Нестационарные процессы в упругих волноводах при преодолении критической скорости подвижной нагрузкой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Гаврилов, Сергей Николаевич

• Гаврилов, Сергей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гаврилов, Сергей Николаевич

Оглавление

Введение

1 Библиографический обзор

2 Общие соотношения

2.1 Постановка задачи

2.2 Фундаментальное решение

2.3 Интегральное представление для перемещений

2.4 Непрерывность решения

2.5 Представление для пространственной производной перемещений

2.6 Распределенная нагрузка

2.7 О методе стационарной фазы

3 Движение с постоянной скоростью

3.1 Случай и < с

3.2 Случай у > с

3.3 Случай V > с. Асимптотика нестационарного решения

3.3.1 Интегральное представление для перемещений

3.3.2 Асимптотическая оценка перемещений при Ь —> оо

3.3.3 Сравнение асимптотического и численного решений

3.4 Случай V — с

4 Переход через критическую скорость

4.1 Волновые процессы во время перехода через критическую скорость

4.1.1 Случай разгона

4.1.2 Случай торможения

4.1.3 Распределенная нагрузка

4.2 Асимптотика решения для больших времен

4.2.1 Интегральное представление решения для больших времен

4.2.2 Асимптотика решения позади фронта

4.2.3 Асимптотика решения перед фронтом

4.2.4 Решение комбинированной задачи

4.3 Сравнение аналитических и численных результатов

4.4 О решении Ю.Д. Каплунова и Г.Б. Муравского

4.5 Заключение

5 Нелинейный подход

5.1 Уравнения совместной динамики струны и нагрузки

5.2 Определяющее уравнение для силы в струне

5.3 Определяющее уравнение для силы сопротивления движению

5.4 Система без трения (нерезонансный случай)

5.5 Система без трения (резонансный случай)

5.5.1 Переход через критическую скорость при разгоне

5.5.2 Переход через критическую скорость при торможении

5.6 Инерционная нагрузка

5.7 Система с трением

5.8 Заключение

Выводы

Литература

А О методике численных расчетов

В Обоснование корректности формулы (4.17)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нестационарные процессы в упругих волноводах при преодолении критической скорости подвижной нагрузкой»

Введение

Актуальность темы. Задачи динамики упругих систем с подвижными нагрузками, как правило, рассматривают в стационарных постановках, полагая, что нагрузка движется с постоянной скоростью, и разыскивая стационарное установившееся решение. Имеется значительное число исследований, посвященных стационарным задачам с различными типами нагрузок и упругих волноводов, вдоль которых движется нагрузка.

Одной из интересных и важных проблем, принципиально не допускающих рассмотрения с подобных позиций, является задача о преодолении подвижной нагрузкой критической скорости волновода. Эта задача может иметь практические приложения, связанные, например, с высокоскоростным железнодорожным транспортом, где достижение одной из критических скоростей — скорости поверхностных волн Рэлея в грунте, на котором лежит железнодорожный путь, вполне возможно при сегодняшнем уровне развития техники [64]. Однако задачи, связанные с реальными инженерными конструкциями, чрезвычайно сложны и громоздки. Для того, чтобы исследовать их, необходимо сначала рассмотреть простые модельные задачи, чтобы отработать на них приемы преодоления математических трудностей. Поэтому в работе рассматривается простейшая модель упругого волновода — струна на упругом основании.

Цели работы:

• Исследование на основе линейной модели струны нестационарных волновых процессов, сопровождающих переход через критическую скорость подвижной нагрузки. Построение решений в форме, удобной для качественного анализа.

• Исследование адекватности выбора линейной модели для описания перехода через критическую скорость. Исследование области применимости результатов, основанных на линейной модели.

• Анализ важности учета трения, инерционности нагрузки, распределенности нагрузки при описании перехода через критическую скорость.

• Исследование факторов, приводящих к возникновению силы сопротивления движению нагрузки, а также динамики изменения этой силы при преодолении нагрузкой критической скорости.

Общая методика работы. Сформулированные задачи приводят к рассмотрению задачи Коши для уравнения в частных производных гиперболического типа. При исследовании линейных задач рассматривается обобщенная постановка задачи Коши; подвижная нагрузка моделируется дельта-функцией Дирака. Решения строятся методом интегральных преобразований. Для вычисления асимптотик решений для больших времен используется метод стационарной фазы. Проводится сравнение построенных асимптотических решений с численными результатами. При исследовании нелинейных задач формулируется задача Коши с граничными условиями на подвижной границе.

Результаты, выносимые на защиту.

• Задача о преодолении критической скорости сосредоточенной нагрузкой, движущейся по струне на упругом основании, исследо-

вана в линейной постановке. В момент преодоления критической скорости возникает сильно выраженный волновой фронт, перемещающийся вдоль струны со скоростью звука. Для больших времен. построено асимптотическое решение задачи в окрестности фронта. Качественно проанализированы волновые процессы, сопровождающие переход через критическую скорость. Сила натяжения струны и сила волнового сопротивления движению сосредоточенной нагрузки в момент преодоления критической скорости обращаются в бесконечность.

• Задача о движении сосредоточенной нагрузки по струне исследована в нелинейной постановке. Учтена взаимосвязь поперечных и продольных колебаний струны. Рассмотрены случаи разгона и торможения нагрузки. Указана область применимости результатов, полученных исходя из линейной модели.

• Причинами возникновения силы сопротивления движению являются продольные колебания струны, обусловленные как нелинейной взаимосвязью поперечных и продольных колебаний струны, так и трением в контакте между струной и нагрузкой. Получен общий вид определяющего уравнения для силы сопротивления движению. Для адекватного описания волновых процессов и силы сопротивления при преодолении критической скорости существен учет трения в контакте и инерционности нагрузки. Показана возможность преодоления критической скорости сосредоточенной нагрузкой при наличии трения.

Научная новизна и теоретическая ценность. Получены новые асимптотические решения задачи о преодолении критической скорости. Проанализированы нестационарные процессы при переходе через критическую скорость в волноводе с нелинейными упругими характеристиками. Получен общий вид определяющего уравнения для силы сопроти-

вления движению сосредоточенной нагрузки.

Практическая значимость. Построенные решения имеют наглядный характер и позволяют анализировать качественные особенности физических процессов, сопровождающих переход через критическую скорость упругого волновода. Методологические подходы, развитые в работе, могут быть использованы в более сложных и практически значимых задачах, связанных, например, с высокоскоростным железнодорожным транспортом.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по акустике при Восточно-европейской ассоциации акустиков в Санкт-Петербургском Морском Техническом Университете под руководством проф. Д.П. Коузова (1997); на международных конференциях по прикладной математике и механике САММ-97 (Регенсбург, Германия, 1997) и САММ-98 (Бремен, Германия, 1998); на XXV и XXVI Летних школах-семинарах "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" (Санкт-Петербург, 1997-1998); на VIII сессии Российского акустического общества (Нижний Новгород, 1998).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 6 работах [27, 28, 69, 26, 68, 70].

Автору приятно выразить искреннюю признательность своим научным руководителям проф. Д.А. Индейцеву и проф. П.А. Жилину за постановку задачи, обсуждение результатов и возникавших проблем при работе над диссертацией.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Гаврилов, Сергей Николаевич

Выводы

1. Анализ задачи в линейной постановке приводит к следующим результатам. В момент преодоления критической скорости возникает ярко выраженный волновой фронт, перемещающийся вдоль струны со скоростью звука. Для больших времен величина прогиба струны на фронте обратно пропорциональна корню из величины ускорения нагрузки в момент преодоления критической скорости и имеет порядок 0(£~1//2). В случае разгона позади фронта имеют место интенсивные колебания струны; перед фронтом величина прогиба быстро убывает при удалении от фронта. Построенное асимптотическое решение позволяет описать поведение струны в достаточно большой окрестности фронта. Показано, что сила натяжения струны и сила волнового сопротивления движению сосредоточенной нагрузки в момент преодоления критической скорости нагрузкой обращаются в бесконечность. Полученные результаты свидетельствуют о том, что в данном случае для корректного описания динамических процессов необходимо рассмотрение задачи на основе нелинейной модели струны.

2. В нелинейной постановке рассмотрена задача о движении сосредоточенной нагрузки. Существенным отличием такой постановки задачи является учет связи между поперечными и продольными колебаниями струны. Исследована область применимости результатов, полученных исходя из линейной модели. Показано, что в случае движения нагрузки интенсивности О(е) со скоростью, существенно отличающейся от критической, в струне возбуждаются малые поперечные колебания того же порядка и продольные колебания порядка 0(е2), которые и являются причиной волнового сопротивления движению нагрузки. В этом' случае линейная модель адекватно описывает поперечные колебания. При приближении скорости нагрузки к критическому значению решение имеет существенно нелинейный характер.

3. Линейная постановка задачи приводит к невозможности преодоления критической скорости сосредоточенной нагрузкой при разгоне даже при учете демпфирования в деформируемом основании. Распределенная нагрузка может преодолеть критическую скорость. В случае сосредоточенной нагрузки для корректного описания волновых процессов принципиально важно учесть .трение в контакте между струной и нагрузкой, что возможно лишь при нелинейном подходе. Нелинейная постановка задачи дает следующие результаты. При наличии трения переход к решению закритического типа возможен. Сосредоточенная нагрузка также сможет преодолеть критическую скорость, если ее величина в момент преодоления станет равной нулю : это может произойти из-за инерционности нагрузки. Безынерционная сосредоточенная нагрузка при отсутствии трения в контакте не может преодолеть критическую скорость.

4. Получен общий вид определяющего уравнения для силы сопротивления движению сосредоточенной нагрузки. Сила сопротивления движению появляется благодаря продольным колебаниям, возникающим, во-первых, вследствие нелинейной взаимосвязи продольных и поперечных колебаний струны, и, во-вторых, из-за трения в контакте между струной и нагрузкой.

5.8 Заключение

Ниже кратко сформулированы основные результаты, полученные при рассмотрении задачи в нелинейной постановке:

1. При движении перпендикулярной нагрузки по струне на упругом основании на нее действует продольная сила сопротивления движению, возникающая вследствие возбуждения продольных колебаний струны.

2. Имеются две причины возникновения продольных колебаний : первая — связь между поперечными и продольными деформациями струны; вторая — трение в контакте между струной и нагрузкой

3. Для системы без трения существуют два типа решений задачи: нерезонансные и резонансные. Первые характеризуются тем, что реакция струны на движение перпендикулярной малой по величине (порядка О(е)) нагрузки мала; причем движение по заданному закону может поддерживаться за счет малой (порядка 0(е2)) силы тяги. Резонансные решения возникают при попытках нагрузки преодолеть критическую скорость и имеют принципиально нелинейный характер.

4. При отсутствии контактного трения переход к решению закрити-ческого типа невозможен, если величина перпендикулярной проекции силы, действующей со стороны нагрузки на струну, все время отлична от нуля.

5. Инерционная нагрузка может преодолеть критическую скорость за счет того, что перпендикулярная проекция силы, действующей на струну, может стать равной нулю в момент прохождения через критическую скорость.

6. При наличии контактного трения возможен переход через критическую скорость нагрузкой с ненулевой перпендикулярной составляющей. Следовательно, учет контактного трения чрезвычайно важен для правильного описания динамических процессов при переходе через критическую скорость.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гаврилов, Сергей Николаевич, 1999 год

Литература

[1] Андрианов В. Л. О сопротивлении движению нагрузок вдоль упругих направляющих, вызванном излучением волн в них // ПММ. — 1993. — Т.57, №2. — с. 156-160.

[2] Андрианов B.JI., Крысов C.B. Решение одной задачи динамики упругой системы с движущейся нагрузкой методом интегральных преобразований / Дифф. и инт. уравнения : Межвуз. сб. — Горький, Изд. ГГУ, 1985. — с. 88-95.

[3] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.

— М. : Наука, 1983. — 600 с.

[4] Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований.

— М. : Наука, 1969, 1970 (в 2 томах).

[5] Волдин В.П., Лисенкова Е.Е. О движущей силе волнового транспортера // Прикладная механика. Прикладные задачи динамики и устойчивости : Межвуз. сб. — 1990. — №8. — с. 235-239.

[6] В.П. Болдин, Весницкий А.И., Лисенкова Е.Е. Элементарный волновой движитель // ДАН СССР. — 1991. — Т.318, №4. — с. 849-, 852.

[7] Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. — М. : Мир, 1968. — 276 с.

[8] Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. — М. : Наука, 1977. — 288 с.

[9] Весницкий А.И., Бурханов М. Р. Сила давления и мощность из-

лучения волн при неравномерном разгоне постоянной нагрузки вдоль упругой направляющей / Нелинейная акустика твердого тела. Сборник трудов VIII сессии Российского акустического общества [31]. — с. 52-54.

[10] Весницкий А.И., Каплан Л.Э., Крысов C.B., Уткин Г.А. Самосогласованные задачи динамики одномерных систем с движущимися нагрузками и закреплениями. — Горький : Препринт НИРФИ №159, 1982. — 25 с.

[11] Весницкий А.И., Каплан Л.Э., Уткин Г.А. Вывод естественных граничных условий для одномерных задач динамики упругих систем с движущимися закреплениями и нагрузками / Дифф. и инт. уравнения : Межвуз. сб. — Горький, Изд. ГГУ, 1982. — с. 49-65.

[12] Весницкий А.И., Каплан Л.Э., Уткин Г. А. Законы изменения энергии и импульса для одномерных систем с движущимися закреплениями и нагрузками // ПММ. — 1983. — Т.47, №5. — с. 863-866.

[13] Весницкий А.И., Крысов C.B., Съянов С. А., Уткин Г. А. Излучение упругих волн в одномерных системах с равномерно движущимися закреплениями и нагрузками. — Горький : Препринт НИРФИ №160, 1982. — 17 с.

[14] Весницкий А.И., Крысов C.B., Уткин Г.А. Постановка краевых задач динамики упругих систем, исходя из вариационного принципа Гамильтона - Остроградского. — Горький: Изд. ГГУ, 1983. — 65 с.

[15] Весницкий А.И., Лисенкова Е.Е. Принцип реализации волнового движителя при закритических скоростях и его коэффициент полезного действия. — Нижний Новгород : Препринт Нф ЙМаш АН СССР, 1991.

[16] Весницкий А.И., Лисенкова Е.Е. Частотно-энергетические соотношения для упругих волн в одномерных системах с движущимися объектами // Акустический журнал. — 1995. — Т.41, №2. — с. 209-

[17] Весницкий А.И., Лисенкова Е.Е. Кинематика волновых процессов в системах с движущимися источниками и объектами / Труды XXV-XXVI летних школ "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" [33]. — с. 4-40.

[18] Весницкий А.И., Лисенкова Е.Е., Уткин Г.А. Введение в теорию взаимодействия упругих систем с движущимся по ним сосредоточенный системами / Труды XXIII школы-семинара "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем". — СПб, ИПМаш РАН, 1996. — с. 156-187.

[19] Весницкий А.И., Потапов А.И. Теория колебаний распределенных параметрических систем. Учебное пособие. — Горький: Изд. ГГУ, 1977. — 67 с.

[20] Весницкий А.И., Потапов А.И. Переходные процессы в одномерных системах с движущимися границами / Динамика систем : Меж-вуз. сб. — Горький, Изд-во Горьковского университета, 1982. — с. 49-65.

[21] Весницкий А.И., Романов Н.Д., Уткин Г.А. О коэффициенте полезного действия волнового движителя // ДАН СССР. — 1989. — Т.308, №4. — с. 810-811.

[22] Весницкий А.И., Уткин Г.А. Движение тела вдоль струны под действием сил волнового давления // ДАН СССР. — 1988. — Т.302, №2. — с. 278-280.

[23] А.И. Весницкий, Метрикин A.B. Переходное излучение в одномерных упругих системах // ПМТФ. — 1992. — №2. — с. 62-67.

[24] Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М : Наука, 1971. — 512 с.

[25] Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. — М.: Наука, 1976. — 280 с.

26] Гаврилов С.Н. О преодолении критической скорости подвижной нагрузкой в упругом волноводе. Принято к печати в Журнал технической физики.

27] Гаврилов С.Н. Струна на упругом основании под нестационарным воздействием подвижной нагрузки / Труды XXV-XXVI летних школ "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" [33]. — с. 180-197.

[28] Гаврилов С.Н. О переходе подвижной нагрузки на струне на упругом основании через критическую скорость / Нелинейная акустика твердого тела. Сборник трудов VIII сессии Российского акустического общества [31]. — с. 48-51.

29] Горшков А.Г., Пожуев В.И. Пластины и оболочки на инерционном основании при действии подвижных нагрузок. — М.: Издательство МАИ, 1992. — 136 с.

30] Елисеев В.В. Механика упругих стержней. Учебное пособие. — Санкт-Петербург: СПбГТУ, 1994. — 8'4 с.

[31] Нелинейная акустика твердого тела. Сборник трудов VIII сессии Российского акустического общества, под ред.- Ерофеева В.И., Нижний Новгород, Издательство общества "Интелсервис", 1998.

[32] Жилин П. А. Исходные понятия и фундаментальные законы рациональной механики / Труды XXII школы-семинара "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" [34]. — с. 14-40.

33] Труды XXV-XXVI летних школ "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем", под ред. Индейцева Д.А., т. 2, СПб, ИПМаш РАН, 1998.

34] Труды XXII школы-семинара "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем", СПб, ИПМаш РАН, 1995.

35] Ишлинский А.Ю. Об уравнении продольных движений каната (упругой нити) переменной длины // ДАН СССР. — 1954. — Т.95,

№5. — с. 939-941.

[36] Каплан Л.Э., Уткин Г. А. Вывод граничных условий для одномерных задач динамики с движущимися нагрузками и закреплениями при наличии конечных связей / Динамика систем : межвуз. сб. — Горький, Изд-во Горьковского университета, 1984. — с. 123-133.

[37] Каплунов Ю.Д., Муравский Р. Б. Колебания бесконечной струны на деформируемом основании при действии равноускоренно движущейся нагрузки. Переход через критическую скорость // МТТ. — 1986. — №1. — с. 155-160.

[38] Каплунов Ю.Д., Муравский Г.Б. Действие равнопеременно движущейся силы на балку Тимошенко, лежащую на упругом основании. Переходы через критические скорости // ПММ. — 1987. — Т.51, №3. — с. 475-482.

[39] Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. — М. : Наука, 1989. — 624 с.

[40] Кохманюк С. С., Янютин Е.Г., Романенко Л.Г. Колебания деформируемых систем при импульсных и подвижных нагрузках. — Киев : Наукова Думка, 1980. — 232 с.

[41] Крысов C.B. Вынужденные колебания и резонанс в упругих системах с движущимися нагрузками. Учебное пособие. — Горький : Изд. ГГУ, 1985. — 72 с.

[42] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том И. Теория поля. — М. : Наука, 1967. — 460 с.

[43] Лебедев П.Н. Давление света / В кн. : Собр. соч. — М. : Изд-во АН СССР, 1963. — с. 368-390.

[44] Лисенкова Е.Е., M аланов C.B. Движение объекта вдоль струны под действием падающей волны // МТТ. — 1995. — №4.

[45] Максвелл Дж.К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. — М. : ИЛ, 1954.

[46] Метрикин А. В. Постановка задачи о взаимодействии движущегося точечного объекта и упругой направляющей с использованием обобщенных функций / Волновые задачи механики, сб. науч. трудов, под ред. Весницкого А.И., Ерофеева В.И. — Нижний Новгород, Нф ИМАШ РАН, 1994. — с. 32-37.

[47] Муравский Г.Б. Колебания бесконечной балки Тимошенко на упругом основании // Строительная механика и расчет сооружений. — 1979. — №6. — с. 56-61.

[48] Муравский Г.Б. Колебания балки типа Тимошенко, лежащей на упругонаследственном основании // МТТ. — 1981. — №5. — с. 167179.

[49] Муравский Г.Б., Красикова Н.П. Колебания балки на деформируемом основании при равнопеременном движении по балке сосредоточенной силы // Строительная механика и расчет сооружений. — 1984. — №3. — с. 46-50.

[50] Неронов Н.П. О некоторых вопросах, связанных с определением напряжений в подъемных канатах // ПММ. — 1940. — Т.4, №2. — с. 59-74.

[51] Николаи E.JI. К вопросу о давлении вибраций // Известия Санкт-Петербургского политехнического ин-та, отдел техники, естествознания и математики. — 1912. — Т.18, №1. — с. 49-60.

[52] О леер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. — М.: Наука, 1978. — 376 с.

[53] Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. — М.: Наука, 1981. — 800 с.

[54] Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. — М.: Наука, 1983. — 752 с.

[55] Риекстыньш Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. — Рига: Зинатне (в 3 томах).

[56] Р.А. Римский. Колебания балки на упругом основании при действии равноускоренно перемещающейся нагрузки // Научные труды Гипронииавиапром. — 1978. — Т. 17. — с. 95-104.

[57] Рэлей Дж. Теория звука. — М.: ГИТТЛ, 1944.

[58] Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. — Л.: Судостроение, 1972. — 374 с.

[59] Уткин Г. А. О краевых задачах динамики одномерных упругих систем с движущимися по ним сосредоточенными объектами // Прикладная механика: Межвуз: сб. — 1988. — №7.

[60] Уткин Г.А. Постановка задач динамики одномерных систем с движущимися по ним одномерными объектами. — Горький : Препринт Гф ИМаш АН СССР, 1988. — 32 с.

[61] Уткин Г.А. Постановка задач динамики упругих систем с движущимися по ним объектами / В кн.: Волновая динамика машин. — М.: Наука, 1991. — с. 4-14.

[62] Федорюк М.В. Метод перевала. — М: Наука, 1977. — 368 с.

[63] Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. — М.: Наука, 1968. — 344 с.

[64] Dieterman Н.А., Metrikine A.V. The equivalent stiffness .of a halfspace interacting with a beam — critical velocities of a moving load along the beam // European Journal of Mechanics (A-Solids). — 1996. — vol. 15 (1). — p. 67-90.

[65] Flaherty F. T. Transient resonance of an ideal string under a load moving with a varying speed // International Journal of Solids and Structures. — 1968. — vol. 4 (12). — p. 1221-1231.

[66] Fryba L. Vibration of Solids and Structures under Moving Loads. — Noordhoff International, Groningen, 1972.

[67] Fryba L. Effect of a force moving at variable speed along a beam // Acta Technica CSAV. — 1973. — vol. 18. — p. 54-68.

[68] Gavrilov S. Non-stationary problems in dynamics of a string on an elastic foundation under an action of moving load passing through the sound speed. To appear in Proceedings of GAMM-98.

[69] Gavrilov S. Non-stationary problems in dynamics of systems with moving loads / In ZAMM Supplement 1 for Proceedings of GAMM-97. — 1998. — p. 395-396.

[70] Gavrilov S. Non-stationary problems in dynamics of a string on an elastic foundation subjected to a moving load //To appear in Journal of Sound and Vibration. — 1999. — vol. 222 (3). — p. 345-361.

[71] Larmour I. On the dynamics radiations / In Proc. of the V Int. Congr. of Mathematicians. — Cambridge, 1902. — p. 197.

[72] Metrikine A.V., Wolfert A.R.M., Dieterman H.A. Transitional radiation in an elastically supported string. Abrupt and smooth variation of the support stiffness // Wave motion. — 1998. — vol. 27. — p. 291-305.

[73] Nicolai E.L. On a dynamical illustration of the pressure of radiations // Phil. Mag., ser. 6. — 1925. — vol. 48. — p. 171.

[74] Olsson M. On the fundamental moving load problem // Journal of Sound and Vibration. — 1991. — vol. 145 (2). — p. 299-307.

[75] Payton R.J. Transient motion of an elastic half-space due to a moving surface line load // International Journal of Engineering Sciences. — 1967. — vol. 5. — p. 49-79.

[76] Poynting J.H. Radiation pressure // Phil. Mag., ser. 6. — 1905. — vol. 9. — p. 393.

[77] Rayleigh D. On the pressure of vibrations // Phil. Mag., 2, ser. 6. — 1902. — vol. 3 (15). — p. 338-350.

[78] Suzuki S.-I. Dynamic behaviour of a finite beam subjected to travelling loads with acceleration // Journal of Sound and Vibration. — 1977. — vol. 55 (1). — p. 65-70.

[79] Vesnitskiy A.I. Wave effects in mechanics / In Proc. XXII Summer School "Nonlinear Oscillations in Mechanical Systems". — St. Petersburg, IPME RAS, 1995. — p. 78-84.

[80] Vesnitsky A.I., Utkin G.A. ' Nonlinear interaction of an elastic wave with moving load // Nonlinear World. World scientific. — 1990. — vol. 2. — p. 1318-1342.

[81] Wolfert A.R.M., Dieterman H.A., Metrikine A.V. Passing through the "elastic wave barrier" by a load moving along a waveguide // Journal of Sound and Vibration. — 1997. — vol. 203 (4). — p. 597-606.

[82] Wolfert A.R.M., Dieterman H.A., Metrikine A.V. Passing through the elastic wave barrier by a load moving uniformly along a smoothly inhomogeneous string on an elastic foundation // ZAMM. — 1999. — vol. 79 (3). — p. 179-184. .

[83] Wolfert A.R.M., Metrikine A.V., Dieterman H.A. Wave radiation in a one-dimensional system due to a non-uniformly moving constant load // Wave motion. — 1996. — vol. 24 (2). — p. 185-196.

[84] Zibdeh H.S., Rackwitz R. Moving loads on beams with general boundary conditions // Journal of Sound and Vibration. — 1996. — vol. 195 (1). — p. 85-102.