалов // Избранные вопросы современной механики. - М.: Наука, 1982. - ч. 2. - с. 96 - 106.

72. Панферов В.М. Теория упругости и деформационная теория пластичности для тел с различными свойствами на сжатие, растяжение и кручение // Доклады АН СССР. 1968. - т. 180. - №1. - с. 41 - 44.

73. Пономарев Б.В. Изгиб прямоугольных пластин из нелинейно-упругих материалов, неодинаково работающих на растяжение и сжатие // Прикладная механика. - 1968. -т. 4. - Вып. 2. - с. 20 - 27.

74. Пономарев Б.В. Средний изгиб прямоугольных пластин из материалов, не следующих закону Гука // Сборник трудов МИСИ. - М. - 1967. - №54. - с. 75-82.

75. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов МАТ LAB 5.x: - В 2-х т. - М.: Диалог-МИФИ, 1999. -3 66 с.

76. Прусаков А.П. Основные уравнения изгиба и устойчивости трехслойных пластин легким заполнителем. - ПММ, 1951. - т.15. - Вып.1. - с. 27-36.

77. Розе A.B., Жигун И.Г., Душин М.Н. Трехармированные тканые материалы. - Механика полимеров, 1970. - №3. -с. 471 - 476.

78. Строков В.И., Барабанов В.Н. Методика исследования прочностных и деформационных свойств графита в условиях сложного напряженного состояния // Заводская лаборатория. - 1974. - №9. - с. 1141 - 1144.

79. Судакова И.А., Трещев A.A. Вариант повышения надежности и безопасности эксплуатации цилиндрической трехслойной оболочки // Энергосбережение, экология и безопасность. Международная научно-техническая конференция . - Тула: ТулГУ. - 1999. - с. 155-157.

80. Судакова И.А., Трещев A.A. Описание деформирования структурно анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния // Материалы 30-ой Всероссийской научно-технической конференции "Актуальные проблемы современного строительства" - Пенза: ПГАСА, 1999.- с. 114.

81. Судакова И.А., Трещев A.A. Исследование напряженно-деформированного состояния трехслойных плит, исполь-

зуемых для покрытий и перекрытий подземных сооружений при воздействии динамических нагрузок // Материалы Международной конференции "Проблемы освоения подземного пространства" - Тула: ТулГУ, 2000.- с.170-174.

82. Тамуров Н.Г., Туровцев Г.В. Вариант теории деформирования композитов и высокополимеров с различными упругими свойствами при растяжении и сжатии // Аннотации докладов 4-й Всесоюзной конференции по механике полимерных и композитных материалов. - Рига, 1980. - с. 89.

83. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. - М.: Физматгиз, 19 63. - 636 с.

84. Толоконников JI.A. Вариант разномодульной теории упругости // Механика полимеров. - 1969. - №2. - С. 3 63 - 365.

85. Толоконников J1.A. Вариант соотношений разномодуль-ной теории упругости // Прочность и пластичность. - М.: Наука, 1971. - С. 102 - 104.

86. Толоконников JI.A. Обобщение закона упругости // Технология машиностроения. - Тула: ТПИ, 1970. - Вып. 20. - С. 148 - 156.

87. Трещев A.A. Анизотропные пластины и оболочки из разносопротивляющихся материалов / A.A. Трещев // Москва - Тула: РААСН - ТулГУ. 2007. - 160с.

88. Трещев A.A. Поперечный изгиб прямоугольных пластин, выполненных из материалов, механические характеристики которых зависят от вида напряженного состояния // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1988. - № 1. - с. 25 - 29.

89. Трещев A.A. К расчету пластин из конструкционных графитов // Механика и прикладная математика. Труды Всесоюзной конференции "Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации". - Тула: Приокск. кн. изд-во, 1989. - с. 93-98.

90. Трещев A.A. Некоторые задачи изгиба пластин из разносопротивляющихся материалов.: Дис. ... канд. физ.-мат. наук / ТулПИ. - Тула, 1985. - 200 с.

91. Трещев A.A. О единственности решения задач теории упругости для анизотропных разносопротивляющихся сред / ТулПИ. - Тула, 1992. - 7 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.06.92, № 1887-В92.

92. Трещев A.A. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения / A.A. Трещев // Москва - Тула: РААСН - ТулГУ. 2008. - 264с.

93. Трещев A.A. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Тонкие пластины и оболочки / A.A. Трещев, Н.М. Матченко // Москва - Тула: РААСН - ТулГУ. 2005. - 186с.

94. Трещев A.A., Кудинов В.Н. К изгибу пластин из квазилинейных материалов / ТулПИ. - Тула, 1986. - 9 с. -Деп. в ВИНИТИ 18.06.86, № 4496-В86.

95. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. - М. - JI.: Физматгиз, 1963. - 743 с.

96. Фридман A.M., Ануфриев Ю.П., Барабанов В.Н. Исследование разрушения углеграфитовых материалов в условиях сложного напряженного состояния // Проблемы прочности. - 1973. - № 1. - с. 52 - 55.

97. Фридман A.M., Барабанов В.H., Ануфриев Ю.П., Строков В.И. Некоторые особенности методик исследования прочностных свойств графитов при плоском напряженном состоянии // Заводская лаборатория. - 1972. - №9. - с. 1137 - 1140.

98. Хачатрян А.А. Чистый изгиб прямоугольной пластинки, изготовленной из разномодульного материала // Изв. АН Арм. ССР. Механика. - 1972. - т. 25. - № 1. - с. 15

- 27.

99. Bert C.W. Models for Fibrous Composite with Different Properties in Tension and Compression // Transaction of the ASME. - 1977. - Vol. 99 H. - Ser. D. -№4. - P. 344 - 349.

100. Bert C.W., Reddy J.N., Sudhakar Reddy V., Chao W.C. Bending of Thick Rectanqular Plates Laminated of Bimodulus Composite Materials // AIAA Journal. - 1981.

- Vol. 19. - № 10. - P. 1342 - 1349.

101. Bert C.W., Gordaninejad F. Deflection of Thick Beams of Multimodular Materials // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1984. -Vol. 20. - P. 479 - 503.

102. Green A.E., Mkrtichian J.Z. Elastic Solids with Different Moduli in Tension and Compression // Journal of Elasticity. - 1977. - Vol. 7. - № 4. - P. 369 - 368.

103. Jones R.M. Modeling Nonlinear Deformation of Carbon-Carbon Composite Materials // AIAA Journal. - 1980.

- Vol. 18. - № 8. - P. 995 - 1001.

104. Jones R.M., Nelson D.A.R. Material for nonlinear Deformation // AIAA Journal. - 197 6. - Vol. 14. - №6. -P. 709 - 716.

105. Jones R.M., Nelson D.A.R. Theoretical-experimental correlation of material models for non-linear deformation of graphite // AIAA Journal. - 1976. - Vol. 14 -№10. - P. 1427 - 1435.

106. Jones R.M. Buckling of Stiffened Multilayered Circular Shells wiht Different Ortotropic Moduli in Ten-sione and Compression // AIAA Journal. - 1971. Vol.9. - №5. - P. 917 - 923.

107. Jones R.M. Stress-Strain Relations for Materials with Different Moduli in Tension and Compression // AIAA Journal. - 1977. - Vol. 15. - №1. - P. 16-25.

108. Jones R.M. A Nonsystemmetric Compliance Matrix Approach to Notlinear Multimodulus Ortotropic Materials // AIAA Journal. - 1977. - Vol. 15. - № 10. - P. 1436 -1443.

109. Jones R.M., Nelson D.A.R. Further Characteristics of a Nonlinear Material Model for ATJ-S Graphite // Jounal Composit Materials. - 1975. - Vol. 9. - №7. - P. 251 - 265.

110. Kamiya N. An energy method applied to large elastic deflection of a thin plate of bimodulus material // Journal Struct. Mech. - 1975. - Vol. 3. - № 3. - P. 317 - 329.

111. Kamiya N. A circular cylindrical shell with different elastic moduli in tension and compression //

Bulletin of the ISME. - 1975. - Vol. 18. - P. 1075 -1081.

112. Kamiya N. Large deflection of a different modulus circular plate // Trans. ASME. - 1975. - Vol. 97. -Ser. H. - P. 52 - 56.

113. Reddy J.N. A Penalty plate-bending element for the analysis of laminated anisotropic compisite plates // Int. J. num. Meth. Engng. - 1980. - Vol. 15. - P. 1187 - 1206.

114. Reddy L.N., Bert C.W. On the Behovior of Plates Laminated of Bimodulis Composite Materials // ZAMM. -1982. - Vol. 62. - №6. - P. 213 - 219.

115. Reddy J.N. An evaluation of equivalent - single-layer and layerwise theories of composite laminates // Composite Structures. - 1993. - Vol. 25. - P. 21-35.

116. Reddy J.N., Robbins D.H. Theories and computational models for composit laminates // Appl. Mech. Rev. -1994. - Vol. 47, №6, pt. 1. - P. 21-35.

117. Reissner E. On the equation for finite symmetrical deflections of thin shells of revolution. - Progress in Applied Mechanics. The Prager Anniversary Volume. 1963. - P. 171 - 178.

118. Reissner E. Reflection on the theory of elastic plates // Appl. Mech. Rev. - 1965.- Vol. 38, №11. -P. 1453-1464.

119. Tabaddor F. Constitutive Equations for Bimodulus Elastic Materials // AIAA Journal. - 1972. - Vol. 10. -№4. - P. 516 - 518.

120. Tabaddor F. Two-Dimenshional Bi-Linear Ortotrtpic Elastic Materials // Journal of Composite Materials. -1969. - Vol. 3. - Oct. - P. 725 - 727.

121. Whitney J.M. The effect of transverse shear deformation on the bending of laminated plates // J. Composite Materials. - 1969. - Vol. 3. - P. 534-547.