Обобщения в обучении математике учащихся полной средней школы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Малых, Елена Владимировна

• Малых, Елена Владимировна
• кандидат педагогических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Малых, Елена Владимировна

Введение.

Глава 1. Теоретические основы обобщений и их роль в обучении математике.

1.1. Философские основы обобщения.

1.2. Психолого-педагогические основы обобщения.

1.3. Обобщение в исследованиях по методике обучения математике.

Выводы по первой главе.

Глава 2. Обобщение как средство обучения математике.

2.1. Обобщения при формировании математических понятий.

2.2. Обобщения при изучении теорем.

2.3. Индуктивные обобщения и абстрагирование в обучении методам решения математических задач.

2.4. Обобщение - метод решения задач.

2.5.Обобщения математических задач как источник новых учебных математических задач.

2.6. Педагогический эксперимент.

Выводы по второй главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщения в обучении математике учащихся полной средней школы»

При возрастающем объеме математических знаний, входящих в школьную программу, и при ограниченном сроке их усвоения необходимым становится поиск более эффективных путей изучения учебного материала на основе развития научно-теоретического способа мышления. Способ мышления учащегося, как доказано в психологических исследованиях, зависит от применяемых при обучении обобщений. Поэтому мы связываем проблему совершенствования школьного математического образования с проблемой использования обобщений в обучении математике.

Проблема обобщений занимает одно из центральных мест в философии, психологии и педагогике. Исследованием обобщений занимались философы Е. К. Войшвилло, Д. П. Горский, Б. М. Кедров, П. В. Копнин, Г. Д. Левин, Ю. Е. Петров, В. А. Светлов, В. С. Степин, психологи Н. Д. Богоявленский, JI. С. Выготский, П. Я. Гальперин, В. В. Давыдов, Е. Н. Кабанова-Меллер, JI. Н. Ланда, Н. А. Менчинская, С. Л. Рубинштейн,,Д. Б. Эльконин, педагоги И. Я. Лернер, В. Ф. Паламарчук, В. А. Онищук, Н. Ф. Талызина, С. А. Шапоринский и другие. Все ученые единодушно признают, что без обобщения не может быть познания.

Значимость обобщений в математике р при обучении математике подчеркивали такие выдающиеся ученые как Г. Вейль, Д. Гильберт, Н.И.Лобачевский, В.И.Арнольд, А. Пуанкаре, А. Н. Колмогоров и др. «Обобщение - это, вероятно, самый легкий и самый очевидный путь расширения математических знаний» - писал У. Сойер в «Прелюдии к математике». Необходимость использования обобщений в обучении математике отмечали математики-методисты В. Г. Болтянский, В. М. Брадис, Я. И. Груденов, В. А. Гусев, В. А. Далингер, О. Б. Епишева, М. И. Зайкин, Т. А. Иванова, Е. С. Канин, Ю. М. Колягин, В. И. Крупич, В. А. Крутецкий, Е. И. Лященко, Д. Пойа, В. В. Репьев, Г. (И. Саранцев, А. А. Столяр, Р. С. Черкасов и другие.

Анализ философской, психолого-педагогической и математико-методической литературы, опыта работы учителей математики показал, что методическое значение обобщений как средства обучения математике достаточно велико и разнообразно. Обобщение, как один из методов мышления при обучении математике, способствует формированию научного мировоззрения, развитию теоретического мышления, совершенствованию умений учащихся находить общее и существенное в конкретных явлениях, объектах, примерах, абстрагироваться от несущественного и так далее. Обобщения являются средством и способом введения и определения многих математических понятий, формулировок теорем, средством и методом доказательства различных теорем, решения и обучения решению большого числа математических задач. Обобщения также могут быть источником новых математических задач.

Однако лишь в небольшом числе публикаций по методике обучения математике рассматриваются некоторые обобщения при изучении понятий, реже теорем, еще реже при решении задач. Поэтому в кандидатских диссертациях по методике преподавания математики вновь поднимается проблема обобщений, но исследуются в основном проблемы обобщения и систематизации понятий и теорем на уроках обобщающего повторения (М. И. Зайкин, Н. В. Зайченко, О. С. Кретинин). Диссертация С. П. Зубовой посвящена формированию умения обобщать у учащихся 4-6-х классов.

Таким образом, проблема осуществления обобщений в процессе обучения математике недостаточно изучена в условиях полной средней школы. Имеется противоречие между значительным потенциалам обобщений и недостаточной разработанностью теории и методики их применения при обучении математике учащихся полной средней школы. Требуется исследование вопроса во всех его аспектах. Необходимость разрешения этого противоречия определяет актуальность диссертационного исследования.

Проблема исследования заключается в поиске путей совершенствования процесса обучения математике учащихся средней школы.

5 I

Объект исследования: процесс обучения математике и использование обобщений в этом процессе.

Предметом исследования являются содержание, виды, методы, роль и место осуществления обобщений в процессе обучения математике.

Методологической основой исследования послужили философские, психолого-педагогические и математико-методические положения теории обобщений в процессе познания, основные положения теории системного анализа, методологии методики обучения математике, основные положения 1 методики обучения решению математических задач.

Целью является исследование теоретических основ осуществления обобщений в обучении математике и условий их реализации в полной средней школе.

В основу исследования положена гипотеза: если исследовать теоретические основы осуществления обобщений в учебном процессе, на их основе разработать методику использования обобщений в обучении математике и применить ее в школьной практике, то это позволит повысить качество математических знаний и умений учащихся.

Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

1) проанализировать философскую, психолого-педагогическую, математико-методическую литературу с целью определения базовых понятий и методологической основы исследования;

2) определить содержание, виды, роль обобщений, методы и место их применения в процессе обучения школьников математике;

3) разработать методику использования обобщений в обучении математике учащихся полной средней Николы;

4) экспериментально проверить целесообразность и эффективность предложенной методики в практике обучения.

Для решения поставленных задач и проверки гипотезы применялись следующие методы исследования: изучение и теоретический анализ философской, психолого-педагогической h математико-методической литературы по исследуемой проблеме; наблюдение и анализ работы учителей математики по обучению решению задач; применение разработанных учебно-методических материалов в учебном процессе и экспериментальная проверка основных положений диссертационного исследования; статистическая обработка результатов педагогического эксперимента.

Исследование проводилось с 2001 по 2004 г. и включало два этапа. На первом этапе (2001-2003 гг.) выявлялось состояние исследуемой проблемы в теории и практике обучения учащихся полной средней школы. Для этого осуществлялись изучение и анализ 1 философской, психолого-педагогической и математико-методической литературы по проблеме исследования, наблюдение и анализ опыта работы учителей математики с целью исследования роли, места, путей эффективного использования обобщений в обучении математике. Автором проводилось экспериментальное обучение на базе 10-11 классов средней школы № 21 г. Кирова, а также на открытых уроках «Решение уравнений вида х2 = а и Гх = а» в 8 классе школы № 21 (Киров, 2000 г.); «Задачи на совместную работу» в 8 классе школы № 46 (Киров, 2000 г.); «Геометрический смысл I Л коэффициентов функции у~х + рх + q» в 9 классе школы № 1008 (Московская область, 2001 г.); «Как разделить отрезок на две равные части» в 9 классе школы МДЦ «Артек» (Крым, 2001 г.); «Применение свойства ограниченности функций при решении уравнений» в 11 классе школы № 1 (Сосновый Бор, 2003 г.); «Задачи на движение» в 5 классе школы № 2 (Тихвин, 2003 г.); «Доказательство неравенства Коши» в 10 классе школы № 2 (Самара, 2004 г.). Результатом первого этапа явились формулировка рабочей гипотезы исследования и разработка основных положений методики обучения математике с использованием обобщений.

На втором этапе (2003-2004 гг.) проведен обучающий эксперимент на базе средних школ № № 21, 40, 52 г. Кирова, в ходе которого происходила корректировка разработанной методики. Анализ полученных теоретических и экспериментальных результатов позволил сформулировать окончательные выводы диссертационного исследования. I

Научная новизна выполненного исследования заключается в том, что проблема повышения качества математических знаний и умений учащихся решается путем использования обобщений как эффективного средства обучения математике. Такой подход позволил уточнить роль и место обобщений в содержании школьного математического образования, выявить и обосновать виды и методы осуществления обобщений в процессе обучения математике. В рамках этого подхода разработана методика использования обобщений в обучении математике учащихся полной средней школы.

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что:

- расширены традиционные представления о роли обобщений в процессе обучения математике;

- уточнено определение обобщения;

- определены пути осуществления обобщений в обучении математике;

- выявлены психолого-педагогические условия проведения обобщений при обучении математике.

Практическая значимость работы определяется тем, что теоретические выводы и разработанная методика осуществления обобщений в процессе обучения математике могут быть использован^ учителями математики в их педагогической деятельности, а так же при разработке учебных и методических пособий по изучению школьного курса математики.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Эффективным средством обучения школьников математике является обобщение. Использование обобщений в процессе обучения математике способствует формированию научного мировоззрения, развитию теоретического мышления учащихся, прочному и осознанному усвоению математических знаний и умений.

2. Разработана методика использования обобщений

- при введении математических понятий и обобщении известных уже понятий до математических понятий с более широким объемом;

- при введении формулировок теорем и рассмотрении их доказательств;

- при обучении общим методам решения математических задач, обобщении самих задач, использовании обобщений как методов решения математических задач.

Достоверность результатов исследования обеспечивается опорой на философские, психолого-педагогические и математико-методические основы обобщений, непротиворечивостью полученных выводов с психологическими закономерностями усвоения знаний, полнотой изученного фактического материала, а также положительными результатами экспериментального исследования.

Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялись и продолжают осуществляться путем проведения экспериментального обучения, в виде докладов и выступлений на научных конференциях, семинарах, фестивалях и слетах работников образования.

Основные положения и выводы по результатам исследования были доложены и обсуждены на II межрегиональной научной конференции «Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России» (Киров, 2001 г.); на Всероссийской научной конференции «Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика» (Саранск,1 2002 г.); на международном семинаре учителей (МДЦ «Артек», 2001 г.); на VIII Всероссийском слете «Учитель года» (Тихвин, 2003 г.); на международной научно-практической конференции «Проблемы социального самоопределения учащейся молодежи в условиях современного общества» (Киров, 2003 г.); на III Всероссийской научной конференции «Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России» (Киров, 2004 г.); на фестивале «Лидеры образования России» (Самара, 2004 г.); на научно-методических семинарах кафедры математического анализа и методики преподавания математики ВятГГУ; на семинарах учителей математики в ИУУ Кировской области.

По теме исследования имеется 8 публикаций.

Диссертация (163 с.) состоит из введения (7 е.), двух глав (гл.1 - 61 е., гл.2 - 73 с.), заключения (2 е.), библиографического списка (188 ед. наименований) и 5 приложений. Текст диссертации содержит 20 рисунков, 10 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Малых, Елена Владимировна

Выводы по второй главе

1. Обобщения при обучении математике помогают решать проблему развития мышления учащихся, так как при обобщении учащиеся необходимо выполняют сравнение математических объектов, анализируют данные объекты, задачи, синтезируют их, учатся абстрагированию от несущественных фактов, условий, свойств объектов, а также специализации и конкретизации, таким образом овладевая методами и приемами мышления.

2. Обобщения являются эффективным средством введения и изучения новых математических понятий, многих теорем математики.

При формировании многих математических понятий (понятий алгебры, геометрии, математического анализа) велика роль индуктивных обобщений. От сравнения и анализа нескольких специально подобранных объектов примеров, задач через выделение в них характеристических свойств, общих признаков и компонентов, путем абстрагирования от несущественных свойств и компонентов - к новому математическому понятию, его определению. Такой путь введения понятий приемлем с 5 по 11 классы. В старших же (8 - 11) классах новые понятия вводятся и через обобщение ранее известных математических понятий (например, понятие касательной к произвольной кривой). Такие обобщения могут быть и многоступенчатыми. Аналогичную роль играют индуктивные обобщения при изучении формулировок теорем и их доказательств.

3. Обобщения задач и их решений являются эффективным средством овладения общими методами решения задач, создают потребность учащихся мыслить общими структурами и избавляют их от необходимости запоминать на длительное время многие частные способы решения задач и таким образом формируются прочные умения решения задач, экономится время обучения их решению.

При овладении общими методами решения математических задач полезны прежде всего индуктивные обобщения способа решения конкретной задачи до метода решения нескольких задач, решений различных конкретных задач до общего метода решения класса задач. При переходе от частных способов решения математических задач к общим методам совершенствуются математические знания учащихся, их умения решать математические задачи.

4. Обобщения и сами по себе могут являться методом решения некоторых классов задач. Таковы метод решения задач «по индукции», способ решения задач «в общем виде», введение вспомогательной функции как обобщения данных или промежуточных результатов задач.

5. Обобщения самих математических задач служат источником новых учебных математических задач. Обобщения задач могут быть обобщением данных или искомых, обобщением данных и искомых, обобщением задач по аналогии и так далее.

6. Работа по осуществлению обобщений в процессе обучения математике школьников должна проводиться систематически и целенаправленно. Эффективность такой работы подтверждена экспериментально. 1

Заключение

Анализ философской, психолого-педагогической и математико-методической литературы по теме исследования показал, что проблема осуществления обобщений в процессе обучения математике в полной средней школе исследована недостаточно. Разрешение противоречия между значительным потенциалом обобщений в совершенствовании процесса обучения математике учащихся средней школы и недостаточной разработанностью теории и методики их применения в обучении математике потребовало исследования вопроса во всех его аспектах.

В настоящем диссертационном исследовании уточнено определение обобщения, выявлены теоретические и методические основы использования обобщений при обучении математике, а так же расширены традиционные представления о роли обобщений в процессе обучения математике.

В работе решается проблема повышения качества математических знаний и умений учащихся путем использования обобщений как эффективного средства обучения математике. Такой подход позволил уточнить роль и место обобщений в содержании школьного математического образования, выявить и обосновать виды обобщений в процессе обучения математике.

В рамках этого подхода разработана методика использования обобщений в обучении школьников математике: 1) при введении и изучении математических понятий и обобщении известных уже понятий до математических понятий с более широким объемом; 2) при введении формулировок теорем и рассмотрении их доказательств; 3) при обучении общим методам решения математических задач, обобщении самих задач, использовании обобщений как методов решения математических задач. Эффективность разработанной методики подтверждена экспериментально.

Изложенное выше позволяет считать, что поставленные цель и задачи исследования достигнуты, верность выдвинутой гипотезы подтверждена экспериментально.

Теоретические выводы и практические рекомендации, приведенные в работе, могут быть использованы учителями математики в их педагогической деятельности, а так же при разработке учебнь!х и методических пособий по изучению школьного курса математики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Малых, Елена Владимировна, 2005 год

1. Абдурасулова, В. П. Некоторые пути формирования способности к обобщению у младших школьников (на материале математики) Текст. / В.П. Абдурасулова // Вопросы психологии. 1979. - № 5. — С. 126-129.

2. Алгебра и начала анализа Текст.: учеб. для 10-11 кл. сред. шкУ Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров. М.: Просвещёние, 1992. - 254 с.

3. Алгебра и начала анализа Текст.: учеб. для 10-11 кл сред, шк./ А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын ; под ред. А.Н. Колмогорова. -М.: Просвещение, 1994. 320 с.

4. Александров, А. Д. Геометрия Текст. : учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений /А. Д. Александров, A. J1. Вернер, В. И. Рыжик. М.: Просвещение, 1995.- 415 с.

5. Александров, А. Д. Математика, ее содержание, методы и значение Текст. Т.З/А. Д. Александров. М., 1956. -109 с.

6. Артемов, А. К. Обобщения в обучении математике Текст. / А. К. Артемов // Начальная школа. -1985. -№ 11. С. 65-68.

7. Артемов, А. К. Формирование обобщенных умений решать текстовые задачи Текст. / А. К. Артемов // Начальная школа. -1992. № 2. - С. 30 - 35.

8. Атаханов, Р. А. Особенности эмпирического и теоретического обобщения решения арифметических задач младшими школьниками Текст. : дис. . канд. пед. наук. / Р. А. Атаханов. М.,1972. - 175с.

9. Балк, М. Б. О привитии школьникам навыков эвристического мышления Текст. / М. Б. Балк, Г. Д. Балк // Математика в школе. -1985. № 2. - С. 55-60.

10. Балл, Г. А. Теория учебных задач Текст.: пскхолого-педагогический аспект / Г. А. Балл М.: Педагогика, 1990. -183 с.

11. Бевз, Г. П. Геометрия Текст.: учеб. для 7-11 кл. сред. шк. / Г.П.Бевз, Н.Г.Владимирова. М.: Просвещение, 1992. - 352 с.

12. Бевз, Г. П. Обобщения при решении задач с помощью векторов Текст. / Г. П. Бевз // Математика в школе. 1978. - № 2. - С. 47-50.

13. Бернштейн, М.С. Задачи на доказательство В| курсе геометрии Текст. / М. С. Бернштейн // Математика в школе. -1941. № 4. - С. 19-30.

14. Богоявленский, Н. Д. Психология усвоения знаний в школе Текст. / Н. Д. Богоявленский, Н. А. Менчинская. М.: АПН РСФСР, 1959. - 347с.

15. Богушевский, К. С. Из писем и заметок читателей Текст. / К. С. Богушевкий // Математика в школе. —1952. -№ 5. С. 60-72.

16. Болтянский, В.Г. Анализ — поиск решения задачи Текст. / В. Г. Болтянский // Математика в школе. 1974. - № 1. - С. 34-40

17. Бондаревская, В. М. Некоторые особенности становления стратегий решения задач Текст. / В. М. Бондаревкая, М. А. Смульсон // Вопросы психологии. — 1973.-№ 5.-С. 58-65

18. Бондаревский, В. Б. Воспитание интереса к знаниям и потребность к самообразованию Текст. / В. Б. Бондаревский. М.: Просвещение, 1985 . -178 с.

19. Брадис, В. М. Методика преподавания математики в средней школе Текст. : учеб. пособие для ин-тов и гос. ун-тов/ Брадис В. М.; под ред. А.И.Маркушевича. М.: Учпедгиз, 1954. - 504 с.

20. Бусленко, Н. П. Моделирование сложных систем Текст. / Н. П. Бусленко. -М.: Наука, 1978.-399с. i

21. Введение в психологию Текст. / под общ. ред. проф. А.В.Петровского. М.: Академия, 1996.-496 с.

22. Войшвилло, Д. К. Логика как часть теории познания и научной методологии Текст. : фундаментальный курс : учеб. пособие для студентов философ, факультетов и преподавателей логики / Д. К. Войшвилло, М. Г. Дектярев.— М.: Наука, 1994. Кн. 1. - 312 с.

23. Войшвилло, Д. К. Логика как часть теории познания и научной методологии Текст. : фундаментальный курс: учеб. пособие для студентов философских факультетов и преподавателей логики / Д. К. Войшвилло, М. Г. Дектярев.— М.: Наука, 1994.-Кн. 11.-333 с.

24. Волович, М. Б. Наука обучать. Технология преподавания математики Текст. / М. Б. Волович. М.: ЛИНКА - Пресс, 1995. - 243с.

25. Восканян, К. В. Разные способы решения геометрических задач как средство развития мышления школьников Текст. V К. В. Восканян // Вопросы психологии. 1995. - № 5. - С. 26-32.

26. Выготский, Л. С. Избранные психологические исследования Текст. / Л. С. Выготский. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1956. - 519с.

27. Выготский, Л. С. Педагогическая психология Текст. / Л. С. Выготский; под ред. В.В.Давыдова. — М.: Педагогика Пресс, 1999. — 536с.

28. Газиев, Э. Перенос приемов обобщения у школьников Текст. / Э. Газиев // Вопросы психологии.- 1974.-№2.-С. 116-123.

29. Гальперин, П. Я. Развитие исследований по проблеме формирования умственных действий и понятий Текст. / П.1 Я. Гальперин // Психол. наука в СССР. 1959. - Т.7. - С. 441-469.

30. Гальперин, ПЛ. Проблемы формирования знаний и умений у школьников и новые методы обучения в школе Текст. / П. Я. Гальперин, А. В. Запорожец, Д. Б. Эльконин// Вопросы психологии. — 1963. —№ 5. — С. 61-73.

31. Гамезо, М. В. Знаковое моделирование в процессе решения учебных текстовых задач Текст. / М. В. Гамезо, В. С. Герасимова // Психологические проблемы переработки знаковой информации. М., 1977. - С. 237-251.

32. Геометрия Текст. : учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений./ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев. L- 5-е изд. М.: Просвещение, 1995.-335 с.

33. Гильберт, Д. Основания математики Текст.: теория доказательств / Д. Гильберт; пер. с нем. Н.М.Нагорного; под ред. С.И. Адяна. М.: Наука, 1982. -652с.

34. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика Текст.: учеб. пособие для ВТУзов / В. Е. Гмурман. М.: Высшая школа, 1977. -479 с.

35. Гнеденко, Б. В. Математика и научное познание Текст. / Б. В. Гнеденко. -М.: Знание, 1983.-64 с.

36. Горский, Д. П. Вопросы абстракции и образование понятий Текст. / Д. П. Горский. М.: Изд-во АН СССР, 1961. - 352 с.

37. Горский, Д. П. Научная теория и способы ее обобщения Текст. / Д. П. Горский // Вопросы философии. 1966. -№ 8. - С. 45-54.

38. Горский, Д. П. О процессе идеализации и eit-o значении в научном познании Текст. / Д. П. Горский // Вопросы философии. 1963. -№ 2. - С. 50-60.

39. Горский, Д. П. Обобщение и познание Текст. / Д. П. Горский.- М.: Мысль, 1985.-208 с.

40. Горстко, А. Б. Познакомьтесь с математическим моделированием Текст. / А. Б. Горстко. -М.: Знание, 1991. 160с.

41. Груденов, Я. И. Психолого-педагогические основы методики обучения математике Текст. / Я. И. Груденов. -М.: Педагогика, 1987. 176 с.

42. Гусев, В. А. Практикум по решению математических задач. Геометрия Текст. : учеб. пособие для студентов физ.-мйт. спец. пед. ин-тов / В.А.Гусев,

43. B.Н.Литвиненко, А.Г.Мордкович. -М.: Просвещение, 1985.-223 с.

44. Гусев, В. А. Психолого-педагогические основы обучения математике Текст. / В. А. Гусев. М.: Вербум - М.; Академия, 2003. - 432 с.

45. Давыдов, В. В. Виды обобщения в обучении Текст. : логико-психологические проблемы построения учебных предметов / В. В. Давыдов. -М.: Педагогика, 1972-424 с.

46. Давыдов, В. В. Концепция учебной деятельности школьников Текст. / В. В. Давыдов, А. К. Маркова // Вопросы психологии 1981. - № 6 - С. 13-27.

47. Давыдов, В. В. К проблеме соотношения абстрактных и конкретных знаний в обучении Текст. / В. В. Давыдов // Вопросы психологии. 1968. - № 6.1. C.34-49

48. Далингер, В. А. Геометрия помогает алгебре Текст. / В. А. Далингер // Математика в школе.-1996. № 4. - С. 29-34.

49. Далингер, В. А. Методические рекомендации к проведению обобщающего повторения Текст. / В. А. Далингер // Математика в школе. 1983. - №1. — С.10-14.

50. Далингер, В. А. Об аналогиях в планиметрии и стереометрии Текст. / В. А. Далингер // Математика в школе. 1995. - № 6. - С. 16-21.

51. Декарт, Р. Разыскание истины Текст. / Р. Декарт; пер. А. Гутермана, М.Позднева, Н.Сретенского, Г.Тынянского. СПб.: Азбука, 2000. - 288 с.

52. Дорофеев, Г. В.Обобщение метода интервалов Текст. / Г. В. Дорофеев // Математика в школе 1969. -№ 3 - С. 39-44.

53. Дубровина, И. В. Анализ компонентов1 математических способностей школьников: дисканд. пед. наук./И. В. Дубровина. -М., 1968. 195 с.

54. Епишева, О. Б. Учить школьников учиться математике Текст.: формирование приемов учебной деятельности: кн. для учителя / О. Б. Епишева, В. И. Крупич. М.: Просвещение, 1990. -127 с.

55. Ермолаев, О. Ю. Математическая статистика для психологов Текст. / О. Ю. Ермолаев. М.: Московский психолого- социальный ин - т, 2003. - 336с.

56. Есипов, Б. П. Основы дидактики Текст. / Б. П. Есипов [и др.]. М.: Просвещение, 1967. - 197 с.

57. Жуков, Н. И. Философские основания математики Текст.: учеб. пособие для студентов вузов и аспирантов / Н. И. Жуков. Минск: Университетское, 1990.-107 с.

58. Зайкин, М. И. Методика обобщающего повторения при изучении математикив 4-5 классах средней школы Текст.: дисканд. пед. наук / М. И. Зайкин. 1. М, 1984.-186 с.

59. Зайченко, Н. В. Методика обобщающего повторения при обучении алгебре в 8 классе Текст.: дис. канд. наук. / Н. В. Зайченко. М., 1986. - 178 с.

60. Запорожец, А. В. Развитие мышления Текст. / А. В. Запорожец, В. П. Зинченко, Д.Б. Эльконин // Запорожец А.В.1 Психология детей дошкольного возраста. М., 1964. - С. 183-246

61. Зетель, С. И. О применении свойств корней квадратного уравнения к решению задач на максимум и минимум Текст. / С. И. Зетель // Математика в школе. -1949. № 1. - С. 45.

62. Зильберберг, Н. И. Урок математики Тексту.: подготовка и проведение: кн. для учителя / Н. И. Зильберберг. — М.: Просвещение; Учеб. лит., 1995. 178 с.

63. Зимняя, И. А. Педагогическая психология Текст.: учеб. пособие для вузов / И. А. Зимняя. М.: Логос, 1999. - 384 с.

64. Зинченко, В. П. Формирование зрительного образа Текст. / В. П. Зинченко, Д. Ю. Попов. -М.: Изд во МГУ, 1969. - 301 с.

65. Зубова, С. П. Формирование обобщений у учащихся 4-6 классов в обучении математике Текст.: дис. . канд. наук.- Пенза, 1994. -197 с.

66. Ильин, В.А. Математический анализ Текст. / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Б. Х.Сендов.-М.: Изд-во МГУ, 1985. 662 Cj.

67. Ильясов, И. И. Система эвристических приемов решения задач Текст. / И. И. Ильясов. М.: Изд-во Российского открытого ун-та, 1992. -140 с.

68. Иржавцева, В. П. Систематизация и обобщение знаний учащихся в процессе изучения математики Текст.: пособие для учителя / В. П. Иржавцева, Л. Я. Федченко; под ред. Н.Л. Коломинского. Киев: Рад. шк., 1989. - 208 с.

69. Искаков, М. У. Формула Герона в пространстве Текст. / М. У. Искаков // Математика в школе. — 1967. № 5. - С. 78-79.

70. Кабанова-Меллер, Е. Н. Проблема эмпирического и теоретического обобщения в советской педагогической психрлогии Текст. / Е. Н. Кабанова-Меллер // Советская педагогика. 1973. - № 11. - С. 140-146.

71. Кабанова-Меллер, Е. Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся Текст. / Е. Н. Кабанова Меллер. — М.: Просвещение, 1968.-288с.

72. Канин, Е. С. Аналитическое моделирование текстовых задач Текст. / Е. С. Канин // Функции задач в обучении математике. Киров - Йошкар-Ола, 1985.-С. 44-63.

73. Канин, Е. С. Заключительный этап решения учебных задач Текст. / Е. С. Канин, Ф. Ф. Нагибин // Преподавание алгебры и геометрии в школе / сост. О. А. Боковнев. М., 1982.- С. 131-139.

74. Канин, Е. С. Изучение касательной в курсе средней школы Текст. / Е. С. Канин // Математика в школе. 2002. - № 8. - С. 51-56.

75. Канин, Е. С. Наглядно-геометрический вариант введения и изучения понятия предела Текст. / Е. С. Канин // Математика в школе. 2003. - № 8.—С. 47-53.

76. Канин, Е. С. Развитие темы задачи Текст.1 / Е. С. Канин // Математика в школе.- 1991.-№3.-С. 8-12.

77. Канин, Е. С. Учебные математические задачи Текст.: учеб. пособие / Е. С. Канин. Киров: Изд - во Вят. ГГУ, 2003. - 191 с.

78. Канин, Е. С. Формирование и совершенствование графических представлений и умений учащихся при изучении начал математического анализа Текст. : учеб. пособие / Е. С. Канин. Киров: Вятский гос. педагог, ун-т, 1998.-48 с.

79. Канин, Е.С. Упражнения по началам математического анализа в 9 10 классах Текст.: кн. для учителя / Е.С.Канин,' Е.М.Канина, М.Д.Чернявский. -М.: Просвещение, 1986. - 160 с.

80. Кедров, Б. М. Единство диалектики, логики и теории познания Текст. / Б. М. Кедров. — М.: Полит, лит., 1963. 295с.

81. Кедров, Б. М. Обобщение как логическая операция Текст. / Б. М. Кедров // Вопросы философии. 1965. -№ 12. - С. 46-57.

82. Клейн, Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей Текст. В 2 Т. Т.2. Геометрия: пер. с немУ Ф. Клейн; под ред. В.Г.Болтянского. 2-е изд. -М.: Наука, 1987.-416 с.

83. Клещев, В. А. Обобщение метода интервалов на тригонометрической окружности Текст. / В. А. Клещев // Математика в школе. 1992. - №6. - С. 17-18.

84. Колягин, Ю. М. Задачи в обучении математике Текст. Ч. II. Обучение математике через задачи и обучение решению задач / Ю. М. Колягин. М.: Просвещение, 1977.-128 с.

85. Кондаков, Н. И. Логика Текст. / Н. И. Кондаков. М.: Учпедгиз,1954. -452с.

86. Копнин, П. В. Философские идеи В.ИЛенина и логика Текст. / П. В. Копнин. -М.: Наука, 1969.-483 с.

87. Кострикина, Н. П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов Текст. : кн. для учителя / Н. П. Кострикина. — М.: Просвещение, 1991.-239 с.

88. Кретинин, О. С. Обобщение и специалйзация при изучении системы математических понятий Текст. : дис. .канд. наук / О. С. Кретинин.-Нижний Тагил, 1972.- 166 с.

89. Крутецкий, В. А. Психология Текст. / В. А. Крутецкий. М.: Просвещение, 1968.-432с.

90. Кудрявцев, Л. Д. Мысли о современной математике и ее изучении Текст. / Л. Д.Кудрявцев. М.: Наука, 1977. - 111 с.

91. Курант, Р. Что такое математика? Текст. / Р. Курант, Г. Роббинс. М.: МЦНМО, 2001.-568с.

92. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики Текст.: учеб. пособие для студентов физ. — мат. спец. пед. ин — тов / Е. И. Лященко, К. В. Зобкова, Т.Ф. Кириченко ; под ред. Е.И. Лященко. М.: Просвещение, 1988.-223 с.

93. Ланда, Л. Н. Алгоритмизация в обучении Текст. / Л. Н. Ланда; под ред. Б. В. Гнеденко, Б.В. Бирюкова. -М.: Просвещениё, 1966.-415 с.

94. Ланда, JI. Н. О формировании у учащихся общего метода мыслительной деятельности при решении задач Текст. / JI. Н. Ланда // Вопросы психологии. 1959. - № 3. - С. 14-27.

95. Левин, Г. Д. Анализ и синтез в геометрии Текст. / Г. Д. Левин // Вопросы философии. -1998. № 9. - С. 45-55. 1

96. Левин, Г. Д. Теоретическая индукция, «общий предмет» и правило Локка Текст. / Г. Д. Левин // Вопросы философии. 1994. - № 12. - С. 115-121.

97. Лернер, И. Я. Проблемное обучение Текст. / И. Я. Лернер. М.: Знание, 1974.-244 с.

98. Людмилов, Д. С. Задачи без числовых данных Текст. / Д. С. Людмилов. М.: Гос. уч.-пед. изд-во мин - ва просвещения РСФСР, 1961.- 240 с.

99. Людмилов, Д. С. Некоторые вопросы проблемного обучения математике Текст. / Д. С. Людмилов, Е. А. Дышинский, А. М. Лурье. Пермь, 1975. -117 с. 1

100. Максимов, Л. К. Зависимость развития математического мышления школьников от характера обучения Текст. / Л. К. Максимов // Вопросы психологии. -1979. -№ 2. С. 58-65.

101. Маркова, А. К. Формирование мотивации учения в школьном возрасте Текст.: пособие для учащихся М.: Просвещение, 1983. - 96 с.

102. Маркс, К. Сочинения Текст. / К. Маркс, Ф. Энгельс.- 2-е изд.- Т.20. 827 с.

103. Маркушевич, А. И. Совершенствование образования в условиях научно-технической революции Текст. / А. И. Маркушевич. М.: Изд-во АПН СССР, 1971-52 с. 1

104. Матюшкин, А.М. Виды обобщения и проблемы психологии обучения Текст. / А. М. Матюшкин, М. М. Новоселов // Вопросы психологии. 1974. - № 2. -С. 180-184.

105. Мельник, Н. С. О взаимосвязанных геометрических задачах Текст. / Н. С. Мельник // Математика в школе. 1986. -№ 6. — с.48-50.

106. Метлов, В. И. Теория индукции Джона Венна Текст. / В. И. Метлов // Вопросы философии. 1967. - № 7. - С. 126-131.

107. Методика обучения геометрии Текст.: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А.Гусев, В.В.Орлов, В.А.Панчгацина; под ред. В.А.Гусева. М.: Академия, 2004. - 368 с.

108. Методика преподавания математики Текст.: пособие для учителей и студентов пед. ин-тов / под общ. ред. С.Е.Ляпина. — JL: Учпедгиз, Ленингр. отд-ние, 1955.-484 с.

109. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методикаI

110. Текст.: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / АЛ.Блох, Е.С.Канин ; сост. Р.С.Черкасов, А.А.Столяр. М.: Просвещение, 1985. - 336с.

111. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика Текст.: учеб. пособие для студентов физ. — мат. фак. пед. ин-тов / ВЛ.Оганесян, Ю.М.Колягин, ГЛЛуканкин, ВЛ.Саннинский. М.: Просвещение, 1980.-368 с.

112. Михайлова, И. Б. О характере обобщения в представлениях Текст. // Вопросы философии. — 1963. № 7. - С.74-84.

113. Моисеев, Н. Н. Математика ставит эксперимент Текст. / Н. Н. Моисеев.I1. М.: Наука, 1979.-224 с.

114. Мордкович, А. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. Текст.: учеб. для общеобразоват. учреждений / А. Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2001. -335 с.

115. Мордкович, А. Г. Беседы с учителями математики Текст.: Концептуал. методика. Рекомендации, советы, замечания. Обучение через задачи / А. Г. Мордкович. -М.: Школа-Пресс, 1995.-272 с.

116. Мултановский, В. В. Проблема теоретических обобщений в курсе физикисредней школы Текст. :автореф. дис. . .док. наук / В. В. Мултановский М.,I1979.- 19 с.

117. Надирашвили, Ш. А. Ступени развития обобщения в школьном возрасте и вопросы их моделирования Текст. / Ш. А. Надирашвили / Вопросы психологии. -1964. -№ 6. С. 78-87.

118. Нгуен-Ке -Хао. Характер мотивации учебно|й деятельности в зависимости от типа обобщения учебного материала Текст. / Нгуен Ке - Хао // Вопросы психологии.-1981.-№ 1.-С. 130-133.

119. Немов, Р.С. Психология Текст. Т. 1 / Р. С. Немов. М.: Владос, 1998. -279 с.

120. Ненашев, М. И. Введение в логику Текст. / М. И. Ненашев. Киров, 1995240 с.

121. Никитина, Н. Ш. Математическая статистика для экономистов Текст. / Н. Ш. Никитина. -М.: Инфра-М; Новосибирск: Изд во Hi 1 У, 2001. - 170 с.

122. Никольская, И. JI. Учимся рассуждать и( доказывать Текст. : кн. для учащихся 6-10 кл. сред. шк. / И. Л. Никольская, Е. Е. Семенов. М.: Просвещение, 1989. - 192 с.

123. Носатов, В. Т. Психологическая характеристика анализа как основы теоретического обобщения Текст. / В. Т. Носатова // Вопросы психологии. -1978.-№4.-С. 46-53.

124. Нысанбаев, А. Принцип соответствия и математика Текст. / А. Нысанбаев //Вопросы философии. 1965. -№ 7. - С. 95-104.

125. Онищук, В. А. Типы, структура и методика урока в школе Текст. / В. А. Онищук. — Киев: Рад. школа, 1976. 184 с. (

126. Онищук, В. А. Урок в современной школе Текст.: пособие для учителей / В. А. Онищук. М.: Просвещение, 1981. - 205с.

127. Орехов, Ф. А. Решение задач методом составления уравнений Текст.: пособие для учителей восьмилетней школы / Ф. А. Орехов. М.: Просвещение, 1971.-160 с.

128. Осинская, В. Н. Формирование умственной культуры учащихся в процессе обучения математике Текст.: кн. для учителя. Киев: Рад. шк., 1989. -192 с.

129. Островский, А. И. Геометрия помогает арифметике Текст. / А. И. Островский, Б. А. Кордемский. -М.: Физматрз, 1960. 168 с.

130. Паламарчук, В. Ф. Школа учит мыслить Текст. / В. Ф. Паламарчук. М.: Просвещение, 1987. - 206 с.

131. Педагогика Текст. : учеб. для вузов по пед. спец. / В.В.Краевский, А. Ф. Меняев, П. И .Пидкасистый; под ред. П.И. Пидкасистого. — М.: Педагог, общество России, 2004. 608 с.

132. Педагогика Текст. : учеб. пособие для ртудентов пед. ин-тов / Ю. К. Бабанский, В. А. Сластенин, Н. А. Сорокин ; под ред. Ю. К. Бабанского.- 2- е изд., доп. и перераб. М.: Просвещение, 1988. - 479 с.

133. Педагогика Текст.: учебное пособие для учеб. заведений / Сластенин В.А., Исаев И.Ф., Мищенко А.И. М.: Школьная Пресса, 2002. - 512 с.

134. Педагогический энциклопедический словарь Текст. / гл. ред. Б.М. Бим Бад. — М: Большая Российская энциклопедия, 2002. — 528 с.

135. Петров, Ю. Е. Диалектика научных абстракций в математическом познании Текст. / Ю. Е. Петров. М.: Изд. - во МГУ, 1986. - 172с.

136. Погорелов, А. В. Геометрия Текст.: учеб.| для 7 — 11 кл. общеобразоват. учреждений / А. В. Погорелов. М.: Просвещение, 1990. - 384 с.

137. Пойа, Д. Как решать задачу Текст. : пер. с англ. / Д. Пойа. М.: Учпедгиз, 1959.-216 с.

138. Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения Текст. / Д. Пойа. М.: Наука, 1975.-464 с.

139. Пойа, Д. Математическое открытие Текст. / Д. Пойа. М.: Наука, 1970 — 452 с.

140. Полонский, В. Б.Геометрия Текст.: задачник к школьному курсу / В. Б. Полонский, Е. М. Рабинович, М. С. Якир. г М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр- S, 1998.-256 с.

141. Поляк, Г. Опыт систематизации типовых задач Текст. / Г. Поляк // Математика в школе. -1940. № 4. - С. 22-28.

142. Понарин, Я. П. Геометрия Текст.: учебное пособие / Я. П. Понарин. -Ростов-на-Дону: Феникс, 1997. 512 с.

143. Поспелов, Н. Н. Формирование мыслительных операций у старшеклассников Текст. / Н. Н. Поспелов, И. Н. Поспелов. М.: Педагогика, 1989. - 152 с.

144. Психологический словарь Текст. / под ред. В.В.Давыдова, А.В.Запорожца, Б.Ф.Ломова; науч. исслед. ин-т общей и педагогической психологии АПН СССР. - М.: Педагогика, 1983. - 448 с.

145. Психологический словарь Текст. М.: Педагогика, 1983. - 447 с.

146. Психология Текст. : словарь / под ред. А. В. Петровского, М.Г.Ярошенко. -М.: Полит, лит., 1990. 440 с.

147. Пушкин, В. Н. Оперативное мышление в больших системах Текст. / В. Н.I

148. Пушкин.-М.-Л., 1965.- 125 с.

149. Раев, А. И. Управление умственной деятельностью младшего школьника Текст. / А. И. Раев. Л.: Ленинградский гос. пед. ин-т им. А.И.Герцена, 1976.-63 с.

150. Репьев, В. В. Общая методика преподавания математики Текст.: пособие для пед. ин-тов/ В. В. Репьев. -М.: Учпедгиз, 1958. 265 с.

151. Рогов, Е. И. Общая психология Текст. : курс лекций / Е. И. Рогов. М.: Владос, 1998.-283 с.

152. Родионов, М. А. Теория и методика формирования мотивации учебнойIдеятельности школьников в процессе обучения математике Текст. : дис. . докт. пед. наук. Саранск, 2001.

153. Розенфельд, Д. И. Об ознакомлении учащихся с методом обобщения Текст. / Д. И. Розенфельд // Математика в школе. 1965. - № 1. — С. 41-43

154. Рубинштейн, С. Л. Бытие и сознание Текст. / С. Л. Рубинштейн.- М.: Изд-во АН СССР, 1957.-512 с.

155. Рубинштейн, С. Л. Основы общей психологии Текст. / С. Л. Рубинштейн. -СПб.: Питер Ком, 1998. 688 с.

156. Рубинштейн, С. Л. Основы общей психологии Текст. В 2 т. Т. 1 / С.Л.I

157. Рубинштейн. -М.: Педагогика, 1989.-488 с.

158. Рынков, А. Е. Обобщение и систематизация знаний учащихся по алгебре в системе подготовки к обучению в средних профессиональных учебных заведениях Текст.: дисканд. наук. Киев, 1995.- 164 с.

159. Самарин, Ю. А. Очерки психологии ума. Особенности умственнойIдеятельности школьников Текст. / Ю. А. Самарин. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962.-504 с.

160. Саранцев, Г. И. Обучение методу аналогии Текст. / Г. И. Саранцев // Математика в школе. -1989. № 4. - С. 42 - 46.

161. Саранцев, Г. И. Методика обучения математике в средней школе Текст. : учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г.И.Саранцев. -М.: Просвещение, 2002. 224 с.

162. Саранцев, Г. И. Методы научного познания как средство упорядочениягеометрических задач Текст. / Г. И. Саранцев, Т. М. Калинкина //I

163. Математика в школе. 1994. - № 6 - С. 2-4.

164. Саранцев, Г. И. Обучение математическим доказательствам в школе Текст.: кн. для учителя / Г. И. Саранцев. М.: Просвещение, 2000. -173 с.

165. Светлов, В. А. Практическая логика Текст. / В. А. Светлов. СПб: Изд-во РХГИ, 1995.-472с.

166. Семушин, А. Д. Активизация мыслительной деятельности учащихся при изучении математики. Обучение обобщению и конкретизации Текст. : пособ. для учителей / А. Д. Семушин, О. С. Кретинин, Е. Е. Семенов. М.: Просвещение, 1978. - 64 с.

167. Смирнова, И. М. Геометрия Текст.: учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений./ИМ.Смирнова, В.А.Смирнов. —М.: Просвещение, 2001 -271 с.

168. Сойер, У. Прелюдия к математике Текст. / У. Сойер; пер. с англ. М. Л.Смолянского, С. Л.Романовой. -М.: Просвещение, 1972. 192 с.

169. Степин, В. С. Теоретическое знание Текст. / В. С. Степин. М.: Прогресс-Традиция, 2000. - 744 с.

170. Стражевский, А. А. О сравнении числовых значений величин Текст. / А. А. Стражевский // Математика в школе. 1959. - № 2. - С. 56-59.

171. Талызина, Н. Ф. Деятельностный подход к механизмам обобщения Текст. / Н. Ф. Талызина // Вопросы психологии. 2001. - № 3. - С. 3-16.

172. Талызина, Н. Ф. Педагогическая психология Текст. : учебное пособие для пед. сред. учеб. заведений / Н. Ф. Талызина. М.: Академия, 1998. - 288 с.

173. Талызина, Н. Ф. Управление процессом усвоения знаний Текст. / Н. Ф. Талызина. М.: Изд-во МГУ, 1975. - 343 с. (

174. Теоретические основы обучения математике в средней школе Текст. : учеб. пособие / под ред. Т.А. Ивановой. Н.Новгород: НГПУ, 2003. - 320 с.

175. Теплов, Б. М. Избранные труды Текст.: в 2 т. / Б. М. Теплов; ред. сост. и авт. коммент. Н.С. Лейтес, Н.В. Равич. — М.: Педагогика, 1985.

176. Туркина, В. М. Установление преемственных связей в преподавании математики в условиях развивающего обучения Текст. : автореф. дис. . .доктора пед. наук / В. М. Туркина.- СПб, 2003. -19 с.

177. Философская энциклопедия Текст. Т.4.- М.: Сов. энциклопедия», 1967. -519 с. ,

178. Философский энциклопедический словарь Текст. М.: Сов. энциклопедия, 1983.- 446 с.

179. Флешнер, Э А. Возрастные особенности абстрагирования в процессе применения знаний Текст. / Э. А. Флешнер // Вопросы психологии. -1964. -№2.-С. 146-154.

180. Фридман, Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе Текст.: учителю математики о пед. психологии / Л. М. Фридман. М.: Просвещение, 1983. -160 с.

181. Фридман, Л. М. Теоретические основы ^етодики обучения математике Текст. : пособие для учителей, методистов и педагогических высш. учеб. заведений / Л. М. Фридман. М.: Моск. психолого - социальный ин — т; Флинта, 1998.-217 с.

182. Фридман, Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи Текст.: кн. для учащихся ст. классов сред, шк./ Л. М. Фридман, Е. Н. Турецкий. 3-е изд., дораб. -М.: Просвещение,1989. -192 с.

183. Хабибуллин, К. Я. Психолого-педагогические аспекты применения граф-схем при решении геометрических задач Текст. / К. Я. Хабибуллин // Школьные технологии. 2001. - № 6. - С. 65-70.

184. Цукарь, А. Я. Построение обобщений теорем Текст. / А. Я. Цукарь // Математика в школе. -1984. -№ 5 С. 57-60.

185. Черкасов, Р. С. К вопросу о роли обобщений в преподавании геометрии Текст. / Р. С. Черкасов // Математика в школе. -1996. № 4 - С. 23-26.

186. Шапоринский, С. А. Обучение и научное познание Текст. / С. А. Шапоринский. М.: Педагогика, 1981. - 208 с.

187. Шардаков, М. Н. Мышление школьника Текст. / М. Н. Шардаков. М.: Учпедгиз, 1963.-252 с.

188. Шарыгин, И. Ф. Геометрия. 7-9 кл. Текст. / И. Ф. Шарыгин. 2-е изд. - М.: Дрофа, 1998.-352 с.

189. Шарыгин, И. Ф. Факультативный курс по математике : Решение задач Текст. : учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. / И. Ф. Шарыгин. М.: Просвещение, 1989. — 252 с. |

190. Шеварев, П. А. Теория обобщенных ассоциаций в психологии Текст.: избр. психологич. тр. / П. А. Шеварев. М.: ИПП; Воронеж: МОДЭК. - 1998. -608 с.

191. Шор, Я. А. Развитие функционального мышления на обобщении типовых задач Текст. / Я. А. Шор // Математика в школе. 1950. -№ 4. - С. 27-30.

192. Эрдниев, П. М. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике Текст.: кн. для учителя / П. М. Эрдниев, Б. П. Эрдниев. М.: Просвещение, 1986.- 255 с.

193. Система задач для обучения методу решения уравнений с помощью свойства ограниченности функции

194. Для овладения учащимися данным методом информация должна быть представлена в таком виде, чтобы стал возможен активный зрительный анализ ее структуры, т.е. создан обобщенный образ задачной ситуации.

195. Функция . называется ограниченной на промежутке X, если существуют числа А и В, такие, что для всех х еХ справедливо неравенство А</(х)<В.

196. Геометрический смысл определения: в координатной плоскости существует полоса, ограниченная . у = А и у = В, в которую попадает . график функции / и нет точек этого графика, лежащих вне указанной полосы. 1

197. Следующие упражнения обеспечивают актуализацию знаний, необходимых для решения уравнений.2.Докажите, что21. tg2x + -Ar> 2 tg х

198. Оцените значение выражения 3.1. 4cos2 л: 3 2 2Usin2x+2cos2x

199. Найдите множество значений функции i41. у= фс2 +2д: + 1042. у= log з (4 sin3x)43. у= + arcctg (0,4х + 1)

200. Докажите, что график функции51. у = 3 г лежит ниже прямой у=31. X 1 I52. у =—— лежит в полосе —< у <— J х +1 2 253 у = 1 + tog5 л/х2 +х + . лежит не ниже прямой у=1

201. Так как /(*)> M,g{x)< М , тоуравнение /(*•)= g(jc) может

202. Гf(x)=M иметь корни, если < , .g{x)=Mб)1. Рис. 1

203. А > В, то уравнение f(x) = g(x) корней не имеета)

204. После отделения и обобщения существенного в решении уравнений необходимо выполнение упражнений, которые вынуждают учащихся ориентироваться на общее существенное.

205. Обобщения при обучении общему методу решения уравнений позволяют основной акцент сделать не на запоминание информации, а на ее глубокое понимание, сознательное и активное усвоение.

206. Изобразите схематически графики фуркций, заданных формулами у = х2-рх + \ и y = x2+px-q^

207. Задан график функции y = x2+px + q. Схематично постройте графики функций у = х2 px + q, у = х2 + px-q, у = х2-px-q .1. Рис. 1

208. Дана правильная треугольная пирамида и некоторые ее элементы (рис. 1). Установите всевозможные отношения (зависимости) между элементами пирамиды.

209. Отношения между элементами пирамиды можно получить, выделив1. У 9 О hпрямоугольные треугольники. Например, из A AOD: Ъz = hr + R ; sin or = —;b

210. R x h a t^s^ts 7 2 1 2 2 • n h n r x n hcosa = — \ tg<2 = —; из A DOK: к =h +r ; smfi = —; cosfi = —; tgfl = — ; bR к к гиз ADKB: b2=k2 +—; sin^ = —; cos^ = -; tg^ = —; из AMHC:4 2 2b 2 b 2 2k1. ЯМ = —ctg—; MC = 2 2a2 sin—

211. Можно рассмотреть и другие прямоугольныетреугольники: АСМВ, ACMD, AHMD.

212. Можно установить связи между тригонометрическими функциямивыделенных углов: sin or = ~ctg—; cos& = -^psin —; tg—-^J3cos/?;tga = \tgp\ cos- =2 0 • (p 2 sin—и другие.