Асимптотические разложения и устойчивость решений функционально-дифференциальных уравнений второго порядка в гильбертовом пространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Алиева, Людмила Марковна

• Алиева, Людмила Марковна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Алиева, Людмила Марковна

ВВЕДЕНИЕ.,. 1

Некоторые сведения из теории функций и функционального анализа. 8

Краткое содержание диссертации. 11

ГЛАВА I. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ.

§1.1. Вспомогательные леммы. 19

§ 1.2. Теорема об асимптотическом разложении. 26

§ 1.3. Случай уравнения с линейным отклонением аргумента. 41

ГЛАВА И. ОГРАНИЧЕННОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ.

§2.1. Вспомогательные леммы. 48

§ 2.2. Ограниченность и устойчивость решений уравнения с постоянными запаздываниями аргумента и постоянными операторными коэффициентами. 62

§ 2.3. Ограниченность и устойчивость решений уравнения с переменными запаздываниями аргумента и переменными операторными коэффициентами. 67

§ 2.4. Примеры для иллюстрации абстрактной теории. 78

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические разложения и устойчивость решений функционально-дифференциальных уравнений второго порядка в гильбертовом пространстве»

Широкий спектр приложений, где используются дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, особенно дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последействием, способствует увеличению интереса к изучению абстрактных функцио-нальнр-дифференциальных уравнений.

Число разнообразных прикладных задач, поставленных с учетом запаздывания, возрастает из года в год. Такие задачи возникают в наследственной механике, физике, биологии, экологии, в ряде экономических проблем и в других науках.

Наибольшее применение нашла эта теория в современной технике, где имеются колебательные процессы в системах с последействием и в системах с запаздывающими связями, в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем. Наличие запаздывания в авторегулируемой системе, например, может существенно сказаться на ходе процесса. Могут возникнуть самовозбуждающиеся колебания и даже неустойчивость системы.

Основы теории операторно-дифференциальных уравнений были заложены в конце 40-х, начале 50-х годов в работах Э.Хилле и Р.Филлипса [42], К.Иосиды [23], Т.Като [25]. Хилле и Иосида получили первые теоремы существования решений задачи Коши для уравнения х' = Ах с неограниченным оператором А в банаховом пространстве, сформулированные в терминах теории полугрупп операторов. В работе Като была получена теорема существования решения задачи Коши для уравнения х' = А(Т)х с переменным неограниченным оператором А(Ч).

В последующие 15 лет эта теория превратилась в большую самостоятельную область исследования. Ей посвящены целый ряд монографий отечественных и зарубежных математиков, занимающихся данными вопросами. Назовем здесь Э.Пинни [39], Р.Беллмана, К.Кука [17], Дж.Хейл [41], А.Д.Мышкис [36] и др. 2

Большой вклад в развитие этой теории внесли советские ученые. Систематическим изучением уравнений с отклоняющимся аргументом в нашей стране начал заниматься после 40-х годов А.Д.Мышкис [36,37], а с 50-х годов А.Э.Эльсгольц [43], Н.Н.Красовский [30], С.Б.Норкин [38]. Ими изучались скалярные уравнения. Исследованию абстрактных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве посвящены работы Ю.Л.Далецкого, М.Г.Крейна [21], С.Г.Крейна [31]. «Одной из движущих сил при исследовании дифференциальных уравнений в банаховых пространствах является теория уравнений с частными производными, дающая наиболее естественные примеры уравнений с неограниченными операторами» [31].

Позже исследование в этом направлении продолжили такие математики, как В.Б.Колмановский [26], В.Г.Курбатов [32], Г.А.Каменский, А.Л. Скуба-чевский [24] и т.д.

С 60-х годов теорию уравнений с отклоняющимся аргументом успешно начала развивать группа математиков под руководством Н.В.Азбелева [1].

Одной из важных проблем при изучении дифференциальных уравнений и их приложений является проблема описания характера поведений решений при больших значениях независимой переменной и по отношению к возмущениям начальных данных.

Из работ, посвященных асимптотическому поведению решений в случае скалярного уравнения, укажем на монографию Р.Беллмана, К.Кука [17], в которой установлена связь между распределением корней характеристического квазиполинома и поведением решения при больших I для случая уравнения с запаздывающим аргументом а0и'(Т) + Ь0иО:) + ^(Ч — со) = 0, I € (-со,+со), где а о, Ь0, - действительные числа и со > 0.

Вопросы асимптотического поведения решений в случае операторного уравнения 3

- Аи(0 = О, I е (-00,4-00), где Ц = - —, А - некоторый постоянный оператор^ рассмотрены в работе 1 сИ

Ш.Агмона и Л.Ниренберга [44]. В этой статье выведены асимптотические формулы для решений экспоненциального роста при условии, что спектр оператора А состоит из собственных значений, расположенных (за исключением разве лишь конечного числа) в некотором двойном угле меньшем п, содержащем мнимую ось. <

Эти результаты были распространены А.Пази [51] на уравнения, коэффициенты которых отличаются от постоянных на экспоненциально убывающие слагаемые.

Для решений параболических и эллиптических краевых задач в цилиндре подобные асимптотические формулы были получены В.А.Кондратьевым [28,29].

Для уравнения

Б{и(0-А(1)и(1) = 0, I е (-оо,-ко),

1 <н в случае, когда переменный оператор А(1;) стремится при 1 -» оо в некотором слабом смысле к постоянному оператору А были получены асимптотические формулы М.А.Евграфовым. Им же получены условия устойчивости по Ляпунову и различные их обобщения в случае уравнения с постоянными и переменными операторными коэффициентами [22]. Вопросы устойчивости уравнения Бги(0-А(0и(0 = 0, 1е(-оо,+оо), в случае, когда 1А(1) является производящим оператором полугруппы или ограниченным оператором рассмотрены в работах Ю.Л. Далецкого, М.Г.Крейна [21] и С.Г.Крейна [31].

Дифференциальному уравнению произвольного порядка вида 4 адЬ^зОХО + ^А^ДОгиСО^О, I е (-со,-ко), ] = 0,.,п

Н> У* с неограниченными операторными коэффициентами , ] = 0,., п -1 в гильбертовом пространстве посвящены совместные работы В.Г.Мазья и Б.А.Пламеневский [33], Б.А.Пламеневский [40]. Они обобщили асимптотическую формулу Агмона-Ниренберга на случай операторов с переменными коэффициентами и распространили теорему Евграфова на уравнения произвольного порядка.

В последние годы вопросы устойчивости решений скалярных уравнений с т запаздыванием вида х'(0 = ах(1;) - ^Ькх(Ч - гк (1;)), I > О, к=1 где а,Ьк-вещественные числа, причем Ьк>0, гк - измеримые, неотрицательные, ограниченные функции рассматривались в работах В.В.Малыгиной [34].

Вопросами разрешимости и изучением свойств решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах занимается В.В.Власов [19,20].

Операторно-дифференциальное уравнение первого порядка с отклоня -ющимся аргументом с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве т

1е(-оо,+оо), (0.0.1) о в пространствах с экспоненциальным весом изучено Р.Г.Алиевым [1-4]. Получены асимптотические разложения решений этого уравнения. В этих же пространствах изучено уравнение первого порядка с линейным отклонением аргумента вида т

О^О-ХА^Ма^ВД

И0

5 ' и получены асимптотические разложения решений этого уравнения. В работе [7] рассматриваются частные случаи уравнения (0.0.1): т И т 3=0

Получены условия, при которых решения этих уравнений являются ограниченными и устойчивыми. '

Глубокое исследование таких уравнений стало возможным, благодаря успешному применению к ним методов функционального анализа, метода преобразования Фурье и методов, подсказанных спецификой уравнений с отклоняющимся аргументом, впервые примененных в этих работах.

Целью настоящей диссертации является получение асимптотических разложений решений и исследование на устойчивость решений функционально-дифференциального уравнения второго порядка

1 ш

Ьрои(0 = - X + Ач(1)]8ьч+ьч(4)^и(1:) = ОД к=о з=о с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Аналогичные вопросы рассмотрены для случая уравнения с линейным отклонением аргумента.

В основу получения результатов были положены методы, разработанные Р.Г.Алиевым, методы функционального анализа, теории функций комплексного переменного, теории устойчивости, теории линейных операторов, а также метод преобразования Фурье.

В диссертационной работе доказаны теоремы об асимтотическом разложении решений функционально-дифференциального уравнения второго порядка с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве и уравнения с линейным отклонением аргумента, получены ус6 ловия, при которых решения исследуемых уравнений являются ограниченными и устойчивыми.

Приведем необходимые определения, обозначения, формулировки результатов, используемые в диссертации.

X, У - гильбертовы пространства, X <= У, |||х >|||у.

Z(X, У) - множество линейных ограниченных операторов из X в У.

Z0 (X, У) - множество линейных замкнутых операторов из X в У.

Ъ^ (X, У) - множество линейных вполне непрерывных операторов из X в У.

С - плоскость комплексного переменного.

С°° (О)-множество бесконечно-дифференцируемых на открытом множестве О функций.

Носителем определенной и непрерывной на открытом множестве О е И. функции и(0 называется множество ^: и(1) Ф о}п в.

Функция и(1:) еХ называется сильно непрерывной в точке если ||и(1)-и(10)||х при

Ь2 СС^о оо), У) - пополнение множества сильно-непрерывных функций с

00 компактными носителями и со значениями в У по норме = |р"(Х)||ус11; . о

10,+®).

Введем пространства:

Х2'^ -пополнение множества функций и^), и(1:) = 0,1:<1:0, с компакточными носителями и со значениями в X, имеющие сильно непрерывные вторые производные в У по норме 7

11 = ехр(2о1)([и(1)| +||и'(0||2х +||и"0)||2у)(11 а = сош! е К.

У0;" -пополнение множества я}? сильно непрерывных функций и(1:), и(1:) = 0,1:<1:0, с компактными носителями и со значениями в У по норме ехр(2с*)(||и(0||^

Щ- множество абсолютно-непрерывных в 1сЯ скалярных функций 11(1;), причем в точках существования производной < г < 1, I е X 811(0и(1) = и(1 -11(1)). й(Я) = (и( I)) - преобразование Фурье функции и(1:).

Под решением уравнения Ьрои(1;) = ^^ понимается функция и(1;), имеющая сильную абсолютно-непрерывную производную в У и удовлетворяющая уравнению почти всюду.

Рассматривается основная начальная задача для уравнения

1 т

Ь0и(г)зО?и = Б* = (0.0.2) k=0j=0 {01 и(к)(0 = Е(к)(0, к = 0,1, ц<а0, (0.0.3) где (I)- заданные функции. Предполагается, что и^(1:0 + 0) = g(-k)(1:0). Решение задачи (0.0.2), (0.0.3) обозначим через 1^(^(1:), где Е(0 = (81(0,В2(0).

Решение и^ (0 задачи (0.0.2), (0.0.3) назовем устойчивым, если для любого 8 > 0 существует ¿^(«Мо) > 0 такое, что из неравенства

- к = 0,1, для любой другой начальной функх ции (р{х) = (срх 0), (р2 (I)), следует неравенство и §({) (I) - и (I)

Тривиальное решение и(Ч) = 0 соответствующей однородной задачи (0.0.2), (0.0.3) называется устойчивым, если для любого б >0 существует с5"10) > 0 такое, что неравенство и^^) < £ будет выполнено при всех

1>1;0, если только (Щ <д к = 0,1, при ^^

В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение:

Лемма А ( лемма 2.1 [6]). Если А е (У, У) п Ъ^ (X, У), то для любого е > 0 существует Хк (£) > чт0 имеет место неравенство

Аи||у < £||и|[х + Ха для ЛК>бого и е X <= У.

ХА (£") называется характеристической функцией оператора А.

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

Преобразование Фурье [23] функции f еЬ (Я,Н), где Н- гильбертово пространство, определяется как (Я) = Li.nL ~т== [ехр(-ШЖ1)(Й,

ТЧГ^гг, . Г)тг Л n N

Под 1л.ш. понимается предел по Ь (Я,Н)- норме. Преобразование Фурье для всякой функции f еЬ (К,Н) определяется формулой

1 00 [ехр(-Ш)^)<к. л/2л- -1

-00

Теорема Планшереля [23]. Если f е Ь (Я,Н), то функция

1 N

1) = ii.ni. ,—- ехр(-Ш)^)с!1 существует и ? еЬ2(11,Н). При

N->»^/2 п *т этом n

-оо —со ^ —N

Из этой теоремы следует, что если ЗтЛ = а ^ 0, то

2 00

Л)|| <Ц= {ехр(2аО||ВД||*<к

ЗтЛ=а

Теорема Пели-Винера [23]. Целая голоморфная функция является преобразованием Фурье со л/2~п ии функции Г е Сд (К), носитель которой содержится в отрезке ^ < а пространства Я тогда и только тогда, когда для любого целого N существует положительная постоянная Ск такая, что (1 +1/1|)-14 ехр(а|1тЯ|). ' н

Лемма Римана Лебега [17]. Если е 1^(11,11), то

Нт ш^и^сН; = Ит щОсозр!^ =0 г»—^оп * п—^оп » р—>00 " р->00 -00 —00

Приведем некоторые сведения из теории операторов [31], используемые в диссертации. Пусть X, У -нормированные пространства.

Оператор А: X —» У называется замкнутым, если из хп —> х, хп е X, Ахп —» у при п —со следует, что х е X, Ах = у.

Оператор А:X —»У называется ограниченным, если для любого иеХ выполнено неравенство ¡Аи|х < с(|и||у. Наименьшее значение константы с называется нормой оператора А и обозначается через ||А||Х . Ограниченный оператор непрерывен.

10

Непрерывный линейный оператор, определенный на всем пространстве X, ограничен.

Замкнутый оператор, определенный во всем пространстве , ограничен.

Если оператор А замкнут и имеет обратный А-1, то А-1 - замкнут.

Если А - замкнутый оператор, то А+В, где В- ограниченный на области определения оператора А оператор, также замкнутый оператор.

Если оператор А имеет ограниченный обратный, то А - замкнут.

Вместе с оператором А замкнут или незамкнут оператор (А - ЛЕ ) (с областью определения D(A) ), поэтому, если существует ограниченный обратный оператор (А - ЛЕ)"1, то оператор А замкнут.

Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он определен на всем пространстве X и отображает каждое ограниченное в X множество в компактное множество в Y.

Ограниченный линейный оператор A(t) называется сильно непрерывным, если ||A(t + h) - A(t)|| Y -» 0 при h -> 0.

Оператор-функция R(/l) называется регулярной функцией AeGcC, если в окрестности каждой точки Л0 е G имеет место разложение в сходящийся по равномерной норме степенной ряд оо

R(A) = £Bk(A - А0)к , где Вк - ограниченные операторы. к=0

Если в каждой ограниченной части плоскости R(A) регулярна за исключением, быть может, конечного числа полюсов, то R(/l) называется мероморфной функцией.

Функция, регулярная во всей комплексной плоскости, называется целой функцией.

Целая аналитическая функция f (z), удовлетворяющая неравенству blzl f(z) < се 1 1, где b - const, называется функцией экспоненциального типа.

11

Теорема Коши [35]. Если í{z) аналитична в некоторой полосе а < 1тЛ < Ь, причем f (г) равномерно стремится к нулю при |?| -> оо в этой полосе, то контур интегрирования можно произвольно деформировать в этой полосе.

В частности, все контуры 1тг=с эквивалентны между собой, то есть интеграл не зависит от с при а < с < Ъ.

1пк=с

Формула Коши Г35]. Пусть ^(г) регулярная функция внутри ограниченной области Б, непрерывная в замкнутой области Б = Б и Г. Тогда функция f (:ъ) имеет производные всех порядков всюду в области Б, которые выражаются п! г £(£•)(!£• 2 т1(6-х)п+х п = 1,2.)

Основная теорема теории вычетов [35]. Пусть Г (г) является аналитической функцией всюду в замкнутой области в за исключением конечного числа изолированных особых точек - полюсов гк, к = 1,.п, лежащих внутри в. Тогда п

Ю к=1

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Объектом исследования диссертации является функционально-дифференциальное уравнение второго порядка с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве

1т , . к=0 ]=0

0.0.4)

12

Коэффициенты Akj, Akj (t): Y —> Y - замкнутые неограниченные операторы, hkj +hkj(t)>0, hkj (t) e HR, hkj (t) < r < 1, j = 0,l,.,m, k = 0,l, t>t0. Пусть X такое подпространство Y, что Akj , Akj (t): XY - ограниченные операторы. Предполагается выполненным для норм в этих пространствах неравенство

Их - Ну'

Рассматриваются вопросы получения асимптотических разложений решений уравнения (0.0.4), а также вопросы ограниченности и устойчивости его решений.

Отдельно рассматривается случай уравнения с линейным отклонением аргумента

1 m

Lu(t) - D?u(t) - X £ MWM = f(t), k=0 j=o где Ak0 (t) = Ak0 = const, ak0 = 1, k = 0,1, 0 < akj < 1, j = 1, m, |Akj(t)u(t) и также получены асимптотические разложения решений этого уравнения. Рассмотрены частные случаи уравнения (0.0.4): уравнение с постоянными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента

1 m

Lpu(t)SD?u(t)-X XAkjShkjDN(t) = f(t), (0.0.5.) k=0 j=0 уравнение с переменными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента

1 m

L0u(t)^D2u(t)-2] ZAkj(^\j(t)Dt^t) = f(t)- (0-0.6.) k=0 j=0

В класс таких уравнений входят уравнения с частными производными с отклоняющимся аргументом и бесконечные системы уравнений. к exp {-at}||u(t)||x, а = const, к = 0,1, j = 0, m

13 .

Чтобы рассматриваемые уравнения содержали в себе дифференциальные уравнения без отклонения аргумента, полагаем также, что Ик0 (1) = Ик0 = 0, к=0,1.

Для любых фиксированных значений Л е Я, Л е С определим оператор

1т

Кро(Я,1)^(Я2Е- ХЕ^ + АкзаЖкехрНЯ(Ьк] +Икз(0)})"1, (0.0.7) к=оз=о называемый резольвентой оператора

1 ш

Ьро = о? - Е 2>ч + Акз(0]8Ьк.+Ьк.(0в* . к=о

Для операторов

1т к=0 3=0 1 т к=0 3=0 частными случаями резольвенты оператора (0.0.7) будут

1 т цл) = (Л2Е-ХЕ4/ ехр тх,' к=0 >0

1 ш

Я0(Л, I) - (Я2Е - £ ]Г Ак](1)Лк ехр{-Шк]О)})"1. к=оз=о

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Сформулируем основные результаты первой главы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Алиева, Людмила Марковна, 2000 год

1. Азбелев Н.В. и др. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений / Н.В.Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина. - М.: Наука, 1991.

2. Алиев Р.Г. Асимптотические разложения решений уравнений с отклоняющимся аргументом в банаховом пространстве. // Математические заметки.-1973.-Т.13.-№ 6.-С. 829-838.

3. Алиев Р.Г. Об асимптотическом разложении решений начальной задачи в банаховом пространстве. // Математические заметки.-1974.- Т. 16.- № 5.-С. 725-730.

4. Алиев Р.Г. Об асимптотическом поведении решений уравнений с отклоняющимся аргументом в гильбертовом пространстве. // Дифференциальные уравнения. -1981.- Т. 17.- № З.-С. 558-562.

5. Алиев Р.Г. Существование, единственность и асимптотическое поведение решений уравнения с линейным отклонением аргумента в гильбертовом пространстве. // Известия вузов. Математика. -1981.-12 (235).- С. 4-7.

6. Алиев Р.Г. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом с операторными коэффициентами: Учеб.пособие,-Махачкала: 1982.

7. Алиев Р.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в гильбертовом пространстве: Учебн. пособие.-Махачкала: 1984.

8. Алиева Л.М. Асимптотическое поведение решений функционально-дифференциального уравнения п-го порядка в гильбертовом пространстве. Тезисы докладов Четвертой Северо-Кавказской региональной конференции.-Махачкала: 1997.-С.12-13.

9. Алиева Л.М. Об устойчивости решений дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве // Вестник ДГУ. Естественные науки,- Махачкала: ИПЦ ДГУ, 1998.85вып. 1.-С. 109-И 4.

10. Алиева Л.М. Асимптотическое поведение решений функционально-дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве. // Вестник ДГУ. Естественные науки. Махачкала: ИПЦ ДГУ, 1999.-вып. 1.-С.36-41. ,

11. Алиева Л.М. Об устойчивости решения дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом // Метод функций Ляпунова и его приложения. Тез.докл. Пятой Крымской Международной математической школы.- Алушта, 2000.- С.25-26.

12. Асила М. К вопросу о разрешимости функционально-дифференциальных уравнений второго порядка. -Тезисы докладов XII республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Дагестана. Махачкала: ДГУ им.Ленина, 1988.-С.290.

13. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений.-М: Изд.иностранной литературы, 1954.

14. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. -М.: «Мир», 1967.

15. Валеев К.Г. Линейные дифференциальные уравнения с запаздыванием, линейно зависящим от параметра. // Сиб. матем.журнал.-1964.-Т.5.- №2.-С. 290-309.

16. Власов В.В. О некоторых свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. // УМН. -1994.-Т.49.-№3.- С.175-176.

17. Власов В.В. О некоторых свойствах решений линейных дифференциальных уравнений с последействием в гильбертовом пространстве. //Изв.вузов. Математика.- 1993.- №5.- С.24-35.

18. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.- М.: Наука, 1970.

19. Евграфов М.А. Структура решений экспоненциального роста для некоторых операторных уравнений. //Тр.' матем. ин-та им. В.А. Стеклова, -1961.-№10.-С. 145-180.

20. Иосида К. Функциональный анализ.- М.: Мир, 1967.

21. Каменский Г.А., Скубачевский А.Л. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.: Изд-во МАИ, 1992.

22. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.- М.: Мир, 1972.

23. Колмановский В.Б., Носов В.П. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

24. Колмогоров А.Н., Фомин С.З. Элементы теории функций и функционального анализа,- М.: Наука, 1981.

25. Кондратьев В.А. Краевые задачи для параболических уравнений в замкнутых областях. //Труды Моек, матем. общества.- 1966.- № 15.

26. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. //Труды Моск. матем. общества.-1967.-№16.87

27. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения.- М.: Гостехиздат, 1959.

28. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

29. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения.- Воронеж: Изд-во ВГУ, 1990.

30. Мазья В.Г.,Пламеневский Б.А. Об асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве.// Изв.АН СССР. Сер.матем.- 1972.-Т. 36 .-№5.

31. Малыгина В.В. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с последействием.// Изв.вузов. Математика.-1993.- №5.

32. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций.- М.-.1968.- Т.1- 2.

33. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.- М.: Наука, 1972.

34. Мышкис А.Д. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.// УМН. -1977.-Т.ХХХН.- Вып.2(193) С.173-202.

35. Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом.- М.: Наука, 1965.

36. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения.- М.: ИЛ, 1961.

37. Пламеневский Б .А. О существовании и асимптотике решений дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространтсве. // Изв.АН СССР. Сер.матем.-1972.- T.36.-№6.

38. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений.- М.: Мир, 1984.

39. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. ИЛ,1962.

40. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

41. Agmon S., Nirenberg L. Properties of solutions of ordinary differential equa tiosin Banach Spase. Comrn on Pure and Appl.Math.-1963 .-vol. 16.-P, 121239.

42. Kato T. On linear differential equations in Banach Spaces. Comm on Pure and Appl.Math.-1956.-vol.9.-P.479-486. ,

43. Kato Т., Vcleod J. The functional-differential equationy'(x) = ay(x) + ву(Ях) -Bull. Amer.Math. Soc.- 1971.-yo1.77.-#6. -P.891-937.

44. Mahler K.On a special functional equation.- J.London Math.Soc.-1940.-vol.15.-#58.-P.l 15-123.

45. Mclead J.B. The functional-differential equation y'(x) = ay(Ax) + ey(x) and generalizations.-Lect.Notes.Math.- 1972.-280.-P.308-313.

46. Ockendon J.B., Tauler A.B. The dynamics of current collection system for and electric licomotive. Proc.Poj.Soc London.- 1971.- A322.- #1551,-P.447-468.

47. Pandolfi L. Some observations on the asymptotic bevavior of the solutions of the equations x'(t) = A(t)x(Xt) + B(t)x(t), Л> 0. -J.Math.Anal.and Appl.-1979.-vol.67.-P.483-489.

48. Pasy A. Asymptotic expansions of the solutions of ordinary differential equa tion in Hilbert Spase. Arch.Rat.Mech. and Amal.-1967.- vol.24.3.-P.193-218.