О разрешимости функционально-дифференциальных уравнений второго порядка в гильбертовом пространстве на полуоси тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Дыдымова, Халжат Избуллаевна

• Дыдымова, Халжат Избуллаевна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дыдымова, Халжат Избуллаевна

Содержание

Введение

Основные обозначения и определения

Некоторые сведения из теории функций и функционального

анализа

Краткое содержание

ГЛАВА 1. Теоремы существования и единственности решения

на полуоси

1.1. Вспомогательные леммы

1.2. Теорема об однозначной разрешимости уравнения в общем случае

1.3. Теорема об однозначной разрешимости при условиях на резольвенту главной части оператора Ь0

ГЛАВА 2. Устойчивость и оценки характеристических

показателей решений. Оценки решений начальных задач

2.1. Однозначная разрешимость и устойчивость решений. Оценка характеристического показателя

2.2. Оценки решений начальных задач и вытекающие из них следствия об асимптотической устойчивости решений

ГЛАВА 3. Уравнения с линейным отклонением аргумента

3.1. Случай уравнения с экспоненциально убывающими коэффициентами

3.2. Теорема об однозначной разрешимости в случае уравнения с линейным отклонением аргумента

3.3. Примеры иллюстрации абстрактной теории

Литература

87

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О разрешимости функционально-дифференциальных уравнений второго порядка в гильбертовом пространстве на полуоси»

Введение

Главная задача науки - это описание и предсказание. Во многих важных случаях удобно задавать состояние системы в данный момент времени I при помощи конечно-мерного вектора х(/). Таким образом, мы придем к дифференциальному уравнению

^ = х(0) = с.

т 9

Несмотря на весьма удовлетворительное состояние теории дифференциальных уравнений, возникает необходимость в изучении более сложных уравнений. Нужно принять во внимание тот факт, что скорость изменения в физических системах зависит не только от их состояния в настоящий момент времени, но и от их предыстории. Так возникла теория дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, принадлежащих к числу сравнительно молодых и бурно развивающихся разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последействием, находят много приложений: в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, ряда экономических проблем, биофизических проблем и многих других.

Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом появились в литературе еще в XVIII в. в связи с решением задачи Эйлера о разыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. Однако еще до совсем недавнего времени не были сформулированы основные теоремы общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, в литературе не было даже четкой постановки начальной задачи. Это впервые сделано в диссертации А.Д.Мышкиса "Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом" (1949-1950).

Изучением скалярных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, кроме А.Д.Мышкиса, занимались С.Б.Норкин, Л.Э.Эльсгольц,

Р.Беллман, К.Кук, Н.В.Азбелев, А.М.Зверкин, Г.А.Каменский, В.Хан и др. Для линейных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием оказываются весьма эффективными операционные методы (преобразование Лапласа) и метод шагов. Именно эффективность применения этих методов привела к тому, что линейные уравнения с постоянными коэффициентами и постоянными запаздываниями особенно часто встречаются в прикладных работах.

Следующим этапом в развитии теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом стали исследования по операторно-дифференциальным уравнениям вида

*'(*)=4'МО» (1)

где А({) - переменный неограниченный оператор, и

т

=/('), т>1 (2)

в различных пространствах.

Изучением уравнения (1) занимались многие авторы, в числе которых мы укажем на работы [28], [31], [19]. Существенных результатов в исследовании уравнения (2) достигли Э.Хилле, Р.Филлипс, К.Иосида, Т.Като. В этом уравнении А. - неограниченные операторы в банаховом пространстве. Для

уравнений такого вида были получены теоремы существования задачи Коши (т = /).

Обобщением вышеуказанных уравнений является дифференциально-операторное уравнение с отклоняющимся аргументом с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве вида

-мо)=/(о, в< (3)

I СИ

Систематическим изучением этого уравнения занимался Р.Г.Алиев в работах [1]-[4].

Были исследованы вопросы существования, единственности решения уравнения (3), а также устойчивость и асимптотическое поведение решения при t —> go . Успешное применение к решению метода преобразования Фурье, методов функционального анализа и методов, возникших в результате исследования уравнения (3), позволило углубиться в изучение перечисленных вопросов.

Условия непрерывной обратимости оператора Lp0, которым порождается уравнение

п—1 т р ,

+AAtphkj+hkj{t]Diu{t) = f{t), (4)

к-0]=0

когда Ащ (t) и hkj (t) "малые" в некотором смысле, рассмотрены в [5]-[8] при

п = 2 и в [24]-[26] в случае произвольного п. Здесь существенно была использована теорема из функционального анализа об обратимости оператора, "мало" отличающегося от обратимого.

Оставался открытым вопрос о снятии условия "малости" на переменные составляющие операторных коэффициентов Akj(t) и отклонений аргумента

hkj (?). Другими словами оставался открытым вопрос о разрешимости уравнения

п-1 т.

АЧЫ £ Akj it)Shkj{t)D^u(t) = fit), (5)

к=0j=0

в случае произвольно отличающихся от постоянных Akj и hkj операторных

коэффициентов Akj(t) и отклонений аргумента hkj(t).

В настоящей работе исследуется уравнение (5) при п = 2, а также уравнение с линейным отклонением вида

Im , V

Lu{t) = D?u(t)-XI A, (OAMv) = / W •

к=0j=0

Основные обозначения и определения

X, Y - гильбертовы пространства, X с Y, ||| >

X2r"- пополнение множества функций u(t), vit) = 0, t < t0, с компактными

носителями и со значениями в X, имеющих почти всюду сильно непрерывные производные и" (О в Y по норме

+00

, ,п , м2

+

- ' II 1 ' ПА

h

а = const е R.

+00 J.

\u(tj\ = ( \exp(2at)(\u(t)fx +\\u'(t)\\2x +\и"(t)fY)dt,

- пополнение множества сильно непрерывных функций и(г), = О, t <t0, с компактными носителями и со значениями в 7 по норме

+00 у

\и(1)\ = ( \ехр(2ш)\и^)\2у^У2 .

к

4(Х,У)~ множество линейных замкнутых операторов \i3XBY. ЬЮ(Х,У) - множество линейных вполне непрерывных операторов из Хв Y. Ь2 (, X) - пополнение множества сильно непрерывных функций с компактными носителями и со значениями в X по норме

+00 у

\и(1)\ = ( ЩиГ^а/2.

Iо

Носителем определенной и непрерывной на открытом множестве (7 с Я функции и(¿) называется множество : и{$) Ф 0)П С •

Со ((?) - множество бесконечно дифференцируемых на открытом множестве

<7 функций с компактными в О носителями. Ь2 (/) - пространство суммируемых с квадратом на множестве I а Я скалярных функций.

Говорят, что / на Е имеет порядок ф или / есть О большое от ф на Е и пишут при этом /(/)= 0(ф(/)) на Е, если < Cfl<p(/| , где С - кон-

станта не зависящая от t, причем положительная.

В частности, /(/)= 0(l) на Е означает ограниченность / на Е.

и(к) = (и it)) - преобразование Фурье функции u(t). Са - постоянная, зависящая от а . С - плоскость комплексного переменного.

Под решением уравнения L0u(t) = fit) понимается функция u(t), имеющая сильно абсолютно непрерывную первую производную в Г и удовлетворяющая уравнению.

HI - множество абсолютно непрерывных в /ci? скалярных функций h(t), у которых в точках существования производной h'(t)< г < 1, tel. %A(s) - характеристическая функция оператора А. Она вводится для А е L0iY,Y)C\L^(X,Y) и определяется из неравенства \\Аи\\у < г\и\х + %А (в|м|у, Ve >0, иеХ с: Y.

Sh^(t)u{t)=u{t - hkj(t)), Pakju(t)=u(akjt), 0<akj <1. 1 m 1 Ик

h - Dt -1 SXVD-' D' h«> = hi° =0>

k=0j=0 1 at

1 m r

LP0 = A2 - Z Z К + Ahf , h00(t) = hl0 (t) = h00 = hJ0 - 0,

k-0j=0

1 jn

Lo * A'-ZZM^Ka^' h00it)^h10{t) = 0.

k=0j=0

1 m

L^Dt ~YLAkjit)Pa^ , a00=a10=l, 0<akj<l, к - 0,1,

k=0j=0

j -1,2,...,m. Оператор

1 т к=0у=0

будем называть основным оператором. Для любых фиксированных значений I е Я, X е С определим оператор

( I т Л''

V к=0М )

называемый резольвентой основного оператора А0 (?).

1т 1 т ■-

Для операторов Ар = ЕХЛЧА" и ЕЕК+

резольвентами будут

к] 1 ~~ ~ро\'/ и -к; ■ /су V /г- Ъщ+кф)

к=0 у'=0 ¿=0 у=0

/ т

V'

/ \

я, (х) = л/ )

I к=()Н)

1 т

Операторы Ьр, и Ьа можно записать выделяя члены, не содержащие отклонений аргумента. Например, Ь0 = Ь1 - Ь2, где

/и от

Оператор будем называть главной частью оператора Ь0.

Некоторые сведения из теории функций и функционального анализа

П.0.0.1.

В этом пункте дается краткое изложение некоторых понятий и утверждений, которые будут использованы в дальнейшем.

Преобразование Фурье [18] функции f(t)e L2(R,H), где Н - гильбертово пространство, определяется как

1 N

/(А,) = l.i.m .— Гехр{- ikt)f (t)dt .

N-*>О у12% Jn

Под l.i.m. понимается предел по норме пространства Ь2[Я,Н). Преобразование Фурье для всякой функции f(t) е L2(R,H) определяется формулой

/ 00

f(X) = -== \ехр{- ikt)f(t)dt.

v 2%

Теорема Планшереля [18]. Преобразование Фурье переводит функции из Ь2{Я,Н) в Ь2(Я,Н), а именно: если Ь2(Я,Н), то функция

/(А,) = l.i.m.—¡= \ехр{- i\t)f(t)dt

N

N-»оО

^2% _N

существует и /(А,) е L2 (Я,Н). При этом

_t-rr\ ^ -i~т

N

\\f{tfHdt, f{t) = li.m.1T \exp{ikt)f(\)dX

-00 -00 "\l ¿71 _дг

Из этой теоремы следует, что если Im X = а Ф 0, то

2

1тХ=а

Непрерывность, дифферен цируемость, регулярность. Функция и(г)еЯ называется непрерывной в точке если ||г/(/)-м(/0|я 0 при

£ -»¿0, и непрерывной на \а,Ь\, если она непрерывна в каждой точке отрезка [а,Ь\. Норма непрерывной на [а,Ь] функции есть скалярная непрерывная функция.

Функция и(/) называется дифференцируемой в точке 10, если существует такой элемент иеЯ, что &

Функция дифференцируема на отрезке (интервале, полуинтервале), если она дифференцируема в каждой точке отрезка (интервала, полуинтервала).

Функция и{{) называется регулярной в области (7 с С, если она имеет в каждой точке этой области производную. Аналитическая функция в окрестности каждой точки t0 е С разлагается в ряд

00 у

и(0:= Ъап('-ЧУ , где

п=о п!

Ограниченный линейный оператор Я(Х) называется регулярной функцией X в некоторой области £>, если в каждой точке этой области отношение Я(Х + 1г)-11(Х)

—1---— сходится по норме пространства Н к некоторому пределу

А

Я'(Х). В окрестности изолированной особой точки имеет место разложение

00

Я{Х) = ^Вп(Х-Х0)п , сходящееся по норме локально равномерно относи-

П=- 00

тельно X. Особая точка Х0 есть полюс, если последнее разложение содержит лишь конечное число членов с отрицательными степенями Х-Х0. Если в области I) Я(Х) имеет в качестве особых точек лишь полюса, то Я(Х) называется мероморфной функцией.

Линейные операторы. Замкнутость. Ограниченность.

Оператор A:X->Y называется замкнутым, если из хп —> х, хп el, Ахп -> у следует, что х е X, Ах = у.

С оператором А замкнут или не замкнут и оператор ХЕ- А (с областью определения D(a)). Поэтому, если существует ограниченный оператор

(ХЕ - А)"' , то оператор А замкнут.

Если е Hj выполнено неравенство < С||м(?|я , то опера-

тор называется ограниченным, а наименьшее значение константы С - нормой 1И1я/Ч>#2 оператора А. Ограниченный оператор непрерывен. Обратно, определенный на всем пространстве Н1 непрерывный линейный оператор ограничен.

Ограниченный линейный оператор A(t) называется сильно непрерывным, если IA(t + h)~ -» 0 при h-^-0.

Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он определен на всем пространстве Н1 и отображает каждое ограниченное в И1 множество в компактное множество в Н2.

П.0.0.2.

В этом пункте мы приводим известные результаты, относящиеся к исследуемому нами уравнению (5) при п = 2.

Теорема 1.2.1. [8]. Условия: резольвента Rp{X) регулярна,

К ML=IK^L=\x2rpHy=N 00 > ImX=а

(ImX < а) необходимы и достаточны для непрерывной обратимости операто-pa Lp : Х^ -> , t0=- со, {t0>- со).

Теорема 1.3.1. [8]. Пусть выполнены условия: a) Akj eL0(Y,Y)f]LjX,Y), k = 0,l, j>J;

б) для резольвенты Яр (X) выполнены условия:

¡Х2Яр(х}\у=0(1), 1тХ = а, (1тХ< а) и М регулярна, кк] + кк] (/) > 0, у > 1, к = 0,1; Тогда существует е>0 такое, что если Аш(п| <8, \кш(/1 < е, I

К (0 е Ш, то оператор 1рои(<) ■ X2* 10 = -со > -оо)

Теорема 1.3.2. [8]. Пусть выполнены условия:

а) к = 0,1, ]>1;

б) для резольвенты выполнены условия: 1^(^=0(4 1^(^=0(7), N->00, 1тХ< а и Яр(Х) регулярна;

в) АаЯ'°, кц (/) е НЯ^, к = 0,1, ]>0.

Тогда существует г>0 такое, что если < е, / еЯ,

к = 0,1, то уравнение Ьрои^)= /(/) имеет единственное решение и(/),

обладающее свойством: и{{) = 0, / < .

Лемма 2.1. [4]. Если ,4 е ¿ДУ^ПАо^,^), то V8 > 03хА(е), что имеет место неравенство

\\Au\l < в\\и\\х + г А (Ф11г

Краткое содержание

Первая глава диссертации содержит три параграфа и посвящена вопросам разрешимости уравнения L0u{t) = fit).

В первом параграфе доказываются вспомогательные леммы. В § 1.2. доказана теорема об однозначной разрешимости уравнения L0u(t) = fit) при

I т

условиях на резольвенту основного оператора А0 (/) = Ц Akj (t)Shk.^D^.

к=0 j=0 kJ

Теорема 1.2.1. Пусть выполнены условия:

а) Akj(t)<E L0{Y ,Y)f\ЬЖ(Х ,Y), j>l, к = 0,1; Akj (t) сильно равномерно непрерывны no t eR*°, j>0, к = 0,1;

б) резольвенты R0(X,t) регулярны, ЦдДА,,*)^ = ||Ai?o0u)||x = |а,2Л0(М)|| = 0(l), ImX < a, t > t0, |A,| -> oo;

в) fit)€ 7д'а, A a R(+°, hkj(/)e HRl°, hkj(t)>0, hkj(t) равномерно непрерывно

зависят от t е Rl°, j >1, к = 0,1.

Тогда уравнение L0u{t) = fit) имеет единственное решение u{t) такое,

что u^k\t)- 0 при t<t0, к = 0,1.

В §1.3. доказана теорема об однозначной разрешимости уравнения L0u(t) = fit) при условиях на резольвенту главной части оператора L0.

Теорема 1.3.1. Пусть выполнены условия: a) VteR Akj{t)eL0(Y,Y)riL„(X,Y), j>l, к = 0,1;

4ю(0> сильно рав-

номерно непрерывны на Rl°;

б) Vi > t0 резольвенты R} (t) = {x2E - A00 (t) - XA10 (/)) 1 регулярны, l^L = \\ЫМх = °V)> = 0{1), ImX < a, Щ oo;

в) f{t)eV£\Ac:Ri,hkJ(t)eHRl\0<hkJ{t)<M,t>t0, j>l,k = 0,l.

Тогда уравнение L0u(t)= f(t) имеет единственное решение u{t) такое, что u(-k\t) = 0, t<t0, к = 0,1.

Вторая глава посвящена вопросам существования, единственности и асимптотической устойчивости решения уравнения L0u(t) = f(t).

В §2.1. доказаны теорема об однозначной разрешимости уравнения L0u(t) = f{t) с получением интегральной оценки для решения и его производной и два следствия об устойчивости и оценке характеристического показателя.

Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия: a) \ft>t0 Akj(it)eL0(Y,Г)f|Lm(X,Y), j>l,k = 0,1; Akj(t) сильно равномерно

непрерывны, существуют сильные производные

dAkJ{t)

dAkjit)

—-—, t>t0 sup

di t>tn

dt

<5, 5>0, j>0, к = 0,1 \

б) резольвенты Я0{Хл) регулярны для 1тХ<а<со, /существуют постоянные с0, С0 и целое положительное число р, что V* > 10 и 1тХ = а < а выполняется неравенство

в) , 0<Ьк^)<Ь°, кк] (?) равномерно непрерывны в

R[0,j>l, к = 0,1.

Тогда для Ve>0 3C5(s) и единственное решение u(t) уравнения Lou{t) = /(0 такое, что u^k\t) =gk{t), k = 0,l,t<t0 и имеет место оценка

Г 1 ^ --б

ехр- а-С8{г)б1+р >[u(t) + u'(t)]

где постоянные С, С8(е) не зависят от решения причем С8(в) ограничена константой С(е) на каждом конечном отрезке изменения 8.

Следствие 2.1.1. В условиях теоремы 2.1.1 для характеристического показателя x(MW) решения u(t) уравнения L0u{t) = fit) справедливо неравенст-

во

Xiuit))=lm-tln\u{t\ +И01 J< -a + C,{z)b1+p~\ t >0.

Следствие 2.1.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1.1, а>0 и = 0, у > 1, к = 0,1. Тогда тривиальное решение уравнения

Ь0и^) = 0 асимптотически устойчиво.

В §2.2. доказаны теоремы о непрерывной обратимости оператора Ь0 и следствия об асимптотической устойчивости решений.

lim\\Akj (t

г-W J

Теорема 2.2.1. Пусть выполнены условия: а) V/ > ¡0 Ак] (?) е 10 (У, У) П (X, У), у > 7, к = 0,1, Ак] (/) сильно равномерно

непрерывны в , ] > 0, к = 0,1;

б) \/t>t0 резольвенты R0(X,t) регулярны и , X2R0(X,t) y равномерно ограничены в полуплоскости ImX<a = const;

в) /(/) е ; hkj (t) е HR'+°, 0 < hkj (t)<h°, t>t0, hkj (t) равномерно непрерывны в R'+°, j>l, к = 0,1.

Тогда существует число ц и единственное решение u(t) уравнения L0u{t)= f{t), что имеет место: u{k\t) = gk{t), t<t0,k = 0,l,Vgk{t)t X(t"hoJgy

Г, , 2 \

где постоянная С не зависит от решения u(t) и его производной u'(t).

Теорема 2.2.2. Пусть выполнены условия:

а) Vf > t0 Akj(t)e L0(Y,Y)f|Lm(X,Y), j>l, к = 0,1, Akj(?) сильно равномерно

непрерывны в \t0, Т\, j >0, к = 0,1, для некоторого T>t0 3limAkj{t)=Akj,

t-> 00

limhkj(t) = hkj, j>0, к = 0,1;

/->00 J J

б) \/t g [t0,T] резольвенты R0(X,t) регулярны и v > jjX2R0 (A,,?!^ равномерно ограничены в полуплоскости ImX< а = const;

в) f(t) е , hkj (?) e HRi, 0 < hkj {t) < h°, t > t0, j > 1, к = 0,1.

Тогда существует единственное решение u(t) уравнения L0u(t) = fit), обладающее свойством: и

= Sk (О ПРИ t£t0i к = 0,1, Vgk (jt) е X^_ho toy

М*Ы<)|\ 1, (6)

1 к=0 L%-h°,t0\x) J

где постоянная С не зависит от решения u(t) и его производной u'{t).

Следствие 2.2.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.2.2 и а > 0. Тогда нулевое решение уравнения L0u(t) = 0 асимптотически устойчиво.

Следствие 2.2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.2.2 и резольвента Rp (А,) равномерно ограничена по А, в полуплоскости 1тХ< а. Тогда любое

решение u(t) уравнения L0u(t) = /(/) обладает свойством (6).

Третья глава посвящена вопросам однозначной разрешимости уравнения с линейным отклонением аргумента вида

( I т Л

Lu{t) = D] -YY,AkM)PakjDt "M =/('),

V k=0j=0 )

где Ako(t) = Ako = const, ako = 1, 0 <akj < 1, j = l,m, к = 0,1, Akj(t):X^Y-

Д / s

линейные операторы, Pa^u(t)=u[akjt).

В §3.1, используя условия на операторные коэффициенты Akj (/) <8 ехр[- a (/ -akj)t\, j = 1,т, к = 0,1, е> 0, доказывается теорема о

непрерывной обратимости оператора L : X2R% -> YRtf , а именно:

Теорема 3.1.1. Пусть R} (Ако ) = {к2Е- А00 - XAW ) ' регулярна, №х{Ао}\х=0(1), 1тХ<а. Тогда

существует 8 > 0 такое, что если Akj(¿j < 8ехр[-а(/-akj)/], j = 1,т,

к = 0,1, то оператор L : XR% -» непрерывно обратим.

В §3.2. доказан аналог теоремы 1.3.1. для случая уравнения с линейным отклонением аргумента.

Теорема 3.2.1. Пусть выполнены условия:

Л00(?), А10{{) сильно

равномерно непрерывны на ;

б) \ftyto резольвенты Я} (г) = {к2Е- А00(г)-ХА10))-/ регулярны,

Их(01* =0(7), КЯх =0(11 1мХ<а,\Х\^*>;

в) /(()еГ£'а,АеЯ1\ 0<ак] <7, ако = 1, ] = Т^п, к = 0,1.

Тогда уравнение Ьи{{) = /(/) имеет единственное решение м(г) такое, что

и{к)^) = 0, ¿<¿0, к = 0,1.

Результаты данной работы доложены на третьей республиканской конференции «Наука и социальный прогресс», посвященной памяти Х.М.Фаталиева (Махачкала, 23-24 января 1995 г.), на математических чтениях, посвященных Х.Ш.Мухтарову «Функционально-дифференциально-интегральные уравнения и их приложения» (Махачкала, 12-13 февраля 1996 г.), на Четвертой Северо-Кавказской региональной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» (Махачкала, 23-25 сентября 1997 г.), на семинарах кафедры математического анализа ДГУ (1994-1997гг.), на годичных научных сессиях профессорско-преподавательского состава ДГУ (1996-1997 гг.), на семинаре по дифференциальным уравнениям кафедры дифференциальных уравнений Кубанского госуниверситета (рук. профессор Цалюк З.Б., апрель 1998 г.), на семинаре по дифференциальным уравнениям Азербайджанского инженерно-технического

университета (рук. профессор Новрузов A.A., сентябрь 1998 г.). Основные результаты опубликованы в работах [12]-[17]. Диссертация изложена на 90 страницах машинописи и состоит из введения, 3 глав, 8 параграфов и списка литературы, включающего 31 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дыдымова, Халжат Избуллаевна, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Алиев Р.Г. О разрешимости уравнения с отклоняющимся аргументом в гильбертовом пространстве, ДАН СССР, Т.274, №6, 1979, 12891291.

2. Алиев Р.Г. Существование, единственность и асимптотическое поведение решений уравнения с линейным отклонением аргумента в гильбертовом пространстве, Изв. вузов, Математика, №12(235), 1981, 4-7.

3. Алиев Р.Г. К вопросу о необходимости и достаточности условий однозначной разрешимости уравнений с отклоняющимся аргументом и неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве, ДАН СССР, Т.267, №1, 1982, 11-14.

4. Алиев Р.Г. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом с операторными коэффициентами, Махачкала Издат. Даггосуниверситета, 1990, 80.

5. Асила М. К вопросу о разрешимости функционально-дифференциальных уравнений второго порядка. Материалы XII республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Дагестана. Махачкала, 1988, с.290.

6. Асила М. О нормальной разрешимости функционально-дифференциальных уравнений второго порядка. Материалы Второй Северо-Кавказской региональной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям. Махачкала, 1989, с. 19-20.

7. Асила М. К вопросу о разрешимости функционально-дифференциальных уравнений второго порядка в полупространстве. Сб. Интегральные и дифференциальные уравнения. Краснодар, 1990.

8. Асила Мустафа. О разрешимости функционально-дифференциальных уравнений второго порядка с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. - Ростов-на-Дону, 1991.

9. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. - М.: Мир, 1967.

Ю.Бесов О.В, Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения, М., Наука, 1975.

п.Валеев К.Г. Линейные дифференциальные уравнения с запаздыванием, линейно зависящим от аргумента. Сиб. мат. журнал. Т.5, 1964.

12.Дыдымова Х.И. О разрешимости уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве. Сб. Наука и социальный прогресс, посвященный памяти Х.М.Фаталиева. Махачкала, 1997. - С.66-70.

13.Дыдымова Х.И. О разрешимости функционально-дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве. Материалы Четвертой Северо-Кавказской региональной конференции. Махачкала, 1997, с.36-37.

14.Дыдымова Х.И. Оценка характеристического показателя решения дифференциального уравнения с операторными коэффициентами. Вестник ДГУ, вып. I. Естественные науки. Махачкала, 1997, с.108-112.

15.Дыдымова Х.И. О разрешимости функционально-дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве. Сб. Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Махачкала, 1997, с. 93-108.

16.Дыдымова Х.И. О некоторых оценках решений начальной задачи для функционально-дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве. Сб. Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Махачкала, 1997, с. 108-113.

17.Дыдымова Х.И. О разрешимости уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве. Функционально-дифференциально-интегральные уравнения и их приложения (математические чтения, посвященные Мухтарову Х.Ш.), Махачкала, 1997, с.28.

18.Иосида К. Функциональный анализ, М., "Мир", 1967.

19.Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1967.

20.Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, М.-Л., 1971.

21.Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1969. - С.480.

22.Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. - М.: Наука, 1965.

23.Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полна Г. Неравенства. - М.: Государственное издательство иностранной литературы, 1948.

24.Чан Р. О разрешимости уравнения с постоянными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента в гильбертовом пространстве. Сб. статей студентов, аспирантов и преподавателей университета. Махачкала, 1993, с. 184-187.

25.Чан Р. Уравнения с маловозмущенными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента в гильбертовом пространстве. Сб. статей студентов, аспирантов и преподавателей университета. Махачкала, 1993, с. 188-192.

26.Чан Р. О существовании решений одного уравнения в гильбертовом пространстве. Сб. Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Махачкала, 1993.

27.Эльгольц Л.Э., Норкон С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументом. - М.: 1971.

28.Agmon S., Nirenberg L. Properties of solutions of Ordinary Differebtial Equation in Banach Space, Comm. on pure and appl. Math. 1963, 121239.

29.Feldstein A., Carolun K.G., Experimental mathematics an application to retarded ordinary differential equations with infinit lag, Proc. ACM National Conf. (1968), 67-71.

30.1rainger R., Morris, Feldstein A., Ernie W. Bowen, The Phragmen -Lindelof and a class of functional differential equations, Academic Press., Inc. New-York and London, 1972.

31. Kato T. On linear differential equations in Banach Spaces. Comm. on Pure and Appl. Math. 1956, V.9,P.479-486.