Арифметические свойства значений гипергеометрических функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Хессами Пилеруд, Татьяна Геннадьевна
- Специальность ВАК РФ01.01.06
- Количество страниц 83
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хессами Пилеруд, Татьяна Геннадьевна
Введение
1 Оценки линейных форм, зависящие от всех коэффициентов
1.1 О линейных формах от значений полилогарифмов
1.2 Приближения Паде для гипергеометрических функций
1.3 Оценки линейных форм.
2 О линейной независимости векторов с полилогарифмическими координатами
2.1 Построение линейных приближающих форм.
2.2 Верхние оценки остатков приближений.
2.3 Доказательства теорем 3 и 4.
3 О векторах с обобщенными полилогарифмическими координатами
3.1 Доказательство теоремы 5.
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическая логика, алгебра и теория чисел», 01.01.06 шифр ВАК
Об арифметических свойствах значений аналитических функций некоторых классов2009 год, доктор физико-математических наук Галочкин, Александр Иванович
Об алгебраических свойствах аналитических функций некоторых классов и их приложениях в теории трансцендентных чисел2020 год, доктор наук Горелов Василий Александрович
Арифметические свойства рядов некоторых классов в полях с неархимедовыми нормированиями2000 год, доктор физико-математических наук Чирский, Владимир Григорьевич
Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций2009 год, доктор физико-математических наук Иванков, Павел Леонидович
Свойства элементов прямых произведений полей2020 год, кандидат наук Матвеев Владимир Юрьевич
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Арифметические свойства значений гипергеометрических функций»
История вопроса. Пусть (01,., 0т) € 11т. В теории трансцендентных чисел и её приложениях важную роль играют оценки снизу для модулей линейных форм
ХО + Х101 +. + хтвт (0.1) где Х{ - целые рациональные числа. Оценки обычно получаются в виде функции от х = шах |жг-|. Рассматривают также и формы с алгебраическими коэффициентами х^ выражая оценивающую функцию через максимум высот коэффициентов. Лишь в очень немногих случаях удается получить оценки, зависящие от границ для каждого из %{.
Из метрических соображений [24] следует, что при любом е > 0 для почти всех в смысле меры Лебега точек 0 = (01,., 0т) £ Г1т существует постоянная с = с(0,е) > 0 такая, что для любого ненулевого вектора х — (жо, #1, • • • > %т) £ Zm+1 справедливо неравенство: ш х0 + Хгвг + . + хтет\ > с • Д ^ • (Ь(1 + х)Ут-£, (0.2) г=1 где Х{ = тах(1, х = тах Х{.
1 <г<т
В настоящее время не известно ни одного набора чисел 0, для которого выполнялось бы неравенство (0.2). Вместе с тем для любой положительной и сколь угодно быстро убывающей функции (р(х), х 6
И,х>0, существуют точки в, для которых неравенство х0 + Х\в\ + . + хтвт I < (р(х) имеет бесконечное число решений х £ Zm+1.
Методы теории трансцендентных чисел позволяют получать оценки снизу для модуля величины (0.1), близкие по порядку к оценкам (0.2), при специальном выборе 9. В качестве чисел 01,., 0т можно рассматривать значения аналитических функций
00
ЛИ = £ с?>Л с,-„ е з = 1,., Ш, п е N и {о}, п=О в ненулевых рациональных точках ^ 6 N.
Нас будут интересовать значения обобщенных гипергеометрических функций.
Определение 1. Пусть <21,., ар, 61,., Ьд - комплексные числа, отличные от нуля и отрицательных целых чисел. Обобщенная гипергеометрическая функция определяется рядом
Ч,. А g (fll)n • • ■ Ып (0 3) n=0 (h)n ■ • • (bq)n П !' где (а)о = 1 и (а)п = а • (а + 1) • • • (а + п — 1) при п > 1.
При р < q этот ряд определяет целую функцию, в случае р = q+1 радиус сходимости ряда (0.3) равен 1, а в случае р > q + 1 этот ряд расходится.
Большинство специальных математических функций является гипергеометрическими функциями. Например, ez — oFo( |z),
1 + z)a = iF0(-a; -г), 1п(1 - z) = -z • 2FX
OO zn / ^ 1 \
Lk{z) = ^ = Z'k + lFk\2,Z',2Z)z
Гипергеометрические функции (0.3) дают множество примеров так называемых Е- и в-функций Зигеля. Определение 2. Аналитическая функция
00 zn f(z) = Е ¿п. п=0 гь\ называется Е-функцией, если она удовлетворяет следующим условиям
1) сп € К, п = 0,1, 2,., где К - поле алгебраических чисел конечной степени над С^;
2) для некоторой константы С сп\ = 0(Cn), п —оо, где через |а| обозначен максимум модулей чисел, сопряженных с а над полем Q;
3) существует последовательность {qn}, qn £ N, такая, что QnCk £ ZK, & = 0,1,. .,те, 71=1,2,. и qn = 0(Cn), ti У оо.
Данное определение E-функции было введено С. Ленгом [44] и несколько отличается от классического определения Зигеля. Однако, все известные E-функции (в смысле Зигеля), являющиеся решениями линейных дифференциальных уравнений, удовлетворяют определению 2.
Определение 3. Аналитическая функция
00 п
М = Е cnZ п=О называется С- функцией, если выполнены условия 1)-3) из определения 2.
Всюду в дальнейшем считаем, что параметры а\,., ар, 61,., Ьч обобщенной гипергеометрической функции (0.3) рациональны. Так при р < д функция является Е-функцией (см. [32, гл. 5, §1]). При р = д + 1 гипергеометрическая функция (0.3) принадлежит к классу С-функций.
В 1929 г. К. Зигель в работе [45] разработал метод доказательства трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций. В дальнейшем этот метод был существенно усовершенствован А. Б. Шидловским (см. [32]) и получил название ,,метод Зигеля-Шидловского".
Этот метод может быть также применен для получения оценок линейных форм, зависящих от всех коэффициентов. Первая оценка подобного типа была получена А. Бейкером в 1965 году в [35] для значений функций ег в различных рациональных точках. Теорема ([35]). Пусть а\,., ат - различные ненулевые рациональные числа. Тогда для любых целых отличных от нуля чисел хт справедливо неравенство положительные числа, зависящие только от а\,., ат.
Важную роль в доказательстве результатов такого рода играют функциональные приближающие формы, так называемые прибли-Эрмита-Паде или близкие к ним. где х = т< 1
В некоторых случаях существуют эффективные способы построения функциональных приближающих форм, позволяющие получать более точные оценки.
Определение 4. Пусть д > 1 и /о(я),. - аналитические в точке г = 0 функции, не все равные нулю в этой точке, щ,. ,пд- целые неотрицательные числа, N = щ +. + пд. Нетривиальная совокупность многочленов Ро(г),., Рд(г) с условиями называется приближениями Эрмита-Паде первого рода. Нетривиальная совокупность многочленов Ао(г),., Ад(г) с условиями называется приближениями Эрмита-Паде второго рода.
Символ огс1 обозначает кратность нуля в точке г = 0 функции Р(г)).
В ряде случаев эффективные конструкции приближений Эрмита-Паде позволяют получать результаты более точные, чем с помощью метода Зигеля-Шидловского.
Используя приближения Эрмита-Паде первого рода, Н. И. Фельдман в 1967 году в работе [25] получил результат, подобный теореме Бейкера для единицы и значений функций <р\г (г),., (р\т (г), где я огаЕВД-ЛМ >N-1, г=0 й^А^г) <И-щ, г = 0, ог(1 (4 (*)/,-(*) - А^(г)Мг)) > 1 + ТУ, 0 <i<j<q, в рациональной точке а, а ф 0.
Теорема ([25]). Пусть а есть рациональное число, отличное от нуля, a Ai,., Am суть различные рациональные числа, отличные от отрицательных целых. Тогда существует такое положительное со = co(Ai,., Am, а), что для любых целых рациональных х\,., хт, у, х\ + . + х^ > 0, выполняется неравенство
Х1Ы<*) + WA» + . + xm<fXm(a) +У\>
X = х\ - • ■ хт, Xi = max(|^|, 1).
Полученная оценка имеет точный главный член в показателе при X и остаточный член вида со/ In ln X, что точнее величины и/ Vin ln X в оценке Бейкера.
Отметим, что перечисленные результаты относились к оценкам линейных форм от значений целых гипергеометрических Е-функ-ций. Оценки подобного типа можно получать и для значений гипергеометрических функций с конечным радиусом сходимости (G-функций) в рациональных точках, достаточно близких к нулю. Одна из известных работ в этом направлении — работа Н. И. Фельдмана 1972 г. [26] о значениях функций п=0 п + ai аг \ОЧ + 1 1, г = 1,.,ш. (0.4)
Теорема ([26]). Пусть а>1,.,ат отличные от нуля и отрицательных целых рациональные числа, несравнимые по модулю 1, е > 0, К - мнимое квадратичное поле. Существует постоянная 7 > 1, зависящая лишь от ., ат, е, такая, что если а и Ъ -целые числа поля К, удовлетворяющие условию
7|а|т+1 < \Ь\£^т+1+т£\ то для любых целых чисел хо, х\,., хт поля К, удовлетворяющих условию хг'• •хт\ = X > Хо > О, где эффективная постоянная Хо зависит лишь от а., ат, е, а и Ъ, справедливо неравенство ко + хфг + . + хтрт\ > Х~г~£, (Зк = ¡к ^ .
Эта оценка также получена с помощью приближений Паде первого рода для функций (0.4).
Результат [26] был обобщен В. Н. Сорокиным в [23], доказавшим подобную оценку для линейной формы от значений функций а0 где , 1 <г<т, (0.5) о;0,., ат е Q, а0,., ат > 0, оцф aj (mod 1), 1 < i < j < т.
При ао — 1 функции (0.5) совпадают с функциями (0.4). Теорема ([23]). Пусть ао, «ь • • • > ат ~ положительные рациональные числа, причем ai,.,am попарно несравнимы по модулю = а/Ъ, где а и Ъ - целые числа мнимого квадратичного поля I, отличные от нуля; г > 0. Тогда существует постоянная 7 > 1, такая, что если а и Ъ удовлетворяют условию то для некоторой эффективной постоянной Хо > 0 и для любых целых чисел хо, х\,., хт поля I таких, что
X = |ж! • • -хт\ > Х0, справедливо неравенство ко + хф\ + . + хт(Зт\ > Х'1'6,
С).
Доказательство этой теоремы основано на эффективной конструкции приближений Паде второго рода для функций (0.5).
В 1975 году в [7] А. И. Галочкин с помощью метода Зигеля-Шидловского получил оценки линейных форм, учитывающие рост всех коэффицентов, от значений С-функций, каждая из которых является решением линейного дифференциального уравнения первого порядка с коэффициентами из С (г) и удовлетворяет так называемому С-свойству, в точках вида 1/д, где д е N. В качестве следствий были получены оценки линейных форм от чисел 1, 1п(1 + ai/q) г = 1,., га, а также оценки линейных форм от чисел 1, (1 + а1 /чУ1 •••(! + <^т1ч)Ут1 Для различных наборов (г^,., г/т), щ £
Эп[о, 1).
В 1976 г. К. Ваананен [46] обобщил теорему Бейкера [35] на множество значений функций
1, </?д(с^;г), 1 < % < га, А е Q\Z; ах,., ат - различные ненулевые рациональные числа. Его функция е{К) имела тот же вид, что и в теореме Бейкера. В [47] К. Ваананен доказал результат, подобный теореме Галочкина [7] для значений Е-функций, линейно независимых над С (г) и имеющих тейлоровские коэффициенты из мнимого квадратичного поля. При этом каждая из Е-функций является решением линейного дифференциального уравнения первого порядка с коэффициентами из О (г).
Общая задача, по-видимому, может быть сформулирована следующим образом. Найти по возможности менее обременительные условия на функции /1(2),., /т(г), при которых справедливо утверждение.
Пусть /х(^),., — Е-функции с рациональными тейлоровскими коэффициентами, каждая из которых является решением некоторого линейного дифференциального уравнения с коэффициентами из С(^). Тогда для любого е > 0 и любого ненулевого а €Е существует постоянная со = со(е, ск, /ъ • • • ? /ш) > 0 такая, что для любого ненулевого набора целых чисел х1,.,хт с условием х = тах(|ж1|,., \хт\) > со имеет место либо
Ж1/1Н Н----+ хт/т{а) = О, либо x\hipi) +----\-хт/т{а)\ > \Х1 • • -хт\~1 • х1-е.
В 1984 г. Г.В. Чудновский [36] предложил оригинальную конструкцию так называемых градуированных приближений Паде и попытался доказать подобное общее утверждение при некоторых условиях. Однако, доказательство содержало существенный пробел (см. [12]). Дальнейшее развитие метода градуированных приближений Паде позволило получить оценки меры иррациональности Е- и С-функций (см. [13], [14]) и доказать сформулированное утверждение при некоторых достаточно жестких дополнительных ограничениях на функции /1(2),., /т(г) (см. [15]). Отметим, что конструкции градуированных приближений Паде неэффективны.
Формулировки основных результатов. В диссертации получены новые результаты об оценках линейных форм с целыми коэффициентами от значений в рациональных точках гипергеометрических функций с конечным радиусом сходимости. Эти оценки учитывают рост всех коэффициентов линейной формы. Рассмотрим функции
00 гп
1*1 ^
Ьк(г) = 1*(0;г). (0.6)
В работе Е. М. Никишина [21] построены приближения Паде первого рода для набора функций 1 к = 1,.,т, в окрестности точки ^ = оо. Они задаются интегралами
1 г - 1). - тп - д + 2) /~1\*
2тН (£ + 1)т . . . (г + п)т(£ + 71+1)9 V г / 8Ш7Г* ~
Иб ^— 2
1 и/ где д 6 К, 1 < д < т; многочлены, degА; (г) < п, ] = degА, (г) < п - 1, д < з < тп.
Из этой конструкции вытекает
Теорема ([21]). Пусть Ь Е Z, а £ И, | < 0, и выполнено неравенство
6| > ат+1 • ехр{(т — 1)(т1пга + 2т1п2)}, тогда числа 1, (а/6),., Ьт(а/Ь) линейно независимы над С^. Отсюда можно получить также оценку снизу для модуля линейной формы с целыми коэффициентами от чисел 1, £&(§), к = 1,., т, зависящую от максимума модуля коэффициентов формы.
Обобщение конструкции Е.М. Никишина приводит к построению приближений Паде первого рода для функций Ь^г), к = 1,., т, для любых натуральных щ,. ,пт с условием щ < П2 < . < пт. Пусть щ,. ,пт- натуральные числа, т
П1<.<пт, п= (пЪ .,Пт), ЛГ+ 1 = + 1).
1=1
Тогда существуют многочлены Рщз = 0,1,., га, с с!еёРп^(г) <Пу, 1 < з < т, degPnfi(z) <пт- 1, такие, что т
1/=1 №1 + 1---И»»т+1 ¿=1
Приближения Паде, выписанные выше, позволяют получить оценки линейных форм от значений полилогарифмов Ь^г) в рациональной точке, зависящие от всех коэффициентов.
Теорема 1 Пусть г = Ь/а, Ь Е Ъ, абК, ат+1 ехр {т(т - 1) 1п8т + га2} < |Ь|.
Тогда существует такая постоянная с = с(а, Ь, т) > 0, что для любых целых чисел хо,х\,. ,хт, в совокупности отличных от нуля, и х\ > тах(1, г = 1, .,т, удовлетворяющих условию < Х2 < • ■. < хт, справедливо неравенство
Х0 + XI • Ьт + • • • + Хт • 1/1 с(х 1 • • • Хт) • X 8 т ' т(т+1) 1п а+то31п8т+т2(т+1) гое д— 1Пщ-{тп+1)Ыа-т(т-1)Шт-т2,
Следствие 1 Пусть Ъ Е Z, £ > О,
6|е/(т+е) > а™+1 еХр {т2 1п 8т + т(т + 2)}.
Тогда для любого нетривиального набора целых чисел хо, х\,., и чисел х\ > тах(1, г = 1,., т, удовлетворяющих условиям
XI < Х2 < . < Хт, хт > х0 = Хо(а, 6) > О, справедливо неравенство хо + XI • Lm i^j + . + хт ' Li f^ х~£ тп •
Доказательству этих утверждений посвящен §1 гл.1 диссертации.
Дальнейшее развитие идей работы приводит к рассмотрению значений гипергеометрических функций оо где «1, ßi,., ßm - рациональные числа.
Введем обозначения. Пусть den£ Е N обозначает знаменатель несократимой дроби Для к € N определим и к 1 е ip(k) r=1 г г,*)=1 где ip - функция Эйлера.
Аппроксимации Паде, задаваемые рядом и — 1). (и — N) f(UA п м
Ъ JÖT- ■ (о , 7Л-(о , ,л--* - Е Qn,j • J3\MZ) - Qn,0{Z) v=l \.P\)v + V)n 1+1 • • • (An + V)nm+1 j=1 где т nb.,nmeN, щ = max{ni,. ,пт} , iV + 1 = (щ + 1), г=1
Qn,j(z) G Q[z], degQn,j{z) < rij, 1 < j < m, degCfooM < - 1, приводят к следующей теореме.
Теорема 2 Пусть cüx, ßi,., ßm G Q \ {0, —1, —2,.} и числа ßi — ßj, 1 + ßi — а\ (г, j = 1,., m, г ф j) отличны от нуля и отрицательных целых, а\ = den ах, 6j- = den^-, 6fj = den(/9< - /??), ai,i = den(c»!i - Д-), i,j = l,.,m, гфу, m / m ч
A;=l /=1 7
1фк p простое p простое
Пусть, далее, b G Z, a G N u выполнено неравенство
6| > am+1 • exp{(m - 1)(min4m + In4) + mF}.
Тогда существует такая постоянная С = С (а i,ßi,., ßm, а, 6) > О, что для любых целых чисел жо, жх,., жт, б совокупности отличных от нуля, имеет место неравенство т
Хо + £ Xifi(a/b) > С(XI' • • хт)-1 • хг~ , i=1 где Х{ > тах{1, |ж$|}, г = 1,., т, жх = тах{жх,., жт}, т(т + 1) Ina + т(т + + т3 In4т + т2 In4 In |Ь| — (т + 1) In а — mF — (т — 1) (т In 4т + In 4)'
Следствие 2 Пусть 6 6 2,а е N,6 > определено в теореме 2, ат+1 -ехр{т21п4га + (т + 1)(Т + 1п4)}.
Тогда для любого нетривиального набора целых чисел жо, х\,., п чисел Хг > тах{1, |жг-|}, г = 1,.,га, удовлетворяющих условиям хг = тах{жь ., хт}, хг>Х0 = Х0(аь ., /?т, а, Ь) > О, справедливо неравенство т
0 + Е я»/г(а/&) > • • • жт)-1 • £. 1
Доказательства этих результатов составляют содержание §2, §3 гл.1. Из следствия 2 при а1 = (3\ следует теорема из работы [26].
Оценки линейных форм с целыми коэффициентами от значений обобщенных гипергеометрических функций (0.3), зависящие от максимума модуля коэффициентов формы, получены П.Л. Иванковым в работах [16, 17, 18]. Теорема 2 усиливает и уточняет результаты работ [16, 17] для значений гипергеометрических функций в рациональной точке а/Ь.
Метод Зигеля-Шидловского в применении к С-функциям даёт возможность получать арифметические результаты только в точках достаточно малых по модулю. В тех случаях, когда удается построить явные приближения Эрмита-Паде для заданных функций, область изменения аргумента можно расширить. Однако, об арифметической природе значений в-функций в точках, далёких от нуля, например, лежащих на границе круга сходимости, информации пока очень мало.
Хорошо известно [1], что
00 1 , (27г)2к где В2к £ Q- числа Бернулли. Так, например, £2(1) — ^/б, 1/4(1) = 7г4/90. Эти выражения доказывают трансцендентность значений функций Ь2к{%) в точке 2 = 1, лежащей на границе круга сходимости. Эти значения линейно независимы в совокупности над полем
В 1978 г. Р. Апери в работе [34] доказал иррациональность числа
00 1
С(з) = Е -з = ¿3(1). п=1 ,ь
Об арифметических свойствах значений дзета-функции в нечетных точках до результата Р. Апери не было известно ничего. Появление работы Апери стимулировало интерес к изучению арифметических свойств значений полилогарифмов Ьк(г).
После работы Е. М. Никишина [21] о линейной независимости значений функций (0.6) в достаточно малой рациональной точке появились статьи Л. А. Гутника [9] и М. Хаты [39] о функциях Ьк(г) и Ьк(оц\г). В этих работах утверждения о линейной независимости значений полилогарифмических функций распространены на более широкие множества точек. Из работы Л. А. Гутника [9], например, следует, что при |6| > в^е^-а^1 система 1, Ь\{а/Ь),., Ь8(а/Ь) линейно независима над С^. Доказательства этих работ основаны на построении приближений Эрмита-Паде второго рода к функциям Ьк(г) и Ьк{аиг).
В работах О.Н. Василенко [2, 3, 4] с помощью эффективного построения линейных форм с порядком нуля, близким к максимальному, получены при некоторых условиях оценки снизу для меры линейной независимости значений функций вида г) в одной или нескольких рациональных точках, а также при где К - мнимое квадратичное поле.
В [5, 6] построены функциональные приближения с высоким порядком нуля для наборов функций, включающих в себя логарифмические функции и разности дилогарифмических функций, и получены оценки снизу для диофантовых приближений значений этих функций в достаточно малой рациональной точке.
Исследование значений полилогарифмов привело к появлению ряда работ, где построены хорошие приближения к некоторым гипергеометрическим функциям. Отметим работы [40, 42, 43], в которых получены новые оценки для меры иррациональности значений логарифмических функций.
Изучению свойств чисел 2^(1) посвящена работа [8], в которой доказывается
Теорема ([8]). Пусть д е д -ф 0. Тогда среди чисел
ЗС(3) + <?-С(2), С(2) + 2д • 1п2 имеется иррациональное.
Эта теорема равносильна утверждению о линейной независимости над четырёх векторов: зс(з)\ /1\ /о\ с(2)]' \2Ъ2)' VI/'
Возникает вопрос о возможности обобщения этого результата на векторы произвольного р-мерного пространства. Ответ на этот вопрос даётся в гл.2 диссертации, которая содержит новые результаты о линейной независимости над р-мерных векторов, координаты которых - значения функций или и единичных векторов пространства Rp. В теореме 3 рассматриваются значения полилогарифмов в положительных рациональных точках, в теореме 4 — в отрицательных.
Теорема 5 распространяет результаты теорем 3 и 4 на векторы с обобщенными полилогарифмическими координатами.
Теорема 3 Пусть р Е N,
Q+ = min [q Е N : vV/p - 1 + \f(F* > е1"1^}, щ = (сЦ-и(\1ч), C^-L^il/g), ., ci+-;2-Vi(i/g))GRp, i = 1,
Тогда длл любого натурального q > фр никакая нетривиальная Q-линейная комбинация векторов äi,. , öp we лежит в Qp.
Теорема 4 Пусть р Е N,
Qp = min jg Е N : е2^1 < (A9iPi + gVp + vV/2pj\p-i)p}, где (l + g2^-2g^cos^)1/2, Д^х = (g^-cos^ + A^i)1'2; 3, = (Cti-^i-l/g), Cf ^(-l/g),., Cl-l^L^-l/q)) E
Тогда для любого натурального q > Q~ никакая нетривиальная Q-линейная комбинация векторов Щ,. ,ар не лежит в Qp.
Замечание. Для величины Q®gn^ справедливы следующие неравенства
Q~ < Qt < ер.
Ранее более общая задача о линейной независимости т векторов пространства 11п щ = (Ь^а/Ь), Ьг+1(а/Ь),., Ьг+п-1(а/Ь)^, г = 1,.,га, рассматривалась в работах Л.А. Гутника [10, 11]. В нашем частном случае (т = п = р) способ построения и оценки линейных приближающих форм отличается от предложенного в [10, 11] . В результате получена лучшая граница для величин С.
Теорема 5 Пусть р, I е /3Ъ./3Р£С1П [0; 1);
00 ZK
Пусть М - наибольший из знаменателей рациональных чисел Д- — r ßc,
Т=£( Indens + £ j=1 V p'ldenßj V — V p' простое
Q+ = min [q G N : eM^+T < (yfq^1 +
Q; = minjg G N : eM^+T < + qV* + V^q^B^f], где числа AqyP-i, Bq>p-1 определены в теореме 4. Пусть kj = #{1 <l<j:ßi = ßj}, 1 <3<P\ bi = (c\zl+klLi- 1+aJA; 1/9)> • • • > Cli-2+kpLi-i+kp(ßp', 1/9)), г= l,.p.
Тогда для любого целого q, |g| > Qpm^q\ никакая нетривиальная Q-линейная комбинация векторов fei,., bp не лежит в Qp.
Теоремы 3 и 4 дают множество интересных следствий. При р из теорем 3 и 4 находим
Qt = min {g Е N : е3 < ((^ - l)1/2 + ^д)4} = 3,
Qä =min{g€N : е3 < + Jq + V/2g1/4(^+ Jl + q)1/2)2} что позволяет сформулировать
Следствие 3 Для любого натурального q > 3 векторы
Щ = (li(l/д), L2(l/g)), а2 = (£2(1/д), = (1, 0), ё2 = (0, 1) линейно независимы над Q.
Следствие 4 Для любого натурального q векторы
Щ = (¿i(-l/g), L2(-l/д)), аз = (b2(-l/g), 2L3(-l/g)), ei = (1, 0), ё2 = (0, 1) линейно независимы над Q.
Утверждение следствия 4 при q — 1 — результат работы [8]. В частности, из следствия 3 легко получаем
Следствие 5 Для любого натурального q > 3 одно из чисел £з(1/д), L2(l/g) иррационально.
Про арифметическую природу каждого из этих чисел при g > 1 и не очень большом почти ничего не известно. В работе М.Хаты [41] доказывается иррациональность значений L2( 1/k) для целых к 6 (—оо, -5] и [7, +оо).
В случае р = 3 из теорем 3 и 4 находим е5 < (^д1/3 - 1 + = 7,
Яъ = 4, что дает
Следствие 6 Для любого натурального д > 7 никакая нетривиальная 0,-линейная комбинация векторов щ = (¿1(1/<г),1,2(1Д?),ь3(1/9)), 32 = (ь2(1/д),2ь3(1/д),314(1/д)), аз= (Ьз(1/д),ЗЬ4(1/д),6Ь5(1/д)) ме лежит в С}3.
Следствие 7 Длл любого натурального д > 4 никакая нетривиальная -линейная комбинация векторов
Щ = (^(-1/д), Ь2(-1/д), Ьъ{- 1/д)),
2 - (ь2(-1/д), 2^3(-1/9), 3£4(-1/д)), а3 - (¿з(-1/«), 3£4(-1/д), 6Ь5(-1/д)) не лежит в С^3.
Следствие 8 Для любого натурального д > 7 среди чисел Ь^(1/д), £4( 1/д), £з(1/д), имеется иррациональное.
Следствие 9 Для любого натурального д > 4 среди чисел 1^5(—1/д), £4(—1/д), Хз(—1/д), имеется иррациональное.
В заключение выражаю глубокую благодарность научному руководителю профессору Ю.В. Нестеренко, оказавшему большое влияние на мои занятия математикой.
Похожие диссертационные работы по специальности «Математическая логика, алгебра и теория чисел», 01.01.06 шифр ВАК
Арифметические приложения теории гипергеометрических рядов2011 год, кандидат физико-математических наук Пупырев, Юрий Александрович
Теорема Апери и задачи для значений дзета-функции Римана и их \&\ i \@\ q \&\ /i \@\ - аналогов2014 год, кандидат наук Зудилин, Вадим Валентинович
Об оценках линейных форм и многочленов от значений аналитических функций некоторых классов1983 год, кандидат физико-математических наук Макаров, Юрий Николаевич
Диофантовы приближения в логарифмических пространствах2003 год, доктор физико-математических наук Матвеев, Евгений Михайлович
Аппроксимации Эрмита-Паде и обобщенные системы Никишина в теории диофантовых приближений и в теории динамических систем2003 год, доктор физико-математических наук Сорокин, Владимир Николаевич
Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хессами Пилеруд, Татьяна Геннадьевна, 1999 год
1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.1 - М.: Изд-во «Наука», 1965.
2. Василенко О.Н. Арифметические свойства значений полилогарифмов // Вестн.Моск.Ун-та. Сер.1. 1985. №1. С.42-45.
3. Василенко О.Н. О приближении гипергеометрических функций и их значений // Сб. Диофантовы приближения. 4.1. Изд. Моск. Ун-та. 1985. С.10-16.
4. Василенко О.Н. О линейной независимости значений некоторых функций // Сб. Диофантовы приближения. 4.2. Изд. Моск. Унта. 1986. С.3-12.
5. Василенко О.Н. Диофантовы приближения значений полилогарифмических функций // Матем. записки. 1996. Т.2. С. 43-48.
6. Василенко О.Н. О приближении разностей дилогарифмов и их значений в рациональных точках // Вестн. Моск. Ун-та. Сер.1. 1997. №1. С.10-12.
7. Галочкин А. И. Оценки снизу линейных форм от значений некоторых С функций // Матем. заметки. 1975. Т. 18. №4. С. 541-552.
8. Гутник JI.A. Об иррациональности некоторых величин, содержащих С(3) // Acta Arith. 1983. V. 42. №. Р.255-264;// УМН. 1979. Т.З. №3. С.190.
9. Гутник JI.A. О линейной независимости над Q дилогарифмов в рациональных точках // УМН. 1982. Т. 37. №5. С.179-180.
10. Гутник JI.A. О мере иррациональности дилогарифмов в рациональных точках // Деп. ВИНИТИ. 1984. №4345-84. С.1-74.
11. Гутник JI.A. О ранге над Q некоторых вещественных матриц // Деп. ВИНИТИ. 1984. №5736-84. С.1-31.
12. Зудилин В.В. Об алгебраической структуре функциональных матриц специального вида // Матем. заметки. 1996. Т.60. №6. С.851-860.
13. Зудилин В.В. О рациональных приближениях значений одного класса целых функций // Матем.сб. 1995. Т.186. №4. С.89-124.
14. Зудилин В.В. О мере иррациональности значений G-функций // Известия РАН. Сер. Матем. 1996. Т.60. №1. С.87-114.
15. Зудилин В.В. Об оценках снизу многочленов от значений некоторых целых функций // Матем.сб. 1996. Т.187. №12. С.57-86.
16. Иванков П.Л. Оценки снизу линейных форм от значений гипергеометрических функций // Сб. Диофантовы приближения. 4.2. Изд. Моск. Ун-та. 1986. С.34-41.
17. Иванков П.Л. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций // Матем.сб. 1991. Т.182. №2. С.283-302.
18. Иванков П.Л. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций с различными параметрами // Ма-тем.заметки. 1992. Т.52. №6. С.25-31.
19. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике // Москва. Наука. 1968.
20. Нестеренко Ю.В. Некоторые замечания о £(3) // Матем. за-метки.1996. Т.59. №. С.865-880.
21. Никишин Е.М. Об иррациональности значений функций F(x, s) 11 Матем.сб. 1979. Т.109(151). № (7). С.410-417.
22. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции // Москва. Наука. 1978.
23. Сорокин В. Н. Об иррациональности значений гипергеометрических функций // Матем. сб. 1985. Т. 127(169). №2(6). С.245-258.
24. Спринджук В. Г. Метрическая теория диофантовых приближений. М.: Наука, 1977.
25. Фельдман Н. И. Оценки снизу для некоторых линейных форм // Вестн. Моск. Ун-та. Сер.1. 1967. №2. С.63-72.
26. Фельдман Н. И. Об одной линейной форме // Acta Arith. 1972. V.21. Р.347-355.
27. Фельдман Н. И. Седьмая проблема Гильберта М.: Изд-во МГУ, 1982.
28. Хессами Пилеруд Т. Г. Оценка снизу одной линейной формы // Матем. заметки. 1999. Т.66. №4. С.617-623.
29. Хессами Пилеруд Т. Г. О линейной независимости векторов с полилогарифмическими координатами // Вестн. Моск. Ун-та. Сер.1. 1999. №6. С.47-50.
30. Хессами Пилеруд Т. Г. О мере линейной независимости значений гипергеометрических функций // Деп. ВИНИТИ. 1999. №1036-В99. С.1-17.
31. Хессами Пилеруд Т. Г. О линейной независимости векторов с полилогарифмическими координатами // Деп. ВИНИТИ. 1999. №1873-В99. С.1-25.
32. Шидловский А. Б. Трансцендентые числа- М.: Наука, 1987.
33. Alladi К., Robinson M. Legendre polynomials and irrationality // J. Reine Angew. Math. 1980. V.318. R137-155.
34. Apéry R. Irrationalité de C(2) et £(3) // Astérisque. 1979. V.61. RI 1-13.
35. Baker A. On some Diophantine inequalities involving the exponential function // Can. J. Math. 1965. V.17. R616-626.
36. Chudnovsky G. V. On some applications of Diophantine approximations // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1984. V.81. P. 1926-1930.
37. Chudnovsky G. V. Applications of Padé approximations to Diophantine inequalities in values of G- functions // Lect. Notes Math. 1985. V.1135. P.9-51.
38. Fel'dman N. I., Nesterenko Yu. V. Transcendental Numbers. Number Theory IV. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. V.44. Eds.: A. N. Parshin, I. R. Shafarevich. Springer, 1998.
39. Hata M. On the linear independence of the values of polylogarithmic functions // J. Math, pures et appl. 1990. V.69. P.133-173.
40. Hata M. Irrationality measures of the values of hypergeometric functions // Acta Arithmetica. 1992. LX.4. P.335-347.
41. Hata M. Rational approximations to the dilogarithm // Trans. Amer. Math. Soc. 1993. V.336. №1. P.363-387.
42. Heimonen A., Matala-aho T., Väänänen K. On irrationality measures of the values of Gauss hypergeometric function // Manuscripta Math. 1993. 81. P.335-347.
43. Heimonen A. On effective irrationality measures for some values of certain hypergeometric functions // Acta Univ. Oul. 1997. A290.
44. Lang S. Introduction to Transcendental Numbers. Reading: Addison Wesley Publishing Co., 1966.
45. Siegel C.L. Uber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen // Abh.Preuss.Akad.Wiss.Phys.-Math.Kl. 1929/1930. №1. P. 1-70
46. Väänänen K. On lower estimates for linear forms involving certain transcendental numbersBull.Aust.Math.Soc. 1976. V.14. P.161-179.
47. Väänänen K. On linear forms of the values of one class of E-functions. Acta Univ. Ouluen. Ser.A. 1976. №41. P. 1-19.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.