О существовании периодических и почти периодических решений функционально-дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Омар Хамед Джарадат

• Омар Хамед Джарадат
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Омар Хамед Джарадат

Введение

Обозначения и определения

Некоторые сведения из теории функций и функционального анализа.

Краткое содержание работы

Глава I. О разрешимости уравнения с постоянными и маловозмущенными периодическими операторными коэффициентами и отклонениями аргумента

§ 1.1. Функция Грина. Решение уравнения с помощью функции Грина .Л : .¿^л

§ 1.2. Теорема существования и единственности решения

§ 1.3. Случай уравнения с маловбзмущенными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента

Глава II.Нормальная разрешимость уравнения.

§2.1. Теоремы о конечномерности ядра и коядра

§ 2.2. Теоремы о равенстве нулю ядра и коядра

глава III. Случай уравнения с почти периодическими коэффициентами

§3.1. Вспомогательные леммы

§ 3.2. Теорема существования и единственности

§ 3.3. Случай уравнения с маловозмущенными операторными коэффициентами

§3.4. Примеры

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О существовании периодических и почти периодических решений функционально-дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве»

Теория функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) бурно начала развиваться в последние 40-50 лет, хотя отдельные ее результаты были получены более 200 лет тому назад.

Как правило предполагается, что рассматриваемая система подчиняется закону причинности, т.е. будущее состояние системы не зависит от прошлых состояний и определяется только настоящим. Однако при более тщательном изучении становится очевидным, что закон причинности — это лишь первое приближение к истинной ситуации и более реалистичная модель должна включать некоторые из предшествующих состояний системы.

В исследованиях моделей "Хищник и жертва" и работах по вязкой упругости Вольтерра [48, 49] получены некоторые достаточно общие дифференциальные уравнения, в которые входят прошлые состояния системы.

В начале сороковых годов Минозский [43] в работах, посвященных стабилизации курса корабля и автоматическому управлению его движением, указал на важность рассмотрения запаздывания в механизме обратной связи. Как некоторую грубую модель для качения корабля было получено уравнение г"{Ь) + Ъг'(Ь) + кг(г) = 0, где Ь,к — положительные постоянные, — угол отклонения от вертикальной позиции.

Однако экспериментально было установлено, что противодействующая сила должна действовать с запаздыванием. Так что уравнение оказалось более похоже на г"(€) + Ьг'(Ь) + - г) + кг{Ь) = 0, г > 0.

Общий курс уравнений с запаздывающим аргументом был разработан А. Д. Мышкисом [16].

Перейдя к вопросу о периодических решениях ФДУ, следует указать на работу Дж. Хейля [31], где представлена теория ФДУ разносторонне и на современном уровне.

Периодическое решение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) или системы — решение, периодически зависящее от независимого переменного £ : Х(£ -Ь Т) — :с(£), £ 6 К, Т ф- 0. Всевозможные такие Т называются периодами данного периодического решения, причем они должны быть кратными одному из минимальному периоду То > 0. Периодические решения рассматривают обычно для систем ОДУ, правые части которых либо не зависят от t (автономные системы) х = /(ж), х £ I/ С Ш.п, либо зависят от £ периодически х = /(¿,ж), /(£ + Т,х) = /(¿,ж), х С и. Во втором случае период То периодического решения обычно совпадает с периодом Тх правой части или является целочисленным кратным Тх.

Вопросы существования, отыскания периодических решений и исследование их свойств представляют интерес не только с чисто математической точки зрения, но и потому, что при математическом описании реальных физических систем их периодические режимы обычно соответствуют периодическим решениям (см., например, [48], [49]).

Задача отыскания периодических решений является не легкой задачей, ибо нет общих методов, которые позволили бы установить, существуют ли периодические решения у конкретной системы. Поэтому в различных случаях используются различные соображения и методы. Многие из них относятся к теории возмущений.

Особую роль играют уравнения второго порядка или, все равно, что система двух уравнениях первого порядка. Следует заметить, что в случае функционально - дифференциального уравнения второго порядка начальную задачу не всегда можно свести к эквивалентной системе уравнений первого порядка.

В этом случае периодические решения вместе с некоторыми другими типами решений полностью определяют поведение всех решений вообще.

К системам линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами приводят многие задачи физики и техники. Известно также, что после работ Ляпунова и Пуанкаре центр тяжести в практических методах исследования устойчивости периодических движений, описывающихся нелинейными дифференциальными уравнениями, перенесен на системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

В последние годы трудами многих математиков достигнут известный прогресс в математической теории линейных дифференциальных уравнении с периодическими коэффициентами.

Были созданы также практические методы расчета, позволяющие часто очень просто получить приемлемые для инженера решения во многих задачах, которые ранее отпугивали своей громоздкостью. Эти методы таковы, что вычислительные трудности слабо возрастают с увеличением порядка системы, а это обстоятельство делает их особенно выгодными для применения в задачах с большим числом степеней свободы.

Эти и многие другие результаты изложены в монографии В. А. Якубовича и В. М. Старжимского [33]. Хорошо известны результаты устойчивости решений, существование или отсутствие периодических решений для уравнения Хилла W"{z) + P(z)W(z) = 0 с периодической функцией P(z). Здесь все величины могут быть комплексными. Дж. Хилл [36], изучая движение луны, получил урав-/ \ нение W"{z)-\-1 Qq + 2 ^^ Qir cos 2rz J W(z) — 0 с действительными oo числами Qo,Q2, Q4, . . . , причем ряд ^Г^ \Q2r\ сходится [36]. r=1

Система может иметь бесконечно много периодических решений. Примером такого рода служит уравнение Вандерполя с вынужде-нием х + к(х2 — 1)х + х = kb sint, исследованное М. Картраитом и Дж. Литльвудом [41]. Они показали, что это уравнение при соответствующем выборе параметров b и к имеет бесконечно много периодических решений. Для уравнения х + f(x)x + g(x) = О, представляющего собой обобщение уравнения Вандерполя, Н. Jle-винсон и О. Смит [40] доказали существование и единственность предельного цикла.

В работах [35, 37, 39] рассматриваются вопросы существования Т - периодических решений для дифференциального уравнения : x" + cx' + g{x) = f(t) = f(t + T).

Предполагается, что д : Ж Ш непрерывно, / : R R непрерывная и Т - периодическая, с 6 1 - множества действительных чисел и Т > 0. В частности доказано: если существует число г ^ 0 тг \ д(х) - Г-1 / f(t)dt \х ^ 0« 0), |ж| ^ г, с ф 0, то существует по крайней мере одно Т - периодическое решение данного уравнения.

В [42] были получены необходимые и достаточные условия dx существования а; - периодического решения системы — = X(x,t),

ЛЬ такое, что где ж, X - п - мерные векторы - столбцы, X(x,t) непрерывен при всех t £ (—00, 00) и ж £ D, где D - некоторая область из Rn, и и; -периодичен по t.

В [4] тоже были даны необходимые и достаточные условия существования таких решений в случае линейности функции X(x,t).

В [46] получены условия существования периодического решения уравнения Льенара ж + /(ж) ж 4- д(х) = 0, перекрывающие частично известные критерии Сансоне и Левинсона - Смита. При этом требовалось, чтобы при достаточно больших |х| выполнялось неравенство /(ж) > 0. В работе [47] получены условия существования периодического решения этого же уравнения без традиционного предположения, что /(ж) положительна при достаточно больших |х|. Однако в [6] на функцию д(х) накладываются более жесткие условия: быть нечетной и lim inf#(ж) > 0. В предполагаемой x—too заметке получены условия, гарантирующие существование периодического решения уравнения Льенара без предположения, что /(ж) > 0 при достаточно больших |х|, и условия нечетности функции д(х). В [3] предлагается один из подходов к решению вопроса о существовании нескольких периодических решений у уравнения Льенара, основанный на теореме Пуанкара - Бендиксона [17].

В работе [9] получены общие коэффициентные условия существования и единственности ш - периодического решения уравнения п - го порядка ж^ = A^x^-V + ■ • • + Än(t)x + /(¿, ж, X,., ж^-1)), xeRn, в котором тхт - матрицы А г — 1,2,.,п, непрерывны и периодичны с периодом ш > 0, вектор-функция /(£, у2,., уп) определена и непрерывна по совокупности переменных t, у\, у2, ., уп £ К. х Ш.т х • • • х , со - периодична по i и удовлетворяет относительно yi, у2,. • •, уп > условию Липшица с постоянными соответственно 1/1,1/2,., Ln, причем /(£, 0,0,., 0) ф 0. Х

Как известно [5], для того чтобы система — = А(Ь)х + /(¿), с со ас

- периодической матрицей А(£) и вектор - функцией /(£) имела со

- периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы выполи> нялось условие ортогональности J(^(¿О, /(0)^ = 0) (5 = • • ■ ? о где = 1,.,/г) линейно независимые со - периодические решения системы — = — При этом со - периодические реаЬ

1х шения системы — — А(Ь)х + /(£) образуют к - параметрическое

Хб семейство.

Изучая вопрос о числе со - периодических решений в уравнении х — /(£,ж), правая часть которого есть со - периодическая по Ь и непрерывная по совокупности аргументов функция, В. А. Плисс в работе [25] рассмотрел случай, когда /(¿,ж) либо является полиномом конечной степени с периодическими коэффициентами, либо представима в виде ряда по степеням х с периодическими по Ь коэффициентами.

В частности в этой работе показано, что уравнение х — хп + Рп-\хп+1 + • • • + Ро(£), где Рг(£) - непрерывные со - периодические функции, может иметь не более п со - периодических решений, если п принимает значения 1, 2 или 3. Построив в [24] пример уравнения вида: х = ж4 + Рз(£)ж3 + Р2^)ж2 + Р\^)х + Ро(£), имеющего не менее пяти со - периодических решений, В. А. Плисс показал, что этот ряд утверждения не может быть продолжен для п ^ 4.

Продолжая исследования этого вопроса методом, предложенным в работе [25], В. М. Лебедева в статьях [10, 11] получила ряд интересных результатов. В частности доказано: для любого натурального числа К существует такой набор коэффициентов Pj (£), У = 0,1,2,3), что уравнение будет иметь ровно К периодических решений.

В работе [29] Ф. Трикоми рассматривает уравнение ж = /(£, ж) общего вида и показывает, что если /(¿,ж) имеет знакоопределенную и непрерывную по совокупности аргументов производную то уравнение ж — /(¿,ж) не может иметь более одного со - периодического решения. Развивая дальше идею о связи знакоопределенности производной функций /(£, ж) по х к - го порядка и максимального числа ш - периодических решений соответствующего уравнения вида ж = /(¿,ж), Г. М. Левин [12] показал, что если производные f"(t,x) или /'"(£, ж) знакоопределенные, то данное уравнение не может иметь более двух или трех со - периодических решений соответственно.

В работе [23] исследуется число периодических решений полиномиального дифференциального уравнения с периодическими коэффициентами вида х = х11 + а п1Йжп~1 + • ■ • + а0(г),

И доказано, что уравнение ж = х2п+1 + а(£)ж2 + &(£) имеет не более трех периодических решений и построен новый класс уравнений с п = 4 и шестью периодическими решениями.

В работах [7], [28] рассматривается задача об со - периодических решения задачи ии - ихх +си = /(¿,ж,п), и(г,0) = = О для квазилинейного телеграфного уравнения, где функция /(£, ж, и) является со - периодической по переменной : /(£ + со,х,и) — ¡(1,х,и). Эта задача эквивалентна отысканию ее решений, удовлетворяющих еще и условиям и(0, х) — и(со, ж), ut(0,x) = щ(ш,х). В работе [45] рассматривается модель хищник - жертва = (£1-1/1^2)^!,

Щ = (£2 - ViNJNi, где JVi (t), N2(t) — численности жертв и хищников соответственно в момент времени t, функции ei(x), £2(х), vi{t)-> i>2 (i) — неотрицательные неравные тождественно нулю ш - периодические функции. Доказано, что система Хищник - жертва имеет положительные ш - периодические решения (Ni(t), A^i)), и получены оценки этого решения. В работе [44], для системы

Xi(t) = Xi(t)Fi(t,xi(t),. ,xn(t),xi(t - r(t)),. .,xn(t - t(î))), i := l,.,n, где F и r — непрерывные дифференцируемые си

- периодические по t функции, получены условия существования и единственности положительного и - периодического решения отличного от состояния равновесия.

В работе [34] рассматривается система дифференциальных dx уравнений с запаздыванием —- = f(x(t — r)), где / : Ж2 R2 достаиь точно регулярно, /(0) = 0 и Df(0) = ^ ' ^"етод Ляпунова

- Шмидта используется для того, чтобы доказать существование и единственность периодического решения системы в случае, когда запаздывание г достаточно мало и х лежит в окрестности 0.

В работе [38] установлены достаточные условия существования хотя бы одного, а также достаточные условия существования единственного периодического решения уравнения dx

- = f(t,x(ri(t)),. ,x(Tm(t))), где / периодична по первому аргументу с периодом ш, а т удовлетворяет условиям

Tk(t + u;) = ¡Jik(t)u + rfc(i), £ G Ж, (к = 1,., га), где функции ^ принимают только целые значения.

Уравнениям с почти периодическими решениями посвящено множество работ, в числе которых мы укажем на [ 13, 14, 27, 30, 32, 50]. Теория почти периодических (п. п.) функций была создана в основном и опубликована в 1924 - 1926 гг. датским математиком Гарольдом Бором.

Работам Бора предшествовали важные исследования П. Боля и Е. Эсклангона. В дальнейшем теория Бора получила существенное развитие в работах С. Бохнера, Г. Вейля. А. Безиковича, Ш. Фавара, Дж. Нелмана. В. В. Степанова, Н. Н. Боголюбова и других. В частности, теория п. п. функций дала сильный толчок развитию гармонического анализа функций на группах.

В 1933г. вышла важная работа С. Бохнера, посвященная перенесению теории п. п. функции на векторно - значные (абстрактные) функции со значениями в банаховом пространстве.

Последние годы теория п. п. функций развивается в связи с задачами дифференциальных уравнений, теории устойчивости, динамических систем и т. п. Круг приложений теории п. п. функций заметно расширился, включив в себя не только обыкновенные дифференциальные уравнения и классические динамические системы, но и широкие классы уравнений с частными производными и уравнений в банаховых пространствах.

Между теорией п.п. функций и теорией периодических функций имеется много аналогий [13]. Так например, каждой п.п. функции /(¿) можно отнести ряд Фурье /(¿) ~ У^ Ап ехр(гАп£). п

Числа Ап, вообще говоря, комплексны и называются коэффициентами Фурье. Числа Лп действительные и называются показателями Фурье. В отличие от случая периодических функций числа Лп могут иметь предельные точки на конечном расстоянии и даже лежать всюду плотно.

В отличие от периодических функций, в случае п.п. функций не удается дать простых и вместе с тем достаточно общих признаков сходимости рядов Фурье, поэтому в теории п.п. функций еще большее значение, чем в теории периодических функций, приобретают методы суммирования рядов Фурье.

В работе [30] рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Правые части системы пропорциональны малому параметру, почти периодически зависят от быстрого времени и периодически от медленного времени. Этой системе сопоставляется усредненная по быстрому времени система. Предполагается, что усредненная система имеет негрубое периодическое решение. Доказывается теорема существования и устойчивости почти периодических решений исходной системы. В работе [32] рассматривается задача utt + д(щ,х, t) - Аи + f(u, ж, t) = h(t), и\ап = 0, где О G Мп ограниченная область с границей <90, (x,t) G О х Е, /, g и h - вещественнозначные почти периодические по t функции, причем g(p,x, t) монотонно возрастает по р.

Исследуется вопрос о существовании почти периодических решений данной задачи при достаточно гладких функциях /, g, h. C.JI. Соболев [27] доказал, что все решения задачи utt(x,t) + (—А + g(x))u(x,t) = О, и\оп = О, где О G Rn ограниченная область, д{х) ^ О, ж 6 fi, u\t=o £ Hi(il)} ut\t=o £ принадлежат классу АР(Е) - почти периодических функций со значениями в энергетическом пространстве. Позднее С. Зайдман [50] установил аналогичный результат для неоднородного уравнения с почти периодической правой частью.

Настоящая работа посвящена вопросам существования периодических и почти периодических решений функционально - дифференциального уравнения вида j2 1 171 к=0j=0 с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве.

Обозначения и определения

X, Y - гильбертовы пространства, X С У, || • \\х ^ || • ||у, || • ||х ~ норма в пространстве X;

Jzfoo(X, Y) - множество вполне непрерывных операторов из X в У; Л?(Х, У) - множество линейных ограниченных операторов из X в

У;

J?o(Y,Y) - множество замкнутых операторов из У в У; F(X,Y) - множество фредгольмовых операторов из X в У;

D? =

1 dk i ik dtk ' опр

1И||у — \\А\\х->у, УЛ:X^Y]

Жп - п - мерное евклидово пространство, М1 = М;

АС(о,ш) - множество абсолютно непрерывных скалярных функций, определенных на (0,а;);

Вирр и(£) = {¿, г¿(í) ф 0}П(7 - носитель определенной и непрерывной на открытом множестве б 6 1 функции и{1); С - плоскость комплексного переменного;

С? (С) - множество бесконечно дифференцируемых на открытом множестве (7 функций с компактными в С носителями; 1^2 (</) - пространство суммируемых с квадратом на интервале 7 С К скалярных функций.

Говорят, что / на Е имеет порядок или / есть О большое от (р на Е и пишут при этом /(¿) = 0(</?(£)) на Е, если ^ С| | </?(£) || на Е, где С - не зависящая от £ положительная константа. В частности, /(¿) = 0(1) на Е, означает тот факт, что / на Е ограничена.

Ь2((0, си), X) - пополнение множества сильно непрерывных функций и(Ь) с компактными носителями и со значением в X по норме

Н(0,со) = {h(t) Е АС(h'(t)^r< 1 в точках существования производной h'(t)}]

Ха{^) ~ характеристическая функция оператора А. Она вводится для вполне непрерывных операторов и определяется из неравенства

Са - постоянная зависящая от а.

Под решением уравнения (*), коэффициенты которого принадлежат пространству Jzf(X,Y), понимается функция, имеющая сильно абсолютно непрерывную в Y производную и удовлетворяющая уравнению.

Непрерывная функция ip(t) : R —у Е, где Е - полное метрическое пространство с метрикой р, называется почти периодической, если Me > 0, 31 — ¿(е) > 0, что в каждом интервале (а, а + ¿) длины ¿ найдется хотя бы одно число т = те, удовлетворяющее неравенству sup p(ip(t + r),y?(í)) < £.

GM

Средним значением функции называется предел т

Sh{t)u(t)=P u(t-h(t));

Au\\y < е\\и\\х + хл(е)\\и\\у Ve > 0 и и Е X с У;

-т

Пополнение множества почти периодических функций и(Ь) : М —> X, имеющих сильно непрерывные производные в X и сильно непрерывные вторые производные в У по норме н«)|| = [М {||и(4)||3: + II«'(ОЙ + 1К«11У}] 1 обозначим через П2.

Пополнение множества сильно непрерывных почти периодических функций и(Ь) : 1 Ч Г по норме \\и(Ь)\\ = [М обозначим через Пр.

Числовое множество М [14] называется относительно плотным на действительной оси —oo<t<oo, если существует число I такое, что каждый открытый интервал (а, а + £) длины £ содержит хотя бы один элемент данного множества, т. е при любом а имеем (а,а + !)ПМ/0,

Если при Л = Ао £ С область значения 1тЬ(Ло) операторного квазипучка Ьр(А) = ( ХЕ — ^ А^ ехр(—гЛ/г^) | плотна в простран

V j=o ' стве X и оператор Ь{Ло) обладает непрерывным обратным оператором Ь~1(Ло) = ЯР{Хо), то говорят, что комплексное число Ло принадлежит резольвентному множеству р(Ар) оператора Ар : X —> У.

Оператор Яр(Хо) называется резольвентой оператора Ар в точке Л = Ло- Совокупность всех чисел Л, не принадлежащих резольвентному множеству р(Ар), называется спектром оператора Ар и обозначается через д(Ар).

Обозначения для некоторых операторов:

1 т ар = к=о^=о

1 m k=0j=0 Lp = Dt~ Ap\ LÎ = D*-A(ty,

1 m

L2Po ^Ûï-Y, + Akj(t)}Shkj+hkj(t)DÏ-, fc=0j=0 для резольвентных операторов приняты обозначения

Rn = k=0j=0 47 4 u; V а;

E-Aoo- А10 - A00{t) - A10(t)

-1

Rn( 7)

1 m

27 kj k=0j=0

2тт Ш exp

2жп

-i——hkj я»Ы) = 27ГП

V ш - fy j E - A00 - Aïo - AooW - Aoo(i) - ^îoM

R(K) =

1 m fc=0 i=0

Некоторые сведения из теории функций и функционального анализа.

В этом пункте дается краткое изложение некоторых понятий и утверждений, используемых в дальнейшем.

Непрерывность, Дифференцируемость, Регулярность.

Функция и(Ь) € Н называется непрерывной в точке ¿о > если ||и(Ь) — гг(£о)||я 0 при £ —> ¿о и непрерывной на [а,Ь], если она непрерывна в каждой точке отрезка [а,Ь]. Норма непрерывной на [а, Ь] функции есть скалярная непрерывная функция.

Функция и(£) называется дифференцируемой в точке ¿о 5 если существует элемент и Е Н такой, что А*) - гг(*0) дг V о при дг о. я

Функция дифференцируема на отрезке (интервале, полуинтервале) , если она дифференцируема в каждой точке отрезка (интервала, полуинтервала).

Функция и{Ь) называется регулярной в области С С С, если она имеет в каждой точке этой области производную. Аналитическая функция в окрестности каждой точке ¿о € С разлагается в ряд сю ^ и(Ь) = 0)п, где ап - и(«)(*0) еЯ. п=0

Ограниченный линейный оператор ЩХ) называется регулярной функцией Л в некоторой области Б, если в каждой точке этой обла

Д(А + К) - Д(А) сти отношение --- сходится по норме пространства п п к некоторому пределу В!(А), для Я(Х) имеет место теорема Коши об обращении в нуль интеграла по замкнутому контуру.

В окрестности изолированной особой точки имеет место разлооо жение Я(Х) — ^Г^ Вп(А — Ао)п, сходящееся по норме локально п= —оо равномерно относительно А.

Особая точка Ао есть полюс, если последнее разложение содержит лишь конечное число членов с отрицательными степенями Л — Ао, если в области Д(А) имеет в качестве особых точек лишь полюса, то Я(А) называется мероморфной функцией.

Линейные операторы, замкнутость, ограниченность.

Оператор А : X —> У называется замкнутым, если из хп —>■ х, хп £ X, Ахп —>• у следует, что х Е X, Ах = у. С оператором А замкнут или не замкнут и оператор АЕ — А (с областью определения И (А)), поэтому, если существует ограниченный оператор (АЕ — А)-1, то оператор А замкнут.

Если У и Е Н\ выполнено неравенство ||Ли||#2 ^ С\\и\\н1, то оператор называется ограниченным, а наименьшее значение константы С - нормой оператора А. Ограниченный оператор непрерывен. Обратно, определенный на всем пространстве Н1 непрерывный линейный оператор ограничен.

Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он определен на всем пространстве Н\ и отображает каждое ограниченное в Нх множество в компактное множество в Н2.

Ограниченный линейный оператор А[Ь) называется сильно непрерывным, если ||А(Ь + К) — А(Ь)\\ 0 при Н —> 0.

Линейный оператор [15] А : X —У называется непрерывно обратимым, если выполнены условия:

1. Область значений 1т А — У,

2. Оператор А обратим,

3. А-1 ограничен.

Функции из некоторого множества М С С[а,ъ] называются равномерно ограниченными, если существует такая постоянная а, что |ж(£)| ^ а для всех х(£) £ М при Е [а, Ъ].

Функции из некоторого множества М Е С[0)ь] называются равностепенно непрерывными, если для любого е > 0, 3(5 > 0, зависящее только от е такое, что для любых £], ¿2 £ [а> Щ, удовлетворяющих неравенству — ¿2| < <5 и для любой функции ж(£) £ М имеет место соотношение — ^

Теорема Арцела. Для того чтобы множество К С С[а,б] было бы относительно компактным, необходимо и достаточно, чтобы функции х{Ь) £ К были равномерно ограниченными и равностепенно непрерывными.

Теорема о замкнутых операторах [26]. Если А замкнутый оператор, то А + В, где В - ограниченный на В (А) оператор, также замкнутый оператор; А-1, если он существует, замкнутый оператор и множество решений уравнения Ах = 0 есть подпространство. кег А - ядро оператора А : X —У У, то есть совокупность всех решений уравнения Ах = 0, х £ X, кег Л - замкнутое подпространство (как образ точки при непрерывном отображении). 1т А - образ оператора А : X —> У, то есть совокупность тех у £ У, для которых разрешимо уравнение Ах = у. Множество 1т Л не всегда замкнуто. сокег - коядро оператора А : х —>• у определяется как фактор -пространство У\1т А. г{А) - индекс оператора А определяется как разность сНткег А — сИт сокег А = о; (А) — /3(А). Если числа а (А) и /3(А) конечны, то оператор называется фредгольмовым.

Теорема Банаха об обратном операторе [8]. Если ограниченный линейный оператор А : х у взаимно однозначно отображает банахово пространство X в банахово пространство У, то обратный оператор А-1 ограничен.

Равенство Парсеваля. Так называется равенство, выражающее квадрат нормы элемента в векторном пространстве со скалярным произведением через квадраты модулей коэффициентов Фурье этого элемента по некоторой ортогональной системе элементов.

Так, например, если функция f(t), квадрат которой интегрируем по Лебегу на отрезке [—тг, 7г], разлагается в ряд Фурье по тригонометрической системе функций оо а о v—% ~--1- у, ап cos nt + bn sin nt,

2 n= 1 то классическое равенство Парсеваля имеет вид

7Г

Л 00

Л Г ^^ / f(t)dt = f + + bl)n = 1

Если f(t) разлагается в ряд по ортогональной системе (Ъгп ехр

1 °° i 2ип п = 0, ±1,., L т. е. /(£) - Y^ fn ехР ( —t n - - A^i \ Ш х 4 ' ' гг = — оо то равенство Парсеваля записывается в виде ш

1 Г 00

1 / /^Л = £ Ц

0 п= — ОО

Для каждой почти периодической функции / оо ~ ^ ап ехр(гАпг) : М X

П = 1 имеет место равенство Парсеваля [14] оо П = 1 где (х,у) - скалярное произведение в X, ||ж|| = (ж,ж)1/2 норма в X, X - комплексное гильбертово пространство.

Лемма (Лемма 2.1)[1]. Если А б &о(¥,У) п ^ (x, у), тоУе> О Зх^(е), что имеет место неравенство ||Аи||у ^ £||и||х+Ха(£)|М1^ Уи е X С У.

Краткое содержание диссертации.

Диссертация посвящена вопросам разрешимости, нормальной разрешимости функционально - дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими и почти периодическими неограниченными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента в гильбертовом пространстве.

Первая глава диссертации содержит три параграфа и посвящена вопросам существования периодических решений уравнений

1 т к-0^=0

1 т

Ь2р0и(1) ее им*) - ее^' = №. к=07=0

В § 1.1 строится функция Грина , с помощью которой доказывается теорема единственности решения уравнения Ь2и(1) — /(£) при некоторых условиях на резольвенту оператора

1 т к=о¿=о

Теорема 1.1.1. Если спектр сг(Ар) не содержит точек действи-2тгп тельной оси -, п = 0, ±1,., и выполнены условия и) nRnWx = 0(1) 11п2-^гг||г — 0(1), |п| —> оо, то уравнение Ь2и = / при любой си - периодической функции /(¿) имеет единственное решение и(£) с периодом си и это решение дается формулой u(t) = J G(t~ s)f(s)ds.

1Во всей работе полагается выполненным условие ||Дп||х = 0(1), вытекающее из ||гаДп||х = 0(1) •

Здесь G(t — s) — функция Грина и определяется равенством

1 °° Г 2,7171 1

G(t-s) = - ]Г Rnexpli — (t-s) >. со л—' I U) п— — оо

В § 1.2 доказывается теорема о непрерывной обратимости оператора Lp : —) ПРИ Условиях на резольвенту оператора Ар : X Y.

ТЕОРЕМА 1.2.1. Если для любого п существует Rn, nRn\\x = 0(1), \\n2Rn\\Y = 0(1), п -> оо, то L'2p : х™ш) ) непрерывно обратим.

В § 1.3 доказывается теорема о непрерывной обратимости малог 2 V2,0 . тгО.О возмущенного оператора : —> ^(о •

ТЕОРЕМА 1.3.1. Пусть выполнены условия: а) Akj eJf0(Y,Y), i = 0,1,., m,

Akj e3?oo{X,Y), j = l,2,.,m, fc = 0,1; б) Vn3tfn, ||пЯп||х = 0(1), \\n2Rn\\Y = 0(1), n oo;

Тогда существует e > О такое, что при выполнении условий \\Akj(t)\\y < е, \hkj(t)\ <e,t£ (0, ш), hkj{t) е #(o,u,), j = 0,1,. ,т, к = 0,1, оператор Lp0 : —)• Y^'^ непрерывно обратим.

Вторая глава содержит два параграфа и посвящена вопросу фредт- 2 v"2,0 v Т^О.О гольмовости оператора Ьр0 : w) и Равенстве нулю индекса оператора Lp0•

В §2.1 доказывается две теоремы о конечномерности ядра и коядра оператора Lp0.

Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия: a) Vt Е 0, ш) Akj + Akj (t) Е J^fo (Y, Y) П J^ (X, Y), j ^ 1, к = 0,1,

Akj(t) непрерывно зависят от t £ (0, ш), ¥(о°ш) конечномерно. hkj(t)eH(0,uj), 0, fc = 0,l; б) Vn и tE (0, oS)

3Rn, \\nRn\\x = 0(1), ||п2Яп||у — 0(1), n^oo. Тогда ядро оператора Ь20 : теорема 2.1.2. Пусть выполнены условия: а) Vt Е 0,w) Akj + Akj(t) eJfoiY^nJfaoiX.Y), 1, ¿ = 0,1

Afcj (¿) непрерывно зависят от t E (0, a;), hkj{t)EH(0,Lu), j^Q, k = 0,1; б) Vn и tE (0,a>) ^2тгпч 2

3 Rn(t) = a;

E-Aoo- Aio - A00(t) - A10(t) nRn(t)\\x - 0(1), \\n2Rn(t)\\Y = 0(1), n oo. Тогда коядро оператора L20 : X^0^ —у конечномерно. следствие 2.1.1. Пусть выполнены условия: а) vtEOifci + 4iWeif0(y,F)nif,oo(x,y), j > 1, fc = 0,1, Akj(t) непрерывно зависят от t <G (0, cj) , hkj(t)£H(0,u), j > 0, = 0,1; б) \/n и t£ (0, uS) 3Rn и

3Rn{t) f 2тг n\

E - A00 - A10 - A00(t) - Al0(t)

-l у пД„||;г = 0(1), ||п2Лп||у = 0(1), пДп(£)||х = 0(1), ||п2Дп(г)||у = 0(1), п^оо.

Тогда оператор : —> У^'^ является фредгольмовым.

В § 2.2 доказываются две теоремы о равенстве нулю ядра и коядра оператора (£20 — ¿7) : ^о^) для больших значений 7.

Теорема 2.2.1. Пусть выполнены условия: а) А^ Е ЯоР^П&оо&У), 6 Я(0,ш), ^ = 1,2,.,т, к = 0,1; б; Уп зяп(7) =

1 к 1 4 7 / a;=0i = 0 4 / 4 nÄn(7)||x = 0(1), ||n2Än(7)l|y = 0(1), \n\ oo, lim ||Än(7)|U =0.

7-4 00

Тогда ядро оператора (Z/20 — ¿7) : X2g0^ -> У^'^ при больших значениях 7 равно нулю.

Теорема 2.2.2. Пусть выполнены условия: a; Akj+Akj(t) e^oiY^n^iX^), £G ( 0,w), /ifcj(i) G Я(0,о;), j = 1,2,. ,m, к = 0,1,*

Akj (t) непрерывно зависят от t G (0, a;), j — 0,1,., m, к = 0,1; 6) Vn и Vi G (0,a;) ЗЯП(7),

Я«Ы) 27гп 2

V" ш J 2

7 Я - Л00 - A10 - A00{t) - A10{t)

• 1 nRnm\x = 0(l), ||п2Яп(7)||у = 0(1), nRn(4,t)\\x = 0(1), ||n2i?n(7,t)\\y = 0(1), |n| 00 lim ||i?n(7)IU = 0, lim ||ЯпЫ)11х = 0, Vi G (0,w).

7—>00 7—>00

Тогда коядро оператора (L20—¿7) : Х^0^ —>• при достаточно больших значениях 7 равно нулю.

Третья глава посвящена уравнению с почти периодическими коэффициентами.

В § 3.2 доказывается теорема о существовании и единственности решения уравнения L^u{t) = f(t). теорема 3.2.1. Пусть выполнены условия: a) R{Ап) регулярна, ||ЛПД(Л„)||Х - 0(1), ||А2 Д(АП)||У = 0(1),

An| -> oo, Xn G M;

5; f(t) G п0.

Тогда существует единственное решение u(t) G П2 уравнения L2pu(t) = f(t).

В § 3.3 доказывается теорема для случая уравнения с маловозмущенными операторными коэффициентами. теорема 3.3.1. Пусть выполнены условия: а) Akj е&ор^П&оо&У), j = l,2,.,m, к = 0,1; б) R{Xn) регулярна, ||АПД(ЛП)||Х = 0(1), \\Х2ПД(А„)||У = 0(1),

А„| -> оо, An <Е Ш, п = 1,2,. ; в) f{t) е п0.

Тогда существует е > 0 такое, что если \\Akj (t) ||у ^ е, \hkj(t)\ ^ £, 0 ^ h'kj(t) ^ г < 1, t £ Ж, j = 0,1,. ,га, то существует единственное решение u(t) уравнения Lp0u(t) = /(i), принадлежащее пространству П2.

В параграфе 4 приведены примеры, иллюстрирующие абстрактную теорию.

Результаты данной работы доложены на четвертой Северо - Кавказской региональной конференции "Функционально - дифференциальные уравнения и их приложения" (Махачкала 23-25 сентября 1997 г), на семинарах кафедры математического анализа ДГУ (1996 - 1999 гг.), на годичных научных сессиях профессорско - преподавательского состава ДГУ (1996 - 1999 гг.), на конференции воронежской весенней математической школы "Современные методы в теории краевых задач, Понтрягинские чтения - X" (Воронеж, 3-9 мая 1999 г.)

Основные результаты опубликованы в работах [18] - [22]. Диссертация состоит из введения, 3 глав, 9 параграфов и списка литературы, включающего 50 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Омар Хамед Джарадат, 1999 год

1. Алиев Р. Г. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом с операторными коэффициентами. Учебное пособие. Махачкала, 1992.

2. Алиев Р. Г, Гамидов Ш. Г. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Махачкала, 1992. С. 72.

3. Амелькин В. В., Жавнерчик В. Э. //Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, №10. С. 1659 1662.

4. Грудо Э. И. //Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, №9. С. 1499 1504.

5. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967.

6. Жилевич Л. И. // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23, №4. С. 608 611.

7. Забрейко П. П., Третьякова Л. Г. // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27, №5. С. 815 825.

8. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

9. Лаптинский В. Н., Подолян С. В. Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, №10. С. 1704 1709.

10. Лебедева В. М. // Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4, №8. С. 1428 1432.

11. Лебедева В. М. // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5, №3. С. 560 562.

12. Левен Г. М. // Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложение. Межвуз. сб., Рязань. 1984. С. 94 98.

13. Левитан Б. М. Почти периодические функции. Москва, 1953.

14. Левитан Б. М. Жиков В. В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. Изд. МГУ, 1978.

15. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.

16. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.

17. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М., 1949.

18. Омар Халед. К вопросу о существовании периодических решений функционально дифференциального уравнения второго порядка. Тезисы докладов четвертой Северо - Кавказской региональной конференции, Махачкала, 1997. С. 70.

19. Омар Халед. К вопросу о существовании периодических решений функционально дифференциального уравнения с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Вестник ДГУ, естественные науки, вып. 1, 1998. С. 115 - 118.

20. Омар Халед. О существовании периодических решений функционально дифференциального уравнения второго порядка. Межвузовский сб. "Функционально - дифференциальные уравнения и их приложения", вып. 4., Махачкала, 1999.

21. Омар Халед. О существовании почти периодических решений функционально дифференциального уравнения второго порядка с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Вестник ДГУ, естественные науки, вып. 1, 1999.

22. Панов А. А. Математические заметки. Т. 64, выпуск 5, 1998. С. 720 727.

23. Плисс В. А. // Докл. АНСССР. 1959, Т. 127, №5, С. 965 968.

24. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М., 1964.

25. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4., 1959.

26. Соболев С. Л. // ДАН СССР. Т. XIVIII, №8. 1945. С. 570.

27. Третьякова Л. Г. // Вестник БГУ им. В. И. Ленина, серия 1, 1.91. С. 53 - 57.

28. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М., 1962.

29. Ухалов А. Ю. //Математические заметки. Т. 63, выпуск 3, март 1998. С. 451 456.

30. Дж. Хейл. Теория функционально дифференциальных уравнений, М.: Мир, 1984.

31. Ширикян А. Р. // Математические заметки. Выпуск 6, декабрь 1993, Т. 54. С. 146 147

32. Якубович В. А. Старжимский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.

33. Arino О., Hbid М. L. // Facta univ. Ser. math, and inf / Univ. Nis. 1995 10 - P. 71 - 79.

34. Fucik S. and Lovikar V. Periodic solution of the equation x" + g(x(t)) = p(t). Casopis pest. Mat. 100 (1975), 160 175.

35. Hill G. "Acta math.", 1886, V. 8. P. 1.

36. James R., Ward JR. Periodic solution for A class of ordinary differential equations. PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY. Volume 78, №3, march 1980.

37. Kiguradze I.//Met. Differ. Equat. and math. Phys. 1997- 10. C. 134 137.

38. Lazer A. C., On schauder's fixed point theorem and forced second -order nonlinear oscillations, J. Math. Anal. Apple. 21(1968), 421 425.

39. Levinson N., Smit О. K. " Duke math . J. ", 1942, V. 9. P. 382

40. Littlewood J. E., "Actomath" 1957, V. 97, №3 4. P. 267 - 308.

41. Massera J. L. // Boletin de la Facultad de ingeneria. 1950, vol. 4, №1. P. 37 45.

42. Minozsky N. Self excited ostillations in dynamical sustems possessing retarded actions. Y. Appl. mech 9(1942), 65 - 71.

43. Tang Baorong, Kuang Yang. // Tohoku. Math. J. 1997 49, №2. P. 217 - 239.

44. Tsvetkov D. P. // Cepguka, 1996 22, №2. P. 109 - 116.

45. Villari G. // J. of math Anal, and Appl. 1982, Vol. 86, №2. P. 379 386.

46. Villari G. // Nonlinear Anal, theory, meth. and Appl, 1983. Vol. 7, m. P. 71 78.

47. Walther H. Existence of a nonkonstant periodic solutions of a nonlinear nonautonomous functional differential equations the growth of a single species papulation . J. math. Bio 1(1975), 227 240.

48. Walther H. On a transcendental equation in the stability analusis of a growth model. J. math. Bio. 3.

49. Zaidman S. // Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. Ser 3, 1962. V. 79. P. 151 - 198.