Развитие и применение геометрических методов к решению некоторых задач технической теории пластинок с криволинейными участками контура тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат наук Шляхов Станислав Владимирович

• Шляхов Станислав Владимирович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Шляхов Станислав Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

I ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК

1.1 Аналитические методы решения двумерных задач строительной механики

1.2 Приближенные методы решения задач технической теории пластинок

1.2.1 Вариационные методы

1.2.2 Геометрические методы

1.3 Изопериметрический метод

1.4 Метод интерполяции по коэффициенту формы

1.4.1 Интегральная геометрическая характеристика формы области

(коэффициент формы)

1.4.2 Развитие метода интерполяции по коэффициенту формы

1.5 Основные нерешенные проблемы в развитии МИКФ. Цели и задачи

диссертационной работы

II ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО

КОЭФФИЦИЕНТУ ФОРМЫ

2.1 Основные обозначения и соотношения, используемые в работе

2.2 Коэффициент формы области с выпуклым контуром

2.3 Фигуры, промежуточные между кругом и правильными

многоугольниками

2.4 Круговой сектор с вершиной в центре окружности

2.5 Круговой сектор с вершиной на диаметре

2.6 Круговые сегменты

2.7 Усеченные круговые секторы с вершиной в центре окружности

2.8 Усеченные круговые сегменты

2.9 Фигуры, образованные отсечением от круга двух равновеликих симметрично

расположенных сегментов

3

2.10 Симметричные и несимметричные круговые луночки

2.11 Фигуры, составленные из прямоугольника и двух равновеликих

симметрично расположенных сегментов

2.12 Основные задачи и интегральные физические характеристики,

рассматриваемые в работе

2.13 Взаимосвязь интегральных физических характеристик пластинок с

коэффициентом формы

2.14 Методика использования МИКФ

2.14.1 Построение двусторонних изопериметрических неравенств

2.14.2 Построение аналитических зависимостей для ограниченных

подмножеств областей

2.15 Выбор аппроксимирующей функции для пластинок с жестко защемленным

и шарнирно опертым контуром

2.16 Сопоставление новых аппроксимирующих функций со степенной функций

вида (2.29)

2.16.1 Тестирование функции (2.48) в задачах поперечного изгиба

пластинок с жестко защемленным контуром

2.16.2 Тестирование функции (2.48) в задачах поперечного изгиба

пластинок с шарнирно опертым контуром

2.17 Основные выводы по главе

III ПРИМЕНЕНИЕ МИКФ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИНОК С

КРИВОЛИНЕЙНЫМИ УЧАСТКАМИ КОНТУРА

3.1 Аналитическое представление зависимости максимальный прогиб –

основная частота колебаний в упругих пластинок

3.2 Жестко защемленные пластинки, форма которых является промежуточной

между кругом и правильными многоугольниками

3.3 Жестко защемленные пластинки в виде кругового сегмента

3.4 Жестко защемленные пластинки в виде симметричных и несимметричных

луночек

3.5 Жестко защемленные пластинки в виде кругового сектора

4

3.6 Жестко защемленные пластинки в виде круга с двумя отсеченными

сегментами, симметричными относительно диаметра

3.7 Шарнирно опертые пластинки, форма которых является промежуточной

между кругом и правильными многоугольниками

3.8 Шарнирно опертые пластинки в виде кругового сегмента

3.9 Шарнирно опертые пластинки в виде круга с двумя отсеченными

сегментами, симметричными относительно диаметра

3.10 Шарнирно опертые пластинки в виде кругового сектора

3.11 Основные выводы по главе

IV МЕТОД МАСШТАБИРОВАНИЯ ПРИ ОЦЕНКЕ ЖЕСТКОСТИ И

ОСНОВНОЙ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ ПЛАСТИНОК

4.1 Графическое представление решений для пластинок в виде треугольников

4.2 Метод масштабирования для треугольных пластинок

4.3 Расчет пластинок в виде частей круга методом масштабирования

4.4 Основные выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ

ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ

ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ

Справка о внедрении в учебный процесс научных результатов

5

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие и применение геометрических методов к решению некоторых задач технической теории пластинок с криволинейными участками контура»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Пластинки разнообразных форм с различными гранич-

ными условиями являются широко распространенными конструктивными элемен-

тами зданий и сооружений, машин и механизмов. В настоящее время известно не-

много точных методов решения задач технической теории пластинок. Как правило,

пластинки сложных форм и сложными граничными условиями рассчитываются

приближенными методами, преимущественно численными. Широко распростра-

ненными являются метод конечных элементов (МКЭ) и метод конечных разностей

(МКР). Однако при их использовании зачастую теряется физический смысл реша-

емой задачи, поскольку каждый раз решение отыскивается для пластинки конкрет-

ной формы с определенными граничными условиями. Полученный ответ трудно

сопоставить, с соответствующими физическими характеристиками, принадлежа-

щими некоторому подмножеству форм пластинок с одинаковыми граничными

условиями.

Поэтому проблема разработки и развития приближенных аналитических ме-

тодов расчета пластинок остается по-прежнему актуальной. Одним из таких мето-

дов, активно развивающихся в последнее время, является метод интерполяции по

коэффициенту формы (МИКФ), который относится к геометрическим методам. Он

позволяет свести решение сложной физической задачи к элементарной геометри-

ческой и, что самое главное, дает возможность представлять искомое решение в

виде аналитических зависимостей, объединяющих определенные подмножества

форм пластинок с определенными граничными условиями.

Теоретические основы этого метода разработаны. Однако практика его при-

менения ограничена в основном треугольными и четырехугольными пластинками

(ромбические, параллелограммные, трапециевидные). Для более широкого внедре-

ния МИКФ в проектную практику необходимо дальнейшее его развитие примени-

тельно к определенным классам форм пластинок с учетом их изопериметрических

свойств и закономерностей изменения при различных геометрически преобразова-

ниях. Своеобразный класс форм пластинок представляют собой фигуры в виде ча-

 6

стей круга (секторы, сегменты, луночки, круг с отсеченными частями и др.), кото-

рые широко используются в качестве конструктивных элементов строительных и

машиностроительных конструкций (поворотные вставки между прямоугольными

секциями жилых домов, площадки для обслуживания сложного технологического

оборудования промышленных предприятий, элементов силового каркаса корабля,

летательных аппаратов и других машин). Развитию и применению МИКФ к рас-

чету жесткости таких пластинок и их основной частоты колебаний посвящена

настоящая диссертация.

Объект исследования – упругие изотропные пластинки в форме частей

круга с однородными граничными условиями (либо шарнирное опирание по кон-

туру, либо жесткое защемление). Предмет исследования – геометрические ме-

тоды определения жесткости пластинок, нагруженных равномерно распределенной

нагрузкой, и основной частоты колебаний в ненагруженном состоянии.

Цель диссертационной работы состоит в развитии теоретических основ и

совершенствовании метода интерполяции по коэффициенту формы для расчета

упругих пластинок, имеющих форму частей круга.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

- получить формулы для определения коэффициента формы, изучить его изо-

периметрические свойства и закономерности изменения для геометрических фигур,

представляющих собой различные части круга, при разнообразных геометрических

преобразованиях;

- выбрать рациональные структуры аппроксимирующих функций для ис-

пользования методики МИКФ к расчету пластинок рассматриваемых форм и про-

тестировать их на основе известных решений;

- используя методику МИКФ построить аналитические зависимости для

определения жесткости равномерно нагруженных пластинок в виде частей круга

при однородных граничных условиях (шарнирное опирание или жесткое защемле-

ние по контуру) и основной частоты колебаний этих пластинок в ненагруженном

состоянии;

- сформулировать и доказать изопериметрические теоремы относительно

экстремальных свойств интегральных физических характеристик (максимального

 7

прогиба и основной частоты колебаний) для пластинок рассматриваемого класса

форм;

- разработать метод масштабирования для решения рассматриваемых задач,

методику его применения на основе установленного свойства подобия аппрокси-

мирующих функций, полученных с использованием коэффициента формы и инте-

гральных физических параметров рассматриваемых пластинок;

- с помощью полученных аппроксимирующих функций с учетом коэффици-

ента масштабирования провести решение рассматриваемого класса задач и резуль-

таты представить в табличном виде.

Методы исследования. В процессе проведения исследований использовались

классические методы технической теории пластинок, методы физико-механиче-

ского и геометрического подобия пластинок, изопериметрический метод, метод ин-

терполяции по коэффициенту формы, методы построения аппроксимирующих

функций и регрессионных зависимостей.

Научную новизну диссертации составляют:

- формулы для определения коэффициента формы различных фигур в виде ча-

стей круга при различных геометрических преобразованиях;

- изопериметрические свойства и закономерности изменения коэффициента

формы для различных фигур из рассматриваемого множества форм пластинок;

- структура аппроксимирующих функций для решения рассматриваемых задач

теории пластинок с помощью МИКФ, и построенные аппроксимирующие функции

для пластинок из рассматриваемого класса форм;

- использование закономерности о функциональной связи между жесткостью

пластинок с однородными и комбинированными граничными условиями и основ-

ной частотой колебаний;

- способы определения множества интегральных характеристик пластинок в

виде частей круга с использованием лишь одного известного точного решения со-

ответствующих задач теории пластинок.

- метод масштабирования и методика его реализации при построении аппрок-

симирующих функций для определения жесткости и основной частоты колебаний

пластинок из рассматриваемого множества форм.

 8

Практическая ценность работы заключается:

- в построении большого числа расчетных формул, позволяющих находить

значения коэффициента формы пластинок с криволинейными участками опорного

контура (пластинок в форме частей круга), максимального прогиба таких пласти-

нок и основной частоты колебаний;

- в разработке практических способов использования МИКФ при расчете пла-

стинок в виде частей круга;

- в разработке метода масштабирования, методики его использования и реко-

мендаций по его применению к пластинкам в виде частей круга;

- в решении большого числа конкретных задач с их графическим представле-

нием и составлением соответствующих таблиц.

Достоверность полученных в работерезультатов подтверждается их сопо-

ставлением с известными решениями аналогичных задач других исследователей,

приводимых в научной, справочной и учебной литературе, а также решением боль-

шого количества тестовых задач.

На защиту выносятся:

- формулы для подсчета коэффициента формы геометрических фигур в виде

частей круга;

- изопериметрические свойства и закономерности изменения коэффициента

формы Kf для различных фигур в виде частей круга при различных геометрических

преобразованиях;

- закономерность о функциональной связи между жесткостью пластинок с лю-

быми граничными условиями с основной частотой колебаний и ее аналитическое

представление; примеры использования закономерности при расчете пластинок в

виде частей круга;

- структура аппроксимирующих функций для решения отдельных задач тео-

рии пластинок, связывающие жесткость пластинок и основную частоту колебаний

с коэффициентом формы Kf;

- метод масштабирования, методика его реализации и аналитические зависи-

мости F(Kf) для определения рассматриваемых интегральных физических характе-

ристик пластинок определенного вида с учетом коэффициента масштабирования.

 9

Апробация работы и публикации. Результаты научной работы докладыва-

лись и обсуждались на ежегодных научно-технических конференциях профессор-

ско-преподавательского состава ФГБОУ ВО «Орловский государственный универ-

ситет имени И.С. Тургенева» (Орел, 2016…2018); а также на международных

научно-технических конференциях: 8-я Международная конференция по пробле-

мам горной промышленности, строительства и энергетики «Социально-экономиче-

ские и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энерге-

тики» (Тула, 2012); XXII студенческая международная научно-практическая кон-

ференция «Научное сообщество студентов XXI столетия. Технические науки» (Но-

восибирск, 2014); Международные академические чтения «Безопасность строи-

тельного фонда России. Проблемы и решения» (Курск, 2014); 2-ой Брянский меж-

дународный инновационный форум «Строительство-2016» (Брянск, 2016); I меж-

дународная научно-практическая конференция молодых учёных «Безопасный и

комфортный город» (Орел, 2017); II международная научно-практическая конфе-

ренция молодых учёных «Безопасный и комфортный город» (Орел, 2018); VI

International Scientific Conference «Integration, Partnership and Innovationin-

Construction Scienceand Education» (Москва, 2018).

По теме диссертации опубликовано 15 научных работ, в том числе в 7-и изда-

ниях, входящих в перечень, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ, и одна – в

изданиях, индексируемых в международной сети Scopus.

Структура и объём работы. Диссертация изложена на 161 страницах, вклю-

чающих 136 страницы основного текста и состоит из введения, четырехглав, основ-

ных выводов, списка литературы, включающего 144 наименований, и трех прило-

жений. В работе приведено 54 рисунка и 32 таблицы.

Во ведении обосновывается актуальность темы, даётся общая характеристика

диссертации, приводятся цели и основные задачи исследования, методы его прове-

дения, отмечается научная новизна и практическая значимость результатов работы,

указываются результаты, которые выносятся на защиту.

В первой главе изложен краткий аналитический обзор методов строительной

механики, используемых для расчета пластинок. Наиболее подробно рассматрива-

ются приближенные методы расчета, в частности, геометрические методы: метод

 10

интерполяции по коэффициенту формы и изопериметрический метод. В конце

главы формулируются основные цели и задачи диссертации.

Во второй главе приводятся общие сведения об интегральной геометриче-

ской характеристике формы полоской области с односвязным выпуклым контуром

(коэффициенте формы), которая является аналогом интегральных физических ха-

рактеристик пластинок. Исследуются изопериметрические свойства и закономер-

ности изменения коэффициента формы областей в виде частей круга, получены

расчетные формулы для подсчета коэффициента формы. Излагаются теоретиче-

ские основы изопериметрического метода и метода интерполяции по коэффици-

енту формы, рассматриваются различные возможности реализации этих методов.

На основе анализа интегро-дифференциальных соотношений теории пластинок,

представленных в изопериметрическом виде, выбирается оптимальная структура

аппроксимирующих функций для различных задач теории пластинок. Проводится

тестирование этих функций с использованием известных точных решений. Полу-

чены расчетные формулы для определения неизвестных параметров в этих функ-

циях.

Третья глава посвящена развитию метода интерполяции по коэффициенту

формы к расчету пластинок в виде частей круга. В основном рассматриваются за-

дачи поперечного изгиба пластинок равномерно распределенной нагрузкой и сво-

бодные колебаний пластинок в ненагруженном состоянии. Граничные условия пла-

стинок приняты однородными (либо шарнирное опирание, либо жесткое защемле-

ние по контуру). На основе только единственного известного точного решения за-

дачи об изгибе пластинки в виде симметричной круговой луночки получены реше-

ния для всех задач поперечного изгиба и свободных колебаний рассматриваемых

пластинок с жестко защемленным контуром, а на основе только единственного из-

вестного решения задачи о поперечном изгибе секториальных пластинок с шар-

нирно опертым контуром получены решения для всех задач поперечного изгиба и

свободных колебаний рассматриваемых пластинок с шарнирно опертым контуром.

Большинство полученных решений представлено не только расчетными форму-

лами, но и в виде таблиц.

В четвертой главе рассматривается метод масштабирования для определения

 11

значений максимальных прогибов и частот свободных колебаний пластинок в виде

частей круга. При этом в качестве геометрического параметра используются углы,

характеризующие в каждом конкретном случае форму фигуры (угол кругового сек-

тора, центральный угол хорды сегмента и т.п.). Получены аппроксимирующие

функции для определения значений максимального прогиба и основной частоты

колебаний пластинок.

В приложениях помещены многочисленные таблицы, в которых приводятся

результаты расчетов при определении коэффициента формы рассматриваемых пла-

стинок с формой в виде частей круга, максимального прогиба и основной частоты

колебаний.

 12

I ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК

Основы теории пластинок были разработаны еще в XIX в, а широкое ее ис-

пользование в инженерных расчетах началось в начале ХХ в. Основополагающие

труды по теории изгиба пластинок и методам их расчета принадлежат российским

ученым: И.Г. Бубнову [16], Б.Г. Галеркину [30], С.П. Тимошенко [114], П.Ф. Пап-

ковичу [94].

Методы решения задач теории пластинок, в частности теории изгиба пласти-

нок, можно укрупнено разделить на аналитические (прямые) и приближенные, а

последние – на вариационные и геометрические.

1.1 Аналитические методы решения двумерных задач

строительной механики

При решении двумерных задач строительной механики (задач технической

теории пластинок и мембран (поперечный изгиб, колебания и устойчивость), кру-

чение упругих призматических стержней) используется математический аппарат

теории упругости, который включает в себя [1, 92]:

- дифференциальные уравнения равновесия (6 шт.);

- условия на поверхности (3 шт.);

- геометрические соотношения – уравнения Коши – (6 шт.);

- уравнения неразрывности деформаций – уравнения Сен-Венана –

(6 шт.);

- физические соотношения (обобщенный закон Гука) (6 шт).

Всего 27 уравнений, которые должны решаться совместно. При решении двумер-

ных задач число совместно решаемых уравнений существенно сокращается за счет

равенства нулю отдельных компонентов напряженно-деформируемого состояния

исследуемых конструкций.

В особую группу двумерных задач строительной механики можно выделить

упругие изотропные пластинки – тела призматической (или цилиндрической)

 13

формы, у которых высота мала по сравнению с размерами основания. Считается,

что и прогибы таких пластинок малы по сравнению с ее толщиной. Тория расчета

таких пластинок называется технической теорией пластинок. Помимо указанных

выше допущений в основу этой теории положен целый ряд упрощающих гипотез

[1, 47, 93, 114]:

- напряжениями σz, возникающими вследствие взаимного сжатия горизон-

тальных слоев пластинки, пренебрегают;

- элемент пластинки, перпендикулярный к ее срединной поверхности до де-

формации, остается перпендикулярным к ней и после деформации (гипотеза

Кирхгоффа-Лява).

С учетом этих гипотез расчет упругой изотропной пластинки сводится к ре-

шению дифференциального уравнения равновесия (уравнения Софи Жермен)

4w 4w  4 w q ( x , y)

2 2 2  4  , (1.1)

x 4 x y y D

или D 2 2 w  q( x, y), (1.2)

где w(x,y) – функция прогибов; q(x,y) – закон изменения нагрузки;  2  оператор

Лапласа

2 2

2   ;

х 2 у 2

D – цилиндрическая жесткость пластинки, определяемая по формуле

EH 3

D .

12(1   2 )

Здесь Е – модуль упругости материала, Н – высота (толщина пластинки),

ν – коэффициент Пуассона. Таким образом, для решения задачи по расчету пла-

стинки необходимо найти функцию прогибов w(x,y), удовлетворяющую уравне-

нию (1.1) и граничным условиям (условиям закрепления пластинки на контуре).

Известно лишь ограниченное число задач в технической теории пластинок,

решение которых получено в законченном виде [10, 100, 111, 114]:

- эллиптическая жестко защемленная пластинка, нагруженная равномерной

нагрузкой;

- круглая шарнирно опертая пластинка под действием равномерной

 14

нагрузки и сосредоточенной силы;

- прямоугольная шарнирно опертая пластинка под действием равномерной

нагрузки (решение в двойных тригонометрических рядах – решение Навье);

- прямоугольная пластинка, две противоположные стороны которой шар-

нирно оперты, а две другие имеют любые граничные условия под действием про-

извольной нагрузки (решение М. Леви);

- пластинка в виде равностороннего треугольника, нагруженная равномер-

ной нагрузкой.

Огромное число важных для конструкторской практики задач не может

быть решено точными методами, их обычно решают приближенно, большей ча-

стью, численными методами.

При решении задач динамики пластинок [111, 113, 116, 117] необходимо

найти функцию прогибов w(x,y,t), удовлетворяющую дифференциальному уравне-

нию

 4w 4w 4w 

D 4  2 2 2  4   m2 w ( x, y)  q( x, y), (1.3)

 x x y y 

где m – масса единицы площади пластинки; ω – частота собственных (свободных)

колебаний, и граничным условиям. Если необходимо найти собственную частоту

колебаний пластинки, то следует решать уравнение

 4w 4w 4w 

D 4  2 2 2  4   m2 w ( x, y). (1.4)

 x x y y 

В строительной механике упругих пластинок известно точное решение

лишь задачи о свободных колебаниях прямоугольной шарнирно опертой пластинки

и пластинок в виде равностороннего и прямоугольного треугольников [111].

При исследовании задач устойчивости пластинок [98, 100, 111] решают

дифференциальное уравнение

 4w 4w 4w   2w 2w 2w 

D 4  2 2 2  4    N x 2  2 N xy  N y 2 , (1.5)

 x x y y   x xy y 

где Nx, Nxy и Ny – усилия, действующие в плоскости пластинки и приложенные к ее

контуру. Для равномерно сжатых по контуру пластинок усилием N0 это уравнение

преобразуется к виду:

 15

 4w 4w 4w   2w 2w 

D 4  2 2 2  4    N 0  2  2 . (1.6)

 x x y y   x y 

В технической теории пластинок известно лишь одно точное решение этой задачи

– прямоугольная шарнирно опертая по контуру пластинка под действием равно-

мерной сжимающей нагрузки N0 [111].

1.2 Приближенные методы решения задач

технической теории пластинок

1.2.1 Вариационные методы

В технической теории пластинок широко используются так называемый ми-

нимальный принцип [41, 45, 54]: положение равновесия любой механической си-

стемы отвечает минимуму ее потенциальной энергии. Поэтому проблема решения

граничной задачи для дифференциальных уравнений теории пластинок оказыва-

ется эквивалентной проблеме нахождения функции, дающей минимум интегралу,

выражающему потенциальную энергию системы.

Вариационные методы основаны на различных вариационных принципах

[12, 109, 126], из которых наиболее известен принцип Ж.Л. Лагранжа [30, 75, 111],

используемый при решении задач в перемещениях. При реализации этого метода

используется выражение для полной потенциальной энергии пластинки [75].

Потенциальная энергия системы для трех рассматриваемых задач записыва-

ется с помощью следующих интегралов [98, 100, 114]:

- для задачи о поперечном изгибе пластинок –



 2 2   2 w  2 w   2 w 2  

  w   2(1  )  2  q(x, y)w(x, y)dA;

d

Э     dA  (1.7)

 x y  xy   

2

2 A 

  A

- для задачи о свободных колебаниях пластинок –



 2 2   2 w  2 w   2 w 2  

  w   2(1  )  2 

d

Э     dA  m2 w 2 ( x, y)dA; (1.8)

 x y  xy   

2

2 A 

  A

- для задачи устойчивости пластинок при равномерном сжатии –

 16



 2 2   2 w  2 w   2 w 2  

  w   2(1  )  2

d

Э     dA 

 x y  xy   

2

2 A 

 

  2 w  2   2 w  2 

 N0 

A

 2    2   dA.

 x   y  

(1.9)

Также наиболее известными вариационными методами являются методы

Ритца, Бубнова-Галеркина, Тимошенко, Трефца [98].

Метод Ритца использует прямой путь нахождения разрешающей функции,

сообщающий экстремум интегралам (1.7)…(1.9). Если выбрать в качестве такой

функции ряд

w(x,y) = a1φ1(x,y) + a2φ2(x,y) + … + anφn(x,y), (1.10)

где аi – неопределенные параметры, φi(x,y) – «подходящие» функции, удовлетворя-

ющие граничным условиям, и подставить ее в интегралы (1.7)…(1.9), то получим

простую функцию, зависящую от нескольких параметров. Приравнивая затем нулю

производные от «Э» по каждому из этих параметров, получим систему линейных

алгебраических уравнений относительно аi. Таких уравнений будет столько,

сколько членов будет содержать ряд (1.10).

Метод Ритца дает приближение искомой функции сверху. С помощью этого

метода решено большое число задач поперечного изгиба, колебаний и устойчиво-

сти упругих пластинок, например [130…132, 134, 135, 137, 138, 142, 143].

Метод Бубнова-Галеркина применяется для решения дифференциальных

уравнений, суть которого покажем на одномерной задаче, которая приводится к ре-

шению дифференциального уравнения

Lx, w, w, w, ...  0

в интервале [a, b]. Искомую функцию задают в виде ряда

w(x) = a1φ1(x) + a2φ2(x) + … + anφn(x).

Неопределенные параметры аi находят из соотношений

 Lx, w, w, w, ... (x)dx  0,

k (k  1, 2, ...), (1.11)

которые являются линейными уравнениями относительно параметров аi.

 17

Б.Г. Галеркин еще в 1915 году применял этот метод к решению задач попе-

речного и продольного изгиба балок и пластинок и указал на возможность его при-

менения к динамическим задачам. Независимо от Галеркина немного позднее ана-

логичный метод предложил И.Г Бубнов. Поэтому в научной литературе он получил

название метода Бубнова-Галеркина.

Метод Бубнова-Галеркина носит более общий характер, он немного проще

метода Ритца и применим к любым дифференциальным уравнениям.

Большое число задач технической теории пластинок решено этим методом,

например [136, 139, 143].

Метод Тимошенко является модификацией метода Ритца, его предложил

известный русский ученый С.П. Тимошенко в 1910 году для решения задач устой-

чивости стержней и пластинок. Суть этого метода заключается в следующем. По-

скольку в состоянии безразличного равновесия системы приращение энергии равно

нулю, то интеграл (1.11) разбивают на два интеграла; один из них выражает энер-

гию внутренних сил U = F1(a1, a2, …), a другой – энергию внешних сил Т = РкрF2(a1,

a2, …). Здесь Ркр – критическая сила при потере устойчивости. Энергию системы

приравнивают нулю

I = F1(a1, a2, …) – РкрF2(a1, a2, …) = 0

и минимизируют это функционал по каждому из неопределенных параметров, со-

ставляя условие dPкр da i  0.

В методе Тимошенко, в отличие от методов Ритца и Бубнова-Галеркина,

дифференциальные уравнения не используются.

Метод Треффца был предложен в 1926 году. При использовании этого ме-

тода функции φi(x) и φi(x, у) выбираются в виде частных решений дифференциаль-

ного уравнения рассматриваемой задачи [98]. В этом случае нет необходимости

удовлетворять граничным условиям задачи. Неизвестные параметры ai определя-

ются из условия минимума интеграла от градиента ошибки n-го приближения. Ме-

тод Треффца дает приближение к искомой функции снизу.

В развитии вариационных методов решения задач строительной механики и

теории упругости активное участие принимали российские ученые [86]: Б.Г. Галер-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шляхов Станислав Владимирович, 2019 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Александров, А.В. Основы теории упругости и пластичности / А.В.

Александров, В.Д. Потапов. – М.: Высшая школа, 2004. – 380 с.

2. Андронов, И. К. Курс тригонометрии / И.К. Андронов, А.К. Окунев. – М.:

Просвещение, 1967. – 648 с.

3. Анисимов, А. Н. Устойчивость равномерно сжатых односвязных пластинок

произвольной формы / А.Н. Анисимов // Изв. вузов. Строительство и

архитектура. – 1970. – №8. – с. 45-49.

4. Анпилогова, А. В. Геометрические свойства и несущая способность оболочек

/ А.В. Анпилогова, А.С. Дехтярь, В.Ф. Погорелый // Изв. вузов.

Строительство и архитектура. – 1987. – №4. – с. 26-29.

5. Арутюнян, Н. Х. Кручение упругих тел / Н.Х. Арутюнян, В.Л. Абрамян. – М.:

Физматгиз, 1964.

6. Бате, К.-Ю. Методы конечных элементов / К.-Ю. Бате. – М.: Физматлит, 2010.

– 1024 с.

7. Безухов, Н. И. Приложение методов теории упругости и пластичности к

решению инженерных задач / Н.И. Безухов, О.В. Лужин. – М.: Высшая

школа, 1974. – 200 с.

8. Бубнов, И.Г. Труды по теории пластин / И.Г. Бубнов. – М.: ОНТИ, 1953. – 420

с.

9. Букша, В.В. Расчет балок, пластин и пологих оболочек коллокационными

методами: дис. … канд. техн. наук: 05.23.17 / Букша Вячеслав Викторович. –

Екатеринбург, 2002. – 125 с.

10. Вайнберг, Д. В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям

пластин / Д.В. Вайнберг. – Киев: Будiвельник, 1973. – 448 с.

11. Варданян, Г. С. Применение теории подобия и анализа размерностей к

моделированию задач механики деформируемого твердого тела / Г.С.

Варданян. – М.: Изд-во МИСИ, 1980. – 103 с.

 123

12. Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности /

К. Васидзу. – М.: Мир, 1987. – 542 с.

13. Вибрации в технике: Справочник. – М.: Машиностроение, 1978. – Т. 1. –

352 с.

14. Вольмир, А. С. Устойчивость деформируемых систем / – М.: Наука, 1967. –

984 с.

15. Галеркин, Б.Г. Упругие тонкие плиты / Б.Г. Галеркин. – М.: Госстройиздат,

1933. – 371 с.

16. Гефель, В.В. Развитие и применение МИКФ к решению задач технической

теории пластинок, связанных с треугольной областью: дис. … канд. техн.

наук: 05.23.17 / Гефель Владислав Владимирович. – Орел, 2006. – 183 с.

17. Гефель, В.В. Решение двумерных задач теории упругости, связанных с

треугольной областью с помощью метода интерполяции по коэффициенту

формы. Материалы II-х Международных академических чтений / В.В.

Гефель, Н.Г. Калашникова, А.В. Коробко // – Орел: ОрелГТУ, 2003. –

С. 202-209.

18. Гефель В.В. Определение геометрической жесткости треугольных сечений с

помощью МИКФ. Проблемы оптимального проектирования сооружений:

Доклады IV-го Всероссийского семинара / В.В. Гефель, И.Н. Трусов, А.В.

Коробко // – Новосибирск: НГАСУ, 2002. – С. 188-195.

19. Гвоздев, А. А. Расчет несущей способности конструкций по методу

предельного равновесия / А.А. Гвоздев. – М.: Стройиздат, 1940. – 280 с.

20. Голоскоков, Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в

системе Maple / Д.П. Голоскоков. – СПб.: Питер, 2004. – 539 с.

21. Гонткевич, В. С. Собственные колебания пластинок и оболочек: Справочное

пособие / В.С. Гонткевич. – Киев: Наукова думка, 1964. – 282 с.

22. Губкина, Е.В. Численное решение задачи о параметрах конформного

отображения / Е.В. Губкина, И.Б. Давыдкин, В.Н. Монахов // Сибирский

журнал индустриальной математики. – 2005. – №3. –

С. 32-39.

 124

23. Гухман, А. Л. Введение в теорию подобия / А.Л. Гухман. – М.: Высшая

школа, 1963. – 254 с.

24. Дехтярь, А. С. О форме и несущей способности замкнутых рам / А.С.

Дехтярь // Изв. вузов. Строительство и архитектура. – 1989. – № 3. – С. 19-22.

25. Дехтярь, А. С., Погорелый Д. Ф. Форма и несущая способность

призматических оболочек / А.С. Дехтярь, Д.Ф. Погорелый // Сопротивление

материалов и теория сооружений. – 1989. – № 55. – С. 41-44.

26. Дубинский, А. М. Расчет несущей способности железобетонных плит / А.М.

Дубинский. – Киев: Госстройиздат УССР, 1961.

27. Золотов, А.Б. Приложения дискретно-континуального метода конечных

элементов для определения собственных значений и собственных функций

краевых задач строительной механики. Часть 2: задача изгиба плиты / А.Б.

Золотов, П.А. Акимов, В.Н. Сидоров, О.А. Козырев // International Journal for

Computational-Civiland Structural Engineering / Международный журнал по

расчету гражданских и строительных конструкций. – 2009. – Volume 5. – P.

92-117.

28. Иванов, В.Н. Вариационные принципы и методы решения задач теории

упругости / В.Н. Иванов. – М.: РУДН, 2004. – 176 с.

29. Иванов, В.Н. Расчет пластинок вариационным методом Ритца − Тимошенко

/ В.Н. Иванов. – М.: РУДН, 1992. − 36 с.

30. Канторович, Л.В. Приближенные методы высшего анализа / Л.В.

Канторович. – М.-Л.: Госфизматиздат, 1962. – 708 с.

31. Киржаев, Ю.В. Решение задач предельного равновесия пластинок с

помощью метода интерполяции по коэффициенту формы / Ю.В. Киржаев,

А.В. Коробко, В.И. Коробко // Вестник отделения строительных наук. – М.:

РААСН, 2004. – С. 108-116.

32. Киржаев, Ю.В. Определение несущей способности треугольных пластинок

методом интерполяции по коэффициенту формы / Ю.В, Киржаев, А.В.

Коробко // Материалы III-х Международных академических чтений. – Курск:

КурскГТУ, 2004. – С. 108-116.

 125

33. Киржаев, Ю.В. Расчет шестиугольных пластинок методом предельного

равновесия / Ю.В. Киржаев, В.И. Коробко // Изв. ОрелГТУ. Серия

«Строительство и транспорт». – 2004. – № 1-2. – С. 22-25.

34. Киржаев, Ю.В. Развитие и применение МИКФ к решению задач предельного

равновесия пластинок: дисс. канд. техн. наук: 05.23.17 / Киржаев Юрий

Викторович. – Орел, 2005. – 144 с.

35. Киселев, В.А. Строительная механика: Общий курс / В.А. Киселев. – М.:

Стройиздат, 1986. – 520 с.

36. Клячко, С. Д. Об аффинности решения задач теории упругости / С.Д. Клячко

// Тр. НИИЖТа. Строительная механика. – Новосибирск. – 1967. – № 62 – С.

63-76.

37. Клячко, С. Д. Аффинное подобие в теории неоднородных анизотропных

упругих, упруго-пластических, упруго-вязких пластин и оболочек / С.Д.

Клячко // Механика деформируемого тела и расчет сооружений: Тр.

НИИЖТа. – Новосибирск. – 1970. – № 96. – С. 54-62.

38. Колесник, И. А. Определение геометрической жесткости упругих призм с

сечением в виде произвольного треугольника / И.А. Колесник, А.В. Коробко

// Днепропетровский металлургический ин-т. Деп. вУкрНИИНТИ. –

Днепропетровск. – 1989. – № 598. – С. 15.

39. Колесник, И.А. К вопросу о геометрической жесткости кручения

секториальных призматических брусьев / И.А. Колесник, А.В. Коробко //

Математическое и электронное моделирование в машиностроении. – Киев:

Ин-т кибернетики АН УССР. – 1989. – С. 77-84.

40. Колесник, И. А. О границах изменения физико-механических характеристик

в задачах теории упругости, связанных с параллелограммом / И.А. Колесник,

А.В. Коробко // Моделирование и оптимизация сложных механических

систем. – Киев: Ин-т кибернетики АН УССР. – 1990. – С. 27-33.

41. Колесник, И. А. Кручение упругих призматических брусьев с сечением в

виде параллелограмма / И.А. Колесник, А.В. Коробко // Проблемы

машиностроения. – 1991. – № 36. – С. 34-39.

 126

42. Колесник, И. А. Оценка основных параметров в задачах строительной

механики и теории упругости, связанных с треугольной областью / И.А.

Колесник, А.В. Коробко // Алгоритмизация решения задач прочности и

оптимального проектирования конструкций. – Киев: Ин-т кибернетики АН

Украины. – 1991. – С. 39-46.

43. Колесник, И. А. Определение физико-механических характеристик

параллелограммных пластинок, мембран, сечений / И.А. Колесник, А.В.

Коробко // Сопротивление материалов и теория сооружений. – Киев: – 1991.

– № 60.

44. Колесник, И. А. Определение основной частоты колебаний

параллелограммных пластинок методом физико-геометрической аналогии /

И.А. Колесник, А.В. Коробко // Сопротивление материалов и теория

сооружений. – Киев. – 1993. – № 61.

45. Колесник, И. А. Метод физико-геометрической аналогии в строительной

механике / И.А. Колесник, А.В. Коробко // Моделирование и оптимизация

сложных механических систем. – Киев: Институт кибернетики АН Украины.

– 1993. – С. 135-142.

46. Колесник, И. А. Расчет пластинок произвольной формы методом физико-

геометрической аналогии / И.А. Колесник, А.В. Коробко // Тр. XVI

Международной конференции по теории оболочек и пластин. – Н. Новгород:

Издательство Нижегородского университета. – 1994. – № 2. – С. 117-121.

47. Колманок, А. С. Расчет пластинок: Справочное пособие / А.С. Колманок –

М.: Госстройиздат, 1959. – 207 с.

48. Коренев, Б. Г. Метод компенсирующих нагрузок в приложениях к задачам о

равновесии, колебаниях и устойчивости плит и мембран / Б.Г. Коренев //

МПП. – 1940. – № 5-6. – С. 61-72.

49. Коробко, А. В. Оценка погрешности решений задач строительной механики,

полученных методом интерполяции по коэффициенту формы / А.В. Коробко,

В.В. Бояркин // Сб. научных трудов ученых Орловской области. – Орел. –

1996. – № 2. – С. 65-69.

 127

50. Коробко, А. В. Расчет параллелограммных пластинок изопериметрическим

методом / А.В. Коробко, А.Н. Хусточкин // Изв. вузов. Авиационная техника.

– 1992. – № 1. – С. 105-114.

51. Коробко, А.В. Геометрическое моделирование в задачах технической теории

пластинок, связанных с параллелограммной областью / А.В. Коробко, Н.С.

Малинкин // Вестник ЮУрГУ. Серия: Строительство и архитектура. – 2007.

– Т. 94. – № 22. – С. 21-23.

52. Коробко, А.В. Геометрическое моделирование формы области в двумерных

задачах теории упругости / А.В. Коробко. – М.: АСВ, 1999. – 320 с.

53. Коробко, А.В. Метод интерполяции по коэффициенту формы в механике

деформируемого твердого тела / А.В. Коробко. – Ставрополь: СУ, 1995. – 165

с.

54. Коробко, А.В. Определение физико-механических характеристик

параллелограммных пластинок, мембран, сечений /

А.В. Коробко, И.А. Колесник // Сопротивление материалов и теория

сооружений. – 1991. – №60.

55. Коробко, А.В. Оценка основных физико-механических и геометрических

параметров в задачах строительной механики и теории упругости, связанных

с треугольной областью / А.В. Коробко, И.А. Колесник // Алгоритмизация

решения задач прочности и оптимального проектирования конструкций. –

Киев: Институт кибернетики АН Украины, 1991. – С. 39-46.

56. Коробко, А.В. Оценка погрешности решений задач строительной механики,

полученных методом интерполяции по коэффициенту формы / А.В. Коробко,

В.В. Бояркина // Сборник научных трудов ученых Орловской области. –

Орел, 1996. – № 2. – С. 65-69.

57. Коробко, А.В. Расчет параллелограммных пластинок изопериметрическим

методом / А.В. Коробко, А.Н. Хусточкин // Известия вузов. Авиационная

техника. – 1992. – №1. – С. 105-114.

 128

58. Коробко, А.В. Расчет параллелограммных пластинок с использованием

аффинных преобразований и приема интерполяции по их площади / А.В.

Коробко // Известия вузов. Строительство. – 2001. – №11. – С. 92-97.

59. Коробко, А.В. Расчет пластин на устойчивость с использованием отношения

конформных радиусов / А.В. Коробко, А.А. Черняев // Строительство и

реконструкция. – 2010. – №6. – С. 31-38.

60. Коробко, А.В. Расчет пластинок произвольной формы методом физико-

геометрической аналогии / А.В. Коробко, И.А. Колесник // Труды XVI

Международной конференции по теории пластин и оболочек. – Н. Новгород:

НГУ, 1994. – Т. 2. – С. 117-121.

61. Коробко, А.В. Расчет трапециевидных пластинок (мембран, сечений)

методом интерполяции по коэффициенту формы / А.В. Коробко // Известия

вузов. Авиационная техника. – 1997. – №2. –

С. 103-107.

62. Коробко, А.В. Расчет треугольных пластинок методом интерполяции по

коэффициенту формы с использованием аффинных преобразований / А.В.

Коробко // Известия вузов. Авиационная техника. – 2003. – №2. – С. 13-16.

63. Коробко, А.В. Решение задач строительной механики методом

интерполяции по коэффициенту формы / А.В. Коробко // Известия вузов.

Авиационная техника. – 1995. – №3. – С. 81-84.

64. Коробко, А.В. Решение задач строительной механики, связанных с

фигурами в виде правильных многоугольников / А.В. Коробко // Известия

вузов. Строительство. – 1995. – №47. – С. 114-119.

65. Коробко, В.И. Изопериметрические неравенства в строительной механике

пластинок / В.И. Коробко. – М.: Стройиздат, 1992. – 208 с.

66. Коробко, В.И. Изопериметрический метод в задачах устойчивости

пластинок / В.И. Коробко, А.Н. Хусточкин. – Ростов-на-Дону: Северо-

Кавказский научный центр высшей школы, 1991. – 148 с.

 129

67. Коробко, В.И. Изопериметрический метод в строительной механике.

Теоретические основы изопериметрического метода / В.И. Коробко. – М.:

АСВ, 1997. – 396 с.

68. Коробко, В.И. Изопериметрический метод оценки разрушающих нагрузок

трехслойных пластинок / В.И. Коробко, Г.И. Коротеев // Тез. докл. зональной

научно-технической конференции «Применение композиционных

материалов в строительстве». – 1975.

69. Коробко, В.И. Изопериметрический метод оценки несущей способности

пластинок / В.И. Коробко // Пространственные конструкции. – Красноярск,

1975. – С. 18-21.

70. Коробко, В.И. Исследование графоаналитическим способом некоторых

задач изгиба жестко защемленных пластинок / В.И. Коробко, С.Г. Малых //

Известия вузов. Строительство и архитектура. – 1986. – №1. – С. 126-130.

71. Коробко, В.И. К вопросу о критериях схем излома пластинок радиально

переменной жесткости / В.И. Коробко, Г.И. Коротеев // Сб. научн. Трудов

«Исследования металлических конструкций с профилированными

элементами сечения». – Хабаровск: ХПИ. – 1975. – С. 32-38.

72. Коробко, В.И. Применение изопериметрического метода к решению задач

технической теории пластинок / В.И. Коробко. – Хабаровск: ХабКНИИ, 1978.

– 66 с.

73. Коробко, В.И. Развитие и применение изопериметрического метода к

решению задач строительной механики пластинок: дис. докт. техн. наук:

05.23.17 / Коробко Виктор Иванович. – Хабаровск, 1982. – 242 с.

74. Коробко, В. И. Состояние и перспективы развития изопериметрического

метода в строительной механике / В.И. Коробко // Изв. вузов. Строительство.

– 1993. – № 11-12. – С. 125-135.

75. Коробко, В.И. Строительная механика пластинок: Техническая теория / В.И.

Коробко, А.В. Коробко. – М.: Спектр, 2010. – 410 с.

 130

76. Коротеев, Г. И.Теорема о симметризации пластинок переменной толщины /

Г.И. Коротеев, И.А. Чаплинский // Изв. вузов. Строительство и архитектура.

– 1977. – № 8. – С. 47-48.

77. Коротеев, Г. И. Некоторые вопросы расчета пластин переменного сечения

методом предельного равновесия: дисс. канд. техн. наук: 05.23.17 / Коротеев

Г.И. – Новосибирск, 1979.

78. Кристалинский, Р.Е. Решение вариационных задач строительной механики

в системе Mathematika / Р.Е. Кристалинский, Н.Н. Шапошников. – СПб.:

Лань, 2010. – 238 с.

79. Малинкин, Н.С. Определение прогибов и внутренних усилий в

прямоугольных пластинках с различными граничными условиями / Н.С.

Малинкин // Архитектура и строительство XXI века: Сб. научных трудов. –

Орёл: Изд-во ОрёлГАУ. – 2002. – С. 117-122.

80. Малинкин, Н.С. Развитие и применение метода интерполяции по

коэффициенту формы к расчету параллелограммных пластинок: дис. … канд.

техн. наук: 05.23.17 / Н.С. Малинкин. – Орел, 2003. – 212 с.

81. Мануйлов, Г. А. Оценки критической нагрузки и основной частоты

колебаний некоторых пластин полигонального очертания / Г.А. Мануйлов //

Проблемы устойчивости и предельной несущей способности конструкций. –

Л: ЛИСИ. – 1983. – С. 59-67.

82. Мануйлов, Г. А. Оценки решений для четырехугольных пластин на основе

некоторых геометрических преобразований / Г.А. Мануйлов // Численные

решения задач строительной механики транспортных сооружений. – М. –

1986. – С. 63-70.

83. Мануйлов, Г.А. Геометрические оценки основной частоты шарнирно

опертых полигональных пластин и пологих сферических оболочек / Г.А.

Мануйлов // Инженерные проблемы прикладной механики. – М. – 1987. – С.

87-94.

84. Масленников, А. М. Расчет строительных конструкций численными

методами / А.М. Масленников. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. – 225 с.

 131

85. Митчелл, Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными

производными / Э. Митчелл, Р. Уэйт. – М.: Мир, 1981. – 216 с.

86. Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г.

Михлин. – М.: Гостехиздат, 1970. – 512 с.

87. Михлин, С.Г. Курс математической физики / С.Г. Михлин. – М.: Изд-во

«Наука», 1968. – 578 с.

88. Монахенко, Д. В. Предельная теорема аффинности и ее применение при

моделировании задач строительной механики / Д.В. Монахенко //

Исследования по строительной механике. – Л.: Изд-во ЛИИЖТа. – 1968. – С.

173-179.

89. Муромский, А.С. Определение основной частоты колебаний треугольных

пластинок методом интерполяции по коэффициенту формы / А.С.

Муромский, А.В. Коробко // Труды 55-й Международной научно-

технической конференции молодых ученых «Актуальные проблемы

современного строительства». – Санкт-Петербург, СПбГАСА. – 2000. – С.

105-109.

90. Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории

упругости / Н.И. Мусхелишвили. – М.: Наука, 1966. – 700 с.

91. Овакимян, С.Г. Изгиб правильных многоугольных и овалообразных,

защемленных по контуру тонких плит, методом конформного отображения /

С.Г. Овакимян // Труды Ереванского политехнического института. – Ереван,

1950. – № 4. – С. 187-235.

92. Огибалов, П. М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок / П.М.

Огибалов. – М.: МГУ, 1958. – 389 с.

93. Огибалов, П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластинки / П.М. Огибалов,

М.А. Колтунов. – М.: Изд-во МГУ, 1969. – 695 с.

94. Папкович, П.Ф. Теория упругости / П.Ф. Папкович. – М.: Оборонгиз, 1939.

– 640 с.

95. Погорелов, А. В. Геометрические методы в нелинейной теории упругих

оболочек / А.В. Погорелов. – М.: Наука, 1967. – 280 с.

 132

96. Погорелов, В.И. Строительная механика тонкостенных конструкций / В.И.

Погорелов. – СПб.: БХВ-Петербург, 2007. – 528 с.

97. Полиа, Г. Изопериметрические неравенства в математической физике / Г.

Полиа, Г. Сеге. – М.: КомКнига, 2006. – 336 с.

98. Пратусевич, Я. А. Вариационные методы в строительной механике / Я.А.

Пратусевич. – М.: Гостехиздат, 1948. – 400 с.

99. Пригоровский, Р. И. Методы и средства определения полей деформации и

напряжений / Р.И. Пригоровский. – М.: Машиностроение, 1983. – 248 с.

100. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник в трех томах. – М.:

Машиностроение. – 1968. – Т. 3.

101. Разностно-вариационные методы строительной механики. – Киев:

Госиздат по строительству и архитектуре УССР. – 1963. – 398 с.

102. Рассказов, А. О. Предельное равновесие оболочек / А.О. Рассказов,

А.С. Дехтярь. – Киев, 1978. – 151 с.

103. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных

элементов: Справочник. – М.: Машиностроение, 1989. – 520 с.

104. Роотс, Л. М. Об устойчивости пластинок различной формы: дисс. канд.

физ.- мат. наук: 01.01.02 / Л.М. Роотс. – Тарту, 1961. – 198 с.

105. Роотс, Л. М. Об устойчивости защемленных пластинок произвольной

формы / Л.М. Роотс, Т. Таутс // Учен. зап. Тартуского ун-та. – 1962. – № 129.

– С. 487-492.

106. Ржаницын, А. Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств

материалов / А.Р. Ржаницын. – М.: Госстройиздат, 1954. – 287 с.

107. Ржаницын, А. Р. Предельное равновесие пластинок и оболочек / А.Р.

Ржаницын. – М.: Наука, 1983. – 288 с.

108. Самарский, А. А. Разностные уравнения для эллиптических уравнений

/ А.А. Самарский, В.В. Андреев. – М.: Наука, 1976. – 352 с.

109. Сливкер, В.И. Строительная механика. Вариационные основы / В.И.

Сливкер. – М.: АСВ, 2005. – 736 с.

 133

110. Снитко, Н.К. Строительная механика / Н.К. Снитко. – М.: Изд-во

«Высшая школа», 1972. – 488 с.

111. Справочник по теории упругости. – Киев: Будiвельник, 1971. – 419 с.

112. Сухарев, И. П. Экспериментальные методы исследования деформаций

и прочности / И.П. Сухарев. – М.: Машиностроение, 1987. – 212 с.

113. Тимошенко, С.П. Колебания в инженерном деле / С.П. Тимошенко.

Пер. С англ. М.: Физматгиз, 1959. – 439 с.

114. Тимошенко, С.П. Пластинки и оболочки / С.П. Тимошенко, С.

Войновский-Кригер. – М.: Либроком, 2009. – 640 с.

115. Трусов, И.Н. Взаимосвязь задач кручения упругих призматических

брусьев и колебаний мембран / И.Н. Трусов, А.В. Коробко, А.В. Чекулев //

Изв. ОрелГТУ. Серия «Строительство и транспорт». – 2004. – № 1-2. – С. 18-

22.

116. Уфлянд, Я.С. Интегральные преобразования в теории упругости / Я.С.

Уфлянд. – Л.: Наука,1967. – 356 с.

117. Филиппов, А. П. Колебания механических систем / А.П. Филиппов. –

Киев: Наукова думка, 1965. – 716 с.

118. Хусточкин, А.Н. Развитие и применение изопериметрического метода

к решению задач устойчивости пластинок: дис. … канд. техн. наук: 05.23.17

/ А.Н. Хусточкин. – Ставрополь, 1991. – 175 с.

119. Шаповалов, Л.А. Моделирование в задачах механики элементов

конструкций / Л.А. Шаповалов. – М.: Машиностроение, 1990. – 288 с.

120. Шклярский, Д. О. Геометрические неравенства в задачах на максимум

и минимум / Д.О. Шклярский, Н.И. Ченцов, И.М. Яглом. – М.: Наука, 1970. –

335 с.

121. Шляхов, С.В. Применение методики МИКФ для расчета треугольных

и четырехугольных пластинок с использованием широко известных

геометрических параметров / С.В. Шляхов, А.В. Коробко, А.А. Черняев //

Строительство и реконструкция. – 2016. – №4. – С. 19-30.

 134

122. Шляхов, С.В. Физико-механические и геометрические аналоги в

двумерных задачах строительной механики и теории упругости / С.В.

Шляхов, М.Ю. Прокуров, А.А. Черняев // Строительство и реконструкция. –

2014. – №2. – С. 40-46.

123. Шляхов, С.В. Определение значений коэффициента формы плоских

областей с выпуклым контуром в виде частей круга / С.В. Шляхов, А.В.

Коробко, Ю.Е. Лыгина // Строительство и реконструкция. – 2017. – №6. – С.

13-25.

124. Шляхов, С.В. Метод масштабирования при оценке жесткости и

основной частоты свободных колебаний упругих изотропных пластинок /

С.В. Шляхов, В.И. Коробко // Строительная механика и расчет сооружений.

НИЦ «Строительство». – 2019. – №3. – С. 56-62.

125. Шуманн, В. Об одном изопериметрическом неравенстве в теории

пластинок / В. Шуман // Механика. – 1959. – №4. – С. 73-78.

126. Юрьев, А.Г. Вариационные принципы строительной механики / А.Г.

Юрьев. – Белгород: БелГТАСМ, 2002. – 89 с.

127. Cadambe, V. Transverse vibration of thin cantilever plate of trapezoidal plan

form / V. Cadambe, M. Kumaraswami, P. K. Kanl // J. оf just. Enqes of India. –

1956. – Part 1. – №5.

128. Carleman, T. UbereinMinimalproblem der mathematischenphysik / T.

Carleman // Mathematische Zeitschriti. – 1918. – № 1. – P. 208-212.

129. Courant, R. Beweis des satzes, das von allenhomogenen

Membrantngegebenen Umfanges und gegeben Spannund die kreisformige den

tietstencrundtiongibt / R. Courant // Mathematische Zeitschrift. – 1918. – № 1. P.