Об оценках линейных форм и многочленов от значений аналитических функций некоторых классов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Макаров, Юрий Николаевич

• Макаров, Юрий Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Макаров, Юрий Николаевич

Введение

§1. Краткий обзор исследований, связанных с

содержанием работы

§2. Формулировки основных результатов

Глава I. Оценки линейных форм от значений

Е-функций

§1. Доказательства теорем I, I*, 2, 2;

§2. Доказательства теорем 3, З1, 4

§3. Доказательства теорем 5, б', 6, б', 7

Глава 2. Доказательства общих теорем об эффективных оценках многочленов от значений

Е-функций

§1. Доказательство теоремы 8

§2. Доказательство теоремы 9

§3. Доказательство теоремы 10

Глава 3. Эффективные оценки многочленов от значений

некоторых гипергеометрических Е-функций..103 Литература

ОБОЗНАЧЕНИЯ /Д/ - множество "натуральных чисел.

^ - кольцо целых рациональных чисел.

- множество целых рациональных неотрицательных чисел.

О - поле рациональных чисел.

//? - поле действительных чисел.

С

^ - поле комплексных чисел.

/А - поле всех алгебраических чисел.

1К - фиксированное алгебраическое поле над й?.

- степень алгебраического поля /« над ¿¡) .

- кольцо целых алгебраических чисел алгебраического поля ¡К

^ I - максимум модулей чисел, сопряженных для

числа оС в поле //С Л - некоторое мнимое квадратичное поле.

\У - произвольное поле или кольцо.

Л*,,..,

- кольцо многочленов от ,..., ЗЬп над полем (кольцом)

) - поле рациональных функций от над полем .

- степень многочлена . Н Г Р) - высота многочлена Р .

- порядок нуля аналитической функции ^г) в точке 2-= О .

,, * Н) - мера линейной независимости чисел ,

.. • • •» 1 л. •

- мера трансцендентности числа |

г?)/к р < и) - меРа взаимной трансцендентности чисел ^(ЪучЪП^^У г Г

»• • •» > Уг.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об оценках линейных форм и многочленов от значений аналитических функций некоторых классов»

ВВЕДЕНИЕ

§1. Краткий обзор исследований, связанных с содержанием работы.

В диссертации устанавливается ряд теорем об оценках снизу модулей линейных форм и многочленов с целыми рациональными и целыми алгебраическими коэффициентами от значений в алгебраических точках Е-функ-ций , удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям с коэффициентами из поля рациональных функций.

В работе используется известный метод доказательства трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций, ведущий свое начало от работы К.Зигеля [19:13 и получивший дальнейшее развитие в работах А.Б.Шидловского см. [8:1-8] Этот метод является существенным обобщением классического метода Эрмита-Линдемана [12:1] , £14:13 в теории трансцендентных чисел.

Пусть в дальнейшем //\/ обозначает множество натуральных чисел, 2 - кольцо целых рациональных чисел, + - множество целых неотрицательных чисел, а О и С , соответственно,поля рациональных и комплексных чисел.

Если -произвольное поле (кольцо) , то -о будет обозначать кольцо много-

членов над полем (кольцом)^ от переменных ^ , , а 25л) -поле рациональных

функций от переменных »• • •» с коэффициентами из поля

Действительное или комплексное число оС называется алгебраическим, если существует многочлен /2.1*1 , О .такой,что РСоС) = 0 .

Степенью алгебраического числа об называется степень неприводимого многочлена Ре г], имеющего оС своим корнем. Степень алгебраического числа оС будем обозначать .

Множество всех алгебраических чисел образует поле, которое будем обозначать /А

Алгебраическое число называется целым алгебраическом, если оно является корнем неприводимого многочлена со старшим коэффициентом ч равным единице.

Множество целых алгебраических чисел образует кольцо, которое обозначим •

Если сС <= /А , то множество чисел ,

где пробегает все рациональные функции из определенные в точке оС , называется алгебраическим полем. Это поле обозначается //( .Степень алгебраического числа оС называется степенью поля 1К И обозначается 1нс о].

Множество всех целых алгебраических чисел алгебраического поля образует кольцо, которое обозначается ^^ .

Действительное или комплексное число ,не

являющееся алгебраическим , называется трансцендентным.

Легко доказывается, что корень многочлена Р^АН, РФ О , является алгебраическим числом.поэтому, трансцендентное число не может быть корнем многочлена

Действительные или комплексные числа ]= ± ,..., ^ называются алгебраически независимыми, если для любого многочлена Р<г [ & # , Оу

Рб!^.")!«.)^ О • в ИР011®™ случае числа , ..., называются алгебраически зависимыми.

понятие алгебраической независимости обобщает понятие трансцендентности числа, ¿ели числа , алгебраически независимы, то каждое из них трансцендентно.

Если оС € /А , Жди = к , то корни неприводимого многочлена из »корнем которого является оС}

, ...»©¿^ называются числами^, сопряженными Со£.

В алгебраическом поле ¡К вводят понятие сопряженных чисел для каждого оС <= IX . Сопряженные числа ъС± ,...,одля числа оС в поле ¡'К (к =[1к '<([)]) совпадают с числами, сопряженными для оС , повторенными одинаково часто.

Если , то принято обозначать

\оС\ = шаса I <¿11

Существование трансцендентных чисел впервые было установлено в 1844 году Ж.Лиушшгем [15:1] - Он доказал, что алгебраические числа не могут "слишком хорошо" приближаться числами из .Это позволило ему построить первые примеры трансцендентных чисел. Но теорема Лиувилля не дает возможность устанавливать трансцендентность чисел, име-

ющих значение в математике, например чисел £ и Л .

ГГри доказательстве трансцендентности и алгебраической независимости чисел обычно возникают значительные трудности. Каждое существенное продвижение в этом направлении связано с появлением нового метода.

В 1873 г.Ш.Эрмит[12:1[ опубликовал первый аналити-

ческий метод в теории традсцеццентных чисел, с помощью которого он доказал трансцендентность числа е.

В 1882 году Ф.Линдеман [14:1] , развивая метод Эрмита, установил трансцендентность числа ЗГ и чисел е*" ,о¿е/Д ^Фо ъ ¿/А

В своей работе Линдеман доказал теорему о линейной независимости над <Ц) чисел в*' ,..., ,где об, оСп -различные числа из /А .Теорема

Линдемана эквивалентна утверждению об алгебраической независимости чисел 6°*"',..., при линейно независимых над €) числах оС1 Ы.^ из /А .

Таким образом,с помощью метода Эрмита-Линдемана был полностью решен вопрос о трансцендентности и алгебраической независимости значений показательной функции в в алгебраических точках.

В 1929 году А.О.Гельфонд [2:2] опубликовал новый аналитический метод доказательства трансцендентности чисел, с помощью которого установил частный случай 7-ой проблемы Гильберта о трансцендентности чисел и* при /А 0> 4- ,и иррациональном ^ . В 1934 году А.О.Гельфонд £2:3,4] с помощью нового общего аналитического метода полностью решил седьмую проблему Гильберта.

В 1929 году К.Зигель [х9:![] опубликовал аналитический метод доказательства трансцендентности и алгебраической независимости значений функций, являющийся обобщением метода Эрмита-Линдемана. Этот метод он применил к функции п

удовлетворяющей линейному дифференциальному уравнению второго порядка

3 + "Г" * +

Он доказал, что при любом оС^/А , оС ДЗ и

алгебраически независимы, а также доказал алгебраическую независимость совокупности чисел

при различных значениях об и , удовлетворяю-

щих некоторым естественным условиям.

Метод Зигеля можно применять к одному кяассу аналитических Фз!-:;кций, названных им Е-функциями, при условии, что они удовлетворяют линейным дифференциальным уравнениям с коэффициентами из С (%) • Зигель назвал целую фунзщию

ь.-о П-!

Ечфункцией, если:

1) 0К, VI = 0,1,... , где К - некоторое алгебраическое числовое поле;

2) для любого 6 > О

при У1 —^ оо ;

3) существует последовательность > ^^ >

такая, что

> , п.,

и для любого Ь > О

при У1 .

В 1949 году Зигель в монографии [19:2] изложил свой метод в виде общей теореш об алгебраической независимости значений в точках из //\ совокушости Е-функций, удовлетворяющей системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Общая теорема Зигеля сводит доказательство алгебраической независимости значений рассматриваемых Е-функций к проверке выполнения некоторого аналитического условия нормальности различных произведений сг епеней этих функций. Но последняя задача является очень сложной даже в простейших случаях, Зигелю удалось проверить это условие и, следовательно, применить свою теорему лишь к совокупности конкретных функций, из которых каждая удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению, порядка не выше второго.

Дальнейшее развитие метод Зигеля получил в работах А.Б. Шидловского [б:1 - 8]. В 1954 г. гх]он опубликовал теорему, аналогичную общей теореме Зигеля, в которой условие нормальности было заменено на менее стеснительное условие неприводимости произведений степеней рассматриваемых Е-функций.

Совокупность аналитических функций

составляющая решение системы линейных дифференциальных уравнений

I Уп

1=1 и

называется неприводимой системой функций, если О} м

и для любого решения ^ , системы (0.2) равенство

т

& 1 *-°.

где О £ С т » возможно лишь в случае,

I }

когда тожественно по Зг

ТЕОРЕМА. ( А.Б. Швдловский, см. . Пусть сово-

купность Е-функций (0.1) составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений

V

(

(0.3)

; = <2 +Л<?.. у. а ее/*)

¿=7,,,,,

ЧИСЛО \(=//К отлично от нуля и полюсов всех ¿функций О.. ,

л/

а для каждого натурального числа /у совокупность

I* *п N

_ (т+//)!

гп1 /V/ • * *

произведений степеней этих функций

составляет неприводимую систему функций. Тогда уп. чисел

ш

Г'1*' * * * 7т 15У алге(^Ра11Чески независимы•

Эта теорема позволила установить трансцендентность и алгебраическую независимость в точках из //\ значений Енйункций, длящихся решениями линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений не только первого и второго, но, в некоторых случаях, также третьего и четвёртого порядков,

ТЕОРЕМ ( А.Б. Шидловский, см.[в:з] ). Пусть совокупность Е-функций (0.1) составляет решение системы дифференциальных уравнений (0.3), число £ /А* отлично от нуля и полюсов всех функций " О.. . Тогда для того, чтобы Щ чисел »•♦•» алгес5Ракчески независимы,

необходимо и достаточно, чтобы функции (0.1) были алгебраически независимы над С .

Аналитические методы теории трансцендентных чисел: Эрмита - Линдемана, Гельфонда и Зигеля - Шидловского позволяют получать не только качественные результаты о линейной независимости, трансцендентности и алгебраической независимости значений аналитических функций, но также и их количественные характеристики в виде оценок модулей линейных форм и многочленов от значений рассматриваемых функций. Для этого рассматривают понятия меры линейной независимости, меры трансцендентности и меры взаимной трансцендентности ( или алгебраической независимости ) чисел.

Вы си той Ц = Н fp) произвольного многочлена Р £ (С [ 2 J называют максимум модулей его коэффициентов.

Мерой линейной независимости чисел F: ^ (С L-± Уп

j t. ) •*•)" -J "j

называют функцию

/ to-L (ft,...,?,* iH)=mi*jX>.f:/

i. ^

где минимум берется по всем числам Л, п

i > " •; >

удовлетворяющим указанным условиям.

Мерой взаимной трансцендентности чисел £ С

>

L~i Уп называют функцию

j1 з )

Н Н ,

где минимум берется по всем многочленам удовлетворяющим указанным условиям.

Функция ; Л) I-/) называется мерой трансцен-

дентности числа J

Если потребовать, чтобы многочлены Р , участвующие в определении меры взаимной трансцендентности , были однородными степени J- по

переменным ^^»то получим функцию

Ф , • • I ^ / N ) -меру однородной взаимной трансцендентности чисел .

В 1899 году Борель [11:1] , используя метод Эрмита-Лиццемана, доказал, что при ограниченном -4 / ч -сйгбугН

В 1929 году Я.Яошсен [18:1] уточнил

эту оценку и доказал, что при ограниченном 4

В 1932 году К.малер [16:1] уточнил этот результат и показал, что

с

где С > О -абсолютная постоянная.

В 1929 году К.Зигель [19:1] для значений функции Бесселя установил следующую оценку:

где

-степень числа £ , С >0 -постоянная, зависящая только от | и ^ . После работ А.Б.швдловского [8:8,9] стало возможным, используя метод развитый в этих работах, получать общие оценки мер трансцендентности и взаимной трансцендентности значений Е-функций в точках из поля

/А .

Общую теорему такого типа опубликовал С.Ленг [13:1] в 1962 году. Теорема. Пусть Е-функции (0.Г) составляют решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (0.2) и алгебраически независимы над

» ЧИСЛО отлично от нуля и полю-

сов всех функций О. . . Тогда выполняется нера-

Ч

венство

ЩШ^.ШМ*'-1 > ^

где С > О - постоянная, зависящая от функций (0.1) , чисел М, | , 4 -

постоянная, зависящая от 1т и €¿£0, ^ .

А.Б.Швдловский , пользуясь обобщениями основных лемм метода , опубликованными в его статье и работах , для случая, когда Л ,

установил ряд общих теорем об оценках мер взаимной трансцендентности, весьма близких к их естественным границам. Например , при условиях сформулированной выше теоремы при выполняется неравенство

при любом Е>0 »а 6">0 зависит от функций (0.1), системы (0.2) и чисел ^ ,49М9£ . Более того, в этой оценке можно заменить £ на

1^+1) (^Ош)

---7

где постоянная ^ >0 зависит от функций ( 0.1) и числа ^

Заметим, что оценки мер сверху, полученные с помощью принципа Дирихле, показывают, что в последней оценке главный член в показателе является точным.

Пользуясь работой А.Б.Шидловского [8:10^ , А.И.Галочкин в 1968 году заменил в неравен-

стве ( 0.4) постоянную конкретной функцией

от ^ и Угг. и обобщил результат на случай меры более общего ввда.

В 1979 году А.Б.Шидловский в статье ¡8:12^ обобщил понятия мер линейной независимости, трансцендентности и взаимной трансцендентности чисел.

Пусть Ц( - алгебраическое поле. Высотой

(р) относительно поля к многочлена р Е [_ 2 ] называют максимум модулей его коэффициентов и всех их сопряженных в поле /К .

А.Б.Шидловский рассматривает меры, которые определяются аналогично приведенным выше определениям, с той лишь разницей, что коэффициенты соответствующего многочлена Р или линейной формы принадлежат » а высота Н~Н (?) заменена высотой относительно поля 1 » Н^ ^ ^(Р) *

Соответствующие меры обозначаются I __ | £ < и)

А.Б.Швдловским в статьях [8:12] , [в'.и] , [8:16¡] и ¿ 8:18^ установлен ряд общих теорем об оценках

мер '¿К • % • *£ ■

Оценки мер значений различных функций ( 0.1)

получаемые аналитическими методами теории чисел , обычно содержат некоторые постоянные. Эти постоянные зависят от класса функций , которому принадлежат функции ( 0,1 ) , числа \У1 этих функций, значения ^ , при котором они рассматриваются и степени меры 4-

Постоянную, входящую в оценку меры убудем называть эффективной, если она может быть вычислена с помощью конечного числа действий: сложения, вычитания, умножения, деления .возведения в степень, логарифмирования, нахождения наименьшего и наибольшего элемента конечного множества и т.д. 9 производимых над параметрами , определяющими совокупность функции ( 0.1) , числами )П , ^ , &

Если пользоваться только алгебраической независимостью Е-функций (0.1) , удовлетворяющих дифференциальным уравнениям (0.2) , то в общем случае оценки мер взаимной трансцендентности, получаемые методом Зигеля - Шидловского, будут? неэффективными. Однако, если потребовать, чтобы рассматриваемые функции удовлетворяли более сильному условию неприводимости произведений степеней функций ( 0.1) , то эти оценки становятся эффективными. Однако, проверка условия неприводимости является

очень сложной и возможна трлько в некоторых частных случаях.

Ряд общих теорем об эффективных оценках мер значений Е-функций в а лгебраических точках был установлен А.Б.Шидловским в 1979 году в работе . В.Х.Салихов [б:1] в 1978 году получил эффективные оценки мер значений некоторых конкретных функций,

В статье Ю.В.Нестеренко [4:1] в 1977 году была установлена оценка меры вцца (0.4) , но в которой постоянная С эффективно зависит от 4В 1965 году А.Бейкер ]]ю:1] доказал следующее утверждение.

Теорема. Пусть оС^ С) о£ • I ФУ

1-1^~±)11.7Ууг. . Тогда существует число

С > О 9 зависящее от Ы; ( } , ,, такое»

что для любого набора чисел 0.. £ ^

а - тсизс!а< \>о

¡< 1<Ы * выполняется неравенство

I ^ / \-1

У а. е

¿-I

ЙЕ Лу , ,,

>а • Пта^аШО.б)

Н. И. Фельдман [7:1] в 1967 году получил аналогичный результат с более точным остаточным членом для значений функций

^ л. (0.6)

Содержание настоящей работы продолжает и развивает указанные выше исследования об оценках линейных форм и многочленов от значений Е-функций.

§2. Формулировка основных результатов

Изменим определение Е-функции следующим образом, заменив в приведенном выше определении оценки Ofïê*^ на О . Каждая Е-функция всмыеле второго опре-

деления является Е-функвдей в смысле первого определения. Обратное не верно. Но все известные Е-функции, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям с коэффициентами из С (z) , удовлетворяют второму определению Е-функции.

Е-функции с коэффициентами степенных рядов из алгебраического поля Ifc будем называть Ifc Е -функциями, а в случае IK= F - К Е -функциями.

Определим класс Е-функций lÎC'E (Х{¡fity) следующим образом. Будем говорить, что целая функция

входит в класс IKЕ ("к}С,fi, ty) ,если

1) oLhe\\< и % С*1 Для всех

2) существует последовательность

такая, что , Î- О, L /2.,

h. . и для всех О, 1

Рассмотрим совокупность функций из класса IK Е (] С J4 fy) *состоящую из подсовокуп-

ностеи

» (0.7)

и удовлетворяющую системе линейных неоднородных дифференциальных уравнений

I л±

г1} (0.8)

либо системе линейных однородных дифференциальных уравнений

ф , (0.9)

Пусть многочлен / ^СГ^Д такой, что все

€ (С £2].

Как будет показано ниже1 (см.глава I, лемма 3) можно считать, что многочлен

все рациональные функции (р^ £ 11^(2) Обозначим

И

(0.Ю)

С ш0), та* н 0

° v \К 1], А 1К Ч-6''

Сформулируем теоремы из главы I. Пусть

{(^^¿^а Шо

с-/ 4

(0.П)

произвольная линейная форма от функций (0.7) с коэффициентами §в а <Е /Р

> V (к'

Обозначим

1 Iа1',1 ,если £1а..1>0

и & ^ Ьъаос а:

Кроме того, обозначим

р = Пыти &го1 - (0Л2)

У 1 ^

минимальный порядок нуля в точке Ъ —О Функций (0.7 ) и

Л/=П, +.„+/1^ ~ (0.13)

число функций (0.7)

В нижеследующих теоремах участвуют постоянные С! > О и0,о>О • Эффективная постоянная (2 будет зависеть от класса /^/г^С, Д, »

которому принадлежат рассматриваемые функции, от значения аргумента ^ , а так^же от чисел ^ и С . Постоянная 0.о будет зависеть от тех же величин, а таЕкже , возможно, от системы (0.8 ) или (0.9 ) , которой удовлетворяют

функции (0.7) , от чисел р , V и от степени |> многочлена в том случае, когда оценивается значение этого многочлена от функций ( 0.7 ) в точке ^ .

ТЕОРЕМА I. Пусть совокупность Л Е -функций ( 0.7 ) составляет решение системы дифференциальных уравнений ( 0.8) и вместе с функцией I с*ы линейно независима над (С (З?) » число ^ £ Ц* и Т(\) ^ О • Тогда существуют эффективная постоянная С! >0 и постоянная (2С>0 такие, что для любой линейной формы /^.(Зг) ( 0.11 ) от функций ( 0.7 ) при (X >. п выполняется неравенство

О

с д/4

т

-п.

>а П а. '

с

1=1

ТЕОРЕМА I . Пусть выполнены условия теоремы I и функций ( 0.7) вместе с функцией £

образуют неприводимую систему функций. Тогда в утверждении теоремы I постоянная 0_о также является эффективной.

Теорема I содержится в нижеследующей теореме 2.

Обозначим ^ (?) , ^ -линей-

ные формы, которые получаются из 0.11)

заменой всех чисел о » • ж всех коэффициентов степенных рядов функций (0.7) на их сопряженные числа из поля /К^

ТЕОРЕМ 2. Пусть совокупность ¡К £ -функций ( 0.7 ) составляет решение системы дифференциальных

, гг

уравнений (0.8 ) и вместе с функцией (?) £ линейно независима над С , число ££ и ^ ^ ^ * Тогда существуют эффективная постоянная С > О и постоянная 0.о>0 , такие, что

для любой линейной формы (ъ) (0. II) от

'К

функций ( 0.7 ) при (Х>/(10 выполняется

неравенство , л

алг

* 1=1

УП

ТЕОРЕМА 2' . Пусть выполнены условия теоремы 2 и функции4 (0.^вместе с функцией образуют неприводимую систему функций. Тогда в утверждении теоремы 2 постоянная <Х0 также является эффективной.

Рассмотрим частный случай теоремы I. Пусть числа /2, — 4 , £ . Отбрасывая лишние

с

индексы в обозначении функций (0.7) й коэффициентов системы (0.8 ) , будем считать, что совокупность функций

(0.15)

из класса ЛЕсоставляет решение системы дифференциальных уравнений

(0.16)

»г.

ТЕОРЕМ 3. Пусть совокупность /£ -функций (0.15) составляет решение системы дифференциальных уравнений

(0.16) , каждая функция 0*) ; ¿ ~ ^, . . трансцендентна, число | £ Ц , ^ Т^З^О и выполнены условия

еоср

(0.17)

где 1 Цг обозначает некоторую фиксированную пер-

вообразную для С? € £ . Тогда существуют эффективная постоянная 0>О и постоянная 0.о>0 такие, что для любой линейной формы

¡1 <.= £ ' -«• -

от функций (0.15) при О. =)пала I I ^ (2

1 ¿¿¿¡п °

выполняется неравенство

Си*1

0 Л-\ / т

Ц\) > а

^=1

(0.18)

толь

Ыа)

ТЕОРЕМА з'. Пусть выполнены условия теореш 3

и любое решение системы, (0.16) состоит из функций , каждая из которых либо тождественно равна нулю, либо трансцевдентна. Тогда в утверждении теореш 3 постоянная CLc является эффективной.

Теорема 3 содержит оценку А.Бейкера- (0.5) для линейных форм от показательных функций О. . Следствием теореш 3 является следующая теорема. ТЕОША. 4. Пусть \ ¿ <Q ; ; 2¿ ~ £ 7¿?

fj-/ oC.ell ¿.ФсС*

' /С. ) L. j )

4m; L*J>

функции \px (z) определены равенством. (0.6)

Тогда существуют эффективные постоянные С>0 и CL0> О 9 зависящие от чисел 2,,,, 9 /1 rt)

• такие,чтопри Cl г CLa выполняется неравенство

| В + Г. ñ a fh fc) |>

Ofan)*

m ^

> (Ж

П П

( l~l t=i

где а= м |а. I £

1 «-Г» ? * ^ -

С помощью теореш 2 можно получать оценки снизу модулей многочленов с коэффициентами из от значений совокупности 11( Р -функций , (0.7) , если рассматривать эти многочлены, как линейные формы от произведений степеней этих функций.

Рассмотрим произвольный многочлен P^^JT? ( £ J с% Р = !> , РФ О и обозначим

Р^ » ^ ~ О t • • • > % , совокупность его однородных членов степени ^ ,

[н(ре) .если

Н=Н(Р) , Ы \t] <

1 II »если =С/

(VL + l-t\ ,

И е

TEOPEvIA 5 . Пусть совокупность jT£ - Функций (0.7) при У)1 = £ и nt~ У1 составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (0.9) и алгебраически независима над (Е(%) . Пусть число J £ Л , f / C^iO и число $ <г ¿V . Тогда существуют эффективная постоянная С, > О и постоянная dQ>0 такие, что для любого шюгоч-лена Р* , Р*0 ,

при /-/ (р) выполняется неравенство

L 1 (0.19) ТЕОРЕМА б' . Пусть выполнены условия теоремы 5

и совокупность произведений степеней функций (0.7)

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Макаров, Юрий Николаевич, 1983 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Белогривов И. И.

I. О трансцеццентноети и алгебраической независимости значений функций Куммера.- С M Ж, 1971, 12, J65, 961 - 982.

2. Гельфовд А.О.

1. Sur les propriétés arithmetigue des functions entiers,_ Tohoku Math.Journ.,1929,30,280-285.

2. Sur les nombres transcendants.- Compt.Rend. Acad.Sci.(Paris? ,1929,189,1224-1228.

3. О седьмой проблеме Гильберта.- ДАН СССР, Ï934, 2, »I, 1-6.

4. Sur Íes septieme problème de Hilbert.-Изв.АН СССР,Сер.матем.,1934,7, 623 - 630.

3. Галочкин А. И.

Ï. Оценка меры взаимной трансцендентности значений E-функций.- Матем.заметки, 1968, 3, М, 377 - 386.

4. Нестеренко Ю.В.

Í. Оценки порядков нулей функций одного класса ¿ их приложение в теории трансцендентных чисел. - Изв. АН СССР, Сер. матем., 1977, 41,

JÊ2, 53 - 84.

i

5. Нурмагомедов М.С.

I. Об арифметических свойсвах значений одного

класса аналитических функций.- Матем.сб. ,1971, 85 ( 127) , вып.3(7) , 339 - 365.

6. Салихов В.Х.

I. Об оценках мер линейной независимости и трансцендентности значений некоторых Е-функций в рациональных точках.- Вестн. Моск. ун-та, Сер. матем.,механ., 1978, $3, 9-18.

7. Фельдман Н.И.

I. Оценки снизу для некоторых линейных форм.-Вестн. Моск. ун-та, Сер.матем. ,механ., 1967, №2, 63 - 72.

8. Швдловский А.Б.

1. О трансцендентности и алгебраической независимости значений целых функций некоторых классов.- ДАН СССР, 1954, 96, №4, 697 - 700.

2. О трансцендентности и алгебраической независимости значений целых функций некоторых классов.- 7ч.зап.Моек, ун-та, 1959, вып. 186, матем., 9, II - 70.

3. О критерии алгебраической независимости значений одного класса целых функций.- ДАН СССР, 1955, 100, £2, 221 - 224.

4. О трансцендентных числах некоторых классов.-ДАН СССР, 1955, 103, №, 997 - 980.

5. О трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций , связанных алгебраическим уравнением в поле рациональных функций.- Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ., 1960, $5,"19 - 28.

6. О трансцевдентности значений одного класса

целых функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям.- ДАН СССР, 1955, 105, »I, 35 - 37.

7. О новом критерии трансцевдентности и алгебраической независимости значений одного класса целых функций. - ДАН СССР, 1956, I06.J&3 , 399400.

8. О трансцевдентности и алгебраической независимости значений E-функций, связанных любым числом алгебраических уравнений в поле рациональных функций.- Изв. АН СССР. Сер. матем., 1962, 26, *6, 887 - 910. .....

9. 0 критерии алгебраической независимости значений одного класса целых функций.- Изв. АН

СССР. Сер. матем., 1959, 23, J6I, 35 - 66.

* ч „ •

10. К общей теореме об алгебраический независимости значений E-функций.- ДАН СССР, 1966, 171, №4, 810 - 813.

11. Об оценках меры трансцевдентности значений É-функций.- Вестн. Моск. ун-та. Сер.матем., механ., 1977, 1S6, 3 - 10.

12. °п the estimates of the algebraic independence measures of the values of E-functions

J.Austral.Math.Soc.(serie A),1979,27,385-407.

13. О трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых E-функций.- Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ., 1961, №5, 4459.

14. Об арифметических свойствах многочленов от значений Е-функций, связанных алгебраическими уравнениями в поле рациональных функций.-Acta arithmetics,1979137, 403-424.

15. Об арифметических свойствах значений Е-функ-ций в алгебраических точках.- ДАН СССР, 1979, 248, JH, 50 - 55.

16. Об оценке меры взаимной трансцендентности значений E-функций, связанных произвольными алгебраическими уравнениями над (С (Ъ)

УМН, 1980, 35, вып.2, 233 - 234.

17. Об арифметических свойствах значений Е-функций, связанных алгебраическими уравнениями в поле рациональных функций.- ДАН СССР, 1980 , 251,

A4 , 808 - 812.

18. Об оценках многочленов от значений Е-функций.-Матем. сб., 1981, 115 (157) , вып. I (5) ,3-39.

19. Диофантовы приближения и трансцеццентные числа.-М. :ЙЗД.МГУ, 1982.

9. Шмелёв A.A.

Ï. Об алгебраической независимости значений некоторых Е-^ункций.- Изв. высш.учебн. завед. Сер.матем., 1969, M 83 , 103 - III.

10. A.Baker

1. On some diophantine inegualities involwing the exponential function.-Canad.J.Math.,1965, 17,Щ, 616-626,

11. E.Borel

1. Sur la nature arithmétique du nomber e.~ Gompt.Rend.Acad.Sei(Paris),1899,128,596-599.

12. Ch.Hermite

1. Sur la fonction exponentielle.-Compt.Rend. Acad.Sci(Paris),1873,77,18-24,74-79,226-233,285-293;(Euvres 111,150-181).

13. S.Lang

1. A transcendence measure for E-functions.-Math.,1962,9,157-161.

14.3?. Lindemann

1. Uber die Zahl .- Math,Ann., 1882,20,213-225.

15. J.Liouville

1. Sur des classes très etendues de quantités dont la valeur n'est ni algebrique, ni mene réductible a des irrationelles algebriques.-Compt.Rend.Acad.Sci(Paris),1844,18,883-885.

16. K.Mahler

1. Zur Approximation der Exponential fuhktion und des Logarithmus.-Journ.reine und angew. Math.,1932,166,118-136.

2. On a paper by A.Baker on the approximation of rational powers of e.-Acta Arithmetica 1975,27,403-424.

17. Ch.Osgood

1. Nearly perfect systems and effective

generalizations of Shidlovski's theorem.-0.Number Theory, 1981,13,^4,515-540.

18. J.Popken

1. Sur la nature arithetique du number e.-Compt.Rend.Acad.Sci.(Paris),1928,186,1505-1507.

19. C.Sigel

1. fiber einge Anwendungen Diophantischer Approximat ionen•-Abb.Preus s.Akad.Wis s., Phys.-math.ke.,1929,Ш1,1-70.

2. Transcendental numbers.-Princeton,1949.

20. k.Vaananen

1. On linear forms of the values of one class of E-functions.-Acta Universitatis Ouluensis Ser.A,Math.,1976,12,5-18.

2. On lower estimates for linear forms involving certain transcendental numbers.-Bull.Austral.Math.Soc.,1976,14,161-179.

21. K.Weierstrass

1. Zu Lindemann-»-s Abhandlung "Uber die Ludolh* sche Zabl".-S.-B.Preuss.Acad.Wiss., 1885, 1067-1085.'

22. Макаров Ю.Н.

1.06 оценках мары линейной независимости значений Е-функций.- Бестн.Моск.ун-та. Сер. матам. ,механ. ,1978, Ш, 3-12.

2. Об оценках меры линейной независимости значений одщого класса Е-функций.- Сборник Теоретические и прикладные вопроси алгебры и дифференциальных уравнени,Киев, 1976, 105-106.

3. об эффективных оценках мер взаимной трансцендентности значений некоторых классов Е-функций.-_ деп.ВИНИТИ, 1980, В 2223-80 Деп.

Об оценках снизу многочл8нов и линейных

форм от значений Е-функций.- Тезисы докладов

и сообщений всесоюзной школы по теории чисел, Душанбе, 1977, 81-82.

5, Об эффективных оценках мер взаимной трансцендентности значений некоторых Е-функций.-Тезисы докладов всесоюзной конференции "Теория трансцендентных чисел и её приложения", изд.МГУ, Москва ,1983,££-7.9.