О разрешимости функционально-дифференциальных уравнений с сосредоточенными и распределенными запаздываниями в гильбертовом пространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Оруджев, Мурад Идрисович

• Оруджев, Мурад Идрисович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Оруджев, Мурад Идрисович

Введение.

Основные обозначения и определения

Некоторые сведения из теории функций и функционального анализа.*.

Краткое содержание.

ГЛАВА 1. Случай уравнения с постоянными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента

1.1. Теорема о непрерывной обратимости оператора Ьр.

1.2. Случай маловозмущенного оператора Ьро.

ГЛАВА 2. О нормальной разрешимости уравнения

2.1 .Теоремы о конечномерности ядра и коядра оператора Ьр0.

2.2.Теорема о фредгольмовости оператора Ьро.

2.3.Примеры иллюстрации абстрактной теории

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О разрешимости функционально-дифференциальных уравнений с сосредоточенными и распределенными запаздываниями в гильбертовом пространстве»

Главная задача науки - это описание и предсказание. Во многих важных случаях удобно задавать состояние системы в данный момент времени г при помощи конечномерного вектора х((). Таким образом, мы придем к дифференциальному уравнению

- = g(x,t), х(0 ) = с. ш

Несмотря на весьма удовлетворительное состояние теории дифференциальных уравнений, возникает необходимость в изучении более сложных уравнений. Нужно принять во внимание тот факт, что скорость изменения в физических системах зависит не только от их состояния в настоящий момент времени, но и от их предыстории. Так возникла теория дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, принадлежащая к числу сравнительно молодых и бурно развивающихся разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последействием имеют много приложений в теориях автоматического управления и колебательных систем, при изучении ряда экономических задач, биофизических проблем и во многих других областях науки и техники, число которых неуклонно расширяется.

Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом появились в литературе еще в XVIII в. в связи с решением задачи Эйлера о розыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. Однако еще до совсем недавнего времени не были сформулированы основные теоремы общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, в литературе не было даже четкой постановки начальной задачи. Это впервые сделано в диссертации А.Д.Мышкиса "Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргумен-том"( 1949-1950).

Изучением скалярных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, кроме А.Д.Мышкиса [16], занимались С.Б.Норкин [18], Л.Э.Эльсгольц [18], Р.Беллман, К.Кук [4], Н.В.Азбелев, А.М.Зверкин, Г.А.Каменский, В.Хан и др.

Для линейных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием оказываются весьма эффективными операционные методы (преобразование Лапласа) и метод шагов. Именно эффективность применения этих методов привела к тому, что линейные уравнения с постоянными коэффициентами и постоянными запаздываниями особенно часто встречаются в прикладных работах.

Следующим этапом в развитии теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом стали исследования по операторно-дифференциальным уравнениям вида x\t) = A(t)x(t), (1) где A(t) - переменный неограниченный оператор.

Операторному уравнению

1 J

Dtu(t)-A(t)u(t) = 0,Dt =----(2) i dt в случае, когда iA(t) - производящий оператор полугруппы или ограниченный оператор, посвящены многочисленные работы [8], [14], [29].

Без этих предположений уравнение (2) с постоянным оператором изучено в работе Ш.Агмона и Л.Ниренберга [32]. В частности в этой статье выведены асимптотические функции для решения экспоненциального типа.

Эти результаты были распространены на уравнения, коэффициенты которых отличаются от постоянных на экспоненциально убывающие слагаемые А.Пази [36].

При условии, что оператор A(t) стремится при м<м в некотором слабом смысле к постоянному оператору А И.А.Евграфовым [9] была получена асимптотика при t -» оо решения уравнения (2) u(t) = exp i + 0(1)], t J где Â(t) - собственное число оператора A(t), стремящееся при i œ к простому собственному числу X оператора A(f), <j>(f)- соответствующий собственный элемент A{t), с = const.

Обобщением вышеуказанных уравнений является дифференциально-операторное уравнение с отклоняющимся аргументом с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве вида

А(3) j=о i dt

Систематически изучением этого уравнения занимался Р.Г.Алиев [1-3]. Им были исследованы вопросы существования, единственности решения уравнения (3), а также устойчивость и асимптотическое поведение решения при t да. Успешное применение к решению метода преобразования Фурье, методов функционального анализа и методов, возникших в результате исследований уравнения (3), позволило углубиться в изучение перечисленных вопросов.

Уравнение (3) является частным случаем уравнения оо x'(t)= \dzr(t,z)x(t-г)+ f{t\ >-со, (4) о называемого уравнением с распределенным запаздыванием, когда r(t, т) имеет специальный вид oRr-(/*,+¿ДО)), (5)

7=0 f0' где e(t)= 1

1, t > 0.

Если решение уравнения (3) или (4) ищется на участке |/0,оо), то при подстановке х(0 в обе части уравнения в правой части появляются значения функции x(t) при значениях аргумента, меньших t0, то есть, где эта функция не определена. Поэтому эти значения надо задавать предварительно. Задавая x(t) = g(t) 6 при t<t0, решение x(t) уравнения для t > t0 рассматривают как продолжение начальной функции g(t). Если miit-h.-hXt)}^ = h, то начальную функцию g(t) t>t0 J достаточно задавать на отрезке [t0 -h,t0]. Таким образом, получается естественное обобщение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

Уравнения (3) и (4) являются частными случаями более общего уравнения содержащего как сосредоточенные, так и распределенные запаздывания. С учетом возможности представления (5) уравнение (6), вообще говоря, можно назвать интегро-дифференциальным уравнением и трактовать его как уравнение с распределенным запаздыванием. Настоящая диссертационная работа посвящена вопросам разрешимости уравнения (6) в гильбертовом пространстве с экспоненциальным весом. Насколько нам известно уравнение типа (6) рассматривается впервые. Заметим, что интегро-дифференциальными уравненими занимался А.В.Быков [6]. Прежде чем перейти к краткому изложению основных результатов диссертации, приведем основные обозначения и определения, используемые в дальнейшем. т

00

6)

Основные обозначения и определения

X, 7- гильбертовы пространства, 1с7, |. ||£ - норма в пространстве Е . ь(х,У) - множество ограниченных линейных операторов из X в У, 1„(Д,7) - множество замкнутых линейных операторов из X в 7, Ьх (X, 7) - множество компактных линейных операторов из X в 7. Для оператора А: X -» 7 обозначим |л||у = |И| ^ • Л1 =(г0,+«>Х ^ =(-оо,Г0).

Носителем функции определенной и непрерывной на открытом множестве G (supp u{t)\ называется замыкание множества {t: u(t) * 0} n G. с* (g) - множество бесконечно дифференцируемых на открытом множестве g функций с компактными носителями в g.

Обозначение f(t) = o(<p(t)) на Е означает, что ||/(0| < на Е, где С не зависящая от t положительная константа; fit) = 0(l) на Е означает, что fit) на Е ограничена.

Ьр{я'° ,х) - пополнение множества сильно непрерывных функций с компактными носителями и со значениями в X по норме 1

СО Р р<°о.

1= ЛИСЛ

V» у

Х1к" - пополнение множества функций и^) = 0, t<t0, с компактными носителями и со значениями в X, имеющих сильно непрерывные производные в 7 по норме м(г| = |ехр(2а?)|м(0|^ + ||m'(0|£ , а = const е R.

V °

7л°;0а - пополнение множества сильно непрерывных функций и (г), и^) = 0, t<t0, с компактными носителями и со значениями в 7 по норме

Ло Л 2 |ехр(2б*)|М0||уЛ .

Vo У i): ^ \x)—>L2 (r'° , x), h'{t)<r< 1. hj - множество абсолютно непрерывных в jczr скалярных функций h(t), у которых в точках существования производной h'(t)< г < 1, t е J. xA{s) - характеристическая функция оператора А. Она вводится для а е l0(y,y)I lx(x,y) и определяется из неравенства hi + wimir > 0 и иех cy (см. [3]).

Линейный оператор А:Х -» 7 называется непрерывно обратимым, если выполнены условия:

1) область значений Im А = Y,

2) оператор а обратим,

3) Л-1 ограничен.

Будем рассматривать оператор т Г 1 %

- Dt - Z k + AJ (Окчм - Я A<f> >-«>,

7=0

П 1 ^ где Д = т—. г ш

Частные случаи оператора Ьро: т г2

7=0 г, т хг

7=0

Порождаемые ими уравнения:

О=/(')»

1ви(0=/(/)■

Операторам ,Ьр,Ь0 соответствуют резольвентные операторы 9

Яро (Л, 0 ^ [лЕ - ]Г [л, + А] (о]ехр(- + (*)))- }ехр(- /Лг& + А(1, г)]1 ;

V г, )

V1

ЛЕ-^ Л; ехр(- ¡Лк])- |ехр(-Мт)с/тЛ(т)

1=0 Г, т , . Ъ

Я,/) = ЛЕ-^ А] (О ехр(- ¡Лк] (0) - ]ехр(-/'Яг)^г г)

I ./=о

4-1 соответственно.

Под решением уравнения, коэффициенты которого принадлежат пространству Ь{Х,У), понимается функция и{{), сильно абсолютно непрерывная в У и удовлетворяющая уравнению.

Если не оговорено специально, то все встречающиеся в дальнейшем пространства X, У, Н, НХ,Н2 и т.д. полагаются гильбертовыми.

Некоторые сведения из теории функций и функционального анализа.

В этом пункте дается краткое изложение некоторых понятий и утверждений, которые будут использованы в дальнейшем.

Преобразование Фурье [10] функции f(t)eL2(R,H), где Я - гильбертово пространство, определяется как 1 (Л) = l.i.m — Гexp (-iXt) / (t)dt л/2Я JN

Под И.т понимается предел по норме пространства Ь2 (Я, Н). Преобразование Фурье для всякой функции /(г) е Ь2 (К, Я) определяется формулой

Л) = Техр{-Ш)№&.

Теорема Планшереля [10]. Преобразование Фурье переводит функции из 1} (Я, Я) в Ь2 (Я, Я), а именно: если /(0 е 1} (Л, Я), то функция

1 м

7(1) = IX.т |ехр(-Ш)/(0^ существует и /(Я) е Ь2 (Л, Я). При этом со ^ 00 1 N ¡\\Afg Ж, т = 1лж— \&ф(Ш)/{Л)с1Л.

-м -» м л/2;т

Если 1т 1 = а ф 0, то

I \\/(Л) 2нс1Л= ]ехр(2а0||/(0||* Л.

Im Х=а

Непрерывность, дифференцируемость, регулярность.

Функция и (0 со значениями в абстрактном гильбертовом пространстве И называется сильно непрерывной в точке t0, если \и(^-и{[й )\н при и сильно непрерывной на [а,Ь], если она непрерывна в каждой точке отрезка [а,Ь]. Норма ||и(7)||я есть неотрицательная скалярная функция.

Функция называется дифференцируемой в точке если существует такой элемент оеН, что и

->0 при Дг->0 я

ДГ

Функция дифференцируема на отрезке (интервале, полуинтервале), если она дифференцируема в каждой точке отрезка (интервала, полуинтервала).

Функция и(0 называется регулярной в области бсС, если она имеет в каждой точке этой области производную.

Ограниченный линейный оператор Л(Л) называется регулярной функцией Л в некоторой области В, если в каждой точке этой области отношение

---— сходится по норме пространства В к некоторому пределу Л (Л). к

В окрестности изолированной особой точки имеет место разложение

00

Я(Л)= £в„(Л-Лоу, сходящееся по норме локально равномерно относительно п=-оо

Л. Особая точка Л0 есть полюс, если последнее разложение содержит лишь конечное число членов с отрицательными степенями Л-Л0. Если Л (Л) в области £> имеет в качестве особых точек лишь полюса, то А(Л) называется мероморф-ной функцией в этой области.

Линейные операторы. Замкнутость. Ограниченность.

Оператор А: X У называется замкнутым, если из хп -> х, хп е X, Ахп ->у следует, что хе X, Ах = у. С оператором А замкнут или не замкнут оператор ХЕ - А (с областью определения £>(л)). Поэтому, если существует ограниченный оператор (ХЕ-А)'1, то оператор А замкнут. Обратный оператор А"1 замкнутого линейного оператора, если он существует, является замкнутым линейным оператором.

Всякий ограниченный оператор, определенный на всем пространстве, замкнут; однако замкнутый оператор может быть неограниченным. Если же замкнутый оператор определен на всем банаховом пространстве Я,, то он ограничен (теорема Банаха).

Если \/и(0еН1 выполнено неравенство ||^и(7)||я <С|и(/)||я , то оператор называется ограниченным, а наименьшее значение константы С - нормой

И оператора А. Здесь Я,(Я2) область определения (значений) оператора п | ) Г% 2 Ограниченный оператор непрерывен. Обратно, определенный на всем пространстве Я1 непрерывный оператор ограничен.

Ограниченный линейный оператор А(г) называется сильно непрерывным, если + К)~ Д0|| 0 ПРИ /г —> 0.

Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он определен на всем пространстве Н1 и отображает каждое ограниченное в Я, множество в компактное множество в Я2.

Если а - замкнутый оператор, то а + в, где в - ограниченный на в(а) оператор, также замкнутый оператор; а'1, если он существует, - замкнутый оператор и множество решений уравнения Ах = 0 есть подпространство [24].

КегА - ядро оператора А, то есть совокупность всех решений уравнения Ах = 0, хе X.

JmA - образ оператора А в Y, то есть совокупность всех у eY, для которых разрешимо уравнение Ах = у.

Ясно, что КегА - замкнутое подпространство ( как прообраз точки при непрерывном отображении). Множество JmA не всегда замкнуто. Аналогично можно определить КегА* и JmA*, где А* является сопряженным оператору А.

Если JmA, JmA* - замкнутые подпространства, то можно определить фактор-пространства

CokexA = Y/JmA и Cokex А* = X * I JmA*, где X* является сопряженным к пространству X. Они называются коядрами операторов А и А* сответственно.

Пусть а(А) = dim ker А, ¡3( A) = dim со ker А, i(A) = а(А) - /?(А). Оператор А называется фредгольмовым, если а(А) и ¡3(A) конечны (с.290 [11]). В этом случае i(A) называется индексом оператора А.

Альтернатива Фредгольма. Пусть А - вполне непрерывный оператор в банаховом пространстве В и Л- фиксированное отличное от нуля число. Рассмотрим неоднородные уравнения (ЛЕ-Л)х = у, (1)

ЛЕ-А*)х* = у*, (2) и однородные уравнения

ЛЕ-А)х = 0, (3)

ЛЕ-А*)х* = 0. (4)

Связь между свойствами решений этих четырех уравнений устанавливается следующими теоремами Фредгольма:

1) Неоднородное уравнение (1) разрешимо при тех и только тех у, которые ортогональны каждому решению сопряженного однородного уравнения (4).

2) Либо уравнение (1) имеет при любом у е В одно и только одно решение, либо однородное уравнение (3) имеет ненулевое решение.

14

3) Однородные уравнения (3) и (4) имеют одно и то же, и притом конечное число линейно независимых решений.

В дальнейшем будем пользоваться следующими Лемма 0.0.1 (лемма 2.1 [3]). Если А е L0(Y,Y)nL„(X,Y), то V s > 0 3 Xa (£) 5 что имеет место неравенство

Аи\у <е\и\х +Хл(ф\\у VueXcY.

Лемма 0.0.2 (лемма 2.2 [3]). Если А.е L0(Y,Y)nLx(X,Y) ,toV/>0 3е>0 такое, что при выполнении условий h(t) е HR, \h(t)\ <е, t е R справедливо неравенство

Лемма 0.0.3 (теорема 1, с.555 [24]). Если А - замкнутый оператор, то А + В, где В - ограниченый на D(A) оператор, также замкнутый оператор; А'1, если он существует,- замкнутый оператор, и множество решений уравнения Ах - 0 есть подпространство.

Лемма 0.0.4 [10]. Если A:X^Y- замкнутый оператор и D(A) = X, то

А - ограниченный оператор.

Краткое содержание диссертации.

Первая глава диссертации содержит два параграфа и посвящена вопросам разрешимости уравнений £,«(')=/('), (1)

• (2)

В первом параграфе доказываются теорема о непрерывной обратимости оператора

1р:Х^ со) и теорема об однозначной разрешимости начальной задачи

11А) = /(1),1>10, "(О = 8(0, г< g(t0) = и(г0 +0). Теорема 1.1.1. Условия: 1) резольвента Яр(Л) - регулярна,

2) =0(1), ЦЯЯДЯ)^ =0(1), |Я| —>оо, 1тЛ = а (IтЛ<а) необходимы и достаточны для непрерывной обратимости оператора

Теорема 1.1.2. Пусть Яр(Л)- регулярна, К (Я)\1 = 0(1), \ляр (Я)||у = 0(1), \Л\ 00,1тЯ < а,

Тогда существует единственное решение уравнения (1) такое, что ы(г) - О при t<t0.

Во втором параграфе доказываются теорема о непрерывной обратимости оператора и теорема об однозначной разрешимости начальной задачи и(0 = £(0> £('о) = "('о+0).

Теорема 1.2.1. Пусть выполнены условия: а) : УУ - замкнутые, у > 0,

Х ->У- вполне непрерывные операторы, у > 1; б) резольвента (Я) регулярна, 0(1), ||я/гдя)||у =0(1), |Я|^оо,1шЯ = а(1шЯ<а:^.^0). 2

Тогда Э s > 0 такое, что если (ЦдоЦ^ ^ £> -s> \ dTA(t,iг) dr dr <s, t е R, hj(t) g HR, то оператор Lpo: Xl£a ->• Y°,f, t0 = -qo (i0 > -oo) непрерывно обратим.

Теорема 1.2.2. Пусть выполнены условия: а) Aj: Y ->• Y - замкнутые, j > О,

Aj :Х Y- вполне непрерывные операторы, j >1; б) резольвента Rp (л) регулярна, 0(1), ЦАКДА^ = 0(1), Щ со, Im2 < а; в)/(067д°'а!Ас<») hjiOeHR'^jZl. 2

Тогда 3 s > 0 такое, что если |Aj (^ у < s, hj < s, J dTA{t,r) dr dr < s,t e R, j > 0, то уравнение (2) имеет единственное решение и^), обладающее свойством

Глава 2 посвящена нормальной разрешимости уравнения

Lpou(f) = f(t),tьR в смысле определения (с.290 [11]).

В первом параграфе доказываются теоремы о конечномерности КегЬро и Со кег Ьрп.

Во втором параграфе доказаны теоремы о равенстве нулю ядра и коядра оператора Ьро - />: Х\а Y°'a при достаточно больших у и как следствие из этих теорем доказано, что индекс этого оператора равен нулю.

Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия: а) А] е Х0(7, Y)c\Ltл (Х,У), у > 1; существуют пределы 2 lim f drA(t,T) dr dr = 0; б) резольвента Rp(Ä) регулярна,

RpW\\x = 0(1), \\XRp(ä)\\y = 0(1), |Л[ со, ImX = а

Тогда ядро оператора L : X\f -» YR'a конечномерно

Теорема 2.1.2. Пусть выполнены условия: a)Aj + Aj(0€ L0(У,Y)nLx(X,Y), teR, j> 1; drA(t, r) "2

31im|Uy(0|L =0, lim /г (?) = 0, h (t) e HR, j> 0, lim } i|-*»ll J llr J J |,U«> J

Aj (t) непрерывно зависит от t sR,j> 0, dTA(t,z) dr dr = 0 ; dr сильно непрерывнаuo teR б) резольвенты Rp(X) и R(X,t) = (AE-A0-A0(t)) 1 для любого фиксированного t eЯ регулярны, ||ЯДЯ)||^ = 0(1), ЦЛКДЛ)^ = 0(1), =0(1),

ЯЯ(Я,0||у = 0( 1), |Я| 00, t e Д, 1тЯ = a

Тогда коядро оператора L : Y^a конечномерно.

Теорема 2.2.1. Пусть выполнены условия: а) V t е R, Aj+A^eL^Yj)! Ln{Xj\ j> 1;

3limIAj(/|y = 0, limhj(t) = 0, hj(i)eHR,j>0, lim dTA(t,z) II dz dz = 0 ;

Aj (t) непрерывно зависят от t e R, j > 0. dTA(t,r) т . 7 сильно непрерывна по teR; dz

V1 m >z б) резольвенты яДя)= ÄE-^e'^.Aj - fe~'ÂTdA(z) j=о и при любом фиксированном t е Я регулярны, Й, = ^(а К(я|7=0(1), и^'Ялг=

ЯД(Я,^|у = 0(1), ? е 1тЯ = а, |Я| -> 00, в

Тогда оператор Ьро е -> 7Л0'"), то есть фредгольмовый.

Теорема 2.2.2. Пусть выполнены условия: а) ^¿0(У,7)1 1Ю(Х,7),7>1;

->«i lim [ il —юо J dTA(t,4 dz dz = 0, л-1 б) резольвента Яр(Л,у)= (Л - iy)E - MjAj- je azdA{r)

7=0 регулярна, яр(л,г\=оЩляр(л,г\ = оЩл\^^ I ^Мг0,1"1^"'

Тогда ядро оператора (Zpo - iy): Xjf -> Y°-a при достаточно больших значениях у равно нулю.

Теорема 2.2.3.Пусть выполнены условия: а) А;+Аук)е10(Г,Г)1 Lx{Xj), t е R, j > 1;

3 limlU, (ill = 0, lim h, (f) = 0, h, (t) e HR, j > 0, J jv >\\r |<|>.M 7 V / ' ; V / j ' dTA(t,r) lim dr-0,

I'b00 J dz 1 у

Aj(t) непрерывно зависят от t e R, />0, сильно непрерывна no t e i?. б) Резольвенты Яр(Л,у), R(X,t,y) = (ty-iy)E-A0-A0(t))~l регулярны на ImЛ = а;

К ML=IK ML= I Rfo'>rix=IM^'.ri = 0, lim||*(A,t,rlx =0, teR, IтЛ = а, |Л| -> оо; в )f(t)eY^.

Тогда коядро оператора (Lp0 - iy): X)f -> при достаточно больших значениях у равно нулю.

Следствие 2.2.1. Пусть выполнены условия: a) Vie/? Aj+Aj^L^YJ) I Lx(xj\t eR, j> 1; dr dr = 0. / \ d Au.t)

Aj[t) непрерывно зависят от t<=R, j> 0, —^—'- сильно непрерывна no t e R. dx

6)We R резольвенты Rp(Л,y), RÇi,t,y) = ((Л-iy)E-A0-A0(t))~l регулярны,

JldKML= Ji^W^lx= °> 'e *>=« •

Тогда индекс оператора (Lpo - iy) : X)f -» Y^a равен нулю.

Следствие 2.2.2. В условиях следствия 2.2.1 из единственности решения уравненияL^wO) = f(t), t e R в пространстве XlRa следует его существование.

Перечень публикаций автора по теме диссертации:

1. Оруджев М.И. О разрешимости уравнения с фиксированными и распределенными отклонениями аргумента с неограниченными операторными коэффи-циентами.//Сб. Функционально-дифференциальные уравнения и их приложе-ния.-Махачкала, 1997, с.74-75.

2. Оруджев М.И. О разрешимости уравнения с сосредоточенными и распределенными запаздываниями в гильбертовом пространстве.//Вестник ДГУ, вып.1.Естественные науки.-Махачкала, 1997, с. 118-126.

3. Оруджев М.И. О нормальной разрешимости уравнения с сосредоточенными и распределенными запаздываниями в гильбертовом пространстве. // Современные методы в теории краевых задач (тезисы докладов Понтрягинских чтений - Х).-Воронеж, 1999, с. 186-187.

4. Оруджев М.И. О нормальной разрешимости уравнения с сосредоточенными и распределенными запаздываниями в гильбертовом пространстве. // Ряды Фурье и их приложения (тезисы докладовVII Международной конференции "Математика. Экономика. Экология. Образование").-Ростов-на-Дону, 1999, 3132.

Материалы диссертации докладывались на семинарах и научных конференциях Дагестанского госуниверситета (1997-1999 гг.), на семинаре по дифференциальным уравнениям Кубанского госуниверситета (1998 г., рук. проф. Цадюк З.Б.), на Четвертой Всероссийской конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Махачкала, 1997 г.), на Понтрягинских чтениях-Х (Воронеж, 1999г.), на VII Международной конференции " Математика. Экономика. Экология. Образование" (Ростов-на-Дону, 1999 г.).

Диссертация состоит из введения, 2-х глав, разбитых на 5 параграфов, изложенных на 87 страницах. Список литературы содержит 36 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Оруджев, Мурад Идрисович, 2000 год

1. Алиев Р.Г. О разрешимости уравнения с отклоняющимся аргументом в гильбертовом пространстве, ДАН СССР, Т.274, №6, 1979, 1289-1291.

2. Алиев Р.Г. К вопросу о необходимости и достаточности условий однозначной разрешимости уравнений с отклоняющимся аргументом и неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве, ДАН СССР, Т.267, №1, 1982,11-14.

3. Алиев Р.Г. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом с операторными коэффициентами, Махачкала, Издт. Даггосуниверситета, 1990, 80.

4. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уранения. М.: Мир, 1967.

5. Бесов О.В, Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения, М., Наука, 1975.

6. Быков A.B. Интегро-дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1961.

7. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1981.

8. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.- М.: Наука, 1970.

9. Евграфов М.А. Структура решений экспоненциального роста для некоторых операторных уравнений, Тр. Матем. Ин-та им. В.А. Стеклова, АН СССР, 60, 1961.Ю.Иосида К. Функциональный анализ, М.,"Мир", 1967.

10. Като Т. Теория возмущения линейных операторов,- М.: Мир, 1967.

11. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.: Наука, 1989.

12. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения.- М.: Наука, 1959.

13. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.-М.: Наука, 1967.

14. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа.- М.: Наука, 1965.

15. Маслов В.П. Операторные методы.- М.: Наука, 1973.

16. Массера Х.Л. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М., 1970.

17. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, М.-Л., 1971.

18. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.- М.: Наука, 1965.

19. Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом.- М.: Наука, 1965.

20. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961.

21. Пинни Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: ИЛ, 1961.

22. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыанием.- М.: Наука, 1969.

23. Смирнов В.И. Курс высшей математики, T.III, М., 1957.

24. Солодов A.B., Солодова Е.А. Системы с переменным запаздыванием.- М.: Наука, 1980.

25. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

26. Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.- Киев: изд-во «Наукова думка», 1981.

27. Харди Г.Г., Литльвуд Д.Е., ПолиаГ. Неравенства.- М.: Государственное издательство иностранной литературы, 1948.

28. Хейл Дж. Теория функционально- дифференциальных уравнений.- М.:Мир, 1984.87

29. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы.- М.: ИЛ, 1962.

30. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.- М.: 1971.

31. Agmon S., Nirenberg L. Properties of solutions of Ordinary differential Equation in Banach Space, Comm. on pure and appl. Math., 1963, 121-239.

32. Halanay A. Differential equations, N.Y.-L., 1996.

33. Ogustoreli M.N. Time-Lag control systems, N.Y.-L., 1996.

34. Kato T. On linear differential equartions in Banach Spaces, Comm. on pure and appl. Math., 1956.V.9, P.479-486.

35. Pazy A. Asumptotic exspansions of the solutions of ordinary differential equar-tion in Hilbert Space, Arch. Mech. And Anal, 24, 3 (1967), 193-218.