Линейные формы от логарифмов алгебраических чисел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Алексенцев, Юрий Михайлович

• Алексенцев, Юрий Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Алексенцев, Юрий Михайлович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. О мере приближения числа ж алгебраическими числами

§1. Вспомогательные леммы

§2. Доказательство теоремы

ГЛАВА 2. Линейные формы от логарифмов алгебраических чисел

§1. Лемма о нулях

§2. Многочлены Гильберта

§3. Многочлены Гильберта и количество точек решетки

§4. Логарифмические высоты

§5. Лемма Зигеля и дискриминант алгебраического поля

§6. Неравенство Лиувилля

§7. Вспомогательные многочлены

§8. Индуктивное предположение

§9. Построение вспомогательных функций

§10. Приближающие функции

§11. Алгебраическая оценка снизу

§12. Оценка производных

§13. Конечные произведения Бляшке

§14. Индуктивный процесс экстраполяции

§15. Последний шаг: Использование леммы о нулях

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линейные формы от логарифмов алгебраических чисел»

Результаты настоящей диссертации относятся к теории трансцендентных чисел. Первая глава посвящена оценке меры приближения числа 7г алгебраическими числами и, как следствие, оценке меры трансцендентности числа 7Г. Напомним, что мерой приближения некоторого числа 9 € С алгебраическими числами называется функция Ф(6,L,d) = min \в — где L = L(£) - длина числа С (сумма модулей коэффициентов основного многочлена для () и d = degC - степень числа £ (степень основного многочлена для С), а min берется по всем алгебраическим числа L(£) < L, deg(C) < d. Чаще всего найти точно функцию Ф(в, L,d) сложно, поэтому часто говорят об оценке меры приближения, т.е. об оценке функции Ф(0, d). Во всей работе константы, для которых имеется способ вычисления, мы будем называть эффективными, а константы, про которые мы знаем только их существование, но не можем найти, будем называть не эффективными. Также во всей работе под loga, a £ R+ понимается натуральный логарифм числа a, если же a $ К.+, то loga - некоторая фиксированная ветвь натурального логарифма.

Число 7г - один из классических объектов в исследованиях оценок мер приближения алгебраическими числами. Первыми работами по этой теме были работы Я.Попкена [34] 1929 года и К.Малера [22],[23] 1953 года. В частности Попкен доказал, что

Для любого £ £ A, L(() < L, deg(£) < d выполнено неравенство к - С| > e~log2 L\ здесь L > L\, L\ - абсолютная постоянная, ас — c(d) > 0 - некоторая явно не указанная эффективная постоянная, зависящая только от d.

Далее исторически следуют работы Н.И.Фельдмана [47],[48], в которых он, применяя в этом вопросе один из методов А.О.Гельфонда, дал лучшую на тот момент оценку меры приближения числа тг алгебраическими числами:

Существует такая эффективная абсолютная постоянная С, что для любого £ £ A, deg £ < d, L(£) < L, L> 3, выполняется неравенство > e-Cd(log£+dlogd)(l+logd)

Точное значение константы С в этой теореме не вычислялось, однако указывалось, что ее нетрудно вычислить. Эту же самую теорему через 17 лет в работе [15] передоказал Л.Цайсув. В дальнейшем Н.И.Фельдманом была опубликована работа [52], в которой доказывалось, что константу С в теореме можно взять равной 389, однако при условии достаточно большого L. В работе М.Вальтшмидта и Ю.В.Нестеренко [42] доказана некоторая общая теорема и указано, что частным случаем ее является оценка теоремы 2 с константой равной 1,25 • 106, эта константа хотя и больше чем 389, однако она получена без каких либо ограничений на параметры L и d. Основным результатом главы 1 диссертации является следующий результат:

ТЕОРЕМА.Пусть С— алгебраическое число, а действительные числа d и L удовлетворяют неравенствам d > deg£, L > L(Q, L > 3. Тогда если d достаточно велико, то выполняется неравенство тг - <| > ехр(—21,4708 • d(logL + d\ogd) ■ (1 + logd)).

Для доказательства этой теоремы применяется техника интерполяционных определителей, предложенная М.Лораном в работах [20] и [21].

Вторая глава диссертации посвящена оценке линейных форм от логарифмов алгебраических чисел. Первые результаты в этой области были получены в связи с решением седьмой проблемы Гильберта А.О.Гельфондом [43] и Т.Шнейдером [35] в 1934 году. Как известно, седьмая проблема Гильберта заключается в доказательстве утверждения, что число а^ (при алгебраическом а ф 0; 1 и алгебраическом иррациональном (3) - трансцендентно. Этот же факт можно сформулировать иначе: доказать, что если отношение log «i/ log с*2 фиксированных ветвей логарифмов алгебраических чисел а2 Ф 0 иррационально, то оно трансцендентно. Гельфонд усилил эту теорему и в работе [44] получил оценку снизу для величины |logai/log с*2 — Cl в зависимости от характеристик £ € А, т.е. доказал оценку меры приближения log ах/log а2 алгебраическими числами. Для седьмой проблемы Гильберта возможно дать и третью эквивалентную формулировку: доказать, что если линейная форма Ь\ log c*i + 62 log «2 от фиксированных ветвей логарифмов алгебраических чисел c*i,a2 Ф 0 не равна нулю при любых рациональных | + > то она не равна нулю при любых алгебраических ¿>1,62 также не равных нулю одновременно. А.О.Гельфойд в 1939 году показал, что методами, сходными с теми, которыми было получено решение седьмой проблемы Гильберта, можно в некоторой степени усилить последнюю формулировку. А именно: доказать, что если равенство Ь\ log «1 + 62 log «2 = 0 невозможно при рациональных не равных нулю одновременно 6», то выражение |ói log «i + 62 log a^l, оценивается снизу эффективной, зависящей от характеристик чисел и величиной (здесь как и ранее 61,62 - алгебраические, а «1,0:2 - ненулевые алгебраические числа). Следующая теорема доказанная Н.И.Фельдманом (см. [51]) улучшает полученную ранее оценку А. О. Гельфонда.

Пусть а, /3 6 A, a loga, log (i - фиксированные значения логарифмов, b\\oga + 62logР Ф 0 при любых не равных нулю одновременно рациональных 61, ¿>2 - Тогда существует такая эффективная постоянная к — к(а, /3, log a, log/3) > 0, что для любых С, 77 € А, + \r¡\ > 0, deg£ < щ, degyj < П2, L(Q < Li, L(tj) < L2, degQ(С)7/) — n выполняется неравенство

C log a + ц log p\ > exp (-к • n4 ^logn + + (1 + logn)"3 j .

Здесь, как и ранее, L(C) и L(rj) - длины £ и r¡.

В 1949 году А.О.Гельфонд в работе [45] указал, как можно использовать подобного рода оценки для полного решения или ограничения области поиска решений широкого класса диофантовых уравнений и применил свои оценки в работах [45],[18] к решению диофантовых уравнений особого вида. Применение подобных оценок к другим вопросам см. [54],[36],[46]. Однако, как показал Гельфонд, для значительного расширения области применения оценок линейных форм необходимо получить эффективные оценки снизу модуля линейной формы от произвольного числа логарифмов алгебраических чисел, т.е. выражений вида: bilogai + . + 6nloga;n|, (1)

Отметим, что выражение (1) можно оценить используя обобщение одного неравенства (см. лемма 7, глава 2), доказанного Лиувиллем еще в 1844 году. Однако эта оценка, обычно называемая "тривиальной", слаба и не применима к исследованию диофантовых уравнений. Сам А.О.Гельфонд дал нетривиальную оценку (1), однако эта оценка была не эффективна, т.е. метод доказательства не позволял вычислить константу, присутствующую в этой оценке и, тем самым, оценку невозможно было применять для конкретных вычислений.

Задача о нетривиальной и эффективной оценке выражения (1), оставалась долгое время не решенной. В 1966 году А.Бейкер, развивая идеи Гельфонда, в работах [1] решил поставленную Гельфондом задачу. Одним из основных его результатов является следующая теорема:

Пусть К. - алгебраическое поле степени d, ai,., an € К, при этом logai,. ,logan - произвольные, однако фиксированные значения логарифмое. Тогда существует С = C(o;i, .,an,logai, .,logan,n,d, к) > 0 - эффективная постоянная, такая что для любых &i,., bn 6 Ъ, с условием

6iIogO!i + . + 6„loga„| =¿0, выполняется неравенство

16x10g+ . + 6nlogan| > где к>п + 1 и В = max(|&i|,., |6П|).

В дальнейшем А.Бейкер опубликовал целую серию работ по усилению и применению полученной оценки выражения (1) к разным вопросам в теории чисел (см. [2],[3],[4]). В частности, им была получена теорема о границе для решений уравнения Туэ, то есть результат, утверждающий, что все целые решения X, Y уравнения f(x,y) = AT, где f(x,y) - неприводимая бинарная форма степени п > 3, удовлетворяют неравенству:

Х| + |У| < 7е<1ов*)\

Здесь Л - любое постоянное число, большее, чем п +1, а 7 = 7(/, Л) - эффективная постоянная.

После результатов Бейкера было опубликовано большое количество работ (некоторые из них описаны ниже), улучшавших полученные результаты и применявших оценки (1) к различным задачам теории чисел. За свои работы в 1970 А.Бейкер был удостоен премии Филдса международного союза математиков.

Отметим работу Н.И.Фельдмана [50], который существенно улучшил оценки Бейкера и доказал несколько замечательных результатов. В частности, он получил эффективное степенное усиление теоремы Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными числами. Одна из основных теорем работы [50] дает оценку: flogen + . + b„logan| > e~clo&B, где В ~ max(|6i|,., |6П|).

В теореме Н.И.Фельдмана величина log J5 в показателе присутствует в первой степени, что как раз и дало возможность доказать эффективное усиление теоремы Лиувилля. Впоследствии было опубликовано много работ по этой тематике с различными техническими нововведениями. Здесь стоит отметить работы М.Вальтшмидта, А. ван дер Поортен, А.Локстона, X. Старка, Н.И.Фельдмана и многих других авторов.

Отметим, что доказанные в разных работах оценки линейных форм от логарифмов нашли широкое применение в различных областях теории чисел. Как уже упоминалось, А.Бейкером была дана граница для решений уравнений Туэ. Р.Тайдеман в работе [37] получил эффективную границу сверху для целых решений (х,у,р,д) уравнения Каталана:

- у9 = 1, я > 1, у > 1, р > 1, д > 1, (2) имеющего двухсотлетнюю историю. В дальнейшем линейные формы от логарифмов алгебраических чисел позволили Михайлеску (см. [29]) полностью доказать гипотезу Каталана, о том, что уравнение (2) имеет единственное решение: х = д = 3.у=р = 2.

Оценки линейных форм от логарифмов применялись также в задачах, связанных с проблемой о существовании десятого одноклассного мнимого квадратичного поля. Оценка линейной формы от трех логарифмов была исполь-• зована А.Бейкером и Х.Старком (см. [5],[6],[7]) для вычисления эффективной границы для дискриминантов всех мнимых квадратичных полей с двумя классами идеалов. В многочисленных работах Китеса, Коатеса, Котова, ван дер Поортена, Спринджука, Старка, Стюарта, Тайдемана, Шинцеля, Шорея получены оценки снизу наибольших простых делителей значений в целых точках многочленов от одного и двух переменных. Указанные приложения составляют малую часть всех вышедших на эту тему работ.

Общая схема рассуждений при доказательстве оценок линейных форм от логарифмов алгебраических чисел была предложена еще Гельфондом. Потом она была доработана Бейкером. Суть ее состоит в том, что строится одна или несколько вспомогательных функций вида а> а, = Е Е • • • Е •••» *п)*Х1Ж • ■ •

Ао=0А1=0 Ап=0 где Рг{\ 1,., Ап) - некоторые алгебраические числа. Эти Ах,Ап) выбираются так, чтобы функции обращались в ноль в целых точках 0 < 8 < 5 с некоторой кратностью. Далее, предполагая что модуль выражения (1) достаточно мал, эти функции экстраполируются. Так принято называть некоторую арифметико-аналитическую процедуру, позволяющую расширить известное нам множество нулей этих функций. Экстраполяция проводится поэтапно. На каждом шаге мы к тому же переходим к функциям, содержащим меньшее количество чисел а\,., ап. На последнем шаге возникает многочлен от одной переменной г, имеющий много нулей. Используя последнее, удается доказать что он тождественно равен нулю, и получить противоречие доказывающее оценку снизу для модуля (1).

Большинство соображений, за счет которых удавалось улучшить оценку Бейкера, либо видоизменяли вспомогательные функции, либо предлагали новые приемы при экстраполяции (см. главу 2 параграф 14). На завершающем шаге доказательства этих теорем всегда получался многочлен от одной переменной, имеющий нулей больше, чем его степень. Однако для получения такого многочлена приходилось экстраполировать исходные функции на слишком широкую область. В связи с большим числом шагов экстраполяции возникают огромные константы, осложняющие применение получающихся оценок ко многим вопросам. Чтобы избежать большого числа шагов экстраполяции, необходим результат об ограниченности количества нулей в зависимости от степеней многочлена уже от нескольких переменных. Доказать ограниченность числа нулей многочлена от нескольких переменных в зависимости от его степеней в общем случае невозможно, однако, если нули обладают некоторой групповой структурой, то такую оценку можно получить. Одна из первых работ по этой теме опубликована Д.Массером [24] в 1981 году (основывалась на еще более ранней работе Ю.В.Нестеренко [30]). Оценки количества и крат-ностей нулей (как их впоследствии стали называть) многочленов от нескольких переменных были опубликованы Д.Массером и Д.Броунвеллом [12],[13], а также Д.Массером и Г.Вюстхольцем [25]. В 1986 году подытожил эти исследования П.Филиппон, см. [32]. Доказательства этих теорем использовали методы алгебраической геометрии.

Утверждения о количестве нулей возникли в связи с задачами трансцендентности и алгебраической независимости чисел. Первым, кто смог применить их именно в оценках линейных форм, был Г.Вюстхольц (см. [41]). Оценка линейной формы, данная в его работе, имела вид: к^(о!п))| > ехр (-с(гс,</) • ¿(^(аг) •. • ¿'(с*«)) , где с(п, (¿) - некоторая эффективная постоянная зависящая только от п и <1, ¡¿(а) = тах(/&(а), 11о|а1, - модифицированная высота Вейля, а 1г{Ь) модифицированная высота линейной формы Ь.

Отметим, что использование высот 1ъ(Ь) и /г'(а) (основные свойства см. глава 2 параграф 4) появилось в этом вопросе еще до работы Г.Вюстхольца и являлось просто удобным инструментом, немного упрощавшим выкладки в доказательстве основных теорем. Величина h (L) практически совпадает с log jB, a h («i) близки к logL(aj). Точные формулировки см. например [40].

Константа c(n,d) не была подсчитана вовсе, таким образом результат Г.Вюстхольца был неприменим для конкретных вычислений; однако автором было указано, что использование леммы о нулях делает значение константы намного меньше, чем в предыдущих теоремах. Следует отметить также на тот период работу М.Вальтшмидта и П.Филиппона [31], которые, основываясь на упоминавшейся работе П.Филиппона [32], также смогли применить оценки кратностей нулей многочленов в теории линейных форм от логарифмов алгебраических чисел. Их результат, также как и теорема Вюстхольца, не давал значение константы. Отметим что работа Вальдшмидта и Филиппона отличалась от работы Вюстхольца несколько иным построением вспомогательных функций. Первой работой с точно подсчитанной оценкой, в доказательстве которой использовалась лемма о нулях, стала работа А.Бейкера и Г.Вюстхольца [8], где доказана теорема:

Пусть К - алгебраическое поле конечной степени d, ai, .,ап £ К, logc*i, .,logan - произвольные, но фиксированные значения логарифмов. Тогда для любой линейной формы с целыми коэффициентами: L(xi,.,xn) = Ь\Х\ . + Ьпхп, bi €Е Ъ, при условии L(log(ai), log(a:n)) Ф 0 выполняется неравенство

L(log(ai), .,log(an))| > exp (-7 ■ cf+2/i'(L)ti(at) -. • h'(an) log(2nd)) , причем:

7 = 9- З23(64)"n2n+1.

Здесь, как и ранее, ti(a) - модифицированная высота Вейля, a h'(L) модифицированная высота линейной формы L.

Следует отметить также работу Ю.В.Нестеенко и М.Вальтшмидта [42] об оценке линейной формы от двух логарифмов алгебраических чисел. В этой работе применялась техника интерполяционных определителей для построения вспомогательной функции (см. главу 1 диссертации), а также теорема об оценке количества и кратности нулей многочленов от двух переменных, доказанная Ю.В.Нестеренко элементарными методами. Это позволило получить малые константы при оценке линейной формы.

Отметим работы Е.М.Матвеева [27],[28] который элегантным приемом избавился от множителя п2п в теореме Бейкера и Вюстхольца, а также придумал ряд технических усовершенствований для доказательства своей теоремы, наилучшей на сегодняшний день:

Для любой линейной формы с целыми коэффициентами: L — Ь\Х\ + . + Ьпхп, h 6 Ъ, при условии L(log(o!i), .,log(c*n)) ф 0 выполняется неравенство

L(log(ai),log(an))| > exp (-7 • <Г+2\og(eB)A1 ■. • An\og(ed)), причем:

В = max(|6i|,|6n|), 7 = min (V^20, i (^enj 30"+3n3'5) ,

Ai — max ^h(ai), , i = 1,., n.

Здесь, как и ранее, h(a) - абсолютная логарифмическая высота Вейля алгебраического числа a, d = degQ(«i,., an).

Е.М.Матвеев также указал, что в теореме можно вместо В взять более точное выражение В' = max max ^^ •

Во всех без исключения работах по линейным формам от логарифмов алгебраических чисел, использующих различные варианты лемм о нулях, делается технически сложный и громоздкий переход от многочленов Гильберта некоторых алгебраических групп (см. главу 2, параграфы 1 и 2), присутствующих в формулировках лемм о нулях, к оцениваемым величинам и обратно. Причем этот переход делается при каждом шаге экстраполяции (см. главу 2, параграф 14) и тем самым ухудшается основная оценка, а также и без того громоздкое доказательство еще более усложняется. Основная идея, на которой базируется глава 2 настоящей диссертации, это сохранить многочлен Гильберта во всех вычислениях, связанных с методом Бейкера, оставив его даже в формулировке основной теоремы (см. теорему 1 главы 2). Такая возможность появляется благодаря тождеству для многочленов Гильберта некоторых алгебраических групп (или связанных с ними целочисленных решеток в М" доказанному в главе 2 (см. лемма 1 и лемма 3). Следующие ниже теоремы - основные результаты главы 2. Не уменьшая общности, мы будем предполагать в дальнейшем: \bn\h (а„) = max \bi\h (а:;).

1<г<п

ТЕОРЕМА. Пусть дана линейная форма L{x 1, .,хп) = Ь\х\ -f . + bnxn с целыми коэффициентами Ь{ ф 0, b = (bi,., bn). Тогда для произвольной решетки А С Zn, dim А = г, такой что b 6 А и произвольных не равных нулю сильно независимых чисел 6 А, при условии

L(log(ai),., log(o!n)) = L ф 0 выполняется следующая оценка: log\L\ > -7(n,d)logß.H(AJ-;/i'(a1)>.lh'(an)),

7(n, d) = (5,3)*nx(n + l)(n + 8)2(n + 5)(7,86)r4n<T+2 log(3

Здесь H(A±] ti(ati),/г'(о;га)) - значение многочлена Гильберта ортогональной решетки А1- в точке (h (cki), h (а;п)), число x равно 1 если все числа log(«i), ., log(an) - действительные и 2 если среди них есть комплексные,

В = maxi max (J^L + -М-Л ,3). \1<»<я-1 \dh (о») dh(ai)J > J

Определение многочлена Гильберта см. параграф 1 главы 2. Определение сильной независимости чисел смотри введение главы 2. Взяв в этой теореме

Л = И1 получаем как частный случай этой теоремы следующий результат:

ТЕОРЕМА. Для произвольных ненулевых алгебраических чисел ai, удовлетворяющих условию сильной независимости, и любой линейную формы с целыми ненулевыми коэффициентами: L(xi,.,хп) = Ь\х\ + . + Ьпхп, при условии L — L(log(o!i), .,log(otn)) ф 0 выполняется неравенство: log\L\ > —7(n, d)logB • h'(ai) • • -h!(an)),

7(n, d) = e • (5,3(n + l)(n + 8)2(n + 5)(31,5)ncT+2 k>g(3nd).

Здесь x и В определены так же, как и в предыдущей теореме.

В качестве параметра В в теоремах можно, уже без предположения \bn\h'(an) — max \bi\h (аг), взять менее точное, однако более симметричное

1<г<п выражение: В = max ( max ( J/^ . + Л , 3 j.

V1 <i,j<n\dhiai) dh (aj) J J

Как легко видеть, предложенный подход дает новый вид оценки, включающий в себя многочлен Гильберта некоторой решетки Л с единственным ограничением Ь 6 Л. Кроме этого, последняя теорема дает существенное улучшение оценки для маленьких п, что особенно часто используется в приложениях.

Кроме улучшения констант в этих теоремах получено качественное улучшение зависимости от величины коэффициентов линейной формы (параметр В). Важность именно такого вида параметра В продемонстрировал в недавней работе Билу [10].

Технический подход к доказательству теорем новый и основан на индукции по величине многочлена Гильберта решетки Л. При этом используется новая конструкция вспомогательной функций и измененная соответствующим образом процедура экстраполяции нулей. На заключительном этапе доказательства используются оценки Филиппона для количества нудей полинома на алгебраических группах.

Отметим, в заключение, что нумерация теорем, лемм и формул в каждой главе начинается заново, при этом в каждой главе ссылок на результаты другой главы нет.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю чл.-корр. РАН, проф. Ю.В.Нестеренко за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Алексенцев, Юрий Михайлович, 2005 год

1. Baker A., Linear forms in the logarithms of algebraic numbers 1. II, III, Mathematika, 1966, v.13, 204-216,; 1967, v.14, 102-107, 220-228; 1968, v.15, 204-216.

2. Baker A., Contributions to the theory of Diophantine equations.-Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1968, 263 A, 173-191.

3. Baker A., Contributions to the theory of Diophantine equations. 2.-РЫ1. Trans. Roy. Soc. London, 1968, 263 A, 193-208.

4. Baker A., The Diophantine equation y2 = axz + bx2 + cx + d.-J. London. Math. Soc. 1968, 43, 1-9.

5. Baker A., A remark on the class number of quadratic fields.-Bull. London. Math. Soc., 1969, 1, 98-102.

6. Baker A., Imaginary quadratic fields with class number 2.-Ann. Math., 1971, 94, 139-152.

7. Baker A., Stark H.M., On a fundamental inequality in number theory, Ann. Math., 1971, v.94, 190-199.

8. Baker A., Wustholz G., Logarithmic forms and group varieties, //J. reine angew. Math. 1993, v.442, 19-62.

9. Bertrand D., Duality on tori and multiplicative dependence relations, J. Austral. Math.Soc. (Series A) 62(1997), 198-216.

10. Bilu Yu., Bugeaud Y., Demonstration du the'ore'me de Baker-Feldman via les formes line'aires en deux logarithmes, J. Th. Nombres Bordeaux 12 (2000), 13-23.

11. Bombieri E. and Vaaler J.D., On Siegel's lemma, Invent.Math. 73(1983), 1132.

12. Brownawell W.D. and Masser D.W., Multiplicity estimates for analitic functions I. J. reine angew. Math 314, 200-216 (1980).

13. Brownawell W.D. and Masser D.W., Multiplicity estimates for analitic functions II. Duke Math. J. 47, 273-295 (1980).

14. Cassels J.W.S., An Introduction to the geometry of numbers, Springer Verlag, 1959.

15. Cijouw P.L., A transcendence meausure for 7r. In: Transcendence theory: advances and applications. London, 1977, 93-100.

16. Feldman N.I. and Nesterenko Yu.V., Transcendental numbers. In Encyclopedia of Math.Sci., v.44, Springer, 1998.

17. Gelfond A.O., On the approximation by algebraic numbers of the ratio of the logarithms of of two algebraic numbers, Izvestia Acad. Sei. SSSR, 1939, v.3, no 5-6, 509-518.

18. Gelfond A.O., Sur la divisibilité de la differences des puissances de deuex nombres entieres par une puissance d'un ideal premier.-MaTeM. c6., 1940, 7 (49), m, 7-26.

19. Kunrui Yu., Linear forms in p-adic logarithms.- Acta Arith. 1989. V.53. P. 107-186.;(II) Composito Math., 1990, v 74, 15-113.

20. Laurent M., Sur quelques résultats recents de transcendentance; Journees arithmétiques Luminy 1989, Asterisque, 198-200 (1991), 209-230.

21. Laurent M., Hauteurs de matrices d'interpolation; in Approximations Dio-phantiennes et Nombres Transcendants, Luminy 1990, ed. P.Philippon, de Gruyter 1992, 215-238.

22. Mahler K., On the approximation of logarithms of algebraic numbers-Phil. Trans. Roy. Soc. London. A, 1953, 245, 371-398.

23. Mahler K., On the approximation of ir .-Indag. Math., 1953, 15, 30-42.

24. Masser D.W., On polynomials and exponential polynomials in several variables; Invent. Math., 63 (1981), 81-95.

25. Masser D.W. and Wiistholz G., Zero estimates on group varieties 1. Inv Math. 64, 489-516 (1981).

26. Matveev E.M., On the arithmetic properties of the values of generalized binomial coefficients; Mat. Zam., 54 (1993), 76-81; Math. Notes, 54 (1993), 1031-1036.

27. Matveev E.M., An explicit lower bound for a homogeneous rational linear form in logarithms of algebraic numbers I, Izvestia: Mathematics, 1998, v.62, no 4, 723-772.

28. Matveev E.M., An explicit lower bound for a homogeneous rational linear form in logarithms of algebraic numbers II, Izvestia: Mathematics, 2000, v.64, no 6, 125-180.

29. Mihâilesku P., Primary cyclotomic units and a proof of Catalan's conjecture, (submitted).

30. Nesterenko J.V., Estimates for order of zeroes of functions of a certain class and their applications in the theory of transcendental numbers. Izv. Akad. Nauk USSR, Ser. Mat. 41, 253-284 (1977); Math. USSR Izv. 11, 239-270 (1977).

31. Philippon P., Waldschmidt M. Lower bounds for linear forms in logarithms. //New Advances in Transcendence Theory, ed. A.Baker. Cambridge Univ. Press. 1988, 280-312.

32. Philippon P., Lemme de zeros dans les groupes algebriques commutatifs; Bull. Soc. Math. Prance, 114(1986), 355-383, et 115(1987), 397-398.

33. Van der Pooerten A. J., On Baker's inequality for linear forms in logarithms.-Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 1976, 80, 233-248.

34. Popken J., Zur Transzendenz von 7r.-Math. Z., 1929, 29, 542-548.

35. Schneider T., Transzendenzuntersuchungen periodischer Functionen. l.-J. reine ang. Math., 1934, 172, 65-69.

36. Stark M., A Historical note on complex quadratic fields with class number one.-Proc. Amer. Math. Soc., 1969, 21, 216-221.

37. Tijdeman R., On the equation of Catalan.-Acta Arithmetiea, 1976, 29, 197209.

38. Vaaler J.D., A geometric inequality wiyh applications to linear forms, Pacific J.Math. 83(1979), 543-553.

39. Waldschmidt M., A lower bound for linear forms in logarithms. Acta Arithmetiea, 1979, 37, 257-283.

40. Waldschmidt M., Diophantine approximation on linear algebraic groups, Springer, 2000.

41. Вальдшмидт M. и Нестеренко Ю.В., О приближении алгебраическими числами значений экспотенциальной функции и логарифма, Мат. Записки т. 2(1996), 23-41.

42. Гельфонд А.О., О седьмой проблеме Гильберта.-ДАН СССР, 1934, 2, № 1, 1-6.

43. Гельфонд А.О., О приближении трасцендентных чисел алгебраическими. -ДАН СССР, 1935, 2, № 3-4, 177-182.

44. Гельфонд А.О., Трансцендентные и алгебраические числа. М.: ГИТТЛ, 1952.

45. Сегал Б.И., О целых числах с каноническим разложением определенного вида.-Изв. АН СССР. Сер. матем., 1939, 519-538.

46. Фельдман Н.И., Аппроксимация некоторых трансцендентных чисел 1.-Изв.АН СССР. Сер.матем., 1951, 15, 1, 53-74.

47. Фельдман Н.И., О мере трансцендентности числа 7г, Изв. АН СССР., Сер.мат., т.24, №3(1960), 357-368.

48. Фельдман Н.И., О приближении алгебраическими числами логарифмов алгебраических чисел, Изв. АН СССР.,Сер.мат.,т.24(1960),475-492.

49. Фельдман Н.И., Улучшение оценки линейной формы от логарифмов алгебраических чисел.-Матем. сб., 1968, 77(119), №3, 256-270.

50. Фельдман Н.И., Седьмая проблема Гильберта.М.изд-во МГУ, 1982.

51. Фельдман Н.И. Постоянная в оценке меры трансцендентности числа 7г. Диофантовы приближения. ч.1 изд-во МГУ, 1985.

52. Ходж В. и Пидо Д., Методы алгебраической геометрии; М.Наука, 1954.

53. Чудаков Н.Г., О верхней границе для десятого одноклассного дискриминанта мнимых квадратичных полей.-Сборник исследований по теории чисел. Саратовский Университет, 1969, вып. 3, 75-77.Работы автора по теме диссертации

54. Алексенцев Ю.М., О мере приближения числа 7г алгебраическими числами.// Матем. заметки, т. 66 (1999). вып. 4. с. 483—493.

55. Алексенцев Ю.М., Многочлен Гильберта и линейные формы от логарифмов алгебраических чисел.// Рукопись депонирована в ВИНИТИ 15.04.2005, № 515-В2005.