Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач поперечного изгиба упругих ортотропных пластинок тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат наук Савин, Сергей Юрьевич

• Савин, Сергей Юрьевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Савин, Сергей Юрьевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1 КРАТКИЙ ОБЗОР МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК

1.1 Прямые методы решения задач технической теории пластинок

1.2 Приближенные аналитические методы

1.2.1 Метод Я - функций

1.2.2 Вариационно-асимптотические методы

1.3 Численные методы

1.4 Геометрические методы

1.5 Основные выводы по главе

2 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МИКФ

2.1 Коэффициент формы области в задачах технической теории пластинок

2.1.1 Треугольники

2.1.2 Параллелограммы

2.1.3 Трапеции

2.1.4 Эллипсы

2.1.5 Графическое представление границ изменения коэффициента

формы для всего множества выпуклых фигур

2.2 Функциональная связь максимального прогиба с коэффициентом формы в задачах поперечного изгиба упругих изотропных пластин

2.3 Метод интерполяции по коэффициенту формы

2.3.1 Графическое представление решений задач поперечного изгиба пластинок в зависимости от коэффициента формы

2.3.2 Сущность метода интерполяции по коэффициенту формы

2.3.3 Аппроксимирующие функции

2.4 Применение МИКФ к решению задач поперечного изгиба

упругих ортотропных пластинок

2.5 Построение границ изменения значений максимальных

прогибов

2.5.1 Пластинки в виде треугольников

2.5.2 Прямоугольные пластинки

2.5.3 Ромбические пластинки

2.5.4 Пластинки в виде правильных многоугольников

2-5.5 Эллиптические пластинки

2.6 Методика реализации МИКФ при расчете упругих ортотропных пластинок

2.7 Применение МИКФ к решению задач поперечного изгиба упругих ортотропных пластинок

2.7.1 Расчет пластинок в виде треугольников произвольного очертания

2.7.2 Расчет параллелограммных пластинок

2.7.3 Расчет пластинок в виде трапеций

2.7.4 Расчет пластинок сложного очертания

3 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИЗГИБА УПРУГИХ

ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИНОК С ПОМОЩЬЮ МИКФ. РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

3.1 Примеры решения задач изгиба упругих ортотропных пластинок

с помощью МИКФ

3.1.1 Пластинки в виде произволного треугольника

3.1.2 Параллелограммные пластинки

3.1.3 Равнобочные трапеции

3.2 Экспериментальные исследования поперечного изгиба и свободных колебаний упругих ортотропных пластинок

3.2.1 Объект экспериментального исследования

3.2.2 Стенд для статического и динамического испытания упругих ортотропных пластинок

3.2.3 Испытание ортотропных пластинок и обработка результатов

3.2.4 Сравнение экспериментальных и теоретических данных

3.3 Разработка программного комплекса ОгИ1РЫ:е

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Приложение 1. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ДЕФОРМАЦИОННОГО РАСЧЕТА УПРУГИХ ОРТОТРОПНЫХ

ПЛАСТИНОК С ПОМОЩЬЮ МКЭ И МИКФ

Приложение 2. ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ В АППРОКСИМИРУЮЩИХ

ФУНКЦИЯХ ДЛЯ УПРУГИХ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИНОК

Приложение 3. ВНЕДРЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач поперечного изгиба упругих ортотропных пластинок»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность. Конструкции в виде пластинок находят широкое применение в современном строительстве, авиа-, машино- и кораблестроении. Этим обусловлен интерес к их всестороннему изучению и развитию методов их расчета. Применение новых композитных материалов (в том числе органического происхождения) приводит к тому, что допущение об изотропности материала пластинки перестает соответствовать действительности - он ведет себя иначе. Тот же эффект достигается для пластинок, подвергнутых специальной обработке (гофрирование) либо усиленных частой постановкой ребер жесткости. Использование этих конструктивных решений, также как и новых современных композитных материалов, направлено на получение наиболее оптимальных по весу пластинок и оболочек и по распределению в них усилий. Такие пластинки и оболочки в общем случае называются анизотропными. Однако на практике довольно часто приходится сталкиваться с частным случаем анизотропии - ортотропией, когда в каждой точке тела проходят три ортогональные плоскости упругой симметрии. Для расчета таких конструкций на практике часто прибегают к использованию приближенных численных методов [13, 16, 19, 24, 54, 55, 117, 127, 156], реализованных в программных комплексах на ЭВМ.

Тем не менее, не ослабевает интерес и потребность в развитии приближенных аналитических методов [36, 58, 146], которые при разумной точности давали бы наглядное представление о связи между физическими величинами, понимание сущности решаемых задач. Одним из таких методов является метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ), предложенный А.В. Коробко [77, 78]. В его основе лежит аналогия между интегральной характеристикой формы области пластинки (коэффициент формы) и величинами её интегральных физико-механических характеристик (максимальный прогиб, основная частота колебаний, критическая сила). Основными преимуществами этого метода являются:

- возможность сведения решения сложных физических задач, описываемых дифференциальными уравнениями эллиптического типа, к решению более простых геометрических задач;

- получение решений в аналитической форме;

- возможность двусторонней оценки результатов расчета;

- наглядное представление решений в виде зависимостей в координатных осях Б - где Б - некоторая физико-механическая характеристика, а К^ - коэффициент формы.

С применением МИКФ были получены решения задач изгиба и свободных колебаний изотропных пластинок сложного очертания при комбинированных граничных условиях [40, 61, 77, 78, 105, 143, 150, 151]. Сравнение полученных результатов с известными точными и приближенными решениями показали удовлетворительную для инженерных расчетов точность метода. Однако к расчету ортотропных пластинок МИКФ до настоящего времени не применялся. Поэтому выбранная для диссертационного исследования тема «Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач поперечного изгиба упругих ортотропных пластинок» представляется актуальной.

Объект исследования. Одним из важнейших составных элементов современных зданий и сооружений, являются конструкции в виде пластинок. При этом поиск решений, отвечающих требованиям оптимальности либо определённым эстетическим требованиям, приводит к тому, что приходится иметь дело с пластинками сложной формы при комбинированных граничных условиях (комбинация жесткого защемления и шарнирного опирания вдоль сторон). Упругие свойства таких конструкций во многих случаях могут различаться вдоль некоторых взаимно перпендикулярных направлений, то есть являться ортотропными. Поэтому в качестве объекта исследования в работе приняты упругие ортотропные пластинки (прямоугольные, ромбические, па-раллелограммные, многоугольные, трапециевидные и др.) с комбинированными граничными условиями.

Методы исследования. При проведении теоретических исследований поперечного изгиба упругих ортотропных пластинок использовался общенаучный метод аналогии, применялись метод конечных элементов и геометрические методы строительной механики (изопериметрический метод, МИКФ). Геометрическое моделирование форм областей пластинок осуществлялось с помощью метода аффинного подобия. Для подтверждения достоверности полученных теоретическим путем аппроксимирующих функций проводилось экспериментальное исследование. Обработка результатов эксперимента осуществлялась на основе методов математической статистики.

Целью исследования является развитие и применение МИКФ для оценки жесткости упругих ортотропных пластинок в задачах поперечного изгиба.

В ходе диссертационного исследования предполагается подтвердить гипотезу о существовании подобия между интегральными физико-механическими характеристиками пластинок, интегральной характеристикой их формы - коэффициентом формы, и соотношениями цилиндрических же-сткостей упругих ортотропных пластинок в задачах поперечного изгиба.

Для достижения указанной цели и подтверждения выдвинутой гипотезы необходимо решить следующие задачи:

1. Развить теоретические основы МИКФ и разработать методику его применения к оценке жесткости в задачах поперечного изгиба упругих ортотропных пластинок при однородных и комбинированных граничных условиях пластинок по контуру.

2. Изучить изопериметрические свойства и закономерности изменения максимального прогиба упругих ортотропных пластинок в зависимости от изменения их коэффициента формы и цилиндрических жесткостей по направлениям координатных осей.

3. С помощью метода конечных элементов найти значения максимальных прогибов упругих ортотропных пластинок определенных классов форм (прямоугольные, ромбические, в виде равнобедренных и прямоугольных треугольников, правильных многоугольников) при различных вариантах условий опирания.

4. По полученным значениям максимальных прогибов построить граничные аппроксимирующие функции, необходимые для решения задач изгиба упругих ортотропных пластинок с комбинированными граничными условиями методом интерполяции по коэффициенту формы.

5. Провести экспериментальные исследования по изгибу квадратных пластинок из фанеры с целью проверки исходных предпосылок метода и результатов теоретических исследований.

6. Разработать алгоритм и программный комплекс для решения исследовательских и конструкторских задач поперечного изгиба упругих ортотропных пластинок с различными граничными условиями нагрузкой, равномерно распределенной по их поверхности, с помощью МИКФ.

Указанные задачи решаются при следующих ограничениях:

1 Исследуется задача поперечного изгиба тонких упругих ортотропных пластинок с малыми прогибами, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой.

2 Граничные условия многоугольных пластинок включают комбинации условий шарнирного опирания и жесткого зажемления по сторонам; ус-

ловия свободного края пластинок не рассматриваются.

Достоверность научных положений и результатов исследования подтверждается использованием фундаментальных методов строительной механики, решением большого количества тестовых задач и сравнения результатов расчета с результатами, полученными с помощью других методов, а также результатами экспериментального исследования.

Научная новизна состоит в следующих результатах исследования:

- установлена функциональная связь максимального прогиба упругих ортотропных пластинок с коэффициентом формы и соотношениями цилиндрических жесткостей по направлениям координатных осей;

- построены аналитические зависимости между максимальными прогибами, коэффициентом формы и соотношениями цилиндрических жесткостей по направлениям координатных осей упругих ортотропных пластинок в виде многоугольников с комбинированными граничными условиями;

- разработана методика применения МИКФ к оценке жесткости в задачах поперечного изгиба упругих ортотропных пластинок при однородных и комбинированных граничных условиях пластинок по контуру;

- разработаны алгоритм и компьютерная программа для решения исследовательских и конструкторских задач поперечного изгиба упругих ортотропных пластинок с различными граничными условиями нагрузкой, равномерно распределенной по их поверхности, с помощью МИКФ.

Практическая ценность и реализация работы.

Некоторые теоретические предпосылки, положенные в основу развития методики МИКФ для расчета ортотропных пластинок, получили экспериментальное подтверждение.

Разработанные в диссертационной работе алгоритм и программа для ЭВМ позволяют выполнять деформационные расчеты конструкций в виде упругих ортотропных пластинок на основе метода интерполяции по коэффициенту формы

Результаты работы использованы при проведении исследований по НИР, выполняемых в рамках:

- государственного задания Министерства образования и науки РФ на оказание услуг (выполнения работ) по теме «Разработка и развитие инженерных методов решения задач технической теории пластинок на основе принципов симметрии и геометрического моделирования их формы» (2012 -2014 гг.), регистрационный номер 7.587.2011.

Результаты исследований внедрены в учебный процесс ФГБОУ ВПО

«Госуниверситет - УНПК» в рамках дисциплин: «Строительная механика», «Основы теории упругости и пластичности», «Вычислительные комплексы для расчета строительных конструкций».

На защиту выносятся следующие положения и результаты:

- методика применения МИКФ к оценке жесткости упругих ортотроп-ных пластинок в задачах поперечного изгиба;

- аналитические зависимости для определения максимальных прогибов упругих ортотропных пластинок в виде многоугольников с комбинированными граничными условиями, параметрами в которых являются коэффициент формы и соотношения цилиндрических жесткостей вдоль координатных осей;

- результаты экспериментальных исследований поперечного изгиба квадратных пластинок из фанеры нагрузкой, равномерно распределенной по поверхности;

- алгоритм и программа для ЭВМ, предназначенные для деформационного расчета упругих ортотропных пластинок с комбинированными граничными условиями с помощью МИКФ.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УНПК» (Орел, 2010...2012); на 2-ой Всероссийской конференции «Проблемы оптимального проектирования сооружений» (Новосибирск, 2011); Международных академических чтениях РААСН «Безопасность строительного фонда России. Проблемы и решения» (Курск, 2011); IV Международном симпозиуме «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (Челябинск, 2012).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 научных работ, в том числе 8 статей в журналах, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки России, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата и доктора технических наук.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 204 страницах, включая 140 страниц основного текста, и состоит из введения, 3 глав, основных результатов и выводов, списка литературы, включающего 173 наименования и 3 приложений (64 стр.). В диссертации 68 рисунков и 30 таблиц.

Во введении приводится обоснование актуальности темы диссертационного исследования, обозначается объект для изучения и методы его исследования, приводятся основные характеристики работы и положения, выносимые автором на защиту.

В первой главе содержится краткий обзор методов решения задач технической теории пластинок, на основании которого делается вывод необходимости развития метода интерполяции по коэффициенту формы к расчету упругих ортотропных пластинок, формулируются цели и задачи исследования.

Во второй главе представляются сведения об интегральной геометрической характеристике формы области - коэффициенте формы, излагается сущность метода интерполяции по коэффициенту формы в задачах поперечного изгиба изотропных пластинок. Устанавливается связь между значениями максимальных прогибов упругих ортотропных пластинок и коэффициентом формы. Выполняется построение аппроксимирующих функций, составляющих границы изменения множества значений максимальных прогибов пластинок в виде равнобедренных и прямоугольных треугольников, прямоугольников, ромбов и правильных многоугольников. Приводятся методика реализации МИКФ к расчету упругих ортотропных пластинок и примеры ее использования при решении задач поперечного изгиба пластинок. Рассматриваются различные варианты геометрических преобразований и их влияние на точность вычислений.

В третьей главе представлены решения тестовых задач, демонстрирующих точность результатов расчета с помощью МИКФ. Приводятся данные экспериментального исследования поперечного изгиба квадратных упругих ортотропных пластинок для двух наиболее характерных вариантов направления осей ортотропии. Содержится алгоритм и программа для ЭВМ, предназначенные для деформационного расчета упругих ортотропных пластинок с помощью МИКФ.

В приложении 1 приводится сравнение результатов деформационного расчета упругих ортотропных пластинок с помощью МКЭ и МИКФ, в приложении 2 представлены значения коэффициентов в аппроксимирующих функциях для упругих ортотропных пластинок, в приложении 3 приведены сведения о внедрении результатов диссертации.

1 КРАТКИЙ ОБЗОР МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК

К настоящему времени теоретические основы расчета пластинок и оболочек в значительной степени сформированы и изложены в работах А. Лява [104], С.П. Тимошенко [146], П.Ф. Папковича, Б.Г. Галеркина, И.Г. Бубнова, С.Г. Лехницкого [100, 161] и ряда других.

Большой вклад в развитие теории пластинок внесли многие отечественные и зарубежные ученые: С.А. Амбарцумян, Л.С. Лейбензон, В.З. Власов, A.C. Вольмир, А.Л. Гольденвейзер, А.И. Лурье, Х.М. Муштари, К.З. Га-лимов, В.В. Новожилов, П.М. Варвак, В.И. Крылов, Л.В. Канторович,

A.Ф. Рябов, Я.А. Пратусевич, Н.П. Абовский, А.Н. Андреев, В.В. Болотин, Л.А. Розин, Ю.В. Немировский, В.И. Коробко; И. Снеддон, М.Т. Хубер,

B. Прагер, Ф.Г. Ходж, Э. Рейсснер, К.В. Йогансен, В. Ритц, Е. Треффц и многие другие.

Разработаны многочисленные методы решения задач изгиба пластинок, всю совокупность которых можно поделить на точные и приближенные. При этом к последним относят аналитические и численные методы. Далее приведен обзор некоторых методов расчета пластинок, получивших наиболее широкое применение.

1.1 Прямые методы решения задач технической теории пластинок

Основные уравнения классической теории пластинок были получены ещё в XIX веке Г. Кирхгоффом. В их основу были положены две гипотезы:

- нормальными напряжениями на площадках, параллельных срединной плоскости, можно пренебречь;

- точки, лежащие на прямой, перпендикулярной срединной плоскости, после деформации снова образуют прямую, нормальную к деформированной поверхности.

На основании выдвинутых Кирхгофом гипотез Ароном была разработана теория оболочек, впоследствии доработанная А. Лявом [104].

и

Основам расчета пластинок и оболочек в классической линейной постановке посвящены работы А.Л. Гольденвейзера [41], В.В. Новожилова, К.Ф. Черных и Е.И. Михайловского [119] и др.

Точное решение задачи изгиба пластинки в рамках принятых гипотез может быть получено в том случае, если удается подобрать функцию прогибов, удовлетворяющую граничным условиям. Как правило, такую функцию задают в виде одинарного или двойного тригонометрического ряда. Так, известно решение, полученное Навье для прямоугольной шарнирно опертой по всему контуру пластинки [97]; задача изгиба прямоугольной пластинки шарнирно опертой по противоположным краям и произвольным образом по двум другим была исследована М. Леви [146].

В статье [102] приведено решение для прямоугольной ортотропной пластинки, защемленной по контуру.

В работе [10] представлены решения для прямоугольных анизотропных пластинок с двумя опертыми сторонами и для полубесконечной пластинки, загруженной распределенной по краю нагрузкой.

В работах С.П. Тимошенко, А. Надаи и Б.Г. Галеркина [36, 146] были рассмотрены задачи изгиба эллиптических, треугольных и секторных пластинок.

Задача изгиба ортотропной эллиптической пластинки, свободно опертой по контуру, рассмотрена в [149].

Решение для изотропной эллиптической пластинки жестко защемленной по контуру получено Брайэном [104]. Для анизотропной пластинки подобного очертания при тех же граничных условиях решение приведено в работе [70].

Задача изгиба пластинки в виде равностороннего треугольника была решена Войновским-Кригером [146].

С. Пуассоном были получены решения задач симметричного изгиба круглой пластинки. Эти решения приведены в частности в [97]. В этой же работе показано как к расчету прямоугольной и треугольной пластинки может быть применен метод отображений.

Однако для тонких пластинок и оболочек, прогибы которых сопоставимы с их толщиной или превосходят ее, гипотезы линейной теории дают существенную погрешность, которая может быть устранена введением нели-

нейности. Нелинейные теории пластинок и оболочек были разработаны и развиты в работах В.В. Новожилова [118], A.C. Вольмира [26], В.В. Пикуля [122], Х.М. Муштари и К.З. Галимова [116]. Расчет разносопротивляющихся или разномодульных пластинок и оболочек, для материала которых характерно различие в физико-механических свойствах при сжатии и растяжении, рассмотрен в работах С.А. Амбарцумяна [9] и его учеников, Н.М. Матченко и J1.A. Толоконникова [111], A.A. Трещева [147] и др.

Во второй половине XX века стали появляться новые уточнённые теории изгиба пластинок и оболочек, в том числе анизотропных, учитывающие деформирование нормалей при изгибе [8...11, 37...39, 44, 69]. Однако, как отмечает автор одной из уточнённых теорий изгиба пластинок, С.А. Амбар-цумян, «... для большинства используемых на практике пластинок и тем более оболочек нет никакой необходимости отказываться от классической теории, построенной на основании гипотезы недеформируемых нормалей, так как эта теория имеет свои достаточно широкие пределы применимости» [10, с.8].

Следует отметить, что точные решения могут быть получены лишь для некоторых элементарных случаев. Однако при решении реальных задач аналитические методы приводят к большим объемам вычислительных работ, а в большем числе случаев точное решение не может быть получено вообще, так как граничные условия и условия на контуре не могут быть описаны с помощью аналитических выражений. Поэтому, при решении многих представляющих практическую ценность задач применяют приближенные методы расчета, которые можно разделить на две группы: вариационные и численные.

1.2 Приближенные аналитические методы

Вариационные методы основаны на использовании приближенных аналитических выражений для искомых функций прогибов.

К вариационным методам относятся методы Ритца, Бубнова - Галёрки-на, Треффца, Канторовича, получившие своё развитие в работах В.З. Власова, H.H. Боголюбова, Н.М. Крылова, JI.C. Лейбензона и др.

Впервые для решения задачи строительной механики вариационный метод был использован Релеем при исследовании колебаний струны.

Дальнейшее развитие метода было связано с трудами Ритца, который, исследуя проблемы прочности и колебаний пластинок, показал, что для приближенного решения задач можно применять прямой путь нахождения разрешающей функции. При этом искомой функцией задаются таким образом, чтобы она удовлетворяла граничным условиям и соответствовала действительному характеру деформаций пластинки. Неизвестные параметры выбранной функции должны соответствовать условию минимума энергии. Как правило, искомую функцию представляют в виде ряда.

Следует, однако, отметить, что метод Ритца даёт приближение к искомой функции сверху.

В несколько изменённом виде метод Ритца был применён в 1910 году С.П. Тимошенко при решении задач устойчивости стержней и пластинок.

В 1915 году появилась работа Б.Г. Галёркина, в которой он изложил приближенный метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений. Согласно этому методу подбор искомой функции следует осуществлять таким образом, чтобы она удовлетворяла дифференциальному уравнению изгиба и граничным условиям. На возможность применения такого подхода ранее указывал И.Г. Бубнов в отзыве на работы С.П. Тимошенко.

Решение по методу Галёркина во многих случаях оказывается более простым, чем по методу Ритца, однако при конечном числе членов ряда, в который раскладывается искомая функция, он может давать существенную погрешность.

Достаточно эффективным при расчёте пластинок, стороны которых ограничены координатными линиями, является метод Канторовича, занимающий промежуточное положение между точным решением задачи и методами Ритца и Галёркина. В основе этого способа лежит задание искомой функции прогибов в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента. Одну из этих функций подбирают таким образом, чтобы она удовлетворяла граничным условиям, вторую находят, пользуясь принципом возможных перемещений.

По методу, предложенному Треффцем, функции следует подбирать таким образом, чтобы они являлись частными решениями дифференциального

уравнения задачи. Удовлетворение граничным условиям при этом является не обязательным. Этот метод даёт приближение к искомой функции снизу.

Применение указанных методов к решению разнообразных задач изгиба пластинок можно найти в работах [36, 57, 58, 97, 144, 146].

В настоящее время развитие вариационных методов идет по пути подбора таких классов функций, которые позволяли бы решать более широкий круг прикладных задач при сохранении необходимой точности получаемых результатов. В связи с этим следует выделить вариационно-асимптотический метод и метод Я-функций.

1.2.1. Метод Я-функций

В 1967 году В.Л. Рвачёвым в работе [125] были введены Я-функции. Под Я-функцией понимают числовую функцию действительных переменных, знак которой вполне определяется знаками ее аргументов при соответствующем разбиении числовой оси на интервалы (-да, 0) и [0, да).

Я-функции позволяют строить в неявной форме уравнения границ составных областей по известным уравнениям простых областей. Такой подход предоставляет возможность создавать структуры решения краевых задач математической физики, зависящие от неопределенных компонент и точно удовлетворяющие граничным условиям. При этом неопределенные компоненты таких структур могут далее находиться одним из вариационных или проекционных методов решения краевых задач (Рэлея - Ритца, Бубнова - Га-леркина и др.). Метод решения краевых задач для уравнений в частных производных на основе теории Я-функций носит название структурного метода Я-функций.

В работе [127] метод Я-функций получил своё развитие к решению задач об изгибе и колебаниях пластинок сложной формы. Были найдены решения ряда задач теории пластинок при смешанных граничных условиях [99, 126 ... 129].

1.2.2 Вариационно-асимптотические методы

С начала 1960-х годов началось применение в теории пластинок и оболочек асимптотических методов, в которых использовалось асимптотическое

интегрирование уравнений теории упругости. Основополагающей в данном направлении стала работа Гольденвейзера [42], идеи которой были развиты в последующих публикациях и трудах его учеников [43, 45...49].

В работах [5...7, 103] асимптотические методы интегрирования были применены к расчету анизотропных пластинок. Наибольших результатов удалось добиться в решении динамических задач теории пластинок и оболочек. Известно применение этого метода к решению задач устойчивости [148].

В работах И.И. Воровича, O.K. Аксетяна, О.С. Малкиной, М.А. Шлене-ва и др. [27...32] был предложен несколько иной подход. Предварительно решение уравнения теории упругости представлялось в виде функций, удовлетворяющих более простым уравнениям. Затем осуществлялся асимптотический анализ последних.

С.О. Саркисян использовал асимптотические методы к расчету пластинок и оболочек на основе несимметричной теории упругости [135... 139].

Преимущество вариационных методов заключается в том, что задача сводится к решению нескольких уравнений, дающих в ряде случаев хорошее приближение к действительному состоянию конструкции.

Однако применение вариационных методов ограничено, так как не всегда могут быть получены в приближенном виде аналитические выражения для внешней нагрузки, деформированной упругой поверхности элемента и другие условия задачи.

1.3 Численные методы

В последнее время, в связи бурным развитием электронно-вычислительной техники, большую популярность приобрели численные методы решения задач изгиба пластинок. К их числу относят метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ), а так же различные их сочетания между собой и с вариационными методами.

Одним из первых численных методов был метод конечных разностей (МКР), называемый так же методом сеток. Он был впервые применён И.М. Рабиновичем к расчету неразрезных балок в 1921 году. При решении задач с помощью этого метода область интегрирования разбивают на ряд конечных интервалов и осуществляют замену дифференциального уравнения

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Савин, Сергей Юрьевич, 2013 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Абовский, Н.П. Расчет пластинчатых систем на изгиб и колебания [Текст] / Н.П. Абовский // Теория оболочек и пластин. Труды IV Всесоюз. конф. по теории оболочек пластин. Ереван, 24-31октября 1962. - Ереван : Изд-во Академии наук Армянской ССР, 1964. - С. 143-149.

2 Абовский, Н.П. Конечно-разностные уравнения для стыка областей в условиях плоской задачи и изгиба пластинки [Текст] / Н.П. Абовский, A.M. Азархин, J1.B. Енджиевский, И.И. Самольянов // Пространственные конструкции в Красноярском крае: материалы конференции 18-22 октября 1965г. - Красноярск, 1965. - С. 152-166.

3 Абовский, Н.П. Матричный метод расчета пластинчатых систем [Текст] / Н.П. Абовский, JI.B. Енджиевский // Пространственные конструкции в Красноярском крае: материалы конференции 18-22 октября 1965г. -Красноярск, 1965. - С. 78-93.

4 Абовский, Н.П. К расчету пластинчатых систем дискретными методами строительной механики [Текст] / Абовский Н.П., Енджиевский J1.B. // Известия высших учебных заведений. Строительство и архитектура. — 1966. -№ 12.-С. 40-43.

5 Агаловян, JI.A. Асимптотические представления решений уравнений теории упругости анизотропного тела и связанные с ними прикладные теории балок, пластин и оболочек [Текст] : автореф. дис. ... д-р физ.-мат. наук : 01.02.04 / Агаловян Ленсер Абгарович. - Казань, 1980. - 26 с.

6 Агаловян, Л.А. Об асимптотическом решении смешанных трехмерных задач для двухслойных анизотропных пластинок [Текст] / Л.А. Агаловян, P.C. Геворкян // ПММ. - 1986. - Т. 50. - Вып. 2. - С. 271-278.

7 Агаловян, Л.А. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек [Текст] / Л.А. Агаловян. - М. : Наука, 1997. - 414 с.

8 Амбарцумян, С.А. Общая теория анизотропных оболочек [Текст] / С.А. Амбарцумян. - М. : Наука, 1974. - 448 с.

9 Амбарцумян, С. А. Разномодульная теория упругости [Текст] / С.А. Амбарцумян. - М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. - 320 с.

10 Амбарцумян, С. А. Теория анизотропных пластин: Прочность, устойчивость и колебания [Текст] / С.А. Амбарцумян. - М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 360 с.

11 Амбарцумян, С.А. К теории изгиба анизотропных пластинок и пологих оболочек [Текст] / А.С. Амбарцумян // ПММ. - 1960. - Т. 24. - Вып. 2. -С. 350-360.

12 Андреев, А.Н. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания [Текст] / А.Н. Андреев, Ю.В. Немировский. - Новосибирск : Наука, 2001. - 288 с.

13 Андрианов, И.В. Асимптотические методы в теории колебания балок и пластин [Текст] / И.В. Андрианов, В.В. Данишевский, А.О. Иванков. -Днепропетровск : Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры, 2010.-216с.

14 Банщикова, И. А. О сходимости моментного метода граничных элементов [Текст] / И.А. Банщикова, И.В. Сухоруков // Доклады 2-й Всероссийской конференции «Проблемы оптимального проектирования сооружений». - Новосибирск : НГАСУ (Сибстрин), 2011. - С. 47-52.

15 Бендат, Дж. Прикладной анализ случайных данных [Текст] / Дж. Бендат, А. Пирсол; под ред. И.Н. Коваленко; пер. с англ. В.Е. Привальского, А.И. Кобучинского - М. : «Мир», 1989. - 540 с.

16 Бреббия, К. Методы граничных элементов [Текст] / К. Бреббия, Ж. Теллес, JI. Вроубел; пер. с англ. Л.Г. Корнейчука - М. : «Мир», 1987. -524 с.

17 Вайнберг, Д.В. Вывод сеточных уравнений изгиба пластин вариационным методом [Текст] / Д.В. Вайнберг, В.М. Гаращенко, И.З. Ройтфарб, А.Л. Синявский // Сопротивление материалов и теория сооружений. - 1965. - Киев : «Буд1вельник». - Вып. I. - С. 23-33.

18 Вайнберг, Д.В. Дискретный анализ в теории пластин и оболочек [Текст] / Д.В. Вайнберг, А.Л. Синявский // Материалы VI Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. - М. : «Наука». - 1966. - С. 209-214.

19 Варвак, П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок. Части первая и вторая [Текст] / П.М. Варвак. - Киев : Изд-во АН УССР, 1949, 1952.- 136с., 116 с.

20 Варвак, П.М. Приближенный расчет анизотропных пластинок и пластинок переменной толщины [Текст] / П.М. Варвак, И.О. Губерман // В сб. трудов Ин-та строит, механ. АН УССР. - Киев : Изд-во АН УССР. -1952.-Вып. 17.

21 Варвак, П.М. Изгиб и колебания параллелограммных пластинок [Текст] / П.М. Варвак, П.В. Боровский, В.Г. Пискунов // Труды VI Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. - М. : Изд-во АН СССР, 1966.

22 Варвак, П.М. Некоторые задачи изгиба пластин в уточненной постановке [Текст] / П.М. Варвак, A.C. Бондарчук // В сб.: Сопротивление материалов и теория сооружений. - Киев : «Буд1вельник», 1970. - Вып. X.

23 Варвак, П.М. Некоторые задачи поперечного изгиба пластин с учетом сдвига [Текст] / П.М. Варвак, A.C. Бондарчук // В сб.: Теоретические проблемы. - Братислава, 1975.

24 Варвак, П.М. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций [Текст] / П.М. Варвак, Л.П. Варвак. - М. : Стройиздат, 1977. - 154 с.

25 Великанов, П.Г. Расчет ортотропных пластин и оболочек методом граничных элементов [Текст] : дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.02.04 / Великанов Петр Геннадьевич. - Казань, 2008. - 200 с.

26 Вольмир, A.C. Гибкие пластинки и оболочки [Текст] / A.C. Вольмир. -М. : Гостехиздат, 1956. - 419 с.

27 Ворович, И.И. Напряженное состояние плиты малой толщины [Текст] / И.И. Ворович, O.K. Аксентян // ПММ. - 1963. - Т. 27. - Вып. 6. -С .1057-1074.

28 Ворович, И.И. Асимптотический метод решения задачи теории упругости о толстой плите [Текст] / И.И. Ворович, О.С. Малкина // Тр. YI Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. - М. : Наука, 1966. - С. 251254.

29 Ворович, И.И. Некоторые задачи теории упругости для полуполосы [Текст] / И.И. Ворович, В.В. Копасенко // ПММ. - 1966. - Т. 30. - Вып. 1. -С. 109-115.

30 Ворович, И.И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек [Текст] / И.И. Ворович // Тр. II Всесоюзного съезда по теор. и прикл. механике. - М. : Наука, 1966. - Вып. 3. - С. 116-136.

31 Ворович, И.И. Общие проблемы теории пластин и оболочек [Текст] / И.И. Ворович // Тр. YI Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. - М. : Наука, 1966. - С. 896-903.

32 Ворович, И.И. Некоторые результаты и проблемы асимптотической теории пластин и оболочек [Текст] / И.И. Ворович // В сб. : Материалы I Всесоюзн. школы по теории и численным методам расчета оболочек и пластин. - Изд-во Тбилисского ун-та, 1975. - С. 51-149.

33 Ворошко, П.П. Построение разностных уравнений теории упругости и их получение на ЭВМ [Текст] / П.П. Ворошко, A.C. Сахаров // В сб.: Сопротивление материалов и теория сооружений. - Киев : «Буд1вельник», 1966.-Вып. IV.

34 Галёркин, Б.Г. Упругие тонкие плиты [Текст] / Б.Г. Галеркин. -М. : Гостехиздат, 1933. - 371 с.

35 Галёркин, Б.Г. Напряженное состояние при изгибе прямоугольной плиты по теории толстых плит и теории плит тонких [Текст] : сочинения / Б.Г. Галеркин. - М. : Изд-во АН СССР, 1952. - Т. 1. - 391 с.

36 Галёркин, Б.Г. Собрание сочинений [Текст] / Б.Г. Галёркин. - М.: Изд-во АН СССР, 1953. - Т. 2. - 438 с.

37 Галимов, Ш.К. Уточненные теории расчета прямоугольной ортотропной пластины при действии поперечной нагрузки [Текст] / Ш.К. Галимов // Исследования по теории пластин и оболочек. - Казань : Изд-во Казанского гос. ун-та. - 1976. - Вып. 12. - С. 78-84.

38 Галимов, Ш.К. Уточненные теории расчета равномерно нагруженной, свободно опертой трансверсально-изотропной пластины [Текст] / Ш.К. Галимов // Исследования по теории пластин и оболочек. - Казань: Изд-во Казанского гос. ун-та. - 1978. - Вып. 13. - С. 193 - 202.

39 Галинып, А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям / А.К. Галинып // Исследования по теории пластин и оболочек. - Казань : Изд-во Казанского ун-та. - 1970. - Вып. 6-7. - С. 23-64.

40 Гефель, В.В. Развитие и применение МИКФ к решению задач технической теории пластинок, связанных с треугольной областью [Текст] : дис. ... канд. техн. наук : 05.23.17 / Гефель Владислав Владимирович. - Орел, 2006.- 168 с.

41 Гольденвейзер, A.JI. Дополнения и поправки к теории тонких оболочек Love [Текст] / A.JI. Гольденвейзер // Пластинки и оболочки. - М. : Госстройиздат. - 1939. - С. 85-105.

42 Гольденвейзер, A.JI. Асимптотическое интегрирование линейных дифференциальных уравнений в частных производных с малой главной частью [Текст] / A.JI. Гольденвейзер // ПММ. - 1959. - Т. 23. - Вып. 1. -С. 35-57.

43 Гольденвейзер, A.JI. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости [Текст] / A.JI. Гольденвейзер // ПММ. - 1962. - Т. 26. - Вып. 4. -С.668-686.

44 Гольденвейзер, A.JI. Методы обоснования и уточнения теории оболочек [Текст] / А.Л. Гольденвейзер // ПММ. - 1962. - Т. 32. - № 4. - С. 668-686.

45 Гольденвейзер, А.Л. Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости [Текст] / А.Л. Гольденвейзер // ПММ. - 1963. - Т. 27. - Вып. 4. - С. 593-608.

46 Гольденвейзер, А.Л. К построению двумерных уравнений теории упругих тонких пластинок [Текст] / А.Л. Гольденвейзер, A.B. Колос // ПММ. - 1965.-Т. 29.-Вып. 1.-С. 141-155.

47 Гольденвейзер, А.Л. Асимптотический анализ и уточнение теорий пластин и оболочек типа Тимошенко-Рейсснера [Текст] / А.Л. Гольденвейзер, Ю.Д. Каплунов, Е.В. Нольде // Изв. АН СССР. МТТ. -1990,-№6.-С. 124-138.

48 Гольденвейзер, А.Л. О приближенных методах расчета тонких упругих оболочек и пластин [Текст] / А.Л. Гольденвейзер // Изв. РАН МТТ. - 1997. -№3. - С. 134-149.

49 Гусейн-Заде, М.И. К построению теории изгиба слоистых пластинок [Текст] / М.И. Гусейн-Заде // ПММ. -1968. -Т. 32. - Вып. 2. - С. 332-343.

50 Дехтярь, A.C. Геометрические свойства и несущая способность оболочек [Текст] / A.C. Дехтярь, A.B. Анпилогова, Д.Ф. Погорелый // Изв. Вузов. Строительство и архитектура. - 1987. - №4. - С. 26-29.

51 Дехтярь, A.C. Форма и несущая способность призматических оболочек [Текст] / A.C. Дехтярь, Д.Ф. Погорелый // Сопротивление материалов и теория сооружений. - 1989. - № 55. - С. 41-44.

52 Длугач, М.И. Применение ЭВМ к решению бигармонической задачи [Текст] / М.И. Длугач, А.И. Шинкарь // «Прикладная механика». - 1962. -Т. VIII. - Вып. 2.

53 Евзеров, И.Д. Оценки погрешности несовместных конечных элементов плиты [Текст] / И.Д. Евзеров // Численные методы механики сплошной среды. Сб. науч. тр. СО АН СССР. - 1983. - Т. 14. - № 5. - с. 24-31.

54 Зенкевич, О. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред [Текст] / О. Зенкевич, Н. Чанг; ред. Ю.К. Зарецкий; пер.: О.П. Троицкий, С. В. Соловьев. -М. : Недра, 1974. -240 с.

55 Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике [Текст] / О. Зенкевич. - М.: «Мир», 1975. - 543 с.

56 Кандидов, В.П. Метод конечных элементов в задачах динамики [Текст] /

B.П. Кандидов, С.С. Чесноков, В.А. Выслоух. - М. : МГУ, 1980. - 165 с.

57 Канторович, JI.B. Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных [Текст] / Л.В. Канторович // ДАН СССР. - 1934. - Т. 2. - № 9. - С. 532-534.

58 Канторович, Л.В. Приближенные методы высшего анализа [Текст] / Л.В. Канторович, В.И. Крылов. - М. - Л. : Физматгиз, 1962. - 708 с.

59 Карпиловская, Э. Б. О сходимости метода коллокации [Текст] / Э.Б. Карпиловская // ДАН СССР. - 1963. - Т. 151. -№ 4. - С. 766-769.

60 Карпиловский, B.C. Методы конструирования конечных элементов [Текст] / B.C. Карпиловский // Деп. в УкрНИИНТИ, № 2153. - Киев, 1980. -20 с.

61 Киржаев, Ю.В. Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач предельного равновесия пластинок [Текст] : дис. ... канд. техн. наук : 05.23.17 / Киржаев Юрий Викторович. -Орел, 2005.- 161 с.

62 Клячко, С.Д. Об аффинности решения задач теории упругости [Текст] /

C.Д. Клячко // Тр. НИИЖТ. Строительная механика. - Новосибирск, 1967. -Вып. 62. - С. 63-76.

63 Клячко, С.Д. Аффинное подобие в теории неоднородных анизотропных упругих, упруго-пластических, упруго-вязких пластин и оболочек [Текст] / С.Д. Клячко // Механика деформируемого тела и расчет сооружений: тр. НИИЖТ. - Новосибирск, 1970. - Вып. 96. - С. 54-62.

64 Колесник, И.А. Определение физико-механических характеристик параллелограммных пластинок, мембран, сечений [Текс] / И.А. Колесник, A.B. Коробко // Сопротивление материалов и теория сооружений. - Киев,

1991. -№60. -С. 16-21.

65 Колесник, И. А. Оценка основных физико-механических параметров в задачах строительной механики и теории упругости, связанных с треугольной областью [Текс] / И.А. Колесник, A.B. Коробко // Алгоритмизация решения задач прочности и оптимального проектирования конструкций. - Киев : Ин-т кибернетики АН Украины. - 1991. - С. 39-46.

66 Колесник, И. А. Определение характерных параметров напряженно-деформированного состояния параллелограммных пластинок (мембран, сечений) с помощью аффинных преобразований [Текс] / И.А. Колесник, A.B. Коробко // Аэромеханика и теория упругости. - Днепропетровск : ДГУ,

1992. -№43. -С. 34-40.

67 Колесник, И. А. Определение основной частоты колебаний параллелограммных пластинок методом физико-геометрической аналогии [Текс] / И.А. Колесник, A.B. Коробко // Сопротивление материалов и теория сооружений. - Киев, 1993. - № 61. - С. 24-29.

68 Колесник, И. А. Метод физико-геометрической и аналогии в строительной механике [Текс] / И.А. Колесник, A.B. Коробко // Моделирование и оптимизация сложных механических систем. - Киев: Институт кибернетики АН Украины, 1993. - С. 39-46.

69 Колос, A.B. Об уточнении классической теории изгиба круглых пластинок [Текст] / A.B. Колос // ПММ. - 1964. - Т. 28. - Вып. 3. -С. 582-588.

70 Корбукова, Л.Д. Изгиб эллиптической анизотропной пластинки, заделанной по краю [Текст] / Л.Д. Корбукова // Изв. АН СССР. ОТН. - 1958. - № 12. - С. 78-84.

71 Корбукова, Л.Д. Изгиб квадратной анизотропной пластинки, заделанной по краю [Текст] / Л.Д. Корбукова // Изв. АН СССР. ОТН. - 1959. - № 3. -С. 184-189.

72 Корнеев, В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности [Текст] / В.Г. Корнеев. - Л. : ЛГУ, 1977. - 206 с.

73 Корнишин, М.С. Применение метода коллокации к решению некоторых линейных и нелинейных задач теории пластин [Текст] /М.С. Корнишин // Изв. Казанского фил. АН СССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. - 1960. - № 14. -С. 43-54.

74 Корнишин, М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения [Текст] / М.С. Корнишин. - М. : Наука, 1964. - 192 с.

75 Коробко, A.B. Расчет параллелограммных пластинок изопериметрическим методом [Текст] / A.B. Коробко, А.Н. Хусточкин // Изв. вузов. Авиационная техника. - 1992. - № 1. - С. 106-114.

76 Коробко, A.B. Решение задач строительной механики, связанных с фигурами в виде правильных многоугольников [Текст] / A.B. Коробко // Изв. вузов. Строительство. - 1995. - № 4. - С. 114-119.

77 Коробко, A.B. Метод интерполяции по коэффициенту формы в механике деформируемого твердого тела [Текст] / A.B. Коробко. - Ставрополь : Изд-во Ставропольского университета, 1995. - 166 с.

78 Коробко, A.B. Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости [Текст] / A.B. Коробко. - М.: Изд-во АСВ, 1999.-320 с.

79 Коробко, В.И. Об одном способе решения плоской задачи теории упругости [Текст] / В.И. Коробко // Исследования облегченных строительных конструкций. - Хабаровск : ХБИ. - 1977. - С. 15-20.

80 Коробко, В.И. Применение изопериметрического метода к решению задач технической теории пластинок (препринт) [Текс] / В.И. Коробко. -Хабаровск : ХабКНИИ ДВНЦ АН СССР. - 1978. - 66 с.

81 Коробко, В.И. Изопериметрические неравенства в теории упругих пластинок [Текс] / В.И. Коробко // Строительная механика и расчет сооружений. - 1978. -№ 5. - С. 35—41.

82 Коробко, В.И. Некоторые геометрические методы решения задач технической теории пластинок (препринт) [Текс] / В.И. Коробко. -Хабаровск : ХабКНИИ ДВНЦ АН СССР, 1978. - 66 с.

83 Коробко, В.И. Использование изопериметрической формы записи решения задач изгиба пластинок для оценки прогибов и изгибающего момента пластинок произвольной формы [Текс] / В.И. Коробко // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1978. -№10. - С. 98-43.

84 Коробко, В.И. Применение изопериметрического метода к решению некоторых задач строительной механики пластинок [Текс] / В.И. Коробко // Строительная механика и расчет сооружений. - 1979. - № 4. - С. 21-23.

85 Коробко, В.И. Геометрические методы расчета пластинок, находящихся в предельном состоянии [Текс] / В.И. Коробко. - Хабаровск : Хабаровское книжное изд-во, 1979. - 104 с.

86 Коробко, В.И. Об одном способе симметризации пластинок [Текс] / В.И. Коробко // Строительная механика и расчет сооружений. - 1980. - № 2. — С. 36-39.

87 Коробко, В.И. Развитие и применение изопериметрического метода к решению задач строительной механики пластинок [Текст] : дис. ... д-р техн. наук : 05.23.17 / Коробко Виктор Иванович. - Хабаровск, 1982. - 242 с.

88 Коробко, В.И. Графическое представление границ изменения максимального прогиба пластинок [Текст] / В.И. Коробко // Строительная механика и расчет сооружений. - 1983. - № 2. - С. 62-64.

89 Коробко, В.И. Графическое представление границ изменения геометрической жесткости сечений в виде выпуклых фигур [Текст] /

B.И. Коробко // Изв. вузов. Машиностроение. - 1986. - № 3. - С. 2-7.

90 Коробко, В.И. Исследование графоаналитическим способом некоторых задач изгиба жестко защемленных пластинок [Текст] / В.И. Коробко,

C.Г. Малых // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1986. — № 1. -С. 126-130.

91 Коробко, В.И. Графоаналитический способ определения основной частоты колебаний и критической нагрузки мембран произвольного вида [Текс] / В.И. Коробко // Тонкостенные пространственные конструкции покрытий зданий. - Таллинн, 1986. - С. 71-72.

92 Коробко, В.И. О "сравнимости" физико-механических характеристик в задачах строительной механики, описываемых уравнениями эллиптического типа второго порядка [Текст] / В.И. Коробко // Изв. Сев.-Кавк. научного центра высшей школы. Технические науки. - 1987. - № 3. - С. 96-100.

93 Коробко, В.И. Основные изопериметрические неравенства в технической теории упругих пластинок [Текс] / В.И. Коробко // Строительная механика и расчет сооружений. - 1986. - № 6. - С. 47-51.

94 Коробко, В.И. Изопериметрическая проблема в задачах расчета пластинок на упругом основании [Текс] / В.И. Коробко, В.В. Ковалев // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1991. - № 5. - С. 31-34.

95 Коробко, В.И. Качественная оценка предельных нагрузок и прогибов пластинок, лежащих на упругом основании, с помощью изопериметрического метода [Текс] / В.И. Коробко, В.В. Ковалев // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1992. - № 2. - С. 38^Ю.

96 Коробко, В.И. Изопериметрический метод в строительной механике: Теоретические основы изопериметрического метода [Текст] / В.И. Коробко. -М. : Изд-во АСВ стран СНГ, 1997. - 390 с.

97 Коробко, В.И. Строительная механика пластинок: Техническая теория [Текст] / В.И. Коробко, A.B. Коробко. - М. : Издательский дом «Спектр», 2010.-410 с.

98 Купрадзе, В.Д. Методы потенциала в теории упругости [Текст] /

B.Д. Купрадзе. -М. : Физматгиз, 1963. - 472 с.

99 Курпа, JI.B. Метод R-функций в задачах о собственных колебаниях пластин со смешанными условиями закрепления [Текст] / JI.B. Курпа // Гидроаэромеханика и теория упругости. - 1983. - Вып. 31. - С. 80-84.

100 Лехницкий, С.Г. Анизотропные пластинки [Текст] / С.Г. Лехницкий. -М. : Гостехиздат, 1957. - 463с.

101 Лехницкий, С.Г. Теория упругости анизотропного тела [Текст] /

C.Г. Лехницкий. - М. : Наука, 1977. - 416 с.

102 Лурье, С.А. Изгиб прямоугольной ортотропной пластинки, защемленной по контуру [Текст] / С.А. Лурье // Механика твердого тела. - 1982. - № 1. -С. 159-168.

103 Лурье, С.А. Анизотропные многослойные пластины и оболочки / С.А. Лурье, A.A. Дудченко, И.Ф. Образцов // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. - М. : ВИНИТИ, 1983. - Т. 15. -С. 3-68.

104 Ляв, А. Математическая теория упругости [Текст] / А. Ляв. - М. : ОНТИ, 1935.-674 с.

105 Малинкин, Н.С. Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к расчету параллелограммных пластинок [Текст] :

дис. ... канд. техн. наук : 05.23.17 / Малинкин Николай Сергеевич. - Орел, 2003.-212 с.

106 Мануйлов, Г. А. Геометрические оценки прогиба шарнирно опертых пластин от действия контурных моментов [Текст] / Г.А. Мануйлов // Прочность и жесткость машиностроительных конструкций. - М. - 1984. -С. 87-94.

107 Мануйлов, Г. А. Геометрические оценки основной частоты шарнирно опертых полигональных пластин и пологих сферических оболочек [Текст] / Г.А. Мануйлов // Инженерные проблемы прикладной механики. - М. - 1987. - С. 87-94.

108 Мануйлов, Г. А. Оценки прогибов некоторых пластин, имеющих форму описанных многоугольников [Текст] / Г.А. Мануйлов // Прочность, устойчивость и колебания строительных конструкций. - JI. : ЛИСИ, 1988. -С. 138-145.

109 Мануйлов, Г.А. О построении геометрических оценок решений для защемленных изотропных пластин [Текст] / Г.А. Мануйлов // Научно-технические проблемы судостроения и судоремонта. - М. - 1988. - С. 45-50.

110 Маркус, Г. Теория упругой сетки и ее приложение к расчету плит безбалочных перекрытий [Текст] / Г. Маркус. - Киев : ОНТИ, 1936. - 285 с.

111 Матченко, Н.М. О нелинейных соотношениях разномодульной теории упругости [Текст] / Н.М. Матченко, Л.А. Толоконников // Сборник работ по теории упругости. - Тула : ТПИ. - 1968 - С. 69-72.

112 Метод граничных интегральных уравнений: Вычислительные аспекты и приложения в механике [Текст] / Под ред. Т.Круза, Ф.Риццо. - М. : Мир, 1978.-210 с.

113 Михлин, С.Г. Интегральные уравнения [Текст] / С.Г. Михлин. - М. : Гостехиздат, 1947. - 304 с.

114 Михлин, С.Г. Вариационно-сеточная аппроксимация [Текст] / С.Г. Михлин // Записки научн. семин.- ЛОМИ, 1974. - Т. 48 - С. 32-188.

115 Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости [Текст] / Н.И. Мусхелишвили. — М. : Физматгиз, 1966. -708 с.

ПбМуштари, Х.М. Нелинейная теория упругих оболочек [Текст] / Х.М. Муштари, К.З. Галимов. - Казань : Таткнигоиздат, 1957. - 431 с.

117 Норри, Д. Введение в метод конечных элементов [Текст] / Д. Норри, Ж. де Фриз; под ред. Г.И. Марчука; пер. с англ. Г.В. Демидова,

A.Л. Урванцева. - М.: Мир, 1981. - 304 с.

118 Новожилов, В.В. Основы нелинейной теории упругости [Текст] /

B.В. Новожилов. - Л. : Гостехиздат, 1948. - 212 с.

119 Новожилов, В.В. Линейная теория тонких оболочек [Текст] / В.В. Новожилов, К.Ф. Черных, Е.И. Михайловский. - Л. : Политехника, 1991. - 656 с.

120 Обен, Ж.П. Приближенное решение эллиптических краевых задач [Текст] / Ж.П. Обен. - М. : Мир, 1977. - 360 с.

121 Оганесян, Л. А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений [Текст] / Л.А. Оганесян, Л.А. Руховец. - Ереван: АН АрмССР, 1979. - 235 с.

122 Пикуль, В.В. Общая теория тонких упругих пластин и пологих оболочек [Текст] / В.В. Пикуль. - М. : Наука, 1977. - 151 с.

123 Полиа, Г. Изопериметрические неравенства в математической физике [Текст] / Г. Полиа, Г. Cere. - М. : Госматиздат, 1962. - 336с.

124 Постнов, В.А. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений [Текст] / В.А. Постнов, С.А. Дмитриев, Б.К. Елтышев и др. -Л. : Судостроение, 1974. - 287 с.

125 Рвачёв, В.Л. Геометрические приложения алгебры логики [Текст] / В.Л. Рвачев. - Киев: Техшка, 1967. - 212 с.

126 Рвачёв, В.Л. Об одном методе решения задач изгиба пластинки, защемленной по контуру [Текст] /В.Л. Рвачев, Л.А. Учишвили // Прикл. механика. - 1968. - Т. 4. - № 4. - С. 123 - 128.

127 Рвачёв, В. Л. Метод R-функций в задачах об изгибе и колебаниях пластин сложной формы [Текст] / В.Л. Рвачёв, Л.В. Курпа, Н.Г. Склепус, Л.А. Учишвили. - Киев : Наукова думка, 1973. - 121 с.

128 Рвачёв, В.Л. Структуры решений задач теории пластин со смешанными граничными условиями [Текст] / В.Л. Рвачев, Л.В. Курпа // Докл. АН УССР, серия А. - 1983. - № 9. - С. 34-37.

129 Рвачёв, В.Л. R-функции в задачах теории пластин [Текст] / В.Л. Рвачев, Л.В. Курпа. - Киев : Наук, думка, 1987. - 176 с.

130 Рогалевич, B.B. Коллокационные методы. Сущность. Примеры [Текст] / В.В. Рогалевич. - Екатеринбург : Изд. АМБ, 2001. - 298 с

131 Розин, JT.A. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Метод конечных элементов [Текст] / JI.A. Розин. - JI. : Энергия, 1971. - 213 с.

132 Розин, JI.A. Дифференциальная форма метода конечных элементов применительно к задачам теории упругости [Текст] / JI.A. Розин,

B.Г. Корнеев // В кн.: Успехи механики деформируемых сред. - М., Наука, 1975.-С. 34-46.

133 Розин, JI.A. Метод конечных элементов в применении к упругим системам [Текст] / JI.A. Розин. - М.: Стройиздат, 1977. - 129 с.

134 Розин, JI.A. Современное состояние метода конечных элементов в строительной механике [Текст] / JI.A. Розин // Изв. ВУЗов. Строительство и архитектура. - 1981. - № II. - С. 41-54.

135 Саркисян, С.О. Асимптотическая теория тонких пластин по несимметричной упругости [Текст] / С.О. Саркисян // Современные проблемы концентрации напряжений. Тр. международной науч. конф. -Донецк, 1998,-С.219-223.

136 Саркисян, С.О. Асимптотическая теория тонких пластин по несимметричной теории упругости [Текст] / С.О. Саркисян // Актуальные проблемы механики оболочек. - Казань : УНИПРЕСС, 1998. - С. 198-203.

137 Саркисян, С.О. Асимптотическая теория и вариационное уравнение плоской задачи упругой тонкой пластинки по моментной теории упругости [Текст] / С.О. Саркисян // Доклады HAH Армении. - 1999. - Т. 99. - № 2. -

C. 115-124.

138 Саркисян, С.О. Асимптотическая теория и вариационное уравнение задачи изгиба упругой тонкой пластинки по моментной теории упругости [Текст] / С.О. Саркисян // Доклады HAH Армении. - 1999. - Т. 99. - № 3 -С. 312-320.

139 Саркисян, С.О. Асимптотическая теория тонких оболочекн по несимметричной теории упругости [Текст] / С.О. Саркисян //Актуальные проблемы механики оболочек. - Казань : Новое Знание, 2000. - С. 356-361.

140 Сахаров, A.C. Моментная схема конечных элементов (МСКЭ) с учетом жестких смещений [Текст] / A.C. Сахаров // Сопротивление материалов и теория сооружений. - Киев : Буд1вельник, 1974. -Вып. 24. - С. 147-156.

141 Синицин, А.П. Метод конечных элементов в динамике сооружений [Текст] /А.П. Синицин. - М.: Стройиздат, 1978. - 231 с.

142 Сегерлинд, JI. Применение метода конечных элементов [Текст] / Л. Сегерлинд. - М. : Мир, 1979. - 392 с.

143 Сенин, М.А. Определение динамических характеристик пластинок с комбинированными граничными условиями с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы [Текст] : дис. ... канд. техн. наук : 05.23.17 / Сенин Максим Андреевич. - Орел, 2009. - 207 с.

144 Справочник по теории упругости (для инженеров — строителей) [Текст] / Под ред. П.М. Варвака и А.Ф. Рябова. - Киев: Буд1вельник, 1971. - 418 с.

145 Стренг, Г. Теория метода конечных элементов [Текст] / Г. Стренг, Жд. Фикс. - М. : Мир, 1977.-351 с.

146 Тимошенко, С.П. Пластинки и оболочки [Текст] / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. - М.: Физматгиз, 1963. - 625 с.

147 Трещев A.A. Поперечный изгиб прямоугольных пластин, выполненных из материалов, механические характеристики которых зависят от вида напряженного состояния [Текст] / A.A. Трещев // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1988. - №1. - С. 25-29.

148 Устинов, Ю.А. О структуре погранслоя в слоистых плитах [Текст] / Ю.А. Устинов // ДАН СССР. Определение динамических характеристик пластинок с комбинированными граничными условиями. — 1976. - Т. 229. — № 2. - С. 325-328.

149 Фаерберг, И.И. Изгиб ортотропной эллиптической пластинки, свободно опертой по контуру [Текст] / И.И. Фаерберг // Инженерный журнал. - 1964. -Том IV. - Вып. 2. - С. 266-267.

150 Фетисова, М.А. Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач поперечного изгиба пластинок с комбинированными граничными условиями [Текст] : дис. ... канд. техн. наук : 05.23.17 / Фетисова Мария Александровна. - Орел, 2010. - 162 с.

151 Чикулаев, A.B. Решение задач устойчивости оболочек с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы [Текст] : дис. ... канд. техн. наук : 05.23.17 / Чикулаев Алексей Витальевич. - Орел, 2009. - 161 с.

152 Ярцев, Ю.П. О сходимости метода коллокации по линиям [Текст] / Ю.П. Ярцев // Дифференциальные уравнения. - Минск: Наука и техника, 1967.-Т. III.-№91.-С. 1606-1613.

153 Altiero, N.T. A boundary integral method applied to plates of arbitary plan form [Text] / N.T. Altiero, D.L. Sikarskie // Computer and Structures. - 1978. - № 9.-P. 163-168.

154 Barta J. Uber die naherungsweise Losung einiger zweidimensionaler Elastizitataufgaben [Text] / J. Barta // ZAMM. - 1937. - Bd. 17. - P. 184-185.

155 Bauers, S.M. Asimptotic methods in mechanics with applications to thin shell and plates [Text] / S.M. Bauers, S.B. Filippov, A.L. Smirnov, P.E. Tovstik // Asymptotic Methods in Mechanics. GRM Proc. & Lecture Notes. - 1993. - V. 3. -P. 3-143.

156 Brebbia, C.A. The boundary element method for engineers [Text] / C.A. Brebbia. - London : Pentech Press, 1978. - 190 p.

157 Conway H.D. The Bending, Buckling and Flexural Vibration of simply Supported poligonal Plates by Point-Matching [Text] / H.D. Conway // Trans ASME. S.E.- 1961.-Vol. 28.-№2.-P. 288-291.

158 Conway, H.D. Triangular plates analyzed by point matching [Text] / H.D. Conway // J. Appl. Mech. - 1962. - V. 29. - Ser. E. - № 4. - P. 168-169.

159 Hwu, C. Anisotropic elastic plates [Text] / C. Hwu. - New York : Springer. -674 p.

160 Kamiya, N. Boundary element nonlinear bending analysis of clamped sandwich plates and shells, in Boundary Elements in Engineering (C. Brebbia, Ed.) [Text] / N. Kamiya, Y. Sawaki, Y. Nakamura. - Berlin : Springer-Verlag, 1982.

161 Lekhniskii, S.G. Anisotropic plates [Text] / S.G. Lekhniskii. - New York : Gordon and Brench, 1968. - 534 p.

162 Lowe, P.G. Isoperimetric inequalities in structural mechanics [Text] / P.G. Lowe // The ninth Australian Conference on the Mechanics of Structures and Materials. - Sydney : University of Sydney, 1984. - P. 147-151.

163 Lowe, P.G. Limit Analysis of Plates and Isoperimetric Inequalities [Text] / P.G. Lowe, J.D. Allen, I.F. Collins // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Physical, Mathematical and Engineering Sciences. - London : Royal Society of London. - 1994. - № 347. - P. 113-137.

164 Maiti, M. Integral equation solutions for simply supported polygonal plates [Text] / M. Maiti, S.K. Chakrabarty // Int. J. Engng. Sei. - 1974. - № 12. -P. 793 - 806.

165 Niwa, Y. An application of the integral equation method to plate bending [Text] / Y. Niwa, S. Kobayashi, T. Fubui // Faculty Engng. Kyoto Univ. - 1974. -36 (Pt. 21)-P. 140-158.

166 Robinson, N.J. Collocation solution for a corner supported plate [Text] / N.J. Robinson // Trans. ASME. - 1969. - Ser. E. - No. 4. - P. 484^85.

167 Roy, J.R. Numerical error in solutions [Text] / J.R. Roy // J. Struct. Div., ASCE. - 1971. -№ 97. - P. 1039-1054.

168 Schrem F. Computer implementation of the finite element method in Numerical Computer Methods in Structural Mechanics (Fenves S.J. et. af., ads.) [Text] / F. Schrem // Academic Press. - New York. - 1973. - P. 79-122.

169 Segedin, C.M. A integral equation method for corner plates [Text] / C.M. Segedin, P.G.A. Brickell // J. Struct. Div. Proc. ASCE. - 1968. - Vol. 94. -P. 41-52.

170 Stern, M. A general boundary integral formulation for the numerical solution of plates bending problems [Text] / M. Stern // Int. J. Solids Structures. - 1979. -Vol. 15.-P. 769-782.

171 Symm, G.T. Integral equation methods in potential theory [Text] / G.T. Symm II Proc. Roy. Soc. - 1963. - Ser. A. - Vol. 275. - P. 33^6.

172 Von Fuchs, G. Solution of the stiffness Matrix Equations in ASKA [Text] / G. Von Fuchs, J.R. Roy // Inst. Fur Statik und Dynamic Univ. Stuttgart. - 1968. -№ 50.

173 Zienkiewicz, O.C. Reduced integration technique in general analysis of plates and shells [Text] / O.C. Zienkiewicz, J. Too, R.L. Taylor // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1971. - Vol. 3. - № 2. - P. 275-290.