Динамика складчатых систем при подвижных нагрузках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, доктор технических наук Кадисов, Григорий Михайлович

• Кадисов, Григорий Михайлович
• доктор технических наук
• 1997

Оглавление диссертации доктор технических наук Кадисов, Григорий Михайлович

Оглавление

Введение

1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ

1.1. Прямолинейное движение материальной точки

1.2. Движение материальной точки в вязкой среде

1.3. Система с одной степенью свободы без учета затухания

1.4. Система с одной степенью свободы с учетом сил вязкого сопротивления

1.5. Вязкоупругий элемент

1.6. Деформирование вязкого элемента

2. ВРЕМЕННАЯ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

2.1. Общий случай

2.2. Движение точечной массы без учета рассеяния энергии

2.3. Движение массы в вязкой среде

2.4. Система с одной степенью свободы без учета затухания

2.5. Система с одной степенью свободы с учетом сил вязкого сопротивления

2.6. Специальный случай внешнего воздействия на систему с одной степенью свободы

2.7. Деформирование вязкоупругого элемента

2.8. Вязкий элемент

3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ

3.1. Метод декомпозиции

3.2. Вынужденные колебания линейного осциллятора

3.3. Вынужденные колебания системы с конечным числом степеней свободы

3.4. Вынужденные колебания распределенной системы при подвижной переменной

во времени нагрузке

3.5. Свободные колебания линейной системы с одной степенью свободы

без учета диссипации энергии

3.6. Колебания нелинейной системы с одной степенью свободы

4. СТАТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ СКЛАДЧАТЫХ СИСТЕМ

4.1. Расчет складчатых систем методом перемещений

4.2. Применение метода расширения заданной системы для определения матрицы реакций прямоугольной пластинки

4.3. Изгиб консольной прямоугольной пластинки

4.4. Об усечении тригонометрических рядов

4.5. Функции прогибов прямоугольной пластинки при синусоидальных смещениях

ее продольных кромок

4.6. Статический расчет складки с регулярным набором диафрагм

4.7. Статический расчет консольных складок методом компенсирующих нагрузок

5. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СКЛАДЧАТЫХ СИСТЕМ

5.1. Введение

5.2. Матрица геометрической жесткости прямоугольной пластинки

5.3. Глобальная матрица геометрической жесткости

5.4. Устойчивость свободно опертой прямоугольной пластинки, равномерно сжатой

в одном направлении

5.5. Устойчивость плоской формы изгиба двутавровой балки

5.6. Выпучивание тонкой стенки двутавровой балки в приопорных участках

5.7. Устойчивость свободно опертой прямоугольной пластинки, сжатой двумя равными

и противоположными сосредоточенными силами

6. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СКЛАДЧАТЫХ СИСТЕМ

6.1. Матрица масс прямоугольной пластинки

6.2. Применение базисных функций

6.3. Примеры

7. ВОЗДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК НА УПРУГИЕ СКЛАДЧАТЫЕ

СИСТЕМЫ

7.1. Уравнения совместных колебаний складчатой системы и подвижного механического объекта

7.2. Применение кусочно-линейной интерполяции для решения системы интегральных уравнений типа Вольтерры первого рода

7.3. Определение статических перемещений экипажа, рессор и шин

от собственного веса

7.4. Преобразование рекуррентной системы алгебраических уравнений

7.5. Вычисление амплитуд узловых перемещений и напряжений в складке

7.6. Решение задачи на собственные значения для складки

7.7. О количестве учитываемых в расчетах гармоник и собственных форм складки

7.8. Скачки контактных сил в точках перелома профиля дороги

7.9. Моделирование колебаний складки при движении одиночного автомобиля

7.10. О построении полной системы разрешающих уравнений для расчета консольных складчатых систем

8. КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ КОЛОННЫ

ПОДВИЖНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

8.1. Разрешающие уравнения

8.2. Моделирование колебаний складки при движении колонны механических

объектов

8.3. О резонансах

8.4. О коэффициенте динамичности

9. УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЕБАНИЙ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ КОЛОННЫ ПОДВИЖНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

9.1. Предварительные сведения

9.2. Основные уравнения с учетом начальных условий для подвижных объектов

9.3. Матрица перехода

9.4. Примеры

10. КОЛЕБАНИЯ СКЛАДЧАТЫХ СИСТЕМ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ ОПОРАМИ

10.1 Предварительные сведения

10.2. Свободные колебания складок с промежуточными опорами

10.3. Колебания неразрезной складки при движении колонны подвижных объектов

10.4. Пример

11. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ

Заключение

Литература

ПРИЛОЖЕНИЯ

Справка НПКУ "Омсктранспроект"

Расчет совместных колебаний пролетного строения L=33.0m и колонны автомобилей

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика складчатых систем при подвижных нагрузках»

Введение

Совершенствование методик расчета конструкций как единых пространственных систем, широкое применение ЭВМ в проектном деле, создание новых высокопрочных материалов обусловили тенденцию к уменьшению веса несущих конструкций. С другой стороны, увеличивается скорость движения и грузоподъемность транспортных средств. В связи с этим все большее значение приобретает динамика сооружений, воспринимающих подвижные нагрузки. Конструкции становятся все более чувствительными к динамическим воздействиям.

Задача о расчете упругих систем на подвижные нагрузки поставлена давно [126]. Известны четыре варианта постановки такой задачи [106]. Первый вариант сводится к построению линий влияния внутренних усилий и их загружению подвижной нагрузкой. Вторая постановка задачи характерна тем, что массой балки, ввиду ее малости по сравнению с массой подвижного груза, пренебрегают. Третья постановка отличается от второй тем, что в ней, наоборот, учитывается масса балки, массой груза пренебрегают. И, наконец, последняя — задача о движении с постоянной скоростью сосредоточенного груза наиболее сложна, так как необходимо учитывать и массу груза, и массу балки.

Изучение задачи в последней постановке рассматривалось в [17], [18], где, путем применения разложения функции прогибов балки в ряд по собственным формам, получена система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Решение ищется в виде тригонометрического ряда, и из условия существования отличных от нуля его коэффициентов определяются критические скорости подвижной нагрузки. Способ построения реше-

ния аналогичен способу решения, предложенному в [123] при построении периодических решений уравнения Матье.

В работе [20] получена система дифференциальных уравнений, описывающая колебания упругой системы под воздействием любой подвижной нагрузки для случая, когда учитываются масса конструкции и масса подвижной нагрузки. При выводе уравнений используются нормированная система собственных форм балки, понятия скалярного произведения, полная производная по времени от функции прогиба балки в точке контакта с подвижным грузом.

В связи с тем, что коэффициенты системы уравнений, описывающие колебания упругой конструкции совместно с подвижной инерционной нагрузкой, оказались изменяющимися во времени, был определен класс задач, родственных задачам, рассматриваемым в теории динамической устойчивости упругих систем [19]. Этот класс задач характеризуется периодическим изменением движущейся по балке нагрузки, например, в случае бесконечной последовательности сосредоточенных одинаковых грузов, движущихся на равных расстояниях друг от друга с постоянной скоростью по упругой балке. В этом случае период изменения коэффициентов и правой части системы дифференциальных уравнений равен периоду обращения нагрузки на балке. Система уравнений не однородная. Ее правая часть обусловлена изменением на балке вертикальных гравитационных сил. Пусть эта неоднородная система уравнений имеет некоторое стационарное решение. Исследуя его устойчивость, т.е. поведение во времени малых отклонений от стационарных колебаний, приходим к необходимости построения решений однородной системы уравнений.

Для частного случая неоднородной системы уравнений, когда шаг грузов кратен пролету балки, при учете одной ее собствен-

ной формы оказалось, что коэффициенты в левой части уравнений постоянны. Это позволило получить для вынужденных колебаний решение в замкнутой форме [5 6].

Для общего случая, когда шаг не кратен пролету балки и учитываются высшие формы колебаний, в [60] получены формулы для критических скоростей и по ним построены границы областей неустойчивости. Граница первой, главной, области неустойчивости соответствует условию существования периодических решений однородной системы уравнений. Период такого решения равен удвоенному периоду обращения нагрузки на балке. В данной задаче движущиеся грузы принимались неподрессоренными, обладающими массой; эффекты, связанные со входом очередного груза на балку, не учитывались.

Задача о движении по балке с постоянной скоростью частично подрессоренной полосовой нагрузки рассмотрена в [86], где получены формулы критических скоростей, соответствующих потере устойчивости типа дивергенции. В случае движения регулярной последовательности сосредоточенных частично подрессоренных грузов задача значительно усложняется, так как для каждого надрессорного груза следует решать задачу Коши - задачу с заданными начальными условиями. Однако и в этом случае, как показано в [64], для однородной задачи возможны колебания системы с периодом вдвое большим периода обращения нагрузки на балке. При этом будут различными всего две траектории над-рессорных грузов. Если из системы дифференциальных уравнений с помощью интеграла Дюамеля исключить обобщенные координаты надрессорных грузов, получается функционально-дифференциальное уравнение, которое может иметь периодическое решение. Задача о движении полностью подрессоренных грузов рассмотрена в [65], где построены области неустойчивости путем численного

нахождения корней характеристического уравнения. Оказалось, что критические скорости, соответствующие границам главной области неустойчивости, увеличиваются с возрастанием коэффициента возбуждения, равного отношению массы надрессорного груза к массе балки.

В работе [67] рассмотрена задача о движении регулярной последовательности частично подрессоренных грузов, получены формулы критических скоростей, при которых наступает дивергенция. Получена также система однородных алгебраических уравнений, определение корней определителя которой выполнено численно для различных соотношений шага грузов, пролета, масс надрессорных и подрессорных грузов, и таким образом построены границы областей неустойчивости типа флаттера.

Рассмотренные выше решения задач о воздействии подвижной нагрузки на упругие системы ограничивались в основном определением критических скоростей. Но для оценок динамического воздействия необходимо иметь решение в виде хотя бы зависимости прогибов балки от времени, для полной и надежной оценки необходимо знание и изменения во времени динамических напряжений. Такие решения строились численными методами со времени появления первых ЭВМ. Следует отметить применение асимптотических методов [16],[98]. В работе [96] получено численное решение для случая движения подрессоренной нагрузки. Численные решения этой задачи получены в [35], [99] с использованием схемы Штермера. Применение метода переменного масштаба времени к задаче о динамическом воздействии подвижной нагрузки на сооружения выполнено в [2 6]. Следует отметить, что в этих работах учитывается одна собственная форма изгибных колебаний балки, тем самым, как отмечается в [107], полученные в них

результаты сомнительны из-за неучета изменения во времени формы упругой линии.

В задачах о расчете упругих систем на динамические воздействия подвижных нагрузок в конце шестидесятых - начале семидесятых годов большую популярность приобрели численные методы по схемам Рунге-Кутты. Здесь, в первую очередь, отметим большой цикл работ А.Г. Барченкова [12], в которых путем численного интегрирования нелинейной системы дифференциальных уравнений решен ряд задач с учетом неровностей проезжей части на реальных мостах. В дальнейшем решения задач о колебаниях системы "мост + автомобиль" при неровной проезжей части рассматривались с применением теории случайных процессов [12] . Пролетное строение рассматривалось как конструктивно орто-тропная пластинка, параметры автомобиля принимались как для независимой подвески передней и задней осей. Вместе с тем при решении ряда задач пренебрегалось влиянием "обратной связи", т.е. влиянием колебаний пролетного строения на колебания автомобиля. При практических значениях скорости автомобиля, значительно меньших критических, и учете неровностей проезжей части при определении колебаний автомобиля и контактных усилий в шинах колебаниями пролетного строения можно пренебречь.

К настоящему времени решение задач о динамическом воздействии подвижных нагрузок на упругие системы сформировалось в несколько направлений. Это, во-первых, экспериментально-теоретические исследования, в которых на основании теории формулируется зависимость коэффициента динамичности от основных параметров системы и на основе опытных данных вводятся корректирующие коэффициенты [27]. Второе направление, широко применяемое для изучения динамики автодорожных мостов с учетом неровностей проезжей части, изложено в [7] . Наконец, от-

метим работы теоретического направления [134], в которых изучается воздействие подвижных грузов на упругие системы без каких-либо упрощений системы дифференциальных уравнений. В этих работах взамен дифференциальных уравнений получена на основе интеграла Дюамеля система интегральных уравнений относительно прогиба и скорости балки под грузом, которая решается по шагам с помощью квадратурной формулы Гаусса, в тех же случаях, когда точность формулы Гаусса оказывается недостаточной (для высших гармоник), применяются асимптотические разложения. В работе [134] показывается влияние скорости подвижной нагрузки на коэффициенты динамичности для прогибов и нормальных напряжений в балке в сечении под грузом.

Отметим, что в [134] строится решение таким образом, что на каждом шаге получаются значения обобщенных координат и их скоростей. Полный прогиб вычисляется суммированием ряда. Чтобы получить изгибающие моменты, этот ряд аналитически продифференцирован дважды.

Отмеченные выше решения с применением численных методов относятся к плоским задачам или сводящимся к ним, как, например, в [7], где производится осреднение неровностей на правой и левой колеях. Несмотря на успехи в теории, все же решение задач о воздействии подвижной нагрузки на упругие системы представляет большие трудности, которые обусловлены возможностями современных ЭВМ и используемыми численными методами.

В последнее время для динамических расчетов становится популярным метод Ньюмарка [13]. Выполнен расчет висячего моста [14 3] с применением декомпозиционного подхода. В [100] этот подход продемонстрирован на примере задачи о движении сосредоточенного груза по балке при высоких скоростях. Смысл декомпозиционного подхода заключается в следующем. Экипаж от-

деляется от несущей конструкции. За неизвестные принимаются обобщенные координаты экипажа и упругой системы, а также контактные усилия их взаимодействия. Система дифференциальных уравнений, описывающих движения раздельных экипажа и упругой системы, решается итерационно по шагам. Для контактных усилий также составлены итерационные соотношения с учетом условий существования неразрывности перемещений в точках контакта при положительных контактных усилиях. В противном случае контакт нарушается. Итерационные процедуры основаны на методе Ньюмар-ка. Отметим, что методы численного интегрирования уравнений движения динамических систем для практически важных задач продолжают совершенствоваться [144].

Расчет висячих и вантовых мостов на подвижную нагрузку с учетом нелинейных эффектов выполнен в работе [116], а с учетом выключения вант - в [42].

В работе [50] разработана безусловно устойчивая пошаговая процедура, в основе которой положены фундаментальные решения дифференциальных уравнений в частных производных. В дальнейшем она применена в специальных задачах динамики мостов [51], [52] .

О важности исследования динамики пролетных строений мостов говорит и тот факт, что имеются публикации о гашении колебаний таких конструкций [49]. В работе [82] рассматривается аэродинамика мостов. Методы исследования, в том числе и численные, аэроупругих колебаний сооружений в ветровом потоке изложены в [40] . Там же отмечается, что в связи развитием эффективных численных методов теории колебаний появляется возможность "ставить . .. вычислительные эксперименты, связанные с созданием более точных динамических моделей, на степени адекватности которых не сказываются ограниченные возможности

традиционных методов". Эффективность одновременного использования вычислительного и физического экспериментов продемонстрирована в работе [8] при исследовании общих закономерностей развития хаотических колебаний на примере радиофизических систем.

В настоящей работе предложено применить декомпозиционный подход к задаче воздействия подвижных нагрузок на складчатые системы без каких-либо упрощений. Расчет складчатых систем, состоящих из жестко соединенных по продольным кромкам прямоугольных пластинок и опертых шарнирно по торцам, на статические нагрузки разработан в [119] и [124] . Там же приводится методика расчета таких же систем на свободные колебания. Приведен пример расчета двухреберного пролетного строения для случая движения по нему двух сил, имитирующих движение по мосту колесной пары [119].

Статический расчет складок основан на методе перемещений [3] , при этом используются готовые решения для плоского напряженного состояния и изгиба пластинок. Метод предложен задолго до появления МКЭ и вместе с тем содержит основы последнего .

Метод перемещений основан на разложении перемещений складки в одинарные тригонометрические ряды по продольной координате, коэффициенты рядов определяются по коэффициентам аналогичных рядов, представляющих перемещения узловых линий складки и являющихся в данной задаче обобщенными перемещениями при деформировании складки по синусоиде (косинусоиде) п-й гармоники. За обобщенную силу принимается в векторном смысле реакция складки при соответствующем ее деформировании. Реакции отдельных пластинок вычисляются по формулам, полученным методами Файлона и Леви.

В [5 9] для реакции прямоугольной пластинки получены другие формулы путем применения метода расширения заданной системы, считая, что напряженно-деформированное состояние (НДС) рассматриваемой пластинки равно сумме НДС в двух полубесконечных пластинках, накрывающих заданную и деформированных в продольном направлении по синусоиде (косинусоиде) п-й гармоники .

Отметим, что в [119] предложен и смешанный метод расчета складчатых систем, имеющих промежуточные опоры, в котором реакции в них считаются неизвестными. Смешанный метод можно охарактеризовать как декомпозиционный.

Ниже в работе на основе метода декомпозиции рассматривается решение задач динамики складчатых систем с подвижной нагрузкой, представленной одним или несколькими механическими объектами, имитирующими реальные автомобили. В отличие от работы [100] подвижной объект разделяется на отдельные элементы: на пространственное твердое тело (кузов), точечные массы (колеса), вязкоупругие элементы (рессоры и шины). Это вызвано желанием выделить элементы с нелинейной зависимостью их реакций от деформаций и скоростей. За основные неизвестные принимаются реакции вязкоупругих элементов (контактные усилия взаимодействия складки и автомобиля и усилия в рессорах).

В результате составлена полная система дифференциальных уравнений относительно неизвестных перемещений отдельных элементов и сил взаимодействия последних. В работе [100] решение аналогичной системы производится шаговым методом типа Ньюмар-ка. Ниже дифференциальные уравнения заменяются интегральными уравнениями типа Вольтерры первого рода [30] относительно неизвестных усилий в вязкоупругих элементах, что аналогично методу сил в статике сооружений. Численное решение интегральных

уравнений Вольтерры первого и второго рода выполнялось в связи с решением задач вязкоупругости [10,5,111]. Согласно теории [91], вычисления для обеспечения устойчивости счета должны быть точными. В [30] из квадратурных схем рекомендуется формула правых прямоугольников. В [5] предложено принять в пределах шага неизвестное усилие постоянным и после интегрирования получить формулу, аналогичную процедурам осреднения в асимптотических методах Боголюбова-Митропольского. В задачах колебаний деформируемых вязкоупругих тел предложена [130] кусочно-линейная аппроксимация неизвестных усилий.

В работе [73] предложена временная кусочно-линейная аппроксимация реакций вязкоупругих элементов. Это позволяет составить рекуррентную систему алгебраических уравнений, из которых определяются значения контактных усилий в текущий момент времени по известным усилиям в предыдущие моменты. Кроме того, имеется возможность учесть скачкообразное изменение усилий в шине в момент, когда она находится над точкой перелома профиля.

Применение декомпозиции в данной задаче позволяет составить относительно простые дифференциальные уравнения движения отдельных элементов, перейти к интегральным соотношениям. Метод коллокаций и временная кусочно-линейная аппроксимация неизвестных дают возможность получить для относительно простых уравнений рекуррентные алгебраические соотношения. При таком подходе уравнения динамического равновесия каждого элемента соблюдаются в любой момент времени, в то время как совместность контактирующих элементов соблюдается лишь в дискретные моменты [73,75,80,81].

Рассмотрим кратко содержание данной работы. В первой главе собраны сведения о дифференциальных и интегральных уравне-

ниях, описывающих движение простейших механических объектов. Приведены только те интегральные уравнения, ядра которых либо вырождены, либо приводятся к таковым. Вторая глава содержит аналитическое интегрирование произведений ядер рассмотренных выше интегральных уравнений на базисные функции кусочно-линейной интерполяции. Приемы численного решения элементарных задач динамики методом коллокаций с использованием кусочно-линейной интерполяции предлагаются в третьей главе. В четвертой главе рассмотрены некоторые задачи статического расчета складчатых систем, в том числе складок с поперечными диафрагмами, складок с консолями вдоль пролета. Пятая глава содержит способ расчета статической устойчивости складчатых систем и приведены числовые примеры. В шестой главе дано построение матрицы масс с последующим вычислением собственных частот и собственных форм складчатых систем.

В главе 7 подробно рассматриваются алгоритмы расчета складок в случае движения одиночного механического объекта, затем в следующей главе - воздействие колонны подвижных объектов. Построены резонансные кривые и показывается возможность возникновения основных и супергармонических резонансов. В девятой главе исследуется устойчивость совместных колебаний упругой системы и колонны подвижных механических объектов.

В десятой главе рассматриваются неразрезные складки, складки с промежуточными опорами, способ решения задачи на собственные значения для таких конструкций, а также методика динамических расчетов.

В главе 11 приведен перечень разработанных программ для численного моделирования колебаний складчатых систем совместно с подвижными механическими объектами.

1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ

В данном разделе рассматриваются линейные дифференциальные уравнения и соответствующие им интегральные уравнения, которые применяются в дальнейшем для описания движения простейших механических объектов (материальной точки, линейного осциллятора, вязкоупругого элемента и т.п.). Эти все известные факты приводятся здесь для ссылок на них в последующих разделах.

Отметим, что рассмотренные ниже интегральные уравнения, как правило, имеют вырожденные ядра или могут быть сведены к ним. Применение для описания движения механических объектов интегральных уравнений с вырожденными ядрами позволяет составить, по мнению автора, однообразные вычислительные процедуры с минимальными требованиями к памяти ЭВМ и сократить время вычислений. Более сложные ядра в ряде случаев можно аппроксимировать вырожденными. Поэтому интегральные уравнения с дробно-экспоненциальными ядрами [111] здесь не рассматриваются.

Исследование в этом разделе уравнений, описывающих движение только простейших элементов, основано на том факте, что любую сложную линейную механическую систему, применяя метод декомпозиции, можно свести к ансамблю простейших, тогда уравнения движения всей системы будут состоять из уравнений движения раздельных элементов под действием внешних сил и сил взаимодействия между ними и уравнений совместности перемещений .

1.1. Прямолинейное движение материальной точки

Рассмотрим простейший случай движения точечной массы вдоль прямой линии под действием силы, переменной во времени, но не меняющей направления. На этой простой задаче покажем вывод интегрального уравнения относительно неизвестной силы X(t) при известном законе смещения точечной массы u(t). Дифференциальное уравнение движения массы следует из второго закона Ньютона: X = тй, где точками обозначено дифференцирование по времени. Запишем оба члена в левой части -тй + Х = 0. Это уравнение можно рассматривать как уравнение статического равновесия массы, на которую действуют внешняя сила X и так называемая Даламберова сила инерции I = -тй :

I + Х = О. (1.1)

Уравнение (1.1) получено с использованием принципа Далам-бера. Этот принцип будет использоваться и в дальнейшем.

Итак, уравнение движения точечной массы под действием сосредоточенной силы имеет вид

ти = X . (1.2)

Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решение уравнения (1.2) при произвольном законе изменения X(t) можно получить методом вариации произвольных постоянных. Однородное уравнение тй =О имеет два линейно независимых решения:

и: = 1; и2 =t . (1.3)

Решение неоднородного уравнения (1.2) ищем в виде

и = Схщ + С2и2, (1.4)

где Cj(i) и C2(i) предполагаются зависящими от времени t и подлежат определению. Найдем производную

и = CjUj + С2и2 + + С2й2.

Положим

С1и1 + С2и2 = 0;

(1.5)

тогда вторая производная определяется так:

й - С1й1 + С2й2 + С1й1 + С2й2.

(1.6)

Так как и^), решения однородного уравнения, то их

вторые производные равны нулю, следовательно, подстановкой (1.6) в (1.2) получим

С1й1 + С2й2 = X / т .

(1.7)

Уравнения (1.5) и (1.7) составляют систему уравнений для определения и С2$), которую запишем в матричной форме:

щ и2 у С2

и^ й2Лс

2У

\

У

1 .

Отсюда следует решение:

С, =-

Ыг

X

иги2 - и1и2 т

Сг

и,

X

и1и2 - т

(1.9)

Знаменатель в выражениях (1.9) известен как определитель Вронского и, так как ЩгЩ - линейно независимые функции, всегда отличен от нуля. Применительно к функциям (1.3) имеем

и1й2 - =1*1-0 = 1;

и выражения (1.9) упрощаются, после интегрирования получаем

1 '

С, = -— \UnXdx ; т о

С2 — — \игХйх .

т

(1.10)

о

Подставим (1.10) в (1.4), после преобразований получим

I

Ы = т \\и2 (т) - Щ (Циа (т)] • Х(х)йх .

О

(1.11)

Иначе

1 *

и = — Г(* - т)Х(т)с?т

(1.12)

Соотношение (1.12) показывает, что перемещение массы в текущий момент времени í зависит от истории нагружения, т.е. от процесса нагружения Х(т) в предыдущие моменты времени (х < Г) •

В случае, когда закон изменения во времени силы Х{Ь) известен, по интегральному соотношению (1.12) можно непосредственно вычислить перемещение массы т в любой момент времени. Если же, наоборот, известен закон и(Ь) и подлежит определению Х(Ь), уравнение (1.12) называется интегральным уравнением Вольтерры первого рода. Уравнение (1.12) справедливо при нулевых начальных условиях. В случае ненулевых начальных условий имеет место уравнение

1 '

= иа + ил + — f(i - x)X(x)dx , (1.13)

т ■>

U

т

о

где и0, uq- начальные смещение и скорость точечной массы. Пусть Х= const, тогда

X

и = un+unt + — т

' т2У X i2

V ¿JQ тп /

Получена известная формула для координаты движущейся с начальной скоростью 1>о =йо и постоянным ускорением а0 = X / т материальной точки:

и = и0 + у0 г + а0 г2 /2 . (1.14)

Пусть X = Хо1 , тогда

и = Uq + Ugt +

т

Г г2 г54 X X

v'T'T

t

х0 t

Uq + UQt +

3

m 3!

0

Таким образом, при изменении силы по линейному закону перемещение материальной точки происходит по закону кубической параболы.

1.2. Движение материальной точки в вязкой среде

Примем коэффициент сопротивления вязкой среды равным Ъ, дифференциальное уравнение движения материальной точки в вязкой среде под действием переменной силы ХЦ) имеет вид

тй + Ьй = X . (1.15)

Линейно независимые решения однородного уравнения

тй + Ьй = О (1.16)

определяются корнями характеристического уравнения тк2+ЬХ = 0 : - О ; Х2 = -Ь / т , т.е.

Ы1=1Г и.2 - ехр(-Ы/т). (1.17)

Вычислим определитель Вронского:

Ъ

ы

А = и1й9 - й7и9 = - — е т 1 2 т

(1.18)

и из (1.11), согласно (1.10), получаем

ы ы

1 ге

и = — — т

т _ g т

ъ

- —е т

ы

т.

-Х{т)(1Т = -¡(1-е о п

т

)Х{х)с1т

(1.19)

Итак, интегральное уравнение Вольтерры первого рода имеет

вид

1г( -~а-г) -г!(1-ет )Х{х)бх ° о

(1.20)

Для учета начальных условий продифференцируем (1.20):

}Х(т)С1Т, (1.21)

1\Ъ -^-г).

й = — [—е т Ъ 0т

что при í=0 равно нулю. Свободное движение материальной

точки в вязкой среде при отсутствии внешней силы

ы

Г'2

Ы т

Ъ --

и=С1+С2 е т ; й = -~етС9.

т

(1.22)

b

При t=0 uo =Ci +C2 ; й0 = - — C2 ; откуда

m

m . m

ci =uo

Полное перемещение материальной точки в вязкой среде

под действием внешней силы с учетом начальных условий:

ы ~ + ъ, >

т — 1 > —(?-т)

и = и0 + — й0{1-е т) + -\{1-е т' )Х(х)дх . (1.23)

Ъ Ъ0

В частном случае, когда Х=соп81:,

^ X ^ )

и = и0 +—й0(1-е + е т )о =

ы ^ ы

1.3. Система с одной степенью свободы без учета затухания

Колебания системы с одной степенью свободы без учета затухания под действием внешней силы X(t) описываются линейным дифференциальным уравнением второго порядка

mü + си = X . (1.24)

Линейно независимая система решений однородного уравнения тй + си = О представляется функциями: u3=sinooí; u2=cos(oí, где со -(с/т)1/2 - собственная частота. Определитель Вронского

А = u3ú2 - й2и2 = со(— sin2 oí - cos2 ©í) = -co .

Ядро интегрального уравнения

COS (OÍ sin (OX - sin (OÍ COS ЮТ sin (0 (í - т) R{t, со =--=---L. (1.25)

- 771X0 mo

Интегральное уравнение

i V

и =- sinro(í - x)X{x)dx . (1.26)

meo q

При учете начальных условий

v0 1 К

и = и0 cos roí + — sin roí +-J sin cd(í - x)X{x)dx . (1.27)

o meo q

Выражение (1.26) называется интегралом Дюамеля, оно используется для определения смещения u(t) при нестационарных колебаниях в случае действия силы X(t), изменяющейся во времени по произвольному негармоническому закону.

1.4. Система с одной степенью свободы с учетом сил вязкого

сопротивления

В случае действия сил вязкого сопротивления левая часть уравнения (1.24) дополняется членом 2Ьй, пропорциональным скорости смещения точечной массы :

mil + 2Ъй + си = X . (1.28)

Линейно независимая система решений однородного уравнения :

ъ ъ

—t —Í

и1 - е т eos coi ; и2 = е т sin соt . (1.29)

Вычислим производные:

и ь ь и b ъ

Ъ —t —t . b —t — t

й1 = - — e m coscoí-coe m sin roí; й9 = - — e m sin coi + юе m eos roí .

m m

2b

-—í

Определитель Вронского:А = cae m . Ядро интегрального уравнения

1 --(t-т)

R(t,x) =-e m sinco(í-x). (1.30'

mго

Интегральное уравнение Вольтерры первого рода

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Кадисов, Григорий Михайлович

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

1.Показано, что в задачах динамики упругих систем совместно с подвижной нагрузкой можно использовать интегральные уравнения типа Вольтерры первого рода и для их решения применять вместо метода квадратур метод коллокаций с кусочно-линейной интерполяцией неизвестных функций.

2.Предложен метод декомпозиции для решения динамических задач. Главной особенностью метода является разделение сложной пространственной динамической системы на ансамбль простейших одномерных элементов, составление для каждого из них уравнения движения при действии внешних сил и сил взаимодействия между элементами, а также уравнений совместности перемещений.

3.Получены аналитические выражения коэффициентов алгебраических уравнений, к которым преобразуются интегральные уравнения движения простейших механических объектов методом коллокаций с кусочно-линейной интерполяцией неизвестных подынтегральных функций. Эти выражения приведены путем тщательного анализа к виду, в котором для обеспечения устойчивости счета исключены неопределенности типа 0/0, 1-1 и т.п. Показана достаточная точность при использовании декомпозиции и кусочно-линейной интерполяции для решения простейших уравнений движения. Эти коэффициенты можно включить в справочники по численным методам решения интегральных уравнений.

4.Получил дальнейшее развитие метод перемещений A.B. Александрова расчета складчатых систем с применением одинарных тригонометрических рядов Фурье, получены новые функции перемещений, внутренних усилий и напряжений в пластинках, деформированных вдоль пролета по закону синуса (косинуса) n-й гармоники. В дополнительных модификациях этих функций исключены неопределенности типа 0/0, что существенно при расчете складок, в составе которых имеются узкие пластинки.

5.Даны рекомендации относительно усечения тригонометрических рядов. В отличие от методики A.B. Александрова, пригодной для плитно-балочных систем с известными точными решениями для балок, данные рекомендации распространяются на любые складчатые системы, в том числе и коробчатые. Показано, что при длине полуволны гармоники, соразмерной с характерной ячейкой поперечного сечения складки глобальное, локальное и местное напряженные состояния практически не различаются.

6.Разработана методика расчета складки с поперечными диафрагмами. Особенностью методики является введение взаимно уравновешенной системы сил взаимодействия складки с поперечными диафрагмами.

7.Предложен метод расширения заданной системы для расчетов консольных складчатых систем. Расширенная система - шарнирно опертая по торцам складка, включает заданную. Компенсирующая нагрузка, приложенная за пределами заданной, определяется из условия равенства нулю усилий и напряжений на торцах консолей .

8.Разработана методика исследования статической устойчивости складчатых систем, в которой для аппроксимации полей перемещений при выпучивании используются точные решения статической задачи.

9.Разработана методика определения собственных частот и собственных форм колебаний складчатых систем, в которой для аппроксимации полей перемещений используются точные решения статической задачи.

10.Составлена система интегральных уравнений совместных колебаний однопролетной складки и одиночного гипотетического автомобиля, а также колонны одинаковых автомобилей, движущихся по ней с постоянной скоростью. Интегральные уравнения сводятся к рекуррентной системе алгебраических уравнений с полученными аналитически по п.4. коэффициентами. В результате расчетов получаются данные для автоматического графического построения виброграмм перемещений и "осциллограмм" напряжений.

11.Предложено неравенство для учета собственных форм складки, участвующих в динамическом процессе, в котором имеет значение не только удаленность 1-й собственной частоты от первой, но и прогибы нормированной собственной формы.

12.Показана необходимость учета скачков контактных сил взаимодействия упругой системы и подвижных объектов в местах переломов профиля проезжей части в начале и в конце несущей конструкции, в противном случае вычислительный процесс оказывается расходящимся.

13.Путем численного моделирования показано наличие у однопро-летных складок множества резонансных зон при скоростях, намного меньших критической, при которой каждый автомобиль проходит пролет за половину основного периода свободных колебаний складки. Эти зоны существуют и в реально достижимом интервале скоростей современных автомобилей даже при абсолютно ровной проезжей части, при этом коэффициенты динамичности оказываются больше нормативных значений.

14.Предложен метод численного исследования устойчивости пространственных колебаний складки, по которой движется колонна одинаковых автомобилей. Особенностью метода является сведение в общем непериодической задачи к периодической "стробоскопическим" освещением. Рассчитана карта "уличного движения" мультипликаторов в зависимости от скорости колонны автомобилей, как параметра. Обнаружено, что спектр мультипликаторов состоит из жесткого и мягкого подспектров.

15.Разработана математическая модель, предложен метод расчета собственных частот и собственных форм колебаний складчатой системы с промежуточными опорами. Собственные формы такой складки представляются в продольном направлении рядами Фурье.

16.Составлено и решено уравнение частот для складки с промежуточными опорами, левая часть которого — мероморфная функция, полюсы которой равны собственным числам складки без промежуточных опор.

17.Разработаны метод, алгоритм и программа расчета совместных колебаний неразрезной складки и колонны автомобилей. Получены решения, построены резонансные кривые, дана оценка коэффициентов динамичности.

Суммируя выводы, можно заключить, что подробно разработана методика и созданы программные комплексы для проведения вычислительных экспериментов с целью исследования пространственных колебаний складчатых систем совместно с подвижными механическими объектами. В качестве несущих конструкций могут быть и другие, собственные формы которых можно аппроксимировать тригонометрическими рядами Фурье.

В целом в работе осуществлено теоретическое решение актуальной научной проблемы исследования напряженно-деформированного состояния однопролетных и многопролетных складчатых систем при неустановившихся, установившихся и резонансных режимах колебаний совместно с подвижной нагрузкой в виде одиночных и расположенных в колонне механических объектов с учетом диссипации энергии, а также устойчивости таких колебаний, что имеет важное народнохозяйственное значение.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Кадисов, Григорий Михайлович, 1997 год

Литература

1.Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек.-М.:Наука,1978.-288с.

2.Александров A.B. К расчету неразрезных балок-стенок и складчатых систем// Строительная механика: Сб.тр. МИИТ.- М. : Стройидат, 1968. - Вып.27 4.

3.Александров A.B. Метод перемещений для расчета плитно-балочных конструкций// Тр. МИИТ. -М.: Трансжелдориздат.1963. - Вып.174.

4.Александров А.В.,Лащеников Б.Я., Шапошников H.H., Смирнов В.А. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. В 2-х ч.-М.: Стройиздат, 1976.-Ч.1.-248с. -Ч.2.-237с.

5.Александров A.B., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высшая школа, 1990.-400с.

6.Алфутов H.A., Балабух Л.И. О возможности решения задач устойчивости пластин без определения начального напряженного состояния //ПММ.- 1967,- Вып.4.-С.716-722.

7.Ананьин А.И., Барченков А.Г.,Сафронов B.C. Динамика автодорожных мостов.//Динамический расчет специальных инженерных сооружений/ Под ред.Б.Г.Коренева,А.Ф.Смирнова.-М.:Стройиздат, 1986.-С.327-349.

8.Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах.-М.:Наука., 1990.-312с.

9.Арнольд В.И. Математические методы классической механики. -М.: Наука.,1989.-472с.

Ю.Арутюнян Н.Х., Зевин A.A. Расчет строительных конструкций с учетом ползучести. -М.: Стройиздат, 1988.-256с.

И.Арфкен Г. Математические методы в физике. -М. : Атомиздат, 1970.-712 с.

12.Барченков А. Г. Динамический расчет автодорожных мостов.-М.: Транспорт,1976.-199с.

13.Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. -М.: Стройиздат, 1982. -448с.

14.Безухов Н.И.,Лужин О.В. Применение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач.-М.: Высшая школа,197 9.198 с.

15.Бесселинг И.Ф. Методы конечных элементов//Механика деформируемых твердых тел: Направления развития. - М.: Мир, 1983.-346с.

16.Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука,1963.- 504 с.

17.Болотин В. В. О воздействии подвижной нагрузки на мосты// Тр. МИИТ. - М.: Трасжелдориздат, 1950.- Вып. 74.-С.5-9.

18.Болотин В. В. О динамическом расчете железнодорожных мостов с учетом массы подвижной нагрузки// Тр. МИИТ.- М. : Трасжелдориздат, 1952.- Вып. 76.

19.Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем.-М.: Гостехиздат, 1956.- 600 с.

2 0.Болотин В.В. Задача о колебаниях мостов под действием подвижной нагрузки // Механика и машиностроение.- 1961.-N 4.

21.Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. -М.: Физматгиз, 1961.-339 с.

22.Болотин В.В. Численный анализ устойчивости линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами//Избранные проблемы прикладной механики.-М.:Наука,197 4.-С.155-166.

23.Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. -М. : Наука, 1979. -336с.

24.Болотин В.В. Ресурс машин и конструкций. -М.: Машиностроение, 1990. -448с.

25.Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. -М.: Машиностроение, 1980.-376с.

26.Бондарь Н.Г., Денишенко Ю.М. Приложение метода переменного масштаба времени к решению задач о динамическом воздействии подвижной нагрузки на сооружения//Исследования по теории сооружений.-М.:Стройиздат,1965.-Вып.14.

27.Бондарь Н.Г., Козьмин Ю.Г. Динамический расчет пролетных строений железнодорожных мостов//Динамический расчет специальных инженерных сооружений/ Под ред. Б.Г.Коренева, А.Ф. Смирнова. -М. : Стройиздат,198 6.-С.2 90-327.

2 8.Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. -М.: Наука,1987.-384 с.

29.Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. - М.: Мир,1987.-542с.

30.Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: Методы, алгоритмы, программ:. Справочное пособие. -Киев: Наукова Думка, 1986.-544с.

31.Вибрации в технике: Справочник: В 6т./Под общ.ред. В.Н. Чело-мея.-М: Машиностроение, 1978.-Т.1.-352с.; 1979.-Т.2.-352с.; 1980.-Т.3.-544с.; 1981.-Т.4.- 510с.; 1981.-Т.5.-496с.; 1981.-Т.6.-456с.

32.Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. -М. : Наука,1984.-320 с.

33.Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых ситем.-М.: Наука, 1967.- 984 с.

34.Вольмир A.C., Куранов Б.А., Турбаивский А.Т. Статика и динамика сложных структур: Прикладные многоуровневые методы исследований. -М.: Машиностроение, 1989. - 248с.

35.Вольпер Д.Б., Моргаевский A.B. О динамическом воздействии подвижной нагрузки при больших скоростях движения //Исследования по теории сооружений.-М.:Стройиздат,1963.-Вып.12.

36.Воротников В.И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. -М.: Наука, 1991.-288 с.

37.Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел. - М.: Наука, 1976.-432с.

38.Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах/ С. К. Годунов, А.Г. Антонов, О.П. Кири-люк, В.И.Костин. -Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988.-456 с.

39.Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях. -М.: Мир.1970.-328с.

40.Гуляев В.И., Баженов В.А., Попов С.Л. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем. -М. : Высшая школа, 1989.- 383с.

41.Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1970,- 536 с.

42.Джахра А., Рыдченко Д.Г., Сафронов B.C. Расчет колебаний ван-тово-балочных систем при подвижной нагрузке с учетом выключения вант//Расчет прочности, устойчивости и колебаний сооружений: Сб.науч. тр./ВГУ. -Воронеж, изд-во ВГУ,1990.-С.50-59.

43.Джорж А., Лю Дж. Численное решение больших разряженных систем уравнений. -М.: Мир,1984. -383с.

44.Доннелл JI.Г. Балки, пластины и оболочки. -М. :Наука, 1986.568 с.

4 5.Доннелл Л.Г. Об удовлетворении полных граничных условий на краю пластинки//Успехи механики деформируемых сред.-М.: Наука, 1975.-С.227-235.

4 6.Ефимов П.П., Кадисов Г.М. К проектированию мостов как систем многофунционального назначения// Вопросы надежности мостовых конструкций. : Межвузовский темат. сб. -Л.: ЛИСИ.-1988. С.41-47.

47.Завьялов В.Н., Кадисов Г.М. Определение оптимальных параметров подкрепленных цилиндрических оболочек. - В кн.: Механика деформируемого твердого тела. - Тула: ТПИ,1985. -С.55-62.

48.Завьялов В.Н., Кадисов Г.М. Оптимизация подкрепленных цилиндрических оболочек. // Исследования по теории пластин и оболочек.-Казань:КГУ,1992.-№ 24. -С.67-72.

4 9.3акора А.Л., Казакевич М.И. Гашение колебаний мостовых конструкций. -М.: Транспорт, 1983.-134 с.

50.Иванченко И.И. Расчет стержневых систем с распределенными параметрами на неустановившиеся воздействия//Строительная механика и расчет сооружений.-1987. -N 5.-С.60-67.

51.Иванченко И.И. Нестационарная динамика металлических пролетных строений мостов при монтаже методом надвижки//Строительная механика и расчет сооружений.-1989. -N 5.-С.20-23.

52.Иванченко И.И. К динамическому расчету ферм мостов// Межвузовский сб. науч. тр. -М.: МИИТ. -1989.-вып. 817. С.87-89.

53.Игнатьев В.А. Расчет регулярных статически неопределимых стержневых систем. - Саратов: СГУ,1979.-296 с.

54.Игнатьев В.А., Соколов О.Л., Альтенбах И., Киссинг В. Расчет тонкостенных пространственных конструкций пластинчатой и пластинчато-стержневой структуры.-М.:Стройиздат,1996.-556с.

55.Ильин В.П., Карпов В. В. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемещениях. -Л.:Стройиздат,Ленингр.отд.,1986.-168с.

56.Кадисов Г.М. Установившиеся колебания балки под действием бесконечной подвижной регулярной нагрузки// Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1971.-№ 12,- С. 45-50.

57.Кадисов Г.М. Свободные колебания неразрезных балок на упругих опорах//Теорет. и эксперимент, исследования мостов и строит, кон-струкц.: Сб.науч.тр. №8/0мПИ.-Омск,1975.-С.5-28.

58.Кадисов Г.М. К оценке погрешности пространственных расчетов пролетных строений мостов // Теоретические и экспериментальные исследования мостов.: Межвуз. сб.- Новосибирск, 1977.- С.110-120.

59.Кадисов Г.М. Применение метода расширения заданной системы для получения матрицы реакций прямоугольной пластинки на синусоидальные смещения продольных кромок// Теорет. и эксперимент, исследования мостов: Сб. науч. тр./ СибАДИ.-Омск,1979.-С.13- 25.

60.Кадисов Г.М. Параметрические колебания упругой системы совместно с периодической по длине подвижной регулярной нагруз-кой//Теорет. и эксперимент. исследования мостов: Сб.науч. тр./ОмПИ.-Омск,1980.-С.53- 84.

61.Кадисов Г.М. Об усечении тригонометрических рядов при расчетах тонкостенных призматических плитно-ребристых систем// Теорет. и эксперимент, исследования мостов: Сб. науч. тр./ Омск СибАДИ.1981.-С.88-100.

62.Кадисов Г.М. К оценке эффективности расчетной модели// Теорет. и эксперимент, исследования мостов: Сб. науч. тр./ Омск СибАДИ. 1982 . -С. 77-90 .

63.Кадисов Г.М. Методы пространственных расчетов неразрезных плитно-ребристых пролетных строений и тонкостенных призматических упругих систем: Учебное пособие.-Омск: СибАДИ,1982.-80с.

64.Кадисов Г.М. Параметрические колебания упругой системы при движении с постоянной скоростью регулярной частично подрессоренной инерционной нагрузки//Теорет. и эксперимент, исследования мостов: Сб.науч.тр./ОмПИ.-Омск,1987.-С.83- 87.

65.Кадисов Г.М. Критические скорости, движения подрессоренной нагрузки по балке//Исследования по строительной механике и конструкциям: Сб.науч.тр. -Омск,1988.-С.72-7 9.

66.Кадисов Г.М. Свободные колебания цилиндрических складчатых систем с промежуточными опорами//Исследования по строительной механике и строительным конструкциям.-Томск: ТГУ, 1989.-С.44-49.

67.Кадисов Г.М. Области неустойчивости параметрических колебаний балки совместно с подвижной частично подрессоренной инерционной

нагрузкой// Изв. вузов. Строительство и архитектура.-1989.-№ 10.-С.39-43.

68.Кадисов Г.М. Расчет консольных цилиндрических складчатых систем методом компенсирующих нагрузок//Исследования по строительной механике и строительным конструкциям. -Томск: ТГУ, 1992.-С.29-34.

69.Кадисов Г.М. Расчет регулярных цилиндрических складчатых систем на статические нагрузки и колебания// Исследования по теории пластин и оболочек.-Казань:КГУ,1992.-№ 25. -С.99-103.

7 0.Кадисов Г.М. Смешанный метод расчета призматических складок с регулярной системой поперечных диафрагм // Исследования по строительной механике и конструкциям. -Омск:ОмПИ,1991.-С.49-54.

71.Кадисов Г.М. Статический расчет тонкостенных призматических складок с регулярным набором диафрагм//Исследования по строительной механике и строительным конструкциям.-Томск:ТГУ,1992.-С.22-2 7.

72.Кадисов Г.М. Напряженно-деформированное состояние складчатой системы при движении по ней механического объекта //Известия вузов. Строительство. -1992. -№3.-С.114-118.

73.Кадисов Г.М. Численное решение интегральных уравнений динамики складчатых систем под воздействием подвижных механических объ-ектов/СибАДИ. -Омск, 1992. -113с.-Деп.в ВИНИТИ 22.04.92,№1352-В92.

7 4.Кадисов Г.М. Колебания упругой системы под воздействием подвижной нагрузки//Машины и процессы в строительстве: Сб. науч. тр./ СибАДИ.-Омск,1994. -С.37-41.

75.Кадисов Г.М. Колебания упругих систем под воздействием колонны подвижных механических объектов//Изв. вузов. Строительство.-1995.-№ 3.-С.114-117.

7 6.Кадисов Г.М. Колебания упругих систем под воздействием подвижных нагрузок// Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте: Тезисы докладов./ПГУПС.- СПб,1995. -С.141-142.

77.Кадисов Г.М. Колебания и устойчивость складчатых систем// Известия вузов. Строительство. - 1996.- № 4.-С.16-22.

7 8.Кадисов Г.М. Устойчивость колебаний упругой системы под воздействием колонны подвижных механических объектов// Известия вузов. Строительство.-1996 .- № 8.-С.36-42.

7 9.Кадисов Г.М. Колебания упругих систем под воздействием подвижных нагрузок// Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте: Сб. науч. докладов./ПГУПС.- СПб,1997. -С.98-108.

8 0.Кадисов Г.М. О численном моделировании динамики однопролетных строений мостов://Математическое моделирование и расчет узлов и устройств объектов железнодорожного транспорта: Межвуз. темат. сб. науч. тр./ Омск: Омская гос. акад. путей сообщения. 1997.С.15-17.

81.Кадисов Г.М. Колебания складчатых систем при подвижных нагрузках: Монография. -Омск: СибАДИ,1997.-17 8 с.

82.Казакевич М.И. Аэродинамика мостов.-М.:Транспорт,1987.- 240с.

83.Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. -М.: Мир,1978.- 520с.

84.Климанов В.И., Тимашев С. А. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек. Свердловск.: УНЦ АН СССР, 1985.-291 с.

8 5. Кокер Э., Файлон JI. Оптический метод исследования напряжений. -Л.-М.: ОНТИ, 1936.- 630с.

8 6.Конашенко С.И. О критической скорости движения подрессоренной нагрузки по балке// Изв. вузов. Строительство и архитектура.-1963.- №2.

87.Коренев Б.Г., Резников Л.А. Динамические гасители колебаний. -М.: Наука,1988. - 304 с.

88.Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций.-М.: Наука, 1971.-288с.

89.Кочнева Л.Ф. Внутреннее трение в твердых телах при колебаниях. -М.: Наука, 1979.

ЭО.Крейн М.Г. Основные положения А,-зон устойчивости канонической системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами //Сб. памяти A.A. Андронова.-М.: Изд. АН СССР, 1955.-С.413-498.

91.Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. - М.: Наука, 1977. -Т.2.-400с.

92.Крюков Б.И. Вынужденные колебания существенно нелинейных систем. -М.: Машиностроение, 1984.-216с.

93.Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. -М: Наука, 1986.-232с.

94.Лукасевич С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках. -М.: Мир, 1982.-544с.

95.Лукаш П. А. Основы нелинейной строительной механики.-М.: Стройиздат, 1978.- 204с.

Эб.Майзель Ю.М. О величине динамического коэффициента для балок при действии подвижной нагрузки// Науч. тр. Днепропетровского металлург. института., 1958.-Вып. 34.

97.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука,1989.- 608 с.

98.Митропольский Ю.А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний. -М.: Наука,1964.

99.Моргаевский А. Б. О влиянии рессор на величину динамического эффекта подвижной нагрузки//Исслед. по теории сооружен.-М.,1965.-Вып.14 .

100.Муравский Г.Б., Поволоцкая М.Ф. К вопросу о действии подвижной нагрузки на деформируемые системы//Строительная механика и расчет сооружений.-1988. -Ы 3.-С.38-42.

101.Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Ч.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. -М.: Высшая школа,1985.-324с.

102.Образцов И.Ф., Смирнов В.А. О перспективах применения метода голографической интерферометрии к исследованию резонансных колебаний сложных систем//Расчеты на прочность-М.:Машиностроение, 1987, вып.28, С.134-151.

ЮЗ.Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976.-464с.

104.ЕС ЭВМ. Пакет научных программ на языке ПЛ/1: Руководство программиста. Линейная алгебра. -Таллин, 1980.-148с.

105.Пальмов В.А. Колебания упруго-пластических тел. -М. : Наука, 1976.-328с.

Юб.Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. -М. Наука,1966.-420с.

107.Пановко Я. Г. Механика деформируемого твердого тела. Современные концепции, ошибки и парадоксы. -М.: Наука,1985.-288 с.

108.Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений:-М.:Мир,1983.-384 с.

10 9.Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. -М.: Наука, 1981.-688с.

ИО.Потапкин A.A. Проектирование стальных мостов с учетом пластических деформаций. -М.: Транспорт, 1984.- 200с.

Ш.Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. -М.: Наука,1977.-384с.

112.Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов : Справочник/Под ред. В.И.Мяченкова.-М.:Машиностроение, 1989. -520 с.

ИЗ.Розин JT.A. Метод конечных элементов в применении к упругим системам, -М.: Стройиздат, 1977.-128 с.

114.Романов A.A. Расчет пластинок и призматических складчатых систем на прочность и колебания// Исследования по теории сооружений. -М., 1975.- Вып. 21.-С.167-181.

115. Румянцев В. В., Озиранер JI.C. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.:Наука.1987.-256 с.

Иб.Сафронов B.C. Расчет висячих и вантовых мостов на подвижную нагрузку. -Воронеж: ВГУ, 1983.-196с.

117.Седов М.С. Звуковая динамика зданий и сооружений. //Известия вузов.Строительство.-1997.-№8.-С.19-23.

118.Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. -Новосибирск: Наука, 1987.-239с.

119.Смирнов А.Ф., Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Расчет сооружений с применением вычислительных машин.-М.: Стройиздат, 1964.-380с.

120.СНиП 2.05.03-84. Мосты и трубы/ Госстрой СССР. - М.: ЦИТП Госстроя СССР, 1985 - 200с.

121.Сорокин Е.С., Кочнева Л.Ф. Линейная теория наследственного частотно-независимого трения в материалах и конструкциях при колебаниях// Исследования по теории сооружений. -М. , 1975.-Вып. 21.-С. 124-131.

122.Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами/ Под ред. М. Абрамовица и И.Стиган.-М.: Наука, 1979.-832 с.

123.Стретт Дж. В. Теория звука.-М.:Гостехтеориздат,1940.-500с.

124.Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы/ A.B. Александров, Б. Я. Лащеников, H.H. Шапошников.-М. : Стройиз-дат,1983.-488с.

125.Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем.-М: Гостехтеориз-дат, 1955.-568 с.

126.Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов.-М.: Гостехиздат,1957.-536с.

127.Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле.-М.: Машиностроение, 1985.-472 с.

128.Тондл А. Автоколебания механических систем.-М: Мир, 197 9.432 с.

129.Тондл А. Нелинейные колебания механических систем.-М.:Мир, 1973.-336 с.

130.Угодчиков А.Г.,Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела.-Казань. :КГУ, 1986. -296с.

131.Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра/ Пер. с англ.-М: Машиностроение,197 б.-392 с.

132.Федоренко Р.П. Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений и их численное интегрирование// Вычислительные процессы и системы. -М.: Наука,1991.-Вып. 8.-С.328-380.

133.Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем.-М.: Машиностроение, 1970.-736 с.

134.Филиппов А.П., Кохманюк С.С. Расчет сооружений на подвижные нагрузки//Динамический расчет зданий и сооружений/Под ред. Б. Г. Коренева, И.М. Рабиновича. -М.:Стройиздат,1986.-С.205-211.

135.Фомин В.Н. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах.-Л.:ЛГУ,1972.- 240 с.

136.Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нелинейные задачи.-М.: Мир,1990.-512 с.

137.Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах.-М.:Мир, 1968.-432 с.

138.Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц: -М.:Мир,1987.-640с.

139.Цурков В.И. Динамические задачи большой размерности. -М. : Наука, 1988.-288с.

140.Шапошников H.H., Монахов И. И. Использование полуаналитического варианта МКЭ для расчета конструкций//Расчеты на прочность.-М.: Машиностроение, 1981.-Вып.22.-С.221-239.

141.Шапошников H.H., Перушев Е.Г., Бабаев В.Б., Наумов B.C. Расчет стержневых систем, мембран, пластин и оболочек с учетом геометрической и физической нелинейности//Расчеты на прочность.-М.: Машиностроение,1986.-Вып.27. -С.220-237.

142.Шапошников H.H., Полторак Г.В. Решение нелинейных задач статики и динамики сооружений методом конечных элементов// Расчеты на прочность.-М.:Машиностроение,1986.-Вып.28.-С.151-159.

143.Шапошников H.H.,Римский Р.А.,Полторак Г.В.,Бабаев В.Б. Применение метода конечных элементов к решению динамических задач// Расчеты на прочность.-М.:Машиностроение, 1982.-Вып.23.-С.73-86.

144.Шапошников H.H., Кашаев С.К., Белозерская О.В. Развитие методов численного интегрирования уравнений движения динамических систем.//Известия вузов.Строительство.-1997.-№9.-С.8 9-93.

145.Шмидт Г. Параметрические колебания.-М.:Мир.,1978.-336с.

146.Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. -М. : Наука,1972.-720с.

147.Якубович В.А., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. -М.: Наука,1987.-328 с.

148.Якушев Н.Э. Динамика деформируемых систем под воздействием движущейся нагрузки. // Исследования по теории пластин и оболочек. -Казань : КГУ, 1985 . -№ 19. -С.158-171.