Арифметические приложения теории гипергеометрических рядов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Пупырев, Юрий Александрович

• Пупырев, Юрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пупырев, Юрий Александрович

Введение.

0.1. Гипергеометрический ряд.

0.2. Предварительные сведения.

0.3. Результаты.

Глава 1. Эффективизация нижней оценки для ||(4/3)/с||.

1.1. Аппроксимации Паде.

1.2. Аналитические и арифметические оценки.

1.3. Доказательство теоремы 1.

1.4. Доказательство теоремы 2.

Глава 2. Рациональные приближения числа

2.1. Аппроксимации Паде.

2.2. Арифметические составляющие.

2.3. Доказательство теоремы 3.

Глава 3. Линейная и алгебраическая независимость д-дзета-значений

3.1. Вспомогательные утверждения.

3.2. Основные результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Арифметические приложения теории гипергеометрических рядов»

В диссертации с помощью приближений Паде гипергеометрических функций получены арифметические результаты в области теории чисел.

В 1873 году Эрмит построил совместные приближения функций ., етг рациональными функциями. То есть, он нашел в явном виде многочлены Сдо(г), •. ■, такие, что кратности нуля в точке г = 0 функций С}о(г)ек* — будут максимально возможными в зависимости от степеней многочленов (¿к- Значения этих многочленов в точке г — 1 использовались Эрмитом для построения совместных приближений к е, е2,.,ет рациональными числами, что позволило ему доказать трансцендентность е.

Пусть а 1, ■■■, схт - различные комплексные числа, щ, щ,. . ., пт -неотрицательные целые числа, и определим

Дя) = хп°(х-а1)п^--(х~ат)п™.

Полагая М = щ + щ + • • • + пт, получим

Qo{z)eakZ - Qk(z) = zM+1eakZ / e^/W dt, (0.1)

J о где degQk(z) ^ M ~ При подстановке z = 1 в (0.1), мы получим равенство, которое Эрмит использовал для доказательства трансцендентности е, а Линдеман в 1882 году для доказательства трансцендентности 7г.

Таким образом, конструкция совместных приближений eakz рациональными функциями Qk(z)/Qo(z) позволила построить совместные приближения чисел еак рациональными числами Q/c(l)/Qo(l)

Подобная конструкция существует и для гипергеометрической функции. Рассмотрим следующий ряд, называемый Гауссовой гипергеометрической функцией:

F(z) = F(a,b,c-, z) = 2Fl(a,cb оо v^ (a)v(b)v

I ~ Г с). • и=0 где а, Ь, с g С и с ^ 0, —1, —2,. ; здесь (qq) = 1 и (а)^ = а{а + 1) • • • (а+и—1). Если а или Ь принадлежат множеству {0, —1, —2,. }, то F(z) - многочлен; в противном случае это ряд с радиусом сходимости, равным 1.

Гаусс нашел следующее разложение в цепную дробь:

F(a,b,c:z) „ aiz\ aoz\ . .

V = 1 + —Г1 + ~тг~ + • • • , (0.2)

F(o,6 + l,c+l;z) |1 |1 где комплексные числа а + к) (с -Ъ + к) {Ъ + к){с-а + к)

2fc+l = —7-, 07 Ч /-Т7Г,—Г-ГТ , <^2к с + 2fc)(c + 2/с + 1) ' //с (с + 2/с — 1)(с + 2fc)

Эта цепная дробь сходится к

-^(<2, Ь, с; г)

Р(а, 6 + 1, с 4- 1; г) в области 0 < arg(z — 1) < 27г. Числитель Ап(г) и знаменатель подходящей дроби - это многочлены с комплексными коэффициентами и

Вп ^ п 2 с^ Ап < п + 1

Имеет место подобное (0.1) равенство

Вп{г)Е{а, 6, с; г) - Ап(г)Г{а, Ь + 1, с + 1; г = (-1)па1---ап+1гп+1/п+ где

Ы^) = + к, Ъ + к, с + 2/с; 2), /2Л+1М = Г (а + к, Ъ + к + 1, с + 2к + 1; г).

Из (0.2) следует такое разложение: ч 11 а11 а% I = ^ ++ ^ + ■ ■ • , где коэффициенты а* получаются из щ подстановкой & = 0 и заменой с на с — 1.

В 1907 году Паде нашел явное представление для рациональных приближений ^(а, 1, с; г) с различными ограничениями на степени числителей и знаменателей подходящих дробей.

Якоби нашел следующее представление для остатка и знаменателя приближения Паде функции F(a, 1,с; 1/х) в окрестности бесконечности. Пусть Rea > 0, Re(c — а) > 0, и пусть

Qn(x) = F(—n, с + n — 1, a, ж)

1—a

1+a—с a)n rJ \ 71 ) (хм-\1 - x)c-a+n-1) axj

- многочлен Якоби, degQn(a:) = п. Пусть многочлен Pn(x) стенени n — 1 определен равенством

РП(Х) = i' ta-\ 1 - Onfr) dt

Jo t — x

Тогда имеем следующее тождество: 1\ п' [г £а+п-1(1 — Л0-04-""1

В диссертации использована подобная конструкция для получения арифметических результатов.

Настоящая работа устроена следующим образом. Во введении в разделе 0.1 мы определяем понятие гипергеометрического ряда и приводим ряд его важных свойств. В разделе 0.2 мы описываем некоторые классические задачи, с которыми связаны результаты диссертации, представленные в разделе 0.3.

В главах 1-3 проводится доказательство основных результатов, которые опубликованы в работах [23], [24], [22] автора. Результаты работы [22] были представлены на конференции [25].

0.1. Гипергеометрический ряд

Рассмотрим степенной ряд

F(a,b,c;z) = 2F1(ai & где с ф 0, -1, -2,. и а)о = 1, (а)п = а(а + 1) • ■ ■ (а + п - 1), п = 1,2,.,

- так называемый символ Похгаммера (сдвинутый факториал). Отметим сразу равенство (1)п = п\. Ряд (0.3) называется гипергеометрическим рядом. Отметим также очевидное свойство симметрии:

Обозначим через А{п) коэффициент при zn в ряде (0.3). Тогда так что радиус сходимости гипергеометрического ряда равен 1, за исключение случаев, когда а или Ь - неположительное целое. В этом случае конечный ряд в (0.3) сходится во всей комплексной плоскости. Гипергеометрическая функция определяется рядом

F (а, Ъ, с; z) — F(b, а, с; z).

А(п + 1) (а + п)(Ь + п) А(п) ~~ (с + га)(1 + п) п = 0,1,2,. 5 ао, ai, . bi, bm ap^ai)^ ■ • • (сim)vzv {b\)„---{bm)v v\

0.4) условие

Re(a0 + ai 4----+ aTO) < Re(6i H-----bm)

0.5) обеспечивает сходимость ряда (0.4) в области \г\ < 1 (см., например, [1]). Важную роль в анализе гипергеометрических рядов играют формулы суммирования и преобразования; в качестве примеров укажем формулу суммирования Гаусса

F(a, Ь, с; 1)

Г(с)Г(с — а — 6) Г(с — а)Г(с — Ь) ' формулу суммирования Пфаффа-Заалыпютца

3^2 п, а, Ъ с, 1 + а + 6 — с — п с - а)п(с - Ь) п с)п(с~ а - Ъ)п пек (о.б) см., например, [14; с. 49, формула (2.3.1.3)]), предельный случай теоремы Дугалла

5^4 а, 1 + а/2, 6, с, с? а/2, 1 + а — 6, 1 + а — с, 1 + а — (I

Г(1 + а - Ь) Г(1 4- а - с) Г(1 + а - в) Г(1 + а - Ь

-й)

Г(1 + а) Г(1 + а - Ь - с) Г(1 + а - Ь - д) Г(1 + а - с - й)

0.7) см. [1]), а также преобразование Уиппла

6^5 а, 1 + а/2, 6, с, е а/2, 1 + а — 6, 1 + а — с, 1 + а — 1 + а —е

Г(1 + а - с?) Г(1 + а - е) /1 + а- Ь-с, й, е Г(1 + а) Г(1 + а — с/ — е) ' 3 2\1 + а-Ь, 1 + а-с

0.8) см. [1]).

0.2. Предварительные сведения

Проблема Варинга и оценки расстояния до ближайшего целого. Классическая проблема Варинга утверждает, что для любого целого к ^ 2 существует 5 с тем условием, что каждое натуральное число представляется в виде суммы не более 5 слагаемых вида ак: где а - натуральное число. Наименьшее б с таким свойством обозначается д(к). Известно, что неравенство где [ ■ ] и || ■ || обозначают соответственно целую часть числа и расстояние до ближайшего целого, ||х|| = шт({х}, 1 — {а;}).

В 1957 г. Малер [12] использовал обобщение Риду известной теоремы Рота, чтобы показать, что неравенство для целых и и V и вещественного 9 имеет лишь конечное число решений в целых к для любого С < 1. В частности, в случае в = 1, и/у = 3/2, С = 3/4 получается неравенство (0.9), а вместе с ним и представление (0.10), для всех к ^ К, где К - абсолютная, но неэффективная постоянная.

0.9) влечет представление

0.10)

В связи с этим возникла задача получить нетривиальную (с С > 1/2) и эффективную (в терминах К) оценку вида

Первое продвижение в решении этой задачи сделали в 1975 г. Бей-кер и Коетс [2]. Применив эффективные оценки линейных форм для р-адических логарифмов, они показали справедливость (0.11) с С = 2-(1-ю~64)

В 1981 г. Бэйкерс [4] существенно улучшил этот результат, доказав, что неравенство (0.11) выполняется с С — 2~0-9 = 0.5358 . . . при к ^ 5000. Доказательство Бэйкерса основано на приближениях Паде к остатку биномиального ряда (1 — г)т = (™)(~2:)т'

В 1990 г. Дубицкас [17] использовал конструкцию Бэйкерса для получения оценки (0.11) с С — 0.5769. В этом же году Кубина и Вуидерлих [11] проверили неравенство (0.9) для всех к ^ 471600000.

В 1993 г. Беннет [3], [6] рассмотрел обобщение проблемы Варинга, именно, задачу о порядке дм (к) аддитивного базиса множества целых положительных чисел. Он установил лучшие на данный момент оценки для последовательностей ||(1 -Ь ^А^Ц: к для всех к ^ К.

0.11) к и с их помощью получил представление

0.12) при N ^ (к-\-1^к~1Ук -I.

В 2003 г. Хабсигер [8], пользуясь, как и Дубицкас, конструкцией Бэйкерса, получает оценку (0.11) с С — 0.5770.; его работа также содержит оценку

3' 0.57434/с при к ^ 5,

0.13) полученную на основе вычислений в [7] и [11].

Наконец, в 2007 г. Зудилин [16], модифицировав конструкцию Бэйкерса, а именно, рассмотрев приближения Паде к остатку ряда оо

1 - г)т+г £ п=0

771 + п т и получив точные оценки р-адических порядков возникающих биномиальных коэффициентов, пришел к оценке

3' 0.5803 для всех к ^ К, где К - некоторая эффективная постоянная. Конструкция работы [16] позволила ему также получить оценки 0.4914 при к > Къ 0.5152^ при к ^ К2, где К\ и К2 ~ эффективные постоянные. Указанная оценка снизу для 11(4/3)^11 дополняет результат Беннета [3] о порядке аддитивного базиса {1^, Зк, 4к,. }, который требует выполнения ||(4/3)^| > (4/9)^ при к ^ 6, с тем условием, что последнее неравенство будет проверено в диапазоне 6 < к ^ К\.

В качестве обобщения предыдущей темы могут рассматриваться последовательность дробных долей степеней фиксированного числа а > 1 и более общая последовательность {£а;п}, п — 1, 2,., где £ ф О и а > 1 - вещественные числа.

Хорошо известны лить метрические аспекты задачи о распределении дробных долей {^а"}. Так, в [15] доказано, что последовательность п — 1,2,., равномерно распределена при любом фиксированном а > 1 для почти всех а в [9], наоборот, - что эта последовательность равномерно распределена при любом фиксированном £ ф 0 для почти всех а > 1. В то же время для конкретных пар £ Ф 0, а > 1, особенно если а - трансцендентное число, почти ничего не известно.

В работе Дубицкаса [18] содержится результат о том, что дробные доли {^а;™}, п — 1,2,., могут принимать любое значение лишь конечное число раз, за исключением случая, когда а является корнем из целого числа, а £ - рациональным множителем целой неотрицательной степени а. д-Аналоги дзета-значений. Для натуральных 5 = 1,2,. определим д-ряды где сг51(п) = обозначает сумму степеней делителей. Несложно проверить (например, с помощью леммы 3.1 далее) предельные соотношения оо

0.14)

Ит(1 - дУШ = (а - 1)! • СМ, 5 = 2,3,., о—>1 где ("(5) - значения дзета-функции Римана (дзета-значения). Это обстоятельство мотивирует название дзета-значения для рядов (0.14).

Для четных ряды Е3{ц) = 1 — 2з£д(з)/В3, где В3 е <0> - числа Бернулли, известны как ряды Эйзенштейна. Поэтому из устройства пространства модулярных форм следует, что функции С? (2), С? (4), Сг7(6) алгебраически независимы над в то время как остальные четные ц-дзета-значения являются многочленами (с коэффициентами из <0>) от С, (4) и С? (6).

0.3. Результаты

В настоящей работе в главе 1 на основе конструкции из работы [16] и техники из работы [8] проведена эффективизация нижней оценки для 11(4/3)^11, а именно, получен следующий результат.

Теорема 1. Для ||(4/3)^1 имеем

4Ч 0.4910 к при к^Ь 868 122 745 713 241 570.

Кроме того, мы улучшаем оценку (0.13). Теорема 2. Для || (3/2)^1 имеем

5' 0.5795 при к ^ 871387 440 264.

Величины наименьших значений параметра к в теоремах 1 и 2 обусловлены необходимостью оценивать количество простых в большом числе интервалов: при этом требуется высокая точность (см. (1.13) на с. 27). Проверка неравенств в теоремах при меньших к остается за пределами вычислительных возможностей.

В главе 2 автор получает оценки вида ак\\ > Ск для всех к > К для конкретных значений (иа. Так, доказана следующая ТЕОРЕМА 3. Имеет место оценка

31/32fc|| > 0.3568fc при k> К. (0.15)

Заметим, что из наилучшей на данный момент эффективной оценки меры числа З1/3 [5]

31/3) ^ 2.692661368 . следовала бы оценка

31/32/г|| > 0.3093^ при к>К. В главе 3 мы получаем следующие результаты.

Пусть даны ненулевые многочлены Pi(q) £ C[g], г = 1,. . ., к. Определим линейную комбинацию к

P{q) = P(s ь .,sk]q) = J2 ЩяКч(^), г=1 где si > ■ ■ • > Sfc ^ 1 и si,., Sfc £ Z.

ТЕОРЕМА 4. Начиная с некоторого ро> зависящего от si,s2,., Sfc £ Z и многочлена Pi(q), каждый первообразный корень р-й степени из единицы р ^ ро, является особой точкой функции P(q). В частности, множество всех особых точек функции P{q) всюду плотно на окружности \q\ = 1, и она трансцендентна. введение

15

В качестве следствия теоремы 4 получено решение следующей задачи, сформулированной в [20].

ЗАДАЧА 0.1. Доказать, что д-дзета-значения Сд(1)> С?(2), Сд(3), • • • как функции от д линейно независимы над С(д).

Следствие. Функции (д(з), в ^ 1, линейно независимы над С(д).

Также, в [20] поставлена

ЗАДАЧА 0.2. Доказать, что множество, включающее три четные д-дзета-зиачения Сд(2), С?(4), С?(6) и все нечетные д-дзета-значения С?(1)> Сд(3), Сд(5), • ■ •, состоит из алгебраически независимых над С(д) функций.

В этом направлении доказаны следующие теоремы.

Теорема 5. При любом целом 5 > 1 функции С<?(1) и С/(5) алгебраически независимы над С(д).

Теорема 6. Пусть для некоторого набора 51, . ■., в/- £ N чисел таких, что > 1, г = 1,. . ., к, функции с?(51)) сд^г), ■ • • 5 с?(5а;) алгебраически независимы над С(д). Тогда функции С9(1) и Сд(51); Сд(52)> ■ ■ ■, С/(3к) таксисе алгебраически независимы над С(д).

ТЕОРЕМА 7. Функции Сд(1) и Сд(2), С<?(4), Сд(6) алгебраически независимы над С(д).

Отметим также, что подход к доказательству линейной и алгебраической независимости д-рядов, используемый в данной работе, был предложен в [21] и может применяться в других задачах.

Автор выражает благодарность своим научным руководителям кандидату физико-математических наук, доценту В.В. Зудилину за постановку задач и постоянное внимание к работе и доктору физико-математических наук, профессору А.И. Галочкииу за помощь в ее подготовке.

Автор благодарит весь коллектив кафедры теории чисел механико-математического факультета МГУ и лично доктора физико-математических наук, чл.-корр. РАН Ю.В. Нестеренко и доктора физико-математических наук, профессора Н.Г. Мощевитина за помощь и поддержку.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Пупырев, Юрий Александрович

3.2. Основные результаты

Пусть даны ненулевые многочлены € С[д], г = 1,., к, со степенями ^ соответственно. Определим линейную комбинацию где > ■ • • > 5^. Через О с С обозначим мультипликативную группу всех корней из единицы.

Доказательство теоремы 4. Возьмем число 9 £ П, не являющееся корнем многочлена Р\, и пусть д = г9. Представим многочлены Рг, г = 1,., /с, в виде к

3.3)

3.4) ш=О

Тогда к <1{ г=1 т=О к

1=2 к

Ф-ОЕЕ 1 - гг-'&м, г=1 7п~1 откуда в соответствии с леммой 3.2 при г —> 1 если ^ 2, если = 1.

Поэтому в - особая точка функции (3.3).

Для завершения доказательства остается заметить, что алгебраическая функция имеет особенности лишь в конечном числе точек. следствие. Функции Сз(5)> 3 ^ 1, линейно независимы над с(д).

Доказательство. Для любого набора ненулевых многочленов Рг{ч) £ и целых чисел г = 1,., линейная комбинация (3.3) имеет особые точки, а значит, не равна тождественно нулю. замечание. Вместо многочленов Д в (3.3) можно рассматривать целые функции (в этом случае ряды в (3.4) бесконечны). Тогда результат теоремы 4 можно усилить, заменив поле С(д) па поле меро-морфных функций.

Доказательство теоремы 5. Пусть от противного существует многочлен Р{хо, х{) с коэффициентами из С[д] такой, что

Запишем его в виде

Р(Я)

Р{ч) 1

1 - г)5*'

1п(1 - г) 1 -г

Р(Х = где суммирование распространяется на все ненулевые коэффициенты -Рг(<?) многочлена Р(хо,Х1).

Выберем число в 6 Г2, не являющееся корнем ни одного из РДд), и пусть q — г9. Рассмотрим те г, для которых значение суммы ¿1^5 ¿о,г максимально, и выберем из них то, для которого максимально ¿о,г-Пусть это ¿о,г = ¿0) а соответствующее = ¿1. Тогда, проводя те же рассуждения, что и в доказательстве теоремы 4, получаем

РШ, &«) - (- К1 - "РИ г - 1.

Это противоречит предположению Р(С9(1), С?(5)) = 0, откуда и следует утверждение теоремы.

Доказательство теоремы 6. Произвольный многочлен Р(х0,х1, . ,Хк) с коэффициентами из С[д] можно представить в виде

Р(х0, = РМ)х1^х1^ . (3.5) г где -Рг(^) € С[д] - все ненулевые коэффициенты Р{хо, х\,., хк).

Аналогично доказательству теоремы 5 выберем число 0 £ О, не являющееся корнем ни одного из многочленов Р^, и пусть д = гв. Из леммы 3.2 для функций Сд(А')> 5 > 1) имеем

Ш = (ГЗ^Х.М, (3.6) где ~ ограниченные на отрезке [0,1] функции. Теперь представим многочлен (3.5) в виде

Р(х0, ХЪ . . . , хк) = РгМ^!1'' • • • >

I Ш(1) где 1(1) - множество значений индекса г, для которых ¿о,г = Из алгебраической независимости функций Cç(si); Cg(s2)) ■ ■ ■, Çq(sk) и представления (3.6) для любого I получаем РШяЫ'" ■ ■ • C«Ofc)'M X '■ При Г - 1, iel(l) К ' где mil) - целое неотрицательное число. Рассмотрим те /, для которых значение суммы т(1) + 1 максимально, и выберем из них максимальное I = I*. Тогда

P(Ce(l),C9M, ■ ■ ■, Фк)) * (- ln(l - r)f{1r1)m{l,)w при г -, 1 и, в частности, выражение слева отлично от нуля. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 5 следует из алгебраической независимости Сг(2), С?(4), Сg (6) (см. введение) и теоремы 6.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пупырев, Юрий Александрович, 2011 год

1. W. N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, Cambridge Math. Tracts, 32, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1964.

2. A. Baker, J. Coates, "Fractional parts of powers of rationale", Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 77 (1975), 269-279.

3. M. A. Bennett, "Fractional parts of powers of rational numbers", Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 114:2 (1993), 191-201.

4. F. Beukers, "Fractional parts of powers of rationals", Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 90:1 (1981), 13-20.

5. G.V. Chudnovsky, "On the method of Thue-Siegel", Ann. of Math. 11 Ser., 117:2 (1983), 325-382.

6. M. A. Bennett, "An ideal Waring problem with restricted sum-mands", Acta Arith., 66:2 (1994), 125-132.

7. F. Delmer, J.-M. Deshouillers, "The computation of g(k) in War-ing's problem", Math. Сотр., 54:190 (1990), 885-893.

8. L. Habsieger, "Explicit lower bounds for ||(3/2)fc||", Acta Arith., 106:3 (2003), 299-309.

9. J. F. Koksma, "Ein mengen-theoretischer Satz iiber Gleichverteilung modulo eins", Compositio Math., 2 (1935), 250-258.

10. C. Krattenthaler, T. Rivoal, W. Zudilin, "Séries hypergéométriques basiques, g-analogues des valeurs de la fonction zêta et formes modulaires", Inst. Jussieu Math. /.,5:1 (2006), 53-79.

11. J. Kubina, M. Wunderlich, "Extending Waring's conjecture up to 471600000", Math. Сотр., 55:192 (1990), 815-820.

12. К. Mahler, "On the fractional parts of powers of real numbers. II", Mathematika, 4 (1957), 122-124.

13. L. Schoenfeld, "Sharper bounds for the Chebyshev functions Q(x) and tp(x). II", Math. Сотр., 30:134 (1976), 337-360.

14. L. J. Slater, Generalized Hypergeometric Functions, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1966.

15. H. Weyl, "Uber die Gleichverteilung von Zahlen modulo Eins", Math. Ann., 77 (1916), 313-352.

16. W. Zudilin, "A new lower bound for ||(3/2)fc||", J. Theor. Nombres Bordeaux, 19:1 (2007), 311-323.

17. А. К. Дубицкас, "Оценка снизу величины ||(3/2)fc||", УМЕ, 45:4 (1990), 153-154.

18. А. Дубицкас, "О дробных долях натуральных степеней фиксированного числа", Сиб. матем. о/сурн., 47:5 (2006), 1071-1075.

19. В. В. Зудилин, "Эссе о мерах иррациональности 7г и других логарифмов", Чебышевский сб.

20. В. В. Зудилин, "О диофантовых задачах для д-дзета-значений", Матем. заметки, 72:6 (2002), 936-940.21. 10. В. Нестеренко, О трансцендентности некоторых функций, рукопись, 2003.

21. Работы автора по теме диссертации

22. Ю.А. Пупырев, "О линейной и алгебраической независимости q-дзета-значений", Матем. заметки, 78:4 (2005), 608-613.

23. Ю. А. Пупырев, "Эффективизация нижней оценки для ||(4/3)fc||", Матем. заметки, 85:6 (2009), 927-935.

24. Ю.А. Пупырев, "Рациональные приближения числа Матем. заметки, 86:5 (2009), 736-747.

25. Yu. A. Pupyrev, "Linear and algebraic independence of q-zeta-values", Abstracts of International scientific conference "Diophantine and analytic problems in number theoryMSU, Moscow, 2007, 29.