Об арифметических свойствах значений аналитических функций некоторых классов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Галочкин, Александр Иванович

• Галочкин, Александр Иванович
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Галочкин, Александр Иванович

Введение

0.1 Обозначения и определения.

0.2 Предшествующие исследования.

0.3 Результаты диссертации.

0.4 Дальнейшие исследования, связанные с результатами диссертации.

1 Некоторые свойства гипергеометрических функций

1.1 Точные оценки общих знаменателей коэффициентов гипергеометрических функций

1.2 Критерий принадлежности гипергеометрических функций классу Е-функций.

1.3 Линейная независимость гипергеометрических функций.

2 Оценки снизу линейных форм

2.1 Оценки линейных форм от значений гипергеометрических функций в нескольких точках.

2.2 Совместные приближения значений гипергеометрических функций в точках числового алгебраического поля произвольной степени.

2.3 Уточнение оценок линейных форм от значений некоторых гипергеометрических функций.

3 Точные по высоте оценки линейных форм

3.1 Некоторые неравенства.

3.2 Процесс исключения

3.3 Редукция.

3.4 Система приближающих линейных форм.

3.5 Доказательство теоремы 12.

3.6 Точные оценки в совместных приближениях.

4 Некоторые приложения метода Зигеля-Шидловского (Е-функции, G-функции, гипергеометрические функции)

4.1 Оценки снизу многочленов от значений алгебраически зависимых Е-функций.

4.2 Приближения алгебраическими числами решений некоторых уравнений, содержащих Е-функции 123 4.3 Оценки снизу линейных форм от значений гипергеометрических функций с некоторыми алгебраическими параметрами.

4.4 Оценки снизу многочленов от значений

G-функций.

5 Количественные результаты в методе Малера

5.1 Доказательство теоремы 19.

5.2 Доказательство теоремы 20.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об арифметических свойствах значений аналитических функций некоторых классов»

0.1 Обозначения и определения

Пусть N, Z+, Z, Q, I и С — соответственно множество натуральных чисел, множество неотрицательных целых чисел, кольцо целых чисел и поля рациональных, действительных и комплексных чисел.

Пусть II — поле рациональных чисел или мнимое квадратичное поле, К — алгебраическое числовое поле конечной степени, Zк ~ кольцо целых чисел в поле К.

Высотой многочлена называется максимум модулей его коэффициентов, а длиной — сумма модулей его коэффициентов.

Для алгебраического числа aGK через |а| будем обозначать максимум модулей чисел, сопряженных числу а в поле К.

Высотой h(a), длиной 1(a) и степенью dega алгебраического числа а называются соответственно высота, длина и степень его канонического многочлена.

Назовем обобщенной длиной многочлена

A(xh .,xs)= ah,.,ksxki ■ •" xss € i, • • •, xs] k\ j величину

Ь(А(хъ.,х3))= Y^ Къ-aJ, а обобщенной высотой — величину

А{хъ . ,xs)| = max |afci,.,fcj .

Через ord f(z) будем обозначать порядок нуля функции f(z) при z = 0, а через deg Р — степень многочлена Р.

Записи [/«У и[/»У (U € С, У > 0) будут обозначать, что \U\ < C\V и \U\ > C2V с положительными постоянными С\ и С2, а запись U х V — одновременное выполнение этих неравенств.

0.2 Предшествующие исследования

В 1929-1934 годах сформировались основные методы теории трансцендентных чисел. В 1929 году К.Зигель [43] опубликовал аналитический метод, позволяющий устанавливать алгебраическую независимость и трансцендентность значений в алгебраических точках функций некоторого класса, названного им Е-функциями.

Определение 1. Пусть К. — алгебраическое числовое поле конечной степени. Функция zv f(z) = ^2av-7> а^еК, i/=0 называется Е-функцией, если при любом е > О выполняются следующие условия

1) KI = 0(0;

2) существует последовательность {<2Vi} натуральных чисел таких, что qnau е Zк, п = О, 1,., v = 0, п, и qn = 0(пеп).

Множество Е-функций является кольцом. Производная Е-функции — Е-функция.

В частности, К.Зигель доказал, что при некоторых естественных условиях значения в отличной от нуля алгебраической точке функции

Г —IT

М = Е,,,(Л + 1)-.-(А + ,) (2) ' AeQ, A^-l, -2. и ее производной алгебраически независимы.

Пусть совокупность Е-функций fi(z),., fs(z) составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений s у'г = Qio(z) + Qij(z)yji i = М; QiM € 1ВД. (l) з=1

Примеры Е-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям: многочлен с алгебраическими коэффициентами, sinz, cos z, функция Бесселя Jq{z).

Заметим, что можно требовать, чтобы Qij(z) G C(z), а затем уже доказывать, что Qij{z) £ K(z). Аналогично, алгебраическая независимость Е-функций над полем С (я) эквивалентна их алгебраической независимости над (см. [51] стр. 153, 154.)

В книге [44] К.Зигель в общей форме установил некоторое достаточное условие алгебраической независимости значений Е-функций в алгебраических точках. Результаты Зигеля опубликованы также в книге [13].

А.Б.Шидловский существенно усилил метод Зигеля. Он установил следующий критерий алгебраической независимости значений Е-функций.

Теорема I. ([48], [Щ, [51] стр. 153, [52J стр. 91). Пусть совокупность Е-функций

2) составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений (1), а — алгебраическое число, отличное от нуля и от полюсов всех функций Qij(z).

Тогда для алгебраической независимости значений функций

ЛИ,., ли (3) необходима и достаточна алгебраическая независимость функций

2) над полем С(;г).

Этот результат был распространен на случай алгебраически зависимых Е-функций.

Теорема II. ([50], [52] стр. ЦЗ-Ц4)- Пусть совокупность Е-функций fi{z),., fs(z) и число а удовлетворяют условиям теоремы 1. Тогда количество алгебраически независимых чисел в наборе

3) равно количеству алгебраически независимых nad€.(z) функций в наборе (2).

Бывает удобно считать систему (1) однородной — в противном случае ее можно дополнить функцией, тождественно равной 1. Поэтому можно считать, что система имеет вид s у'г = Qij^Vh i = М, Qij(z) е K(z). (4)

3=1

Метод Зигеля-Шидловского позволяет также получать количественные результаты. В статье К.Зигеля [43] получена оценка многочлена от значений функции Бесселя Jq(z) и ее производной в алгебраической точке а. ^ О

P(J0(a), J»)| > СЯ"123^2, 0 ф Р(х,у) е Z[x, у], х = dega, где d и Н — соответственно степень и высота многочлена Р, а С — С(а, d) >0.

С.Ленг получил следующий результат.

Теорема III. [22]. Пусть Е-функции fi(z),.,fs(z) алгебраически независимы над K(;z) и составляют решение системы (4); ol — алгебраическое число, отличное от нуля и от полюсов коэффициентов системы. Тогда для любого многочлена

0 ф Р(х 1, .,хв)е Щхг, .,xs] степени d и высоты Н справедлива оценка

P(/i(a),., fs(a))\> CH~bd\ С{а, d) > 0, где постоянная Ь зависит только от s и степени числа а.

Введем следующие обозначения. Для аналитических функций оо v—0 многочлена Р(хi,., xv) € К[жх,., a;v] и числа a £ К обозначим через значения многочленов, полученных заменой коэффициентов многочлена Р(х\,., xv), всех чисел а^ и числа а на соответствующие сопряженные им числа в поле К.

А.Б.Шидловский доказал следующую теорему.

Теорема IV. ([52] глава 11, §2). Пусть I — поле рациональных чисел или мнимое квадратичное поле; совокупность Е-функций fi(z)., fs(z) с коэффициентами из алгебраического числового поля Ж степени к над полем I составляет решение системы дифференциальных уравнений (4) и линейно независима над полем С(^), число а£К отлично от нуля и от полюсов всех рациональных функций Qij(z). Пусть далее

L(xi,., xs) = h\X\ Н----+ hsxs, hj € 1<к> H — max\hj\ > 0. з

Тогда при любом £ > 0 выполняется неравенство max\L^(f1(a):.Js(a))\>CH1-s~£ (5)

7=1, >С с постоянной С > 0, зависящей только от е, а и функций fl(z).Js(z).

Рассмотрим далее Е-функции, в которых на коэффициенты и на их общие знаменатели введены более сильные ограничения по сравнению с определением 1.

Определение 2. Будем говорить, что функция

00 J, Z i/=0 является Е-функцией в узком смысле, если выполняются следующие условия

1) Rf = e°M;

2) существует последовательность {qn} натуральных чисел таких, что qnav G 'Lki n = 0,l,., ^ = О, п, и дь = е°<»>.

Все известные Е-функции, составляющие решения систем линейных дифференциальных уравнений типа (1), являются Е-функциями в узком смысле. Для таких Е-функций число £ в оценке (5) можно заменить на величину порядка О ( . ) .

Vvln In Н J

Приведем один частный случай соответствующей теоремы.

Теорема V. ( [52] стр. J^ll). Пусть совокупность Е-функций в узком смысле fi(z),., fs(z) с коэффициентами из поля II составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений (4) и линейно независима над полем C(z). Число а £ I отлично от нуля и от полюсов коэффициентов системы.

Тогда для любых чисел hj £ Zj при Н > maxj \hj\ > 0. II > 3. справедливо неравенство h1f1(a) + --- + hsfs{a)\> Н1 3 г/ьья , (6) где постоянная j не зависит от Н.

С помощью принципа Дирихле легко установить, что оценка (6) 7 может быть улучшена только за счет величины =.

V In In Н

В статье [43] К.Зигель указал также, что его метод применим для исследования арифметических свойств значений некоторых функций, ряды Тейлора которых имеют конечный радиус сходимости. Эти функции К.Зигель назвал G-функциями.

Определение 3. Функция оо f(z) = ^z avzv' а» 6 к' и=0 называется G-функцией, если выполняются следующие условия

1) Ы = е°<">;

2) существует последовательность {#п} натуральных чисел таких, что qnav € Zft-, n = 0,l,.; v = 0, n , и

Чп = е°(»>.

Множество G-функций, как и множество Е-функций, образует кольцо, производная G-функции — G-функция. Примеры G-функций: ln(l + z), (1 + z)\ re Q.

В статьях М.С.Нурмагомедова [37] и [38] сделаны первые попытки применить метод К.Зигеля для исследования арифметических свойств значений G-функций в алгебраических точках. В частности, установлено, что, если fi(z),., fs(z) — совокупность G-функций, алгебраически независимых над полем C(z) и удовлетворяющих системе линейных дифференциальных уравнений (1), а ф 0 — алгебраическое число, q, N, Н натуральные числа, q>q0{HtN,aJ1{z)i.Ja(z))i (7)

Oi а число — отлично от полюсов всех функций Qij(z), то числа Q. не связаны никаким нетривиальным алгебраическим уравнением степени, не превосходящей N, с целыми коэффициентами, по модулю, не превосходящими Н.

Поскольку число до зависит от Н, то из теоремы М.С.Нурмагоме-дова не следует иррациональность значений G-функций.

В методе доказательства "малость" линейных форм может быть достигнута, по-видимому, только за счет "малости" значений аргумента. Поэтому приходится предполагать, что число — достаточно Q мало.

Рассмотрим общую гипергеометрическую функцию

Е'ГЛ^'Г'^М^- '="-«>0. (8) [bi + 1, v] ■ ■ ■ [bv + 1, v\ где [Л + 1, и] = (Л + 1) ■ • • (Л + г/), [Л + 1, 0] = 1, а все числа bj ф -1, —2,---

К.Зигель [44] доказал, что, если все параметры а{, bj — рациональные числа, то функция (8) является Е-функцией и удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению с коэффициентами — рациональными функциями. Доказательство этого утверждения можно найти также в книгах [51] на стр. 192-196 или [52] на стр. 184-188. К.Зигель ([44] стр. 58) предположил что любая Е-функция, удовлетворяющая линейному дифференциальному уравнению с коэффициентами из C(z), может быть представлена в виде многочлена с алгебраическими коэффициентами от функций вида (8) с возможными заменами z на XjZ с алгебраическими значениями Aj и рациональными параметрами bj . К настоящему времени эта гипотеза не доказана и не опровергнута.

Был неясен даже вопрос, является ли Е-функцией функция (8) с алгебраическими параметрами. В.Г.Спринджук [45] доказал, что, если Л — квадратитичная иррациональность, то функция не является Е-функцией. Затем он распространил этот результат на случай, когда Л — такое алгебраическое иррациональное число, что Q(A) — поле Галуа и доказал следующее утверждение.

Теорема VI. ([46]). Пусть А — алгебраическое число иЖ = Q(A) — нормальное расширение поля Q, х = [Ж : Q] > 1. Тогда наименьшее натуральное число Qn , для которого

Til

Qn м , -,4-тт—;—r^Z*-, А 7^-1, -2,.,

А + 1) • • • (А + п) возрастает не медленнее, чем (п!) .

Заметим, что функция п(,\ ^Mai +1» И •' • К +1, И ^ h -А 1 о + + ' (10) при рациональных параметрах щ, bj является G-функцией.

В методе Зигеля-Шидловского применяются некоторые построения, использующие принцип Дирихле. Однако со времени классических работ Ш. Эрмита и Ф. Линдемана применялись и явные конструкции, не использующие принцип Дирихле. Если удавалось провести такие построения, то обычно получались более сильные результаты.

В 1932 году К.Малер [26] доказал, что, для любого ненулевого многочлена Рт(х) с целыми коэффициентами по модулю не превосходящими Н выполняется неравенство

7 то2 ln(m+l)

Pm(e)| > Н-т~ in in н , т = deg Р, Н > Я0(га), где 7 — абсолютная постоянная. Доказательство основывается на явном построении многочлена

О фР{х, y)eZ[x, у], deg х Р < n, degy Р ^ т) такого, что функция P(z, ez) имеет максимально возможный порядок нуля в точке z = О (так называемая задача аппроксимации типа Паде).

Основные идеи этого метода использовались многими авторами, в частности, Н.И.Фельдманом [11] для значений функции (9) <p\(z).

Рассмотрим функцию оо

-1 1 + г" ( Ц д(х) ) , д{х) = дтхт + gm-lXm~x + - • • + д0.

П) l/=l VE=1

Функция ijj(z) является решением дифференциального уравнения d д(5)у = zy + д(0), 5 = zz

12)

Заметим, что функция ф(гт) с дт = 1 — частный случай функции (8). Если все корни многочлена д(х) — рациональные числа, то она является Е-функцией.

Ч. Осгуд [39] доказал следующую теорему о значениях функции (11).

Теорема VII. Пусть д(х) Е 1[ж], #(0) = 0, дт — 1, ri,.,rt — различные и отличные от нуля рациональные числа, mt > 1. Тогда для любого е > 0 и любых чисел hij Е Z/ при

Н — max \hjS\ > 0 jf=l,£; s=0, т—1 выполняется неравенство t т—1 j=1 s=0 CiH

1—mt—E

13) и для любого набора q, PjS целых чисел из поля I при любой паре индексов (и, v), 1 < и < t] 0 < v < т — 1 с (s, j) ф (и, v) и при |д| > 0 выполняется неравенство max j=l,t; s=0, т—1; {s,j)^(u,v) s4rj) Pj* q C2\q\ 1 mt~l

14) где C\ и C2 — положительные постоянные, зависящие от е, но не зависящие от Н.

В той же статье [39] Ч. Осгуд получил оценку и неоднородной линейной формы в предположении, что все корни многочлена д(х) — рациональные числа. Однако эта оценка слабее оценки, получающейся из теоремы Шидловского V.

В статье [40] Ч. Осгуд доказал теорему о характере совместных приближений значений целых функций, удовлетворяющих линейному однородному дифференциальному уравнению, и оценил снизу размерность линейного пространства над числовым алгебраическим полем, натянутого на значения этих функций и их производных.

Результаты Ч. Осуда неоднократно улучшались.

В 1981 году А.Н. Коробов в некотором более частном случае получил оценку снизу линейной формы, которая отличалась от соответствующей оценки сверху лишь на постоянный множитель.

Теорема VIII. ([18]). Пусть s, а, а + Ъ — натуральные числа с € Zj, с т^О и

00 zn+su n+sv

Тогда для любых чисел ho , hi ., hs из кольца Zj при Н = max(|/io|, • • -, \hs\) > 3 справедливо неравенство hsip, s+1 rr-s /In In Д"\ 2 lH J "

Положительная постоянная 7 не зависит от Н, причем покаs + 1 ^ затель- не мооюет быть уменьшен. 2

В 1929 - 1930 годах К. Малер [23, 24, 25] опубликовал метод, позволяющий устанавливать трансцендентность и алгебраическую независимость значений функций, удовлетворяющих некоторым функциональным уравнениям.

Рассмотрим функцию оо aveK. (15)

Пусть ряд сходится в круге \z\ < R и функция f(z) удовлетворяет уравнению

PGN,P>2. (16)

Обозначим через A(z) результант многочленов A\{z, у) и A2(z, у).

Теорема IX. ([23], [36] стр. 5 - 8). Пусть f(z) — трансцендентная функция, удовлетворяющая функциональному уравнению (16), и degyAj(z, у) < р, j — 1) 2; а — алгебраическое число, такое, что О < И < min(l, R) и Д(с/)^0 при к = 0, 1,. . Тогда число f(a) трансцендентно.

К.Малер доказал также несколько теорем об алгебраической независимости значений таких функций и распространил свой метод на функции от нескольких переменных.

Приведем примеры функций, удовлетворяющих уравнению Малера (16), для которых справедливо утверждение теоремы IX.

Пример 1.

00 = $>'", f(zp) = f(z)-z. (17) i/=0

Пример 2.

ОО ОО J. f \ f(z) = П (! - Л = Е V» • Л*2) = . (18) и=О м-0 где числа а^ равны 1 или —1, причем а^ = 1 тогда и только тогда, когда в двоичное разложение числа р входит четное число единиц.

Пример 3. f(z) = f[(l-z?y\ = geN. (19) и=0 ^ '

В приведенных примерах при алгебраическом а (0 < |о;| < 1) (в последнем примере при q < р) по теореме IX числа f(a) трансцен-дентны.

0.3 Результаты диссертации

Пусть К — алгебраическое числовое поле степени х. Следующее определение обобщает определение Е-функции.

Определение 4. Будем говорить, что функция

ОО и аиеК, (20) принадлежит классу ЕТ: г > 0, если для любого положительного числа е

1) И = 0(0; (21)

2) существует последовательность отличных от нуля чисел Qn € Zк, такая, что qnau G Ztf, п = О, 1,.; и = 0, п , (22) и нормы этих чисел

NK(qn) = О . (23)

Определение 5. Функция (20) в точности принадлежит классу ЕТ, если она принадлежит классу ЕТ и не принадлежит никакому классу ЕТг при 0 < т\ < т. В этом случае число т назовем индексом класса функции f(z).

Непосредственно из определения вытекают следующие свойства.

1) Класс Е() совпадает с классом Е-функций.

2) Если функция принадлежит классу Ет, то она принадлежит любому КЛаССу ЕТ2 при 72 > т.

3) Индекс класса функции f(z) определен однозначно и не зависит от выбора поля К, содержащего все коэффициенты av функции f(z).

Рассмотрим функцию

СХЭ z \ mv = g [А1 + 1,„]•.[*» + !, "] U ' ^

А + 1, z/] = (А + 1) • • • (А + г/), [Л +1,0] = 1. (25)

Эта функция является решением дифференциального уравнения

5 + mAi) ■■•(5 + т\т)у = zmy + тт Ai • • • Am , 6 = z4~ . az

Теорема 1. [55]. Пусть Х\,., Am — алгебраические числа, отличные от — 1, —2,. , степеней соответственно .,хт. Тогда функция (24) <p{z) в точности принадлежит классу ЕТ при m 1 т = 1-У-. (26) z—' тх,j=i J

Следствие 1. Если не все числа Ai,., Am являются рациональными, то функция <p(z) не является Е-функцией.

Исследуется также, к какому классу в точности принадлежит функция Куммера при условии, что К = Q(ai, аг) - квадратичное поле.

Пусть и> - квадратичная иррациональность, К = Q(w), degK = 2, а\ = Щ + ViШ, 0,2 = U2 + Щ, U2, Vi, V2 € Q. (28)

При г>1 = г*2 = 0 функция (27) является Е-функцией, поэтому будем считать, что |i>i| + |г>2| > 0. За счет выбора числа ш можно обеспечить, чтобы vi, г>2 € Z, (г»1, v2) = 1, Щ = —, и2 = — \ h, b2, с е Z, с> 0. (29)

С с

Теорема 2. [72]. Функция Куммера (27) в точности принадлежит классу Eif2 в следующих случаях:

1) при vi > г>2 (v\ > 0);

2) при ЩУ2 — ЩУ1 £ Z;

3) при г>1 = V2 > 0 и щ — U2 £

4) при viv2 < 0, |t)i| + \v2\ > 0.

При г>2 > v\ > О, U\V2 — ЩУ1 £ Z функция f(z) в точности принадлежит классу ЕТ при

При v\ = г>2 > О, и\ — U2 £ а также при v\ = vi = О функция f(z) является Е-функцией.

Общий случай при degQ(ai, a2) = 2 сводится за счет выбора со к какому-либо из описанных случаев.

Следующая теорема устанавливает необходимое и достаточное условие того, чтобы общая гипергеометрическая функция (8) являлась Е-фуикцией.

Введем следующее

Определение 6. Будем говорить, что две системы чисел («1,., аи) и (bi,., bv) удовлетворяют условию Е, если либо все числа dj, bk рациональные, либо существует такое разбиение всех тех из этих чисел, которые не являются рациональными} на пары что все разности ajs — s = 1, г, — неотрицательные целые рациональные числа.

Теорема 3. [60]. Для того, чтобы функция (8) с комплексными параметрами ai,. ,аи; Ь\,. ,bv, отличными от —1, —2,., и такими, что была Е-функцией, необходимо и достаточно, чтобы все числа a,j, bk были алгебраическими и чтобы системы чисел (ai,. ,аи) и (&i,., bv) удовлетворяли условию Е.

Эта теорема фактически показывает, что во всех "нетривиальных" случаях функция (8) не является Е-функцией.

Аналогичное утвержение справедливо для G-функций.

Теорема 4. [60]. Пусть ai,.,av\ bi,. ,bv, — комплексные числа, отличные от — 1, — 2,., и такие, что ф bk, j = 1, Щ k = l,v dj^bk, j,k = l,v.

Тогда для того, чтобы функция (10) была G-функцией необходимо и достаточно, чтобы все числа aj, bk были алгебраическими и чтобы системы чисел (ai,., av) и (&i,., bv) удовлетворяли условию Е.

Для установления линейной независимости значений функций обычно приходится доказывать линейную независимость самих функций над полем рациональных функций. В следующих двух теоремах устанавливается линейная независимость общих гипергеометрических функций, которые удобно записать в виде

ОО V , \ j = irt> (30) х=1 ^ > где cij{x), bj(x) — многочлены с комплексными коэффициентами, rrij = degbj(x) > dega,j(x), rrij > 1, bj(x) ф 0 при x = 1, 2,

Функция i[)j (z) является решением линейного дифференциального уравнения

Uj: Ьз{8)Уз=аз(8)*Уз + Ъ,{ 0), (31)

Теорема 5. [65]. Пусть выполняются следующие условия.

A) Для каждого индекса j, 1 < j < t, и любого с G Z два многочлена dj(x) и bj(x + с) взаимно просты.

B) Для любых двух многочленов ak(x)bi(x) = с(х + \i) ■ ■ ■ (х + \N), щ(х)Ьк(х), 1 < k < I < t, при любом наборе целых рациональных чисел С\,., сдг с(х + Ai + ci) • • • (х + Ajv + cN) ф ai{x)bk{x). (32)

Далее, пусть yj(z) — произвольное решение уравнения Uj из (31), не принадлеэюащее кольцу C[z, z-1].

Тогда совокупность функций

1, yf (*), 3 = М; 8 = о, rrij - 1, (33) линейно независима над полем С(z).

Теорема 6. Пусть в равенстве (30) rrij = deg6j(ar) > dega^a;). (34)

Тогда для того, чтобы функции

1, <ф{°\г), j = l~t] s — 0, rrij - 1, (35) были линейно независимы над полем С(^) необходимо и достаточно, чтобы l)rrij>l: a,j(x)bj(x) ф 0 при х — 1,2,.] j = 1, t\

2) выполнялось условие (В) теоремы 5;

3) выполнялось следующее условие:

С) для каждого индекса j, 1 < j < t, и любого с Е Ъ+ два многочлена a,j(x) и bj(x + с) взаимно просты.

Заметим, что в теореме 5 условие (А) нельзя заменить на более слабое условие (С).

Пример 4. Уравнению d

6(6 + \)у=(6 + \- 1 )zy, 6 = z-~ , Л £ Z, a z удовлетворяет функция z~x C(z), однако она линейно зависима со своей производной над C(z).

Далее, как будет видно из доказательства, три условия теоремы 6 являются достаточными для линейной независимости функций (35) и в случае, когда при некоторых индексах j deg bj(x) = deg aj(x). Рассмотрим функции более частного вида, чем (30), оо / v \ -1

Фз(г) = 1 + ^V ( ) , gj(x) Е С[ж], rrij = deg^(a;) > 1. и=1 \з;=1 /

36)

Для этих функций сформулируем два следствия из теоремы 6.

Следствие 2. Пусть ipi(z),. ,ipt(z) — функции (36). Тогда функции (35) линейно независимы над полем C(z) тогда и только тогда, когда выполняется условие (В).

Следствие 3. Пусть ф(г) — функция вида (11) с gm — 1 ; cji, . ,ujt — различные и отличные от нуля комплексные числа. Тогда функции

1, ipis){ivjZ), j = М; s — О, т- 1, линейно независимы над полем C(z).

Действительно, в условиях следствия 2 выполняется условие (С), а в условиях следствия 3 — и условие (В).

Пусть I — поле рациональных чисел или мнимое квадратичное поле. В следующих двух теоремах устанавливаются оценки линейных форм от значений функции (11) и ее производных в нескольких точках поля I, а также изучается характер их совместных приближений числами из I.

Теорема 7. [57]. Пусть . ,Хт — рациональные числа, отличные от —1, —2,.; . ,u>t — попарно различные и отличные от нуля числа из поля I. Пусть ф{г) — функция (11) с д(х) = (х + Ai) • • • (х + Хт).

Тогда для любого ненулевого набора ho, hjs, j = 1, t\ s = 0, m - 1, целых чисел из поля I, по модулю не превосходящих Н, при Н > 3 выполняется неравенство t т—1 j=1 s=0

37) и для любого набора q, pjS целых чисел из поля Е при \q\ > 3 выполняется неравенств max

7=1, t; s=0,m—l ч.

1 *У2

38) где 7i w 72 — эффективно вычисляемые положительные постоянные, зависящие только от чисел Ai,., Хт; cui,.,оjf

Теорема 8. [57]. Пусть д(х) = хт + gm-ix771'1 Н-----\-gix 6 причем д{х) ф 0 при х = 1, 2,.; ooi,. ,cvt — попарно различные и отличные от нуля числа из поля I. Тогда для любого ненулевого набора hjs, j = 1, t] s = 0, m — 1, целых чисел из поля I, по модулю не превосходящих Н, при Н > 3 выполняется неравенство t т—1

Х^М^Ы >Я1"т*~ьЙя, (39)

3=1 в=о и для любого набора q, PjS целых чисел из поля I при любой паре индексов (и, v), 1 < и < t\ 0 < v < т — 1 с (s, j) Ф (и, v) и при \q\ > 3 и mt > 1 выполняется неравенств max

Pjs

1 *Y2 i ( f/i( f i > Igf^^T^lnlnM j (40) s=0,m-l; и) ' где 7i и 72 — эффективно вычисляемые полоо/сительные постоянные, зависящие только от чисел д\,.,gm~i\ ,. ,ajf

Указанные оценки получены за счет эффективного построения аппроксимаций типа Паде к соответствующим функциям. Эти оценки могут быть улучшены только за счет присутствующих в показателях величин порядков О ( -—:—— 1 и О ( -—-—7—Г ) .

1п1пЯу \1п1п|<?|/

Оценка линейной формы (37) может быть выведена из теоремы

Шидловского V, но с остаточным членом порядка О ( , ^ = ) .

Win In Н J

Однако теорема V не применима к оценке однородной линейной формы (39), так как по следствию 1 функция ф(гт) не является Е-функцией, если только не все корни многочлена д(х) рациональны.

Линейные формы (39) можно оценить по теореме Осгуда VII, но тогда, вместо величины -—т-Цг=, будет присутствовать произвольное

In in л е > 0 и все ujj <Е Q.

Пусть Ai,.,Am — алгебраические числа, отличные от — 1, —2,., степеней соответственно ., число г определено посредством равенства (26). Справедлива следующая

Теорема 9. [58]. Пусть К — алгебраическое числовое поле степени к над полем I ив равенстве (11) g(x) = (х + Ai) • ■ ■ (х + Ага) - хт + gm-ix"1'1 + ---+gix + g0e ВД; u>i,. ,oot — попарно различные и оличные от нуля числа из поля К, причем mt>x+xr— 1. (41)

Тогда выполняются следующие утверждения. 1) Для произвольного s > 0 и любого набора

Рз,

S 3

1, t; s = О, т — 1, целых чисел из поля К при q ^ О и Р = maxjiS(|g|, |pj,s|) справедливо неравенство max j=l,i, s=0,m—1

•Ф{8Хч)

Рз,' mt+1+e С (klP*-1) 5 (42) где С = С(е, Ai,., \m,uJi,. ,wt) > О. 2) Среди чисел

Ф{8)(щ), 3 = М; « = О, m - 1, существует не менее {mt+l)>c~l— т—1 чисел, линейно независимых вместе с числом 1 над полем К.

В некоторых случаях удается получить оценки с лучшими остаточными членами по сравнению с теоремами 7 и 8.

Теорема 10. [56]. При любых целых числах Ь, р, q из поля I при bq ф 0 выполняется неравенство i р еь-9

0,001 lnln(|g| + 2) |V|ln(|g|+2)

При I = Q подобная оценка следует из характера разложения числа 1 еЬ в цепную дробь и результатов статьи [1] (лемма 11 и следствие 10). Теорема 11. [56]. Пусть в равенстве (11) многочлен g(x) =хт + дт-\xm~l + ---+gix€ Zj[x], д = max(|pi|,., т> 2, д{х) ф 0 при х = 1, 2,---

Тогда для любого набора b, h\,., hm целых чисел из поля Е при b ф О, 0 < ma\ hj\ < Я и Я > 3 справедлива оценка

Н0ф Q) + М>' (j) + • ■ ■ + hm.гф^ (|Ь|Я)1-т(1пЯ)-71, (44) и для любых целых чисел q, pi,. ,рт; > 3, из поля Е при каждом индексе и, О < и < т — 1, выполняется неравенство max > (|%|)-1~^(1п#)-'» (45) фМ(1/Ь) q s=l,m—l,s^u где постоянная 71 не зависит от b и Я, а постоянная 72 — от b и q.

Остаточный член в показателях в теоремах 7 и 8 порядка О ((In In Я)-1) в теореме 11 фактически заменен на величину порядка О ((In In Я) (In Я)"1) .

При некоторых дополнительных условиях удается получить оценки снизу линейных форм от значений гипергеометрических функций, которые лишь на постоянный множитель отличаются от соответствующих оценок сверху. В теореме 11 мы требовали, чтобы g(x) Е Z/[x]. В следующей теореме будем предполагать, что все корни д{х) лежат в поле Е.

Пусть Xj = aj + i(3j (j = 1, s; aj, (3j € К) — числа из поля E, отличные от —1, —2,.; а € Z/, й / 0, — такое число, что aXj G Z/, j = 1, s. Обозначим:

Л + 1, is] = (А + 1) • • • (Л + и), [А + 1, 0] = 1, (46)

00 zv Y-, ,чг.--—=-77--—г, m = s + l, (47) o^HIAi + I, !/]••• [А,+ 1, is] [ J {аЛ> N — аз + 3 = (48) где {ск} — дробная доля числа а. Пусть числа Ai,., As перенумерованы так, что

1 > <71 > 02 > • • • > <Тв > 0, а0 = а3 + 1. (49)

Обозначим: 1 О" 1 I

A i = + и j - —————, А = min Д7-, Л = max А,. (50)

S S 1 <j<s J 1 <j<s J 4 '

Пусть K(/j,j) — кратность корня fij многочлена д(х) = (х-Их)-•• (х-Ра), ri - maxK(fij), г = min 77, (51)

Tj=at J Дг=Д где максимум берется только по тем индексам j, 1 < j < s, для которых иj = at, а минимум — по тем I, для которых А/ = А. Аналогично вводятся величины р = max п, До = min (А,- — А), <50 = min (сг7--1 — сг7), (52) ai=a Д^А Д.,=ДЧ 7 JJ V '

77 = min ^sA0 , ^ , rj > 0. (53)

Последнее неравенство следует из того, что при Aj = А в силу (50) и (52)

1 1

- 0-J = Aj-i - Aj + - > - > 0. (54) s s

Определение 7. Линейную форму R = /io£o + • • • + hs£s, hk E Zj, будем называть примитивной, если при любом с Е I, 0 < |с| < 1, не все числа hkC, к = 0, s, будут целыми в поле L

Функция удовлетворяют дифференциальному уравнению am6(5 + \1)---(5 + \s)y = zy, S = (55)

56)

Теорема 12. [61], [62]. Пусть Ь Е Z/, 6^0, Д = У\ h^(k) (ТУ> max |ЛЛ| = Я > 3;

1' V 6 / 0</;<s

Ф(ж) = ж-5(1пл;)-а(1-д)(1п1пж)з(г-А), (57) fii(x) = Ж-5(1пж)-5(1-а)(1П1ПЖ)^-д), 02(Ж) = x-^lnx)^1-^.

58)

Тогда существуют эффективно вычисляемые положительные постоянные

Cj = Cj{a, b, Ai,., As), 7 = 7(0-1,., as, fa,., p8) такие, что справедливы следующие утверждения:

2) Существует бесконечное количество форм (56), для которых

3) Если R — примитивная линейная форма вида (56) и

Доказательство теоремы 11 было опубликовано раньше, а теоремы 12 — позднее опубликования доказательства теоремы А.Н.Коробова VIII. Теореме Коробова в теореме 12 соответствует случай равномерного распределения чисел Aj :

Метод доказательства теоремы 12 существенно отличается от методов доказательств предыдущих теорем. При доказательстве строится "достаточно плотная "последовательность линейных форм с верхними и нижними оценками, отличающимися лишь на постоянный множитель. Затем доказывается, что произвольная "достаточно ма-лая"линейная форма пропорциональна одной из форм последовательности. После чего ее оценки следуют из оценок построеннх форм.

Приведем пример на применение теоремы 12

Пример 5. Пусть

R\ < С2Ф(Н).

Д| > СзВДЯ), то

Д| > С4П2(Я)(In In Н)~7 .

7 - 1 ь

A j = Ai - --, j = 1, s ; Ai - - G Q.

В этом примере

Поэтому в теореме 12

Ф(ж) =2Ts(lnx)-s(lnlnx)s2.

В следующей теореме устанавливаются столь же точные оценки для совместных приближений.

Теорема 13. [63]. Пусть числа (48) /ii,.,/л8 попарно различны; \ -1-- /ЫпаЛ s+A tu(x) = х s —--А = max До.

V In я; J i=M

59)

Тогда существуют эффективно вычисляемые положительные постоянные С\ и С2, зависящие только от чисел a, b, Ai,., As, такие, что для каждого индекса к, 0 < к < s, справедливы следующие утверждения.

1) Для любых целых чисел р, ро,. ,ps из поля I при \р\ > 3 выполняется неравенство е(к, р) = max

С1Ш{\р\). (60)

2) Существует бесконечно много наборов чисел р, ро,., ps из Z/, для которых s(k, р) < С2ы(|р|). (61)

Следующая теорема распространяет теорему С.Ленга III на случай алгебраически зависимых Е-функций и усиливает некоторые результаты А.Б. Шидловского.

Теорема 14. [68], [70]. Пусть fi(z),., fs(z) — совокупность Е-функций с коэффициентами из алгебраического числового поля К, составляются решение системы линейных дифференциальных уравнений (1), а — алгебраическое число, отличное от нуля и от полюсов всех коэффициентов Qij(z) системы (1), я = рК(а) : I] > 2.

Тогда для любого многочлена Р[хi,., xs) £ Zjc[xi, ., или.

P(fi(a),.,fs(a)) = 0, или выполняется неравенство

Р(Ма),.,Ш)\>СН~^1+ч\ (62) где d и Н — соответственно степень и обобщенная высота многочлена Р, I — количество алгебраически независимых над полем С(г) функций в наборе fi{z),.,fs(z) (1 < I < s), С и 7 — положительные постоянные, причем С зависит только от d,, а, функций fi(z),.,fs(z), а 7 — только от функций fi(z),., fs(z) (точнее: от характера алгебраических связей меоюду этими функциями).

Оценка (62) была доказана в §6 главы 12 книги [52], однако при более сильном предположении о том, что отличны от нуля все величины р^ЛН,.,/^)), о- = ТГ£, см. обозначения перед формулировкой теоремы IV). В теореме 9 из той же главы оценка (62) установлена в предположении, что степень трансцендентности функций fi(z),.,fs(z) над полем С{z) такая же, как над полем С .

Способ доказательства этой теоремы отличен от ранее известных методов получения количественных результатов.

Для алгебраического числа 0 обозначим через degf? и h(6) соответственно его степень и высоту.

Теорема 15. [67], [69]. Пусть совокупность Е-функций fi(z),., fs(z) составляет решение системы дифференциальных уравнений (1), a Q — комплексное число, удовлетворяющее уравнению

P(z, ш, .,/,(*)) = о, (63) где Р{хо, xi,. ,xs) — многочлен с алгебраическими коэффициентами, такой, что

Р(*,Л(;гО,.,/.(*))# 0. (64)

Тогда для любых положительных чисел х иг система неравенств

С-0| <ехр(-(/г(0))е), deg0<x (65) имеет конечное число решений в алгебраических числах в.

Теорема применима, в частности, к алгебраическим точкам Е-функций.

Если Е-функции fi(z),., fs(z) алгебраически независимы, то при некоторых естественных условиях из теоремы Шидловского I следует, что число С трансцендентно. Однако никаких количественных результатов известно не было.

Приведем два следствия из теоремы 15

Следствие 4. Пусть Е-функции fi(z),., fi(z) алгебраически независимы над полем C(z) и вместе с Е-функциями fi+i(z),., fs(z) составляют решение системы (1), £ € С, и при некоторых положительных величинах £ и х система неравенств (65) имеет бесконечное число решений в алгебраических числах в.

Тогда числа С, fi(()>■■■ > /КО алгебраически независимы.

Заметим, что при I = 1 условие алгебраической независимости Е-функций эквивалентно тому, что Е-функция fi(z) не является многочленом.

Следствие 5. [69]. Пусть Е-функции fi{z),.,fs(z) удовлетворяют условиям теоремы; С, — такое комплексное число, что при некоторых положительных величинах £ и к система неравенств (65) имеет бесконечное число решений в алгебраических числах 9. Пусть далее A(z, fi{z),., fs{z)) и B(z, fi(z),., fs(z)) ф 0 — многочлены с алгебраическими коэффициентами от величин z, fi(z),., fs(z), причем функция

1[Z) B(z,A(Z),.J8(Z))?4z)

Тогда числа С и F(С) алгебраически независимы.

Пусть функция ip(z) задана посредством равенства (11). Если не все корни многочлена д(х) — рациональные числа, то по следствию 1 функция i/j(zm) не является Е-функцией и к ней не применима теорема Шидловского V. Тем не менее при определенных условиях удается использовать некоторые идеи метода Зигеля-Шидловского и получить оценки линейных форм от значений таких функций.

Теорема 16. [64]- Пусть в равенствах (36) gj{x) = pj(x)p{x) е I[x], gj(x) ^ 0 при х - 1, 2,., (66) degpi(rc) = • • • = degpt(x) = и, degр(х) = v, т — и + v > 1,

67) причем все корни многочленов Pj(x), j = 1, t, — рациональные числа и выполняется условие (В) теоремы 5. Далее, пусть ho, hj8, j = 1, t] s = 0, m - 1, произвольный набор чисел из Zj с

Н = max(|/i0, |/ijS|) > 3.

3,s

Тогда справедливы следующие утверждения. 1) Для любого положительного числа £ при

Н > Н0(е, gi(x),., gt(x)) выполняется неравенство t та—1 ло + EEwW j=1 s=0 mt+т+е

Н~ 1-т

68) где v 1

------, (69) т тщ ткг, а я\,., Ху — степени алгебраических чисел, являющимися корнями многочлена р(х).

2) Если р(0) = 0, и mt > 2, то t т— 1

EEmw(I)

3=1 s=0

70) где постоянная 7 не зависит от Н.

Заметим, что число 1 в теореме можно заменить на любое число w 6 1, из ф 0. Для этого достаточно многочлен р{х) заменить на из~1р{х).

Следствие 6. Пусть Ai,., Am — алгебраические числа, отличные от —1,-2,., степеней соответственно xi,.,xm; и>\,., uJt ~ попарно различные и отличные от нуля числа из поля Е, g(x) = (х + Ai) • • • (х + Am) е Е[я].

Пусть il>(z) — функция (11), а г — число, определенное посредством равенства (26).

Тогда для любого ненулевого набора ho, hjSi j = 1, t] s = 0, m—1 целых чисел из поля Е, по модулю не превосходящих Н, при Н > HQ(e, AI, ., Am, wi,. ,ujt) выполняется неравенство t m—1

Ло + ЕЕМ^О

3=1 s=0 mt+T-\-E H~ 1-T

71)

Для доказательства следствия достаточно в теореме 16 положить Pj(x) — — . Условие (В), очевидно, выполняется. шз

Утверждение следствия 6 было доказано в статье [58] тем же методом, который применялся в [57] для доказательства теоремы 7, то есть без применения принципа Дирихле.

Приведем два примера применения следствия 6.

Пример 6. Пусть (p\(z) — функция (9);

А, ш G I; А ф —1, —2,.; ш ф 0.

Тогда для любого £ > 0 и любых чисел р, q Е Zj при Ы > Qo(£i А, си) выполняется неравенство М

-4-е

Пример 7. Рассмотрим функцию м = Е

AG

А^-12, —22,. .

Пусть со ф 0 — рациональное число, ho, hi, h2 Е Z, Н = max(|/io|, М, N) > Н0(е, А, оо). Тогда выполняется неравенство hQ + h1f(aj) + h2f'(uJ)\>H-5-£.

Ранее не была доказана даже иррациональность чисел f(oo) и М

В следующих двух теоремах при некоторых дополнительных условиях устанавливаются оценки многочленов от значений G-функций в достаточно малых точках. В этих оценках величина (7) до не зависит от Н, поэтому устанавливается, в частности, иррациональность значений соответствующих G-функций в точке z = — иррациональность в точке —, очевидно, получается заменой z в соответствующих функциях на az).

Нам понадобится уточнить определение 3 G-функций.

Определение 8. Будем говорить, что совокупность функций

00

Mz) = ^2aivzv) i = l7s, (72) i/=0 принадлежит классу К, С ,Q), где С > 1, Q > 1, если все коэффициенты a,iu принадлежат алгебраическому полю К. конечной степени и для любых чисел С\> С и Q\ > Q существуют постоянные 7i и 72 > зависящие только от fi(z),., fs(z) и соответственно от С\ и Q1, такие, что

1) Ы < ъС? , г = 1, a; v = О, 1,.; (73)

2) существуют натуральные числа qn, п = О, 1,., такие, что все числа и qnaiv е Ък , г — 1, s; v = 0, п, (74) п<72<5Г, П = 0,1,. (75)

Пусть совокупность G-функций fi(z),., /5(2;) удовлетворяет системе линейных дифференциальных уравнений (1). Тогда S

У? = СЫ*) + XI ; (*) е ВД; (76)

3=1 г = 1, s; k = 1, 2,. .

Определение 9. Будем говорить, что совокупность G-функций fi(z),.,fs(z) из класса G( 1С, С, Q), составляющих решение системы линейных дифференциальных уравнений (1), принадлежит подклассу G( К, С , Q , Л), где Л > 1, если существует ненулевой многочлен T(z) £ Zk[z] и натуральные числа ап, п = 1,2,. , такие, что все функции y{T{z))kQkij{z) Е ЭД , k = 1, п, (77) и для любого К\ > Л существует постоянная 73 , зависящая только от функций /1(2),., fs(z) и числа А\, такая, что ап< 7зЛ?, п= 1,2,. (78)

Условие, заданное соотношениями (77) и (78), будем называть также условием сокращения факториалов.

Пример 8. Поскольку обш^е наименьшее кратное чисел 1, 2,., п растет как , то функция ln(l4-z) принадлежит подклассу G(Q, 1, е, е).

Обозначим: h=\T(z)|, р = max^(deg T{z)) — 1, deg . (79)

Теорема 17. [54]- Пусть N — натуральное число, К. — алгебраическое числовое поле степени х над полем I, функции fi(z)i ■ ■ • > fs{z) принадлежат подклассу G(K,C ,Q , Л) и не связаны никаким нетривиальным алгебраическим уравнением степени, не превосходящей N, с коэффициентами из поля C(z), CQ > 1. Пусть Р(х 1,., х3) ф 0 — многочлен с коэффициентами из Ък степени, не превосходяш,ей d и \Р\ < Н. Далее, пусть т= (N + l)---(N + s) ^ — (N — d + 1) ■■■ (N — d + s) s! s! w = m — v, u = m — xw, = l + - + - + w > 0. Далее, пусть q — натуральное число, T 0, пусть 5

О < 5 < 1) — произвольное число, такое, что 5{рн+2)<и\ (81) w (т-5)2

Аг = 2W (1, ShA9N) (CQ9N) 5 ; (82)

2 (w + р S) In q + In Ai = * v (u{pH + 2)5) ln q - ln(2m~1-5 C—<5 Af) + ^ " - (83)

Тогда cyw^cmeyem постоянная такая, что при qu-(PK+2)5 > 2m-l-6 Ст-& Ак g > 4С (84) выполняется неравенство q-^H-»1. (85)

Следствие 7. Пусть G-функции fi(z),., fs(z) алгебраически независимы над полем С(z), удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений (1) и для них выполняется условие сокращения факториалов, а — не равное нулю алгебраическое число.

Тогда существует число qo(d, а, fi(z),., fs(z)), такое, что при любом натуральном числе q > qo числа не связаны никаким алгебраическим уравнением с рациональными коэффициентами степени, не превосходящей d.

При К = I формулировке теоремы 17 можно придать более простой вид

Теорема 18. [54]- Пусть совокупность функций fi{z),., fs(z) принадлежит подклассу G( I, С, Q , Л) и не связана никаким нетривиальным алгебраическим уравнением степени, не превосходящей d с коэффициентами из поля С(^), CQ > 1, q — нату1 ральное число, S — произвольное число, такое, что 0 < S < ——-;

P(xi,., xs) ф О — многочлен с коэффициентами из Z/ степени, не превосходящей d, и высоты, не превосходящей Н, Далее, пусть d+l)-{d + s) .1. (86)

87) m ■

5!

1 1 2т~1 {l,8hA9)d{CQ°) то-1) (то-Д)2 -т— 1 + р 6) In g + In А2

1 - (р + 2)5) In g - 1п(2т1г С7"-5 А2) ' Тогда существует постоянная

Л2 = A2(d, ш, Л(г),., fs(z)), такая, что при ql—(p+2)5 1—<5 (jm—5 выполняется неравенство

88)

89)

Пример 9. Теоремы 17 и 18 применимы к значениям G-функций ln(l + aiz), г = 1, s. В частности, с их помощью в статье [71J устанавлено, что при любом натуральном q > е131 число in i1 - Din +Э (эо) иррационально и линейно независимо над полем Q с числами 1, In (1-1/9) , In (I + I/9).

Также можно получить оценки многочленов от значений функций

1 + aiz)r\ г - 1, s; при алгебраических щ и рациональных значениях Г{ с эффективно вычисляемыми постоянными.

Однако в этих случаях можно получить и более точные результаты, которые приведены и доказаны в статьях [53] и [54].

В теореме 18 величина /i2 = №{q) при достаточно малом 5 и достаточно большом q близка к т — 1, а при d = 1, число т = s + 1. Поэтому имеет место

Следствие 8. Пусть G-функции fi(z),.,fs(z) с коэффициентами из поля I линейно независимы над полем С(z), удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений (1) и для них выполняется условие сокращения факториалов, О ф а £ I.

Тогда для любого положительного числа е существует такое число qo(s, а), что при любом натуральном числе q > qo(e, ск) и любых числах hy,. ,hs из Z/ при

Н = max|/ij| > Hq(s, а, q) j выполняется неравенство h0 + />1/1 (j J + • • • + hafs H S—E

91)

Оценка (91) может быть улучшена только за счет числа е.

В следующей теореме устанавливается оценка многочлена от значения функции, удовлетворяющей уравнению Малера. Для упрощения выкладок и большей наглядности мы ограничимся случаем одной переменной. Однако в статье [59] рассматривался случай нескольких переменных.

Теорема 19. Пусть f(z) — трансцендентная функция, представи-мая в виде ряда (15), сходящегося в круге \z\ < R и удовлетворяющая функциональному уравнению (16) с

Aj(z, у) = an(z)y + aj2(z) £ ZK[z, у] , j = 1,2. (92)

Пусть далее а — алгебраическое число, такое, что О < |а| < min(l, R), А2 (с/, Дс/)) фО, к = 0, 1,. . (93)

Пусть хо, 1(a) — соответственно степень и длина числа а, а s = deg К(а).

Тогда для любого положительного числа е и любого ненулевого многочлена Р(х) £ Ъ[х] степени, не превосходящей d и высоты, не превосходящей Н, при Н > Ho(d,a, f(z)) справедливо неравенство

P(f(a))\ > tf-(47.2P(P+i)+i+^; 7 = . (94)

До этого результата никаких оценок многочленов от значений функций, удовлетворяющих уравнениям Малера, известно не было. К.Малер в статье [23], не приводя доказательства, утверждал, что такие значения не являются числами Лиувилля. М.Миньот [30] предположил, что число оо f=E2"2"' и=0 являющееся значением функции (17), не является U-числом в классификации Малера (соответствующие определения можно найти, например, в обзорной статье [47]). Из теоремы 19 следует, что числа f(a), удовлетворяющие ее условиям, являются S-числами. Ранее все известные примеры S-чисел были связаны со значениями Е-функций в алгебраических точках. Теорема применима, например, к значениям функций (17) и (18).

Некоторые результаты удается получить и в случае, когда многочлены Aj(x, у) не являются линейными по у. Утверждение следующей теоремы опубликовано в статье [59].

Теорема 20. Пусть f(z) — трансцендентная функция, представи-мая в виде ряда (15), сходящегося в круге \z\ < R и удовлетворяющая функциональному уравнению (16) с q = max deg Aj(z, у) < p. (95)

7=1,2

Пусть далее а (0 < |а| < min(l, R)) — алгебраическое число, такое, что все многочлены

A2Kfc,/Kfc))^0, k = 0,1, 2,. . (96)

Тогда для любого ненулевого многочлена Р(х) Е Щх] степени, не превосходящей d, и высоты, не превосходящей Н, при Н > Ho(d) справедливо неравенство

Р(/И)| > ехр(—C(lnHY) , V = hip]Plnq , (97) где постоянная С не зависит от Н.

Теорема применима, в частности, к значениям функции (19).

0.4 Дальнейшие исследования, связанные с результатами диссертации

Исследование арифметических свойств значений гипергеометрических функций продолжил П.Л. Иванков. В статье [15] он доказал, что, если все параметры aj, bk функции (8) — рациональные числа, то для оценок ее линейных форм справедливы утверждения, аналогичные теоремам 7 и 8. В некоторых случаях он получил соответствующие оценки и при иррациональных параметрах (см., например, [16]).

Ю.В. Нестеренко [35] исследовал явные конструкции приближений Эрмита-Паде первого и второго рода обобщенных гипергеометрических функций.

А.Ю. Попов усилил теорему 10, установив, при каких значениях постоянной С неравенство

7 Р eb-Q lnlng С -j-— , 6, р, q е Z/ , ql In q имеет конечное, а при каких бесконечное число решений. А.Н. Коробов [19] использовал многомерные непрерывные дроби для получения точных по высоте оценок линейных форм. П.Л. Иванков [17] не только получил точные по высоте оценки линейных форм, как в теореме 12, для значений функции Куммера, но и с точными значениями постоянных.

В нескольких работах исследовались арифметические свойства значений ^-функций с использованием условия сокращения факториалов (см. определение 9). В.Г. Чирский [6] таким способом получил оценки многочленов от значений эллиптических интегралов. Фликер [12] распространил метод доказательства на р-адический случай.

В статьях Е. Бомбьери [5] и Е.М. Матвеева [29] устанавливаются количественные результаты одновременно в нескольких метриках, причем в [5] условие сокращения факториалов было заменено на некоторое другое условие, а в [29] даны приложения к диофантовым уравнениям.

Наконец, Д.В. и Г.В. Чудновским [7] удалось избавиться от условия сокращения факториалов, а также доказать, что, если G-функция является решением линейного однородного дифференциального уравнения с коэффициентами — рациональными функциями и не является решением уравнения такого же вида, но меньшего порядка, то условие сокращения факториалов выполняется.

В книгах [3] и [8] исследуются свойства как самих G-функций, так и их значений. В частности, в теореме 2.1 главы 7 книги [8] доказана эквивалентность условия Бомбьери из статьи [5] и условия сокращения факториалов.

Опубликовано довольно много работ, в которых оценки линейных форм от значений G-функций получаются за счет явной конструкции системы приближающих линейных форм. Если такое построение провести удается, то обычно существенно снижается ограничение на "малость"аргумента. В частности, М.Хата [14] доказал, что число (90) иррационально при любом натуральном q > 54.

К настоящему времени опубликовано большое количество работ, связанных с методом Малера, в том числе монография [36]. После статьи [59] появилось много работ с количественными результатами, в частности, статьи [2] и [31]. М.Амоу [2] уточнил оценку (94), В. Миллер [31] получил оценку многочлена от значения функции Малера при независимом росте степени и высоты многочлена. С.М. Молчанов [32] обобщил результат статьи [59] на р-адический случай. В статье [33] он усилил результат статьи Миллера [31].

Ю.В. Нестеренко [34] установил оценку многочлена от значений нескольких функций Малера (в теоремах 19 и 20 оценивается многочлен от значения одной функции, однако более общий вид имеет функциональное уравнение Малера). При независимом росте степени и высоты такую оценку получила К.Нишиока ([36], стр. 137-146).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Галочкин, Александр Иванович, 2009 год

1. Adams W. Asymptotic diphantine approximations and Hurwitz numbers// Amer. J. Math. - 1967 - V. 89. — P. 1083 - 1108.

2. Amou M. An improvement of a transcendental measure of Galochkin and Mahler's S-numbers // J. Austral. Math. Soc. (Series A) — 1992- v.52 P. 130-140.

3. Andre Y. G-functions and Geometry. Bonn. Braunschweig. 1989.

4. Боревич З.И., Шафаревич И.P. Теория чисел. М.: Наука, 1964.

5. Bombieri Е. On G-functions // Recent proggress in analytic number theory — 1981. — London, Academic Press: V. 2, — P. 1 68.

6. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах значений эллиптических интегралов// Успехи матем. наук — 1977 — Т. 32. — Вып. 1(193). С. 211-212.

7. Chudnovsky D.V., Chudnovsky G.V. Application of Pade' approximation tu Diophantine inequalities in values of G-function// Lect. Notes in Math. 1985 V. 1135. - P. 9-51.

8. Dwork В., Gerrotto G., Sullivan F. J. An introduction to G-functions. Anals of Math. Studies 133, Princeton Univ. Press, 1994.

9. Фельдман H. И. Приближения алгебраических чисел. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981.

10. Фельдман Н.И. Седьмая проблема Гильберта. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982.

11. Фельдман Н.И. Оценки снизу некоторых линейных форм// Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика. — 1967. — №2- С. 63-72.

12. Flicker Y. Z. On p-adic G-functions// J. London Math. Soc. (2) — 1977 V. 15. - P. 395-402.

13. Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа. М., Го-стехиздат, 1952.

14. Hata М. The irrationality of log(1+1 /q) log(l-l/g) // Trans. Amer. Math. Soc. 1998. - V. 350. - №6. - P. 2311-2327.

15. Иванков П. JI. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций// Математический сборник. — 1991. — Т. 182 т. - С. 283-302.

16. Иванков П. JI. О вычислении постоянных, входящих в оценки линейных форм// Известия высших учебных заведений. Математика. 2000. - №1(452). - С. 31-36.

17. Иванков П. JI. О значениях гипергеометрических функций с различными иррациональными параметрами// Фундаментальная и прикладная математика. — 2005. — Т. 11. — вып. 6. — С. 65-72.

18. Коробов А. Н. Оценки некоторых линейных форм// Вестн. Моск. ун-та, сер. матем, мех. — 1981. — №6. — С. 36-40.

19. Коробов А. Н. Многомерные цепные дроби и оценки линейных форм// Acta Arithmetica 1995. - V. 71. JM. - P. 331-349.

20. ЛенгС. Алгебраические числа. М.: Мир, 1966.

21. Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.

22. Lang S. A transcendence measure for Е-functions// Mathematica. — 1962 -V. 9. P. 157-161.

23. Mahler К. Arithmetische Eigenschaften der Losungen einer Klasse Funktionalgleichungen// Math. Ann. — 1929. — Bd. 101 — №4. — S. 342-366.

24. Mahler K. Arithmetische Eigenschaften einer Klasse transzendental-transzendenter Funktionen// Math.Z. — 1930 — Bd. 32 — №4. — S. 545-586.

25. Mahler К. Uber das Verschwinden von Potenzreihen mehrerer Veranderlichen in specielen Punktfolgen// Math. Ann. — 1930 — Bd. 103 №4, 5. - S. 573-587.

26. Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunktion und Logarithmus. I// J. reine und angew. Math. — 1932 — Bd. 166 S.118-136.

27. Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunktion und Logarithmus. II// J. reine und angew. Math. — 1932 — Bd. 166 S.137-150.

28. Маркушевич А И. Теория аналитических функций. Т. 2. М.: Наука, 1968.

29. Матвеев Е. М. Линейные формы от значений G-функций и дио-фантовы уравнения// Математический сборник. — 1982. —■ Т. 117(159). №3. - С. 379-365.

30. MicnotteM. Approximation des nombres par certaines suites de rationnels// Seminare Delange-Pisot-Poiton (Theorie des nombres).— №16 — 1976-77 pp 1-3.

31. MillerW. Transcendence measures by a method of Mahler// J. Austral. Math. Soc. (Series A) 1982 - v.32 - P. 68-78.

32. Молчанов С. M. О р-адичесой мере трансцендентности значений функций, удовлетворяющих некоторым функциональным уравнениям// Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика — 1983- №2. С. 31-37.

33. Молчанов С. М. Оценки меры трансцендентности в методе Малера// Диофантовы приближения. Часть I. — 1985. — М.: Изд-во Моск. ун-та. С. 56-65.

34. Нестеренко Ю. В. О мере алгебраической независимости значений некоторых функций// Математический сборник. — 1985. — Т. 128(170). Ш. - С. 545-568.

35. Шидловский А.Б. О критерии алгебраической независимости значений одного класса целых функций// Известия АН СССР. Сер. матем. 1959 - Т. 23. - Ж. - С. 35-66.

36. Шидловский А.Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций, связанных любым числом алгебраических уравнений в поле рациональных функций// Известия АН СССР. Сер. матем. 1962 - Т. 26.- №6. - С. 877-910.

37. Шидловский А.Б. Диофантовы приближения и трансцендентные числа. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982.

38. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987.

39. Галочкин А.И. Оценки снизу многочленов от нескольких логарифмов алгебраических чисел, близких к единице// Успехи матем. наук 1973 - Т. 29. - Вып. 2(170). - С. 235.

40. Галочкин А.И. Оценки снизу многочленов от значений аналитических функций одного класса// Математический сборник. — 1974.- 95(137). №3 - С. 396-417.

41. Галочкин А.И. Об арифметических свойствах значений некоторых целых гипергеометрических функций// Сибирсий Математический журнал. 1976 - Т. 17. - №6. - С. 1220-1235.

42. Галочкин А.И. Уточнение оценок некоторых линейных форм// Математические заметки — 1976 — Т. 20. — Вып. 1. — С. 35-45.

43. Галочкин А.И. О диофантовых приближениях значений некоторых целых функций с алгебраическими коэффициентами. I // Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика. — 1978. — №6- С. 25-32.

44. Галочкин А.И. О диофантовых приближениях значений некоторых целых функций с алгебраическими коэффициентами. II // Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика — 1979 — №1. — С. 26-30.

45. Галочкин А.И. О мере трансцендентности значений функций, удовлетворяющих некоторым функциональным уравнениям// Математические заметки. 1980 — Т. 27. — Вып. 2. — С. 175-183.

46. Галочкин А.И. О критерии принадлежности гипергеометрических функций Зигеля классу Е-функций// Математические заметки — 1981 Т. 29. - Вып. 1. - С. 3-14.

47. Галочкин А. И. Sur des estimations precises par rapport a la hauteur de certaines formes lineaires// Approximations Diophantiennes et Nombres Transcendants. Colloque de Luminy, Birkhauser — 1982.- P. 95-98.

48. Галочкин А. И. О неулучшаемых по высоте оцеках некоторых линейных форм// Математический сборник — 1984 — Т. 124(166) — №7 С. 415-430.

49. Галочкин А. И. О совместных приближениях значений некоторых целых функций// Диофантовы приближения. Часть I. — 1985. — М.: Изд-во Моск. ун-та. С. 17-25.

50. Галочкин А. И. О некотором аналоге метода Зигеля// Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика. — 1986. — №2. — С. 3034.

51. Галочкин А. И. On effective bounds for certain linear forms// New advances in transcendence theory. Cambridge, Univ. Press. — 1988.- P. 207-214.

52. Галочкин А. И. On certain arithmetical properties of the values of hypergeometrric functions// Diophantische Approximationen 30.09 bis 06.10.1990, Tagungsbericht 42. — Math. Forschungsinstitut Oberwolfach 1990. - S. 7.

53. Галочкин А. И. О решениях некоторых уравнений, содержащих Е-функции// Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика — 1992 №3. - С. 22-27.

54. Галочкин А. И. On some equations connected with E-function// Diophantische Approximationen 26.09 bis 02.10.1993, Tagungsbericht 43. — Math. Forschungsinstitut Oberwolfach — 1993. S. 20.

55. Галочкин А. И. Об аппроксимации алгебраическими числами решений некоторых уравнений, содержащих Е-функции// Труды Матем.ин-та им. В.А.Стеклова 1994. - Т. 207. - С. 66-69.

56. Галочкин А. И. Оценки снизу многочленов от значений алгебраически зависимых Е-функций// Фундаментальная и прикладная математика. 1995 - Т. 1. - № - С. 305-309.

57. Галочкин А. И. Оценки линейных форм от значений G-функций// Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика — 1996 — №3. — С. 23-29.

58. Галочкин А. И. О некоторых арифметических свойствах коэффициентов функции Куммера// Фундаментальная и прикладная математика. 2005 - Т. 11. - №6. - С. 27-32.