О функционально-дифференциальных уравнениях в гильбертовом пространстве, решения которых убывают быстрее экспоненты тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Шамов, Энвер Шамсудинович

• Шамов, Энвер Шамсудинович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шамов, Энвер Шамсудинович

Введение.

Основные обозначения и определения.

Краткое содержание диссертации.

ГЛАВА 1. О решениях, убывающих экспоненциально

§1.1 Вспомогательные леммы.

§1.2 Сведение начальной задачи с произвольными начальными условиями к задаче с однородными начальными условиями.

§1.3 О решениях, убывающих экспоненциально вместе со своими производными до /7-го порядка.

ГЛАВА 2. О решениях, убывающих быстрее экспоненты^.

§2.1 Преобразование уравнения.

§2.2 О росте решений уравнений с запаздывающим аргументом.

§2.3 О существовании решений, исчезающих на полуоси.

§2.4 Случай уравнения с распределённым запаздыванием

§2.5 Примеры для иллюстрации абстрактной теории.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О функционально-дифференциальных уравнениях в гильбертовом пространстве, решения которых убывают быстрее экспоненты»

Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом появились в XVII! веке в связи с решением задачи Эйлера о розыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. С этой задачей связано дифференциально-разностное уравнений с отклоняющимся аргументом была предметом специального рассмотрения в статье [27] А.Д. Мышкиса. Основы общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и постановка начальной задачи даны в диссертации А.Д. Мышкиса «Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом» (1950г.).

Разработка теории таких уравнений начата, в основном, в последние 40 -50 лет иод влиянием запросов техники и естествознания. Эта теория стала применяться в самых разнообразных областях механики, физики, биологии, техники и экономики. Особенно эта теория нашла своё применение в современной технике, где имеет дело с колебательными процессами в системах с последействием и в системах с запаздывающими связями, в автоматике и технике, электросвязи, радиолокации и т.д.

Начальным этапом было изучение скалярных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Ими занимались А.Д. Мышкис [27], С.Б. Норкин [28], Л.Э.Эльсгольц [47], Э.Пинии [30], Р. Беллман, К.Кук [12], И.В. Азбелев |2|, А.М.Зверкин, Г.А. Каменский и др. При исследовании дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием, в основном, применялось преобразование Лапласа и метод шагов.

В последние годы широкое развитие получили исследования по операторно-дифференциальным уравнениям в различных пространствах. В числе книг, где с единой позиции трактовались многочисленные вопросы современной теории функционально-дифференциальных уравнений, можно назвать монографию Дж. Хейла [32]. Исследованием дифференциальноуравнен ие вида рассмотренное Кондорсе в 1771 году. Теория разностных уравнений, функционально-дифференциальных уравнений путём изучения обратимости соответствующих операторов занимался В.Г.Курбатов (23|, классическими стали результаты исследований Э.Хилле, Р.Филлипса [33], К. Иосида [16], Т. Каю [17| в этом направлении, которыми были получены первые теоремы существования решений задачи Коши для уравнения первого порядка вида

О,н(/)-Л(г)м(0 = 0> 0 = — Ж с неограниченным оператором в банаховом пространстве, сформулированные в терминах полугрупп операторов.

Следующим шагом в развитии теории функционально-дифференциальных уравнений стала работа Т. Като [17], в которой получена теорема существования решения уравнения х'(/) = с переменным неограниченным оператором. Задача Коши для операторов более широкого класса изучали Ш. Агмон и Л. Ниренберг [1]. Ими же получены асимптотические формулы для решений экспоненциального роста. Такие же результаты были получены А. Пази |29| для уравнения, коэффициенты которого отличаются от постоянного на экспоненциально убывающие слагаемые.

Дальнейшим существенным шагом было изучение Р.Г. Алиевым [3,4,51 абстрактных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, с неограниченными операторными коэффициентами видов т

-Е л, (' К <<)»(')=/(')• о

7-1 III дЧЫЕлЖ д,)£,Ч)=/('),

А =0 /=0 X

-Ь,«(г)-гМг, г) = /(/), а также уравнений, содержащих производные дробного порядка в гильбертовом пространстве. Были рассмотрены вопросы существования, единственное!и решений, устойчивость и асимгпогическое поведение решений при / —» оо . Дальнейшие исследования были продолжены учениками Р Г. Алиева Р Чаном [34,351 было рассмотрено уравнение вида

7-1 П! г о; »('ЬХХ к + АЛ< Ж, - ./ (')

А =0 /=0 в случае постоянных ^ к/ , ^к/ и малых в некотором смысле (0, 0. Им были получены необходимые и достаточные условия существования единственною решения уравнения в случае, когда (/") = 0, ИкД/)=0, к 0, />05 го ест ь в частном случае уравнения с постоянными операторными коэффициентами и отклонениями ар1умента. В случае же малых и ^к! (0 получены достаточные условия однозначной разрешимости маловозмущенного уравнения в гильберювом пространстве. Эти вопросы исследованы как в случае всей оси / 6 ^ , так и полуоси ^ > ^о ^ ~со, то соь I? случае начальной зах1ачи Исследована также нормальная разрешимость исследуемого уравнения в случае всей оси, снимая условия маловозмущснности уравнения

В работах Эмировой И С. [48] рассмотрен вопрос о разрешимости уравнения

-I т п-1 III

А =0 /=() с произвольными операторными коэффициентами (0 и произвольными отклонениями аргумента ^аДО на полуоси >—со. При этом предполагается решение для ^ — ^о известным и заданным и(0(*)=&('). u{%0+o)=gk(t0U = oJz\.

Доказана непрерывная обратимость оператора, порождаемого рассматриваемой начальной задачей в некоторых пространствах, а также получена оценка решения.

Х.И. Дыдымова [15| исследовала уравнение второго порядка

А-0 /-О на полуоси ^ > ^о > ~со . Доказаны теоремы существования, единственности и устойчивости решений данного уравнения.

Однородные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами не обладают решениями, убывающими быстрее экспоненты, поскольку их решения имеют вид £ где многочлен, степень которого на единицу меньше кратности корня характеристического уравнения или Что касается уравнений в частных производных, то хорошо известно решение задачи Коши для уравнения теплопроводности

• \ — л убывающее как £ , то есть быстрее экспоненты £

Обыкновенные функционально-дифференциальные уравнения могут обладать решениями, убывающие быстрее экспоненты, например, уравнение

111 / ч о

I \ J"

-Г /\ -{ihjl-li'j J Л имеет своим решением функцию б , если оД/J—5 Z-i / ' как нетрудно проверить. Эти простые примеры и факты показывают важность вопроса о росте решений уравнений с запаздывающим аргументом. Впервые этот вопрос в случае уравнения первого порядка с

-И неограниченным операторным коэффициентом ^ ~~ i dt ^ ~~ рассмотрен в работе [3J, где рассмотрены вопросы существования решений, убывающих быстрее экспоненты.

Из результатов Ш. Агмона и J1. Ниренберга [1] следует, что если резольвентный оператор ~(ЛЕ—А) регулярен в верхней полуплоскости Im Я > 0 и в любой полосе 0 < Im Л < й < со, а норма

R; В X удовлетворяет условию v ^ ^ (О при Л —> со ^ т0 всякое решение

1 d u{t) уравнения D,U - Аи = О, Д = с нормой ||wW||.v G Li (°> 00) удовлетворяет оценке ¡¿/(/| v ^ сехр(- at) для t > 0, с = const .

В работе Р.Г. Алиева [3] получены условия на , при которых имеет '(А) < сеха > О, Р > 1 . место оценка вида и I

Некоторые результаты Р.Г. Алиева на уравнение второго порядка ' "' г т оМ'ЬЦк+л(')К.(41,(-)о>(')=/(')

А= О /=() перенесены в работах Г.С. Атагишиевой.

Прежде чем перейти к краткому изложению основных результатов диссертации, приведем основные обозначения и определения, используемые в дальнейшем.

Основные обозначения и определения

Абстрактным гильбертовым пространством называется множество Н элементов /,£,/7,., обладающих следующими свойствами: а) Н представляет собой линейное пространство, то есть в Н г ' - г г определены действия сложения и умножения на действительное или комплексное число, подчиняющиеся обычным правилам векторной алгебры; в частности,

И О, „О •/■ г /еН. содержит элемент равный ' при любом б) Н является метрическим пространством, причем метрика вводится с помощью понятия скалярного произведения, то есть любой паре элементов поставлено в соответствие действительное или комплексное число (./, я), называемое их скалярным произведением, причём выполняется следующие условия?" (я/, = £"), каково бы ни было число а\ + = = (/,/)> О при /*0; (/,/) = О при -0. Норма ./ элемента ./ определяется равенством

И/, Ж расстояние между элементами ./ и £ полагается равным ./ ~ §

Н является полным пространством в том смысле, что если - /' —» О

П .! 111 при О последовательность {/} элементов из Н такова, что п, 111 —> со, то в /-/ существует элемент ./ такой, что п —> со.

Для элементов гильбертова пространства имеет место неравенство

-г при

Лварца |(/,я|<||/ f + + £ неравенство треугольника , неравенство Минковского

-./; II ^ II./;-л II+1/2-/3

Примером гильбертово пространства является функциональное

М к пространство интегрируемых с квадратом на интервале J функции и оОозначаегся через I

1(М2«" е [а,Ь]. со,

Чорма вводится следующим образом: где функция 7 определена и измерима на интервале

Выполнение аксиом тождества и симметрии легко проверяется. Ч го касается аксиомы треугольника, то оно следует из неравенства Минковского

I I 1

V (ь < т (ь + у У

X, У - гильбертовы пространства, X а У,

1' 2 линеиные нормированные пространства; 7(Х, У) - множество линейных ограниченных операторов из X в У\

- множество линейных замкнутых неограниченных операторов из У в } ';

7., {X.У)- множество линейных вполне непрерывных операторов из А'в К; 1 с/к й = /А с/1к ' к'

И. = сопм, и(/) = м(/ - И. ) к,' оператор сдвига. imp

4 = A V Aj. X > Y\ ->>

- »-мерное евклидово вещественное пространство; = [/(„оо), = (-00,/,,], д;* = = 1 = /? = (-00,00);

Функция /(0 называется абсолютно непрерывной функцией на

V ^ > 0, 3£>0 конечном или бесконечном отрезке, если ' такое, что для а ,Ь) любого конечного набора непересекающихся интервалов ' ''ооласти

У (Ь-а)<3, определения функции.; который удовлетворяет условию '

II ДО-Ж) г:. выполнено

Абсолютно непрерывная на отрезке функция является равномерно непрерывной, и, следовательно, непрерывной. Обратное не верно.

Абсолютно непрерывная функция имеет производную почти всюду. АС, - множество абсолютно непрерывных скалярных функций с интервалом определения /;

Slipu(t) = [t, //(/) Ф 0}f] С - носитель определенной и непрерывной на открытом множестве С с R функции и(t); С - плоскость комплексного переменного;

- множество бесконечно дифференцируемых на открытом множестве С функций с комплексными в С носителями;

2(/) - пространство суммируемых с квадратом на интервале / с R скалярных функций.

Финитная функция - это функция, обращающаяся в нуль вне некоторого конечного интервала.

Во всей диссертации X — подпросгранство У, в котором оператор

А : X —> У является ограниченным.

Для обратного оператора имеет смысл А 1 : У —> X и А 1 : У —» У, так как X а У.

Говорят, что / на Е имеет порядок ср или / есть О большое от ср на Е и пишуг при этом ./(О = 0((р{1)) на Е, если ./(О на Е, где снезависимая от / положительная константа. В частности, /(7) = 0( 1) на Е означает тог факг, что / на Е ограничена.

- пополнение множества непрерывных функций ы({) с компактными носителями в К" и со значениями в X по норме -г

1'0)

ЛКо

V»

Я/?'"

АС ,ц, /0 > -со, г < ^ в точках существования производной где И({) - абсолютно непрерывная скалярная функция. ,(£) - характеристическая функция оператора А. Она вводится для вполне непрерывных операторов и определяется из неравенства

А и с\ и /,(£•)У V > 0, и е I с У ;

Си - постоянная, зависящая от ОС.

О и

Ук<» пополнение множества сильно непрерывных функций г/(/), = 0, ( <10 с компактными носителями в и со значениями в У по норме

V 'о со, ос - сопи! ; у 1-е л !>'<> пополнение множества функций и(/), ¿/(7)^0,/</ о с компактными я: юсигелями в 'V и со значениями в X, имеющих сильно непрерывные У производные в / по норме Л со, а = сот1, /0 > -со;

V" пополнение множества функций ~ /() с компактными носителями в К" и со значениями в X, имеющих сильно непрерывные производные в У по норме

Лх

V» —

1 + »'"'(О .т

V \ / 1к со, а = сот/.

Средним значением функции называется предел

М{/(Г)}=\\

11П —

-7

Числовое множество М называется относительно плотным на действительной оси — оо < ^ < оо 5 если существует число / такое, что каждый открытый интервал (¿7,67 + /) длины I содержит хотя бы один элемент данного множес гва, то есть при любом а имеем {а,а + 1)Г\М * 0.

Если при Я - Я{) £ С область значений Ьп ДЯ0) операторного квазипучка п-1 III

П г- V" Л ->А

А =0 /=(> плотна в пространстве Л" и оператор ^ДЛ)) обладает непрерывным обратным оператором то говорят, что комплексное число Я0 принадлежит

-I т резольвентному множеству оператора

А=0 /=0

Оператор называется резольвентой оператора ^ р в точке Л) ■

Совокупность всех чисел Я , не принадлежащих резольвентному множеству называется спектром оператора *р и обозначается через Обозначения для некоторых операторов

7—1 III

А =0 /=0

I III

2 V-" V""1 о; - лр; = о,- - 1 ЛА,, о;; ¿» . 0(» Ж/

А =0 /=0

-1 ш к т п глн \ 1 X '

-1 /// г , з + ; ц, = о,"-¿.¿ло^ш^

А=() у=0 А=() /=()

Обозначения для резольвентных операторов:

Л"1 , У

Дя) = - X ^ ехр(-/ЯЛ,

V /=о / \

V /=о у \

А=0 у=0 У -> X, и~ I /;; я. = г , V1

ЛЕ- |ехр(- /Ял )с1А(\ ) V

Во всех выражениях Е \ У X, Е(и) = и для любого и <еУ. Здесь Е : X —> У - единичный оператор.

Оператор IVр{Л): У ~* % будем называть резольвентным для оператора

-I ш р ~ Д XX ■ ^ ^ ■ Ввиду вложения X с V можно говорить и к= 0 /=() об операторе

11од решением уравнения

-1 т

0 - + = /О,'е

А=() /=0 коэффициенты которого принадлежа г Z (Х,)'), понимается функция 7/(/):/? —> А\ имеющая сильно непрерывные производные (п-1)-го порядка в А7 и сильную /7-ю производную при почти всех I в У и удовлетворяющая этому уравнению для почти всех г е Я .

Функция ¿/(7) с областью определения А, где А— некоторое множество на числовой оси или в комплексной плоскости и областью значения в X, где X - нормированное пространство (абстрактное) принято называть абстрактной функцией числовой переменной или векторной функцией числовой неременной. /-/ / / - I ильберговы пространства;

Линейный оператор А '' называется вполне непрерывным, если он определён на веем пространстве Н, и отображает ограниченное в Н{ множество в компактное множество в Н2. Ограниченный линейный оператор

Л{{) называется сильно непрерывным, если \А{1 + Ь) ~ А^ О при Ь—>0.

Вполне непрерывный оператор является ограниченным и, следовательно, непрерывным.

Линейный оператор Л:Н1->И2 называется замкнутым, если его график, то есть совокупность пар Ах), где * е ^(а), является замкнутым множеством в +/"Л-ДРУГИМИ словами это означает, что если хп е О(а) и х„' (.V, у), то.\" е £)(а) и у — Ах. с оператором Л замкнут или не замкнут оператор ЛЬ — А (с областью определения О(л)). Поэтому, если существует ограниченный обратный оператор (ЛЬ - А) , то оператор А замкнут.

Если для любой функции м(/)<= Я, выполнено неравенство — с /-/,' то оператор А : /У, —» И2 называется ограниченным, а А наименьшее значение константы с —нормой

-/,->/-/, оператора

Ограниченный оператор непрерывен. Обратно, определённый на всём пространстве непрерывный линейный оператор ограничен, п — А:Х^У

Линеиныи оператор называется непрерывно обратимым, если

11П А = У А выполнены условия: ' оператор обратим и

А~[ \ У ~> X ограничен.

Теорема об устойчивости ограниченной обратимости.

П А : X -> У - . - /Г1 : У -> X

Предположим замкнутый оорагимыи оператор и г В: X У ~ . 5 ограниченный. Ьсли замкнутый оператор, причем н

А + в , (а + вУ-.у^х ю оператор ооратим и 4 > ограниченный.

Целая функция экспоненциального типа.

Г'

Функция, аналитическая во всей плоскости комплексной переменной, называется целой функцией. Целая функция удовлетворяющая условию: и называется со, А < со, û < оо max < ехр(г '' ), ^ экспоненциального типа. Ьсли о нижняя грань функцией Р множества чисел г удовлетворяющих этому условию, называется порядком р целой функции

Р (7. г и тип и л).

Например,

Ui)||<exp(a-UP I u(à) то "имеет порядок

Теорема Фрагмена-Л инделсфа. /(Фи

Ьсли \mz >0, имеет порядок I и тип 7 ограничена на вещественной оси в верхней полуплоскости f(z\<M,zeR,

ТО f{z\ < M expier Imz) „ lmz>0. v ' h rv ' во всей полуплоскости

Лемма Римана-Лебега.

БШ р/

Le л и

10 /;->/ J I C0S р}

Неравенства Коши-Буниковского (Шварца и Гсльдера). л. \ J л

ЛК/>9(/|^// < jiK/f^// |И/)||>,

У -X) к =i

ZIKII'ZH А =1 А =1

Преобразование Фурье. е //(Я,/"/), Н- *

4 ' 4 7'где гильбертово пространство, то функция сли л )=/,„, л/27Ï j-exp(- i?it )/'(/ )dt

- \ называется преобразованием Фурье функции ./(0' гле П°Д I-i-Мпонимается предел по

IHrj-I) норме.

Преобразование Фурье для всякой функции ■' ч / ~ ч - / определяется по формуле 1 ^

1{Л)=ГШ Если /1/)е ¿::(/?", И ). |(]

Дл)=(2я)-1 функция

К" называется ооратным преобразованием л"

Фурье функции /(О-Теорема Планшереля. п г ^ л С-(^Н).

Преобразование Фурье переводит функции из 4 ' ' в 4 ' '

Более точно, если Пр е£2(Я,Я),т и этом о функция 1

7М существует и

Из этой теоремы следует, что если 1т Д = а ^ 0, то ех р(аг/)/(/)

I' {к.II)

1~{\т/=а II)

Теорема Пэли-Винера.

Целая голоморфная функция является преобразованием Фурье функции еС„Х(4 носитель supp /(1) которой содержится в отрезке ь п Д1 фостранства тогда и только тогда, когда для любого целого существует с\ положительная постоянная 4 такая, что

7'{Цн <сх(1+|Я|)"х ехр(б|1тЯ|).

Теорема Коти.

Если аналитична в некоторой полосе Я ^ Тт г < Ь, причём ./(/) со в этой полосе, то контур равномерно стремится к нулю при интегрирования можно произвольно деформировать в этой полосе. В частности, все контуры С эквивалентны между собой, то есть

-тУ-7 с а <с <Ь.

•> не ^яяисит от гти не зависит от при

1т :=( г

Срезка.

Срезка функции, то есть замена функции функцией, тождественной ей на полуоси ' ^ 'о или в некоторой конечной области и обращающейся в

I < /п - ^ нуль для 0 или вне некоторой области соответственно.

Под маловозмущбнным уравнением понимаем уравнение Ь"р„и(.0 — /(/), получаемое из уравнения Ь",,11(0 — ./(0 добавлением к коэффициентам Л/ и отклонениям аргумента переменных составляющих «малых» в некотором смысле, то есть

Ак, (0 . - - £ для некоторого £ > 0 .

Краткое содержание диссертации

Диссертация посвящена вопросам существования решений функционально-дифференциальных уравнений /7-го порядка, убывающих как экспонента и быстрее экспоненты, а также вопросам существования решений исчезающих на полуоси.

В данной диссертации продолжаются исследования, начатые Р.Г. Алиевым на случай уравнения /7-го порядка п-1 т г -|

-£ I к + Л ('К.».«)= /(')

А=0 /=0 с неограниченными операторными коэффициентами Ак,-, А/(/) в гильбертовом пространстве, области определения которых, принадлежат гильбертову пространству X, область значений - гильбертову пространству У, X а К,

- к, к, \ ) I* ^Л

В частности, получены условия на ^ (0, ^А/(0 и на резольвенту ^Д^Х при котором любое решение уравнения из о' 00)' ^) обладает X свойством |ехр(2<^ \ ^ СО'то есть убывает быстрее экспоненты. о

Доказанные в этой работе теоремы могут быть истолкованы как результаты, аналогичные классической теореме Фрагмена-Линделсфа, которая для гармонической в полуполосе 0 < X < 1 , t>0 функции ^(х, удовлетворяющей граничным условиям 0 = 0 = ^ , утверждает, что если она ограничена в данной полуполосе, го она убывает экспоненциально (по /).

11.Д. Лаке \24\ распространил эту теорему на решения эллиптического уравнения, коэффициенты которого не зависят от /, вследствие чего пространство решений этого уравнения становится инвариантным относительно сдвига по /. Лаке доказал, что если инвариантное относительно сдвига внутренне компактное пространство, то существует такое положительное число (X , что для всех ) 6 ^

Первая глава диссертации содержит гри параграфа и посвящена вопросам существования решений, убывающих как экспонента.

Здесь рассматривается начальная задача для функционально-дифференциального уравнения п- го порядка с неограниченными операторными коэффициентами (/), Ак/ ? области определения которых, принадлежат гильбертову пространству X , область значений - гильбертову пространству У

-I т г ,

- дЧО-ХЕкД0> / >/

УЧ-У \Ч> / > V (1)

V ) - м V У ¿^¿^ I к! 1 ^А/

А =0 / =0 с начальными условиями о. «'^о + О) =?*('»). А=0,я-1, (2) т п . у п а у 0 а / \ V '7 а

1де оператор /-><>' /<'" /Л , .

Заметим, что во всей работе полагаем выполненным условие ао — 0, /с — 0,Л7 — 1 , позволяющее применение абстрактной теории к обыкновенным дифференциальным уравнениям, к системам дифференциальных уравнений. Предполагается, что ^аДО' Ак/ ^ К > К замкнутые неограниченные операторы, ), Ак/ : X —» У — ограниченные операторы, к — 0,п — 1 , / — 0,/77. Неограниченность операторов

А/(0' ^А/ • ^ ^ показывает возможность приложения результатов диссертаций к теории уравнений в частных производных, хотя при этом приходится работать с нормами в различных пространствах.

В § 1.1 приводятся формулировки основных лемм, и доказывается лемма

111, где получены условия, при которых любое решение £'(/) задачи (1), (2), обладающее свойством и

А) t)eL2(R'+\X имеет п — ю производную

L2 , X

11 J, принадлежащее этому же пространству Лемма 1.1.1. Пусть выполнены условия: о) (Л/ + Л, {t))\Y - Jaмкнутые, А = 0, /? - 1 , j = 0, т; в) (Д + Akl{t)) \ X Y - ограниченные, к = 0, /7 - 1 , /' = 0, /77 ; лг), Л = О, Л7 — 1 , где u{t) - решение задачи (1), (2), a; f{t)eL2{R';,Y)9

Тогда u(,l)(t)e.L2{R'l\Y)

В ^ 1.2 рассматривается сведение начальной задачи с произвольными начальными условиями к задаче с однородными начальными условиями.

В ^ 1 3 рассматривается начальная задача (I), (2) для функционально-дифференциального уравнения п- го порядка с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Доказаны теоремы о существовании решений, убывающих как экспонента Теорема 1.3.1.ТГусгь выполнены условия: а) . YY замкну тые операторы, к— 0,/7 — 1, у— 0,/77 ki ■ X ) вполне непрерывные операторы, к — 0,/7 — 1, ) — 1,/77;

ЛД'1 =0(ехр(-аг/)), а > 0, t оо, к = 0,/7-1, j = О,

77; б) резольвента р W регулярна,

X'R"M\ =0(0, Ц->00, ImЛ <с?; в) 5иР ехр(2«л)|Нк/ (я)|х\ (ехр(- аь)^

•'и, со где "а/

X \к (ехр( С^'))- характеристическая функция оператора,

•О г/

Тогда любое решение задачи (1), (2), обладающее свойством и

А) уп.а принадлежит пространству ^ ^о

Как видно из условий теоремы, скорость убывания решения начальной задачи (1), (2) связана со скоростью убывания переменных составляющих операторных коэффициентов уравнения (1) при Г—>оо. Заметим, что при рассмотрении начальной задачи предполагается

И, + А (0>0, к = 0,/7 —1, ] = 1,/77, выполненным естественное условие ^ о, то есть уравнение должно быть уравнением с запаздывающим аргументом.

Замечание. Условие л'я;(/1| =о(1). к = о,я-1 достаточно заменить условием ^ — ^0).

Предполагается, что в полуплоскости \тА<С(>0 все операторы

1-1 п,

V ехр(- ¡ЛИк1): X ^ У к = 0 /=() { непрерывно ооратимы и полагается

I т v' г;(л)- /¡"¿--XXV'«рН^. к =0 /=() а/ У-^Х, 1тЛ<а.

Поскольку X с У, то оператор можно рассматривать как оператор из / в / , так из У в X. В первом случае его норма обозначается ' а во втором случае через

Так как при исследовании абстрактных уравнений невозможно обходиться без оценок норм операторных коэффициентов, то вынуждены кроме естественного пространства У, где операторные коэффициенты являются замкнутыми из У в У, ввести подпространство X пространства У, где от коэффициентов требуется полная непрерывность из X в К. Наличие двух пространств X и У создает определенные трудности.

Теорема 1.3.2. Пусть выполнены условия: а) Л, : У ~> У замкнутые операторы к = 0, /7 — 1, /' = 0,/77 ;

А/ • X У вполне непрерывные операторы, к — 0,/7 — 1, у — 1,/77; существуют пределы

Нгп Л. (/)= О в сильном смысле о НшЛА/(/) = 0,

А =0,я-1, ./ = О.т, А = а<<?-| 1< /<») б) резольвента регулярна, ^Я'^(Л) -0( 1), к = п-\,

Л"Н;(Л1 =О(|),|/1|->=0, 1т Я < а;

Тогда любое решение £'(/) задачи (1), (2), обладающее свойством и а к = 0,/7 —1 принадлежит пространству л ^о

Итак, получены условия на переменные составляющие ^А/ (/) операторных коэффициентов уравнения (1), на отклонения аргументов на резольвентный оператор (Д), при которых решение уравнения (1), принадлежащее ¿Ду?'0,^) вместе с производными I/ (/),.,г/ ^(Д убывает как схр(—

Таким образом, первая глава посвящена выяснению условий на переменные операторные коэффициенты ^А/ (0, на переменные составляющие ^аДО отклонений аргумента, на резольвентный оператор и на правую часть уравнения (1), обеспечивающие принадлежность

Л Хп'а решения и у) пространству ^ ^о , если только и(А)(/)е ¿2(д'\ х), к = 0 , п ~ 1. Эти условия обеспечивают также существование единственного решения задачи (1), (2) в случае

Л/ (0 - ^а/ (/) - 0 > к = 0, п — 1, / = 0, /77 ? то есть в случае уравнения

Вторая глава содержит пять параграфов и посвящена вопросам существования решений, убывающих быстрее экспоненты и исчезающих на полуоси Т < со. Выяснены условия на резольвентный оператор

Д/Д на операторные коэффициенты ^а, (/), на отклонения аргумента достаточные для существования таких решений. Речь идёт о решениях уравнения ^~ ./(0.

§2.1 носит вспомогательный характер и посвящен преобразованию уравнения (1) к виду, удобному для преобразования Фурье.

В §2.2 получены условия на переменные операторные коэффициенты ^/(0, на переменные отклонения аргумента и на резольвентный оператор при которых решение уравнения /), > V производные до (/7-1)- го порядка которых убывают быстрее экспоненты.

Для решений-" уравнения (1), обладающих свойством г/ '(/) £ Ь , х), ? к — 0, п — 1, доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.2.1. Пусть выполнены условия: а) / . У —> У — замкнутые операторы к - 0 ,п / = 0, т;

А/ • ^ ^ У вполне непрерывные операторы, к —0,/7 — 1, / — 1,/77; для люоого

0, ¡^(/1 = 0(схр(-#)), /->00, к = 0,/7 — 1, у = 0,/77; б) резольвента регулярна в полуплоскости т Л > 0, ||/?;:(я| < сехр а )

1т Л ^ { а ) с/ > 0, а > 1; в) 1, /0 <1 <оо, |ехр(2Я)|^)|Д (ехр(-Я)^ < со для любого > 0, /с = 0 , /7 - 1, / = 0, /77 ; I ) ./(0 е ^ /(,'0 для любого <5 > 0 ; д) Ы\1) - решение уравнения (1), И

1= 1111П т'т /0 -/?

0<а </;-! '

1</<ш

1</<ш

Го! да г г а /3

1, £">0, с-сопь\.

Теорема 2.2.2. Пусть выполнены условия: а) А/

Л,. :У У замкнутые операторы, к = 0,/7- 1, / = 0,/77;

Ак/ X —-> У - вполне непрерывные операторы, к — 0,/7 — 1, / — 1,/77

Л(' 1 = 0(ехр(-а)\ Г со, для любого ^ > о, к = 0,/7-1, = о, /77; б) резольвента регулярна в верхней полуплоскости 1тД>0.

0(1), * =

Я"/?' о(1), я со в люоои полосе

0 < I т А < т < со,

1т / = т а )

V а ) а > 0, яг > 1, с = соп.ч!; а/ \х\ (ехр(— < оо,

А- = о,/7-1, / = 0,/77, для любого <5 > 0; О

О <)

О для любого > 0: л) «(О решение уравнения (1), Д/)

То1 да = о(ехр(-а^)), г->оо, 1 + 1 = 1. а Р на

В §2.3 получсиы условия на резольвентный оператор -~р кооффициен ты уравнения = О с нулевой правой частью, при которых существуют решения, обращающие в нуль на полуоси { > Т = СОПЬ^^. 0. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.3.1. Пусть выполнены условия: а) к/

А,. : Y -» Y замкнутые операторы к = 0,п - у = О,m;

Ак/ '■ X —> К вполне непрерывные операторы, к — 0 ,п — у — 1,/77; К/('|> =0(схр(-^)),/->со, для любого £) > 0, к = 0,п -I, у = 0,ш; б) резольвент а р « регулярна в верхней полуплоскости 1т Л> О, М = сст/1;

В) /('М; J h'k/{î)< г < 1, < / < со, |ехр(2^)|/Л/(0Д;^ (ехр(-¿>/))é// < со,

Дг|я любого ô > 0, £ = 0 , /7 - 1, у = 1, /77 ; д) решение уравнения L"pau(t) = 0, ||г/(/)|| Y < С СХр(- ai), любою О, С — COYISt. Toi да "(/)= 0 для t > Т. для

Теорема 2.3.2-Лусть выполнены условия-а) Л, : 1" -» 1" замкну! ыс операторы к = 0, /7-1, / = О,/77;

А/ X V вполне непрерывные операторы, А —0,/7 — 1, у — 1,ш; 0(ехр(-#)),/->оо, для любого ¿>0, к = 0,/7 — 1, ./ = 0,ш; б) резольвента ^р(^) регулярна в верхней полуплоскости 1п1/I > 0, 0(1),к = п-\, |я"/?;(я| =0(1),|я

0< \тЯ<т <оо, в любой полосе

I т /,=г в) У(0 е ^о" для любого >0;

-г x для л юбого б > 0, к = 0 , /7 - 1, / = 1, /77 ;

Л) и Орешение уравнения к =0,/7-1.

Тогда ^ ^ ПРИ I — Т для любого 7" > 0 .

В §2.4 рассматривают начальную задачу для уравнения первого порядка с распределённым запаздыванием шг/(/)= £,*/(/)- + /*(/,*)]= /(0, / > 'о > о

1/(0 = ¿КО, «(/0 + о)=я(/0)

Задача заключается в доказательстве принадлежности каждого решения 'КО данного уравнения из пространства (я'", Х^ пространству ^¡^ .Для

1 < 1 о решение полагается известным, т.е. выполняется начальное условие U ~ gif )' t — h)-> + О) ~ c?(/o) • Доказана следующая теорема.

Теорема 2.4.1. Пусть выполнены условия: а) для любого ' >'о операторы A(t^\ A(t): Y —» Y - замкнут операторы, A(t,£), A(j) : X —> Y — ограниченные операторы, eûk'JÏ ые de б) резольвента ^ A

ЯЕ ~ jexp(- iÀs)dA(s)

R. Л =0(l), ЛЯ,!, = 0(l), |Л|->«>, ImЛ<а; в)

Toi да, если решение задачи cc

LnX<)= D,u(t)- \u(t ~s)ds[A(s)+ A{t,s)] = f{t\ / >/,, >-00, м(/о) = 0,ы'(/(1)=0, /</(). то Y ->X регулярна, и и

В § 2.5 приведены примеры, иллюстрирующие абстрактную теорию.

В первом примере рассматривается задача Коши для уравнения теплопроводности в одномерном случае. Показано выполнение условий теоремы 2.2.1, то есть существование решения, убывающего быстрее экспоненты.

Во втором примере рассматривается задача Коши для параболического уравнения четвёртого порядка. Здесь также показано, что решение убывают быстрее экспоненты и выполняются условия теоремы 2.2.1 с СС — Р — 2 и 1 а- — . 8

В данной диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Найдены достаточные условия на резольвентный оператор, операторные коэффициенты, отклонения аргумента и на правую часть уравнения, при которых его решения убывают как экспонента.

2. Найдены достаточные условия на резольвентный оператор, операторные коэффициенты, отклонения аргумента и на правую часть уравнения, при которых его решения убывают быстрее экспоненты.

3. Найдены интегральные оценки решений.

4. Найдены условия обращения в нуль решений на полуоси.

5. Найдены условия на ге операторные коэффициенты уравнений, при которых присутствует оператор сдвига.

6. Доказаны теоремы аналогичные классической теореме Фрагмена-Линделефа.

7. Получены условия на отклонения аргумента, которые позволяют применение полученных результатов для уравнений с отклоняющимся аргументом к обыкновенным уравнениям без отклонения аргумента.

8. Приведены примеры для иллюстрации абстрактной теории.

Основные результат^ диссертации опубликованы в работах [7,8], [36]-[45].

В работах [1,1 1| постановка задачи и указание методов исследования принадлежат Алиеву Р.Г. Подробное проведение доказательств принадлежат автору диссертации.

Результаты диссертации доказывались и обсуждались на семинарах и конференциях: семинар кафедры ДУ ДГУ (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Р.Г.Алиев, 2008, 2009, 2010 гг.); на Четвёртой Международной конференции «ФДУ и их приложения»

Махачкала, 22-25 сентября 2009 г.); на ИНТК преподавателей, сотрудников, аспирантов и студентов ДГУ, ДГ'ГУ (Махачкала, 2007-2010 гг.); на Российской Школы-конференции «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» с международным участием (Москва, 14-18 декабря 2009 г., РУДЫ); на Международной конференции «Современные проблемы математики и смежные вопросы» («Мухтаровские чтения», Махачкала, 2010 I.); на ХЬVI Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 19-23 апреля 2010 г., РУДН).

Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 8 пара! рафов и списка литературы, включающего 48 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шамов, Энвер Шамсудинович, 2013 год

1. Agmon S., N irenberg L. Properties of solutions of Ordinary Differential equations in Banach Space 1. Communs Pure and Appl. Math. 16, № 2, 1963, P. 121-239.

2. Азбелев H.K. и др. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М., Наука, 1991.

3. Алиев Р.Г. О дифференциальных уравнениях в банаховом пространстве, решения которых убывают быстрее экспоненты II Вестник Московского университета, №5, 1974, С.3-7.

4. Алиев Р.Г. О разрешимости уравнения с отклоняющимся аргументом в гильбертовом пространстве II ДАН СССР, т.274, №6, 1979, С. 12891291.

5. Алиев Р.Г. К вопросу о необходимых и достаточных условиях однозначной разрешимости уравнений с отклоняющимся аргументом и неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве II ДАН СССР, т.267, №1,1982, С. 1 1 -14.

6. Алиев Р.Г. Функционально-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве. Махачкала, ИПЦ ДГУ, 2010, 348 с.

7. Антонович А.Б., Радыко Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения //Минск, 1990.

8. Беллман Р., Кук К. Дифференгщально-разностные уравнения.- М.: Мир, 1967.-548 с.

9. З.Власов В.В. О поведении решений одного класса функционально-дифференциальных уравнений на полуоси и некоторых спектральных вопросах II Известия Вузов, т. 12, 1992, С. 1 1 -20.

10. Власов В.В. Разрешимость одного класса функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве П Материалы Третьей Северо-Кавказской региональной конференции, Махачкала, 1991, с.42.

11. Дыдымова Х.И. О разрешимости функционально-дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве П Материалы Четвёртой Северо-Кавказской региональной конференции. Махачкала, 1997, С.36-37.

12. Иосида К. Функциональный анализ,- М.: Мир, 1967.1 7.Като Г. On linear differential equations in Bach Space II Comm. on Pure and Appl. Math., V.9, 1956, P. 479-486.1 8.Като Т. Теория возмущений линейных операторов.- М.: Мир, 1972.

13. Князев П.Н. Функциональный анализ. -Минск, «Высшая школа», 1985.

14. Колмогоров А.H., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.: Наука, 1976.

15. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. -М.: Наука, 1967.

16. Кузин С.Ю. О поведении решений первой краевой задачи для параболического. уравнения с сингулярными коэффициентами при больших значениях времени // Вестник МГУ, сер.1, Математика. Механика, № 3, 1996.

17. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. Воронеж, изд. ВГУ, 1990.

18. Лаке П.Д. Теорема Фрагменд-Линделёфа в гармоническом анализе и её применение к некоторым вопросам теории эллиптических уравнений II «Математика», сб. переводов, №4, 1959, С. 107 132.

19. Ландис Е.М.// Успехи мат. наук, вып. 6(228), т.37,1982, С. 278-282.

20. Морен К. Методы гильбертова пространства М.: Мир, 1965.

21. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. М.-Л., 1971.

22. Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргу.ментом. -М.: Наука, 1965.

23. Pazy A. Asimplotik expansions of the solutions of ordinary differential equation in Hilbert Space // Arch. Rat. Mech. and Anal., 24, 3, 1967, P. 193218.

24. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. -M.: ИЛ., 1961.-248 с.3 1 .Тичмарш Е. Теория функций. -М.-Л., Гостехиздат, 1951.

25. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.-421 с.

26. Хилле Э, Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. -М.: ИЛ, 1962.

27. Чан Р. О разрешимости уравнения с постоянными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента в гильбертовом пространстве И Сб. статей студентов, аспирантов и преподавателей университета. Махачкала, 1993, С. 184-187.

28. Чан Р. О существовании решений одного уравнения в гильбертовом пространстве И Сб. функционально- дифференциальные уравнения и их приложения. Махачкала, 1993.

29. Шамов Э.Ш. О решениях убывающих экспоненциально //Сб. тезисов докладов XXX ИНТ К преподавателей, сотрудников, аспирантов и студентов ДГТУ. Часть 2. Гуманитарные науки. Махачкала, 2009, с.414.

30. Шамов Э.Ш. Сосуществовании решений, исчезающих на полуоси // Тезисы докладов ХЬУ1 Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии 19-23 апреля 2010 года. Москва, Российский университет дружбы народов, 2010, С.34-36.

31. Шамов Э.Ш. О росте решений обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом //Вестник Российского университета дружбы народов. Серия математика, информатика, физика.-Москва, 2010, №4,- С. 1 1-25.

32. Шамов Э.Ш. О решениях уравнений с распределённым запаздыванием в гильбертовом "пространстве убывающих экспоненциально // Труды межвузовского семинара «Актуальные проблемы математики и смежные вопросы». Махачкала, 201 1, С.52-55.

33. Шилов Г.С. Математический анализ. Специальный курс.- М.: Физматгиз, 1960.

34. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. -М.: Физматгиз, 1971.-296 с.илл.

35. Эмирова И.С. Оценка характеристического показателя решения функционально-дифференциального уравнения с операторными коэффициентами // Материалы Четвёртой Северо-Кавказской региональной конференции. Махачкала, 1997, С. 104-105.