Нестационарная динамика упругих тел с подвижными включениями и границами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Гаврилов, Сергей Николаевич

• Гаврилов, Сергей Николаевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Гаврилов, Сергей Николаевич

Оглавление

Введение

Общая характеристика диссертации

Краткое содержание диссертации

Основные обозначения

1. Особенности постановки нестационарных задач о взаимодействии упругих тел с подвижными источниками

1.1. Внешние конфигурационные силы

1.1.1. Задача Рэлея

1.1.2. Задача Николаи

ч

1.1.3. Внешняя конфигурационная сила как сумма воздействия извне и самовоздействия

1.1.4. Типы задач для систем с подвижными включениями: задачи кинематического и силового типа

1.2. Внутренние конфигурационные силы

1.2.1. Задача Эшелби

1.2.2. Конфигурационная сила на подвижной границе в упругом стержне

1.2.3. Переход к квазистатике: формула Эшелби

1.2.4. Типы задач для систем с подвижными границами: задачи кинематического и силового типа

1.3. Конфигурационные силы: резюме

1.4. Аналитический подход к исследованию нестационарных задач динамики упругих тел с включениями и границами

2. Струна на винклеровском основании под действием подвижного инерционного включения

2.1. Задача кинематического типа

2.1.1. Постановка задачи

2.1.2. Интегральное уравнение для силы между струной и включением

2.1.3. Движение с постоянной скоростью

2.1.4. Движение с малым ускорением

2.1.5. Вклад от частоты локализованных колебаний

2.1.6. Вклад от нулевой частоты

2.1.7. Учёт начальных условий

2.1.8. Сравнение аналитических и численных результатов

2.2. Задача силового типа

2.2.1. Постановка задачи

2.2.2. Решение задачи

2.2.3. Струна без винклеровского основания

2.3. Основные результаты

3. Распространение волн в разномодульном упругом материале

3.1. Формулировка основных уравнений

3.1.1. Одноосное напряженное состояние

3.1.2. Одноосное деформированное состояние

3.2. Свойства уравнения (3.1.3)

3.3. Первая вспомогательная задача: возникновение жёсткой области под действием цикла "сжатие - растяжение"

3.3.1. Перемещения

3.3.2. Сравнение аналитических и численных результатов

3.4. Вторая вспомогательная задача: возникновение ударной волны

под действием цикла "растяжение - сжатие"

3.4.1. Асимптотическая формула для положения ударной волны

3.4.2. Структура асимптотического решения

3.4.3. Диссипативность ударной волны

3.4.4. Перемещения

3.4.5. Сравнение аналитических и численных результатов. Влияние разрывов высших порядков

3.5. Гармоническое внешнее возбуждение

3.5.1. Перемещения

3.5.2. Сравнение аналитических и численных результатов

3.5.3. Спектральные свойства решения

3.6. Основные результаты

4. Динамика фазовых превращений в упругих телах

4.1. Формулировка основных уравнений

4.1.1. Определяющее уравнение для материала стержня

4.1.2. Динамический подход

4.1.3. Квазистатический подход

4.2. Метод исследования (динамический подход)

4.3. Движения свободной фазовой границы

4.3.1. ОДУ, описывающее возможные движения фазовой границы

4.3.2. Линеаризация в окрестности равновесного положения

4.3.3. Динамический и квазистатический подходы: сравнение результатов

4.4. Медленное растяжение стержня

4.4.1. Постановка задачи

4.4.2. ОДУ, описывающее возможные движения фазовой границы

4.4.3. Динамический и квазистатический подходы: сравнение результатов

4.5. Анализ результатов

4.6. Основные результаты

5. Динамическая контактная задача о колебаниях штампа, движущегося по поверхности упругого полупространства

5.1. Постановка задачи

5.2. Функция Грина для упругого полупространства

5.3. Внезапно приложенная точечная постоянная подвижная нагрузка

5.4. Подвижная осциллирующая точечная нагрузка

5.5. Контактная задача

5.6. Вынужденные колебания штампа под действием внешней гармонической нагрузки

5.7. Анализ результатов

5.8. Основные результаты

Основные результаты диссертации

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нестационарная динамика упругих тел с подвижными включениями и границами»

Введение

Общая характеристика диссертации

Актуальность темы. В различных разделах современной механики деформируемого твердого тела возникает необходимость исследования сходных математических задач. Именно: имеется упругий континуум (упругое тело) и подвижной источник (в диссертации — подвижное инерционное включение или подвижная граница), способный изменять свое пространственное положение внутри континуума и взаимодействующий с ним. Разделами механики, где такие задачи совершенно естественны, являются, например, механика упругих систем с подвижными нагрузками, в которой подобные задачи были рассмотрены впервые, а также более новые разделы, такие, как механика фазовых превращений (подвижной источник — фазовая граница), разномо-дульная теория упругости (источник — подвижной разрывной фронт), механика разрушения (источник — трещина), теория дислокаций и дефектов. Сходство математических постановок подобных задач диктуется сходством физических явлений, которые они описывают. Рассмотрение энергетического баланса для движущегося источника дает возможность определить реакцию континуума на его движение (так называемую конфигурационную силу), что позволяет формулировать нестационарные задачи двух типов (в диссертации — задачи кинематического и силового типов). В задачах кинематического типа задается закон движения источника; требуется определить движение

упругого тела и, если это необходимо, конфигурационную силу. В задачах силового типа заданы силовые воздействия, вызывающие движение источника, и разыскиваются движение источника и движение упругого тела. Задачи силового типа особенно сложны: по своей сути они являются нестационарными, кроме того, известно, что они всегда нелинейны. Даже для более простых задач кинематического типа распространенной является ситуация, когда вместо нестационарной задачи рассматривается стационарная, в которой источник движется с постоянной скоростью, и разыскивается автомодельное решение, неизменное в подвижной системе координат, движущейся вместе с источником. Что касается собственно нестационарных задач, то систематически в литературе применяются два аналитических подхода: метод интегральных преобразований и вычисление (или асимптотическая оценка) интеграла свертки фундаментального решения соответствующего оператора в частных производных с функцией нагрузки. Оба этих подхода применимы только для задач кинематического типа и достаточно эффективны для нестационарных задач, где внезапно возникший источник движется далее с постоянной скоростью. В некоторых частных случаях с их помощью удается исследовать решения задач, в которых источник движется с переменной скоростью, однако в целом для таких задач данные подходы не являются достаточно эффективными. Возможными подходами также являются численная оценка интеграла свертки или прямое численное моделирование, которое, однако, как правило, неэффективно для выявления качественных закономерностей в решениях соответствующих задач. Таким образом, определение качественных и количественных закономерностей поведения упругих тел с подвижными включениями и границами, не поддающихся анализу в рамках стационарных постановок задач, является весьма актуальной проблемой. В связи с этим возникает необходимость в разработке нового, альтернативного, аналитического подхода к решению нестационарных задач механики упругих тел с включе-

ниями и границами, движущимися с переменной скоростью, допускающего систематическое применение в различных разделах современной механики деформируемого твердого тела.

Целями диссертационной работы являются:

• определение качественных и количественных закономерностей поведения упругих тел с подвижными включениями и границами, не поддающихся анализу в рамках стационарных постановок задач;

• разработка нового аналитического подхода, допускающего систематическое применение для решения задач динамики упругих тел с включениями и границами, движущимися с переменной скоростью;

• демонстрация эффективности данного подхода посредством решения ряда задач, исследование которых представляет самостоятельный интерес.

Методы исследований. В диссертации получены аналитические решения ряда нестационарных задач механики упругих тел с подвижными включениями и границами при помощи асимптотических методов.

Теоретическая и практическая значимость диссертации. Диссертация носит теоретический характер. Разработанный в ней аналитический подход к исследованию нестационарных процессов в упругих телах с подвижными включениями и границами может быть применён к широкому классу задач из различных разделов механики сплошных сред. Результаты главы 4 дают представление об области применимости квазистатического подхода, широко используемого в теории фазовых превращений в упругих телах. Результаты главы 3 были получены при финансовой поддержке Shell Е.&Р. и могут быть использованы в геофизических приложениях. Результаты глав

2 и 5 могут быть использованы в инженерных приложениях, связанных с развитием железнодорожного транспорта.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгой математической постановкой задач, применением математически обоснованных методов решения, полученными предельными переходами к известным случаям, использованием компьютерных систем аналитических вычислений для проверки аналитических результатов, совпадением с результатами численных расчетов.

Научная новизна. В диссертации разработан новый аналитический подход к решению нестационарных задач динамики упругих тел с включениями и границами, движущимися с переменной скоростью, связанный с представлением решений рассматриваемых задач в виде многомасштабных асимптотических разложений по малому параметру (являющемуся свойством рассматриваемых механических систем). Продемонстрирована., эффективность предложенного подхода посредством решения ряда не исследованных ранее нестационарных задач механики деформируемого твёрдого тела, представляющих самостоятельный интерес. Проведена верификация квазистатического подхода, широко используемого в литературе для задач механики фазовых превращений в упругих телах.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, представлялись на ежегодных летних школах-конференциях "Advanced Problems in Mechanics" (С.-Петербург, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2009, 2010, 2011, 2013); на международных конференциях "Days on Diffraction" (С.Петербург, 2002, 2013); на Всероссийских съездах по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001; Нижний Новгород, 2006); на международных конгрессах ЮТАМ (Чикаго, США, 2000; Варшава, Польша, 2004); на съез-

де немецкого общества прикладной математики и механики GAMM (Падуя, Италия, 2003); на конференции (workshop) "Mechanics of Materials" (Обер-вольфах, Германия, 2002); на восьмой международной конференции "Современные проблемы механики сплошных сред" (Ростов-на-Дону, 2002); на III Всероссийской конференции по теории упругости (Азов, 2003); на 484 коллоквиуме Euromech "Wave Mechanics and Stability of Long Flexible Structures Subject to Moving Loads and Flows" (Делфт, Нидерланды, 2006); на 68 международной конференции-выставке EAGE (Вена, Австрия, 2006); на международной конференции-выставке EAGE "Geosciences — То Discover and Develop" (С.-Петербург, 2006); на рабочих встречах исследовательского кластера СПбГУ-РАН и Shell Е.&Р; на семинаре под руководством Ж. Може-на (Париж, Франция, 2002); на семинаре под руководством А. Кастельяноса (Севилья, Испания, 2007); на докладах на Городском семинаре по вычислительной и теоретической акустике (руководитель семинара — д.ф.-м.н. Д.П. Коузов); на семинаре кафедры теоретической механики СПбГПУ (руководитель семинара — д.ф.-м.н. A.M. Кривцов).

В полном объеме диссертация докладывалась на семинаре академика Н.Ф. Морозова (С.-Петербург) в 2012 г.; на семинаре Института механики МГУ (руководитель семинара — академик РАН И.Г. Горячева) в 2012 г.; на семинаре ИПМех РАН (руководитель семинара — чл.-корр. РАН Р.В. Гольд-штейн) в 2012 г.; на Санкт-Петербургском городском семинаре по механике (руководитель семинара — чл.-корр. РАН Д.А. Индейцев) в 2013 г.

На различных этапах данная работа поддерживалась грантами РФФИ (99-01-00693, 05-01-00785, 08-01-00691, 11-01-00385); грантом Президента РФ для молодых кандидатов наук (МК-5355.2007.1); грантом Фонда содействия отечественной науке; Shell Е.&Р. (CRDF грант RG0-1318(8)-ST-02); грантом Правительства С.-Петербурга (PD04-1.10-89); входила в Программы фундаментальных исследований РАН академиков Н.Ф. Морозова и И.Г. Горячевой.

Публикации по теме диссертации. Результаты диссертационной работы опубликованы в 21 работе [30-44,89,107,117,119-121], в том числе в 10 работах в изданиях, входящих в международную базу цитирования Web of Science [30,31,38,40,41,44,89,119-121]. Работа [37] опубликована в издании, входящем в международную базу цитирования SCOPUS. Работы [32, 107] опубликованы в журнале из списка российских изданий, рекомендованных ВАК России.

Полнота изложения материала. Все результаты диссертации опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК России.

Личное участие автора. По теме диссертации опубликовано 11 работ, подготовленных лично автором, и 10 работ в соавторстве. В работах [117,121] автору принадлежат результаты исследования эволюции локализованной моды колебаний (доказательство наличия смешанного спектра собственных колебаний в системе "струна на упругом основании — подвижное инерционное включение" принадлежит Д.А. Индейцеву). В работах [42-44] автору принадлежит постановка задачи и метод её исследования, решение выполнялось совместно с Е.В. Шишкиной. В работах [39,40] автору принадлежит решение задачи (постановка задачи принадлежит X. Херману). Работа [41] была начата диссертантом совместно с X. Херманом (постановка задачи) и завершена после кончины соавтора (решение задачи). В работах [89,107] автору принадлежит процедура построения асимптотического разложения, позволившая получить решение рассмотренных задач.

Структура и объём диссертации. Диссертация изложена на 239 страницах и состоит из введения, пяти глав и списка использованной литературы. Библиография включает 186 наименований.

Краткое содержание диссертации

Первая глава диссертации имеет вводный характер. В ней обсуждаются особенности постановки нестационарных задач о взаимодействии упругих тел с подвижными источниками, а также понятие конфигурационной силы — величины, характеризующей энергетический обмен между упругой средой и подвижным источником. Существует два типа конфигурационных сил: внешние и внутренние (классификация принадлежит М. Гартину [49] ). Внешняя конфигурационная сила (сила вибрационного давления, сила волнового сопротивления движению) представляет собой реакцию среды на движение инерционного включения. Это понятие было введено в механику работой лорда Рэлея [84] и впоследствии обсуждалось в работах E.JI. Николаи, Т. Хавелока, А.И. Весницкого, Г.Г. Денисова, A.B. Метрикина и многих других авторов [50,73,94,98,109,110,112,113,113,114,130,130,131,146,156,164]. Внутренняя конфигурационная сила (термодинамическая сила, материальная сила,") ппелста.вляет собой пеакиию спелы на движение неолноБОДности

----------^ _ А, - г- , - А , А'« ' ' rix<>

упругих свойств материала (в частности, на движение подвижной границы, разделяющей зоны внутри материала, обладающие различными упругими свойствами). Это понятие было введено в механику работами Дж. Эшелби, Г.П. Черепанова и Дж. Райса [21,22,85,183] и впоследствии рассматривалось в работах Ж. Можена, Р. Кинцлера, Дж. Херрманна [56,69] и многих других авторов. С единых позиций внешние и внутренние конфигурационные силы были рассмотрены М. Гартиным [49] (хотя фактически Г.П. Черепанов рассматривал [184] их совместно значительно раньше, не делая при этом акцент на некотором их отличии).

В диссертации кратко рассматриваются три классические задачи (задача Рэлея, раздел 1.1.1; задача Николаи, раздел 1.1.2; задача Эшелби, разделы 1.2.1-1.2.3) с целью демонстрации сходства постановок задач, исследуемых далее в диссертации, а также вывода некоторых известных формул.

В разделе 1.1.3 продемонстрировано, что внешняя конфигурационная сила может быть представлена как сумма воздействия извне и самовоздействия.

Предлагается классификация нестационарных задач о взаимодействии упругих тел с подвижными источниками (задачи кинематического и силового типа), см. разделы 1.1.4 и 1.2.4.

Задачи о подвижных включениях, где закон движения включения — заданная функция, являются задачами кинематического типа. В задачах силового типа закон движения включения считается неизвестной функцией, подлежащей определению при помощи уравнения продольного движения включения и начальных условий к нему. Задачи кинематического типа для подвижных включений рассматриваются в главе 2 диссертации (раздел 2.1) и главе 5, задачи силового типа — в главе 2 (раздел 2.2).

В зависимости от вида определяющего соотношения рассматриваемого материала положения разрывных фронтов (подвижных границ), которые могут в нем распространяться, либо могут быть определены решением уравнений движения с учетом начальных и граничных условий к ним, либо должны рассматриваться как дополнительные степени свободы. Первая ситуация характерна, например, для разномодульной теории упругости (рассматривается в главе 3 диссертации) и соответствует задаче кинематического типа, а вторая — рассматривается в теории фазовых превращений в упругих телах и соответствует задаче силового типа (глава 4 диссертации). Требование того, чтобы свободно распространяющаяся подвижная граница не являлась источником энергии для окружающей её упругой среды, приводит к так называемому термодинамическому неравенству (1.2.18). В задачах кинематического типа выполнение данного неравенства на всех подвижных разрывах является критерием выбора энергетически допустимых решений и необходимым условием единственности решения. В задачах силового типа требуется сформулировать дополнительное условие на подвижных границах. В каче-

стве дополнительного условия обычно используется так называемое термодинамическое условие, смысл которого состоит в задании некоторой связи между скоростью движения границы и конфигурационной силой, гарантирующей выполнение термодинамического неравенства.

В заключение (раздел 1.4) формулируются основные идеи аналитического подхода к исследованию задач динамики упругих тел с включениями и границами, движущимися с переменной скоростью. Данный подход используется далее для исследования задач, рассмотренных в главах 2-4 диссертации.

Во второй главе рассматриваются нестационарные задачи динамики бесконечной струны на винклеровском основании, по которой с переменной до-критической скоростью движется инерционное включение (инерционная подвижная нагрузка). Во введении представлен аналитический обзор литературы по нестационарным задачам динамики струны под действием подвижной нагрузки. Задачи нестационарной динамики струны под действием подвижной нагрузки рассматривались B.JI. Андриановым, С. Байером, А.И. Вес-ницким, А. Вулфертом, Н.В. Дерендяевым, Б. Диниевичем, X. Дитерма-ном, Ю.Д. Каплуновым, C.B. Крысовым, Е.Е. Лисенковой, C.B. Малановым, A.B. Метрикиным, Г.Б. Муравским, Р. Родеманом, Л.И. Слепяном, Ч. Смитом, И.Н. Солдатовым, У. Стронджем, Г.А. Уткиным, Ф.Т. Флаэрти, Л. Фри-бой [17,23,27,87,90,91,94,98,99,114,131,138,140,146,173] и другими авторами.

В задаче кинематического типа, рассматриваемой в разделе 2.1, закон движения включения считается заданной функцией. В разделе 2.1.1 представлена постановка задачи. Для численного исследования задачи можно воспользоваться интегральным уравнением (2.1.8) для величины силы между струной и включением (раздел 2.1.2). Стартовой точкой для исследования задачи кинематического типа, представленной в диссертации, является работа Ю.Д. Каплунова [138], где рассмотрена задача о крутильных колебаниях стержня на деформируемом основании под действием внезапно приложенной

инерционной сосредоточенной нагрузки, движущейся с постоянной докрити-ческой скоростью (раздел 2.1.3). Данная задача математически эквивалентна задаче о поперечных колебаниях струны на винклеровском основании. Получив при помощи метода интегральных преобразований асимптотику решения задачи для больших значений времени, Ю.Д. Каплунов обнаружил, что в системе возникают незатухающие колебания, которым соответствуют формы, локализованные в окрестности нагрузки. Причиной возникновения таких незатухающих колебаний является тот факт, что данная система обладает смешанным спектром частот собственных колебаний. Если инерционное включение движется с постоянной докритической скоростью, то локализованные колебания оказываются также возможными (раздел 2.1.3.1). Результаты Ю.Д. Каплунова и некоторые их обобщения представлены в разделе 2.1.3.2. Если теперь рассмотреть исходную задачу о включении, движущемся вдоль струны с переменной скоростью, то естественным образом возникает задача об описании эволюции локализованной моды колебаний в системе с медленно меняющимися во времени параметрами. Аналитическое решение данной задачи для случая, когда скорость включения — медленно меняющаяся кусочно-монотонная функция времени, получено в разделах 2.1.4-2.1.7. Асимптотическая процедура, основанная на методе многих масштабов, предложенная в диссертации, позволяет получить результат в виде формулы (2.1.91). Для определения неизвестных постоянных в (2.1.91) необходимо воспользоваться начальными условиями. Именно, потребуем, чтобы в начальный момент времени правая часть (2.1.91) совпадала с конечными членами асимптотики решения задачи о движении включения с постоянной скоростью.

Тем самым, исследована эволюция ловушечной моды колебаний в системе с медленно изменяющимися параметрами, а именно, найдена зависимость амплитуды колебаний от переменной скорости включения. Для проверки по-

строенного аналитического решения были проведены расчеты (раздел 2.1.8) функции силы между струной и нагрузкой, основанные на численном решении интегрального уравнения (2.1.8), полученного в разделе 2.1.2. Результаты сравнивались с найденным аналитическим выражением. Показано, что построенное асимптотическое решение хорошо согласуется с расчетом.

Рассматриваемая в разделе 2.2 задача силового типа представляет собой задачу о движении инерционного включения по струне под действием заданной продольной внешней силы и фактически является модифицированной задачей Николаи. Продольная компонента силы взаимодействия между точкой и струной представляет собой конфигурационную силу самовоздействия (силу волнового сопротивления движению). В разделе 2.2.1 представлена постановка задачи. Для того чтобы исследовать такую задачу, сначала необходимо вычислить силу волнового сопротивления движению для достаточно общего случая режима движения включения вдоль струны. Применённый в диссертации новый асимптотический подход позволяет получить (раздел 2.2.2) выражение для силы волнового сопротивления в виде простой аналитической формулы (2.2.10), а уравнение для закона движения включения в виде формул (2.2.11)—(2.2.12). Таким образом, показано, что инерционное включение движется вдоль струны так, как двигалась бы материальная точка с переменной, зависящей от скорости массой под действием только внешней силы (без учета силы сопротивления). Отдельно рассматривается (раздел 2.2.3) движение инерционного включения по струне без упругого основания. Показано, что сила волнового сопротивления в этом случае ведет себя как сила вязкого трения.

В третьей главе исследуются нестационарные динамические процессы в разномодульном упругом теле. При малых деформациях упругий модуль для такого тела зависит от знака деформации (в простейшем одномерном случае упругий модуль различен при растяжении и сжатии). Нали-

чие негладкой нелинейности в определяющем уравнении для разномодуль-ного материала приводит к тому, что решения нестационарных динамических задач содержат разрывные фронты (разрывы деформаций). Различные подходы к построению теории были предложены С.А. Амбарцумяном и A.A. Хачатряном; Е.В. Ломакиным и Ю.Н. Работновым; В.П. Мяснико-вым и А.И. Олейниковым; Н.М. Матченко, JI.A Толоконниковым и A.A. Тре-щевым [96, 97, 148, 153-155, 161, 166]. В простейшем одномерном случае в приближении малых деформаций все подходы приводят к одинаковому результату, т.е. для одномерного случая имеется каноническая формулировка теории. Динамические задачи разномодульной теории упругости рассматривались Р. Абейратне, М.М. Анциферовой, JI.B. Баевым, Й. Беивени-стом, В.Г. Даниловым, О.В. Дудко, В.И. Ерофеевым, С. Кияшко, А.Г. Куликовским, A.A. Лаптевой, М. Луччеси, В.П. Масловым, П.П. Мосоловым, В.П. Мясниковым, В. Назаровым, Дж. Ноулсом, Л.А. Островским, А. Пагни, Л.А. Пекуровской, А. Радостиным, К.Т. Семеновым, Д. Харенко, A.A. Хачатряном, [3,9,20,24,65,68,82,103,132,143,144,150-152,182] и другими авторами.

Рассматривается одномерная задача о распространении волн в одномерном полубескоиечном разномодульном теле1 под действием внезапно приложенной гармонической силь! на конце. Данная задача является задачей кинематического типа (см. раздел 1.2.4), т.к. известно [65,150,151], что положение фронтов может быть определено решением уравнений движения с учетом начальных и граничных условий к ним. Постановка задачи представлена в разделе 3.1. Для описания движения разрывных фронтов (подвижных границ) в диссертации применяется асимптотический подход, при этом в качестве малого параметра используется параметр разномодулы-юсти е (безразмерная разность между модулями на сжатие и на растяжение). Разыскивается асимп-

стержне или полупространстве в условиях одноосного деформированного состояния. Ниже для определенности обсуждается стержень.

тотика ближнего поля на расстояниях порядка е-1 от конца стержня.

В разделе 3.2 приводятся некоторые определения и факты (в том числе классификация типов разрывных фронтов) из основополагающих работ В.П. Маслова и П.П. Мосолова [150,151], в которых была исследована структура решений уравнения одномерной разномодульной теории упругости.

Для того чтобы исследовать задачу о внезапно приложенной гармонической нагрузке, предлагается рассмотреть две вспомогательные задачи, а именно задачи о движении полубесконечного разномодульного стержня под действием цикла нагружения типа "сжатие - растяжение" (раздел 3.3) и под действием цикла "растяжение - сжатие" (раздел 3.4).

Для первой из вспомогательных задач можно получить точное решение, показывающее, что в момент, когда нагружение на конце стержня меняет знак (смена сжатия на растяжение), в характеристической плоскости задачи возникает клиновидная область, в которой деформация остается равной тождественному нулю ("жёсткая область").

Вторая вспомогательная задача существенно сложнее первой. В момент, когда нагружение на конце стержня меняет знак (смена растяжения на сжатие) , на свободном конце стержня возникает ударная волна (подвижная граница), распространяющаяся далее по стержню с переменной скоростью. В разделе 3.4.1 в предположении малости параметра разномодульности получена формула (3.4.41) для положения ударной волны (подвижной границы), а также аналитическое решение, описывающее волновое поле. Полученное решение, вообще говоря, не является асимптотически точным, так как в жёсткую область позади ударной волны проникают волны второго порядка малости. Поскольку жёсткая область — неустойчивая структура, в ней могут зарождаться новые разрывные фронты высших порядков. Этот процесс требует отдельного детального анализа и не рассматривается в диссертации. Области в характеристической плоскости, для которых первый и второй шаги

асимптотического анализа показывают, что деформации в них — величины второго порядка малости, будем называть квази-жёсткими. Важно понимать, что возможное зарождение в них разрывных фронтов высокого порядка, в принципе, может привести к изменению решения в главном члене. В разделе 3.4.2 обсуждается общая структура решения второй вспомогательной задачи. В разделе 3.4.3 показано, что найденное решение удовлетворяет диссипа-тивному неравенству. В разделе 3.4.4 получены формулы для перемещений. Наконец, в разделе 3.4.5 проведено сравнение аналитических и численных результатов для второй вспомогательной задачи и исследовано влияние разрывов высших порядков, возникающих в квази-жёсткой области. Сравнение с численными результатами показывает, что предлагаемая процедура, не будучи асимптотически точной, даёт вполне удовлетворительные результаты.

В разделе 3.5 решение исходной задачи о гармоническом внешнем возбуждении получено суперпозицией последовательности решений первой и второй вспомогательных задач. В разделе 3.5.1 получены формулы для перемещений. В разделе 3.5.2 проведено сравнение аналитических и численных результатов. Наконец, в разделе 3.5.3 исследованы спектральные свойства решения, а именно, получены формулы для амплитуд и фаз первой и высших гармоник колебаний точек стержня.

Таким образом, в третьей главе получено приближенное аналитическое решение, описывающее ближнее волновое поле в полубесконечном разномо-дульном стержне, находящемся под действием внезапно приложенной гармонической нагрузки на его конце.

В четвертой главе исследуются нестационарные динамические процессы в упругом стержне из материала, способного претерпевать фазовые превращения. Используется модель упругого тела с невыпуклой энергией деформации. Известно, что статическая задача теории упругости для материала указанного типа может иметь решения с разрывными полями деформаций [59].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гаврилов, Сергей Николаевич, 2013 год

Литература

[1] Abeyaratne R., Knowles J.K. On the dissipative response due to discontinuous strains in bars of unstable elastic material // International Journal of Solids and Structures. - 1988. - Vol. 24, no. 10. - P. 1021-1044.

[2] Abeyaratne R., Knowles J.K. Kinetic relations and the propagation of phase boundaries in solids // Archive for Rational Mechanics and Analysis. — 1991. - Vol. 114, no. 2. - P. 119-154.

[3] Abeyaratne R., Knowles J.K. Wave propagation in linear, bilinear and tri-linear elastic bars // Wave motion. — 1992. — Vol. 15, no. 1. — P. 77-92.

[4] Abeyaratne R., Knowles J.K. Dynamics of propagating phase boundaries: adiabatic theory for thermoelastic solids // Physica D. — 1994. — Vol. 79, no. 2-4. - P. 269-288.

[5] Abeyaratne R., Knowles J.K. Evolution of phase transitions: a continuum theory. — Cambridge University Press, 2006.

[6] Argatov I.I. Slow vertical motions of an elliptic punch on an elastic halfspace // International Journal of Engineering Science. — 2008. — Vol. 46, no. 7.-P. 711-724.

[7] Arnold R.N., Bycroft G.N., Warburton G.B. Forced vibrations of a body on an infinite elastic solid // Trans. ASME. Series E, Journal of Applied Mechanics. - 1955. - Vol. 22. - P. 391.

[8] Barber J.R., Ciavarella M. Contact mechanics // Int. J. Solids and Structures. - 2000. - Vol. 37. - P. 29-43.

[9] Benveniste Y. One-dimensional wave propagation in an initially deformed incompressible medium with different behaviour in tension and compression // International Journal of Engineering Science.— 1981.— Vol. 19, no. 5.-P. 697-711.

[10] Brock L.M., Rodgers M.J. Steady-State Response of a Thermoelastic HalfSpace to the Rapid Motion of Surface Thermal/Mechanical Loads // Journal of Elasticity. - 1997. - Vol. 47. - P. 225-240.

[11] Cagniard L. Réflexion et refraction des ondes sismiques progressives.— Paris, 1939.

[12] Cermelli P., Gurtin M.E. The dynamics of solid-solid phase transitions 2. Incoherent interfaces // Archive for rational mechanics and analysis. — 1994. — Vol. 127, no. l.-P. 41-99.

[13] Cherepanov G.P. Mechanics of brittle fracture. — New York : McGraw-Hill, 1979. - 950 p.

[14] Dafermos C.M. The entropy rate admissibility criterion for solutions of hyperbolic conservation laws // Journal of Differential Equations. — 1973. — Vol. 14, no. 2,- P. 202-212.

[15] De Hoop A.T. A modification of Cagniard's method for solving seismic pulse problems // Applied Scientific Research, Section B. — 1960. — Vol. 8, no. l.-P. 349-356.

[16] Dumouchel P.E., Marigo J.J., Charlotte M. Dynamic fracture: an example of convergence towards a discontinuous quasistatic solution // Continuum Mechanics and Thermodynamics. — 2008. — Vol. 20, no. 1. — P. 1-19.

[17] Dyniewicz B., Bajer C.I. Paradox of a particle's trajectory moving on a string // Archive of applied mechanics. — 2009. — Vol. 79, no. 3. — P. 213— 223.

[18] Eason G. The stresses produced in a semi-infinite solid by a moving surface force // International Journal of Engineering Science.— 1965.— Vol. 2, no. 6. - P. 581-609.

[19] Ericksen J.L. Equilibrium of bars // Journal of Elasticity. — 1975. — Vol. 5, no. 3.- P. 191-201.

[20] Erofeev V.l. Wave processes in solids with microstructure. — World Scientific, 2003.

[21] Eshelby J.D. The force on an elastic singularity // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A.— 1951.— Vol. 244, no. 877.-P. 87-112.

[22] Eshelby J.D. The elastic energy-momentum tensor // Journal of Elasticity. - 1975. - Vol. 5, no. 3. - P. 321-335.

[23] Flaherty Jr. F.T. Transient resonance of an ideal string under a load moving with varying speed // Int. J. Solids Structures. — 1968. — Vol. 4, no. 12. — P. 1221-1231.

[24] Free longitudinal vibrations of bimodular beams: a comparative study / D. Kharenko, C. Padovani, A. Pagni et al. // International Journal of Structural Stability and Dynamics. - 2011. — Vol. 11, no. 1. — P. 23-56.

[25] Freidin A.B., Sharipova L.L. On a Model of Heterogenous Deformation of Elastic Bodies by the Mechanism of Multiple Appearance of New Phase Layers // Meccanica. - 2006. - Vol. 41, no. 3. - P. 321-339.

[26] Freund L.B. Dynamic fracture mechanics. — Cambridge University Press,

1998.

[27] Fryba L. Vibration of solids and structures under moving loads. — Prague : Academia, 1972.

[28] Gakenheimer D.C., Miklowitz J. Transient Excitation of an Elastic Half Space by a Point Load Traveling on the Surface // Journal of Applied Mechanics. - 1969. - Vol. 36. - P. 505.

[29] Gavrilov S. Non-stationary problems in dynamics of a string on an elastic foundation subjected to a moving load // Journal of Sound and Vibration. —

1999. - Vol. 222, no. 3. - P. 345-361.

[30] Gavrilov S. Passage through the critical velocity by a moving load in an elastic waveguide. The nonlinear statement for the problem // Z. Angew. Math. Mech. - 2000. - Vol. 80. - P. S743-S744.

^ [31] Gavrilov S. Nonlinear investigation of the possibility to exceed the critical

speed by a load on a string // Acta Mechanica. — 2002. — Vol. 154. — P. 4760.

[32] Gavrilov S.N. Configurational forces in elastic systems with moving loads // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Спе-

^ циальный выпуск "Нелинейные проблемы механики сплошной среды". —

2003. - С. 7-14.

[33] Gavrilov S.N. Dynamics of a free phase boundary in an elastic bar with variable cross-section area // Proc. of XXXII Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics" 2004 / Ed. by D.A. Indeitsev ; IPME RAS. - St. Petersburg, 2004. - P. 156-161.

[34] Gavrilov S.N. New Analytical Approach for Investigation of Non-Stationary Dynamics of Media with Moving Inhomogeneities // Abstracts Book of 21st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (ICTAM04) August 15-21, 2004. - Warsaw, Poland, 2004. - P. 245.

[35] Gavrilov S.N. On the acoustic excitation of a heteromodular bar // Proc. of XXXIII Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics" 2005 / Ed. by D.A. Indeitsev ; IPME RAS. - St. Petersburg, 2005. - P. 205215.

[36] Gavrilov S.N. Wave Propagation in Rocks and Granular Materials Modelled as ID Heteromodular Elastic Medium // Proceedings of EAGE International Conference and Exhibition "Geosciences — To Discover and Develop", Saint Petersburg, Russia, 16-19 October 2006. - 2006.

[37] Gavrilov S.N. Wave Propagation in a Heteromodular Elastic Medium // Proceedings of 68th EAGE Conference and Exhibition, Vienna, Austria, 12-15 June 2006. - 2006.

[38] Gavrilov S.N. Dynamics of a free phase boundary in an infinite bar with variable cross-sectional area // Z. Angew. Math. Mech. — 2007. — Vol. 87, no. 2.-P. 117-127.

[39] Gavrilov S.N., Herman G.C. Oscillation of a punch moving on the free surface of an elastic half space // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды VIII международной конференции / Под ред. А.В. Белоконя. — Т. 2. — Ростов-на-Дону : Новая книга, 2003. — С. 5155.

[40] Gavrilov S.N., Herman G.C. Oscillation of a punch moving on the free surface of an elastic half space // Journal of Elasticity.— 2004.— Vol. 75, no. 3.-P. 247-265.

[41] Gavrilov S.N., Herman G.C. Wave propagation in a semi-infinite heteromod-ular elastic bar subjected to a harmonic loading // Journal of Sound and Vibration. - 2012. - Vol. 331, no. 20. - P. 4464-4480.

[42] Gavrilov S.N., Shishkina E.V. On the extension of a bar capable of undergoing phase transitions // Proc. of XXXIV Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics" 2006 / Ed. by D.A. Indeitsev, A.M. Krivtsov ; IPME RAS. - St. Petersburg, 2006.- P. 162-180.

[43] Gavrilov S.N., Shishkina E.V. Dynamics of phase transformations in a spherical elastic body // Proc. of XXXVII Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics" 2009 / Ed. by D.A. Indeitsev, A.M. Krivtsov ; IPME RAS. - St. Petersburg, 2009. - P. 250-263.

[44] Gavrilov S.N., Shishkina E.V. On stretching of a bar capable of undergoing phase transitions // Continuum Mechanics and Thermodynamics. — 2010. — Vol. 22. - P. 299-316.

[45] Georgiadis H.G., Lykotrafitis G. A Method Based on the Radon Transform for Three-Dimensional Elastodynamic Problems of Moving Loads // Journal of Elasticity. - 2001. - Vol. 65. - P. 87-129.

[46] Glad well G.M.L. The calculation of mechanical impedances relating to an indenter vibrating on the surface of a semi-infinite elastic body //J. Sound and Vibration. - 1968. - Vol. 8, no. 2. - P. 215-228.

[47] Gurtin M.E. The dynamics of solid-solid phase transitions 1. Coherent interfaces // Archive for Rational Mechanics and Analysis. — 1993.— Vol. 123, no. 4,- P. 305-335.

[48] Gurtin M.E. The dynamics of solid-solid phase transitions 1. Coherent interfaces // Archive for rational mechanics and analysis. — 1993. — Vol. 123, no. 4. - P. 305-335.

[49] Gurtin M.E. Configurational Forces As Basic Concepts of Continuum Physics. — Springer, 2000.

[50] Havelock T.H. Some dynamical illustrations of the pressure of radiation and of adiabatic invariance // Philosophical Magazine, Series 6. — 1924. — Vol. 47, no. 280. - P. 754-771.

[51] James R.D. The propagation of phase boundaries in elastic bars // Archive for Rational Mechanics and Analysis. - 1980. — Vol. 73, no. 2. — P. 125-158.

[52] James R.D., Rizzoni R. Piecewise Rigid Body Mechanics // Journal of Nonlinear Science. - 2003. - Vol. 13, no. 1. - P. 65-114.

[53] Johnson K.L. Contact mechanics. — Cambridge University Press, 1985.

[54] Kaplunov J., Nolde E. An example of a quasi-trapped mode in a weakly non-linear elastic waveguide // Comptes Rendus Mécanique. — 2008. — Vol. 336, no. 7. - P. 553-558.

[55] Kaplunov Ju.D., Sorokin S.V. A simple example of a trapped mode in an unbounded waveguide / / The Journal of the Acoustical Society of America. — 1995. - Vol. 97. - P. 3898-3899.

[56] Kienzler R., Herrmann G. Mechanics in Material Space: With Applications in Defect and Fracture Mechanics. — Springer, 2000.

[57] Knowles J.K. On the dissipation associated with equilibrium shocks in finite elasticity // Journal of Elasticity. — 1979. — Vol. 9, no. 2. — P. 131-158.

[58] Knowles J.K. Dynamic thermoelastic phase transitions // International Journal of Solids and Structures. - 1995. - Vol. 32, no. 17. - P. 2703-2710.

[59] Knowles J.K., Sternberg E. On the failure of ellipticity and the emergence of discontinuous deformation gradients in plane finite elastostatics // Journal of Elasticity. - 1978. - Vol. 8, no. 4. - P. 329-379.

[60] Lamb H. On the propagation of tremors over the surface of an elastic solid // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. — 1904. - Vol. 203. - P. 1-42.

[61] Lavrov N.A., Pavlovskaia E.E. Transient behavior of a few dies on an elastic half-space // Acta Mechanica. - 2000. - Vol. 144. - P. 185-195.

[62] Lax P.D. Hyperbolic systems of conservation laws II // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1957. — Vol. 10, no. 4. — P. 537-566.

[63] Lax P.D. Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves. — Philadelphia : SIAM, 1973. — 48 p.

[64] Lebedew P.N. Untersuchungen liber die Dnickkràfte des Lichtes // Annalen der Physik. - 1901. - Vol. 4, no. 6. - P. 433-458.

[65] Lucchesi M., Pagni A. Longitudinal oscillations of bimodular rods // International Journal of Structural Stability and Dynamics. — 2005. — Vol. 5, no. l.-P. 37-54.

[66] Lykotrafitis G., Georgiadis H.G. The three-dimensional steady-state thermo-elastodynamic problem of moving sources over a half space // Int. J. Solids and Structures. - 2003. - Vol. 40. - P. 899-940.

[67] Mandel J., Avramesco A. Déplacecements produits par une charge mobile à la surface d'un semi-espace élastique // Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l'académie des sciences. — 1961.— Vol. 252, no. 23.— P. 37303732.

[68] Maslov V.P., Antsiferova M.M. Shock waves in a granular medium // Physics of the earth and planetary interiors. — 1988. — Vol. 50, no. 1. — P. 8-15.

[69] Maugin G.A. Material Inhomogeneities in Elasticity. — Chapman & Hall, 1993.

[70] Nayfeh A.H., MookD.T. Nonlinear Oscillations. — Wiley-Interscience, 1979.

[71] Ngan S.C., Truskinovsky L. Thermal trapping and kinetics of martensitic phase boundaries // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. — 1998. - Vol. 47, no. 1. - P. 141-172.

[72] Ngan S.C., Truskinovsky L. Thermo-elastic aspects of dynamic nucleation // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. — 2002. — Vol. 50, no. 6. — P. 1193-1229.

[73] Nicolai E.L. On a dynamical illustration of the pressure of radiation // Philosophical Magazine, Series 6. - 1925. - Vol. 49, no. 289. - P. 171-177.

[74] Ostrovsky L.A. Wave processes in media with strong acoustic nonlinearity // The Journal of the Acoustical Society of America.— 1991.— Vol. 90.— P. 3332-3337.

[75] Payton R.G. An application of the dynamic Betti-Rayleigh reciprocal theorem to moving-point loads in elastic media // Quart. Appl. Math. — 1964. — Vol. 21, no. 4.-P. 299-313.

[76] Pekeris C.L. The seismic surface pulse // Proceedings of the national academy of sciences of the United States of America. — 1955. — Vol. 41, no. 7. — P. 469.

[77] Pence T.J. On the emergence and propagation of a phase boundary in an elastic bar with a suddenly applied end load // Journal of Elasticity. — 1986. - Vol. 16, no. 1. - P. 3-42.

[78] Pence T.J., Tsai H. Reflection and Refraction of Anti-Plane Shear Waves from a Moving Phase Boundary // Journal of Elasticity. — 2000. — Vol. 59. — P. 237-266.

[79] Pence T. J., Tsai H. Interaction of harmonic plane waves with a mobile elastic phase boundary in anti-plane shear // International Journal of Engineering Science. - 2002. - Vol. 40, no. 6. - P. 647-671.

[80] Purohit P.K., Bhattacharya K. On beams made of a phase-transforming material // International Journal of Solids and Structures. — 2002. — Vol. 39, no. 13-14. - P. 3907-3929.

[81] Purohit P.K., Bhattacharya K. Dynamics of strings made of phase-transforming materials // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. — 2003. - Vol. 51, no. 3. - P. 393-424.

[82] Radostin A., Nazarov V., Kiyashko S. Propagation of nonlinear acoustic waves in bimodular media with linear dissipation // Wave Motion. — 2012. — P. 191-196.

[83] Rahman M. Hertz problem for a rigid punch moving across the surface of a semi-infinite elastic solid // Z. angew. Math. Phys. — 1996.— Vol. 47.— P. 601-615.

[84] Rayleigh. On the pressure of vibrations // Philosophical Magazine, Series 6. - 1902. - Vol. 3, no. 15. - P. 338-346.

[85] Rice J.R. A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks //J. Appl. Mech. — 1968. — Vol. 35. — P. 379-386.

[86] Richards P.G. Elementary solutions to Lamb's problem for a point source and their relevance to three-dimensional studies of spontaneous crack propagation // Bull. Seism. Soc. Am. — 1979. - Vol. 69, no. 3. — P. 947-956.

[87] Rodeman R., Longcope D.B., Shampine L.F. Responce of a String to an Accelerating Mass // Trans. ASME. Series E, Journal of Applied Mechanics. — 1976. - Vol. 43, no. 4. - P. 675-680.

[88] Rosakis P., Knowles J.K. Unstable kinetic relations and the dynamics of solid-solid phase transitions // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 1997. - Vol. 45, no. 11-12. - P. 2055-2081.

[89] Shishkina E.V., Blekhman I.I., Cartmell M.P., Gavrilov S.N. Application of the method of direct separation of motions to the parametric stabilization of an elastic wire // Nonlinear Dynamics. — 2008. — Vol. 54, no. 4. — P. 313331.

[90] Smith C.E. Motions of a stretched string carrying a moving mass particle // Journal of Applied Mechanics. - 1964. - Vol. 31. - P. 29.

[91] Stronge W.J. An Accelerating Force on a String // The Journal of the Acoustical Society of America. - 1971. — Vol. 50, no. 5. - P. 1382-1383.

[92] Suppression of electronic friction on Nb films in the superconducting state / M. Kisiel, E. Gnecco, U. Gysin et al. // Nature materials. — 2011. — Vol. 10, no. 2.- P. 119-122.

[93] Willis J.R. Self-similar problems in elastodynamics // Philosophical Transactions for the Royal Society of London. Series A. — 1973. — P. 435-491.

[94] Wolfert A.R.M., Metrikine A.V., Dieterman H.A. Wave radiation in a one-dimensional system due to a non-uniformly moving constant load // Wave motion. - 1996. - Vol. 24, no. 2. - P. 185-196.

[95] Абрамян А.К., Андреев В.Л., Индейцев Д.А. Особенности колебаний динамических систем, имеющих несущую конструкцию бесконечной протяженности // Моделирование в механике. — Новосибирск : СО РАН, 1992. - Т. 6. - С. 3-12.

[96] Амбарцумян С.А. Разномодульная теория упругости. — М. : Наука, 1982. - 320 с.

[97] Амбарцумян С.А., Хачатрян A.A. Основные уравнения теории упругости для материалов, разносопротпвляющихся растяжению и сжатию // Инж. журнал, МТТ. - 1966. - № 2. - С. 44-53.

[98] Андрианов В.Л. О сопротивлении движению нагрузок вдоль упругих направляющих, вызванном излучением в них волн // ПММ. — 1993. — Т. 57, № 2. - С. 156-160.

[99] Андрианов В.Л., Крысов C.B. Решение одной задачи динамики упругой системы с движущейся нагрузкой методом интегоальных ппеобоэзова-

г 1 \J 1 Х"^ к/ ' ' X XX

ний // Дифф. и инт. уравнения: Межвуз. сб. — Горький : Изд. ГГУ, 1985.-С. 88-95.

[100] Аргатов И.И. Осесимметричная динамическая задача теории упругости со смешанными граничными условиями // Изв. РАН, МТТ. — 2007. — № 5,- С. 99-116.

[101] Аргатов И.И., Назаров С.А. Асимтотическое решение задачи об упругом теле, лежащим на нескольких малых опорах // ПММ, — 1994.— Т. 58, № 2,- С. 110-118.

[102] Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. — М. : Наука, 1989. — 344 с.

[103] Баев JI.В. Распространение продольных и поперечных волн в упругой разномодульной среде // ПМТФ. - 2009. - С. 691-697.

[104] Белоконь A.B., Наседкин A.B. Волны в неоднородном по толщине изотропном слое, вызванные движущимися нагрузками // ПММ. — 1987. — Т. 51, №2.-С. 305-313.

[105] Белоконь A.B., Наседкин A.B. Энергетика волн, генерируемых подвижными источниками // Акуст. журнал. — 1993. — Т. 39, № 3. — С. 421-427.

[106] Белоконь A.B., Наседкин A.B. Взаимодействие движущихся штампов с упругими и вязкоупругими телами // Механика контактных взаимодействий / Под ред. И.И. Воровича, В.М. Александрова. — М. : Наука, 2001,- С. 331-348.

[107] Блехман И.И., Гаврилов С.Н., Шишкина Е.В. О применении метода прямого разделения движений к расчету систем с распределёнными параметрами // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Специальный выпуск "Нелинейные проблемы механики сплошной среды". - 2003. - С. 113-123.

[108] Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. — М. : Наука, 1977. — С. 288.

[109] Быченков В.А., Крысов C.B., Филатов JI.B. Волновое сопротивление перекатыванию твердого колеса по одномерному вязкоупругому основанию. — Горький : Горьковский филиал Ин-та машиноведения им. A.A. Благонравова РАН (препринт), 1986.— 23 с.

[110] Весницкий А.И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. — M : Физматлит, 2001. — 320 с.

[111] Весницкий А.И., Бурханов М.Р. Сила давления и мощность излучения волн при неравномерном разгоне постоянной нагрузки вдоль упругой направляющей // Нелинейная акустика твердого тела. Сборник трудов VIII сессии Российского акустического общества / Под ред. В.И. Ерофеева ; Издательство общества "Интелсервис". — Нижний Новгород, 1998. - С. 52-54.

[112] Весницкий А.П., Каплан Л.Э., Уткин Г.А. Законы изменения энергии и импульса для одномерных систем с движущимися закреплениями и нагрузками // ПММ. - 1983. - Т. 47, № 5. - С. 863-866.

[113] Весницкий А.И., Метрикин A.B. Излучение, возникающее при равномерном движении объекта по случайно-неоднородной упругой системе // Прикладная механика. — 1992. — Т. 28, № 2. — С. 46-50.

[114] Весницкий А.И., Уткин Г.А. Движение тела вдоль струны под действием сил волнового давления // ДАН. - 1988. - Т. 302, № 2. - С. 278-279.

[115] Владимиров B.C. Уравнения математической физики.— М. : Наука, 1971.-512 с.

[116] Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. — М. : Наука, 1974. — 455 с.

[117] Гаврилов С.Н., Индейцев Д.А. Об эволюции ловушечной моды колебаний в дискретно-континуальной системе с медленно меняющимися параметрами // Труды XXIII Летней Школы "Актуальные проблемы механики" 2000 / Под ред. Д.А. Индейцева ; ИПМаш РАН. - Т. 2. — Санкт-Петербург, 2001.- С. 80-92.

[118] Гаврилов С.Н. О преодолении критической скорости подвижной нагрузкой в упругом волноводе // ЖТФ. - 2000. - Т. 70, № 4. - С. 138-140.

[119] Гаврилов С.Н. Об эффективной массе материальной точки, движущейся по струне на винклеровском основании // ПММ. — 2006. — Т. 70, № 4. — С. 641-649.

[120] Гаврилов С.Н. Собственная динамика фазовой границы в бесконечном упругом стержне переменного сечения // ДАН. — 2007. — Т. 413, № 3. — С. 332-336.

[121] Гаврилов С.Н., Индейцев Д.А. Об эволюции локализованной моды колебаний в системе "струна на упругом основании - подвижное инерционное включение" // ПММ. - 2002. - Т. 66, № 5. - С. 864-873.

[122] Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости.— М. : Наука, 1980.

[123] Гольдштейн Р.В. Волны Рэлея и резонансные явления в упругих телах // ПММ. - 1965. - Т. 29, № 3. - С. 516-525.

[124] Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. — М. : Наука, 1995. — 346 с.

[125] Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Контактные задачи с фиксированными границами // Механика контактных взаимодействий / Под ред. И.И. Воровича, В.М. Александрова. - М. : Наука, 2001.- С. 369-377.

[126] Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарные колебания упругого полупространства при заданных поверхностных нагрузках // Механика контактных взаимодействий / Под ред. И.И. Воровича, В.М. Александрова. - М. : Наука, 2001. - С. 350-368.

[127] Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. — М : Наука, 1990. — 312 с.

[128] Гузев М.А. Условия на границе раздела фаз нелинейно-упругого материала в динамическом случае // ДАН. — 2007. — Т. 416, № 6. — С. 763765.

[129] Д.В. Тарлаковский. Применение принципа суперпозиции в осесиммет-ричной динамической задаче для упругого полупространства // Изв. РАН, МТТ. - 1988. - № 2. - С. 76-84.

[130] Денисов Г. Г. К вопросу о давлении волн на преграду в случае поперечных колебаний струны // Известия РАН. МТТ. — 2001.— № 5.-С. 187-192.

[131] Дерендяев Н.В., Солдатов И.Н. О движении точечной массы вдоль колеблющейся струны // ПММ. - 1997. - Т. 61, № 4. - С. 703-706.

[132] Дудко О.В., Лаптева A.A., Семенов К.Т. О распространении плоских одномерных волн и их взаимодействии с преградами в среде, по-разному сопротивляющейся растяжению и сжатию // Дальневосточный математический журнал. — 2005. — Т. 6. - С. 94-105.

[133] Еремеев В.А., Зубов Л.М. Механика упругих оболочек. — М. : Наука, 2008. - 280 р.

[134] Жилин П.А. Теоретическая механика. Фундаментальные законы механики. - СПб : Издательство СПбГПУ, 2003. - 340 с.

[135] Зеленцов В.Б. Об одном асимптотическом методе решения плоских и пространственных осесимметричных нестационарных динамических контактных задач // Изв. РАН. МТТ. - 2000. - № 3. - С. 20-33.

[136] Индейцев Д.А., Кузнецов Н.Г., Мотыгин О.В., Мочалова Ю.А. Локализация линейных волн. — СПб : Издательство Санкт-Петербургского университета, 2007. — 342 с.

[137] Индейцев Д.А., Осипова Е.В. Локализация нелинейных волн в упругих телах с включениями // Акустический журнал. — 2004. — Т. 50, № 4. — С. 496-503.

[138] Каплунов Ю.Д. Крутильные колебания стержня на деформируемом основании при действии движущейся инерционной нагрузки // МТТ. — 1986. - № 6. - С. 174-177.

[139] Каплунов Ю.Д. Нестационарная динамика упругой полуплоскости при действии подвижной нагрузки. — Москва : ИПМех РАН (препринт №277), 1986.- 54 с.

[140] Каплунов Ю.Д., Муравский Г.Б. Колебания бесконечной струны на деформируемом основании при действии равноускоренно движущейся нагрузки. Переход через критическую скорость // МТТ. — 1986. - № 1.-С. 155-160.

[141] Каплунов Ю.Д., Муравский Г.Б. Действие равнопеременно движущейся силы на балку Тимошенко, лежащую на упругом основании. Переходы через критические скорости // ПММ. — 1987. — Т. 51, № 3. — С. 475-482.

[142] Крауклис П.В., Крауклис Л.А. К вопросу о существовании предвестника в нестационарной задаче Лемба // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. — 1984. — Т. 24. — С. 122-128.

[143] Куликовский А.Г., Пекуровская Л.А. О фронтах сильного и слабого разрыва в решениях уравнений разномодульной теории упругости // ПММ. - 1989. - Т. 53, № 2. - С. 294-300.

[144] Куликовский А.Г., Пекуровская Л.А. О продольных волнах в упругой среде с кусочно-линейной зависимостью напряжения от деформации // ПММ. - 1990. - Т. 54, № 5. - С. 807-813.

[145] Лавров H.A., Павловская Е.Е. Динамика системы удаленных штампов на упругом полупространстве // ПМТФ. — 1999. — Т. 40, № 6. — С. 204210.

[146] Лисенкова Е.Е., Маланов С.Б. Движение объекта вдоль струны под действием падающей волны // МТТ. — 1995. — № 5. — С. 45-50.

[147] Лобысев В.Л., Яковлев Ю.С. Осесимметричная динамическая задача теории упругости со смешанными граничными условиями // Изв. РАН, МТТ. - 1971. - № 4. - С. 103-108.

[148] Ломакин Е.В., Работнов Ю.Н. Соотношения теории упругости для изотропного разномодульного тела // Известия АН СССР, МТТ. — 1978. — Т. 6. - С. 29-34.

[149] Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. — М : Наука, 1980. — 512 с.

[150] Маслов В.П., Мосолов П.П. Общая теория решений уравнения движения разномодульной упругой среды // ПММ.— 1985.— Т. 49, № 3.— С. 419-437.

[151] Маслов В.П., Мосолов П.П. Теория упругости для разномодульной среды. - М : Изд. МИЭМ, 1985. - 100 с.

[152] Маслов В.П., Мясников В.П., Данилов В.Г. Математическое моделирование аварийного блока Чернобыльской АЭС. — М. : Наука, 1987. — 144 с.

[153] Матченко Н.М., Толоконников Л.А., Трещев A.A. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред. 41: Квазилинейные соотношения // Изв. РАН, МТТ. - 1995. - № 1. - С. 73-78.

[154] Матченко Н.М., Толоконников JI.A., Трещев A.A. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред. 42: Нелинейные соотношения // Изв. РАН, МТТ. - 1999. - № 4. - С. 87-95.

[155] Матченко Н.М., Трещев A.A. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Определяющие соотношения / Тул. гос. ун-т. — Тула, 2000.

[156] Метрикин A.B. Постановка задачи о взаимодействии движущегося точечного объекта и упругой направляющей с использованием обобщенных функций // Волновые задачи механики, сборник научных трудов. — Нижний Новгород, 1994. - С. 32-37.

[157] Механика контактных взаимодействий / Под ред. И.И. Воровича, В.М. Александрова. — М. : Наука, 2001. — 672 с.

[158] Молотков JT.A. О распространении упругих волн от неравномерно движущегося источника / / Тоулы Математического института им. Стекло-

х/ Л / / X К/ ' ' %J

ва. - 1968. - Т. 95. - С. 132-150.

[159] Морозов Н.Ф., Осмоловский В.Г. Уравнение колебания упругого тела, допускающего двухфазовое состояние // Изв. РАН, МТТ. — 1994. — № 1,- С. 38-41.

[160] Морозов Н.Ф., Осмоловский В.Г. Уравнение колебания упругого тела, допускающего двухфазовое состояние // Изв. РАН. МТТ. — 1994. — № 1.- С. 38-41.

[161] Мясников В.П., Олейников А.И. Основы механики гетерогенно-сопротивляющихся сред. — Владивосток : Дальнаука, 2007. — 172 с.

[162] Найфэ А.Х. Методы возмущений. — М : Мир, 1976. — 455 с.

[163] Наугольных К.А., Островский JI.A. Нелинейные волновые процессы в акустике. — М. : Наука, 1990. — 237 с.

[164] Николаи E.JI. К вопросу о давлении вибраций // Известия Санкт-Петербургского политехнического ип-та, отдел техники, естествознания и математики. — 1912. - Т. 18, № 1. — С. 49-60.

[165] Олейник O.A. О единственности обобщенного решения задачи Коши для одной нелинейной системы уравнений, встречающейся в механике // УМН. - 1957. - Т. 12, № 6(78). - С. 169-176.

[166] Олейников А.И. Основные общие соотношения модели изотропно-упругой разномодульной среды // ПММ. — 1993. — Т. 57, № 5. — С. 153159.

[167] Островский JI.A., Потапов А.И. Введение в теорию модулированных воли. — М. : Физматлит, 2003. — 400 с.

[168] Перегудов Д.В. Двумерная задача Лэмба. Метод Каньяра /'/ Вычислительная сейсмология. — 2000. - № 31. — С. 120-137.

[169] Петрашень Г.И., Марчук Г.И., Огурцов К.И. О задаче Лэмба в случае полупространства // Ученые записки ЛГУ, сер. мат.— 1950.— Т. 35, № 21.- С. 71-118.

[170] Поручиков В.Б. Осесимметричпая динамическая задача о штампе на упругом полупространстве // Вестн. МГУ, Математика и механика. — 1966.-Т. 6.- С. 114-120.

[171] Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. — М. : Наука, 1986. - 328 с.

[172] Сеймов В.М. Динамические контактные задачи. — Киев : Наукова думка, 1976. - 283 с.

[173] Слепян JI.И. Нестационарные упругие волны. — Л. : Судостроение, 1972. - 374 с.

[174] Слепян Л.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. — Л., 1980. — 344 с.

[175] Смирнов В.И., Соболев С.Л. Новый метод решения плоской задачи упругих колебаний // Труды сейсмического института АН СССР. —

1932. - Т. 20. - С. 37-42.

[176] Смирнов В.И., Соболев С.Л. О применении нового метода к изучению упругих колебаний // Труды сейсмического института АН СССР. —

1933. — № 29,- С. 43-51.

[177] Справочник по проектированию магистральных трубопроводов / Под ред. А.К. Дерцакяна. — Л. : Недра, 1977. — 520 с.

[178] Стенькин В.В. Определение границы раздела фаз при колебании упругого шара, допускающего двухфазовое состояние // Вестник СПбГУ. Сер.1. - 1995. - № 4. - С. 85-90.

[179] Трускиновский Л. Динамика неравновесных фазовых границ в теп-лопроводящей нелинейно-упругой среде // ПММ.— 1987.— Т. 51.— С. 1009-1019.

[180] Федорюк М.В. Метод перевала. — М : Наука, 1977. — 368 с.

[181] Фрейдин A.B. Механика разрушения. Задача Эшелби. — СПб : Издательство Политехнического университета, 2010. — 238 с.

[182] Хачатрян A.A. О продольных колебаниях призматических стержней, изготовленных из разномодульного материала // Инж. журнал, МТТ. — 1967. — № 5.- С. 140-145.

[183] Черепанов Г.П. О распространении трещин в сплошной среде // ПММ. - 1967. - Т. 31, № 3. - С. 476-488.

[184] Черепанов Г.П. Конфигурационные силы в механике твердого деформируемого тела // ПММ. - 1985. - Т. 49, № 4. - С. 593-603.

[185] Чурилов В.А. О действии на упругое полупространство движущейся по его границе с постоянной скоростью нормальной нагрузки // ПММ. — 1977. - Т. 41, № 1. - С. 134-142.

[186] Чурилов В.А. О действии на упругое полупространство эллиптического штампа, движущегося с постоянной скоростью // ПММ. — 1978. — Т. 42, № 6. - С. 1074-1079.