Арифметические свойства рядов некоторых классов в полях с неархимедовыми нормированиями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Чирский, Владимир Григорьевич

• Чирский, Владимир Григорьевич
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Чирский, Владимир Григорьевич

§ 1 .Введение.Общие теоремы метода Зигеля-Шидловского об арифметических свойствах значений Е-и в- функций в алгебраических точках стр.

§ 2.Формулировки общих теорем о глобальных соотношениях для Е-рядов стр.

§ 3.Гипергеометрические Е-функции стр.

§ 4.Формулировки теорем о свойствах значений гипергеометрических рядов стр.

§ 5.Базисные гипергеометрические ряды. Функциональные уравнения стр.

§ 6.Арифметические свойства элементов Ор стр.

Глава!. Доказательства общих теорем о глобальных соотношениях для Е-рядов стр.

§ 1 .Предварительные сведения стр.

§ 2.Свойства Б-рядов стр.

§ 3.Некоторые свойства линейных и дробно-линейных форм стр.

§ 4.0сновная лемма метода Зигеля-Шидловского о порядке нуля линейной формы стр.

§ 5.Определитель системы линейных форм стр.

§ б.Числовая матрица стр.

§ 7.Построение первой приближающей формы стр.

§ 8.0ценки для приближающих форм стр.

§ 9.Доказательство теорем 1 и 2 стр.

§ 10.Нетривиальные соотношения. Доказательство теоремы

§ 11 .Ряды, алгебраически независимые во всех локальных полях

§ 12. Доказательства теорем 4 и 5 стр.

Глава 2.Доказательства теорем об арифметических свойствах гипергеометрических рядов стр.

§ 1 .Гипергеометрические Р-ряды стр.

§ 2.Ряды с иррациональными параметрами стр.

Глава 3. q -базисные ряды. Свойства решений функциональных уравнений стр.

§ 1. Доказательство теоремы 10 стр.

§ 2.Линейная независимость р-адических значений некоторых ц-базисных гипергеометрических рядов стр.

§ 3 .Функциональные уравнения стр.

Глава 4.Алгебраическая независимость над Ор элементов Ор

§ 1 .Доказательство теорем 13 и 14 стр.

§ 2. Доказательство теоремы 15 стр.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Арифметические свойства рядов некоторых классов в полях с неархимедовыми нормированиями»

§1. Введение. Общие теоремы метода Зигеля-Шидловского об арифметических свойствах значений Е- и G-функций в алгебраических точках

В 1873 году Ш.Эрмит создал аналитический метод, используя который ему удалось доказать трансцендентность одной из классических постоянных в математике - числа е. Напомним, что число а называется алгебраическим, если оно является корнем отличного от нуля многочлена Р(х) = апхп +.+ахх + а0 с рациональными коэффициентами. Комплексное ( в частности, действительное) число а называется трансцендентным, если оно не является алгебраическим.

Развивая метод Эрмита, Ф.Линдеман в 1882 году доказал трансцендентность числа ж , тем самым получив отрицательное решение проблемы квадратуры круга. Линдеман сформулировал, а К. Вейерштрасс доказал теорему, которая полностью решала вопрос о трансцендентности и алгебраической независимости значений показательной функции в алгебраических точках. Комплексные числа аа т называются алгебраически зависимыми, если существует отличный от тождественного нуля многочлен Р(х,,.,хи)с рациональными коэффициентами, для которогоР(а а т) =0. В противном случае эти числа называются алгебраически независимыми ( в частности, каждое из этих чисел является трансцендентным ).Теорему Линдемана-Вейерштрасса можно сформулировать так: если Л — рациональное число, отличное от половины нечётного числа, 0, алгебраическое число, то числа КХ(£),К'Х(£)~ алгебраически независимы.

Кроме того, была установлена теорема об алгебраической независимости множества 2тп чисел{АГ^ (£), К^ (£)} при следующих условиях: рациональные значения параметров 1 р} =1,.,т отличны от половины нечётного числа и таковы, что х^ ± при различных ]х,}г не являются целыми числами, а £„-- отличные от нуля алгебраические числа, квадраты которых различны. Аналитическая функция называется Е-функцией, если существует некоторое алгебраическое числовое поле К конечной степени над полем О рациональных чисел такое, что 1К еК, л = 0,1,.,

2)Для любого £->0 с„| = <Э(ит),/7-*сс. где для алгебраического числа а символ |а | обозначает наибольшую из абсолютных величин самого числа а и всех алгебраически сопряжённых с ним чисел.

3) Существует последовательность натуральных чисел такая, что даск - кольцу целых чисел поля К, к = 0,1,щп- 0,1,2,. и

Если а х,.,а т — алгебраические числа, линейно независимые над полем рациональных чисел, то е е"" — алгебраически независимые числа.

Метод Эрмита- Линдемана основан на двух важных свойствах показательной функции :

1) ех удовлетворяет теореме сложения /(х + .у) = /(*)/(>>) ,

2) ех является решением дифференциального уравнения У' = У

После создания метода Эрмита-Линдемана возникла естественная проблема его распространения на другие функции, удовлетворяющие более общим дифференциальным уравнениям.

Развивая и обобщая этот метод , К. Зигель [87]в 1929 году предложил новый метод доказательства трансцендентности и алгебраической независимости значений в алгебраических точках аналитических функций некоторого класса, названных им Е-функциями, содержащего, в частности, е2. Основной результат ; полученный К.Зигелем в работе [87] относится к функции

-1)" \ 1п 2 я=0 л!(\ +1).(Х + п)

2) удовлетворяющей линейному дифференциальному уравнению второго порядка

2Х + 1 у" +—— У' + У =0

Функция Кх(г) отличается от известной функции Бесселя гдеГ(г)- функция Эйлера,

А О) только множителем 1

Г \2Х г

Г(Х + 1) и; аK0(z)=J0(z). К.Зигель доказал следующую теорему:

Простейшие примеры Е-функций - многочлен с алгебраическими коэффициентами, е2, sin г, cos г.

Нетрудно проверить, что E-функции образуют кольцо функций, замкнутое относительно операций дифференцирования, интегрирования в пределах от 0 до г и замены аргумента z на Л z, где Л — алгебраическое число. E-функции с коэффициентами из поля К называются КЕ-функциями.

В 1949 году К.Зигель [87] изложил свой метод в виде общей теоремы об алгебраической независимости значений в алгебраических точках совокупности E-функций, удовлетворяющей системе линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с коэффициентами ~ рациональными функциями. Эта теорема сводит доказательство утверждения об алгебраической независимости к проверке некоторого достаточного аналитического условия, названного условием нормальности. Самому Зигелю удалось проверить выполнение условия нормальности только для совокупностей E-функций, каждая из которых удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению первого или второго порядка.

В 1954 году А.Б.Шидловским [49]1 была опубликована теорема, аналогичная теореме Зигеля, в которой условие нормальности было заменено менее ограничительным условием неприводимости.

В 1955 году А.Б.Шидловский [50],[52] опубликовал критерий алгебраической независимости значений в алгебраических точках

1 Монография А. Б.Шидловского "Трансцендентные числа" [58] содержит подробное изложение метода Зигеля-Шидловского и обширную библиографию. Поэтому для удобства в ссылках на теоремы, приведённые в этой книге, вместе с данными оригинальной статьи( или вместо них) приводятся соответствующие страницы [58].

Е-функций, удовлетворяющих системе линейных дифференциальных уравнений.

В формулировке критерия участвуют понятия, которые часто используются в дальнейшем. Пусть V-поле, а W - коммутативное кольцо или поле, содержащее поле V.

Элементы а.а я <=W называются алгебраически зависимыми над полем V, если существует отличный от тождественного нуля многочлен /3(х1,.,хи)с коэффициентами из поля V такой, что Р(а „.,а т) =0. В противном случае а и eW называются алгебраически независимыми над полем У.

Если в этих определениях рассматривать только однородные многочлены, то мы будем говорить об однородно алгебраически зависимых над полем V (соответственно, однородно алгебраически независимых над полем V) элементах а v.,a т eW.

В случае, когда поле V представляет собой поле алгебраических чисел, а поле W - поле комплексных чисел С, говорят просто об алгебраической зависимости ( соответственно, алгебраической независимости ) чисел а „., а т е С.

Пусть аналитические функции (z),., (z) составляют решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка y'k = eC(i). (0.1) м

Пусть Т = T(z) <=C[z]—многочлен, являющийся общим наименьшим знаменателем всех рациональных функций Qk r

Сформулируем первую основную теорему А.Б.Шидловского (см. [50 ],также [58, с.91]).

Пусть совокупность Е-функций .,/т(г) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (0.1) и однородно алгебраически независима над С (»,£--алгебраическое число, ) Тогда числа),.,/т(£)однородно алгебраически независимы.

Первая основная теорема имеет ряд важных следствий и мы отметим одно из них, относящееся к решению линейного дифференциального уравнения порядка »г (см. [58,с. 120]): Пусть "^-функция /(г) является решением линейного однородного дифференциального уравнения порядка т Ра(2)у(т)+.+Р^)у + р0{2)у = 0г,Рк{2) еС (г\к = 0,1,.,т, м не удовлетворяет никакому однородному алгебраическому дифференциальному уравнению с коэффициентами из С [г] порядка меньшего, чем — алгебраическое число, * 0.

Гс>гда числа /(£),/'(£),■••>/(и~°Ш однородно алгебраически независимы.

В случае, когда рассматриваемые Е-функции составляют решение неоднородной линейной системы дифференциальных уравнений

У'* =&.о еС (г), (0.2) 1 имеет место следующий результат, носящий название второй основной теоремы([58, с. 127]):

Пусть совокупность Е-функций /,(»,.,составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений (0.2) и алгебраически независима над С(г), алгебраическое число, )*0(многочлен Л»представляет собой обгций наименьший знаменатель коэффициентов системы (0.2)). Тогда числа /г(£),.,/м(£) алгебраически независимы.

Вторая основная теорема также имеет много важных следствий. Сформулируем одно из них([ 58,с. 128]):

Пусть Е-функция f(z) является решением линейного дифференциального уравнения порядка m

Pa(Z)y(m)+.+P](7)y'+P0(Z)y+Q(z) = 0,m S 2,£(z),/>,(*) e С[z],k = ОД,.,ж, и не удовлетворяет никакому алгебраическому дифференциальному уравнению с коэффициентами из С(г)порядка меньшего, чемщ£ — алгебраическое число, ÇPm{Ç) * 0.

Тогда числа /(£)»/'(£)>—>/(m~i:>(£) алгебраически независимы.

Из второй основной теоремы совсем просто следует и упомянутая выше теорема Линдемана -Вейерштрасса (см. [58,с. 128]).

В 1970 г. А.И.Галочкин [4]опубликовал теорему об алгебраической независимости значений Е-функций в трансцендентных точках, допускающих достаточно хорошие приближения алгебраическими числами.

Развивая метод, А.Б.Шидловский(см.[49]-[58]) обобщил его в направлении, позволяющем получать арифметические результаты относительно совокупностей Е-функций, алгебраически зависимых над полем рациональных функций.

Пусть, как и выше, V-поле, a W - коммутативное кольцо или поле, содержащее поле V. Если Uc W и наибольшее количество алгебраически независимых над V (однородно алгебраически независимых над V )элементов U равно /, то число Î называется степенью трансцендентности множества U над V {однородной степенью трансцендентности множества и над V) и обозначается <1е§ и- Уи( deg /г и). Сформулируем третью основную теорему([54],[58,с.143]):

Пусть совокупность Е-фунщий/, О),., /т (г),£ 2,{т £ 1) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (0.1)( системы линейных дифференциальных уравнений (0.2)) и степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) функций/,(.гг),.,/т(г)над С (г) равна 1,Ъ<,1 <.т, £ ~ алгебраическое число, многочлен Т(г) представляет собой общий наименьший знаменатель коэффициентов системы (0.1)((0.2))у).

Тогда степень однородной трансцендентности(степень трансцендентности) чисел также равна I.

В теории трансцендентных чисел кроме качественных понятий иррациональности, трансцендентности и алгебраической независимости существуют важные количественные понятия меры линейной и алгебраической независимости. Дадим точные определения понятий мер линейной и алгебраической независимости.

Пустьа,,.,о:м,т^.2 — действительные или комплексные числа. Мерой линейной независимости чисел<х],.,ат,т ^2 называется функция

Ь = Да, ,.,ат;Н) = тт|«,а, +. ■ •+атая где Я—натуральное число, ак —целые числа, удовлетворяющие неравенствам¡а^ ^ Н,к =1,.,т,\а:\+.+\ат\> 0 , и минимум берётся по всем числам ак, удовлетворяющим указанным неравенствам.

Очевидно, что качественный результат — линейная независимость -означает, что для любого натурального числа Я справедливо неравенство!, >0.

Мерой алгебраической независимости чисел<хх,.,ат, т>1 называется функция от ¿-и Я:

Ф =Ф(а1,.,ая,;5;Я) = пип^Са,,.,«^)!, где 5 и Я — натуральные числа, отличный от тождественного нуля многочленР = Р(хг,.,хт) степени ^ по совокупности переменных имеет целые коэффициенты, абсолютные величины которых не превосходят числа Я и минимум берётся по всем многочленам Р, удовлетворяющим указанным условиям.

Мера однородной алгебраической независимости Ф° = определяется аналогично, но при условии, что многочлен Р = Р(х1 ,.,хт)однороден.

Первая и вторая основные теоремы допускают следующее количественное уточнение( приводится несколько упрощённая формулировка теоремы 1 из [58,с.379]):

Пусть совокупность КЕ-функций /,(?),., О)составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (0.1)( системы линейных дифференциальных уравнений (0.2)) и однородно алгебраически независима над С О?) ( алгебраически независима над С О)), £ — алгебраическое число, )*0.

Тогда существуют постоянная С0 и постоянная Сх, зависящие от функцийчисел такие, что выполняются неравенства и, в неоднородном случае, т

2ЯН-1—5"

Приведём также несколько упрощённую теорему о мере линейной независимости, формулировка которой существенна для дальнейшего. Пусть Ьц, г = 1,., к —алгебраические поля, сопряжённые с полем К, причём Кг=К Эти сопряжённые поля соответствуют возможным продолжениям абсолютной величины | \ с поля О рациональных чисел на поле К. Для С еК пусть сопряжённые с £ . Для совокупности КЕ-функций /(?),.,/и(г) пусть /и(г),.,/и>Д2) обозначают функции, которые получаются из исходных заменой всех коэффициентов их степенных рядов по степеням г на сопряжённые им числа из поля К*. Аналогично, для отличной от тождественного нуля линейной формы 1(2,,., гт) с коэффициентами - целыми числами из поля К обозначим /Д^,.,^) линейные формы, получающиеся из формы / = /, после замены всех её коэффициентов на сопряжённые числа из поля Ьц. Пусть в — любое число из интервалаО < е < ^.Теорема 1 из [58, с.354] гласит:

Пусть совокупность КЕ-функций /\(2),.,/т{г)составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (0.1) и линейно независима над С( г ), алгебраическое число, ) ¿0. Тогда существует постоянная Ъ, зависящая от функций/иО), чисел ти % такая, что

В случае К=1(1 - мнимое квадратичное поле над О) имеет место неравенство цш,Н) >ьн]-т-\

Отметим важную для дальнейшего переформулировку этой теоремы.

При условиях теоремы для любого алгебраического числа, такого, что ) существует поле К, такое, что

1 „(?,),.,/„,,(?,фбЯ1-8. (0.3)

В теории трансцендентных чисел принято называть постоянную, входящую в оценку меры эффективной, если её можно вычислить с помощью конечного числа действий (арифметических операций, возведения в степень, логарифмирования, выбора наибольшего и наименьшего из конечного набора чисел), производимых над параметрами, определяющими класс функций, в который входят рассматриваемые функции, над параметрами точки, степенью меры. Оценку меры, в которой все постоянные эффективны, называют эффективной. Для получения эффективных оценок мер алгебраической независимости значений Е-функций требуется более сильное условие, чем их алгебраическая независимость над полем рациональных функций. Таким условием может быть нормальность по Зигелю(определение см. [87] или, например, [64]) или введённое А.Б.Шидловским в работе [49](см.также[58,с.400]) условие неприводимости системы функций. Вопросы эффективности оценок исследовались в работах[14]-[16],[69]. В работе [16] условие неприводимости системы функций заменено более простым в проверке условием о том, что каждое решение системы (0.1) с ненулевыми компонентами состоит из алгебраически независимых над С( г) функций.

Заметим, что для упрощения получения эффективных оценок мер целесообразно немного изменить определение Е-функции , заменив при некотором с > 1 условие\сп \ = 0(пт), п —»=°на условие сл| = 0(с"),п —> °° и условие^ = 0{гГ),п-*<*> на условие дп — 0(сп), и —»°° соответственно. Такие Е-функции часто называют Ефунщиями в узком смысле.

Кроме того, для 1Е-функций показатель \ -m-s можно пытаться улучшить, заменив число е> 0 убывающей и стремящейся к нулю функцией от Я.

В работах А.Б.Шидловского ( см., например,[49]-[58]), его учеников и ряда других авторов (достаточно полный обзор приведён в [58]) построена стройная теория, описывающая арифметические свойства значений в алгебраических точках Е-функций , удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям.

В 1929 г. К.Зигель [87] указал, что его метод можно применять при исследовании некоторых арифметических свойств значений ещё одного класса аналитических функций. Степенные ряды, определяющие эти функции, имеют конечный радиус сходимости. Он назвал эти функции О-функциями.

Функция п=0 называется в-функцией, если коэффициенты сп удовлетворяют тем же условиям, что приведены в определении Е-функции в узком смысле.

Нетрудно проверить, что как и Е-функции, в-функции образуют кольцо функций, замкнутое относительно операций дифференцирования, интегрирования в пределах от 0 до 2 и замены аргумента г на Хг, где я — алгебраическое число.

В статье М.С.Нурмагомедова [21] метод Зигеля - Шидловского был применён к исследованию арифметических свойств значений в-функций в достаточно малых по модулю алгебраических точках. Недостатком полученных им результатов было то, что величина точки, в которой проводятся оценки, зависит от высоты рассматриваемых линейной формы или многочлена.

В 1974 году А.И.Галочкин [5] опубликовал теоремы, свободные от вышеупомянутого недостатка, доказанные им для функций, обладающих так называемым условием сокращения факториалов. В 1984 г.Г.В.Чудновский [74] доказал, что это условие выполнено для всех О-функций:

Пусть О-функции /, (г),., /„ (г) составляют решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (0.1) и линейно независимы над С( г) вместе с 1 .Тогда для любого е > 0 и любого отличного от нуля числа г = eZ, Ъ eN такого, что о ье*с3\4т1)(п+е)> числа %А(г),.,/т(г) линейно независимы над О. Более того, для любых /г0,.,/зи е Ъ,удовлетворяющих условию

Н - шах(|й0 [,., |/ги|) >С4, имеет место неравенство

2о+А1/1(г)+.+Ли/и(Г)| >н-т-°, где С3 =С3(/Х,.,/„,£ )>0, С4 = С4(/,,.,/и,г,)>0 — эффективно вычисляемые постоянные.

Можно рассматривать не только действительные или комплексные значения О-функций. Имеются исследования (например,[77]) о свойствах р -адических значений О-функций. Отметим одну из работ Е.М.Матвеева [12], в которых рассмотрение линейных форм от значений О-функций в различных р -адических полях позволило получить результаты о диофантовых уравнениях с норменной формой. Дадим определение и кратко перечислим основные свойства^-адических чисел (подробнее см. [1],[2]).

Поле Е называется нормированным, если для каждого его элемента а определена величина ||а|| — норма элемента а, обладающая следующими свойствами:

1) 1М1 е И, если а * О, то |«|| > 0, ||0|| = 0;

2) ИМ*

3)|а + 6|ЫММ14

Поле О рациональных чисел обладает нормой (или абсолютным значением)

И = 14 которую в дальнейшем называем архимедовой. Кроме того, для любого простого числа р определено так называемое р -адическое нормирование поля рациональных чисел. Оно определяется следующим образом. Для произвольного отличного от нуля целого числа с положим огс1рс равным кратности вхождения числа р в разложение с на простые множители. Для любого рационального с числа а = - положим огс!ра = оЫрс - огс!рЬ. Это определение, очевидно, корректное. Удобно определить нормализованную р-адическую норму равенствами

-оп!{а,а* О р ' (0.4)

0, а = 0.

Нетрудно проверить, что определённая равенствами (0.4) величина обладает всеми свойствами нормы. Кроме того, вместо свойства 3) выполняется более сильное неравенство а + Ъ\р <;тах(Мр,|г>|р).

Отметим, что если \а\р * |6|р,то =тах(Нр,|6|р).

Нормы, для которых \\а + 6|| ^ тах(||сг||, |6||), называются неархимедовыми. Пополнение О по норме | ^называется полем радических чисел. Известная теорема Островского(доказательство приведено, например, в[1,стр.48]) гласит:

Каждая нетривиальная норма || || на поле О рациональных чисел эквивалентна либо | | для некоторого простого числа р, либо обычной абсолютной величине | |.

Символ используется для обозначения И. со

Пусть К - алгебраическое поле конечной степени к над О. Пусть V— множество всех нормирований на поле К. Для любого V е V соответствующие пополнения полей К и О обозначаем Ку и <2У. Поле Куявляется конечным расширением поля 0У,[ Ку : причём для любого простого числа р

2, (0.5) V где суммирование в левой части равенства (0.5) производится по всем нормированиям V, продолжающим р -адическое нормирование поля О. Это же равенство выполняется для продолжений обычной абсолютной величины, поскольку все они соответствуют сопряжённым с полем К полям К®.

Любое нормирование поля К продолжает некоторое нормирование поля О. Множество архимедовых нормирований поля К обозначаем Ув, множество неархимедовых нормирований - У0. Удобно рассматривать нормализованные нормирования .если V продолжает р -адическое нормирование^ далее это обозначаем так : у\р) то положим

И= р (°-6) а если у продолжает архимедово нормирование и соответствует полю К®, то

0-7) где х(,) е К®, а ку =1,если ^сИ, либо ку =2,если Ка)<гК .

Имеет место формула произведения: Для любого х е К, х?Ю,

0.8) уеГ где произведение взято по всем нормированиям V поля К.

Теория трансцендентных чисел в р -адической области получила меньшее развитие, чем теория трансцендентных чисел в комплексной области. Отметим её фактическое начало - работу Малера [82] и содержащую некоторый обзор этой теории статью Адамса[59].

В 1981 г.Э.Бомбиери в большой работе [66] ввёл понятие глобального соотношения. Дадим это определение .

ПустьР(у1,.,ут) — многочлен с коэффициентами из К,степенные ряды/Д^),.,/„(г) имеют коэффициенты из К, £ еК Соотношение

Р(Ш),-,/М)) = 0 (0.9) называется глобальным для рядов /,(»,., /и(г) и точки если оно выполняется во всех полях Ку, где сходятся все ряды /1(|),.,/т(^). Примером глобального соотношения в точке 4 = -2 и ряда / 1 ЧЛ+1 п=1 п является выполняющееся в поле Ку, гдеу|2, равенство

Действительно, рассматриваемый ряд сходится в поле Ку при £= -2 только, если у|2. Другой пример: в точке = -3 для ряда у, 1-3-.-(2Й-1)Г zY h п\ [ 2) соотношение справедливое в полях Ку, где v|3,является глобальным, поскольку ряд 1-3-.<2и-1)|

НГ п= 0 сходится только в таких полях Ку, где у|3. Вместе с тем, при подстановке в рассмотренный выше ряд вместо сточки -15 в поле Оз выполняется равенство а в поле 05 - равенство

21 4 и эти два равенства дают примеры соотношений, не являющихся глобальными.

Сформулируем несколько упрощённый вариант основной теоремы работы [66]:

Пусть О-фунщии /,(г),.,/иО) составляют решение системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с коэффициентами - рациональными функциями от г и линейно независимы над С( г ).Тогда существует постоянная С такая, что все алгебраические точки В, ,для которых выполняется некоторое линейное глобальное соотношение, удовлетворяют неравенству

2>(тах(1,| 4))* С, где суммирование производится по всем нормированиям алгебраического поля конечной степени, полученного присоединением к полю рациональных чисел всех коэффициентов рассматриваемых О- функций и числа

Глобальным соотношениям для О-функций посвящены работы И.Андре [61],[62].

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Чирский, Владимир Григорьевич, 2000 год

1. Боревич З.И.,Шафаревич И.Р. Теория чисел.-М.:Наука, 1972.

2. Владимиров B.C., Волович И.В., Зеленое Е.И. /7-адический анализ и математическая физика.-М.: Изд.фирма "Физико-математическая литература" ВО"Наука",1994.

3. Галочкин А.И.Оценки снизу линейных форм от значений некоторых гипергеометрических функций//Мат.заметки.-1970.-Т.8,№ 1.-С. 19-28.

4. Галочкин А.И.Об алгебраической независимости значений Е-функций в некоторых трансцендентных точках//Вестн.МГУ.Сер. 1, Математика,механика.-1970.-№5 .-С.58-63.

5. Галочкин А. И. Оценки снизу многочленов от значений аналитических функций одного классаУ/Мат.сб.-1974.-Т.95(137),№3 (11).-С.396-417.

6. Галочкин А.И.О критерии принадлежности гипергеометрических функций Зигеля классу Е-функций//Мат.заметки.-1981.-Т.29,№ 1.-С.3-14.

7. Галочкин А.И.0 неулучшаемых по высоте оценках некоторых линейных форм//Мат.сб.-1984.- Т.124(166),№ 3 (7).-С.416-430.

8. Иванков П.Л. О линейной независимости значений целых гипергеометрических функций с иррациональными параметрами//Сиб.мат.журн.-1993.- Т.34,№1 .-С.53-62.

9. Иванков П.Л. О линейной независимости значений некоторых функций//Фундам. и прикл. матем.-1995.-Т.1,№2.-С.191-206.

10. Коробов А.Н. Оценки некоторых линейных форм//Вестн.МГУ.Сер.1,Математика,механика.-1983.-№6.-С.36-40.

11. Лотоцкий А.В. Sur l'irrationalité d'un produit infini// Мат.сб.-1943.-T. 12(54) .-C.262-272.

12. Матвеев E.M. Линейные формы от значений G-фунщий и диофантовы уравнения//Мат.сб.-1982.- Т.117(159),№ 3 .-С.379-396.

13. Нестеренко Ю.В. Об алгебраической независимости значений Е-функций, удовлетворяющих линейным неоднородным дифференциальным уравнениям//Мат.заметки.-1969.-Т.5,№ 5,-С.587-589.

14. Нестеренко Ю.В. Об алгебраической независимости компонент решений системы линейных дифференциальных уравнений//Изв.АН СССР.Сер.мат.-1974.-Т.38,№ 3.-С.492-512.

15. Нестеренко Ю.В. Оценки порядков нулей функций одного класса и их приложение в теории трансцендентных чисел//Изв.АН СССР.Сер.мат.-1977.-Т.41, №2.-С.253-284.

16. Нестеренко Ю.В. Эффективные оценки мер алгебраической независимости значений Е-функций //Вестн.МГУ.Сер.1, Математика,механика.-1988.-№4 .-С.85-88.

17. Нестеренко Ю.В. Приближения Эрмита-Паде обобщённых гипергеометрических функций//Мат.сб.-1994.- Т.185,№ 3 .-С.39-72.

18. Нестеренко Ю.В. Modular fonctions and transcendence problems//C.R.Acad.Sci.Paris.-1996.-t.322.-Serie 1 .-p.909-914.

19. Нестеренко Ю.В. Модулярные функции и вопросы трансцендентности. //Мат.сб.-1996.- Т. 187,№9 .-С.65-96.

20. Нестеренко Ю.В. О мере алгебраической независимости функций Рамануджана// Тр. мат. ин.та им. В.А.Стеклова.-1997.-Т.218.-С.299-334.

21. Нурмагомедов М.С. Об арифметических свойствах значений одного класса аналитических функций//Мат.сб.-1972.- Т.85(127) , №3(7) .-С.339-365.

22. Попов А.Ю. Арифметические свойства значений некоторых бесконечных произведений.- Диофантовы приближения, часть II, Изд-во Моск. ун-та.-1986.-С.63-78.

23. Попов А.Ю. Приближения значений некоторых бесконечных произведений//Вестн.МГУ.Сер.1, Математика,механика.-1990.-№6.- С.3-6.

24. Салихов В.Х.О дифференциальной неприводимости одного класса дифференциальных уравнений//ДАН СССР.-1977.-Т.235,№ 1 .-С.30-33;Изв.АН СССР.Сер.мат.-1980.-Т.44,№ 1.-С.176-202.

25. Салихов В.Х. Алгебраическая неприводимость совокупности линейных дифференциальных уравнений//ДАН СССР.-1980.-Т.254,№4.-С.806-808;Изв.АН СССР.Сер.мат.-1985.-Т.49,№ 1.-С. 194-210

26. Салихов В.Х. Формальные решения линейных дифференциальных уравнений и их применение в теории трансцендентных чисел//Тр.Моск.мат.о-ва.- 1988.-Т.51.-С .223-256.

27. Салихов В.Х. Об алгебраической независимости значений гипергеометрических Е-функций//ДАН СССР.-1989.-Т.307,№ 2.-С.284-286.

28. Салихов В.Х. Неприводимость гипергеометрических уравнений и алгебраическая независимость значений Е-функций//Ас1а АпЛ.-1990.-у.53.-С.453-471.

29. Салихов В.Х. Критерий алгебраической независимости значений одного класса гипергеометрических Е-функций//Мат.сб.-1990.-Т.181,№2 .-С.189-211.

30. Чебышев П.Л. Избранные математические труды.- ГИТТИ.-1946.

31. Чирский В.Г.О нетривиальных глобальных соотношениях//Вестн.МГУ. Сер. 1 .Математика,механика.-1989,№5.-с,33-36.

32. Чирский В.Г.О глобальных соотношениях// Мат.заметки.-1990.-т.48.-№2.-с. 123-127.

33. Чирский В.Г.Об алгебраических соотношениях в локальных полях//Вестн.МГУ.Сер.1 .Математика,механика.- 1990,№3.-с.92-95.

34. Чирский В.Г.Глобальные соотношения и гипергеометрические ряды//Успехи матем.наук.-1991.-т.46.-№6(282).-с.221-222.

35. Чирский В.Г.Об алгебраических соотношениях в неархимедовски нормированных полях//Функ.анализ и прилож.-1992.-т.26.-№2.-с.41-50.

36. Чирский В.Г.Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций// Мат.заметки.-1992.-т.52.-№2.-сЛ 25-131.

37. Чирский В.Г.О рядах, алгебраически независимых во всех локальных полях//Вестн.МГУ.Сер. 1 .Математика,механика.-1994.-№3.-с.93-95.

38. Чирский В.Г.Оценки многочленов и линейных форм в прямых произведениях полей//Вестн.МГУ.Сер. 1 .Математика,механика.-1994.-№4.-с.35-39.

39. Чирский В.Г.Арифметические свойства значений гипергеометрических рядов//Труды Матем. ин-та РАН.-1994.-т.207.-с.347-352.

40. Чирский В.Г.О глобальных соотношениях для гипергеометрических рядов//Труды семин. им. И.Г.Петровского.-1995,№ 18.-с.204-212.

41. Чирский В.Г.Об арифметических свойствах некоторых рядов//Вестн.МГУ.Сер.1. Математика, механика.-1997,№2.-с.53-55.

42. Чирский В.Г.Об алгебраической независимости значений функций, удовлетворяющих системам функциональных уравнений//Труды Матем. ин-та РАН.-1997.-т.218.-с.433-438.

43. Чирский В.Г.Об арифметических свойствах значений некоторых функций//Фундам. иприкл. матем.-1998.-т.4,№2.-с.725-732.

44. Чирский В.Г.О линейных глобальных соотношениях//Вестн.МГУ. Сер. 1.Математика,механика.-1998,№4 .-с.70-72.

45. Чирский В.Г.Линейная независимость р-адических значений некоторых я-базисных гипергеометрических рядов// Фундам. и прикл. матем.-1999.-т.5,№2.-с.725-732.

46. Чирский В.Г.Арифметические свойства некоторых р-адических чисел//Вестн.МГУ.Сер. 1.Математика,механика.-1999,№6.-с. 16-19.

47. Чирский В.Г.Приближения Эрмита -Паде для некоторых q-базисных гипергеометрических рядов// Вестн.МГУ.Сер. 1 .Математика,механика.-2000,№2.-с.7-11.

48. Чирский В.Г. Арифметические свойства рядов в полях с неархимедовыми нормированиями.- М.: Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ.-200.-120 стр.

49. Шидловский А.Б.О трансцендентности и алгебраической независимости значений целых функций некоторых классов//ДАН СССР.-1954.-Т.96,№4.-С.697-700.

50. Шидловский А.Б. О критерии алгебраической независимости значений одного класса целых функций//ДАН СССР.-1955.Т. 100,№2.-С.221 -224.

51. Шидловский А.Б. О трансцендентных числах некоторых классов//ДАН СССР.-1955.-Т.103,№6.-С.987-990.

52. Шидловский А.Б. О критерии алгебраической независимости значений одного класса целых функций//Изв.АН СССР.Сер.мат.-1959.-Т.23,№1 .-С.35-66.

53. Шидловский А.Б. К общей теореме об алгебраической независимости значений Е-функций//ДАН СССР.-1966.-Т.171,№4,-С.810-813.

54. Шидловский А.Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций, связанных любым числом алгебраических уравнений в поле рациональных функций//Изв .АН СССР.Сер.мат.-1962.-Т.26,№6.-С.877-910.

55. Шидловский А.Б. Об оценках меры трансцендентности значений Е-функций//Мат.заметки.-1967.-Т.2,№1.-С.ЗЗ-44.

56. Шидловский А.Б. On the estimates of the algebraic independence measures of the values of E-fonctions//J.Austral.Math.Soc.Ser.A.1979.-V.27.-P.385-407.

57. Шидловский А.Б. Об оценках многочленов от значений Е-функций//Мат.сб.-1981 .-Т. 115(157), №1 (5).-C.3-39.

58. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа.-М.:Наука,1987

59. Adams W. Transcendental numbers in the p-adic domain//Amer.J.Math.-1966.-V.88.-279-307.

60. Adams W. On the algebraic independence of certain Liouville numbers//J.Pure.Appl.Algebra.-l 978.-V. 13 .-P.41 -47.

61. André Y. G-Functions and Geometry.Aspects of Math.-1989.-V.E13, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden.

62. André Y. G-fonctions et transcendance//J.reine angew.Math.-1996.-V.476.-P.95-125.

63. André Y. Séries Gevrey de type arithmétique//Inst. Math.,Jussieu,

64. Beukers F.,Brc>wnawell W.D.,Heckman G. Siegel normality//Ann.Math.-l 988.-Ser. 127.-P.279-308.

65. Bézivin J.-P. Indépendance linéaire des valeurs des solutions transcendentes de certaines équations fonctionelles//Manuscripta Math.-1988.-V.61.-P.103-129.

66. Bombieri E. On G-functions// Recent Progress in Analytic Number Theory. V.2.London:Academic Press,1981 .-P.l-68.

67. Borwein P.On the irrationality of 2 (1 / (qn + r))//J.Number Theory.-1991.-V.37.-P.253-259.

68. Borwein P.,Ping Zhou. On the irrationality of a certain q series//Proc. Amer.Math.Soc.-1999.-V. 127,№6,P. 1605-1613.

69. Brownawell W.D.Effectivity in independence measures for values of E-functions//J.Aust.Math.Soc.-1985.-V.39.-P.227-240.

70. Bundschuh P.Arithmetische Untersuchungen unendlicher Produkte//Invent.Math.-l969.-V.6.-275-295.

71. Bundschuh P.Ein Satz über ganze Funktionen und Irrationalitätsaussagen//Invent.Math.-1970.-V.9.-175-184.

72. Bundschuh P.,Waldschmidt M. Irrationality results for thêta functions by Gel'fond-Schneider's method//Acta Arithm.-1989.-V.53.-289-307.

73. Bundschuh P.,Väänänen K. Arithmetical investigations of a certain infinite product//Compos. Math.-1994.-V.91.-P.175-199.

74. Chudnovsky G.V. On applications of Diophantine approximations //Proc.Natl.Acad.Sci.USA.-l 985 .-V.81 .-P.7261-7265.

75. Duvemey D. Irrationalité d'un q-analogue de g (2)//C.R.Acad.Sci. Paris.-1995.-V.321.-ser.l.-P.1287-1289.

76. Duverney D. Propriétés arithmétiques des solutions de certaines équations fonctionelles de Poincaré//J.Theor.Nomb.Bordeaux.-1996.-V.8.-443-447.

77. Flicker Yu. On p-adic G-functions//J.London Math.Soc.-1977.-V.15,№ 3.-P.395-402.

78. Gasper G.,Rahman M. Basic hypergeometric series.Encycl.Math.Appl.35 .-Cambridge Univ.Press, 1990(Имеется русский перевод: Гаспер Дж.,Рахман.М. Базисные гипергеометрические ряды.-М. :Мир, 1993).

79. Heine Е. Über die Reihe.// J.reine.angew.Math.-1846.-V.32.-P.210212. f

80. Içen O.Ç.Eine Verallgemeinerung und Übertragung der Schneiderschen Algebraizitätskriterien ins p-adische mit Anwendung auf einen Transzendenzbeweis im p-adischen//J.reine.angew.Math.-1957.-V.198.-P .28-55.

81. Koblitz N. p-adic numbers,p-adic analysis and zeta-functions.Grad. texts Math.58.-Berlin:Springer, 1977.(Имеется русский перевод: Коблиц H. р-адические числа,р-адический анализ и дзета-функции.-М.:Мир, 1982).

82. Mahler К. Über transzendente p-adische Zahlen//Compos.Math.-1935.-V.2.-P.259-275.

83. Matala-Aho T. Remarks on the arithmetic properties of certain hypergeometric series of Gauss and Heine// Acta Univ.Oulu.-1991.-Ser.A Sci.Rer.Natur.219.

84. Matala-Aho Т., Väänänen K.Independence measures for two q-exponentials and related series//Math.Univ.Oulu.-1997.-Preprint

85. Matala-Aho Т., Väänänen К. On approximation measures of q-logarithms//Bull.Austral.Math.Soc.-1998.-V.58,№ 1 .-P. 15-31.

86. Osgood C.F. On the Diophantine approximation of values of functions satisfying certain linear differential equations//J.Number theory.-1971.-V.3.-159-177.

87. Siegel C.L.Über einige Anwendungen Diophantischer Approximationen//Abh.Preuss Acad.Wiss.,Phys.-Math.Kl.-l 929-1930.-№ 1.- P.l-70.

88. Siegel C.L. Transcendental numbers.-Princeton:Princeton Univ.Press.-1949.

89. Stihl Th. Irrationalitätsmaße fur Werte der Lösungen einer Funktionalgleichung von Poincare//Arch.Math.-1985.-V.44.-P.59-64.

90. Stihl Th. Arithmetische Eigensatzen spezieller Heinescher Reihen//Math. Ann.-l 984.-V.268.-P.21-41.

91. Titchmarsh E.C. The theory of fimctions.-Oxford Univ.Press.-1939(Имеется русский перевод: Титчмарш Е. Теория функций.-М.:Наука.-1980).

92. Tschakaloff L. Arithmetische Eigenschaften der unendlichenReihe2;a-,'(v-,y2x,'//Math.Ann.-1921.-V.80.-P.62-74;V.84.-P.100-114.v=0

93. Väänänen K. On the approximation of certain infinite products//Math. Scand. -1993 .-V. 73 .-P. 197-208.

94. Wallisser R. Rationale Approximation des q-Analogons der Exponentialfunktion und Irrationalitätsaussagen fur diese Funktion//Arch.Math.-1985.-V.44.-59-64.