Определение динамических характеристик пластинок с комбинированными граничными условиями с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Сенин, Максим Андреевич

• Сенин, Максим Андреевич
• кандидат технических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат технических наук Сенин, Максим Андреевич

ВВЕДЕНИЕ.

1 КРАТКИЙ АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР РАБОТ ПО ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНОК. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

МЕТОДА ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ФОРМЫ.

1.1 Основные методы определения частот собственных колебаний пластинок.

1.1.1 Дифференциальное уравнение свободных колебаний пластинок.

1.1.2 Потенциальная энергия при свободных колебаниях пластинок.

1.1.3 Точные методы решения задач.

1.1.4 Вариационные методы решения задач.

1.1.5 Численные методы.

1.1.6 Геометрические методы.

1.2 Краткий исторический обзор работ по динамике пластинок.

1.2.1 Приближенные методы.

1.2.2 Геометрические методы.

1.3 Теоретические основы геометрических методов определения собственных частот колебаний пластинок.

1.3.1 Интегральная характеристика формы плоской области. Коэффициент формы.

1.3.2 Геометрические преобразования плоских областей.

1.3.3 Изопериметрический метод (ИЗПМ).

1.3.4 Метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ).

1.4 Основные недостатки геометрических методов и перспективы их развития.

1.5 Обоснование выбора темы исследования.

2 МЕТОД ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ФОРМЫ.

2.1 Функциональная связь между основной частотой колебаний пластинок и коэффициентом их формы.

2.2 Приведение некоторых известных решений к изопериметрическому виду.

2.3 Основные изопериметрические теоремы в задачах динамики пластинок.

2.4 Методика определения частот колебаний пластинок с однородными граничными условиями с помощью МИКФ.

2.4.1 Выбор геометрических преобразований.

2.4.2 Выбор опорных решений.

2.4.3 Построение аппроксимирующих граничных кривых со - Kf.

2.4.4 Выбор аппроксимирующих функций для решений, объединяющих ограниченное множество форм пластинок.

2.4.5 Методика решения конкретных задач.

2.4.6 Примеры расчета пластинок с однородными граничными условиями.

3 РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК С КОМБИНИРОВАННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ.

3.1 Треугольные пластинки.

3.1.1 Графическая интерпретация изменения коэффициента формы для треугольных пластинок при аффинных преобразованиях.

3.1.2 Изопериметрические теоремы.

3.1.3 Выбор аффинных преобразований.

3.1.4 Решения для треугольных пластинок с однородными граничными условиями, полученные в исследованиях А.В. Коробко и В.В. Гефеля.

3.1.5 Решения для треугольных пластинок с комбинированными граничными условиями, полученные в исследованиях А.В. Коробко и В.В. Гефеля.

3.1.6 Решения для треугольных пластинок с однородными граничными условиями.

3.1.7 Решения для треугольных пластинок с комбинированными граничными условиями.

3.2 Параллелограммные пластинки.

3.2.1 Графическая интерпретация изменения коэффициента формы для параллелограммных пластинок при аффинных преобразованиях.

3.2.2 Изопериметрические теоремы.

3.2.3 Решения для прямоугольных пластинок с однородными граничными условиями, полученные в исследованиях А.В. Коробко, Н.С. Малинкина и А.С. Муромского.

3.2.4 Решения для прямоугольных пластинок с однородными граничными условиями.

3.2.5 Решения для прямоугольных пластинок с комбинированными граничными условиями.

3.2.6 Решения для ромбических пластинок с однородными граничными условиями, полученные в исследованиях А.В. Коробко, Н.С. Малинкина и Н.С. Муромского.

3.2.7 Ромбические пластинки с однородными граничными условиями.

3.2.8 Ромбические пластинки с комбинированными граничными условиями.

3.2.9 Решения для параллелограммных пластинок с однородными граничными условиями, полученные в исследованиях А.В. Коробко, Н.С. Малинкина и А.С. Муромского.

3.3 Трапециевидные пластинки.

3.3.1 Коэффициент формы для трапеций.

3.3.2 Изопериметрические теоремы.

3.3.3 Методика и алгоритм использования МИКФ.

3.3.4 Примеры расчета трапециевидных пластинок.

3.3.5 Решения для трапециевидных пластинок с однородными граничными условиями, полученные в исследованиях А.В. Коробко.

3.4 Пластинки в форме правильных фигур.

3.4.1 Расчет пластинок в форме правильных фигур.

3.4.2 Расчет шарнирно опертых пластинок в форме правильных фигур.

3.4.3 Расчет жестко защемленных пластинок в форме правильных фигур.

3.4.4 Расчет пластинок в форме правильных фигур комбинированными граничными условиями.

3.5 Определение высших частот колебаний пластинок с помощью МИКФ.

3.5.1 Основные понятия.

3.5.2 Ромбические пластинки.

3.5.3 Параллелограммные пластинки.

3.5.4 Трапециевидные пластинки.

4 Разработка алгоритма и программного комплекса «Определение основной частоты колебаний четырехугольных и треугольных пластинок с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы».

4.1 Основные положения.

4.2 Разработка алгоритма.

4.3 Разработка программного комплекса.

4.3.1 Треугольные пластинки.

4.3.2 Прямоугольные пластинки.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Определение динамических характеристик пластинок с комбинированными граничными условиями с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы»

Актуальность темы. Проектирование современных зданий и сооружений связано с проведением всесторонних расчётов для оценки прочности, жёстког сти и устойчивости конструкций, находящихся под действием как статических, так и динамических нагрузок. Расчётные схемы несущих элементов строительных конструкций во многих случаях представляются в виде пластинок различной формы с различными граничными условиями. Расчёт пластинок сложного вида с комбинированными граничными условиями производится в основном численными методами с использованием специализированных программных комплексов.

Однако в настоящее время в строительной механике по-прежнему большое значение придается разработке и развитию простых аналитических приближенных методов, которые позволяют путем сравнительно несложных расчётов получать оценки интегральных физических параметров конструкций. С помощью таких методов удаётся установить аналитическую связь параметров прочности, жесткости и устойчивости от отдельных геометрических характеристик конструкций и физико-механических свойств материала. Это способствует более правильному представлению о силовых схемах в исследуемых конструкциях.

Одним из таких эффективных инженерных методов решения двумерных задач строительной механики является метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ), теоретические и методологические основы которого были разработаны д.т.н., профессором А.В. Коробко. В этом методе используется приём геометрического моделирования формы плоских областей и исследования поведения интегральных физических характеристик при различных геометрических преобразованиях в зависимости от изменения интегральной геометрической характеристики формы области (коэффициента формы Kf), которая является геометрическим аналогом интегральных физических характеристик. Благодаря установленной аналогии сложные физические задачи теории упругости, описываемые дифференциальными уравнениями эллиптического типа второго и четвёртого порядков, сводятся к решению простой геометрической задачи.

МИКФ достаточно хорошо разработан для решения задач с однородными граничными условиями, а в отношении задач с комбинированными граничными условиями даны лишь рекомендации по его развитию.

Цель диссертационной работы состоит в развитии и совершенствовании метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) применительно к решению задач свободных колебаний упругих косоугольных пластинок с комбинированными граничными условиями.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- используя метод конечных элементов, определить значения частотных параметров для пластинок в виде равнобедренных треугольников, правильных фигур, прямоугольников и ромбов со всевозможными комбинациями граничных условий шарнирного опирания и жесткого защемления и построить аппроксимирующие функции для характерных кривых, ограничивающих множество значений этого параметра, в координатных осях «основная частота колебаний пластинок - геометрическая характеристика» (со - Г);

- провести тестирование МИКФ на примерах решения задач для пластинок в виде параллелограммов и трапеций;

- предложить рациональные виды геометрических преобразований параллелограммов и трапеций для нахождения «опорных» решений, расположенных на граничных кривых;

- разработать методику определения высших частот колебаний с помощью МИКФ;

- разработать методику, алгоритм и программный комплекс для решения конструкторских задач, связанных с определением основной частоты колебаний пластинок в виде произвольных треугольников, четырёхугольников (в том числе параллелограммов, трапеций) и правильных фигур.

Методыисследования. В процессе исследования; геометрической^ стороны ^проблемы использовались методы геометрического подобия--плоских-фигур при проведении комбинированных аффинных преобразований.

При исследовании физической стороны проблемы применялись методы физико-механического подобия, метод конечных элементов, геометрические методы строительной механики (МИКФ и изолериметрический).

Научную новизну диссертации составляют следующие результаты:

- доказательство ограниченности всего множества значений частотного параметра, представленного в координатных осях со — Kf для пластинок в виде, треугольников и четырёхугольников с комбинированными граничными условиями;

- аппроксймирующие функции со — Kf, ограничивающие область: возможного распределения? частотного параметра; для пластинок в виде; произвольных треугольников и четырёхугольников со всеми возможными комбинациями, шарнирного опирания: и жесткого защемления, их сторон," которые могут использоваться для получения «опорных» решений при исследовании задач свободных колебаний пластинок;

- методика определения'высших частот колебаний с помощью МИКФ;

- методика, алгоритм и программный комплекс для определения основного тона колебаний пластинок в виде треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур с помощью.МИКФ.

Практическая ценность работы заключается:

- в графической интерпретации результатов исследования: геометрической и физической сторон задач по определению, основного:тона колебаний пластинок в виде треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур с различными граничными условиями, позволяющей наглядно оценивать как качественную, так и количественную стороны решаемых задач;

- в разработке практических приемов применения МИКФ для определения основных и высших частот собственных колебаний таких пластинок;

- в разработке программного комплекса для решения конструкторских задач по определению основного тона колебаний пластинок в виде треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур с различными граничными условиями с помощью МИКФ.

Достоверность полученных в работе результатов подтверждается использованием фундаментальных принципов и методов строительной механики и теории упругости, их сопоставлением с известными решениями аналогичных задач, полученными другими исследователями, приводимыми в научной и учебной литературе и решением большого количества тестовых задач.

На защиту выносятся:

- доказательство двухсторонней ограниченности всего множества значений основной частоты колебаний пластинок в виде треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур с различными граничными условиями, представленного в координатных осях со - Kf;

- аппроксимирующие функции co(Kf), ограничивающие область распределения всего множества значений основной частоты колебаний треугольных и четырёхугольных пластинок с различными комбинированными граничными условиями;

- методика определения высших частот колебаний косоугольных пластинок с однородными граничными условиями;

- методика, алгоритм и программный комплекс для решения конструкторских задач по определению основной частоты колебаний пластинок в виде треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур с различными граничными условиями с помощью МИКФ.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: Международной научно-практической конференции «Повышение качества среды жизнедеятельности города и сельских поселений архитектурно - строительными средствами» (Орел, 2005), Международной научно-практической конференции «Прогрессивные архитектурно-строительные решения промышленных и сельскохозяйственных предприятий»

Орел, 2006), Международной научно-практической конференции «Основные тенденции развития архитектурно-строительного комплекса XXI века» (Орел, 2007), Международной научно-практической конференции «Основные проблемы архитектуры и строительства в XXI веке» (Орел, 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ, в том числе 2 статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов по кандидатским диссертациям.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных выводов списка литературы, включающего 125 наименования, и четырех приложений. Работа изложена на 207 страницах, включая 89 рисунков и 33 таблицы.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Сенин, Максим Андреевич

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Обобщая результаты проведенных исследований, можно сформулировать следующие выводы.

Метод интерполяции по коэффициенту формы получил существенное развитие для решения задач по определению частот свободных колебаний пластинок в форме треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур.

1. Теоретически численными расчётами подтверждена функциональная связь ю - Kf для пластинок в форме треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур при различных комбинациях граничных условий шарнирного опирания и жёсткого защемления. Анализ полученных зависимостей co(Kf) показал, что основная частота колебаний обладает изопериметрическими свойствами и а все множество значений частоты для четырёхугольных и треугольных пластинок ограничено с двух сторон, как и для пластинок с однородными граничными условиями.

2. Методом конечных элементов с использованием программного комплекса «Лира» определены основные частоты колебаний пластинок с различными комбинациями граничных условий шарнирного опирания и жесткого защемления:

- пластинок в виде равнобедренных треугольников с четырьмя комбинациями граничных условий;

- прямоугольных пластинок с семью комбинациями граничных условий;

- ромбических пластинок с пятью комбинациями граничных условий;

Для каждого вида пластинок и граничных условий решено не менее 15 задач при различных плановых размерах пластинок.

3. На основе полученных решений построены аппроксимирующие функции, которые представляют собой граничные кривые, ограничивающее возможное множество основных частот колебаний пластинок виде произвольного треугольника и четырехугольника со всевозможными комбинациями граничных условий по их сторонам.

4. Методика указанных задач с помощью МИКФ протестирована на многочисленных примерах и показала хорошую сходимость результатов.

5. Разработана методика определения высших частот колебаний пластинок с использованием приема построения граничных кривых с помощью МИКФ по трём известным решениям. Тестовые примеры показали удовлетворительные результаты, однако с ростом порядка частоты колебаний погрешность существенно возрастает.

6. Разработаны методика, алгоритм и программный комплекс для решения исследовательских и конструкторских задач, связанных с определением основного тона колебаний пластинок в виде треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур с однородными и комбинированными граничными условиями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Сенин, Максим Андреевич, 2009 год

1. Абдукаримов, Р.А. Влияние на низшие частоты собственных колебаний косоугольных многосвязных пластин внешних условий. Современные проблемы алгоритмизации: Сб. тез. докл Текст. / Р.А. Абдукаримов, И.Н. Преображенский. Ташкент: АН УзССР, 1991. - С. 128.

2. Авдонин, А.С. Расчёт на прочность летательных аппаратов Текст. / А.С. Авдонин, В.И. Фигуровский. -М.: Машиностроение, 1985- 439с.

3. Александров, А.В. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ: В двух частях Текст. / А.В. Александров, Б .Я. Лащенников, Н.Н. Шапошников. М.: Стройиздат, 1976.

4. Александров, А.В. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. для строит, спец. вузов Текст. / А.В. Александров, В.Д. Потапов. М.: Высшая школа, 1990. - 400 с.

5. Ахмедиев, С.К. Прочность, устойчивость и колебания треугольных пластин. Дис. конд. техн. наук Текст. / С.К. Ахмедиев. Караганда, 1982.

6. Безухов, Н.И. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач Текст. / Н.И. Безухов, О.В. Лужин. М.: Высшая школа, 1974. - 200 с.

7. Безухов, Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести Текст. / Н.И. Безухов. М.: Высшая школа, 1968. - 532 с.

8. Болотин, В.В. Строительная механика: Современное состояние и перспективы развития Текст. /В.В. Болотин, И.И. Гольденблат, А.Ф Смирнов. -М.: Стройиздат, 1972. 191 с.

9. Боровский, П.В. Исследование прочности косоугольных пластин: Автореферат диссертации канд. тех. наук Текст. / П.В. Боровский. -Киев, 1956.-20 с.

10. Бояркина, С.В. Интегральная характеристика формы геометрических фигур в задачах строительной механики Текст. /С.В. Бояркина, И.Б. Дробин, А.В Коробко. Изв. вузов. Строительство. 1994. - №4. - С. 100-104.

11. Бояршинов, С.В. Основы строительной механики машин Текст. /С.В. Бояршинов. -М.: Машиностроение, 1973. -456 с.

12. Бурчаков, Ю.И. Строительная механика Текст. / Ю.И. Бурчаков, В.Е. Гнедин, В.М. Денисов. М.: Изд-во «Высшая школа», 1983. - 456 с.

13. Вайнберг, Д.В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин Текст. / Д.В. Вайнберг. Киев: Буд1вельник, 1973. - 448 с.

14. Варданян, Г.С. Применение теории подобия и анализа размерностей к моделированию задач механики деформируемого твердого тела Текст. / Г.С. Варданян. М.: Изд-во МИСИ, 1980. - 103 с.

15. Вибрации в технике: Справочник Текст., — М.: Машиностроение, 1978. -Т.1.-352 с.

16. Гонткевич, B.C. Собственные колебания пластинок и оболочек: Справочное пособие Текст. / B.C. Гонткевич. Киев: Наукова думка, 1964.-282 с.

17. Григолюк, Э.И. Неклассические теории колебаний стержней пластин и оболочек Текст. / Э.И. Григолюк, И.Т. Селезов. М.: ВИНИТИ, 1973. - 272 с.

18. Гухман, A.JI. Введение в теорию подобия Текст. / A.JI. Гухман. М.: Высшая школа, 1963. - 254 с.

19. Дарков, А.В. Строительная механика: учебник для строит, спец. вузов.-8-е изд., перераб и доп. Текст. / А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. М.: Высш. шк., 1986. - 607 с.

20. Зуев, Е.А. Язык программирования Turbo Pascal 6.0. Текст. / Е.А. Зуев. -М, Унитех, 1992. 298 с.

21. Кириллов, B.C. Теория расчёта косоугольных плит, опёртых по контуру: Труды Московского автомоб. инст. Вып. 21 Текст. / B.C.

22. Кириллов.-М, 1957.-С. 111-127.

23. Киселев, В.А. Строительная механика: Общий курс Текст. / В.А. Киселев. -М.: Строциздат, 1964. 616 с.

24. Киселев, В.А. Строительная механика: Специальный курс Текст. / В.А. Киселев. М.: Стройиздат, 1986. - 520 с.

25. Клейн, Г.К. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики Текст. / Г.К. Клейн, Н.Н. Леонтьев, М.Г. Ванюшенков и др. М,. 1980.

26. Клячко, С.Д. Об аффинности решения задач теории упругости: Тр. НИИЖТа. Строительная механика Текст. / С.Д. Клячко. -Новосибирск. Вып. 62. - 1967. - С. 63-76.

27. Колесник, И.А. Метод физико-геометрической аналогии в строительной механике: Моделирование и оптимизация сложных механических систем Текст. / И.А. Колесник, А.В. Коробко. Киев: Институт кибернетики АН Украины. - 1993. - С. 32-37.

28. Колесник, И. А. Определение основной частоты колебаний параллелограммных пластинок методом физико-геометрической аналогии: Сопротивление материалов и теория сооружений Текст. / И.А. Колесник, А.В. Коробко. -Киев. 1993. -№ 61. - С. 40-46.

29. Колесник, И.А. Определение физико-механических характеристик параллелограммных пластинок, мембран, сечений: Сопротивление материалов и теория сооружений Текст. / И.А. Колесник, А.В. Коробко. -Киев. 1991.-№60.-С. 38-45.

30. Колманок, А.С. Расчёт пластинок: Справочное пособие Текст. / А.С. Колманок. Госстройиздат, 1959. -292 с.

31. Коренев, Б.Г. Метод компенсирующих нагрузок в приложениях к задачам о равновесии, колебаниях и устойчивости плит и мембран: МПП Текст. / Б.Г. Коренев. 1940. - Вып. 5-6. - Т.4. - С. 61-72.

32. Коробко, А.В. Применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению некоторых задач строительной механики: Сб. научных трудов ученых Орловской области Текст. / А.В. Коробко. -Орел, 1996.-Вып. 2.-С. 114-122.

33. Коробко, А.В. Свободные колебания пластинок с комбинированными граничными условиями: Сб. докладов и материалов II научно-технической конференции "Вибрационные машины и технологии" Текст. / А.В. Коробко. Курск, 1995. - С. 30-33.

34. Коробко, А.В. Геометрическое моделирование формы области в задачах теории упругости Текст. / А.В. Коробко. М.: Изд-во АСВ стран СНГ, 1999.-320 с.

35. Коробко, А.В. Метод интерполяции по коэффициенту формы в механике деформируемого твёрдого тела Текст. / А.В. Коробко. -Ставрополь: Издательство Ставропольского университета, 1995 165 с.

36. Коробко, А.В. Расчет параллелограммных пластинок с использованием аффинных преобразований и приема интерполяции по их площади Текст. / А.В. Коробко. Изв. вузов. Строительство. 2001. - № 11. - С. 92-97.

37. Коробко, А.В. Расчёт трапециевидных пластин (мембран, сечений) методом интерполяции по коэффициенту формы Текст. / А.В. Коробко. Изв. вузов. Авиационная техника. 1997. - № 2. - С. 103— 107.

38. Коробко, А.В. Решение задач строительной механики методом интерполяции по коэффициенту формы Текст. / А.В. Коробко. Изв. вузов. Авиационная техника. 1995. -№ 3. - С. 81-84.

39. Коробко А.В. Решение задач строительной механики, связанных с фигурами в виде правильных многоугольников Текст. / А.В. Коробко. Изв. вузов. Строительство. 1995. -N 47 - С. 114-119.

40. Коробко, А.В. Оценка погрешности решений задач строительной механики, полученных методом интерполяции по коэффициентуформы: Сб. научных трудов ученых Орловской области Текст. / А.В. Коробко, В.В. Бояркин. Орел, 1996. - Вып. 2. - С. 65-69.

41. Коробко, А.В. Расчёт прямоугольных пластинок с произвольными граничными условиями Текст. / А.В. Коробко, С.Н. Мисун. Известия вузов. Строительство. -2001. -№ 12.-С. 112-115.

42. Коробко, А.В. Взаимосвязь интегральных характеристик в двумерных задачах механики деформируемого твёрдого тела Текст. / А.В. Коробко, А.Н. Хусточкин. Орёл: ОГСХА, 1998. - 22 с. Деп. В ВИНИТИ 19.03.98, № 795-В98.

43. Коробко, А.В. Расчёт параллелограммных пластинок изопериметрическим методом Текст. / А.В. Коробко, А.Н. Хусточкин. Изв. вузов. Авиационная техника. — 1992. №1. — С. 105—114.

44. Коробко, В.И. Геометрические преобразования при решении задач строительной механики пластинок Текст. / В.И. Коробко. Изв. вузов. Строительство и архитектура. — 1983.- №1.— С. 36-39.

45. Коробко, В.И. Закономерности золотой пропорции в строительной механике Текст. /В.И. Коробко. Ставрополь: Ставроп. политехи, инт, 1991.- 112 с.

46. Коробко, В.И. Изопериметрические неравенства в строительной механике пластинок Текст. / В.И. Коробко. — М.: Стройиздат, 1992. -208 с.

47. Коробко, В.И. Изопериметрический метод в строительной механике: в 3 т. Теоретические основы изопериметрического метода Текст. / В.И. Коробко. М.: Изд-во АСВ стран СНГ, 1997. - Т. 1. - 390 с.

48. Коробко, В.И. Об одном способе решения плоской задачи теории упругости: Исследования облегченных строительных конструкций Текст. / В.И. Коробко. -Хабаровск: ХПИ.- 1977.- С. 15-20.

49. Коробко, В.И. Основные изопериметрические неравенства в технической теории упругих пластинок: Строит, механ. и расчёт сооружений Текст. / В.И. Коробко. — 1986. №6. — С. 47-51.

50. Коробко, В.И. Применение изопериметрического метода к решению задач технической теории пластинок Текст. / В.И. Коробко. -Хабаровск: ХабКНИИ ДВНЦ АН СССР. 1978. - 66 с.

51. Коробко, В.И. Применение изопериметрического метода к решению некоторых задач строительной механики пластинок: Строит, механ. и расчёт сооружений Текст. / В.И. Коробко. 1979. - №4. - С. 21-23.

52. Коробко, В.И. Развитие и применение изопериметрического метода к решению задач строительной механики пластинок. — Дис. доктора техн. Наук Текст. / В.И. Коробко. Хабаровск, 1982. - 242 с.

53. Коробко, В.И. Состояние и перспективы развития изопериметрического метода в строительной механике Текст. / В.И. Коробко. Изв. вузов. Строительство. 1993. - №11-12. - С. 125-135.

54. Коробко, В.И. Свободные колебания ромбических пластинок на упругом основании: Вычисл. мех. и моделир. работы конструкций и сооружений. Рост-на-Д гос. акад. стр-ва Текст. / В.И. Коробко, В.В. Ковалёв. Ростов-на-Дону, 1992. - С. 53-56.

55. Коротеев, Г.И. Оптимальное проектирование пластин Текст. / Г.И. Коротеев. И зв. в узов. Строительство и архитектура-1979 — №7- С. 34-38.

56. Лукин, С.Н. Турбо-Паскаль 7.0. Самоучитель для школьников, студентов и начинающих Текст. / С.Н. Лукин. М., 1999.

57. Малинкин, Н.С. Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к расчёту параллелограммных пластинок: Дисс. канд. техн. Наук Текст. / Н.С. Малинкин Орёл, 2003. - 194 с.

58. Мануйлов, Г.А. Оценки решений для четырехугольных пластин на основе некоторых геометрических преобразований: Численные решения задач строительной механики транспортных сооружений Текст. / Г.А. Мануйлов. М., 1986. - С. 63-70.

59. Мануйлов, Г.А. Геометрические оценки основной частоты шарнирно опёртых полигональных пластин и пологих сферических оболочек: Инженерные проблемы прикладной механики Текст. / Г.А. Мануйлов. -М.: 1987.-С. 87-94.

60. Мануйлов, Г.А. О построении геометрических оценок решений для защемлённых изотропных пластин: Научно-технические проблемы судостроения и судоремонта Текст. / Г.А. Мануйлов. — М., 1988. С. 45-50.

61. Мануйлов, Г.А. Оценки критической нагрузки и основной частоты колебаний некоторых пластин полигонального очертания: Проблемы устойчивости и предельной несущей способности конструкций Текст. / Г.А. Мануйлов. Л.: ЛИСИ. - 1983. - С. 59-67.

62. Масленников, A.M. Расчет строительных конструкций численными методами Текст. / A.M. Масленников. Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. - 225 е.- М.: Изд-во АН СССР, 1966. - 707 с.

63. Митчелл, Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными Текст. / Э. Митчелл, Р. Уэйт. М.: Мир, 1981.-216 с.

64. Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике Текст./

65. С.Г. Михлин. М.: Гостехиздат, 1970. - 512 с.

66. Монахенко, Д.В. Предельная теорема аффинности и ее применение при моделировании задач строительной механики: Исследования по строительной механике Текст. / Д.В. Монахенко. JL: Изд—во ЛИИЖТа, 1968.-С. 173-179.

67. Муромский, А.С. Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач колебаний упругих пластинок: Дисс. канд. техн. Наук Текст. / А.С. Муромский Орёл, 2001. - 200 с.

68. Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости Текст. / Н.И. Мусхелишвили /- М.: Изд-во ATI СССР, 1966.-707 с.

69. Огибалов, П.М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок Текст. / П.М. Огибалов. М.: Изд-во МГУ, 1958. - 389 с.

70. Огибалов, П.М. Оболочки и пластинки Текст. / П.М. Огибалов, М.А. Колтунов. М.: Изд-во МГУ, 1969. 695 с.

71. Пастушихин, В.Н. Устойчивость упругих тонких пластинок с параллелограммным контуром Текст. / В.Н. Пастушихин. Изв. вузов. Строительство и архитектура. — 1966. №4.

72. Перминов, О.Е. Программирование на языке Паскаль Текст. / О.Е. Перминов. М, Радио и связь, 1988 год. - 220 с.

73. Пискунов, В.Г. Определение частот собственных колебаний треугольных и трапецеидальных пластинок Текст. / В.Г. Пискунов. Изв. вузов. Строительство и архитектура. — 1965. — № 9. С. 58-62.

74. Пискунов, В.Г. К задаче о колебаниях и устойчивости параллелограммных пластинок и мембран: Прикладная механика Текст. / В.Г. Пискунов. -Киев, 1965. Т.1. - Вып. 3. - С. 67-71.

75. Пискунов, В.Г. Частоты собственных колебаний ромбических пластинок при смешанных граничных условиях Текст. / В.Г. Пискунов. Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1969. - № 4. - С. 44-46.

76. Полна, Г. Изопериметрические неравенства в математической физике Текст. / Г. Полиа, Г. Cere. -М.: Госматиздат, 1962. 336 с.

77. Поляков, Д.Б. Программирование в среде Турбо Паскаль (версия 5.5) Текст. / Д.Б. Поляков, И.Ю. Круглов. М.: Издательство МАИ, 1992 год. 576 с.

78. Пригоровский, Р.И. Методы и средства определения полей деформации и напряжений Текст. / Р.И. Пригоровский. М.: Машиностроение, 1983.-248 с.

79. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник в трёх томах Текст. -М.: Машиностроение, 1968. Т.1. - 831 е.; Т.2.-463 е.; Т.З.

80. Рабинович, И.М. Курс строительной механики Текст. / И.М. Рабинович. M.-JL: Стройиздат, 1950. 388 с.

81. Расчёты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник Текст. -М.: Машиностроение, 1989. 520 с.

82. Ржаницын, А.Р. Строительная механика: Учеб. пособие для вузов Текст. / А.Р. Ржаницын М.: Высш. школа, 1982. - 400 с.

83. Самарский, А.А. Разностные уравнения для эллиптических уравнений Текст. / А.А. Самарский, В.В. Андреев. М.: Наука, 1976. - 352 с.

84. Саргсян, А.Е. Строительная механика: Основы теории с примерами расчетов Текст. / А.Е. Саргсян, А.Т. Демченко, Н.В. Дворянчиков, Г.А. Джинчвелашвили. — М.: Изд-во «Высшая школа», 2000. 416 с.

85. Саченков, А.В. Определение частот свободных колебаний пологих сферических оболочек и плоских пластин на основании мембранной аналогии: Прикладная механика Текст. / А.В. Саченков. — 1965, — Т.1. -Вып. 1.-С. 104- 108.

86. Снитко, Н.К. Строительная механика Текст. / Н.К. Снитко. М.: Изд-во «Высшая школа», 1972. - 488 с.

87. Справочник по теории упругости Текст. — Киев.: Буд1вельник, 1974. -419 с.

88. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественныхзданий и сооружений. Расчётно-теоретический Текст. М.: Стройиздат, 1973. -Т 1— 416 с.

89. Суслов, В.П. Строительная механика корабля и основы теории упругости Текст. / В.П. Суслов, Ю.П. Кочанов, В.Н. Спихтаренко. -JL: Судостроение, 1972. -720 с.

90. Текстейра, С. Delphi5. Руководство разработчика, -Т. 1. Основные методы и технологии программирования: Пер. с англ.: Уч. Пос. Текст./ С. Текстейра, К. Пачеко. — М.: Издательский дом «Вильяме», 2000 — 832 с.

91. Тимошенко, С.П. Колебания в инженерном деле Текст. / С.П. Тимошенко. М.: Физматгиз, 1959. - 439 с.

92. Тимошенко, С.П. Пластинки и оболочки деле Текст. /С.П. Тимошенко, С. Войновский—Кригер . М.: Наука, 1966. — 636 с.

93. Фаронов, В.В. Основы Турбо-Паскаля (6.0) Текст. / В.В. Фаронов. -М, МВТУ-ФЕСТО ДИДАКТИК, 1992. 304 с.

94. Феофанов, А.Ф. Строительная механика авиационных конструкций Текст. / А.Ф. Феофанов. -М.: Машиностроение, 1964. 136 с.

95. Филиппов, А.П. Колебания механических систем Текст./А.П. Филиппов. Киев: Наукова думка, 1965. - 716 с.

96. Шаповалов, J1.A. Моделирование в задачах механики элементов конструкций Текст. / J1.A. Шаповалов. — М.: Машиностроение, 1990. -288 с.

97. Яглом, И.М. Выпуклые фигуры Текст. / И.М. Яглом, В.Г. Болтянский. M.-JL: Гостехиздат, 1951.-344 с.

98. Claassen, R.W. Vibrations of skew contilever plates Text. / R.W. Claassen. AIAA Journal, 1963. №5. - P. 12-22.

99. Hadid, H.A. Free vibration of beams and oblique panels by spline-integral method Text. / H.A. Hadid, M.H.M. Bashir. J. Sound and Vibr, 1996. -№1. P. 3-1

100. Hosokawa, K. Free vibrations of clamped symmetrically laminated skewplates Text. / К. Hosokawa, Y. Terad, T. Sakata. J. Sound and Vibr, 1996. -№4, P. 525-533.

101. Huang, C.S. Accurate vibration analysis of simply supported rhombic plates by considering stress singularities Text. /C.S. Huang, O.G. McGee,

102. A.W. Liessa, J.W Kim. Trans. ASME. J. Vibr. and Acoust, 1995. №3. - P. 245-251.

103. Kuttler, J.R. Comment on "Flexural vibration of skew plates using boundary characteristic polynomials in two variables" , Text. / J.R Kuttler, B. Singh, S. Chakraverty . J. Sound and Vibr, 1996. №3. - P. 461-462.

104. Liang, S., Chen, W. Kantorovich solution for the free vibration of a parallelogram thin plate Text. / S.Liang, W. Chen . J. Huarhong (Cent. China) Uviv. Sci. and Technol, 1990. №5. - P. 42-49.

105. Liew, K.M. Vibration characteristics of simply supported thick skew plates in three-dimensional setting Text. / K.M. Liew, K.C. Hung, M.K Lim. Trans. ASME. J. Appl. Mech, 1995. №4. - P. 880-886.

106. Liew, K.M. Vibration analysis of arbitrary quadrilateral unsymmetrically laminated thick plates Text. / K.M. Liew, W. Karunasena, S. Kitipornchai, C.C. Chen. AIAA Journal, 1997.-№7.-P. 1251-1253.

107. McGee, O.G. Natural vibrations of shear deformable cantilevered skew thick plates Text. / O.G. McGee, T.S. Butalia. J. Sound and Vibr, 1994. №3.

108. Quatu, M.S. Vibrations of laminated composite completely free triangular and trapezoidal plates Text. / M.S. Quatu. Int. J. Mech. Sci, 1994. № 9. -P. 797.

109. Sakata, T. Approximation formulae for natural frequencies of simply supported skew plates Text. / T. Sakata. Institute Japan Mechanics Science, 1981. -№ 11. -p. 677-685.

110. Singh, B. Flexural vibration of skew plates using boundary characteristic orthogonal polynomials in two variables Text. / B. Singh, S. Chakraverty. Journal of Sound and Vibration, 1994. №2. - P. 157-178.

111. Wang, X. Buckling and vibration analysis of skew plates by the differentialquadrature method Text. / X.Wang, A.G. Striz, C.W Bert. AIAA Journal, 1994.-№4. -P. 886-889.

112. Xiang, Y. Vibration of stiffened skew Mindlin plates Text. / Y. Xiang, S. Kitipornchai, K.M. Liew. Actamech, 1995.-№ 1—4.-P. 11-28.

113. Xiang, Y. Flexural vibration of skew Mindlin plates with oblique integral line supports Text. /Y. Xiang, S. Kitipornchai, K.M. Liew, C.M. Wang. J. Sound and Vibr, 1994. -№ 4. P. 535-551.

114. Xiang, Y. Flexural vibration of skew Mindlin plates with oblique internal line supports supports Text. / Y. Xiang, S. Kitipornchai, K.M. Liew, C.M. Wang. Res. Rept. Univ. Queensl. Dep. Civ. Eng, 1992.- № 139. pt. I -IV.