Геометрические задачи на построение в основной школе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Баранова, Лариса Николаевна

• Баранова, Лариса Николаевна
• кандидат педагогических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Баранова, Лариса Николаевна

Введение.

Глава I Роль и место конструктивных геометрических задач в школьном курсе математики

§ 1 Геометрические задачи на построение и их решение.

§ 2 Психолого-дидактические особенности конструктивных геометрических задач и процесса их решения.

§ 3 Ретроспектива и состояние постановки конструктивных геометрических задач в основной школе.

§ 4 О постановке конструктивных задач в зарубежной школе.

Выводы по первой главе.

Глава II Методика обучения решению конструктивных задач

§ 1 Дидактическая типология конструктивных задач курса планиметрии.

§ 2 Основные принципы построения методики обучения решению конструктивных задач в курсе планиметрии.

§ 3 Обучение решению конструктивных задач в процессе изучения курса планиметрии в основной школе.

§ 4 Межпредметные и внутрипредметные связи в процессе решения конструктивных задач.

§ 5 Эксперимент.

Выводы по второй главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрические задачи на построение в основной школе»

Традиционно в системе математического образования в отечественной школе решается триединая задача обучения учащихся математическим знаниям, приемам и методам, воспитания их математической культуры, развития математического мышления школьников средствами математики. При этом, как известно, первостепенное значение имеет формирование и развитие у школьников таких математических знаний, умений и навыков, которые должны составить фундамент для их активной познавательной деятельности в обучении математике и другим школьным дисциплинам, для их дальнейшего самообразования, которые будут востребованы и найдут свое применение в их практической деятельности. То есть решается задача фундаментальной математической подготовки школьников.

Объективно одним из средств, способствующих достижению высокого уровня математической подготовки учащихся, является их деятельность по решению математических задач, в особенности, геометрических задач на построение. В самом деле, история преподавания геометрии в отечественной средней школе выявила особую значимость геометрических задач на построение. Геометрические построения являются неотъемлемой частью элементарной геометрии, органически сочетаясь с ее систематическим курсом. Конструктивные геометрические задачи составляют одну из содержательных линий школьного курса геометрии, они отличаются широкими возможностями выбора методов их решения и разнообразными приложениями в практической деятельности. Действительно, среди методов решения геометрических задач на построение обширную группу составляют методы геометрических преобразований, осуществляя тесную взаимосвязь конструктивных задач с линией геометрических преобразований, которые, в свою очередь, составляют важнейшее понятие в элементарной геометрии, реализуют связь с функциональной линией в математике. Кроме того, конструктивные геометрические задачи имеют богатые межпредметные связи, в первую очередь, с курсами черчения, алгебры (посредством так называемого алгебраического метода) и физики. Задача формирования навыков и умений геометрических построений, а в целом - графической культуры учащихся, является сквозной как для всего школьного курса геометрии, так и для курса черчения.

Геометрические задачи на построение играют особую роль в формировании и развитии мышления школьников, его различных компонентов, в первую очередь, пространственного и логического, а также - в развитии математической интуиции учащихся. В самом деле, рассматривая геометрические задачи на построение, традиционно, отечественная методика предлагает проводить ход их решения (а также запись решения) в четыре этапа: 1) анализ, 2) построение, 3) доказательство, 4) исследование. Уже одно это говорит о том, что конструктивные геометрические задачи аккумулируют в себе обучение поисковой деятельности, конструктивной деятельности, приемам логического мышления, формируют исследовательские навыки у учащихся.

Теоретические основы геометрических построений были разработаны еще в 19 веке швейцарским геометром Я. Штейнером, а в дальнейшем нашли отражение в трудах А. Адлера, Ю. Петерсона, О. Шатуновского, Н.Ф. Четверухина и др.

Конструктивные геометрические задачи традиционно занимали одно из ведущих мест в отечественной дореволюционной школе, школе первой половины XX века. Во многом это объясняется тем, что курс геометрии в отечественной школе самостоятельный и дедуктивный, а конструктивные задачи облегчают его усвоение.

Вопросам постановки обучения геометрическим задачам на построение посвящены работы многих видных ученых-методистов, среди которых И.И. Александров, С.И. Шохор-Троцкий, Н.А. Извольский, Д.И. Перепелкин, Ж. Адамар и др.

Так, одним из основоположников методики изучения геометрических построений в средней школе заслуженно считается И.И. Александров. Ему принадлежат исследования в области теории элементарных построений и внедрения их в практику школьного преподавания геометрии. И.И. Александров первым построил систему конструктивных геометрических задач, выделив методы их решения; ему принадлежит идея использования задач на построение в качестве метода решения геометрических вопросов при обучении этому предмету в школе. Его достижения в области методики преподавания математики остаются востребованными и в наше время.

С.И. Шохор-Троцкий известен как автор метода целесообразных задач, посредством которого организуется взаимодействие индуктивного и дедуктивного метода в обучении математике. Он является автором комплекта учебных пособий «Геометрия на задачах» для учащихся и учителей, в которых немаловажная роль отведена геометрическим построениям, они используются для обоснования теоретических положений геометрии, здесь же С.И. Шохор-Троцкий применил разработанный им метод целесообразных задач.

Большой вклад в решение целого ряда проблем обучения учащихся геометрическим построениям внес Д.И. Перепелкин, достаточно подробно разработав вопросы содержания конструктивного материала и его распределения в пределах школьного курса геометрии. Кроме того, он внес значительный вклад в дело подготовки учителей математики, явившись автором учебников по элементарной геометрии, пользующихся большой популярностью среди студентов и учителей.

В дальнейшем методика обучения решению геометрических задач на построение получила развитие в трудах И. Ганчева, О.С. Куликовой, Г.Г. Масловой, Н.Н. Никитина, Г.И. Саранцева, А.Д. Семушина, А.А. Стражевского, И.Ф. Тесленко, А.И. Фетисова, А. Фуше и др.

Теория и методика обучения решению математических задач (в том числе конструктивных геометрических задач) рассмотрены в работах М.И. Зайкина, Г.Д.

Глейзера, В.А. Гусева, Г.Л. Луканкина, О.В. Мантурова, Ю.М. Колягина, В.И. Кру-пича, И.М. Смирновой, А.А. Столяра и др.

Аспекты психологического развития пространственного воображения, логического мышления учащихся в процессе выполнения графической деятельности освещены в исследованиях Г.А. Владимирского, В.И. Зыковой, Е.Н. Кабановой-Меллер, В.А. Крутецкого, С.Л. Рубинштейна, Л.М. Фридмана, И.С. Якиманской и др.

Проблемы формирования графических знаний, умений и навыков, графической культуры учащихся в процессе выполнения конструктивной деятельности рассмотрены Б.Г. Ананьевым, А.Д. Ботвинниковым, Н.Д. Бурениным, Б.Ф. Ломовым, Т.П. Гора и др.

Геометрическим задачам на построение в школьном курсе математики, проблемам их постановки, обучения учащихся их решению посвящен целый ряд диссертационных исследований, большая часть из которых относится к 50-60 гг. XX столетия. Таковы, например, исследования А.А. Мазаника, Г.М. Олифера, Г.П. Сенникова и др.

В диссертационном исследовании А.А. Мазаника «Построения как органическая часть курса геометрии восьмилетней школы» (1961) разработаны вопросы методики обучения учащихся отысканию решений задач на построение, методики ознакомления со схемой решения конструктивной задачи и проведения ее каждого этапа, методики обучения учащихся специальным методам решения задач на построение. Описывая методику обучения учащихся отысканию решений конструктивных задач, автор предлагает опереться на приемы, изученные в арифметике, а именно - на ана-литико-синтетический метод, использовать принципы нарастания сложности предлагаемых задач и вариации простейших задач. Особое внимание А.А. Мазаник уделяет методике исследования решений задач на построение, а также устанавливает возможность и целесообразность применения расширенного набора чертежных инструментов и дает соответствующие рекомендации.

Г.П. Сенников в своем диссертационном исследовании «Методика обучения решению задач на построение в VI - VIII классах» (1953) методы решения задач на построение предлагает рассматривать как единую систему средств анализа задачи, отмечая его особую роль в ее решении. Он классифицирует геометрические задачи на построение по следующим видам: 1) задачи положения, 2) метрические задачи. Такая классификация имеет значение при проведении этапа исследования конструктивной геометрической задачи, для которого он выдвигает два основных принципа исследования: принцип варьирования данных и принцип подсчета числа решений.

Диссертационная работа Г.М. Олифера «Основные принципы методики обучения решению планиметрических задач на построение в средней школе в свете задач политехнического обучения» (1953) освещает те из них, которые лежат в основе эффективного проведения этапов решения геометрической задачи на построение. Автор предлагает использовать задачи на построение как конструктивный метод трактовки геометрических вопросов, как средство установления связей геометрии с практикой. Г.М. Олифер проводит классификацию конструктивных планиметрических задач, в основу которой положено «искомое» в задаче. Согласно его классификации каждую планиметрическую задачу на построение можно отнести к одному из следующих видов: 1) задачи на построение многоугольников, 2) задачи на построение окружностей (или их дуг), 3) задачи на построение прямых (или отрезков), 4) задачи на построение точек. Кроме того, автором рассматривается вопрос о сложности геометрических построений.

Таким образом, круг тех вопросов и проблем, которые нашли решение в отечественной методике обучения школьников решению конструктивных геометрических задач, составляют следующие: содержание конструктивного материала в школьном курсе геометрии и его распределение в пределах этого курса, методика ознакомления учащихся со схемой решения геометрической задачи на построение и проведения каждого ее этапа, методика обучения учащихся отдельным методам решения конструктивных геометрических задач. Как показал анализ программ и учебников, задачам на построение в курсе геометрии отечественной школы вплоть до 60-х гг. нашего столетия уделялось значительное внимание, а в современном курсе математики основной школы внимание к ним существенно снизилось. Все меньше места находится таким задачам на страницах школьных учебников геометрии, да и в школьной программе по математике геометрическим построениям отводится неоправданно малое количество часов, их изучение становится эпизодическим при том, что роль таких задач в формировании пространственного мышления и графической культуры учащихся является общепризнанной и подтверждена фундаментальными исследованиями в области психологии и методики обучения математике. Таким образом, до сих пор не решена проблема представления конструктивных задач как органической части в курсе геометрии современной школы. Выявленное противоречие между большой психолого-педагогической значимостью конструктивных геометрических задач с точки зрения их содержания и особенностей процесса решения, с одной стороны, и незначительным вниманием к ним в современном школьном курсе геометрии, с другой, определяет актуальность проблемы нашего диссертационного исследования.

Проблема диссертационного исследования заключается в выявлении возможностей усиления конструктивной линии в современном курсе геометрии основной школы.

Цель исследования состоит в совершенствовании и дальнейшем развитии методики обучения школьников решению задач на построение, усиливающей конструктивную линию в обучении геометрии в современной школе.

Объект исследования: процесс обучения геометрии в основной школе.

Предмет исследования: методика обучения решению геометрических задач на построение.

Гипотеза исследования: целенаправленное и целесообразное усиление конструктивной линии в современном курсе геометрии основной школы позволит повысить и теоретический, и практический уровень обучения геометрии.

Для решения выявленной проблемы, достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы были определены следующие основные задачи исследования:

1) Проанализировать состояние проблемы диссертационного исследования на основе изучения и обобщения психолого-педагогической, методической, учебной литературы, государственных документов по вопросам среднего образования.

2) Выявить роль и место геометрических задач на построение в школьном обучении, а также психолого-дидактические особенности процесса их решения.

3) Проследить эволюцию обучения решению геометрических задач на построение в отечественной средней школе, а также - в некоторых зарубежных школах.

4) Выявить типологию конструктивных геометрических задач, наиболее приемлемую для обучения геометрии в современной основной школе.

5) Разработать методическую систему обучения геометрии, усиливающую конструктивную линию в обучении, и экспериментально проверить эффективность разработанной методики.

Методологическую основу исследования составили основные положения диалектики, теории познания, логики науки, системный подход к данной проблеме.

Теоретической основой исследования явились труды известных ученых-математиков и методистов, фундаментальные исследования в области психологии, основные положения и принципы теории и методики обучения математике в школе.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:

1) Теоретические (анализ математической, психолого-педагогической, методической литературы по теме диссертационного исследования).

2) Общелогические (историко-логический анализ состояния исследуемой проблемы, логико-дидактический анализ действующих программ и учебников по геометрии).

3) Эмпирические (педагогические наблюдения, сравнение и обобщение педагогического опыта, беседы с учителями и др.).

4) Экспериментально-статистические (педагогический эксперимент, статистическая обработка его результатов и их анализ).

Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечена использованием многолетнего опыта преподавания геометрии в отечественной и зарубежной школе, достижений психолого-педагогических наук, теории и методики обучения математике, а также опытно-экспериментальной работой, применением разнообразных методов исследования, адекватных поставленным задачам, подтверждением выдвинутой гипотезы.

Научная новизна исследования состоит в разработке методической системы обучения геометрии применительно к действующим учебникам для основной школы, позволяющей, не ломая традиционной методики обучения, усилить конструктивную линию курса и тем самым обеспечить более качественную геометрическую подготовку школьников.

Теоретическая значимость исследования состоит в разработке принципов построения методической системы геометрических задач (включающей их типологию), позволяющей обеспечить сознательное усвоение теоретического материала школьниками, формирование практически важных конструктивных геометрических навыков, развить их пространственное мышление, повысить интерес к изучению геометрии.

Практическая значимость исследования заключается в возможности существенного совершенствования системы геометрических задач в школьных учебниках по планиметрии, в усилении прикладной и практической направленности обучения геометрии в школе, а также - в возможности успешного использования его результатов в практике работы школ и подготовке будущих учителей математики в педагогических вузах.

Апробация результатов исследования проводилась в виде докладов и выступлений на заседаниях кафедры геометрии и методики преподавания математики ОГУ, на заседаниях научно-методического семинара физико-математического факультета ОГУ, научно-практических конференциях по итогам НИР ОГУ (1998 -2000 гг.), Всероссийской конференции "Методическое обеспечение сельской школы: теория, практика, эксперимент" (Орел, 1999 г.), межрегиональном научно-практическом семинаре "Сельская школа как региональный образовательно-культурный центр" (Арзамас, 2000 г.).

На защиту выносятся:

1. Система принципов построения методики обучения решению геометрических задач на построение.

2. Методическая система обучения решению задач на построение применительно к действующим учебникам, обеспечивающая более качественную геометрическую подготовку школьников.

Структура диссертации определена логикой и последовательностью поставленных задач. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Баранова, Лариса Николаевна

Выводы по второй главе.

1. Логико-дидактический анализ содержания темы «Геометрические построения на плоскости» позволил нам определить дидактическую типологию конструктивных задач курса планиметрии. Здесь следует отметить два основных подхода, сложившихся в школьном обучении решению геометрических задач на построение. Первый из них в основе своей имеет метод решения конструктивной геометрической задачи, а второй - тип искомой в ней фигуры. Каждая из приведенных типологий имеет свои позитивные и негативные стороны с точки зрения использования их в построении системы конструктивных геометрических задач в курсе планиметрии основной школы. Наиболее приемлемой для школьного обучения геометрии является типология конструктивных планиметрических задач по типу фигуры, которую требуется построить по условию задачи, поскольку именно такая типология в большей степени отражает содержание школьного курса планиметрии в целом, и его отдельных содержательных линий в их взаимосвязи с геометрическими построениями. При этом типология рассматриваемых задач по методам их решения также может быть использована локально, при рассмотрении отдельных тем или разделов курса геометрии, например, при изучении геометрических преобразований или элементов аналитической геометрии.

2. Исходя из дидактических функций конструктивных геометрических задач, психологических особенностей процесса их решения, учитывая их роль и значимость в евклидовой геометрии, а также опыт и традиции их преподавания в отечественной школе, объективно выявляются следующие основные принципы построения методики обучения решению таких задач в курсе планиметрии основной школы: принцип целостности, принцип дедукции и индукции, принцип анализа и синтеза, принцип межпредметных и внутрипредметных связей, принцип прагматизма, принцип моделирования, принцип эволюционного развития.

Принцип целостности означает возможное более полное привлечение содержательной и процессуальной сторон конструктивных задач в процессе обучения геометрии в основной школе на доступном учащимся уровне.

Прищдщ. дедукции ииндукции в обучении учащихся конструктивным геометрическим задачам означает использование их как средства развития индуктивных и дедуктивных умений учащихся, как средства дедуктивно-индуктивного подхода к изучению курса планиметрии.

Принцип анализа и синтеза в процессе обучения решению конструктивных геометрических задач предполагает развития аналитического и синтетического мышления учащихся в их взаимосвязи.

Принцип межпредметных и внутрипредметных связей в обучении учащихся геометрическим задачам на построение означает формирование у школьников целостного представления о внутреннем единстве математики и ее роли в других науках, в частности о роли геометрических построений в чертежной практике, в физике, например, в геометрической оптике, об общих методах и приемах решения геометрических и алгебраических задач.

Реализация межпредметных связей курсов геометрии (в части задач на построение) и черчения предполагает решение общих задач обучения правильным и рациональным приемам работы с чертежными инструментами, способам элементарных геометрических построений, использование общих подходов к формированию графической культуры учащихся, освещение общих или тесно взаимосвязанных содержательных линий этих курсов. Геометрические построения находят свое применение и в физике, например, в геометрической оптике. Взаимосвязь конструктивных задач с алгеброй, арифметикой, тригонометрией прослеживается в системе общих методов и приемов, применимых к их решению. Ее реализация позволяет приводить знания учащихся в систему, делая их осознанными, усиливая их прикладную направленность. Внутрипредметные связи конструктивных планиметрических задач с задачами стереометрии определяются использованием конструктивного метода (для доказательства существования геометрических объектов) и планиметрической теории для решения стереометрических задач.

Принцип прагматизма в обучении учащихся геометрическим построениям означает их использование как средства усиления прикладной, практической направленности обучения геометрии.

Принцип моделирования в обучении школьников решению конструктивных задач означает изучение геометрии с модельной точки зрения и формирование у школьников умений и навыков математического моделирования практических задач. системы обучения решению конструктивных геометрических задач в основной школе означает обеспечение более качественной геометрической подготовки школьников, не ломая традиционной методики обучения.

3. Наибольшей эффективности в развитии мышления, повышении уровня теоретических знаний и практических навыков в системе конструктивных планиметрических задач можно достичь посредством реализации всех указанных принципов. Одним из оптимальных путей такой реализации является эволюционное изменение системы планиметрических задач в школьных учебниках геометрии. Для этого может быть использована методическая система обучения геометрии на основе широкого привлечения задач на построение с учетом указанных выше принципов. Она также включает в себя целесообразную дидактическую типологию геометрических задач на построение и методику обучения их решению.

4. Опытно-экспериментальная работа позволила провести локальную проверку разработанной методической системы. Результаты решения отдельных геометрических задач на построение, проведенных проверочных работ позволили установить, что наиболее доступными для учащихся явились геометрические задачи на построение треугольников, частных видов параллелограммов, равнобедренных трапеций, отдельные задачи на построение окружностей, а среди методов решения-метод геометрических мест, параллельного переноса и симметрии; несколько сложнее усваиваются метод подобия и поворота, алгебраический метод. Личные наблюдения показали, что учащиеся проявляют интерес к конструктивным задачам с фабулой практического содержания, что они лучше справляются с геометрическими построениями при расширении допустимого чертежного инструментария. Экспериментальная работа подтвердила выдвинутую гипотезу. Локальная проверка разработанной методической системы показала эффективность ее использования в практике преподавания курса геометрии в современной отечественной школе с целью обеспечения геометрической подготовки школьников на более высоком уровне. в построении целостной методической

173

Заключение.

В процессе теоретического и экспериментального исследования поставленной научной проблемы, в соответствии с целью и задачами диссертационной работы получены следующие результаты и выводы.

1. Анализ состояния проблемы исследования, выполненный на основе изучения и обобщения математической, психологической, дидактической, методической и учебной литературы, показал, что задачам на построение уделялось серьезное внимание до 60-х гг. XX столетия. Начиная со второй половины XX столетия, внимание к таким задачам в школьном курсе геометрии существенно снижается, несмотря на то, что геометрические задачи на построение обладают большой психолого-педагогической значимостью в обучении школьников геометрии. В современной школе их постановка является неудовлетворительной. Не решена задача представления конструктивных задач как органической части в современном школьном курсе геометрии.

2. Геометрические задачи на построение играют важную роль в евклидовой геометрии, составляя один из разделов элементарной геометрии. Их решение тесно связано и во многом зависит от используемого набора чертежных инструментов. Конструктивные геометрические задачи отличает четкая четырехэтапная схема их решения и его записи (анализ - построение - доказательство - исследование), которая обладает удобством и дидактической эффективностью в обучении учащихся поисковой, конструктивной, исследовательской деятельности, в формировании приемов логического мышления, а в целом - в обучении школьников решению математических задач. Геометрические задачи на построение обладают разнообразием идей и методов их решения, отличаются богатыми приложениями в практической деятельности, широкими внутрипредметными и межпредметными связями. Все это позволяет использовать их в процессе обучения геометрии систематически, реализуя такие дидактические задачи как более глубокое, осознанное усвоение учащимися теоретического материала (курс геометрии в отечественной школе является дедуктивным, а конструктивные задачи облегчают его усвоение), обобщение и систематизация знаний школьников, формирование мышления, пространственного воображения, графической культуры школьников.

3. Анализ эволюции постановки геометрических задач на построение в курсе геометрии отечественной школы XX столетия выявил их как одну из важнейших содержательных линий в нем. Постановка таких задач в отечественной школе имеет свои традиции и особенности, среди которых, например, систематический характер их предъявления школьникам, охват ими практически всех фигур, изучаемых в курсе планиметрии, рассмотрение различных методов их решения. На протяжении долгого времени одной из традиций отечественной школы было существенное внимание к такого рода задачам, которое в последние годы значительно снизилось. Более того, изучение опыта преподавания геометрических построений в некоторых зарубежных школах позволяет говорить о том, что геометрические построения и конструктивные методы находят достойное место в практике обучения геометрии наряду с формально-логическими и аналитическими методами. Для отечественной школы будет полезен французский опыт комплексных задач и практической направленности системы конструктивных геометрических задач.

4. В определении дидактической типологии конструктивных задач курса планиметрии существует два основных подхода, сложившихся в школьном обучении решению задач на построение. Первый из них в основе своей имеет метод решения конструктивной задачи, а второй - тип искомой в ней фигуры. Наиболее приемлемой для школьного обучения геометрии является типология конструктивных планиметрических задач по типу фигуры, которую требуется построить по условию задачи, поскольку именно такая типология в большей степени отражает содержание школьного курса планиметрии в целом, и его отдельных разделов в их взаимосвязи с геометрическими построениями. При этом типология рассматриваемых задач по методам их решения также может быть использована локально, при рассмотрении отдельных тем или разделов курса геометрии.

5. Основным результатом исследования явилась разработанная методическая система обучения геометрии на основе широкого использования конструктивных геометрических задач. В основе этой системы лежат принципы: целостности, дедукции и индукции, анализа и синтеза, межпредметных и внутрипредметных связей, прагматизма, моделирования, эволюционного развития. Она также включает в себя целесообразную дидактическую типологию геометрических задач на построение (основные задачи на построение, задачи на построение треугольников, задачи на построение четырехугольников, задачи на построение окружности и ее элементов и др.) и методику обучения их решению. Особенностью этой методической системы является то, что она не ломает традиционной методики обучения геометрии, обеспечивая более качественную геометрическую подготовку школьников. Эта система применима к действующим отечественным учебникам геометрии для основной школы. Экспериментальное исследование подтвердило эффективность разработанной методической системы и выявило возможности ее использования в практике обучения геометрии в современной школе с целью обеспечения геометрической подготовки учащихся на более высоком уровне.

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Баранова, Лариса Николаевна, 2000 год

1. Автономова Т.В., Аргунов Б.И. Основные понятия и методы школьного курса геометрии: Книга для учителя. М.: Просвещение, 1988. - 127 с.

2. Адам ар Ж. Элементарная геометрия. Ч. 1. Планиметрия. М., 1957. - 608 с.

3. Адлер А. Теория геометрических построений. JL: Учпедгиз, 1940. - 231 с.

4. Александров А.Д. и др. Геометрия: Для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изучением математики / А.Д. Александров, A.JI. Вернер, В.И. Рыжик. -М.: Просвещение, 1991. 415 с.

5. Александров А.Д. О геометрии //Математика в школе. 1980. - № 3 - С. 5662

6. Александров И.И. Методы решений геометрических задач на построение и сборник геометрических задач с полными и краткими решениями: Курс средних учебных заведений (для старших классов) / Сост. И. Александров. М., 1914. - 176 с.

7. Александров И.И. Методы решений геометрических задач на построение и сборник геометрических теорем и задач на построение и приложений алгебры к геометрии: курс сред. учеб. заведений./ Сост. И. Александров. Тамбов, 1883. - 193 с.

8. Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями. Изд. 12-е. Под ред. Н.В. Наумович. М.: Учпедгиз, 1954. - 176 с.

9. Андронов И.К. Полвека развития школьного математического образования в СССР. М.: Просвещение, 1967. - 180 с.

10. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости. Пособие для студентов пед. ин-тов. М.: Учпедгиз, 1957. - 266 с.

11. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия: Учебное пособие для пед. институтов. М.: Просвещение, 1966. - 366 с.

12. Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения: Общедидактический аспект. М.: Педагогика, 1977. - 254 с.

13. Бевз Г.П. и др. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений / Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Владимирова. М.: Просвещение, 1966. - 351 с.

14. Болтянский В.Г. и др. Геометрия: Проб, учебник для 6 8 кл. / В.Г. Болтянский, М.Б. Волович, А.Д. Семушин - М.: Просвещение, 1979. - 272 с.

15. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия: Книга для учителя. М.: Просвещение, 1985.-318 с.

16. Ботвинников А.Д. Об основных направлениях классификации и исследования способов решения учебных графических задач. М.:,1966. - 20 с.

17. Ботвинников А.Д., Ломов Б.Ф. Научные основы формирования графических знаний, умений и навыков школьников. М.: Педагогика, 1979. - 255 с.

18. Ботвинников А.Д., Якиманская И.С. Особенности оперирования учащимися разными видами графических изображений // Известия АПН РСФСР. вып. 143. — 1968.-С. 195-231.

19. Буренин Н.Д. Методы конструктивной геометрии в школьном геометрическом моделировании: Автореф. дис. канд. пед. наук. Л., 1957. - 23 с.

20. Бурлев Ю.А. Формирование обобщенных дедуктивных умений в курсе геометрии восьмилетней школы: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1984. - 17 с.

21. Бычков В.П. Об учебниках геометрии для VII IX классов румынской средней школы // Математика в школе. - 1960. - № 4. - С. 79-83.

22. Василевский А.Б. Обучение решению задач по математике: Учебное пособие для пед. ин-тов. Мн.: Выш. шк., 1988. - 255 с.

23. Виленкин Н.Я. Современные проблемы школьного курса математики и их исторические аспекты // Математика в школе. 1988. - № 4. - С. 7 - 14.

24. Владимирский Г.А. Экспериментальное обоснование системы и методики упражнений в развитии пространственного воображения // Известия АПН РСФСР. -1949.-№ 21.-С. 95- 120.

25. Вопросы формирования и развития пространственных представлений и воображения // Известия АПН РСФСР. 1949. - № 21.

26. Выгодский М.Я., Рабинович В.Л. Некоторые принципиальные вопросы, связанные с решением конструктивных задач // Математика в школе. 1965. - № 4. - С. 27-35.

27. Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач. -Киев: Рад. шк., 1989. 157 с.

28. Гангнус Р.В., Гурвиц Ю.О. Геометрия: Ч. 1. Планиметрия. Методическое пособие для вузов и преподавателей ср. шк. Под ред. И.К. Андронова. М.: Учпедгиз, 1934.-320 с.

29. Геометрические построения: методические разработки /АПН СССР НИИ содерж. и методов обучения; Разраб.: Ширпаев Н.В. М., 1987. - 23 с.

30. Геометрия: Учеб. для 7 9 кл. сред. шк. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 1990. - 336 с.

31. Глаголев А.Н. Сборник геометрических задач на построение и краткий курс элементарной геометрии / Сост. А.Н. Глаголев. М., 1890. - 392 с.

32. Глаголев А.Н. Элементарная геометрия и собрание геометрических задач. Руководство для гимназий и реальных училищ. М.: Сытин, 1913. - 298 с.

33. Глаголев Н.А., Глаголев А.А. Геометрия. 4.1.: Планиметрия: Учебник для 69 классов. М., 1958.-238 с.

34. Глейзер Г.Д. Методы формирования и развития пространственных представлений школьников в процессе обучения геометрии: Автореф. дис. . .доктора пед. наук.-М., 1979.-45 с.

35. Глейзер Г.Д. Психолого педагогические основы развития пространственных представлений при обучении геометрии / В сб. Преподавание геометрии в 9 - 10 классах. Сост.: З.А. Скопец, Р.А. Хабиб. - М.: Просвещение, 1980.

36. Глейзер Г.Д. Развитие пространственных представлений школьников при обучении геометрии. М.: Педагогика, 1978. - 104 с.

37. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. -М.: Просвещение, 1985. 191 с.

38. Гольтиков В.Ф. Русский учебник геометрии средней школы: Автореф. дис. канд. пед. наук. М., 1967. - 14 с.

39. Готман Э.Г. О решении геометрических задач различными методами // Математика в школе. 1962. - № 1. - С. 91 - 93.

40. Готман Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом. М.: Просвещение, 1979. - 128 с.

41. Гора Т.П. Формирование у учащихся навыков и умений геометрических построений: (4-6 кл.): Автореф. дис. канд. пед. наук. Киев, 1984. - 24 с.

42. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях: Непараметрические методы. М.: Педагогика, 1977.-136 с.

43. Гречкин Н.З. Особенности преподавания геометрии в польской средней школе // Математика в школе. 1960. - № 3. - С. 65 - 75.

44. Давидов А.Ю. Геометрия. Для уездных училищ. Сост. по Дистервегу А. Давидовым. Изд. 32-е М.-Пг.: Думнов, 1918. 62 с.

45. Давидов А.Ю. Геометрия в объеме гимназического курса: Учеб. руковод. для сред, учеб заведений. М.-Пг.: Наслед. Салеевы, 1918. - 348 с.

46. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении: (Логико психологические проблемы построения учебных предметов). - М.: Педагогика, 1972. - 424 с.

47. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. М.: Педагогика, 1986. -239 с.

48. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М.: Интор, 1996. - 541 с.

49. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. М.: Учпедгиз, 1962.- 152 с.

50. Зетель С.И. О решении некоторых задач на построение // Математика в школе. 1951. - № 4. - С. 55 - 59.

51. Зетель С.И. О построении некоторых формул // Математика в школе. 1950. -№ 3. - С. 26-29.

52. Зыкова В.И. Оперирование понятиями при решении геометрических задач // Известия АПН РСФСР. 1950. - № 28. - С. 153 - 168.

53. Зыкова В.И. О применении геометрических знаний к решению практических задач // Вопросы психологии. 1959. - № 2. - С. 53 - 65.

54. Зыкова В.И. Очерки психологии усвоения начальных геометрических знаний. Пособие для учителей. М.,1955. - 164 с.

55. Зыкова В.И. Применение геометрических знаний учащимися средней школы к решению задач с практическим и производственным содержанием. Доклады АПН РСФСР, 1963. -№ 1.-С.21 -24.

56. Зыкова В.И. Психология усвоения геометрических понятий учащимися VI классов // Известия АПН РСФСР. вып. 61. - 1954. - С. 85 - 114.

57. Зыкова В.И. Формирование практических умений на уроках геометрии. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963. - 200 с.

58. Извольский Н.А. Методика геометрии. Пг.: Брокгауз - Ефрон, 1924.-162 с.

59. Извольский Н.А. Геометрия на плоскости: (Планиметрия). JL: Госиздат, 1924.-296 с.

60. Исаков В.Н. О различных способах решения геометрических задач на построение // Математика в школе. 1958. - № 5. - С.5 -11.

61. Кабанова Меллер Е.Н. Роль чертежа в применении геометрических теорем // Известия АПН РСФСР. - 1950. - № 28. - С. 38 -51.

62. Канин Е.С. Аналитическое моделирование текстовых задач // В сб. Функции задач в обучении математике. Сост. В.К. Смышляев. — Киров Йошкар-Ола, 1985. -С. 57-65.

63. Каплунович И .Я. О структуре пространственного мышления при решении математических задач // Вопросы психологии. 1978. - № 3. - С. 75 - 84.

64. Карасев П.А. Элементы наглядной геометрии в школе: Пособие для учителей. М.: Учпедгиз, 1955.-207 с.

65. Киселев А.П. Элементарная геометрия: Для средних учебных заведений. С приложением большого количества упражнений и статьи: Главнейшие методы решения геометрических задач на построение. М.: Наслед. Салеевы, 1900. - 304 с.

66. Киселев А.П., Рыбкин Н.А. Геометрия: Планиметрия: 7-9: Учебник и задачник. М.: Дрофа, 1995. 352 с.

67. Колмогоров А.Н. О профессии математика. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1960. 30с.

68. Колмогоров А.Н. и др. Геометрия: Учебное пособие для 6 8 кл. сред, школы/ А.Н. Колмогоров, А.Ф. Семенович, Р.С. Черкасов. Под ред. А.Н. Колмогорова. -М.: Просвещение, 1981. - 383 с.

69. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. I: Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. М.: Просвещение, 1977. - 110 с.

70. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. II: Обучение математике через задачи и обучение решению задач М.: Просвещение, 1977. - 144 с.

71. Колягин Ю.М. Русская школа и математическое образование. Орел, 1996190 с.

72. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. Основные понятия современного школьного курса математики. Под ред. А.И. Маркушевича. М.: Просвещение, 1974. - 382 с.

73. Колягин Ю.М., Оганесян В.А. Учись решать задачи: Пособие для учащихся VII VIII кл. - М.: Просвещение, 1980. - 96 с.

74. Колягин Ю.М., Оганесян В.А., С аннинский В.Я., Луканкин Г.Л. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов физ. мат. фак. пед. институтов. - М.: Просвещение, 1975. - 462 с.

75. Крамор B.C. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. М.: Просвещение, 1992. - 320 с.

76. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. М.: Прометей, 1995. - 166 с.

77. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение, 1968.-431 с.

78. Кудрявцев Т.В., Якиманская И.С. Развитие технического мышления учащихся. М.: Высш. школа, 1964. - 96 с.

79. Куликова О.С. Геометрические задачи на построение как средство развития математических способностей учащихся: Автореф. дис. . канд. пед наук. -М., 1998. -30 с.

80. Ломов Б.Ф. Формирование графических знаний и навыков учащихся. М.: Изд-во АПН РСФСР. - 1959. - 270 с.

81. Мазаник А.А. Задачи на построение по геометрии в восьмилетней школе. Пособие для учителей. Минск: Нар. асвета, 1967. - 144 с.

82. Мазаник А.А. Обучение учащихся решению задач на построение по планиметрии. Пособие для учителей. Минск: Нар. асвета, 1960. - 140 с.

83. Мазаник А.А. Построения как органическая часть курса геометрии восьмилетней школы: Автореф. дис. . канд пед. наук. М., 1961. - 18 с.

84. Маслова Г.Г. Геометрические построения в средней школе и их значение в политехническом обучении: Автореф. дис. канд пед. наук. -М., 1954. 16 с.

85. Маслова Г.Г. Методика обучения решению задач на построение в восьмилетней школе. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1961. - 152 с.

86. Маслова Г.Г. Развитие пространственных представлений учащихся восьмилетней школы при решении задач по геометрии // Математика в школе. 1964. - № 3.-С. 36-44.

87. Матюшкин A.M. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. М.: Педагогика, 1972.-208 с.

88. Менчинская Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьника. М.: Педагогика, 1989. - 218 с.

89. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / А .Я. Блох, Е.С. Канин, Н.Г. Килина и др.; Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. М.: Просвещение, 1985. - 336 с.

90. Никитин Г.Н. Задачи на построение в курсе планиметрии как средство развития пространственного мышления и конструктивных умений школьников: Автореф. дис. канд. пед. наук. М., 1990. - 16 с.

91. Никитин Н.Н. Геометрия. Учебник для 6 8 кл. - М.: Просвещение, 1969. -208 с.

92. Никитин Н.Н., Маслова Г.Г. Сборник задач по геометрии для 6-8 классов восьмилет. школы. М.: Просвещение, 1970. - 159 с.

93. Олифер Г.М. О простоте решений геометрических задач на построение // Математика в школе. 1956. - № 1. - С. 44 - 58.

94. Олифер Г.М. Основные принципы методики обучения задачам на построение в средней школе в свете задач политехнического обучения: Автореф. дис. . канд. пед. наук. -М., 1955. 16 с.

95. Панов В.И. От развивающего обучения к развивающему образованию // Известия РАО. 2000. - № 2. - С. 60 - 69.

96. Перепелкин Д.И. Геометрические построения в средней школе. М. - JL: Изд-во АПН РСФСР, 1947. - 84 с.

97. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. 4.1. Геометрия на плоскости. М. - JL: ОГИЗ, Государственное издательство технико - теоретической литературы, 1948. - 344 с.

98. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7 11 кл. сред. шк. - 4-е изд.- М.: Просвещение, 1993. - 383 с.

99. Пойа Д. Как решать задачу. Пособие для учителей. М.: Учпедгиз, 1961. -207 с.

100. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1975. -463 с.

101. Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. М.: Наука, 1970. - 452 с.

102. Покровский Т.П. Метод подобия в решении задач на построение // Математика в школе. 1952.- № 6. - С. 43 - 50.

103. Прасолов В.В. Три классические задачи на построение: удвоение куба, трисекция утла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. - 80 с.

104. Преподавание математики. Пособие для учителей. Перевод с франц. А И. Фетисова. М.: Учпедгиз, 1960. - 163 с.

105. Проблемы восприятия пространства и пространственных представлений / Под ред. Б.Г. Ананьева, Б.Ф. Ломова. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1961. - 200 с.

106. Птахин Г.А. Метод геометрических мест в VII классе // Математика в школе. -1952.-№4.-С. 74-76.

107. Рубинштейн С.Л. О мышлении и путях его исследования. М.: Издательство Академии наук СССР, 1958. - 147 с.

108. Рябков Г. Опыт методики решения геометрических задач на построение: Пособие для преподавателя / Сост. и издал Г.З. Рябков. Одесса, 1894. - 289 с.

109. Саранцев Г.И. Методика изучения отображений в курсе геометрии восьмилетней школы: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1979. - 80 с.

110. Саранцев Г.И. Сборник задач на геометрические преобразования: Подобия плоскости в задачах. Пособие для учащихся. М.: Просвещение, 1981. - 111 с.

111. Саранцев Г.И. Сборник задач на геометрические преобразования. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1975. - 110 с.

112. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995.-240 с.

113. Сборник статей по вопросам преподавания геометрии в средней школе. Под ред. П.В. Стратилатова. М.: Учпедгиз, 1958. - 190 с.

114. Семушин А.Д. Решение задач на построение методом подобия // Математика в школе. 1949. - № 6. - С. 18 - 29.

115. Семушин А.Д., Фетисов А.И. Геометрические построения: Учебные материалы по геометрии для V класса. М. 1967. - 60 с.

116. Сенников Г.П. Наглядно конструктивное изучение школьной планиметрии (применительно к новой программе). Под ред. В.В. Репьева. - Горький: Волго - Вят. кн. изд., 1970.-275 с.

117. Сенников Г.П. Методика обучения решению задач на построение в VI VIII классах: Автореф. дис. . канд. пед. наук. - Москва-Горький, 1953. - 18 с.

118. Сенников Г.П. Об исследовании в задачах на построение // Математика в щколе. —1952. № 2. - С. 23 - 31.

119. Сенников Г.П. Решение задач на построение в VI VIII классах. Пособие для учителей. - М.: Учпедгиз, 1955. - 159 с.

120. Скопец З.А. Задачи на построение, основанные на замечательном свойстве прямой Эйлера // Математика в школе. 1962. - № 6. - С. 90 - 92.

121. Столетнев B.C. Оперирование пространственными образами при решении задач // Новые исследования в психологии. 1979. - № 1. - С. 31 - 37.

122. Столяр А.А. Обзор учебника геометрии для VI класса средней школы Румынской народной республики // Математика в школе 1960. № 4. - С. 73 - 78.

123. Столяр А.А. Обзор учебника по математике для VIII класса основной школы Германской Демократической Республики // Математика в школе .- 1958. № 5. - С. 65-71.

124. Стражевский А.А. Задачи на геометрические места точек в курсе геометрии средней школы. М.: Учпедгиз, 1954. - 158 с.

125. Тесленко И.Ф. Метод инверсии и его применение. Киев: Рад. школа, 1959. -47 с.

126. Тесленко И.Ф. О некоторых методах решения геометрических задач на построение в курсе элементарной геометрии./ Метод инверсии: Автореф. дис. . канд. пед. наук. Львов, 1950. - 8 с.

127. Торндайк Э. Принципы обучения, основанные на психологии. М.: Работник просвещения, 1930. - 240 с.

128. Федоров B.C. Изучение основных задач на построение в VI классе // Математика в школе. 1948. - № 3. - С. 32 - 34.

129. Фетисов А.И. Геометрия в задачах. М.: Просвещение, 1977. - 192 с.

130. Формирование дедуктивных умений в процессе решения задач на построение: Метод, рекомендации для 6 кл. / АПН СССР, НИИ содерж. и методов обучения., Лаб. обучения математике; Сост Бурлев Ю.А. М., 1984. - 21 с.

131. Формирование и развитие пространственных представлений учащихся. Труды научного семинара. / Под ред. Н.Ф. Четверухина вып. 1. - М.: Просвещение, 1964.-155 с.

132. Фридман Л.М. Психолого педагогические основы обучения математике в школе: Учителю математики о пед. психологии. - М.: Просвещение, 1983. - 160 с.

133. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача: Пособие для учителей. В 2-х ч./ Под ред. Н.Я. Виленкина. М.: Просвещение. - Ч. 1., 1982. - 208 е., Ч.2., 1983.- 192 с.

134. Фуше Андре Педагогика математики / Под ред. И.К. Андронова. М.: Просвещение, 1985. - 126 с.

135. Черкасов Р.С., Отани М. Новая программа по математике в школах Японии // Математика в школе. 1991. - № 1. - С. 73 - 75.

136. Четверухин Н.Ф. Вопросы методологии и методики геометрических построений в школьном курсе геометрии // Известия АПН РСФСР. 1946. - № 6. - С. 42 - 60.

137. Четверухин Н.Ф. Методы геометрических построений. М.: Учпедгиз, 1952. -147 с.

138. Четверухин Н.Ф. О научных принципах преподавания геометрии в советской школе // Известия АПН РСФСР. вып. 31. - 1951С. 12 - 23.

139. Четверухин Н.Ф. О некоторых методических вопросах в преподавании геометрии // Математика в школе. 1955. - № 2. - С.5 - 13.

140. Шохор Троцкий С.И. Геометрия на задачах. Книга для учащихся. Курс основан на метод, упражнениях в геометр, черчении. Вып. 1-2, М.:Сытин, 1909. - Вып. I. - 342 е., Вып. II.-399 с.

141. Шохор Троцкий С.И. Геометрия на задачах. Основной курс. Кн. для учителей.-М.: Сытин, 1913.-435 с.

142. Шохор Троцкий С.И. Учебник геометрии для средних учебных заведений, с приложением дополнительных статей. - М.: Карцев, 1891. - 311 с.

143. Эрдниев Б.П. Тенденции развития математического образования (школьников) // Сов. педагогика. 1990. - № 3. С. 34 - 37.

144. Эйдельс Л.М. Элементы математики в черчении. М.: Просвещение, 1969. -120 с.

145. Якиманская И.С. Знания и мышление школьников. М.: Знание. - 1985. - 78с.

146. Якиманская И.С. Образное мышление и его место в обучении // Советская педагогика. 1968. - № 12. - С. 62 - 71.

147. Якиманская И.С. О некоторых особенностях мыслительной деятельности, проявляющихся при чтении чертежа // Доклады АПН РСФСР. 1958. - № 3. - С. 49 -54.

148. Якиманская И.С. О некоторых путях диагностики пространственного мышления школьников // Вопросы психологии. 1971.- № 3. - С. 84 - 96.

149. Якиманская И.С. Развивающее обучение. М.: Педагогика, 1979. - 144 с.

150. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. М.: Педагогика, 1980 - 241 с.

151. Breard С. Mathematiques classe de cinquieme. Paris: Editions de 1'ёсо1е, 1960. -337 p.

152. Breard C. Math6matiques classe de quatrieme. Paris: Editions de Гёсо1е, 1960. -410 p.

153. Br6ard C. Mathematiques classe de seconde. Paris: Editions de Гёсо1е, 1960. -620 p.

154. Bulletin de l'association des professeurs de math6matiques de l'enseignement public. Paris: Librairie Vuibert. -1966. - fascicule I. - 194 p.

155. Ганчев И. Аналитико синтетичният метод на мислене в училшцния курс по математика // Обучението по математика. - 1986. - № 2. - С. 19-25.

156. Петров К., Ганчев И. Сборник от задачи за построение по геометрия. София: Народна просвета, 1966. - 251 с.