О существовании периодических и почти периодических решений функционально-дифференциальных уравнений n-го порядка в гильбертовом пространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Шахпазова, Ирина Фридуновна

• Шахпазова, Ирина Фридуновна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шахпазова, Ирина Фридуновна

Введение

Обозначения и определения.

Краткое содержание диссертации.

ГЛАВА I Однозначная разрешимость уравнения с постоянными, а также с маловозмущенными периодическими коэффициентами и отклонениями аргумента

§1.1 Существование единственного решения уравнения с помощью функции Грина.

§ 1.2 Существование и единственность решения в терминах резольвентного оператора.

§1.3 Случай маловозмущенного уравнения.

§ 1.4 Случай уравнения с сосредоточенными и распределенными запаздываниями.

ГЛАВА II Нормальная разрешимость уравнения с произвольными периодическими коэффициентами и отклонениями аргумента

§2.0 Вводные замечания.

§2.1 Фредгольмовость оператора 1?ро

§2.2 Фредгольмовость оператора Ьпро-1у

ГЛАВА III Случай уравнения с почти периодическими коэффициентами и отклонениями аргумента

§3.1 Вспомогательная лемма.

§3.2 Существование и единственность решения.

§3.3 Случай маловозмущенного уравнения.

Примеры

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О существовании периодических и почти периодических решений функционально-дифференциальных уравнений n-го порядка в гильбертовом пространстве»

Данная диссертационная работа посвящена вопросам однозначной и нормальной разрешимости функционально-дифференциальных уравнений п-го порядка с операторными неограниченными коэффициентами и отклонениями аргумента в абстрактном гильбертовом пространстве. Целью работы является:

1. Выяснение условий существования периодического решения ФДУ и-го порядка с помощью функции Грина.

2. Получение условий существования и единственности периодического решения ФДУ п-то порядка с маловозмущенными периодическими операторными коэффициентами и отклонениями аргумента.

3. Получение условий однозначной разрешимости уравнений с операторными почти периодическими коэффициентами в некоторых пространствах почти периодических функций.

4. Выяснение условий нормальной разрешимости уравнения с произвольными периодическими операторными коэффициентами и отклонениями аргумента.

Диссертация представляет собой законченное исследование в том смысле, что в ней дан более полный ответ на вопрос о существовании периодических и почти периодических решений исследуемого уравнения п-го порядка, а также его нормальной разрешимости. Полученные результаты являются новыми и могут найти применение при исследовании задач, связанных с процессами в системах с последействием и в системах с запаздывающими связями.

Главная задача науки - это описание и предсказание. Состояние системы удобно задавать в настоящий момент времени £ используя конечномерный вектор x(t). Следовательно, мы придем к обыкновенному дифференциальному уравнению dx = g(xj\ х(0) = С. at

Вопреки удовлетворительному состоянию теории дифференциальных уравнений, появляется потребность в изучении более сложных уравнений. Необходимо учитывать, что скорость изменения в физических системах подчинена не только их состоянию в данный момент времени, она также зависит от их предыстории. Таким образом, зародилась теория дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, которая принадлежит к числу сравнительно молодых разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Неограниченно расширяющийся круг приложений теории функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) к самым разнообразным разделам техники и науки активировал бурное развитие теории. Большое количество исследователей заинтересовала рассматриваемая теория. Их интересовала как сама теория, так и её приложения.

Как известно, дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом возникли в литературе в XVIII в. вследствие решения задачи Эйлера о разыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. Впрочем, еще до 50-х годов прошлого века не были сформулированы основные теоремы рассматриваемой теории. Литература не располагала вразумительной постановкой начальной задачи. Впервые это было отмечено в диссертационной работе Мышкиса А.Д. «Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом» (1949-1950).

Исследованием скалярных ФДУ, кроме А.Д. Мышкиса [21], занимались С.Б. Норкин [23], Л.Э.Эльсгольц [45], Р.Беллман, Н.В. Азбелев [4] , В. Хан [32], A.M. Зверкин, К.Кук [6], Г.А. Каменский [11] и др.

В начале 40-х годов прошлого столетия Мтогэку N. при изучении вопроса стабилизации курса корабля и автоматического управления его движением в своей работе [58] отметил необходимость рассмотрения запаздывания в механизме обратной связи. Как некоторую грубую модель для качания корабля было получено уравнение где Z(/) - угол отклонения от вертикальной позиции, Ь,к - положительные постоянные. Но экспериментальным путем установили, что противодействующая сила должна действовать с запаздыванием. Поэтому уравнение приняло вид г"^)+ьг'(о+-т)+що = о, т > о.

Приступив к рассмотрению вопроса о периодических решениях ФДУ, необходимо отметить работу Дж. Хейля [33], где исследуемая теория ФДУ представлена на современном уровне и разносторонне.

Под периодическим решением обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) или системы таковых понимается решение, которое периодически зависит от независимого переменного V. х^ + Т) = х(/), / е Я, Т Ф 0. В этом случае различные Т называются периодами рассматриваемого решения, к тому же они должны быть кратными минимальному периоду Т0 > 0. Периодические решения рассматривают обычно для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых правые части либо зависят от £ периодически х = /(/ + Г,х) = /(/,х), х е и , либо не зависят от £ (автономные системы) х = /(х), х е и а Я". В первом случае период Т0 периодического решения обычно совпадает с периодом Тх правой части или является целочисленным кратным Т{.

Весьма краткие первоначальные сведения о периодических и почти х периодических решениях уравнения ^ = Ах + /(/), - оо < ^ < оо, с постоянным и ограниченным оператором А, периодической и соответственно почти периодической, непрерывной функций f(x) встречаются в работе IO.JI. Далецкого и М.Г. Крейна [7], причем с применением функции Грина. Заметим, что множество всех значений почти периодической функции компактно, а значит, и ограничено sup ||/(0|| < Также заметим, что эти

-СО<Г<=0 функции должны быть непрерывными.

Выяснение существования и нахождения периодических решений, а также исследование их свойств представляет не только математический интерес, поскольку их периодические режимы при математическом описании реальных физических систем, как правило, соответствуют периодическим решениям (см., например, [65,66]).

Задача нахождения периодических решений является нелегкой задачей, поскольку нет общих методов, позволяющих установить существование периодических решений у конкретной системы. В связи с этим в различных случаях применяются разнообразные предположения и методы. Большинство из них принадлежат к теории возмущений.

Немаловажную роль играют дифференциальные уравнения высших порядков или все равно, что системы уравнений первого порядка. Следует заметить, что в случае ФДУ /7-го порядка начальную задачу всегда можем приводить к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка. К системам дифференциальных линейных уравнений с периодическими коэффициентами сводят большинство задач техники и физики. Отметим также, что после работ Пуанкаре и Ляпунова в практических методах изучения устойчивости периодических движений, описывающихся дифференциальными нелинейными уравнениями, центр тяжести перенесен на системы дифференциальных линейных уравнений с периодическими коэффициентами.

Благодаря трудам многочисленных математиков за последнее время в теории дифференциальных линейных уравнений с периодическими коэффициентами достигнут прогресс. Были разработаны также практические методы расчета, которые позволяют инженеру зачастую легко получить приемлемые решения многих задач, ранее отпугивающие своей громоздкостью. В этих методах с увеличением порядка системы вычислительные трудности слабо возрастают, а это обстоятельство позволяет особенно выгодно их применять в задачах с большим числом степеней свободы.

Выше изложенные, а таюке многие другие результаты сформулированы в монографии В. М Старжинского и В.А. Якубовича [47]. Хорошо известны результаты устойчивости решений, существование или отсутствие периодических решений для уравнения Хилла W"{z) + p(z)W(z) = 0 с периодической функцией p(z).

Здесь все величины могут быть комплексными. Дж. Хилл [51], изучая

00 движение луны, получил уравнение W"(z) + (Q0 + Q2r cos 2rz)W(z) = 0 c r=1

00 действительными числами Qq,Q2,Qa,., кроме того, ряд сходится [51]. г=1

Бесконечное множество периодических решений может иметь рассматриваемая система. Например, уравнение Вандерполя с вынуждением x(t) + к(х2 (7) - l)x(0 + x(t) = kb sm t, исследованное Littlewood J.E. [56]. Он показал, что это уравнение при соответствующем выборе параметров Ь,к имеет бесконечно много периодических решений. Для уравнения т+f(x(t))x(t)+g{x(t))=о, представляющего собой обобщение уравнения Вандерполя, О. Смит и Н. Левинсон [55] доказали существование единственного цикла.

Вопросы существования Г-периодических решений для дифференциального уравнения х" + + g(x) = ДО = fit + Т) исследуются в работах [50,52,54].

Предполагается, что g:R-^Я непрерывна, /: Я —» Я - непрерывная и Т-периодическая, сеЯ,Т> 0. В данных работах доказано, что если существует число г > 0, удовлетворяющее условию 1 g{x)-T~x |/(/)Л х>0 (<0), |х|>г,с*0, о то существует хотя бы одно Г-периодическое решение рассматриваемого уравнения. ск

Для системы — = (где Х(х— и-мерный вектор - столбец, непрерывный при I е Я, хе И, И- некоторая область в Я" и ¿у-периодичен по ^, в работе [57] найдены необходимые и достаточные условия существования ¿у-периодического решения.

В [63] получены условия существования периодического решения уравнения Льенара х + /(х)х + g(x) = 0, перекрывающие частично результатыкритерии Самсона и Левинсона-Смита. При этом требовалось выполнение неравенства /(х)>0 при достаточно больших |х|. Для этого же уравнения в работе [64] найдены условия существования периодического решения, но без предположения о том, что при достаточно больших \х\ /(х) положительна.

Однако в работе [9] на функцию накладываются более жесткие условия: быть нечетной и НтигГ ^(х) > 0. Получены также условия, которые гарантируют для уравнения Льенара существование периодического решения, кроме того, не предполагая, что /(х) положительна при достаточно больших |х|, и условие нечетности функции £(х). В работе [5] предполагается один из методов решения вопроса о существовании у уравнения Льенара нескольких периодических решений, который основан на теореме Пуанкаре - Бендиксона [22].

Для дифференциального уравнения п-го порядка в работе [14] получены общие коэффициентные условия существования и единственности ¿у-периодического решения. В рассматриваемом уравнении тхт - матрицы А}{Г), ] = 1,2,., п, непрерывны и периодичны с периодом со > 0, вектор-функция 1^,ух,у2,.,уп) определена и непрерывна по совокупности переменных ¡,ух, У г •>-••> Уп £ К-* Кт * Кт х , сопериодична по / и удовлетворяет относительно У\>Уг->-~>У„ условию Липшица с постоянными соответственно Ц,Ь2,.,Ьп, причем /(7,0,0,.,0)#0. к

Как известно [8], для того чтобы система — = А(1)х + /(0 с вектор функцией и ¿у-периодической матрицей имела ¿у-периодическое решение, необходимо и достаточно выполнение условия ортогональности О где у/^)^ = \,2,.,к) линейно независимые о

С1Х со -периодические решения системы = этом 0)~ сЬс периодические решения системы — = А(?)х + образуют кпериодическое семейство.

В работе [27], изучая вопрос о числе ¿у-периодических решений в уравнении х - /(/,х), где функция ¿у-периодична по / и непрерывна по совокупности аргументов, В.А. Плисс исследовал случай, при котором /(?,х), либо представим в виде ряда по степеням д: с периодическими по / коэффициентами, либо является полиномом конечной степени с периодическими коэффициентами. Помимо этого, в рассматриваемой работе показано, что уравнение х = х" +Рп1^)х"~1 +. + Р0(/), где функции Р^) непрерывны и ¿у-периодичны, /=0,1,2,.,и-1, может иметь не более п со -периодичных решений, при условии, что п принимает значения 1,2 или 3.

Продолжая исследования этого вопроса методом, продолженным в работе [27], в статьях [15,16] В.М.Лебедева получила ряд интересных результатов. Она доказала существование такого набора коэффициентов Pj (О U ~ 0,1,2,3) для любого натурального числа к, что рассматриваемое уравнение будет иметь ровно к периодических решений.

В работе [29] Ф.Трикоми исследует уравнение х = f{t,x) общего вида и показывает, что уравнение х — f(t,x) не может иметь более одного со-периодического решения, если f(t,x) имеет знакоопределенную и непрерывную по совокупности аргументов производную fx(t,x). Развивая далее идею о связи знакоопределенности производной функции fit, х) по х £-го порядка и максимального числа ¿у-периодических решений соответствующего уравнения вида х = f(t, х), Г.М. Левин в своей работе [17] показал, что рассматриваемое уравнение не может иметь более двух или трех ¿у-периодических решений соответственно, если f"(t,x) или f"'(t,x) знакоопределенные.

Число периодических решений дифференциального полиномиального уравнения с периодическими коэффициентами вида х = х" + апхх"~х +. + а0 (t), a j (t + T) = (/) исследовано в работе [26].

Для уравнения х = x2"+1 + a(t)x2 + b(t) доказано существование не более трех периодических решений, а также построен новый класс уравнений с и шестью периодическими решениями.

Достаточно эффективное условие для единственной разрешимости периодической краевой задачи u"'(t) = ¿//(мС,))(0+?(0> 0 < t < о), о

И«(0) = wwO) 01 = 0,1,2), где ¿у>0, L-.C([0,6)])-±L([0,<D]),(i = 0,l,2), для линейных ограниченных операторов и <7<еД[0,<у]) получено в [59]. В частности исследована на однозначную разрешимость краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения о=£ (ф0) (0+^(0, о < / < ¿у, у-=0 с периодическими краевыми условиями и(,)(0) = и(,)Н (1 = 0,1,2), где (0,^(0бД[0,©]), (1 = 0,1,2).

В работе [10] изучаются условия существования и единственности ¿у-периодических обобщенных решений квазилинейного телеграфного уравнения вида д2и д2и г, ч

---тг + си - ти,х,и), д? дх1 7 удовлетворяющих дополнительным граничным условиям и(*,0) = и(*,/) = 0.

При дополнительном предположении об ¿у -периодичности нелинейности /(¡,х,и) по переменной Р. + = эта задача эквивалентна нахождению её решений, которые удовлетворяют условиям и(0,х) = и(со,х), м,(0,х) = и1(й),х). Модель Хищник-жертва

К=(£2-и2А\)М2, рассмотрена в работе [66], гд&е^х), е2(х), и^), - неотрицательные, неравные тождественно нулю ¿у-периодические функции, " численности жертв и хищников соответственно в момент времени и Доказано, что система Хищник-жертва имеет ¿у-периодические положительные решения (Ых (/), , а также найдены оценки этого решения. Для системы х,(0 = хХ0Р,(*>х1 (0,-, х„ (0,х1 (7 - т(0Х-, х„ (7- т(0)),1 = 1,2,. где Г и г - непрерывные дифференцируемые и ¿у-периодические по ( функции, в работе [61] получены условия существования и единственности ¿у-периодического положительного решения, которое отлично от состояния равновесия.

В работе [53] получены достаточные условия существования единственного периодического решения уравнения сЬс ш где / периодична по первому аргументу с периодом со, а т удовлетворяет условиям тк^ + со) = /лк(^)й) + тк^), к - \,2,.,т,1 еЯ, где функции /ик принимают только целые значения.

Множество работ посвящено уравнениям с почти периодическими решениями, в числе которых отметим работы [18, 19, 30, 40, 44, 67]. Теория почти периодических функций была создана датским математиком Гарольдом Бором и опубликована в 1924 - 1926 гг.

Работам Бора предшествовали важные исследования Е. Экелангона и П. Боля. В последствии теория Бора получила значительное развитие в работах С. Богара, Г. Вейля, А. Безиковича, Ш. Фавара, Дж. Келмона, В.В. Степанова, Н.Н. Боголюбова и других. В частности, теория почти периодических функций дала сильный толчок развитию гармонического анализа функций на группах.

Между теорией почти периодических функций и теорией периодических функций имеется много аналогий [18]. Так, например, каждой почти периодической функции можно отнести ряд Фурье

О~Агехр(/Яи/). Число Ап, вообще говоря, комплексны и называются п коэффициентами Фурье. Числа действительные и называются показателями Фурье. В отличие от случая периодических функций, числа Яп могут иметь предельные точки на конечном расстоянии и даже лежать всюду плотно.

В работе [44] рассматривается задача д2и ее О,

ЯП ■ ди V

13£2 ~~ ^ где функции вещественозначны, почти периодичны по ограниченная область, с границей дО., кроме того %(р,х,1) монотонно возрастает на р. Исследуется вопрос существования почти периодических решений данной задачи при достаточно гладких функциях

В работе [30] рассматривается система ОДУ первого порядка. Доказываются теоремы существования и устойчивости почти периодических решений рассматриваемой системы.

С.Л. Соболев доказал, что все решения задачи д2и ее (- А и + g{x))u{x, ¿) = 0,

4» =

I ди где ОсГ ограниченная область, £ О) > 0, х е О, и[=о е Нх (О), — е ¿2 (О) 1=0 принадлежит классу АР(Е) - почти периодических функций со значениями в энергетическом пространстве. В дальнейшем С. Зайдман [67] для неоднородного уравнения с почти периодической правой частью установил аналогичный результат.

Для дифференциальных линейных уравнений с постоянным запаздыванием являются весьма эффективными метод шагов и операционные методы (преобразование Лапласа, Фурье) .

Следующим этапом в развитии ФДУ стали изучения операторно-дифференциальных уравнений вида х'(0 = А( 0*(0, где A(t) - неограниченный переменный оператор.

Многочисленные работы [7], [13],[33] посвящены операторному уравнению

Dtu(t)-A(t)u{t) = О, D, = у-^- (1) где iA(t) - ограниченный оператор или производящий оператор полугруппы.

В работе Л.Ниренберга и Ш. Агмона [48] изучено уравнение (1), но без выше указанных предположений. Полученные результаты распространили на уравнения, в которых коэффициенты отличаются от постоянных на экспоненциально убывающие слагаемые А. Пази [60].

Обобщением выше указанных уравнений является ФДУ с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве т 1 -1

Diu(t)-YJ[AJ+AJ{t№-hJ-hJ{t)) = f{t), D, (2) j=о i dt

Систематическим изучением таких уравнений занимался Р.Г. Алиев [13] и его ученики. Ими были изучены вопросы существования и единственность решения, а также асимптотическое поведение и устойчивость решения при t -» оо.

Частным случаем для уравнение (2) является уравнение вида оо x'(t) = \dTr{t, r)x(t -т) + f(t), *0 > -со ?

Которое называется уравнение с распределенным запаздыванием, когда т) имеет следующий вид т 0), у=0 где

1,1 > о.

Заметим, что уравнение (2) является частным случаем более общего уравнения т 00

Ци(0 - £.А} (t)u{t - hj (0) + \drA(t, r)u{t - Т) = f(t), (3) содержащего как сосредоточенные, так и распределенные запаздывания.

Уравнение (2), где Aj(t):Y У - замкнутые линейные неограниченные операторы, Aj(t):X ->Y - ограниченные операторы, Y - некоторое гильбертово пространство, X a Y, А} {t + со) = A}(t), h} (t + a>)~ hj {t), f(t + o)) = f{t), исследовано в [1].

Аналогичные вопросы для уравнения второго порядка рассмотрены в [24,25].

Обозначения и определения

Прежде чем перейти к краткому изложению основных результатов диссертационной работы, приведем обозначения и определения [1], которые будут использованы в дальнейшем.

X, Y- гильбертовы пространства, X с Y, > ||г;

D"-—— ' ~ dtk ''

Z 0(Y,Y) - множество замкнутых линейных неограниченных операторов из пространства Y в пространство Y;

Z(X, Y) - множество ограниченных линейных операторов из пространства X в пространство Y;

Zm(X,Y)~ множество вполне непрерывных линейных операторов из пространства X в пространство Y;

R" - и-мерное евклидово пространство; в частности, Rl =R = (-00,00);

- множество скалярных абсолютно непрерывных функций, которые определенны на (0,гу); С - плоскость комплексного переменного; sup u(t) = {/, u(t) Ф 0}П G - носитель определенной и непрерывной на открытом множестве G a R функции u(t);

L2 (I) - пространство суммируемых с квадратом на интервале I a R скалярных функций;

L2((0,cd), X) — пополнение множества сильно непрерывных функций u(t) с компактными носителями и со значениями в X по норме

Н(0,¿у) = (ВД е АС(0 а)), А'(0 < г < 1); са - постоянная, зависящая от а;

Ха(£) ~ характеристическая функция для вполне непрерывного оператора А, определяемого из неравенства

Аи\у < ф|А. + хА (£ )|Н1У V ¿г > О ,мб!с7.

Если имеет место неравенство ||/(0|| ^ на некотором множестве Е с - независимая по ? константна, с>0), то говорят, что функция /на Е имеет порядок (р. Иначе говоря, f есть О большое от (р на Е и при этом пишут /(?) = 0(<р^)) на Е. В частности, /(?) = 0(1) на Е означает тот факт, что / на Е ограничена.

Под решением уравнения с линейными ограниченными операторными коэффициентами Ац, Ак] (?); X—>У, понимается функция, имеющая сильно абсолютно непрерывную (п-1)- производную в 7 и удовлетворяющая рассматриваемому уравнению почти всюду.

Под Х"о°й>) будем понимать пополнение множества со- периодических функций ? е Я, которые имеют сильно непрерывные и-7-производные в X и сильно непрерывные п-е производные в 7 по норме 1 а)/ п-\ и(4= ¿ЛЁКисо^+ЦАМО

V 0 \к=О Л! dt J

Пространство определяется как пополнение множества сильно непрерывных в 7 функций по норме

V о

Непрерывная функция <p(t) где Е - полное метрическое пространство с метрикой р, называется почти периодической, если

У б >0 3 / = /(£■), что в каждом интервале (а, а + /) длины / найдется хотя бы одно число т — тЕ, удовлетворяющее неравенству sup p{(p{t + г), (p{t)) < s. teR T

Предел вида м{до} - Jfr^ 2Т f{t)dt называется средним значением

-т функции f(t).

Под п0 будем понимать пополнение множества почти периодических сильно непрерывных функций u(t):R-+Y по норме

0|| = • Под Пи - будем понимать пополнение множества функций u(t):R —> X, являющихся почти периодическими и имеющих сильно непрерывные производные до (n-l)-vo порядка вХ и сильно непрерывные производные п-то порядка в У по норме

Kol= w Ер'чоГ+|k"4o

U=o

Если существует число / такое, что каждый открытый интервал (а, а + 1) длины / содержит хотя бы один элемент некоторого числового множества М, то есть при любом а имеем (а,й + /)ПМ^0, то данное множество М называется относительно плотным на действительной оси - оо < ? < оо.

Комплексное число Л) принадлежит резольвентному множеству р(Ар) оператора Ар = XlXl^Äi,^ :Х Y ^ если ПрИ х = \ е С область к=0 7=0

IтЬ"(Я0) операторного квазипучка значении п-1 т p^XnE-Y^Ak]Xk exp(-iÄhkj) к=0 7=0 плотна в пространстве X и оператор обладает непрерывным обратным оператором Ь"р (Я0) = Кр(Л0).

В точке Дц оператор называется резольвентой оператора Ар.

Оператор Щ,(Л)можно рассматривать и как оператор из У в У. Множество всех чисел Л, которые не принадлежат резольвентному множеству р(Лр), называется спектором оператора Ар и обозначается через

Обозначения для операторов, использованных в диссертации: аря ЕI' т - Е 24 с^.од'; к=0 7=0 п—1 т

Л:=0 у=0 я - ¿.¿А (—) ехр(-'—К) со к=0 7=0 ® со

-1 я« 0 = ю ) к=о

-1 я ■-1X (Л + ехр(- г И (Л„ + да) и-1 т

IX

0у=0

Л и-1

-1 со к=о У

Я» 2л/ч" ^ -1 со

-'г «"ЕЕЛ ехр(г-^Ч) у £=0 7=0 (О

2ж1 со п-1 /и г >ч ад = ££ V? ехР(-ид7)]-'

0 7=0

Краткое содержание диссертации

Данная диссертационная работа посвящена вопросам однозначной разрешимости функционально-дифференциальных уравнений п-то порядка с периодическими и почти периодическими неограниченными операторными коэффициентами в абстрактном гильбертовом пространстве, а также нормальной разрешимости рассматриваемого уравнения с периодическими коэффициентами и отклонениями аргументов.

Первая глава диссертации содержит четыре параграфа и посвящена вопросам существования периодических решений уравнений, порождаемых операторами п-1 m

-^-ZIW,4, к=0 у"=0 п-1 m 1 jk k=0 7=0 l Cil

В §1.1 строится функция Грина, с помощью которой доказывается теорема о существовании единственного решения уравнения L"pu(t) = f{t) при некоторых условиях на резольвенту оператора п-\ m

Ap^YL^S ^ Y. к=0 7=0 J

Теорема 1.1.1. Если спектр <т(Ар) оператора Ар не содержит точек

2 ni действительной оси и выполнены условия со lkRn\x = 0(l), k = 0X~,n-l, \lnR\Y = 0(l), |/|->оо, то уравнение п-1 m

LnPu(t) - (Dï ~Е£ Akj Shk]Dkt)u{t) = f(t), t g R k=0 7=0 при любой со -периодической функции/(0 имеет единственное решение и@) с периодом со.

Это решение дается формулой ш u(t)= JG(t-s)f(s)ds.

Здесь G(t,s) - функция Грина, определяемая формулой 1

G(t — s) = со

V СО J п-1 т

ХР» (—) «РН—

Й^О со со

-1 exp (/-^-(í-s))

В §1.2 доказывается теорема о непрерывной обратимости оператора : Х^ —> У^,,), при некоторых условиях на резольвенту оператора АР:Х^У.

Теорема 1.2.1. Если существует Rn lkR„ х п . vn,0 v ЛГ0,0 O(l), k = 0,1,., и-1,

ГЯ 0(1), |/| —> оо, /яо оператор

Lp '• Х(Ь,т) У (ó, со) непрерывно обратим.

В §1.3 приводится формулировка основной леммы и доказывается теорема о непрерывной обратимости оператора L"po для случая малых периодических переменных частей коэффициентов и отклонений аргументов.

Лемма 1.3.1. Если A:Y->Y- замкнутый, A:X—>Y- вполне непрерывный, то для любого £ > 0 существует %Á(s), что имеет место неравенство \Аи\у < в\\и\\х + хaдлялюбого иеХ cz Y. Теорема 1.3.1 .Пусть выполнены условия: а) замкнутые, к - 0,1,.«-1, j = 0,1,., т, A¡g'-X—>Y — вполне непрерывные к = 0,1,.п-1, j = 1,2,.т\ б) для любого целого I существует «, lkRn\x=0(l),k = 0,l,.,n-l, l"Rn =0(1), |/| —> оо; в) ЛОеу?0%.

Тогда существует £>0 такое, что при выполнении условий \<£^е(0,со), (0 <г<1, t е(0,со), к = 0,1,.п-1, ] = 0,1,.т,

ТП . тгП,0 V -г,0,0 оператор Ьро • Л ^ ^ / ^ непрерывно обратим.

В § 1.4 выясняются условия существования периодического решения с помощью функции Грина. Доказывается теорема о существовании единственного периодического решения рассматриваемого уравнения.

Теорема 1.4.1. Если спектр сг(Ар) оператора АР не содержит точек 2 тй действительной оси-, I — и,±1,. и выполнены условия со

4=0(1), к = 0Д,.и —1, |г^|г=0(1), |/| —> со з то уравнение л-1 т Ь

0 7=0 а при любой СО-периодической функции /(1) имеет единственное решение с периодом СО. Это решение дается формулой со u(t) = Jg(/-5)/(5)é/j.

Таким образом, первая глава диссертации посвящена вопросам непрерывной обратимости операторов, порождаемых исследуемыми уравнениями. При не выполнении условий теорем из первой главы может иметь место существование конечного или бесконечного числа решений. Интерес представляет случай, когда существует конечное число решений, то есть фредгольмовость оператора Ь"ро '• X"(o°a) ~~^ Y°(o,a) ■

Вторая глава содержит два параграфа и посвящена вопросу фредгольмовости оператора L"p„ ■ Х"о,а) ~~^ Y°(o,q>) и равенству нулю индекса оператора L"po.

В § 2.1 доказываются две теоремы о конечномерности ядра и коядра оператора L"po

Теорема 2.1.1. Допустим выполнение условий: а) для любого te (0, си) Ак] + Akj(t) :Y —» Y - замкнутые, k = 0,1,.,п — 1, j - 0,1,.,т\ Akj + Akj(t) : X —» Y - вполне непрерывные операторы, k = 0,\,.,п-1, j = 1,2,.,т; непрерывно зависят от te(0,cü)> hkj(t) абсолютно непрерывные функции, hkj (t) < г <1 в точках существования производной, te(0,có)> k = 0,1,.,n-l, j = 0,1,.,m; б) для любого целого lut e(0,co) существует »,

Г 'R X Ш lnR 0(1), |/|->оо;

Тогда ядро оператора '■ —> конечномерно. Теорема 2.1.2 .Допустим выполнение условий: а) для любого te(0,ш) А^ + Ак]($ : 7 У к = 0,1,.,и-1, у = 0,1,.,т; А ¡у + ' X У - вполне непрерывные операторы, к = 0,1,.,и-1, у = 1,2,.,т; А/^ непрерывно зависят от ¿е(0,со)^

Ь,к,(() — абсолютно непрерывные функции, \ (0 - г в точках существования производной, ^ е (Р,со)^ £ - ОД,.,п-1, у = ОД,.,т; б) для любого целого числа 1и1<Е {0, со) существует ьк=о замкнутые, п—1 v (О у

-ZUo + Ao(0)

Г'Я. 0(1), l"Rn = 0(1), 1/1 со; r%(i9f) х = о{\), /ЧС/.ОЦ^ОД.

Тогда коядро оператора ьро • л (о,®) ~~^(о,®) конечномерно. Следствие 2.1.1. Допустим выполнение условий: а) для любого te (О, со) (Akj + A^ftJ):V —> Y — замкнутые, к - 0,1,.,я-1, j = 0,1,.,m, + ^ - вполне непрерывные операторы, к = 0,1,., я-1, j = 1,2,., m, Akj(0 непрерывно зависят от te (0,со), hkj(t)

- абсолютно непрерывные функции, h'kj (t) < г <1 в точках существования производной, * к = 0,1,., n-l, j = 0,1,., m; б) для любого целого lut существует Яп п-1

V ¿У у

-1(Ло+Ло(о) 0

0(1), lnRn=0( 1)

Тогда оператор ^про : ^"о,!) ^(о,®) является фредгольмовым. В § 2.2 доказываются две теоремы о равенстве нулю ядра и коядра оператора [рро ~ 1у]—> ^о'®) для больших значений У.

Теорема 2.2.1. Допустим, выполнены следующие условия: а)Ак]^{¥,¥) №п(Х,¥), к^) е Н(0,со), к = 0,1,2,.,«-1, у = 1,2,.,т,; б) для любого целого I существует

Щ (у) = со ) -zr E~YZAkj (—) ехР(~г Kj) к=ОJ=о со

CD

IVR"(r) 0(1), v = 0,1,1, X

ГГ(Г) 0(1), оо, lim 0. х

Тогда при больших значениях У ядро оператора ад — равно нулю.

Теорема 2.2.2. Допустим, выполнены следующие условия: А/')е е(0,й>),Л (ОбЯ(О,0), А: = 0,1,2,.,и-1, у' = 1,2,.,т; ч б) для любого целого I и te(0,й)) существует Яп (у), г \ У о

-1 г)|| ^ = 0(1), V = 0,1,.,п-1, /"Д, (у) ^ = 0(1), их гд;(г,0 „=о(1), 1/=од,.,1, гд;о,0 = ОД,

А / нш яп(г) =о, Нш л - 0. оо Л /—>оо

Тогда коядро оператора ад ~^ равно нулю при достаточно больших значениях У.

Следствие 2.2.1. Допустим, выполнены следующие условия: +4/0 е г0(г, 7) П 7), 1е(0,а),Ьк.(0еЩ0,й)), к = 0,1,2,.,и-1, у = 1,2,.,/я; б)резольвенты Я"{у), регулярны

Г Г (7) —> оо, Пш 6)(1), V = ОД.«-1, 0(1),^ = 0,1,.,я-1,

ОД, 0(1),

Л,"(у) 0, Нш

X /—>00 О 0 для I

Тогда индекс оператора : ^"о,©) ^(о'®) равен нулю.

Следствие 2.2.2. Из единственности решения уравнения Тро "(О = до в пространстве в условиях следствия 2.2.1.следует существование данного решения.

Третья глава посвящена уравнению с почти периодическими коэффициентами.

В первом параграфе рассматривается вспомогательная лемма. Лемма 3.1.1. Если Ш) hit) е C\R), 0<h\t) <r< 1, u(t) :R -> Z почти периодическая функция, то справедливо неравенство М оЦ^^а-гг'м^соЦ;

В § 3.2 доказывается теорема о существовании единственного решения уравнения ^р

Теорема 3.2.1 .Допустим, выполнены следующие условия: а) резольвента регулярна,

YTxrw\x = 0(1), Iлдо4 = ОД, Щ -> О) f л е к I = ; б) Л/)бП0.

Тогда существует единственное решение

1/(0 Е п уравнения

В § 3.3 доказывается теорема для случая маловозмущенного уравнения. Теорема 3.3.1 .Допустим, выполнены следующие условия: а) AkjzZ0{Y,Y)^Z„(XJ), к = 0,1,2,.,« -1, у = 1,2,.,/я; резольвента ^(Л) регулярна, од, =o(i), « ^ € л, /=i,2,.; в; /(0 е П0.

Тогда, для положительного £ и при выполнении условий

МО hkj (0 < е, 0 < л; (0 < Г < 1, i G Л, А: = 0,1,2,., и -1, j = 0,1,2,., m, существует единственное решение u(t) уравнения L"pau(t) = /(0, которое принадлежит пространству и.

В конце диссертации приведены примеры, иллюстрирующие абстрактную теорию.

В первом примере краевой задачи для уравнения второго порядка с периодическими краевыми условиями, с коэффициентом и правой частью, являющимися периодическими функциями, показано существование функции Грина, то есть существование единственного решения задачи.

В другом примере рассматривается уравнение п-го порядка с периодическими коэффициентами и отклонениями аргумента. Получены условия на коэффициенты уравнения, обеспечивающие существование периодического решения уравнения.

В конце параграфа приведены примеры с постоянными коэффициентами, для которых не выполняются условия теорем, рассмотренных в диссертации, а, следовательно, не существуют периодические решения. Приведены также примеры уравнений, для которых выполняются условия теорем, а это означает существование периодического решения.

В данной диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Доказана теорема существования и единственности периодического решения рассматриваемого уравнения с помощью функции Грина;

2. Доказана теорема существования и единственности периодического решения уравнения с постоянными и с маловозмущенными периодическими операторными коэффициентами и отклонениями аргумента;

3. Доказана теорема о нормальной разрешимости уравнения с неограниченными периодическими операторными коэффициентами и отклонениями аргументов;

4. Доказана теорема существования единственного почти периодического решения уравнения с постоянными и с маловозмущенными почти периодическими операторными коэффициентами;

5. Приведены примеры абстрактной ФДУ для иллюстрации абстрактной теории.

Постановка задачи исследования, анализ и обсуждение полученных результатов, формулировка основных выводов и положений, выносимых на защиту, осуществлялись совместно с научным руководителем, профессором Алиевым Рзаханом Гюльмагомедовичем. Личный вклад автора состоит в формулировке и доказательстве всех теорем, представленных в работе.

Основное содержание диссертации в достаточной мере отражены в опубликованных работах:

I. Публикации в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Алиев Р.Г. Существование периодического решения функционально-дифференциального уравнения и-го порядка с сосредоточенными и распределенными запаздываниями в гильбертовом пространстве/ Алиев Р.Г., Шахпазова И.Ф. // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Ростов-на-Дону, 2011г., №5, с. 5-8.

2. Шахпазова И.Ф. О нормальной разрешимости функционально-дифференциального уравнения «-го порядка в гильбертовом пространстве // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Ростов-на-Дону, 2008г., №6, с. 26-29.

II. Статьи в научных журналах и сборниках:

3. Шахпазова И.Ф. К вопросу о существовании периодических решений функционально - дифференциальных уравнений п-то порядка // Вестник ДГУ. Естественные науки, Вып. 1, г. Махачкала, 2007, с. 89-94.

4. Шахпазова И.Ф. О существовании и единственности периодического решения уравнения п-то порядка в гильбертовом пространстве // Труды молодых ученных ДГУ, Естественные науки, Вып.З, г. Махачкала, 2007, с. 20-22.

5. Шахпазова И.Ф. О разрешимости функционально-дифференциальных уравнений я-го порядка с маловозмущенными периодическими операторными коэффициентами и отклонениями аргументов в гильбертовом пространстве. // Научное образование: Сборник статей Ассоциации молодых ученых Дагестана. Вып. 37, Махачкала, 2007, с. 142-147.

6. Шахпазова И.Ф. Теоремы о равенстве нулю ядра и коядра оператора, порождаемого функционально-дифференциальным уравнением п-го порядка. // Региональный вестник молодых ученных. - М.: ИЦ СМУР «Academy», №1(15), 2008г, с. 5-6.

7. Шахпазова И.Ф. Функционально-дифференциальные уравнения п-го порядка с маловозмущенными периодическими операторными коэффициентами и отклонениями аргументов в гильбертовом пространстве. // XXXIV Научная конференция студентов и молодых ученых вузов Южного Федерального округа, г. Краснодар, часть II, январь-март 2007г, с. 226-227.

8. Шахпазова И.Ф. Функционально-дифференциальные уравнения п-го порядка с почти периодическими коэффициентами в гильбертовом пространстве. // Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения (материалы третьей Международной Научной конференции, 2325 сентября 2007г.) Махачкала, издательство ДГУ, 2007г, с. 207-215.

9. Шахпазова И.Ф. Существование периодического решения функционально-дифференциального уравнения /7-го порядка.// Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Межвузовский научно-тематический сборник, выпуск №5, Махачкала, издательство ДГУ, 2009г, с. 108-111.

10. Шахпазова И.Ф. К вопросу периодических решений функционально-дифференциальных уравнений п-го порядка с сосредоточенным и распределенным запаздыванием. // Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения (материалы четвертой Международной Научной конференции, 21-24 сентября 2009г.) Махачкала, издательство ДГУ, 2009г, с. 203-206.

В работе [43], постановка задачи и указание методов исследования принадлежат Алиеву Р.Г. Подробное проведение доказательств принадлежит автору диссертации.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на XXXIV Научной конференции студентов и молодых ученых вузов Южного Федерального округа, (г. Краснодар, март 2007г.), на Третьей и Четвертой Международных конференциях «ФДУ и их приложения» (г. Махачкала, сентябрь, 2007г., 2009г.), на семинарах кафедры дифференциальных уравнений ДГУ, на годичных научных конференциях профессорско-преподавательского состава ДГУ (2006-2010гг.), на кафедре математической физики и вычислительной математики ФГАОУ ВПО «Южный Федеральный Университет» (г. Ростов-на-Дону, июнь, 2010г.).

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 10 параграфов и списка литературы, включающего 67 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шахпазова, Ирина Фридуновна, 2012 год

1. Алиев Р.Г. Функционально- дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве, ИПЦ ДГУ, Махачкала, 2010, 348с.

2. Алиев Р.Г., Гамидов Ш.Г. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. ИПЦ ДГУ, Махачкала, 1992.

3. Алиев Р.Г. К вопросу о необходимых и достаточных условиях однозначной разрешимости уравнений с отклоняющимся аргументом и неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве.// ДАН СССР, т. 267, №1, 1982, с. 11-14.

4. Азбелев Н.В. О нулях решений линейного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом. // ДУ. т.7, №7, 1971, с. 11471157.

5. Амелькин В.В., Жавнерчик В.Э. О периодических решениях уравнения Льенара// ДУ. т.24, №10, 1988, с. 1659-1662.

6. Белман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. «Мир», 1967.

7. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, М.: Наука, 1970, 536 с.

8. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости, М., 1967.

9. Жилевич Л.И. О периодических решениях уравнения Льенара.// ДУ. т.23, №4, 1987, с. 608-611.

10. Колмогоров А.Н, Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, 1972.ТЗ.Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М., 1967.

11. Лаптинский В.Н., Подолян C.B. О периодических решениях векторного дифференциального уравнения п-то порядка. // ДУ. т.24, №10, 1988, с. 1704-1709.

12. Лебедева В.М. О количестве периодических решений дифференциального уравнения первого порядка с полиномиальной правой частью. // ДУ. т.4, №8, 1968, с. 1428-1432.

13. Лебедева В.М. О числе периодических решений уравнения первого порядка с рациональной правой частью.// ДУ. т.5, №3, 1969, с. 560-562.

14. Левин Г.М. Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения // Межвуз. сб., Рязань, 1984, с. 94-98.

15. Левитан Б.М. Почти периодические функции, М., 1953.

16. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения, Изд. МГУ, 1978.

17. Морен К. Методы гильбертова пространства, М.: Мир, 1965.

18. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, М.: Наука, 1972, 352 с.

19. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений, М., 1949.

20. Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. «Наука», 1975.

21. Омар Халед. К вопросу о существовании периодических решений функционально-дифференциальных уравнений второго порядка // Тезисы докл. четвертой Северо-Кавказской региональной конференции, Махачкала, 1997, с. 70.

22. Омар Халед. О существовании почти периодических решений функционально-дифференциальных уравнений второго порядка соператорными коэффициентами в гильбертовом пространстве // Вестник ДГУ. Естественные науки, вып. 1, 1999.

23. Панов A.A. О числе периодических решений полиномиальных дифференциальных уравнений.//Математические заметки, т.64, вып. 5, 1998, с. 720-727.

24. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М., 1964.

25. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. 4, 1959.

26. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М., 1962,

27. Ухалов А.Ю. Почти периодические решения систем дифференциальных уравнений с быстрым и медленным временем в случае вырождения. // Математические заметки, т.63, вып. 3, 1998, с. 451-456.

28. Халанай А. Системы с запаздыванием // Результаты и проблемы. Сборник переводов «Математика» 10:5 (1966), с. 85-102.

29. Хан В. Обзор теории дифференциально-разностных уравнений с постоянными и переменными отклонениями. Сб. переводов «Математика» 5:6, 1961, с. 73-98.

30. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений, М.: Мир, 1984.

31. Шахпазова И.Ф. К вопросу о существовании периодических решений функционально дифференциальных уравнений п -го порядка // Вестник ДГУ. Естественные науки, Вып.1, г. Махачкала, 2007, с. 89-94.

32. Шахпазова И.Ф. О существовании и единственности периодического решения уравнения п-го порядка в гильбертовом пространстве // Труды молодых ученных ДГУ, Естественные науки, Вып.З, г. Махачкала, 2007, с. 20-22.

33. Шахпазова И.Ф. Теоремы о равенстве нулю ядра и коядра оператора, порождаемого функционально-дифференциальным уравнением п-то порядка. // Региональный вестник молодых ученных. М.: ИЦ СМУР «Academy», №1(15), 2008г, с. 5-6.

34. Шахпазова И.Ф. О нормальной разрешимости функционально-дифференциального уравнения п-то порядка в гильбертовом пространстве // Известия высших учебных заведений. СевероКавказский регион. Естественные науки. №6, 2008г., с. 26-29.

35. Ширикян А.Р. О классических почти-периодических решениях нелинейных гиперболических уравнений. // Мат. Зам. Вып. 6, т. 54, 1993, с. 146-147.

36. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., «Наука», 1969, 424с.

37. Эльсгольц Л. Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Изд. 2-е, «Наука», 1971.

38. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.:Наука, 1972.

39. Agmon S. , Nirenberg L. Properties of solutions of ordinary differential equation in Banach space // Comm. on pure and apple. Math., 1963, p. 121239.

40. Arino O., Hbid M.L. // Facta univ. Ser. math. And inf / Univ. Nis, 1995-10, p. 71-79.

41. Fucik S., Lovikar V. //Periodic solution of the equation x" + g(x(t)) = p{t), Casopispest. Mat. 100, 1975, p. 160-175.

42. Hill G. //Acta math, v. 8, p. 1, 1886.

43. James R., Ward JR. Periodic solution for a class of ordinary differential equations. //Proceedings of the American mathematical society, v. 78, №3, 1980.

44. Kiguradze I // Met. Differ. Equat. And math. Phys. 1997, p. 134-137.

45. Lazer A.C. On schcuder's fixed point theorem and forced second order nonlinear oscillations, //J. Math. Anal. Appl. 21(1968), p. 421-425.

46. LevinsonN., Smit O.K. //Duke math. J, v.9, 1942, p. 382-403.

47. Littlewood J.E. // Actomath, v. 97, №3-4, p. 267-308.

48. Massera J.L. // Boletin de la Facultad de ingeneria, v.4, №1, 1950, p. 37-45.

49. Minorsky N. //Self-excited oscillations in dynamical systems possessing retarded actions. Y. Apple. Mach 9 (1942), p. 65-71.

50. Mukhigulashvili S., Puza B. On a periodic boundary value problem for third order linear functional differential equations // Functional Differential equations, volume 14, 2007, no 2-3-4, pp. 347-361.

51. Pazi A. Asumptotic exspansions of the solutions of ordinary differential equation in Hilbert space. // Arch. Mech. And Anal, 24,3(1967),193-218.

52. Tang Baorong, Kuang Yang // Tohoku. Math. Y. №2, 1997-49, p.217-239.

53. Tsvetkov D.P. // Cepguka, №2, 1996-22, p. 109-116.

54. Villari G. // J. of math Anal, and Appl. v. 86, №2, 1982, p. 379-386.

55. Villari G. // Nonlinear Anal thery, meth. and Appl. v.7, №1, 1983, p. 71-78.

56. Walther H.// Existence of a nonkonstant periodic solutions of a nonlinear no autonomous functional differential equations the growth of a single species population. J. math. Bio 1(1975), p. 227-240.

57. Walther H. //On a transcendental equations in the stability analyses of a growth model. J. math. Bio 3.

58. Zaidman S. //Ann Scient. Ec. Norm. Sup. Ser- 3, v. 79, 1962, p. 151-198.