О разрешимости функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве с произвольным степенным весом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Алиев, Ислам Рзаханович

• Алиев, Ислам Рзаханович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Алиев, Ислам Рзаханович

Введение.

Краткое содержание работы.

ГЛАВА I. Теоремы существования и единственности.

§ 1.1. Уравнение с постоянными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента.

§1.2 Случай маловозмущенного уравнения.

ГЛАВА II. О нормальной разрешимости уравнения.

§2.1. Конечномерность ядра оператора Lpo.

§2.2 Конечномерность коядра оператора Lp0.

§ 2.3 Индекс оператора Lpo.

ГЛАВА III. Уравнение в полупространстве.

§ 3.1 Вспомогательные леммы.

§ 3.2 Случай начальной задачи.

§3.3 Некоторые замечания по уравнениям с линейным отклонением аргумента.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О разрешимости функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве с произвольным степенным весом»

Характерной особенностью современной теории дифференциальных уравнений состоит в использовании абстрактной теории операторов в гильбертовом пространстве. Это можно объяснить тем, что различные задачи могут быть записаны в виде уравнения Lu = f, изучение которого позволяет отвлекаться от специфических и частных трудностей, присущих каждой конкретной задаче, сосредоточив внимание на наиболее общих закономерностях. Другим преимуществом этой теории является то, что уравнения с неограниченными операторными коэффициентами охватывают как частный случай уравнения с частными производными, изученными не достаточно.

Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом появились еще в XVIII веке в связи с решением задачи Эйлера о разыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. Основные теоремы общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и постановка начальной задачи были даны в диссертации А.Д. Мышкиса «Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом» (1950).

Разработка теории таких уравнений начата, в основном, во второй половине 20 - века под влиянием запросов техники и естествознания. Теория этих уравнений стала применяться в самых разнообразных областях механики, физики, биологии, техники и экономики. Особенно эта теория нашла свое применение в современной технике, где имеет дело с колебательными процессами в системах с последствием и в системах с запаздывающими связями, в автоматике и телемеханике, электросвязи, радиолокации и т.д. Наличие запаздывания в авторегулируемой системе может высказать появление самовозбуждающихся колебаний, увеличение перерегулирования и даже неустойчивость систем.

Причиной неустойчивости горения в жидкостных ракетных двигателях является, как принято считать, наличие времени запаздывания, времени, необходимого для превращения топливной смеси в продукты сгорания. Все это объясняет значительное усиление внимания к уравнениям с запаздывающим аргументом в последнее время.

Дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом определяется как уравнение, в которое, кроме аргумента t, входит искомая функция и её производные, взятые вообще говоря при различных значениях аргумента t. Такое уравнение имеет запаздывающий тип, если значения старшей производной при любом значении t = /0 определяются через младшие производные при t<t0. Такие уравнения описывают процессы, скорость которых определяется их предшествующим состоянием.

Переход от обычного уравнения *'(/) = /(/,*(/)) к уравнению с отклоняющимся аргументом означает, что вместо *(/) в правой части рассматривается функция x(t - h(t)), где h(t) - заданная функция. Уравнение с сосредоточенным запаздыванием т 1 d Lu{t) = Dlu{t)-YJAJ{t)u{t-hj{t)) = f{t), D, = ~у (1) у=о i dt является частным случаем уравнения с распределенным запаздыванием оо

Lu{t) = D,u{t) - \u{t - T)dxr{t,г) = /(/), (2) i

Г 0-00 < t < о, когда r(t, г) = £ Aj (/)/(r - hj (0), /(0 = 1 ' ро { 1,0 </<00.

Если решение уравнения (1) или (2) находится на участке |/0,оо), то при подстановке u{t) в уравнение появляются значения u{t) при значениях аргумента, меньших /0, т. е. там, где эта функция не определена. Поэтому эти значения надо задавать дополнительно. Задавая u{t) = g(t) при t <t0, решение уравнения u(t) для t > t0 рассматривается как бы продолжение начальной функции g(0- Если mf(t-h/t))"=h, то начальную функцию g(t) достаточно задать на участке [/М0].

Таким образом, получается естественное обобщение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Последним обобщением уравнения (1) является переход от уравнения (2) к системе уравнений вида (2), а также рассмотрение (1) в более общих пространствах.

Различные задачи могут быть записаны в виде уравнения (1) и в зависимости от дополнительных условий (начальных, граничных) появляются различные пространства в качестве области определения оператора L.

Операторному уравнению в случае, когда iA(t) - производящий оператор полугруппы или ограниченный оператор, посвящены многочисленные работы. Без этих предположений уравнение (3) с постоянным оператором изучено в работе Ш. Агмона и JI. Нирегберга [1]. В частности, в той статье выведены асимптотические формулы для решения экспоненциального типа при условии, что спектр оператора А состоит из нормальных собственных значений, расположенных (за исключением быть может конечного числа) в некотором двойном угле радиуса меньше ж. Эти результаты были распространены А.Пази [46] на уравнения, коэффициенты которых отличаются от постоянных на экспоненциально убывающие слагаемые. При условии, что оператор A(t) стремится при t -»оо в некотором слабом смысле к оператору А, М.А. Евграфовым [24] была получена асимптотика при t -> оо решения уравнения (3). где A(t) - собственное число оператора А(/), стремящееся при t —»оо к простому собственному числу Л оператора А, ф(1) - соответствующий собственный элемент.

D,u(t)-A{t)u(t) = Q

3)

Следующим шагом в этом направлении явилось работа А. Пази [46] , в которой получена асимптотика решения u(t) уравнения

1-A{t)u(t) = f(t) (4) at в банаховом пространстве X для случая т=I t t где А0 - замкнутый линейный оператор с плотной в X областью определения.

Дальнейшие исследования были посвящены уравнения (1) и принадлежат Р.Г.Алиеву [13]. Особое внимание было обращено на вопросы существования, единственности, устойчивости и асимптотического поведения решений. В работах Р.Г.Алиева рассмотрены линейные, нелинейные уравнения как первого так и высших порядков я-1 т

D"u{t) -YZA;{t)Shkj №!u(t) = ДО,

0 7=0 уравнения с периодическими коэффициентами, а также с распределенным запаздыванием типа (2).

В отличие от работ Р.Г. Алиева, в которых уравнения рассматривались в пространствах с экспоненциальным весом, дальнейшие исследования проводились в пространствах со степенным весом вида (l + [4, 5, 6].

В настоящей работе продолжаются исследования уравнения (1) в пространствах с произвольным степенным весом вида (l + |/|2ar), 2а = п + 0,

0</?<1, п> 0.

Для изучения рассматриваемых уравнений используются известные методы из теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории функции комплексного переменного, так и методы, подсказанные спецификой уравнений с отклоняющимся аргументом.

Изучая уравнения в гильбертовом пространстве, мы все время имели в виду применение полученных результатов к уравнениям в частных производных, к бесконечным системам, хотя в равной степени эта теория может быть использована и к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, которыми занимаются многие.

Существенным моментом применяемого метода является преобразование дифференциального уравнения в алгебраическое уравнение (уравнения в частных производных в обыкновенное уравнение) с помощью преобразования Фурье, чем преодолеваются определенные трудности и обходят встречаемые препятствия. Однако после решения «облегченной» задачи для получения решения первоначальной задачи надо применить обратное преобразование Фурье, где существенную роль играет хорошо известная теорема Планшереля (Парсеваля), связывающая решения этих двух задач.

Когда уравнения рассматриваются в пространствах с экспоненциальным весом exp(ctf), а = const е R, то теорему Планшереля [13] применяем к равенству гt(t) = -jL= J e'Mu{X)dX = е'* —}= JV^m"^ + ia)dcr,

Л/2Л- 1тя=аг лШг.оо т. е. пользуемся равенством ехрМкЮЦ Ч1ЭДЦ

L'{R.X) II 4 'Hi (1тЯ=аг,А')

Если весовая функция степенного вида целой степени п, то применяя теорему Планшереля к равенству с/"и(Л) 1 dX"

-1= Гехр(-/Д/)(-/0" u(t)dt л/2 я-4, имеем утверждение d"u{X)

И" "(О

V(R,X) dX"

Г (ImA=0,X)

Существенно меняется положение, когда весовая функция имеет форму произвольной степени 1/1", 0 < а < 1.

Чтобы применить известные и использованные в предыдущих случаях методы здесь обходится применение дробного дифференцирования по Лиувиллю [35]

Основные обозначения и определения

Приведем сначала наиболее часто встречающиеся в работе обозначения и определения, а также некоторые к ним пояснения. X, Y - гильбертовы пространства, X с У , ||-|| (|||г) - норма в пространстве

X(y), II > II . Последнее неравенство предлагается выполненным.

ЬХ(ЕХ,Е2) - множество вполне непрерывных операторов из Ех в Е2.

L(Ex,E2) - множество ограниченных операторов из Е1 в Ег.

Z0(£,,£2) - множество замкнутых операторов из в Ег.

F(E],E2) - множество фредгольмовых операторов из £, в Ег.

Ех, Е2 - линейные нормированные пространства. u(t), а = О,

Г(ог) - гамма функция. А - равно по определению.

АСХ - множество абсолютно непрерывных скалярных функций с интервалом определения I.

Suppu{t) = {t,u(t) * 0}n(? - носитель определенной и непрерывной на открытом множестве GaR функции. С - плоскость комплексного переменного.

Cq(G) - множество бесконечно дифференцируемых на открытом множестве G функций с компактными в G носителями.

Говорят, что / на Е имеет порядок ср или / есть О большое от (р на Е и пишут при этом /(/) = 0(<p(t)) на Е, если ||/(0||£ ^ Е на Е, где С -не зависящая от t положительная константа. В частности, /(/) = 0(l) на Е означает тот факт, что / на Е ограничено.

I}(r'°,x) - пополнение множества сильно непрерывных функций u(t) с компактными носителями в R+' и со значениями X по норме г \|/2

00

V"

0>- СО.

Х1£ - пополнение множества функций u{t), u(t) = 0, t < t0, с компактными носителями и со значениями в X, имеющих сильно непрерывные производные в Y по норме кон ]о+и2в)(|«(о1^+иоГк^

V'2 а = const, /0 > -оо.

Ч'» пополнение множества функций w(/), и(/) = 0, /</0, с компактными носителями и со значениями в У по норме \

1/2

1К')1= /о+гжмсл ч

IHII? ДЩх'-Г ' M^My»" • а = const, /0 > -оо.

HR': = \h(t)ACR,:, ,h\t) < г < 1,/0 < t < О)}.

Smu(t)Au(t-h(t)).

XA (т) - характеристическая функция оператора A. Она вводится для вполне непрерывных операторов и по заданному s определяется из неравенства \\Аи\\у <4и\\х+хАф\\у Vs, VueXaY. w(A)A(w(/)) - преобразование Фурье функции u{t).

Са - постоянная, зависящая от а.

Под решением уравнения (1), коэффициенты которого принадлежат пространству L(X,Y), понимается функция u(t) сильно непрерывная в Y, имеющая сильную производную при почти всех / в Y и удовлетворяющая уравнению.

Линейный оператор А:Х ->Y называется непрерывно обратимым, если выполнены условия:

1) область значений Im А = Y,

2) оператор Л обратим,

3) А'1 ограничен. т j=о

Обозначения для операторов: т 7=0 т т

Lp s А - I> Lo=£>,-H A J {t)Shj (/),

J=0 J=0 m j=0 v1

-b » V

V У

ЯЯ(0 = (Л£-А(ОГ.

Во всех рассмотренных выражениях Aj,Aj(t) - ограниченные операторы, области определения которых принадлежат пространству X, а области значений - пространству Y.

Как операторы из У в 7 их полагают неограниченными замкнутыми операторами.

Если при Л = Л0 область значений 1т(1р(Л0)) операторного квазипучка

Lp (Л) = ЛЕ-^ Aj ехр(-/Л/?7) плотна в пространстве X и оператор Ьр (Л0) у=о обладает непрерывным обратным оператором Яр{Л0), то говорят, что комплексное число \ принадлежит резольвентному множеству р(Ар) оператора Ар :Х Г.

Оператор Яр(Л0) называется резольвентой оператора Ар в точке Л = Л0. Совокупность всех комплексных чисел Л, не принадлежащих резольвентному множеству р(Ар), называется спектром оператора Ар и обозначается сг(Ар). Спектр бывает трех типов: 1) точечный спектр Ра -множество таких значений Л = Л0, при котором обратный оператор Яр(Л) не существует. Другими словами, уравнение т

1р(л0)р0 = Л0(р0 -^Aj exp(-U0hj)(p0 =0 имеет ненулевое решение <р0 с j=о

1Ы1*

2) Непрерывный спектр Са - множество таких значений Л = Л0, для которых существует обратный оператор Лр(Л0), но он не является непрерывным. Другими словами Lp(Л0) обладает обратным оператором Яр(Л0) с плотной в Y областью определения, но существует последовательность срп е X, Цд- =1,такая, что 6п =||^(Д0)^л|| 0 при п->со.

3) Остаточный спектр Ra - множество таких значений Л = Л0, для которых существует обратный оператор Яр(Л0), область определения которого не плотна в Y, т.е. существует элемент (р е Y такой, что для любого элемента \fj е X имеет место равенство = 0.

КегА - ядро оператора А: Ех -»£2, то есть совокупность всех решений уравнения Ах = 0, хеЕ,. КегА - замкнутое подпространство (как образ точки при непрерывном отображении).

Im А - образ оператора А: Е, -»Е2, то есть совокупность тех уеЕ2, для которых разрешимо уравнение Ах = у. Множество 1ш А не всегда замкнуто. Со ker А - коядро оператора А: -»Е2 определяется как фактор пространство Е2/1тЛ. i(A) - индекс определяется как разность dim КегА-dim Со ker A = a(A)-jff(A). Числа а(А) и /3{А) являются конечными для фредгольмового оператора.

Некоторые сведения из теории функций и функционального анализа

В этом пункте дается краткое изложение некоторых математических понятий и утверждений, используемых в дальнейшем.

Преобразование Фурье функций из L2(R,H), где Я - гильбертово пространство. преобразованием Фурье функции /(/), где под lim понимается предел по L2(R,H) норме. Преобразованием Фурье для всякой функции L2(R,H) определяется по формуле

Если 12(/?,Я), то функция называется

Если f{t) е l}(R" ,Н), то /(Л) = (2л-)"5 {exp(-UO/W,

Л" *=' и

Функция /(/) = (2л-) 2 |ехр(Ш)/(Д)£/Я называется обратным

R" преобразованием Фурье функции fit).

Теорема Планшереля. Преобразование Фурье переводит функции из L2iR,H) в LziR,H). Более точно, если fit)eL2iR",H), то функция /(Л) существует и fit) е L2 (Л, Я). При этом

7(Л)||2Я</Л = ]||/(0|>, /(0 = ]ехр(аг)7(Я)с/Д .

-ОО -СО V

Из этой теоремы следует, что если JmX -аФ 0, то / it) = |ехр(/ЯО/(^)^ = ~т= |ехр(/(ст + ia)t)/(cr + ia)da =

1 °° ~ ехр(-а/) ,— Jexp(/of)/(cr + ia)dcr, откуда

V2;r oo

1 00 ~ exp(etf)/(/) = —j== jexpiiot)ficx + ia)d<7 и по классической теореме Планшереля oo+/ar 2 i pi 2 00 °°

J |7(Я)||я^ = 11ехР(^)/(0|Гяdt ^ Jexp(af)||/(/fydt

-<x>+ia Im Л=а -co -oo обобщенная теорема Планшереля.

Непрерывность, дифференцируемость, регулярность.

Функция w(/) е Я называется непрерывной в точке г0, если |и(/)-«(/0)|я -> 0 при / -» /0 и непрерывной на [от, 6], если она непрерывна в каждой точке отрезка [а, Ь]. Норма непрерывной на [а,Ь] функции есть скалярная непрерывная функция.

Функция u(t) называется дифференцируемой в точке /0, если и(/0+Д/)-и(/0) существует элемент иеН такой, что

At

-v при At -» 0. и

Функция дифференцируема на отрезке (интервале, полуинтервале), если она дифференцируема в каждой точке отрезка (интервала, полуинтервала).

Функция м(0 называется регулярной в области G с С, если она имеет в каждой точке этой области производную.

Аналитическая функция в окрестности каждой точки t0 е G разлагается вряд 1 "(') = 1Х('-'оГ, где an=-/n\t0)eH.

А=0 л!

Ограниченный линейный оператор - функция К(Л) называется peiy лярной функцией Л в некоторой области D, если в каждой точке этой

- R(A + h)-R(A) области отношение —----сходится по норме пространства X к h некоторому пределу /?'(Я). Для имеет место теорема Коши об обращении в нуль интеграла по замкнутому контуру. В окрестности со изолированной особой точки имеет место разложение Я(Л) = ]ГВЯ(Л-Л0)", со сходящиеся по норме локально равномерно относительно Л . Особая точка Л0 есть полюс, если последнее содержит лишь конечное число членов с отрицательными степенями Л-Л0. Если К(Л) в области D имеет в качестве особых точек лишь полюса, то R(X) называется мероморфной функцией.

Линейный оператор A-.X-+Y называется замкнутым, если из х„ е D(A) и {х„,Ахп} (х,у) следует, что x е D(A) и у = АХ. С оператором А замкнут или не замкнут и оператор ЛЕ- А (с областью определения D(A)). Поэтому, если существует ограниченный обратный оператор (ЛЕ-А)~то оператор А замкнут.

Если Vm е X выполнено неравенство \Аи\ < С\и\ , то оператор А называется ограниченным, а наименьшее значение константы С называется нормой ЦлЦ = ||л||г оператора А. Ограниченный оператор непрерывен.

Обратно, определенный на всем пространстве X непрерывный линейный оператор ограничен.

Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он определен на всем пространстве X и отображает каждое ограниченное в X множество в компактное множество в У.

Ограниченный линейный оператор A(t) называется сильно непрерывным, если ||A(t -h)- A(t)\ О при h -» 0.

Теорема Арцеля. Пусть Я, компактно вложено в Я2. Если семейство функций (м(/)}, определенных на компакте [а,Ь\, равномерно ограниченно по норме пространства Я, и равномерно непрерывно по норме пространства Я2, то есть ||и(/)||я ^С» \u(t + h)-u(t)\H <s, \h\ < £(£•),то это семейство функций компактно в Я2.

Теорема о голоморфной оператор функции. Известно, что, если Т(Л): X -» Y голоморфна и существует Т~х (Л): Y X, то Т~\Л) -голоморфная оператор - функция. Это является следствием теоремы об устойчивости ограниченной обратимости.

Теорема Пели — Винера. Для того, чтобы функция /(х) (-00 < х < оо) ь допускала представление /О) = Jexp(ц/(Л) е L2 (a, b)), необходимо а и достаточно, чтобы функция f(x) имела интегрируемый квадрат на всей числовой оси и могла быть доопределена в плоскости как целая функция конечной степени. При этом, если интервал (а,Ь) не может быть заменен меньшим интервалом, то отрезок [ia, ib\ мнимой оси совпадает с сопряженной диаграммой функции /(г).

Неравенство для вполне непрерывных операторов. [13] Если А\Х -> Г вполне непрерывный оператор, то для любого е > О существует константа XA(s), что имеет место неравенство

Ли\\у < фЦ^ + Ха (*)|М1к Для любого ueXczY. Разбиение единицы.

Пусть G- открытое множество в пространстве R1. Допустим, что семейство открытых множеств {G,: / е /} покрывает G, то есть G = U . iel

Тогда система функций {0,-(f):/е/} класса Cq(r) такая, что для любого /е/ носитель suppOjit) содержится в некотором множестве Gn 0 < 6,(t)< 1 для п всех iel, для всех называется разбиением единицы, 1 соответствующим покрытию {Gi : i е /}. Альтернатива Фредгольма.

Пусть Т - вполне непрерывный оператор в банаховом пространстве В и Я - фиксированное и отличное от нуля число. При этих условиях неоднородные уравнения

ЛЕ-Т)х = у, (5)

IE-Г У = у (6) при любых у е В и у* е В' имеют единственные решения тогда и только тогда, когда однородные уравнения

ЛЕ-Т)х = 0, (7)

ЛЕ-Т'У=0 (8) имеют лишь нулевые решения. Кроме того, если одно из однородных уравнений имеет ненулевое решение, то они оба имеют одно и тоже число независимых решений. В этом случае уравнения (5) и (6) имеют решение тогда и только тогда, когда векторы у и у ортогональны ко всем решениям уравнений (7) и (8) соответственно.

Компактное вложение.

Тождественный оператор А: Я, -»Н2, ставящий в соответствие элементу хеЯ, тот же элемент как элемент пространства Н2, называется оператором вложения пространства Нх в пространство Н2. Если оператор вложения есть вполне непрерывный оператор, то вложение называется компактным.

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из трех глав, разделенных на 10 параграфов. Первая глава посвящена вопросам разрешимости уравнения

Lpou(t) ^ D,u(t)-±[Aj + AJ (ф„ h </)u(t) = /М (>to^ (9) j=о и его частных случаев.

Первый параграф посвящен частному случаю уравнению (9) т

Pu(t)= Dlu(t)~YdAJShu(t)= f(t), (10)

7=0 с постоянными неограниченными замкнутыми операторными коэффициентами А} : Y У и постоянными отклонениями hj аргумента произвольного знака в случае всей оси - со < / < оо и положительного знака в случае полуоси -oo<t0<t <<х>, у = 0,1,., т. Кроме того получается h0 = Ос тем, чтобы уравнения (9) и (10) содержали в себе как частные случае уравнения без отклонений аргумента D,u(t) ~ Au(t) = 0 и D,u(t) - A(t)u{t) = 0.

В начале §1.1 доказаны вспомогательные леммы 1.1.1 - 1.1.5 о преобразовании Фурье дробной производной, о дробной производной преобразования Фурье, преобразования Фурье дробной производной со сдвинутым аргументом, об оценках норм решений уравнений и их производных в пространствах с произвольным степенным весом.

Основным утверждением этого параграфа является следующая Теорема 1.1.1 Выполнение условий: Rp(X) регулярна, dkR(Z) dXk 0( 1), dk{XRp(X)) dlk O(l), \Л\ -> оо, \тЛ = О, Л: = 0,1, необходимо и достаточно для обратимости оператора Lp : Х\а -» Y%'a., О < а < ^.

В конце §1.1 приведен пример скалярного обыкновенного дифференциального уравнения для иллюстрации абстрактной теоремы 1.1.1. Если Aj(t) и hj(t), j = 0,\,.,m, малы в некотором смысле и

Aj eL 0 (X, 7) о L и (X, 7), j = 1,2,., т, то в § 1.2 доказаны леммы 1.2.1 и 1.2.2 о свойствах вполне непрерывных операторов и теорема 1.2.1 о достаточных условиях непрерывной обратимости маловозмущенного оператора гО.а

Теорема 1.2.1 Пусть выполнены условия: a) Aj.:Y->Y - замкнутые операторы, j = 0,\,.,m, Aj-.X->Y - вполне непрерывные операторы, j = 1,2,., m; dkRp{X) d'(jLRp(A)) б) резольвента R (Л) регулярна, dЛк

0(1), dAk 0( 1), i| —»оо, 1шЯ = 0, к = 0,1.

Тогда существует е>0 такое, что если ||^у(/)|| < s, |/гу ^ £, t е R, j = 0,1,., т, то оператор L : Х\а Y^a непрерывно обратим.

Приведен пример скалярного уравнения первого порядка для иллюстрации абстрактной теории.

В главе И, снимая малость переменных составляющих операторных коэффициентов Aj(t) и отклонений аргумента hj(t), исследуется вопрос о нормальной разрешимости уравнения Lpou(t) = fit) в гильбертовом пространстве .

В §2.1 доказана следующая о конечномерности ядра оператора L

Теорема 2.1.1 Пусть выполнены условия: a) Aj-.Y-^Y - замкнутые операторы , у = 0,1,.,/я, Aj-.X-^Y - вполне непрерывные операторы, у = 1,2,.,т и существуют пределы lim 1.4,(01 =0,

-»оо11 J ПК

Ит|/г, (0| = 0, hj (0 ^ г < 1, у = 0,1,., m,teR; б) резольвента R АЛ) регулярна, dkRPW с1Л 0(1), dk^RM)) алк о( 1),

Л|->а>, 1тЛ = 0, * = 0,1.

Тогда ядро оператора Lpo: X]Ra -> Y°,a конечномерно. В §2.2 доказана

Теорема 2.2.1 Пусть выполнены условия: а) Aj +Aj(t):Y ->Y - замкнутые операторы, у = 0,1,.,/и, Aj + А}(0: X Y вполне непрерывные операторы, у = l,2,.,w,/ е R; существуют пределы limlU (0|1 = 0, limh.(0 = 0, h. (t)<r<\, у = 0,1,.,m; А.(0 непрерывно j "У И-»00 зависит от teR,j = 0,1,.,/л; б) резольвенты R А Л) и i?(A,0 = (ЛЕ -А0- A0(t))~' : Y -» X регулярны, dkR,(X) dAk 0{ 1), dk(AR(A)) dAk 0( 1), dkR(A,t) dAk 0(1), dk{AR(Ajj) dAk 0(1),

Л|->оо,1тЛ = 0, teR.

Тогда коядро оператора Lpo \Хх£ -» конечномерно.

В конце параграфа приведен пример уравнения теплопроводности с запаздыванием и исследован оператор, порождаемый задачей для этого оператора с граничными условиями без начальных условий. В параграфе 2.3 доказаны теоремы об индексе оператора

Теорема 2.3.1 Пусть выполнены условия: a) Aj-.Y-^Y - замкнутые операторы, j = 0,1,., т, Aj-.X-^Y- вполне непрерывные операторы, у = 1,2,.,/и; существуют пределы Нт|Л (0|| =0,

->-оо1 j iiк

Hm|/*,(0] = 0, hj\t) < г < 1, j = 0,1,., т; т б) резольвента Rp (Я, у) = (Я - iy)E - Aj exp(-/ЛЛ.)

7=0 регулярна, dkRAA,y) dAk 0( 1), dk{AR(A,y)) dA 0(1), Нт||7?(Я,/)||д, = 0, \А\ -> оо, Im А = 0;

Тогда ядро оператора (bpo - iy): X)f -» Y^,a при достаточно больших значениях / равно нулю.

Теорема 2.3.2 Пусть выполнены условия: а) Aj+Aj(t):Y->Y - замкнутые операторы, j = 0,1,., m, Aj+Aj(t):X^>Y вполне непрерывные операторы, у = 1,2,.,га, teR\ существуют пределы Нт|л,(/)|| =0, НтЛДО = 0, h,(t)<r< 1, A At) непрерывно зависит от teR,

-»»1 ' Н К И"*00 j = 0,1,.т; б) резольвенты R А А,у) и R(A,t,y) = ((A-iy)E- А0- A0(t))~' для любого teR регулярны, dk(XR(A,t,yj) dkRM>7) dK 0(1), dk(AR{l,yj) dK 0( 1), dkRM^r) dxk 0(1), 0(1), |Я| -» О, 1тЛ = 0,

00" dXk teR, Л = 0,1.

Тогда коядро оператора (bpo -iy): при достаточно больших значениях у равно нулю.

Следствие 2.3.1 Пусть выполнены условия: a) Aj + Aj(t):Y Y - замкнутые операторы, j = 0,1,.,/я, Aj + Aj(t): X -> Y вполне непрерывные операторы, y' = l,2,.,m, /еЛ; существуют пределы lim|U,(/)| =0, \imhAt) = 0, hAt)<r<\, ЛД/) непрерывно зависит от /ei?,

-*»ll II к И-»00 j = 0,1,.т; б) резольвенты и Л(Я,/,/) -регулярны,

Я,Г) 0(1), dk(XR(A,yj) dAk 0( 1), dkR(A,t,y) dAk 0(1), dk(AR(A,t,y)) dAk dAk 0(1), |Я| -» 0,

Нт^ДЯ,^ =0,1|т[Л(Я,/,у)||у =0, 1тЯ = a, t еЛ, к = 0,1.

00

Тогда индекс оператора : -> равен нулю. Глава III посвящена уравнениям на полуоси t>t0, то есть начальным задачам:

Lpu(t) = f(t), t>t0, (11) u(0 = g(0, t<tQ, и(/„+0) = £(/0). (12)

В §3.1 доказывается вспомогательные леммы З.1.1., 3.1.2 и 3.1.3. В §3.2 доказаны следующие

Теорема 3.2.1 Пусть выполнены условия: резольвента R (X) регулярна, dkRAX) d% 0(1), dk(ARp(X)) dXk 0(1), |я|—>со, 1тЛ<0, Аг = 0,1.

Тогда для любой /(/) е уравнение имеет единственное решение, принадлежащее пространству^^, что означает непрерывная обратимость оператора Lp : XxRa„ Y°f и равенство нулю решения u(t) для t <t0.

Теорема 3.2.2 Пусть выполнены условия a) Aj(t):Y->Y - замкнутые операторы, j = 0,l,.,m, Aj(t):X->Y - вполне непрерывные операторы, j = 1,2,., т, Aj (t) сильно равномерно непрерывны в R':, у = 0,1,.,/я; т , • б) Резольвента RQ(X,t) = /LE - Aj (/)ехр(- iXhj (t)) регулярна, dkR0M dXk 0(1), dk(AR0M) dXk 0(l), |Д|->оо, 1шД<0, teR':, k = 0,1; в) f(t)eY° \ AczR':; r) hj(t)eHR, hj(t)> 0, hj(t) равномерно непрерывно зависит от tsR'0, У = 1,2,.,/я.

Тогда уравнение L0u(t) = /(/)имеет единственное решение u(t) такое, что u(t) = 0 при t<t0.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Алиев, Ислам Рзаханович, 2005 год

1. Agmon S., Nirenberg L. Properties of solutions of ordinary differential equations in Banacush Space, Comm. Pure and appl. Math., 16, №2, 1963, p.-121-239.

2. Азбелев H.B., Рахматулина Л.Ф. Функционально-дифференциальные уравнения, ДУ, т.14, №5, 1978.

3. Азбелев Н.В. и др. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений, М.: Наука, 1991.

4. Алейдаров С.М. О единственности решения уравнения с отклоняющимся аргументом в пространствах со степенным весом. Дифф. Уравнения, 1986, т.ХХП, №12.

5. Алейдаров С.М. Достаточные условия разрешимости уравнения с малыми коэффициентами в пространствах со степенным весом. Межвуз. сб. «ФДУ и их приложения», 2001.

6. Алейдаров С.М. Нормальная разрешимость ФДУ в пространствах со степенным весом. Вестник ДГУ. Есгес. Науки, Вып.4.,2003.

7. Алиев И.Р. О нормальной разрешимости функционально-дифференциальных уравнений в пространстве с произвольным степенным весом, Вестник ДГУ, выпуск 1, Махачкала, 2005, 18-25.

8. З.Алиев Р.Г. Функционально-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве, Махачкала, 2001.

9. Атагишиева Г.С. К вопросу о существовании решений функционально-дифференциальных уравнений, убывающих быстрее экспоненты, Вестник ДГУ, вып-1. 1999.

10. Белман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения М.: Мир, 1967.

11. Бесов О.В. Ильин В.А., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения, М.: Наука 1975.

12. Блехнер П.М. Об операторах, зависящих мероморфно от параметра, Вестник МГУ, №5, 1965.

13. Валеев К.Г. Линейные дифференциальные уравнения с запаздыванием, линейно зависящим от аргумента, Сиб. мат. жур., т.5, 1964.

14. Винер Н., Пели Р., Преобразование Фурье в комплексной области, М.: наука, 1964.

15. Власов В.В. Разрешимость одного класса функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, материалы третьей Северо-Кавказской региональной конференции, Махачкала, 1991.

16. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существования, М.: Наука, 1976.

17. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов, УМН, т. 12, вып. 2(27), 1957.

18. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банановом пространстве, М.: Наука, 1970.

19. Евграфов М.А. Структура решений экспоненциального роста для некоторых операторных уравнений, труды мат. института им. АН СССР, 60, 1961.

20. Иосида К. Функциональный анализ, М.: Мир, 1967.

21. Като Т. Теория возмущения линейных операторов, М.: Мир, 1972.2727. Кондратьев В.А. Краевые задачи для параболических уравненийв замкнутых областях, тр. Моск. мат. общ., 15,1966.

22. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, М.: Наука, 1967.

23. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: наука, 1972.

24. Морен К. Методы гильбертова пространства, М: Мир, 1965.

25. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, М.: Наука, 1972.

26. Мышкис А.Д. общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, УМЖ, 4:5, 1949, доп. библиогр., УМЖ, 5:2,1950.

27. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, М.: Наука, 1972.

28. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения, Ил., 1961.

29. Самко С.Г., Кильбас А.А., Маричев О.И., Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Минск, «Наука и техника», 1987.

30. Смирнов В.И. Курс вышей математики, т.5, 1959.

31. Солодов А.В., Солодова Е.В. Системы с переменным запаздыванием, М.: Наука, 1980.

32. Тихонов А.Н. Теории единственности для уравнения теплопроводности, Мат. сб. т. 42:2, 1935.

33. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Volterra и их применениях к некоторым задачам математической физики, Бюл. МГУ(А), 1:8, 1938.

34. Халанай А. Системы с запаздыванием. Результаты и проблемы (сб. переводов «Математика», 10:5, 1966.

35. Хан В. Обзор теории дифференциально-разностных уравнений с постоянными и . переменными запаздываниями, сб. перевод, «Математика», 5:6,1967.

36. Харди Г., Литльвод Д., Полио Г., Неравенства, ИНЛ,1948.

37. Хейл Д. Теория функционально-дифференциальных уравнений, М.: Мир, 1984.

38. Шилов Г.Е. Математический анализ, Физмагиз, 1960.

39. Carr J., Duson J. The functional differential equation = + ЬУ(ХУ>> Proc. Roy. Soc., Edinburgh, A74 (1976).

40. Cooke K.L., College P. Some recent word on functional- differential equations. Proc United States-Japan seminar of differential eq. 1967.

41. Pazy A. Asymptotic behavior of the Solutions of an Abstract Evolution Equations and some Appl. J. of diff eqat., 4. 1968.