О разрешимости функционально-дифференциального уравнения второго порядка с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Мерданова, Наима Шамильевна

• Мерданова, Наима Шамильевна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мерданова, Наима Шамильевна

Введение

Обозначения и определения. Вводные замечания

Некоторые вспомогательные предложения.

Краткое содержание диссертации.

Глава I. Теоремы существования и единственности

§1.1. Стационарные уравнения.

§ 1.2. Нестационарные уравнения.

§ 1.3. Примеры

Ф Глава II. О нормальной разрешимости

§ 2.1. Теоремы о размерностях ядра и коядра

§ 2.2. Теорема о нулевом индексе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О разрешимости функционально-дифференциального уравнения второго порядка с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве»

Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом возникают в самых разнообразных областях современной науки и техники: автоматике и телемеханике, радиоэлектронике и электрорадиосвязи, радиолокации и радионавигации ([46],[51]), в теории упругости, при изучении проблем, связанных с горением в ракетном двигателе ([19],[36],[46]), в математической теории управления [53], биолого-математической теории флуктуаций совместно живущих видов [18], при описании изменений антигенов и антител в организме [48], при описании явлений микромира, задачах теории поля, релятивистской динамике, физике плазмы, физике твердого тела [49]. Применения дифференциально - функциональных уравнений "пронизывают все ветви современной науки" ([10],с.9).

Согласно [44] дифференциальным уравнением с отклоняющимся аргументом (ДУ с OA) называется уравнение, в которое искомая функция и ее производные входят при различных значениях аргумента t. Учет "феномена запаздывания" важен для правильного качественного и количественного описания различных систем и процессов. Пренебрежение наличием даже малых запаздываний ведет к парадоксальным выводам [29].

Во многих случаях системы с последействием и запаздыванием можно рассматривать как системы с сосредоточенными параметрами, но некоторые системы имеют звенья с существенно распределенными параметрами (системы управления прокатными станами, нагревательными печами, гидротехническими сооружениями [51], биодинамические системы [18], длинные электрические линии [29], уравнение нелокальной квантовой теории поля [49]).

Первоначальное появление ДУ с OA в 18 веке связывается с именами Кондорсе, Эйлера и Бернулли. Наиболее ранние исследования задач, сводящиеся к решению ДУ с OA принадлежат Эйлеру [52]. Первая из этих задач была опубликована в его работе 1751 года "Новый метод нахождения взаимных алгебраических траекторий".

С середины 20 века теория дифференциально - разностных уравнений получила значительное развитие. Существенно способствовал этому интерес к теории автоматического регулирования. Имеется обширная библиография (главным образом относящаяся к случаю конечномерного пространства), посвященная различным аспектам этой теории. Отметим монографии А.Д.Мышкиса [44], Р.Беллмана, К.Кука [10], Дж.Хейла [55], Э.Пинни [48], Л.Э.Эльсгольца [58], С.Б.Норкина [46], Н.В.Азбелева [2], В.Г.Курбатова [34], Г.А.Каменского, А.Л.Скубачевского [24], В.Б.Колмановского, В.Р.Носова [29], А.А.Миролюбова, М.А.Солдатов [43], авторы которых внесли значительный вклад в развитие теории ДУ с OA.

Теория уравнений с OA со значениями в банаховом прстранстве в целом разработана менее, чем для уравнений без отклонений аргумента.

Уравнение = / с линейным оператором : Q) В, где В -банахово пространство, а @ - банахово пространство, изоморфное прямому произведению В х Rn, называется абстрактным функционально - дифференциальным уравнением [2]. Теория абстрактного функционально - дифференциального уравнения сформировалась за последние годы и начинает играть заметную роль в различных исследованиях. В [2] общая теория абстрактного функционально - дифференциального уравнения использована для изучения линейного скалярного уравнения п - го порядка и некоторых классов импульсивных систем, при изучении приводимости нелинейных уравнений, в математическом моделировании детерминированных линейных систем.

Основы теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторами в банаховом пространстве были заложены в работах Э.Хилле Р.Филлипса [56], К.Иосиды [23], Т.Като [27]. Дальнейшее развитие их фундаментальные результаты получили в работах С.Агмона, Л.Ниренберг [1], С.Г.Крейна [32], С.Я.Якубова [59].

Теория слабых и обобщенных решений дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве рассмотрена Лионсом Ж.-Л. и Ма-дженесом Э. в [35].

Изучением операторных интегро - дифференциальных уравнений в банаховом пространстве занимался Я.В.Быков [11].

В последнее время появилось немало работ, в которых изучаются вопросы разрешимости и устойчивости для функционально - дифференциальных уравнений в банаховых и, в частности, в гильбертовых пространствах (см. [4] - [8], [12] - [17], [38], [41], [42], а также указанную там литературу).

В работах [12] - [17] В.В.Власовым получены результаты о нетеровой и корректной разрешимости в весовых пространствах Соболева некоторых начально - краевых задач на полуоси для некоторого класса функционально - дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, включающих в себя некоторые интегро - дифференциальные уравнения, а также дифференциально - разностные уравнения с операторными коэффициентами. В [13], [15] изучены некоторые свойства оператор - функций, являющихся характеристическими многочленами уравнений u'{t) + Cu{t) + BCu(t)+ / K1(t-s)Cu{s)ds+ / K2{t,s)Cu{s)ds = f{t), t t 0 0 с компактными операторами В\ , Cj в гильбертовом пространстве. Ряд результатов о разрешимости и устойчивости для интегро - дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием приведены в работе Миллера К. [41].

Малыгина В.В. в [38] установила теоремы об устойчивости для уравнения t x'(t) + J dTR(t,s)x(s) = 0, t > г (те R+), (1) r где R : A —> £f(В) - банахова алгебра действующих из В в

В линейных ограниченных операторов с естественной нормой и единицей Е, R+ = [0,+оо); Л = {(£, s) £ R+ х : t ^ s}. При некоторых предположениях относительно функции R(t, 5), при любой начальной точке т £ Я+ решение уравнения (1) с заданными начальными условиями существует, единственно и имеет представление x(t) = C(t, т)х(т), где C(t,r) : А —> Л?(В) - функция Коши уравнения (1).

Вопросы разрешимости и устойчивости для уравнения (1) в конечномерном пространстве исследованы в [2], [3].

В работе [28] М.Квапиша установлены теоремы о существовании, единственности и сходимости последовательных приближений для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом вида оо x'(t) = F lt,x(t), J до (t,s,x(s))dsy J gi («, s, x{t - s)) dari(s, t),.

00

-»У 91 (t,s,x(t- s))d3rt(s,t) в банаховом пространстве, являющихся обобщением дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, рассмотренных в работе [44].

Некоторые результаты о разрешимости и устойчивости для уравнения ь x'(t) — f d8K(t,s)x(t — s) = f(t) в конечномерном пространстве устаноа влены в [29].

Наиболее близкими к предмету настоящего исследования являются работы Р.Г.Алиева [4] - [7] по изучению операторно - дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве вида т

Dtu(t) - J2 iAi + AJ(0] u (t - hj - hj(t)) = f(t) (2) j=о

Алиевым Р.Г. получены условия на резольвенту -R(A), коэффициенты Aj, Aj(t), отклонения аргумента hj, hj(t), j = 0,ra и правую часть f(t), обеспечивающие однозначную и нетеровую разрешимость уравнения (2), устойчивость и асимптотическую устойчивость решений уравнения (2). Причем было доказано существование как односторонних, так и двусторонних, т.е. существующих на всей оси, решений. Были также исследованы вопросы разрешимости и устойчивости для уравнения (2) с периодическими и почти - периодическими коэффициентами и отклонениями аргумента.

Целью настоящей диссертации является изучение функционально -дифференциального уравнения второго порядка

1 / т

Lpou(t) =D2tu{t) - Y, Е + А*№ fc=0 \j=0 b J dr [Ak{r) + Bk(t,T)]ST a t > to ^ —oo, —oo < a ^ b < oo, коэффициентами которого являются оператор - функции, принимающие значения в множестве, вообще говоря, неограниченных операторов,

D}u(t) = f(t),

3) действующих в гильбертовом пространстве. Рассматриваются случаи как постоянного, так и переменного запаздывания.

Такое уравнение до настоящего времени не было исследовано.

Нами получены условия, обеспечивающие корректную разрешимость уравнения (3) в пространствах с экспоненциальным весом вида exp(2at), a€l, исследована нормальная разрешимость уравнения в смысле конечномерности ядра и коядра оператора Lpo. Условия накладываются на резольвенту, оператор - функцию, являющуюся квазимногочленом данного уравнения, операторные коэффициенты, отклонения аргумента и правую часть.

Отличие приводимых в данной работе результатов от предыдущих состоит, прежде всего, в иной интерпретации решения, представления его в явном виде, наложении условий на резольвенту, переменные отклонения аргумента. Наличие в уравнении "распределенного запаздывания" требует менее ограничительных условий на оператор - функцию Bk(t,r).

Обозначения и определения.

Вводные замечания

X,Y - гильбертовы пространства с нормами Ц'Ц^, ||-||Y ■> X С Y,

IMIy ^IMIx, Уисх.

B(X,Y) — пространство линейных ограниченных операторов, отображающих X в Y. u(t) - абстрактная функция действительного аргумента t со значениями в X.

Функция u[t) 6 X называется сильно непрерывной в точке to» если \\u(t) — u(to)\\x —У 0 при t —> to и сильно непрерывной на [а, Ь], если она непрерывна в каждой точке отрезка [а, Ъ]. Норма непрерывной на [a, b] функции есть неотрицательная скалярная непрерывная функция.

Операторная функция A(t), определенная на множестве Е С Ж и со значениями в В(Х, Y) непрерывна в точке t = to в смысле сильной операторной топологии, если lim j|(^4(£) — A{to)) = 0 при любом х Е X и непрерывна в точке t = to в смысле равномерной операторной топологии, если lim \\A(t) — А(£о)||у = 0 [56]. t—*to

Векторная функция u(t) G X, определенная на промежутке (а, 6) сильно дифференцируема в точке t = to, если существует такой элемент «'(to) € X, что ц('о+Д)-Ц(*о) 0} когда 6 0 X

При этом и'(to) называется сильной производной функции u(t) в точке to [56] .Сильно дифференцируемая функция, очевидно, сильно непрерывна.

Дифференцируемая в области Q) комплексной плоскости функция u[t) называется регулярной, или аналитической или голоморфной в Я. Операторнозначная функция Я(А) £ B(X,Y) регулярна, если она дифференцируема по норме в каждой точке комплексной области. В том случае, когда R(А) € B(X,Y) регулярна и существует оператор Я(Ло)"1 £ B(Y,X), функция Д(А)-1 существует, принадлежит B(Y,X) и регулярна для достаточно малых |Л — Ло| [27]. Для R(X) имеет место теорема Коши об обращении в нуль интеграла по замкнутому контуру. В окрестности изолированной особой точки Ао имеет место разложеоо ние R(А) = ^ Ап(А — Ао)п, сходящееся по норме локально равноп=—оо мерно относительно А. Особая точка Ао есть полюс, если последнее разложение содержит лишь конечное число членов с отрицательными степенями А — Ао. Если в области $ R(А) имеет в качестве особых точек лишь полюса, то R(А) называется мероморфной функцией в [32].

Векторная функция u(t), заданная на промежутке [а, Ъ] и со значениями в X, называется функцией с ограниченным изменением, если sup oo при любом выборе конечного числа непересекающихся промежутков () в [а,6]; с ограниченным сильным изменением, если sup — u(aji)|| < оо по всевозможным разi биениям промежутка [а, Ь]. Указанные точные верхние грани называются соответственно полным и полным сильным изменением функции u(t) на [а, 6]. Любая функция с ограниченным сильным изменением является функцией с ограниченным изменением. Векторная функция с ограниченным сильным изменением на [а, 6] со значениями в X может иметь не более счетного числа точек разрыва, и в любой точке промежутка [а, Ь] существуют ее односторонние пределы [56].

Говорят, что последовательность un(t) сходится к u(t) почти всюду на [а, Ь], если существует такое множество Е меры нуль , что lim ||un(<) — u(t)\\х = 0 при любом t € [а, 6] \ Е. п—►оо

Функция u(t) называется счетнозначной, если она принимает не более счетного числа значений, причем каждое из своих значений, отличное от 0, она принимает на некотором измеримом множестве.

Функция u(t) называется сильно измеримой, если существует последовательность счетнозначных функций, сходящаяся к u{t) почти всюду на [а, Ь].

Операторная функция A(t) со значениями в В(Х, У) называется сильно измеримой на Е Cl, если при любом х G X векторная функция A(t)(x) сильно измерима в смысле предыдущего определения.

Оператор А : X —> У называется замкнутым, если из хп € @(А), |\хп ~ ®о||х 0> \\Лхп - 2/011У о, следует, что х0 £ @(А) и Ах0 = уо.

Линейный оператор А : X —► Y называется ограниченным, если Щг/||г ^ С для всех u £ @(А). Нормой ограниченного оператора А называется число ||Л|| = sup {||Ли||; ||и|| ^ 1,и Е @(А)} .

Класс замкнутых линейных операторов, определенных на всем пространстве (или на замкнутом линейном множестве), совпадает с классом ограниченных линейных операторов. Однако, если рассматривать замкнутые линейные операторы на линейном (незамкнутом) множестве, то они образуют существенно более широкий класс, чем ограниченные операторы [26].

Линейный оператор А называется вполне непрерывным, если он определен на всем пространстве X и отображает каждое ограниченное в X множество в компактное множество в У.

Пусть А : X У - замкнутый линейный оператор с @(А) = X. Из общего курса функционального анализа известно, что замыкание области значений каждого из операторов А и А* является ортогональным дополнением ядра другого: R{A) = N{A*)*~, R(A*) = N(A)1-.

Оператор А называется нормально разрешимым, если R(A) = А^Л*)-1-. Согласно теореме Хаусдорфа [56] для нормальной разрешимости оператора А необходимо и достаточно, чтобы R{A) = R(A). Нормально разрешимый оператор А называется фредгольмовым, если п(А) = dimN(A) < +00, п(А*) = dimN(A*) < +00. Число а = = п{А) — п(А*) называется индексом оператора А.

Замкнутый оператор А называется корректно разрешимым на R( А), если он одновременно однозначно и нормально разрешим. Иными словами, оператор А корректно разрешим на R(A), если он обратим и А~1 непрерывен [54].

Линейный оператор А : X —> У называется непрерывно обратимым, если выполнены условия:

1)область значений ImA = У,

2) оператор А обратим,

3) А'1 ограничен [54].

Еп - п - мерное евклидово пространство, К1 = R, = (£о,+оо), (-00 ,г0]г

Носителем определенной и непрерывной на открытом множестве Gel функции u(t) называется множество {t : u(t) ф 0} П G.

С - плоскость комплексного переменного.

Cq3(G) - множество бесконечно дифференцируемых на открытом множестве G функций с компактными в G носителями.

Lii^) ~ пространство суммируемых с квадратом на интервале / СМ скалярных функций.

LP (R+, X) - пополнение множества сильно непрерывных функций с компактными носителями и со значениями в X по норме оо \ Р

J \\u(t)fxdtj , 1 < оо.

Пусть дана монотонная неубывающая ограниченная функция a(t) (—00 <t< 00). Примем, что она нормирована при помощи соотношения a{t — 0) = с(£). С помощью этой функции можно построить меру подобно тому, как строится мера Лебега. Обозначим L^ - линейное пространство всех о - измеримых функций f(t), для которых конечен

ОО 2 интеграл Лебега - Стилтьеса f |/(£)| da{t). В метрике, порождаемой оо оо скалярным произведением (/, д) = f f(t)g(t)da(t), это пространство оо становится гильбертовым. В L2a, как и во всяком евклидовом пространстве выполнено неравенство Коши - Буняковского, которое в данном случае имеет вид оо \ ^ оо оо

J №Wd*(t)\ < J \f(t)\2d*(t) J \g(t)\2da(t)

-сю / —оо —оо см. например, [9], с.45). х:

•to ~ пополнение множества функций u(t), u(t) = 0, t ^ с + компактными носителями и со значениями в X, имеющих сильно непрерывные первые производные в X, сильно непрерывные вторые производные в У по норме оо

I e2at (|Wt)ll* + \W(t)fx + IKMIIJ-) Л to a = const € R.

- пополнение множества сильно непрерывных функций u(t),

R+ u(t) = 0, t ^ to, с компактными носителями и со значениями в У по норме оо

I e^\\u(t)\\2Ydt to

Ради краткости для норм в этих пространствах введем обозначения:

IHIRy > IHIr'«O •

H(to, оо) - множество абсолютно непрерывных при t ^ to скалярных функций h(t), у которых в точках существования производной h'(t) < г < 1 и t - h(t) +00 при t +00.

Н(—оо, +оо) = НШ и для h(t) Е HR требуем, чтобы £ — h(t) —> ±00 при £ —У ±оо.

Sh{t)u{t) deJ u(t - h(t)), Sm : L2 X2 .

В диссертации изучается уравнение вида (3) с неограниченными замкнутыми операторными коэффициентами Akj, Akj(t) : Y —> Y, 9{Aki) = =X CY, D* = frgg, к = 0,1,2, причем Akj-(t),

Bk(t,r) измеримы no t,

Лк(т) : X Y, Bk(t,r) : X —> Y - оператор - функции с ограниченным изменением по т в равномерном смысле supElHfcfa) ~ ^fe(r»-i)llr ^ с < оо, p{t) = siip]Pl№(*>7*) ~ В kit, Ti-i)\\y ^ с < оо * по всевозможным разбиениям промежутка [а, 6] и для любого и Е X выполнены неравенства:

Akju\\Y < С |М|Х , \\Akjit)u\\Y < С ||и||х , о

J dAkir)u х' о

J dTBkit, т)и

CIM

X ' j = 0,m, к = 0,1.

Интегралы понимаются в смысле Лебега - Стилтьеса [56]. Обозначим = \\Akj\\x+Y' = °'т' к = 0,1.

XyY - гильбертовы пространства, Ц-Ц^ ^ » = ^fco к = 0,1; hkj(t) е H(t0,+oo), j = 0~m, к = 0,1. Пусть

1 / m

Lpo = D\ - J2 К] ИЪ" + (*)] 5fcjIJ+ftw (0 + fe=o \i=o 0,

JdT [Ак(т) + Bk(t, t)} St j Dkt : X^ У^.

Тогда уравнение (3) перепишется в виде

LPouit) = f(t).

4)

Под решением уравнения (4) понимается функция u(t), сильно абсолютно непрерывная в X, имеющая сильно абсолютно непрерывную производную в Y я удовлетворяющая уравнению (4) почти всюду.

Если решение u(t) ищется на полуоси [£о,+оо), то рассматривается основная начальная задача u(fc)(0 = 9k(t)y te[t0- h,t0], где h = inf {t - hkj(t),t- r} . t^t Q j=0,m к=0,1

Помимо основной начальной задачи в диссертации исследован вопрос двусторонних решений, т.е. решений, существующих на всей действительной оси.

Для уравнения (4) операторнозначную функцию

1 / m

L{X,t) = Х2Е - ]Г A* ( ]Г [Л*,- + ezp (-a [Л*,- + hkj(t)}) +

ЬП \i — n fc=o 4 j=0 b

J dT lAk{r) + Bk(t,r)]exp{-iXr a назовем переменным операторным пучком. Операторнозначную функцию

L( А) =

1 / m

-£Хк I ^ Akjexp (-iXhkj) + / £^4*;(т)е:гр(-гАт) fc=0 V=o { назовем постоянным операторным пучком [39].

Оператор - функции L-1(A,£) = Д(А,£), L-1(A) = ЯР(А) назовем резольвентами, соответствующими переменному и постоянному пучкам.

Напомним, что

ДР(А)||Х - sup ||u||y , ||ЛР(А)||У - sup .

Множество комплексных чисел Л, при которых область значений Im{L{Л)) плотна в пространстве Y и оператор L{А) обладает непрерывным обратным оператором ДР(Л) называется резольвентным множеством пучка и обозначается p(L(Л)).

Дополнение резольвентного множества p(L(X)) до комплексной плоскости С называется спектром пучка L(X) и обозначается u(L(Л)). Спектр сг(ЦА)) можно разбить на три непересекающихся множества: a(L{\)) = Ра U От U Ra.

Ра - множество комплексных чисел Л, при которых оператор L{А) не имеет обратного; Ра называется точечным спектром оператора

ДА).

До G Pff, если 3<£о ф 0, (ро G X, такой что L(Ao)<^o = 0.

Са ~ множество комплексных чисел А, при которых оператор L(А) обладает обратным оператором с плотной в Y областью определения, но оператор RP(X) не является непрерывным; Са называется непрерывным спектром оператора L(А).

А о G Са, если 3<рп G X, \\ipn\\x = 1и lim IW-M^nlly = 0.

71—ЮО

Ra - множество комплексных чисел А, таких что L{А) имеет обратный оператор, область определения которого не является плотной в У; Ra называется остаточным спектром оператора L(А). Ао € Ra, если 3tp Е Y, (р ф 0 такой, что для любого ф 6 X

Ь(\0)ф,1р)у = 0.

Некоторые вспомогательные предложения Преобразование Фурье [30] функции /(£) е L2(R,J7)} где Н гильбертово пространство, определяется как N

А) = l.i.m.-jU [ exp(—iXt)f(t)dt. N->oo^/27T J -N

Под l.i.m. понимается предел no L2(R, Я) -норме. Функция оо g(t) = l.i.m. — f exp(iXt) f(X)dX N-+00 л/2тг J оо называется обратным преобразованием Фурье функции /(А).

Теорема Планшереля [30]. Преобразование Фурье переводит функции из L2(R, Я) в L2(R, Я). Точнее, если f(t) € L2(R, Я), то функция n

А) = U.m.-L [ exp(—iXt)f(t)dt N->ooy/27T J -N существует и /(A) € Ь2(Ш, Я). При этом

X) оо

I ||/(А)||^А= J \\f(t)\\2Hdt, оо —оо N

0 = 1ллп --L f exP(iXt)f(X)dX.

N-Юо -у 27Г У

-N

Из этой теоремы следует, что если ImX = а^0, то оо ||/(А)||^А= J exp(2at)\\f(t)\\2Hdt.

1тпХ=а —оо

Теорема Пэли — Винера [23]. Целая голоморфная функция /(А) является преобразованием Фурье оо

ДА) = J exp(—iXt)f(t)dt оо функции f(t) G Cg°(R), носитель supp f(t) которой содержится в отрезке а пространства R тогда и только тогда, когда для любого целого N существует положительная постоянная Сдг такая, что

А) ^ Civ(l + \M)~N exp (a \ImX\). н

Теоремы о замкнутых операторах ([21], [56]). Если А : X -» —> Y - замкнутый оператор, а В - ограниченный линейный оператор, действующий из 9(B) С X в Y , причем 9(A) С , то А + В на 9(A) представляет собой замкнутый линейный оператор.

Теоремы об обратных операторах [54]. Линейный оператор А : X -> Y непрерывно обратим тогда и только тогда, когда R(A) = Y и для некоторой постоянной т > 0 и для всех х 6 9(A) выполняется неравенство ^ т ||а:||х .

Пусть А - линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий банахово пространство X на банахово пространство У. Тогда обратный оператор А~1 ограничен.

Оператор Асуществует и одновременно ограничен на R(A) тогда и только тогда, когда для некоторой постоянной т > 0 и Vx € 9(A) выполняется неравенство ^ т .

Теорема Коши [27]. Если f(z) аналитична в некоторой полосе а ^ Imz ^ 6, причем f(z) равномерно стремится к нулю при \z\ —> оо в этой полосе, то контур интегрирования можно произвольно деформировать в этой полосе. В частности, все контуры Imz = I эквивалентны между собой, т.е. интеграл / f(z)dz не зависит от I при а ^ I ^Ь.

Imz=l

Краткое содержание диссертации

Представляемая диссертация состоит из введения, двух глав, которые подразделены на 5 параграфов и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мерданова, Наима Шамильевна, 2003 год

1. Agmon S., Nirenberg L. Properties of solutions of Ordinary Differential Equation in Banach Space // Comm. on pure and appl. Math. V. 16. 1963. P. 121-239.

2. Азбелев H.B., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

3. Азбелев Н.В., Сулавко Т.С. К вопросу об устойчивости решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. Т. 10, № 12. 1974. С. 2091-2100.

4. Алиев Р.Г. О разрешимости уравнений с отклоняющимся аргументом в гильбертовом пространстве // ДАН СССР. Т. 274, № 6. 1979. С. 1289-1291.

5. Алиев Р. Г. К вопросу о необходимых и достаточных условиях однозначной разрешимости уравнений с отклоняющимся аргументом и неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве // ДАН СССР. Т. 267, № 1. 1982. С. 11-14.

6. Алиев Р.Г. Об устойчивости решений уравнений с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве // Диффференц. уравнения. Т. 23, № 4. 1987. С. 555-568.

7. Алиев Р.Г. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом с операторными коэффициентами. Махачкала: Изд-во Даг-госуниверситета, 1992.

8. Асланов Г.И. О дифференциальных уравнениях с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве // Матем. заметки. Т. 53, № 3. 1993. С. 153-155.

9. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Харьков: Вища школа, 1977.

10. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

11. Быков Я.В. О некоторых задачах теории интегро-дифференциальных уравнений. Фрунзе: Изд-во КГУ, 1957.

12. Власов В.В. Об одном классе дифференциально-разностных уравнений в гильбертовом пространстве и некоторых спектральных вопросах // Доклады РАН. Т. 327, JY* 4-6. 1992. С. 428-432.

13. Власов В.В., Малыгина В.В. О корректной разрешимости линейных дифференциальных уравнений с последействием в гильбертовом пространстве // Дифференциальные уравнения. Т. 28, № 5. 1992. С. 901-903.

14. Власов В.В. О некоторых свойствах решений линейных дифференциальных уравнений с последействием в гильбертовом пространстве // Известия вузов. Математика. JVa 5. 1993. С. 24-35.

15. Власов В.В. О поведении решений одного класса функционально -дифференциальных уравнений на полуоси и некоторых спектральных вопросах // Известия вузов. Математика. Т. 12. 1992. С. 11-20.

16. Власов В. В. О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве // Мат. сборник. Т. 186, № 8. 1995. С. 67-92.

17. Власов В. В. О некоторых спектральных вопросах, возникающих в теории дифференциально-разностных уравнений // УМН. Т. 53, №4.1998. С. 217-218.

18. Волътерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982.

19. Volterra Е. On elastic continua with hereditary characteristics //I. Appl. Mechanics. V. 18. 1951. P. 273-279.

20. Далецкий Ю.Л., Фомин С. В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. М.: Наука, 1983.

21. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962.

22. Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука, 1991.

23. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

24. Каменский Г.А., Скубачевский А.Л. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.: Изд-во МАИ, 1992.

25. Камке Е. Интеграл Лебега-Стилтьеса. М.: Физматгиз, 1959.

26. Канторович Л.В., Акилов Т.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

27. Като Т. Теория возмущения линейных операторов. М.: Мир, 1972.

28. Квапиш М. О существовании и единственности решений уравнений с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Т. 4. 1967. С. 96-109.

29. Колмановский В.В., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

30. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.

31. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Труды ММО. Т. 16. 1967. С. 209-292.

32. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

33. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971.

34. Курбатов В.Р. Линейные дифференциально разностные уравнения. Воронеж. Издательство ВГУ, 1990.

35. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

36. Локшин А.А., Суворова Ю.Л. Математическая теория распростра-^ нения волн в средах с памятью. М.: Изд-во МГУ, 1982.

37. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М.: Высш. школа, 1982.• . ■

38. Малыгина В.В. Некоторые признаки устойчивости уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. Т. 28, JY* 10. 1992. С. 1716-1723.

39. Маркус А.С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. Кишинев.: Штиинда, 1986.

40. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977.

41. Miller R.K. An integrodifferential equation for rigid heat conductors with memory // J. of Math, and Anal. Appl. V. 66. 1978. P. 313-332.

42. Милославский А.И. О дестабилизирующем воздействии малого демпфирования на абстрактные неконсервативные системы // УМН. Т. 41, № 1. 1986. С. 199-200.

43. Миролюбов А.А., Солдатов М.А. Линейные неоднородные разностные уравнения. М.: Наука, 1986.

44. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.

45. Мышкис А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // УМН. Т. 32, JV« 2. 1977. С. 173-202.

46. Норкин С. Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1965.

47. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1984.

48. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: ИЛ, 1961.

49. Писаренко В. Г. Проблемы релятивистской динамики многих тел и нелинейной теории поля. Киев: Наукова думка, 1974.

50. Пламеневский Б.А. О существовании и асимптотике решений дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве // Изв. АН СССР. Сер. Математ. Т. 32, № 6. 1972. С. 1348-1401.

51. Рубаник В.П. Колебания сложных квазилинейных систем с запаздыванием. Минск: Университетское, 1985.

52. Серебрякова И. В. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом в XYIII столетии // Материалы Третьей ВсесоюзнойМежвузовской конференции по теории и приложениям ДУ с OA. Сентябрь, 1972. Черновцы, 1972.

53. Солодов А.В., Солодова E.JI. Системы с переменным запаздыванием. М.: Наука, 1980.

54. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Мир, 1984.

55. Хейл Дэю. Теория функионально дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1984.

56. Хилле Э.} Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962.

57. Чистяков В. В. Об отображениях ограниченной вариации со значениями в метрическом пространстве // УМН. Т. 54. 1999. Вып. 3(327).

58. Элъсгольц Л.Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

59. Якубов С.Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: ЭЛМ, 1985.

60. Мерданова Н.Ш. Необходимые и достаточные условия обратимости оператора с распределенным запаздыванием в гильбертовом пространстве // Сб. Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Махачкала: Изд-во ДГУ. 2000. Вып. 4. С.58-64.

61. Мерданова Н.Ш. О разрешимости уравнения с распределенным запаздыванием с маловозмущенными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве // Вестник ДГУ. Естественные науки. Махачкала: Изд-во ДГУ. Вып. 1. 1999. С. 64-67.

62. Мерданова Н.Ш. О нормальной разрешимости абстрактного ФДУ 2-го порядка в гильбертовом пространстве // Деп. в ВИНИТИ 10.08.00, №2217-В00. -13 с.