Задача с начальными условиями для эволюционных линейных дифференциально-разностных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Йаакбариех Амир

• Йаакбариех Амир
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Йаакбариех Амир

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДРУ) С ОТКЛОНЕНИЕМ ПРОСТРАНСТВЕННОГО АРГУМЕНТА.

1.1. Задача Коши для параболического дифференциально-разностных уравнений с отклонением пространственного

аргумента

1.2. Полугруппы операторов, порождаемых параболическими ДРУ с отклонением пространственного аргумента

1.3. Задача Коши для гиперболического дифференциально-разностных уравнений с отклонением пространственного

аргумента

1.4. Полугруппы операторов, порождаемых гиперболическими ДРУ с отклонением пространственного аргумента

Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДРУ) С ОТКЛОНЕНИЕМ ВРЕМЕННОГО АРГУМЕНТА.

2.1. О постановке задачи с начальными условиями

для ДРУ

2.2. Параболические ДРУ с отклонением временного аргумента

2.3. Гиперболические ДРУ с отклонением временного аргумента

2.4. Весовое пространство корректности задачи с начальными условиями для ДРУ с отклонением временного аргумента и нарушение существования или единственности ее решения

2.5. Сочетание отклонений пространственного и временного аргументов

Глава 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ДРУ КОНТИНУАЛЬНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ.

3.1. Формулы Фейнмана для решений здачи Коши для параболического ДРУ с отклонением пространственного аргумента

3.2. Заключение

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

о- 2 -

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача с начальными условиями для эволюционных линейных дифференциально-разностных уравнений»

ВВЕДЕНИЕ

В диссертации проводятся исследования дифференциально-разностных эволюционных уравнений. Изучаются условия корректной разрешимости начально-краевых задач, в которых дифференциально-разностный оператор (действующий в пространстве числовых функций, заданных на прямом произведении временной полуоси на координатное пространство Яа) осуществляет как отклонение пространственных переменных, так и отклонение временной переменной (причем может иметь как запаздывание, так и опережение аргумента).

В случае оператора со сдвигами лишь пространственного аргумента или операторов без запаздывания начальными условиями задачи Ко-ши являются предельные значения неизвестной функции (для уравнения параболического типа) или предельные значения функции и ее производной по временной переменной (для гиперболического уравнения) в пространстве, соответствующем постановке задачи Коши.

В случае операторов с запаздыванием временного аргумента начальные данные задаются как значения неизвестной функции на промежутке запаздывания, причем выбор функционального пространства для начальных значений входит в постановку задачи с начальным условием.

Такая постановка задачи с начальными условиями для ДРУ, содержащих опережение, является модификацией исследованной в работах А.Г. Каменского, АД. Мышкиса, Л.Э. Эльсгольца и ряда других авторов (см. работу [14] и монографию [18]) постановки задачи с начальными условиями для ДРУ опережающего типа. Новизна предложенного в диссертации подхода состоит в том, что начальные условия для ДРУ опережающего типа задаются лишь на промежутке запаздывния, а не на объединении промежутков опережения и запаздывания как в [14, 18]. Как показали исследования (см. теоремы 2.1, 2.3), в такой по- 3 -

становке задачи условия ее корректной разрешимости в пространстве Соболева с весом значительно менее сложны и ограничительны.

Исследованы свойства дифференциально-разностного оператора и найдены функциональные пространства, в которых задача с начальными условиями имеет единственное решение, норма которого допускает оценку через норму начальных данных и норму неоднородного слагаемого в уравнении.

В терминах спектральных свойств дифференциально-разностного оператора найдены условия на функциональные пространства задачи, необходимые для корректной разрешимости с начальными условиями.

Для задачи Коши для дифференциально-разностного уравнения параболического типа с отклонением пространственных переменных найдено представление полугруппы, порожденной задачей Коши, посредством формул Фейнмана.

Корректная разрешимость начально-краевых задач для эволюционных уравнений с запаздыванием временного аргумента и с отклонениями пространственных переменных является актуальной проблемой теории дифференциальных уравнений (см. [14] [21], [22], [27], [8]).

В работах [5, 6] исследованы корректная разрешимость и свойства решений задачи с начальными данными для параболического уравнения с отклоняющимся аргументом нейтрального типа, а в статье [8] исследованы аналогичные вопросы для гиперболических уравнений с отклоняющимся временным аргументом.

В работах A.JI. Скубачевского (см. [27]), П.Л. Гуревича, A.B. Муравника (см. [20]), Л.Е. Россовского изучаются свойства дифференциально-разностных операторов со сдвигами пространственных аргументов в ограниченных по пространственным переменным областям. Установлено нарушение гладкости решений таких дифференциально-разностных уравнений за счет влияния сдвигов

пространственного аргумента, выводящих за пределы области или на ее границу.

В работах A.M. Азбелева, А.Д. Мышкиса (см. [21]), Г. А. Каменского, Л.Э. Эльсгольца (см. [14]), В.В. Власова (см. [8]) исследуются свойства решений функционально-дифференциальных уравнений со сдвигами временного аргумента.

Определен класс функциональных пространств ограниченного экспоненциального роста, в которых сформулирована постановка задач с начальными условиями и найдены достаточные и необходимые условия ее корректной разрешимости.

Исследована связь корректной разрешимости задачи с начальными условиями со спектральными свойствами дифференциально-разностного оператора.

В работах B.C. Рабиновича [22, 23] исследован широкий класс параболических дифференциально-разностных уравнений с переменными коэффициентами в полупространстве. Свойства обратимости и нете-ровости таких дифференциально-разностных операторов и свойство корректной разрешимости задачи Коши для таких уравнений изучались в пространствах Соболева-Слободецкого с экспоненциальным весом по временной переменной. Спецификой рассматримаевых в указанных работах дифференциально-разностных уравнений является их запаздывающий тип и, как следствие, свойство корректности задач Коши в пространствах Соболева с экспоненциальным весом e~pt, t > О, при достаточно больших р.

В диссертационной работе показано, что такое свойство присуще параболическим дифференциальным уравнениям в полупространстве именно запаздывающего типа. В случае же уравнений с запаздыванием и опережением в полупространстве множество показателей экспоненциального веса р, в весовых пространствах с которым имеет место

корректность задачи Коши, представляет собой ограниченный (быть может, даже пустой) промежуток.

В диссертации исследуются задачи с начальными данными для дифференциально-разностных уравнений, сочетающих отклонения по пространственным переменным с отклонениями временной переменной. Рассматриваются дифференциалльно-разностные уравнения вида

= ¿>0, (1)

в которых неизвестная функция и является определена на временной полуоси (/г, +оо) (здесь К < 0 и в случае И < 0 интервал (/г, 0) -промежуток запаздывания) и принимает значения в банаховом пространстве X числовых функций на координатном пространстве К1 (например X — или X = И^1 (#<*)), а оператор являет-

ся дифференциально-разностным оператором в пространстве таких отображений полуоси (/г, +оо) в банахово пространство X, содержащем сдвиги по пространственным и по временной переменным (класс рассматриваемых операторов описывается ниже).

Параметр Н < 0 имеет смысл максимального запаздывания по временной переменной. В случае отсутствия запаздывания по времени параметр /г = 0 и дифференциальное уравнение (1) снабжается начальным условием - предельным значением неизвестной функции и при £ -> +0:

гг(+0) = и0, «о € X. (2)

При наличии запаздывания К < 0 и дифференциальное уравнение (1) дополнено начальным условием - заданием неизвестной функции и на промежутке запаздывания:

= Ф- (3)

Изучаются постановки задачи Коши (1), (2) и задачи с начальными

условиями (1), (3). Установлены достаточные условия корректной разрешимости и, при некоторых дополнительных предположениях, необходимые условия.

В случае задачи (1), (2) без отклонений временного аргумента в диссертации изучается представление полугруппы решений задачи Коши для функционально-дифференциального уравнения посредством формулы Фейнмана (см. [2]). Это означает, что хотя представление эволюционного оператора задачи Коши (1) можно определить в терминах спектрального разложения (в простейшей ситуации - в терминах преобразования Фурье решения), тем не менее мы получаем аппроксимацию эволюционного оператора последовательностью п-кратных композиций интегральных операторов, ядрами которых являются элементарные функции.

Нелинейные параболические дифференциально-разностные уравнения без отклонения по времени возникают при исследовании нелинейных оптических систем с обратной связью (см. [3]).

В работе [27] сформулированна постановка смешанной задачи для нелинейного параболического дифференциально-разностного уравнения и установлено, какие свойства отличают указанную задачу от смешанной задачи для параболического дифференциальноо уравнения.

Рассматриваемая нами линейная задача Коши (1), (2) для уравнения без отклонения временного аргумента может быть рассмотрена как линеаризация указанных нелинейных смешанных задач.

Формулы Фейнмана определяют аппроксимации марковскиго случайного процесса, математическими ожиданиями функционалов от которого являются решения задачи Коши. Поэтому аппроксимация формулами Фейнмана полугруппы операторов, порожденной задачей Коши для уравнения теплопроводности с отклоняющимся аргументом, позволяет не только выразить решение задачи Коши с помощью кон-

структивных алгоритмов, но и исследовать вероятностную структуру явлений отклонения аргументы в уравнении теплопроводности.

Формулами Фейнмана называют представление полугруппы Шре-дингера ехр(—¿Н), t > 0, или группы Шредингера ехр(г£Н), помощью пределов конечнократных интегралов по декартовым степеням конфигурационного или фазового пространства (при стремлении к бесконечности кратности) классической гамильтоновой системы, при квантовании которой получается оператор Гамильтона Н (здесь Н -самосопряженный оператор, сопоставленный функции Гамильтона Н классической системы; в частности, Н может быть псевдодифференциальным оператором, символом которого является функция Гамильтона Я).

Впервые представить группу е-гШ, £ 6 В,, или полугруппу е-ш, £ > О, Шредингера в виде предела конечнократных интегралов по декартовым степеням конфигурационного или фазового пространства было предложено Р. Фейнманом.

Математически строгое обоснование применимости подхода Фейнмана в лагранжевой форме было впервые получено Э. Нельсоном в 1964 году с помощью формулы Троттера (см. [30]).

Гамильтонова форма подхода Фейнмана, сформулированная им в 1951 году, впервые была рассмотрена на математическом уровне в 2002 году в работе [32] с помощью теоремы Чернова. В этой работе было впервые отмечено, что полученная в 1968 году формула Чернова является одним из наиболее эффективных подходов к получению аппроксимаций групп и полугрупп, возникающих в квантовой механике.

В работе [20] получено точное интегральное представление полугруппы, порождаемой параболическим дифференциально-разностным уравнением с отклонением пространственных переменных.

С помощью формул Фейнмана в диссертациинайдены аппроксима-

ции такой полугруппы оператор-функциями более простого вида, что является эффективным методом для численного исследования решений дифференциально-разностных уравнений (см. [13]).

Основным модельным объектом исследования диссертации является задача найти решение дифференциально-разностного уравнения

d N

—u(t) = S?u(t) + ^2(aku(t + hk) + ck^u{t + hk)) + f{t), t > 0 dt k=l

удовлетворяющего начальным условиям

u(t) = <f>(t), t e [/г,0].

Здесь h — h\ < h2 <■■■< hp; - заданный конечный набор вещественных отклонений временного аргумента, причем h < 0, а величина hдг может быть как отрицательной, так и положительной. Коэффициенты а\,..., адг, ci,..., сдг являются вещественными числами. Функции / и ф, заданные на промежутках R+ = (0, +оо) и [h, 0] соответственно, принимают значения в некотором гильбертовом пространстве Ж числвых функций на координатном пространстве Rd, d е N (например, JT = L2(Rn), или JT = Wi{Rd)).

Оператор Jz? является дифференциальным оператором или дифференциально-разностным оператором в пространстве Н с отклонениями пространственных переменных.

Подчеркнем, что поскольку величина h^ может быть положительна, то будет исследована задача не только с запаздывающим, но и с опережающим аргументом, корректность которой установить более затруднительно.

Отчасти поэтому дифференциально-разностные уравнения с опережающим аргументом изучены в значительно меньшей мере, чем уравнения с запаздыванием.

Относительно оператора ££, действующего по пространственным переменным, будем предполагать самосопряженность и полуограниченность.

Модельным примером такого оператора ££ является следующий:

Л?у(х) = Ау(х)+а(у(х - г{) + у(х + Г1))+сА(у(х-г2)+у(х+г2)), х е

где а, с е Я, гх, г2 Е В!1 - параметры, А - оператор Лапласа в пространстве 1/2 (К?) с областью определения И/22(/?сг).

В работе [25] для дифференциально-разностного оператора введен аналог понятия эллиптичности, используемый в теории дифференциальных операторов.

Оператор — называется сильно эллиптическим, если существуют такие константы Со > 0 и 70 > 0, что для любого и е Ж2 выполняется неравенство

(~&и,и) > С0\\и\\2ж1 -ъ\\и\\%>.

Свойство дифференциально-разностного оператора быть сильно эллиптическим играет ключевую роль в вопросах разрешимости задачи Коши для дифференциально-разностных уравнений параболического типа (см. [20]).

В настоящей работе мы рассмотрим свойство сильной эллиптичности дифференциально-разностного оператора как условие корректной разрешимости задачи Коши для дифференциально-разностных уравнений гиперболического типа.

Оператор — ££ называется строго положительным, если существует такая константа ао > 0 , что для любого и € Ж'1 выполняется неравенство

(—Л?и,и) > а0|М|5г-

При изучении уравнений гиперболического типа мы будем предполагать, что оператор — ££ является сильно эллиптическим и строго

положительным и полагаем — = А2, где А - строго положительный оператор в гильбертовом пространстве Ж с областю определения Ж1. Последнее предположение приводит к тому, что оператор А имеет ограниченный самосопряженный обратный А-1.

Исследования, проводимые в диссертации, являются продолжением исследований статьи [7]. Получены достаточные условия корректной разрешимости задачи (1), (3) - указаны условия на весовую функцию шкалы весовых пространств Соболева, при которых задача (1), (3) имеет единственное решение в весовом пространстве, причем норма решения допускает оценку через норму неоднородного слагаемого уравнения (1) и норму начального условия (3).

В работе показано, к каким нарушениям корректности задачи (1)-(3) приводит нарушение условия на вес. В терминах спектра оператора задачи показано, что в случае весовых пространств Соболева со слишком быстро убывающим весом задача (1), (3) имеет в пространстве Соболева более одного решения. Наоборот, если весовая функция убывает слишком медленно, то в соответствующем пространстве Соболева может не найтись решения задачи (1), (3).

В этом полученный результат подобен результату работы А.Н. Тихонова (см. [34]), в которой для шкалы функциональных пространств найдена граница корректной разрешимости задачи Коши для уравнения теплопроводности и установлено нарушение единственности решения задачи Коши в более широких пространствах шкалы.

Условия корректной разрешимости дифференциально-разностного уравнения с отклонениями пространственной переменной изучаются в первой главе диссертации для уравнений параболического и гиперболического типа.

Во второй главе изучаются уравнения с отклонениями временного

аргумента.

В третьей главе диссертации для полугрупп, порождаемых дифференциально-разностным уравнением параболического типа, получена аппроксимация с помощью формул Фейнмана.

Первая глава "Дифференциально-разностные уравнения (ДРУ) с отклонением пространственного аргумента".

В первом разделе первой главы изучаются параболические ДРУ с отклонением пространственного аргумента.

Установлено, что оператор Лапласа, возмущенный симметричной линейной комбинацией операторов сдвига аргумента, является генератором сжимающей полугруппы в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемыхфункций.

В этой чаете изучаются, вопросы корректной разрешимости задачи Коши для модельного параболического дифференциально-разностного уравнения вида

N

щ(х, ¿) = Аи(х, £) + ^ ак{и(х — кк, ¿) + и(х + (х, е Я х Я+

(0.0.1)

дополненного начальным условием

и(х, 0) = и0(х), х е Я. (0.0.2)

Уравнения указанного вида возникают при описании явлений диффузии или теплопроводности в которых возникают источники, нелокально зависящие от состояния (т.е. от плотности распределения концентрации или температуры) и.

В частности, уравнения вида (0.0.1) возникают при исследовании задач управления явлениями теплопередачи, в которых динамика со- 12 -

стояния и задается дифференциальным уравнением

щ(х, £) = Аи(х, £) + д(£, х, и), (х, £) € Я х

с управлением д в случае, когда управление д задается действием на состояние и операторов отклонения аргумента в композиции с операторами дифференцирования и умножения на функцию (см. [21], [26],

И)-

Предположим, что существует решение и(:г,£), £ > 0, х € Я, задачи Коши (0.0.1), (0.0.2). Чтобы найти представление решения задачи Ко-ши (0.0.1), (0.0.2) через начальное условие, применим преобразование Фурье & к левой и правой части уравнения (0.0.1):

Я

£)} = ^{Аи(х, £)} + ^{а>к{и{х - £) + и(х + кк, £))},

1-1 (0.0.3)

Пусть функция и(з,Ь), з £ Я, £ е (0,+оо) является преобразованием Фурье функции и(х, £) по первой переменной. Тогда уравнение (0.0.3) обретает вид:

N

и^в, £) = —52с/ (в, £) + аки (5> ехр(гй^) + и (в, £) ехр(-г5^)),

г=1

а начальное условие (0.0.2) - вид 17(з, 0) = ио(з) = Р(ио)(з), в £ Я. Тогда получаем, что

N

и {в, £) = и0(в) ехр [(-52 + 2 ^ ак со . (0.0.4)

г=1

Теорема 1.1. Формула (0.0.4) определяет сильно непрерывную полугруппу и(£), £ > 0, преобразований пространства Ь2(Я).

Теорема 1.2. Задача Коши (0.0.1), (0.0.2) имеет единственное обобщенное решение «(£), £ > 0, которое определяется как действие полугруппы и(£), £ > 0, на начальное условие щ.

Во второй части первой главы рассмотрены гиперболические ДРУ с отклонением пространственного аргумента.

Установлены условия корректной разрешимости задачи Коши для дифференциально-разностного уравнения гиперболического типа с отклонениями пространственного аргумента неизвестной функции.

Определено представление полугруппы решений задачи Коши для дифференциально - разностного уравнения гиперболического типа.

В этой чаете исследуются, вопросы постановки и корректной разрешимости задачи с начальными условиями для модельного гиперболического дифференциально-разностного уравнения вида

д2

—и(х,1) = ¿?и(х,г) + /(ж,£), ОМ) € х (0, +оо) (0.0.5) и{х, +0) = и0(:г), и'^х, +0) =щ(х), х е Яа, (0.0.6)

где

N

= Аи(х, £) + *^2{[ак(и(х — + и(х + /Ц;, £))] + к=1

[г((6ь \7и(х - кк, £)) + (Ък, Чи{х + кк, £)))] +

[ск(Аи(х - кк, £) + Аи(х + кк) £))]} - ки(х, £) (0.0.7)

Здесь ак, ск, к € Я и Нк € Ял при каждом к € 1,..., ТУ, а Ьк € Дивектор в при каждом к е 1,..., ./V, / - числовая функция, заданная на множестве (0, +оо) х Ял, а и неизвестная числовая функция, заданная на области (0, +оо) х Яй.

Областью определения оператора , действующего из О(^) С Ж в Жявляется гильбертово пространство = Ж2(Яа).

Пусть Ж- сепарабельное гильбертово пространство, А - самосопряженный положительный оператор в гильбертовом пространстве действующий в пространстве Ж = L2(Rd), имеющий компактный обратный, / - единичный оператор в пространстве Ж. Через а?о обозначим неотрицательную нижнюю грань оператора А.

Превратим область определения Dom{А^) оператора А> 0) в гильбертово пространство Ж^ введя на Dom( Ар) норму

II - 11/»= (II А"- ||2 + || • ||2Я

При каждом 7 € R обозначим через Ь2п((а, Ь),Ж), (—оо < а < b < +оо) пространство вектор-функций со значениями в Ж, снабженное нормой

II / IIь2,Ма,ь)^)= ([ exp(-2jt) || f(t) ||2 dt)1'2,7 > 0 (0.0.8)

Через W2n((a, b), А1) обозначим пространство вектор-функций со значениями в Ж таких, что

A^u^it) £ Ь2^((а,Ь),Ж)у j =0,1, ¿ = 1,2,...;

с нормой

II и I\w^((a.b).A<)= (II «(0 II 12<1{{а.Ь),Ж) +(ll AlU \\l2^a,b)^))l/\l > 0.

(0.0.9)

Для изучения задачи Коши (0.0.5) - (0.0.6) определим оператор А как неотрицательный квадратный корень из строго положительного оператора — Jzf. Тогда справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.3. Пусть строго положительный оператор в

гильбертовом пространстве Ж. Тогда если щ € Жi и щ б Ж

i7(i?+, Ж1) и —Jzf — А2, то задача Коши (0.0.5) и (0.0.6) имеет в пространстве W2 j(R+, А2) единственное решение и, которое

допускает представление и(х, t) = eJt[g(x, t) + А"1 [ sin(A(t - s))e-7(i-'s)F7(a:, s)ds], (0.0.10)

J о

где F7 определено равенством

F7(:r, t) = /7 - (A2 + 72/)^ - i) - 27^(:r, t). (0.0.11)

где /7(i) = e~ytf(t), t > 0 и

= [cos(A£)i;o + A-1 sin(A£)ui], t > 0.

Покажем, что однородная задача Коши (0.0.5) и (0.0.6) (то есть задача Коши с / = 0), имеющая единственное решение из пространства W2(R+, А2) при произвольных начальных условиях щ € D(A%) и щ G

задает полугруппу в гильбертовом пространстве начальных данных

Ж = D(A%) © D(A^). Определим на пространстве Ж функционал энергии равенством

Е(щ7щ) = \\Ащ\\%>+\\и1\\2ж. (0.0.12)

Рассмотрим однопараметрическое семейство преобразований U(i), t > 0, гильбертова пространства Ж, сопоставляющее каждому начальному условию (щ,щ) € Ж упорядоченную пару функций (и(-, t), u't(-, t)), где u(x,t), (x,t) € R x R+, - решение задачи Коши (0.0.5) и (0.0.6) с начаьными условиями (uq,u\) е Ж.

Теорема 1.4. Пусть —££ строго положительный оператор в гильбертовом пространстве Ж. Тогда при любом у > 0 однородная задача Коши (0.0.5) , (0.0.6) (то есть задача Коши с f = 0) имеет единственное решение из пространства W^(R+,

А2)

при произ-

3 1

вольных начальных условиях щ б D(A2) и щ € D(A^). При этом

однопараметрическое семейство преобразований и(£), £ > О, сопоставляющих каждой паре (щ,щ) € Ж знечение (и(Ь), и'^)) решения однородной задачи Коши с начальными условиями (иъ,и\) и его производной в момент времени £, является полугруппой в пространстве Ж, сохраняющей значение функционала энергии.

Вторая глава "Дифференциально-разностные уравнения (ДРУ) с отклонением временного аргумента" содержит исследования ДРУ параболического и гиперболического типов с отклонением временного аргумента. При этом от оператора действующего по пространственным переменным, требуются самосопряженность и полуограниченность, что не запрещает ему быть дифференциально-разностным оператором по пространственным переменным.

Сначала обсудим постановку задачи с начальными условиями для ДРУ.

Сама постановка исследуемой в диссертации задачи с начальными условиями для ДРУ опережающего типа является новой в то смысле, что для поиска неизвестной функции, удовлетворяющей ДРУ на положительной полуоси, задаются значения неизвестной функции на отрезке, длина которого равна величине наибольшего запаздывания в дифференциально-разностном выражении. Установлено, что при выборе подходящего пространства решений ДРУ (пространства Соболева с экспоненциальным весом И/2117(—+оо), то есть при выборе подходящих условий на скорость экспоненциального роста решения) и при условии достаточной малости коэффициентов при слагаемых с опережением, задача с начальными условиями имеет единственное решение в подходящем функциональном пространстве при любом выборе условия из пространства начальных данных Ж21([—0]).

Здесь следует отметить, что постановка задачи с начальными уело-

виями для ДРУ различных типов исследовалась в работе [14] (см. также монографию [18]). В указанных работах предложена классификация ДРУ на уравнения запаздывающего, нейтрального и опережающего типов. В этих же работах установлены следующие свойства задач с начальными условиями для ДРУ этих типов:

1. решения ДРУ запаздывающего типа имеют гладкость, нарастающую с ростом аргумента решения;

2. решения ДРУ нейтрального типа сохраняют гладкость;

3. решения ДРУ опережающего типа имеют убывающую гладкость.

Последнее свойство служит одной из причин нарушения корректности задач с начальными условиями для ДРУ опережающего типа на полуоси: для существования классического (непрерывно дифференцируемого) решения такой задачи требуется его бесконечная гладкость, а для корректной разрешимости этой же задачи на конечном отрезке требуется его достаточно высокая гладкость в совокупности с выполнением условий согласования.

Возникают вопросы - имеется ли у заданного ДРУ с опережением такой запас бесконечно дифференцируемых решений, который, во-первых, достаточно полон для того, чтобы аппроксимировать произвольные начальные данные в подходящей топологии, и, во-вторых, не переполнен для того, чтобыне нарушалась единственность решения. И, наконец, какова та топология, в которой непрерывно преобразование сдвига начального условия вдоль решения.

Есть основания полагать, что в диссертации найдены ответы на эти вопросы. Проиллюстрируем это на примере модельного обыкновенного дифференциально-разностного уравнения опережающего типа

u'(t) = au(t) + bu(t - h) + cu(t + h),t> 0, (0.0.13)

где h > 0, a, 6, с e R, а и : (—h, +oo) —R - неизвестная функция.

Следует подчеркнуть различие в постановках задачи с начальными условиями для ДРУ (0.0.13) опережающего типа, рассматриваемых в диссертации и в монографии [18] (см. также [14]).

В монографии [18] рассматривается задача определить функцию на некотором конечном промежутке (—И,Т) или бесконечной полуоси (—И, +оо), которая удовлетворяет ДРУ (0.0.13) на этом промежутке, сужение которой на промежуток (—/г,, К) совпадает с заданной на этом промежутке функцией (начальным условием):

В диссертации, следуя подходу работы [8] изучения корректной разрешимости ФДУ, ставится задача определить функцию на бесконечной полуоси (—h,+ оо), которая удовлетворяет ДРУ (0.0.13) на этом промежутке, сужение которой на промежуток (—h, 0) совпадает с заданной на этом промежутке функцией (начальным условием):

Замечание. При малом изменении коэффициентов, т.е. при рассмотрении ДРУ с малым параметром е > 0:

гг'(£) = агх(£)+6и(£-/г)+си(£+/г) + е[гг'(£+/г)+гх/(£-/г)], £ > 0, (0.0.16)

происходит изменение типа ДРУ: при 6 = 0 такое дифференциально-разностное уравнение принадлежит к опережающему типу, а при е > 0 - к нейтральному типу.

Различие в постановах задачи приводит к различию в условиях ее корректной разрешимости.

Так, для корректной разрешимости задачи (0.0.13), (0.0.14) на интервале (0,Т) с некоторым Т = 2А^/г, N € И, в классе непрерывно дифференцируемых функций требуется достаточная гладность на-

u(t) = <f>(t), t е (—h, h).

(0.0.14)

u[t) = (p(t), t e (—h, 0).

(0.0.15)

чального условия ф £ Слг+1([—И, к]) и выполнение ряда (а именно, Ы) условий согласования.

Для корректной разрешимости задачи (0.0.13), (0.0.15) на интервале (0. +оо) в пространстве Соболева с экспоненциальным весом Ж^-Д, +оо) с некоторым 7 — а при произвольном начальном условии у? € И/21((—^,0)) как достаточным, так и необходимым условием является, согласно теоремам 2.1 и 2.2, малость коэффициентов бис.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Йаакбариех Амир, 2015 год

Список литературы

[1] В. И. Богачев, О. Г. Смоляное, Действительный и йунециональ-ный анализ, М. 2009.

[2] Я. Бутко, О.Г. Смоляное, Р.Л. Шиллинг. Формул Фейнмана для феллеровских полугрупп. ДАН. 2010. Т. 434, № 1, С. 7-11.

[3] М.А. Воронцов, Ю.Д. Думаревский, Д. В. Пруидзе, В. И. Шмалъ-гаузен. Изв. АН СССР. Физика. 1988. Т. 52, № 2. С. 374-376.

[4] В. В. Власов, Дж. Ву, Г. Р. Кабирова, Корректная разрешимость и спектральные свойства абстрактных гиперболических уравнений с последействием, СМФН, 2010, том 35, 44-59.

[5] В. В. Власов, В. Ж. Сакбаев. О корректной разрешимости в шкале пространств Соболева некоторых дифференциально-разностных уравнений. Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 9. С. 1194-1202.

[6] В. В. Власов, В.Ж. Сакбаев. О корректной разрешимости векторных дифференциально-разностных уравнений в пространствах Соболева. Математические заметки. Т. 68, № 6. С. 939-942.

[7] В. В. Власов, В.Ж. Сакбаев. О разрешимости одного класса функционально-дифференциальных уравнений с опережающим аргументом в гильбертовом пространстве. Некоторые проблемы фундаметнальной и прикладной математики. М.: МФТИ. 1997. С. 72-823.

[8] В.В. Власов, Д-А. Медведев. Функционально-дифференциальные уравнения и связанные с ними вопросы спектральной теории. Современная математика. Фундаментальные направления. 2008. Т. 30, С. 3-173.

[9] В. В. Власов, К.И. Шматов. Корректная разрешимость уравнений гиперболического типа с последействием в гильбертовом пространстов.труды математического института им. В.А.Стеклова, т.243, с. 127-137.

[10] Ю.Л. Далецкий, C.B. Фомин, Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. М. Наука. 1983.

[И] Д.А. Декерт, Д. Дюр, Н. Фона, Уравнения с запаздывающим аргументом типа Уилера-Фейнмана, СМФН, 2013, том 47, 46-59.

[12] E.B. Дынкин. Марковские процессы. М: Наука. 1963.

[13] А.Д. Егоров, Е.П. Жидков, Ю.Ю. Лобанов. Введение в теорию и приложения функционального интегрирования. М.: Физматлит. 2006.

[14] А.М. Зверкин, Г.А. Каменский, С.Б. Норкин, Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. 1962. Т. 17. УМН. m 2ю С. 77-164.

[15] Йаакбариех. А. О полугруппах, порождаемых задачей Коши для гиперболических дифференциально-разностных уравнений с отклонениями пространственных переменных. // ТРУДЫ МФТИ, 2014. Т. 6, № 2, С. 38-43.

[16] Йаакбариех. А, Сакбаев В.Ж. Корректность задачи с начальными условиями для параболических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами временного аргумента. Известия вузов, 2015. № 4, С. 17-25.

[17] Йаакбариех. А, Сакбаев В.Ж. Представление формулами Фейнмана полугрупп, порожденных параболическими дифференциально-разностными операторами.ТРУДЫ МФТИ, 2012. Т. 4, № 4, С. 113-119.

[18] Г.А. Каменский, А.Л. Субачевский. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.: Изд. МАИ. 1992.

[19] Ж.Л. Лионе, Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения: Пер. с фр. М.мир, 1971.

[20] А.Б. Муравник. О задаче Коши для некоторых неоднородных дифференциально-разностных параболических уравнений. Математические заметки. Т. 74. No 4. С. 538-548.

[21] А.Д. Мышкис. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения. Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. Т. 4. С. 5-120.

[22] B.C. Рабинович. О дифференциально-разностных уравнениях в полупространстве // Дифф. ур-я. 1980. Т. 16. № И. С. 2030-2038.

[23] B.C. Рабинович. О задаче Коши для параболических дифференциально-разностных операторов с переменными коэффициентами // Дифф. ур-я. 1983. Т. 19. № 6. С. 1032-1038.

[24] В. Ж. Сакбаев, О. Г. Смоляное. Динамика квантовой частицы с разрывной зависимостью массы от положения. Доклады РАН, 2010. Т. 433, № 3. С.

[25] A.JI. Скубачевский. Эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением. Труды ММО. 1997. Т. 59. С. 240-285.

[26] А.Л. Скубачевский. О некоторых свойствах эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений. УМН. 1996. Т. 51, № 1. С. 169-170.

[27] A.JI. Скубачевский, Р.В. Шамин. Смешанная задача для параболического дифференциально-разностноо уравнения. Математические заметки. 1999. Т. 66, № 1. С. 145-153.

[28] О.Г. Смоляное, Е.Т. Шавгудидзе. Континуальные интегралы. М.: Наука, 1990.

[29] R.P. Chemoff. J. Fund. Anal. 1968. V. 2, pp. 238-242.

[30] E. Nelson. Feynman integrals and the Schrodinger equation, J. Math. Phys., 5:3, (1964), 332-343.

[31] V. Sakbaev, A. Yaakbarieh. Feynman Formulas Representation of Semigroups Generated by Parabolic Difference - Differential Equations. 2012. V.2, № 4, C. 295-301.

[32] O.G.Smolyanov, A.G.Tokarev, A.Truman. Hamiltonian Feynman path integrals via the Chernoff formula J.Math.Phys., 43:10, (2002), 5161-5171.

[33] O.G. Smolyanov, H. von Weizsäcker. Doklady Mathematics, 2009. V. 79, N 3, P. 335-338.

[34] A. Tichonoff. Theoremes d'unicité pour l'équation de la chaleur. Мат. Сборник. 1935. T. 42, № 2. С. 199-216.

[35] Wheeler J.A., Feynman R.P. Classical electrodynamics in terms of direct interparticle action// Rev. Mod. Phys. 1949. V. 21. N 3. P. 425-433.