Переходное излучение в упругих системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Метрикин, Андрей Владимирович

• Метрикин, Андрей Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Метрикин, Андрей Владимирович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ГЛАВА 1. Эффект переходного излучения в одномерных упругих системах

1.1. История вопроса. Переходное излучение в электродинамике, акустике, механике

1.2. Переходное излучение в полуограниченной струне, лежащей на упругом основании. Процесс излучения, его реакция и энергия

1.3. Законы изменения энергии и импульса при переходном излуче-нииупругихволн

1.4. Переходное излучение в неограниченной струне, лежащей на локально-неоднородном упругом основании. Скачкообразное и плавное изменение жесткости основания

1.5. Переходное излучение в полуограниченной балке модели Бернулли - Эйлера. Разрыв контакта масса-балка. Влияние типа

закрепления балки на характеристики излучения

Выводы к первой главе

2. ГЛАВА 2. Переходное излучение в периодически неоднородных одномерных упругих системах

2.1. Распространение волн в периодически - неоднородных одномерных упругих системах

2.2. Движение постоянной нагрузки по струне, лежащей на эквидистантных дискретных опорах. Спектр излучения и условия резонанса

2.3. Движение постоянной нагрузки вдол^ замкнутой, периодически неоднородной упругой системы (колеса со спицами). Условия резонанса

2.4. Движение массы вдоль струны, лежащей на периодически неоднородном упругом основании. Параметрическая неустойчивость

колебаний системы

Выводы ко второй главе

3. ГЛАВА 3. Переходное излучение в случайно-неоднородных одномерных упругих системах

3.1. Распространение среднего поля волны в случайно-неоднородных одномерных упругих системах

3.2. Движение постоянной нагрузки по струне, лежащей на случайно-неоднородном упругом основании. Ограничение амплитуды колебаний при резонансе. Средняя реакция излучения

3.3. Движение массы по струне, лежащей на случайно-неоднородном

основании. Стохастический параметрический резонанс

Выводы к третьей главе

4. ГЛАВА 4. Переходное излучение в двумерных упругих системах.. Ю5

4.1. Переходное излучение в полуограниченной мембране. Спектрально-угловая плотность энергии излучения

4.2. Переходное излучение в полуограниченной пластине. Реакция излучения, разрыв контакта пластина - движущаяся масса

4.3. Движение постоянной нагрузки по мембране, закрепленной по лучу (дифракционное излучение). Диаграмма направленности

излучения

Выводы к четвертой главе

5. ГЛАВА 5. Проблема движения объекта со скоростями, превы-щающими скорость распространения волн в упругой системе

5.1. Переход через "упругий барьер" при постоянной скорости движения нагрузки вдоль неоднородной упругой системы

5.2. Об устойчивости колебаний осциллятора, движущегося вдоль балки с закритической скоростью

5.3. Резонанс, возникающий при "закритическом" движении осциллятора вблизи закрепления

5.4. Качественный анализ движения нагрузки вдоль струны, лежащей на нелинейно-упругом основании

Выводы к пятой главе

6. ГЛАВА 6. Излучение в трехмерных моделях рельсового пути

6.1. Эквивалентная жесткость упругого полупространства, взаимодействующего с лежащей на нем балкой. Условие обращения эквивалентной жесткости в ноль

6.2. Равномерное движение постоянной вертикальной нагрузки по балке, лежащей на упругом полупространстве. Критические скорости нагрузки

6.3. Неустойчивость колебаний осциллятора, равномерно движущегося по балке, лежащей на упругом полупространстве

6.4. Движение нагрузки по балке на дискретных эквидистантных опорах, стоящих на упругом полупространстве. Условие резонанса,

привносимого в систему поверхностными волнами

Выводы к шестой главе

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ. Общий вид уравнений, описывающих безотрывные колебания движущегося точечного объекта и одномерной упругой системы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Переходное излучение в упругих системах»

ВВЕДЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена исследованию переходного излучения упругих волн, возникающего при равномерном движении объекта вдоль неоднородной упругой системы. Наглядным примером такой системы является железнодорожный путь. Колеса поезда, прижатые силой тяжести к рельсам, возбуждают в пути упругие волны. Причиной же излучения служит неоднородность рельсового пути, обусловленная, в первую очередь, шпалами и стыками. Возбуждает упругие волны и движущийся пантограф (токосъемник) поезда, взаимодействующий с проводами системы токосъема. Здесь излучение обусловлено наличием в подвеске зажимов, фиксаторов, воздушных стрелок и т.п..

Актуальность проблемы обусловлена интенсивным развитием скоростного железнодорожного транспорта (Франция, Япония, Германия). В настоящее время скорость поездов приблизилась, а в некоторых случаях и превысила скорость распространения волн в железнодорожном пути и контактной подвеске. Другими словами скорость источников возмущений стала сравнима со скоростью распространения волн. Как известно [24,35-38], в этой ситуации излучение волн играет существенную (а в некоторых случаях и определяющую) роль в динамическом поведении системы. Приведем некоторые цифры. Скорость поездов, функционирующих в настоящее время во Франции и Японии,колеблется от 200 до 275 км/ч. Рекордная скорость поезда, достигнутая во Франции - 452 км/ч. В Японии принята так называемая программа "500", в соответствие с которой в ближайшие 10 лет японские скоростные поезда должны достичь скоростей порядка 500 км/ч. Это о скоростях источников, возбуждающих упругие волны. Теперь о скорости волн. Поверхностные волны (волны Рэлея) в грунте, окружающем железнодорожный путь, распространяются со скоростями 400-600 км/ч в жестком грунте и со скоростями 150-400 км/ч в мягком (торфяном) и водонасыщенном грунтах. Скорость изгибных волн в контактном проводе составляет 200-400 км/ч. Сравнивая вышеприведенные цифры, легко убедиться, что скорость источника упругих волн (поезда) в настоящее время сравнима со скоростью волн. В некоторых частях Европы, где железнодорожные пути проложены по мягким (торфяным) грунтам, излучаемые поездом поверхностные волны видны невооруженным глазом. Измерения, проведенные железнодорожными компаниями в Германии, Швейцарии, Англии и Франции, подтверждают нарастание вибраций железнодорожного пути при скоростях движения поезда, близких к скорости поверхностных волн. Как следствие, на "мягких" участках пути были введены ограничения скорости движения или грунт был искусственно сделан жестче.

Таким образом, инженеры-железнодорожники тем или иным способом пытаются снизить скорость поезда по сравнению со скоростью поверхностных волн в пути. Однако желание двигаться быстрее остается. Поэтому скорость поездов выбирается так, чтобы избежать проблем, связанных с "упругим барьером1", но двигаться по возможности быстро. В

1 "Упругий барьер" - аналог звукового барьера, связанный со скоростью распространения упругих волн.

этой ситуации переходное излучение может заметно влиять на динамику рельсового пути, поскольку скорость движения поездов сравнима со скоростью волн в пути, а сам путь представляет собой существенно неоднородную систему.

Состояние вопроса. Впервые переходное излучение было описано в 1946 г. В.Л.Гинзбургом и И.М.Франком [36], которые проанализировали излучение электромагнитных волн, возникающее при пересечении заряженной частицей границы раздела вакуум - идеальный проводник. Уже из первых работ, посвященных переходному излучению, стало очевидно, что данный эффект является "общефизическим", т.е. имеет место для волн различной физической природы. Вследствие этого, наряду с интенсивными исследованиями переходного излучения электромагнитных волн, начиная с 1962 г. начали появляться работы по переходному излучению звука [45]. К настоящему времени переходному излучению электромагнитных и звуковых волн посвящено огромное количество статей, несколько обзоров [13,37,74], в 1984 г. вышла монография [38], достаточно полно осветившая переходное излучение в классической электродинамике.

Насколько известно автору, первая работа по переходному излучению упругих волн появилась в 1992 г. [24]. В ней А.И. Весницким и автором была исследована простейшая задача теории переходного излучения упругих волн о движении точечной массы по полуограниченной струне, лежащей на упругом основании. В дальнейшем появились работы по переходному излучению в одномерных периодически неоднородных [22], одномерных случайно-неоднородных [25] и двумерных [2Я, ] упругих системах. Необходимо подчеркнуть, что задачи о движении нагрузок по неоднородным упругим системах изучаются давно и, несмотря на то, что эффект переходного излучения в этих работах не был выделен и изучен, эти исследования вносят огромный вклад в теорию переходного излучения. Одним из первых исследовал задачи о движении "быстрых" нагрузок по мостам А.П.Филиппов [5^,8^,85]. Динамика периодически неоднородных систем под действием движущейся нагрузки исследовалась Л. Жезекюлем (Франция) [124,125] и продолжает интенсивно изучаться группами К. Поппа (Германия) и Р.Богача (Польша) [93-Щ. Преодоление нагрузкой "упругого барьера" при ее движении по неоднородной системе исследуется Р. Вулфертом (Голландия). Комплекс приближенных к практике исследований, посвященных колебаниям неоднородного рельсового пути под действием скоростного поезда, выполнен А. Керром и группой его учеников (США) [12В, 123. 142]. Упомянем также книгу Л. Фрибы [ИЗ], в которой, в частности, уделено внимание колебанию ограниченных балок, подверженных действию движущейся нагрузки.

Работа имеет следующие цели: • теоретическое изучение эффекта переходного излучения в "чистом виде", т.е. исследование излучения, возникающего при переходе равномерно движущегося объекта через уединенную область неоднородности упругой системы; Скорость движения объекта при этом должна быть меньше скорости распространения волн в упругой системе;

• исследование основополагающих вопросов теории переходного излучения в периодически и случайно-неоднородных упругих системах, а именно - изучение спектра излучения, его реакции на движущийся объект й устойчивости колебаний объекта в процессе излучения;

• краткий анализ динамики неоднородных систем при движении объекта со скоростью, превышающей скорость волн;

• исследование трехмерных моделей рельсового пути, подверженного действию движущейся нагрузки. Оценка параметров пути и скорости поезда, при которых учет излучения необходим для практики.

Научная новизна работы. Основные результаты диссертации получены автором впервые и опубликованы в переводных журналах академии наук и международных научных изданиях.

Научное и практическое значение работы. В работе вскрыт и изучен новый для механики эффект волнообразования. Многие результаты диссертации используются в курсе "Волновые эффекты в механике", читаемом в нижегородском государственном университете. Результаты диссертации, касающиеся изучения динамики периодически и случайно неоднородных систем используются при составлении программы расчета динамики рельсового пути с учетом его шпаловой структуры. Данная программа разрабатывается в институте механики ганноверского университета (Германия), где автор провел более года, будучи стипендиатом фонда Александра Гумбольдта. Результаты исследования трехмерных моделей рельсового пути служат тестовыми при разработке прикладного пакета программ для расчета динамики рельсового пути, взаимодействующего с грунтом. Этот пакет разрабатывается в технологическом университете города Делфта (Голландия), где автор проработал в общей сложности около двух лет.

Личный вклад автора. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. В постановке задач, рассмотренных в первой главе диссертации, руководящая роль принадлежит профессору А.И.Весницкому - научному руководителю кандидатской диссертации автора. При постановке задач трехмерной динамики рельсового пути автора консультировали профессора H.Dieterman (Делфт, Голландия) и К.Рорр (Ганновер, Германия). Исследование переходного излучения в двумерных упругих системах выполнено автором совместно с А.В.Кононовым - бывшим дипломником автора. Идея перехода через "упругий барьер" при постоянной скорости движения нагрузки была выдвинута и в настоящее время продолжает исследоваться совместно с Ir. A.R.M. Wolfert, соруководителем диссертационной работы которого является автор.

Публикации. По теме диссертации опубликовано около шестидесяти работ, основные из которых приведены в списке литературы под номерами [22-29, 50, 51, 64-71, 111-114, 146-154, 169-173].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, шести глав и приложения. Общий объем диссертации, оформленной в редакторе

Word, составляет 222 страницы, включая 97 рисунков, 3 таблицы, 4 страницы приложения и 10 страниц библиографии, содержащей 173 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, шести глав и приложения.

Во введении обосновывается актуальность проведенных исследований, указывается их цель, научная новизна и практическая значимость, кратко излагается содержание диссертации.

Первая глава посвящена анализу эффекта переходного излучения в одномерных упругих системах в "чистом виде", т.е. анализу излучения, возникающего при равномерном движении точечного объекта вдоль неоднородной упругой направляющей при выполнении следующих условий:

1) скорость движения объекта не превышает наименьшую фазовую скорость волн в направляющей (отсутствует излучение [55,56], связанное с "закритическим" движением объекта - аналог излучения Вавилова-Черенкова в электродинамике [35] и Маха в акустике [1 ]);

2) объект "переходит" через уединенную и локализованную в пространстве область неоднородности направляющей.

В первом параграфе поясняется суть эффекта, указывается на его "общефизичность" и дается краткая историческая справка о переходном излучении волн различной физической природы.

В §1.2 рассматривается простейшая задача теории переходного излучения упругих волн о движении точечного объекта массы т, находящегося в поле постоянной вертикальной силы Р, вдоль полуограниченной подпружиненной струны. Источником возмущений здесь является объект, прижатый к струне силой Р, а в качестве неоднородности выступает закрепление струны. Исследование задачи разбито на два этапа. Вначале полагается, что инерционная составляющая mU0 вертикальной силы F = P + mU0 (U0 - вертикальное ускорение движущегося объекта), действующей на струну в движущемся контакте, пренебрежимо мала по сравнению с силой Р, т.е. по струне движется постоянная нагрузка. В этом приближении задача анализируется двумя способами: методом изображений, позволяющим наиболее наглядно описать процесс переходного излучения, и методом интегральных преобразований Фурье, позволяющим найти спектральные характеристики излучения. Методом изображений получено точное решение задачи, на основе которого найдена энергия излучения и его реакция (горизонтальная составляющая реакции струны в точке контакта). На спектральном языке получены выражения для собственного поля нагрузки и поля излучения, найдена спектральная плотность энергии излучения.

Полученное методом изображений точное решение задачи позволяет записать условие, накладываемое на параметры системы, при выполнении которого учет инерционной составляющей силы F = P + mU0 несущественен. Оказывается, что с увеличением скорости движения и массы объекта это условие выполняется все хуже. Поэтому в § 1.2 исходная задача решается с учетом'массивности движущегося объекта. С

помощью метода изображений и интегрального преобразования Фурье получено интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно вертикального ускорения объекта и0. Это уравнение проанализировано численно. Показано, что учет инерционности объекта приводит к росту как энергии излучения, так и его реакции.

В § 1.3 на основе результатов задачи, рассмотренной в предыдущем параграфе, анализируются законы изменения энергии и импульса при переходном излучении, которые позволяют взглянуть на излучение как на процесс, происходящий при преобразовании энергии-импульса собственного поля деформаций движущегося объекта, а также выявить силы, являющиеся посредником этого преобразования. Показано, что в процессе преобразования энергии собственного поля деформаций в энергию излучения совершает работу как внешний источник, поддерживающий равномерное движение объекта, так и сила, прижимающая объект к направляющей, причем работы этих сил сравнимы по величине. Импульс же собственного поля в процессе этого преобразования передается как излучению, так и закреплению (в случае произвольной.неоднородности направляющей - области неоднородности). При этом в систему "объект - струна" вносится дополнительный импульс за счет действия внешней силы, поддерживающей равномерное движение объекта. Замечено, что процесс преобразования волнового импульса при переходном излучении аналогичен удару упругого шарика о стенку. Такая аналогия естественна с точки зрения корпускулярно-волновой идеологии и позволяет представить процесс переходного излучения как падение на закрепление квазичастицы (собственного поля деформаций нагрузки), а затем ее отскок (отражение). Отразившаяся порция энергии-импульса и представляет собой переходное излучение.

При переходе через область неоднородности движущийся объект возбуждает волны как позади, так и впереди себя, чего нельзя увидеть, рассматривая полуограниченные системы. Для того чтобы изучить характеристики излучения "вперед" и "назад", в § 1.4 анализируется задача о движении постоянной нагрузки вдоль неограниченной струны, лежащей на упругом основании с кусочно-постоянной жесткостью. В этом же параграфе рассматривается случай квази-кусочно-постоянной жесткости основания, когда в окрестности некой точки жесткость изменяется плавно. Обе задачи проанализированы спектральным методом (вторая - с привлечением аппарата гипергеометрических функций), позволяющим исследовать поле излучения и спектральную плотность его энергии. Показано, что большая часть энергии излучения запитывается в ту часть струны, которая лежит на более мягком основании. Чем ближе скорость движения нагрузки к скорости волн в струне, тем больше энергия излучения. На основе анализа излучения при плавном изменении жесткости основания установлено, что чем плавнее изменяются параметры, тем меньше энергия переходного излучения. Путем сравнения результатов рассмотренных задач получено условие, при котором характеристики излучения на скачке параметров и при плавном их изменении оказываются практически одинаковыми.

Модель струны, рассмотренная в §1.2 - §1.4, неплохо описывает, например, колебания контактной подвески на железнодорожном транспорте. Никто, однако, не решится применить эту модель для

описания колебаний рельсового пути или моста. Необходимо поэтому ответить на вопрос: не приведет ли учет изгибной жесткости упругой системы (а именно отсутствие изгибной жесткости отличает струну от балки - общепризнанной модели рельс и моста) к появлению качественно новых особенностей процесса переходного излучения упругих волн? Анализу этого вопроса посвящен § 1.5, где рассмотрено равномерное движение массы (поджатой постоянной силой Р) вдоль полуограниченной балки модели Бернулли-Эйлера, лежащей на упругом основании. С корпускулярно-волновой точки зрения ситуация при учете изгибной жесткости не меняется. Как и в случае движения массы по струне, вместе с массой перемещается собственное поле деформаций, которое должно отразиться от закрепления, превратившись тем самым в переходное излучение. Излучение действительно возникает, но процесс его формирования может качественно отличаться от процесса, происходящего при взаимодействии массы со струной. Различие обусловлено тем, что собственное поле деформаций в балке спадает с увеличением расстояния от движущейся массы немонотонно. Вследствие этого при движении вблизи закрепления масса начинает колебаться в вертикальном направлении и в процессе этих колебаний может произойти разрыв контакта масса-балка. Посредством численного анализа задачи найдена граница, разделяющая пространство параметров на две области: безотрывного движения массы и балки и движения с разрывом контакта. В этом же параграфе рассмотрен вопрос о зависимости процесса излучения от типа закрепления балки. Рассмотрены шарнирное и жесткое закрепления балки. Показано, что интенсивность динамических процессов в балке, имеющих место в процессе излучения, оказывается ниже при жестком закреплении.

Вторая глава посвящена анализу переходного излучения в одномерных периодически неоднородных упругих системах. Примерами таких систем, предназначенных для взаимодействия с движущимися объектами, являются рельсовый путь, контактная подвеска на железнодорожном транспорте и эстакада для поезда на магнитном подвесе. Рельсовый путь, будучи периодической системой, вследствие наличия шпал, взаимодействует с колесами поезда. Контактная подвеска, периодичная из-за поддерживающей структуры, нагружена движущимся токосъемником, а покоящаяся на эквидистантных опорах эстакада возбуждается магнитным полем системы подвеса, движущимся вместе с поездом.

Переходное излучение является базовым физическим эффектом, определяющим динамику вышеперечисленных систем и первопричиной возникновения в них таких нежелательных на практике явлений как резонанс и неустойчивость колебаний системы объект-направляющая. Действительно, динамическое поведение периодически неоднородной направляющей, подверженной действию движущейся нагрузки, есть ни что иное, как последовательность импульсов переходного излучения, возбуждаемых движущейся нагрузкой при ее переходе через локальные области неоднородности направляющей. Вследствие периодичности системы, эти импульсы на некоторых частотах складываются синфазно и образуют в установившемся режиме дискретный спектр излучения. Резонанс в системе возникает при совпадении групповой скорости одной

из гармоник этого спектра со скоростью движения нагрузки, а неустойчивость колебаний вызывается реакцией излучения.

Для обоснования приведенных выше соображений в данной главе исследуются следующие задачи. В параграфе § 2.1 приводятся основные сведения, касающиеся распространения волн в одномерных периодически неоднородных системах. В качестве примера анализа дисперсионных свойств периодически неоднородной системы рассматривается струна, имеющая поддерживающую конструкцию дискретной структуры.

В § 2.2 рассматривается переходное излучение, возникающее при движении постоянной нагрузки по струне, лежащей на эквидистантных дискретных опорах, каждая из которых представляет собой инерционный упруго-вязкий элемент. Исследуемая модель является относительно простой и позволяет наглядно продемонстрировать основные качественные моменты, связанные с переходным излучением в неограниченных периодически неоднородных системах. В то же время, эта модель может быть использована для описания динамики контактной подвески. На основе анализа задачи установлено, что возникающее в струне излучение имеет дискретный спектр, причем фазовая скорость всех излучаемых гармоник равна скорости движения нагрузки. Показано, что существует набор резонансных скоростей нагрузки, при которых амплитуда колебаний системы резко возрастает. Резонанс наблюдается при совпадении скорости движения нагрузки с групповой скоростью одной из излучаемых гармоник. Влияние вязкости опор на амплитуду резонансных колебаний системы оказывается следующим: а) чем ниже частота резонансной гармоники, групповая скорость которой совпадает при нулевой вязкости со скоростью движения нагрузки, тем меньше влияние вязкости опор на амплитуду соответствующих резонансных колебаний, резонанс "мощнее"; б) если частоты резонансных гармоник, имеющих место при различных скоростях движения, приблизительно равны, то резонанс тем "мощнее", чем ближе скорость нагрузки к скорости волн в струне. Получено выражение для средней по периоду структуры реакции излучения. Показано, что она отлична от нуля при любой скорости движения и всегда направлена против движения.

В § 2.3 анализируется задача о движении нагрузки вдоль замкнутой периодически неоднородной системы (колеса со спицами). Эта задача интересна в связи с тем, что для снижения шума, генерируемого поездами, в странах Европейского Сообщества ведется разработка новых колес для вагонов, представляющих собой стальной обод со спицами (в отличие от используемых ныне цельнометаллических). Возникающие при взаимодействии с рельсом колебания колеса являются, в частности, следствием процесса переходного излучения, обусловленного наличием спиц. В качестве модели упругой системы здесь рассмотрена нить, распертая равномерно распределенными по углу пружинами, что придает ей некоторое натяжение. Дополнительно, нить и центр "колеса" соединены дискретными упруго-инерционными элементами, описывающими спицы. Нагрузка, моделирующая силу в контакте колеса с рельсом, полагается точечной, постоянной, действующей в радиальном направлении и вращающейся вокруг "колеса" с постоянной угловой скоростью. Задача проанализирована методом изображений, позволяющим "развернуть" колесо в бесконечную струну, пустив по ней систему равноудаленных (на

длину "колеса") фиктивных нагрузок. Показано, что условием резонанса в системе является кратность длины волны одной из возбуждаемых в колесе гармоник длине колеса.

Последний параграф главы (§ 2.4) посвящен учету инерционности движущегося объекта, которая может привести к экспоненциальной неустойчивости колебаний системы. Действительно, при равномерном движении объекта по периодически неоднородной направляющей, ее жесткость в точке контакта изменяется периодически во времени. Следовательно, колебания движущегося по направляющей объекта эквивалентны его колебаниям на пружине с периодически изменяющейся во времени жесткостью. Такая ситуация, очевидно, может привести к параметрической неустойчивости колебаний объекта [60]. Для анализа условий возникновения неустойчивости в данном параграфе рассматривается равномерное движение массы по безграничной струне, жесткость основания которой описывается выражением £(*) = £0(1+ ц советагде к0 - константа, ё - период структуры, ц«1 -безразмерный малый параметр. Методом последовательных приближений в пространстве параметров системы найдены границы основной зоны неустойчивости. Показано, что неустойчивость имеет место при выполнении условия 2Г2»±2яУ/Л, где V - скорость движения массы, Г2 - частота ее колебаний в случае, когда масса движется по струне на , однородном упругом основании (ц = 0). Данное условие является классическим для основной зоны параметрического резонанса [60] и может быть озвучено следующим образом: неустойчивость возникает при близости удвоенной собственной частоты невозмущенной системы к частоте изменения параметра.

Предположение о регулярности свойств реальных упругих направляющих является спорным. Действительно, шпалы, поддерживающие рельсовый путь, лежат не строго периодично, расстояние между точками крепления контактного провода флуктуирует в пределах нескольких процентов, а балласт железнодорожного пути является совершенно случайной структурой. Поэтому необходимо ответить на вопрос: не приведет ли учет пространственных флуктуаций параметров упругих систем к каким либо качественным изменениям в их динамическом поведении, в частности - в процессе переходного излучения. Причин дать положительный ответ много. Например, в отличие от излучения в периодических системах, переходное излучение в случайно-неоднородных направляющих некогерентно. Рассуждая далее, можно поставить и более принципиальный вопрос: нужно ли делать реальные конструкции строго периодичными или небольшие флуктуации помогут уменьшить возникающие динамические напряжения? Обсуждению данных вопросов третья глава диссертации.

Анализ переходного излучения в нерегулярных направляющих невозможен без знания качественных особенностей распространения волн в них. Поэтому в § 3.1 получено и проанализировано уравнение для среднего поля смещений случайно-неоднородной струны. Для получения этого уравнения использован метод среднего поля [3,46].

Изучению переходного излучения, возникающего в струне на случайно-неоднородном упругом основании при равномерном движении нагрузки, посвящен § 3.2. Полагается, что жесткость основания струны

описывается функцией к(х) = к0 + цк1(х), где к0 = const, ju<< 1 -

безразмерный малый параметр, £,(*)- случайная функция координаты с

нулевым средним. Методом среднего поля получено выражение, описывающее среднее смещение струны, обусловленное движущейся нагрузкой. Показано, что среднее поле излучения локализовано вблизи нагрузки. Сделан вывод, что в среднем влияние переходного излучения на колебания нагрузки эквивалентно влиянию частотно зависимой диссипации в направляющей в том смысле, что амплитуда колебаний нагрузки при резонансе всегда ограничена и нагрузка испытывает сопротивление своему движению.

В последнем параграфе главы ( § 3.3 ) учитывается инерционность движущегося объекта и показывается, что в системе движущийся объект -случайно-неоднородная упругая система возможен стохастический параметрический резонанс (экспоненциальная неустойчивость среднего поля колебаний). То, что неустойчивость возможна, нетрудно понять исходя из следующих соображений. Действительно, если на объект, равномерно движущийся по периодически неоднородной направляющей, она реагирует как пружина с периодически изменяющейся во времени жесткостью, то движущейся по случайно-неоднородной направляющей объект подвержен действию силы, эквивалентной реакции пружины со случайно изменяющейся во времени жесткостью. Как известно [1, 11], колебания объекта на такой пружине могут быть неустойчивы вследствие стохастического параметрического резонанса. Следовательно, зоны неустойчивости должны существовать и в пространстве параметров системы движущийся объект - случайно-неоднородная направляющая. Для анализа условий возникновение неустойчивости в данном параграфе рассмотрено равномерное движение массы по струне, лежащей на случайно-неоднородном упругом основании, жесткость которого описывается функцией, использованной в предыдущем параграфе. Получено характеристическое уравнение для среднестатистических колебаний массы. Для произвольного характера неоднородности, задаваемого пространственным спектром корреляционной функции, выведено уравнение, определяющее границы основной зоны неустойчивости системы в среднем. Показано, что неустойчивость имеет место, когда неоднородность обладает скрытой периодичностью и характерная частота, с которой изменяются жесткость струны под движущейся массой, приблизительно равна удвоенной частоте колебаний массы, движущейся по струне на однородном основании.

Четвертая глава посвящена изучению эффекта переходного излучения в двумерных упругих системах. Анализ излучения в предыдущих главах проводился применительно к одномерным направляющим. Это позволило вскрыть основные особенности излучения в механических системах и сформулировать важные для практики вопросы, связанные с переходным излучением упругих волн, описав, в то же время, динамическое поведение реальных конструкций (электрической подвески, рельс и т.д.). Нужно признать, однако, что на некоторые принципиальные вопросы невозможно ответить, не рассмотрев двумерные (трехмерные) упругие системы. Например, при въезде поезда в тоннель, проложенный в скале, поезд может пересекать границу между мягким грунтом и скалой не по нормали. Под каким углом при этом будет

распространяться излучение, какую силу необходимо приложить для поддержания равномерного движения поезда, зависят ли условия разрыва контакта колес и рельс от угла въезда поезда в тоннель? Все эти вопросы практически важны и "неодномерны". Кроме того, в неодномерных системах излучение может возникать не только при пересечении движущимся объектом области неоднородности, но и при движении вблизи нее. Такое излучение, являющееся "подвидом" переходного, принято называть дифракционным [13]. Дифракционное излучение упругих волн возникает, например, при движении поездов вблизи населенных пунктов, станций и т.п., когда фундаменты окружающих железнодорожный путь строений могут быть "задеты" полем деформаций поезда. Особенно же мощным это излучение оказывается при движении встречных поездов, когда поля деформаций, движущиеся вместе с поездами, дифрагируют друг на друге.

В первом параграфе главы ( § 4.1 ) рассматривается простейшая задача "неодномерной" теории переходного излучения о равномерном и прямолинейном движении постоянной нагрузки по полуограниченной, закрепленной по краю мембране, лежащей на упругом основании. Задача анализируется методом изображений и спектральным методом. Показано, что в момент перехода нагрузки через закрепление, мембрана обладает некой энергия, которая позже трансформируется в энергию переходного излучения. При нормальном пересечении нагрузкой закрепления запасенная энергия является чисто кинетической, а при наклонном - имеет также потенциальную часть. Исследована спектрально-угловая плотность энергии излучения. Показано, что максимум излучаемой энергии приходится на угол, близкий к зеркально симметричному углу пересечения нагрузкой закрепления. Другими словами, приблизительно выполняется закон "угол падения равен углу отражения", где под углом падения понимается угол между направлением движения нагрузки и нормалью к закреплению, а под углом отражения - угол между нормалью и направлением, на которое приходится максимум излученной энергии. Закон выполняется тем точнее, чем ближе скорость нагрузки к скорости волн в мембране.

Существенным недостатком мембраны, как модели двумерной упругой системы, является то, что ее реакция на точечный объект всегда равна нулю (точечная сила "прокалывает" мембрану). Поэтому, для того, чтобы проанализировать влияние инерционных свойств движущегося по мембране объекта на процесс излучения, необходимо предположить, что объект имеет конечный размер. Можно, однако, пойти по другому пути, что и сделано в § 4.2, где рассмотрено движение объекта по полуограниченной, шарнирно закрепленной по краю пластине на упругом основании. Данная модель позволяет принять во внимание инерционность объекта, а также является более реалистичной за счет учета изгибной жесткости. Как и в балке (см. § 1.5), собственное поле постоянной нагрузки в подпружиненной пластине спадает с увеличением расстояния от движущейся нагрузки немонотонно. Это приводит к возможности разрыва контакта между движущейся массой и пластиной. Параметры системы, при которых имеет место разрыв контакта, определены в данном параграфе для различных углов пересечения объектом линии закрепления пластины. Показано, что область безотрывного движения в

пространстве параметров тем шире, чем больше угол между нормалью к закреплению и направлением движения нагрузки. Интересной особенностью собственного поля движущейся нагрузки в пластине является еще и то, что оно не обладает центральной симметрией относительно нагрузки. Как показано в данном параграфе, это приводит к осцилляциям силы сопротивления движению не только по величине, но и по направлению.

В § 4.3 рассматривается дифракционное излучение упругих волн. В качестве модели упругой системы используется мембрана на упругом основании, закрепленная по лучу. Полагается, что траектория равномерно и прямолинейно движущейся постоянной нагрузки проходит вблизи закрепления, но не пересекает его. Задача анализируется методом Винера-Хопфа, позволяющим найти точное решение в спектральной области. На основе этого решения получено выражение для спектрально-угловой плотности энергии дифракционного излучения. Показано, что диаграмма направленности излучения качественно зависит от скорости движения нагрузки. При малых по сравнению со скоростью волн в мембране скоростях движения диаграмма направленности носит так называемый дипольный характер (имеет вид яблока, ножка которого лежит на закреплении мембраны). При скоростях движения, сравнимых со скоростью волн в мембране, диаграмма направленности преобретает два ярко выраженных максимума - в направлении движения нагрузки и в направлении, зеркальном ему относительно закрепления.

В пятой главе диссертации исследуются некоторые задачи, связанные с закритическим движением объектов, т.е. с движением со скоростью, превышающей минимальную фазовую скорость волн в упругой системе. В электродинамике и акустике основным вопросом, связанным с переходным излучением, генерируемым закритически движущимся источником возмущений, является вопрос об интерференционной картине переходного излучения и излучения Вавилова-Черенкова [12], последнее из которых всегда имеет место при закритическом движении. В механике же, как представляется автору, не столь интересно изучить интерференцию излучений, как ответить на более общий вопрос: какие динамические эффекты превносит неоднородность направляющий в режим ее взаимодействия с закритически движущимся объектом. Вопрос этот достаточно сложен и требует отдельного исследования. В данной главе мы рассмотрим лишь несколько задач, демонстрирующих некоторые эффекты, возникающие при закритическом движении объектов.

Проблема движения объекта с закритическими скоростями являлась до недавнего времени академической. Однако, развитие скоростного железнодорожного транспорта привело к существенному увеличению скорости движения поездов, которая вплотную приблизилась к скорости поверхностных волн в грунте и изгибных волн в контактной подвеске. Как следствие, увеличились динамические напряжения, как в рельсах, так и в токонесущих проводах. В настоящее время инженеры борются с этим нежелательным эффектом, увеличивая различными методами скорость волн в железнодорожном пути и подвеске. Путь делается жестче за счет помещения бетонных плит под балласт. Подвеска же либо сильнее натягивается, либо материал, из которого она изготовлена, заменяется на более лёгкий.

Очевидно, однако, что данные меры не представляют собой кардинального решения проблемы, так как дальнейшее увеличение скоростей движения поездов потребует новых мер по увеличению скорости волн и так далее по принципу снежного кома. Кроме того, проложение бетонных плит под железнодорожным путем, например, является очень дорогостоящим мероприятием. Поэтому, в последнее десятилетие стали исследоваться альтернативные методы решения проблемы. В частности, было предложено перейти через "упругий барьер" (аналог звукового барьера, связанный со скоростью распространения упругих волн), а затем использовать интервал закритических скоростей движения, соответствующих малым динамическим напряжениям.

Первый параграф данной главы ( § 5.1 ) посвящен анализу вопроса о переходе через "упругий барьер". Сделать это можно двумя способами. Наиболее очевидный из них - поезд ускоряется и переходит через критическую скорость (так же преодолевает звуковой барьер сверхзвуковой самолет). Базовая модель такого способа была рассмотрена в [47,48], где исследовалось движение равномерно ускоряющейся нагрузки по струне, а затем по балке модели Тимошенко. Как и следовало ожидать (опять же, по аналогии с самолетом), исследования показали, что динамические напряжения, возникающие при переходе через "упругий барьер", тем выше, чем меньше ускорение нагрузки. Таким образом, для перехода через критическую скорость поезд должен развить достаточно большое ускорение. Это, однако, может отпугнуть пассажиров, которых вряд ли привлечет перспектива испытать перегрузки. В связи с этим напрашивается идея о переходе через "упругий барьер" за счет изменения параметров пути. Действительно, варьируя скорость волн в пути (делая, например, грунт вблизи станций жестче), можно преодолеть критическую скорость даже в равномерно движущемся поезде. Для демонстрации этой идеи в § 5.1 рассматривается равномерное движение нагрузки по струне с изменяющейся скачком плотностью. Параметры струны выбраны таким образом, что вначале движение является докритическим, а после перехода нагрузки через скачок - закритическим. В интервале времени, предшествующем переходу нагрузки через скачок, задача анализируется алгебраическим методом, аналогичным методу изображений. Для изучения колебаний, возникающих после перехода, применяется метод преобразований Лапласа. Получено точное решение задачи в виде суммы алгебраического выражения и нескольких однократных интегралов. На основе этого выражения численно исследованы переходные колебания струны. Проведено сравнение амплитуды колебаний струны, имеющих место в рассматриваемой модели, с колебаниями, возбуждаемыми ускоряющейся скачком нагрузкой. Показано, что уровень вибраций при изменении параметров струны оказывается немного ниже, чем при ускоренном движении.

Если допустить, что "упругий барьер" может быть успешно преодолен, то возникает следующий вопрос: не окажется ли так, что при закритическом движении объекта проявится новый динамический эффект, который несущественен или вообще отсутствует при докритическом движении? Ответу на этот вопрос посвящен параграф 5.2. В нем показывается, что колебания закритически движущегося объекта могут быть неустойчивы (экспоненциальный рост амплитуды). Обсуждаются

физические причины неустойчивости. Посредством анализа законов изменения энергии и импульса системы показано, что неустойчивость связана с возбуждением в упругой системе аномальных по Доплеру волн. Эти волны, оказывая сопротивление движению объекта, увеличивают энергию его поперечных колебаний. Установлено, что неустойчивость в однородных направляющих может иметь место только при движении объектов со скоростью, превышающей наименьшую фазовую скорость волн, распространяющихся в направляющей. В качестве примера исследуется устойчивость колебаний осциллятора, равномерно движущегося вдоль балки модели Бернулли-Эйлера. Показано, что колебания осциллятора при закритической скорости движения могут быть неустойчивы, однако, увеличивая собственную частоту осциллятора, систему всегда можно стабилизировать.

В русле анализа нежелательных динамических режимов, возникающих при закритическом режиме движения, в § 5.3 рассматривается резонанс, возникающий при движении поджатого постоянной силой осциллятора вблизи закрепления балки. Данный резонанс возникает при взаимодействии осциллятора с излученной им, а затем отраженной от закрепления волной. Задача анализируется в приближении однократного отражения волны от закрепления. Показано, что резонанс, вызываемый отраженной волной, имеет место на собственной частоте движущегося осциллятора, взаимодействующего с балкой. Резонансный пик всегда ограничен (даже в отсутствие диссипации) вследствие отвода энергии от осциллятора излучаемыми волнами. Установлено, что резонансный пик тем выше и острее, чем больше собственная частота отдельно взятого осциллятора.

Последний параграф главы (§ 5.4) посвящен качественному анализу влияния нелинейности направляющей на поле, генерируемое движущейся нагрузкой. Эта проблема интересна (и малоизученна) теоретически и важна для многих практических приложений. Например, одной из важнейших задач, связанных с анализом железнодорожного пути, является оценка состояния балласта. Для безопасности пассажиров необходимо знать может ли балласт еще эксплуатироваться, или его нужно менять. В настоящее время не существует простой, методики измерений, позволяющей ответить на этот вопрос. Кроме того, весь опыт, накопленный при эксплуатации "обычных" (не высокоскоростных) поездов, оказывается непригодным, т.к. спектр возмущений, генерируемых скоростным поездом, кардинально отличается от спектра, обусловленного "обычным" составом. Известно, однако, что перед тем, как выйти из строя, балласт некоторое время работает в ярко выраженном упруго-пластическом режиме (в отличие от обычного - почти упругого режима). Следовательно, нелинейные свойства балласта изменяются к концу периода эксплуатации, что и может быть использовано в качестве признака, указывающего на необходимость его замены.

В данном параграфе рассматривается простейшая задача о движении постоянной нагрузки по струне, лежащей на нелинейно-упругом основании. Жесткость основания описывается функцией £(£/) = к0 +$U2(x,t), где к0= const - линейная часть жесткости, р -коэффициент нелинейности, U - смещение струны. Исследуется стационарное поле, движущееся вместе с нагрузкой вдоль струны. Анализ

задачи проведен с помощью фазовой плоскости методом, предложенным в [17]. Рассмотрены четыре случая, получающиеся при изменении соотношения скорости движения нагрузки и скорости волн в струне (докритическое и закритическое движение), а также при изменении знака коэффициента нелинейности р (рс0 - мягкая нелинейность, р>0 -жесткая). Показано, что при жесткой нелинейности упругого основания качественных различий с линейным случаем не наблюдается. При мягкой нелинейности различие существует и заключается в разрывности зависимости "установившееся смещение струны под нагрузкой - величина нагрузки", а также в существовании величин нагрузки, при которых установившегося решения вообще не существует.

Целью заключительной шестой главы диссертации является определение скоростей движения поездов, при которых исследованные в предыдущих главах волновые эффекты практически важны. Как известно [35], "критерием" важности волновых эффектов является близость скорости источников возмущений к скорости волн (точнее - минимальной фазовой скорости волн УД"1) в среде. Действительно, как было показано в предыдущих главах, мощность переходного излучения и его реакция тем больше, чем ближе скорость нагрузки к УД1"; неустойчивость колебаний объекта, движущегося по однородной системе, возникает при превышении нагрузкой УД"1; резонанс в периодических системах тем мощнее, чем

ближе скорость нагрузки к УДШ и т.д. Таким образом, именно соотношение между скоростью движения объекта и УД1П определяет практическую

важность волновых эффектов. Какова же минимальная фазовая скорость волн в рельсовом пути? Следуя Тимошенко, уже около семидесяти лет для вычисления этой скорости обычно используется простейшая модель пути - балка, лежащая на линейно-упругом основании модели Винклера. Жесткость основания определяется исходя из статических измерений и принимается равной приблизительно 108 Н/м. В результате критическая скорость поезда (равная минимальной фазовой скорости волн в пути) получается равной 800-1000 км/ч, что, очевидно, недостижимо даже для современных скоростных поездов. Базируясь на этих цифрах, многие инженеры считают, что вклад волновых эффектов в динамику рельсового пути совершенно несущественен. Это, однако, не так. Измерения, проведенные в последнее время на железных дорогах Голландии, Германии, Франции и Швеции показывают, что динамические напряжения в рельсовом пути могут существенно возрасти уже при скоростях порядка 200 км/ч. Особенно явно этот эффект наблюдается если железнодорожный путь проложен по относительно мягкому грунту или грунт по той или иной причине оказывается влажным. Например, "благодаря" этому эффекту, скоростной поезд Париж-Амстердам, именуемый "Талисс", вынужден снижать свою крейсерскую скорость (160180 км/ч) на некоторых участках Голландии до 120 км/ч.

Для того, чтобы оценить реальные критические скорости поездов и понять диапазон скоростей движения, при которых необходим учет волновых эффектов, необходимо' рассмотреть трехмерные модели рельсового пути. Впервые это было, сделано Филипповым в работе [118], где было показано, что критическая скорость поезда приблизительно

равна скорости поверхностных волн в окружающем путь грунте. Данная глава посвящена подтверждению и развитию идеи о фундаментальной роли поверхностных волн в динамике рельсового пути.

В первом параграфе главы ( § 6.1 ) рассматриваются колебания балки конечной ширины, лежащей на упругом полупространстве. Исследуется вопрос о жесткости эквивалентного упругого основания, реакция которого бала бы идентична реакции полупространства. Эквивалентная жесткость такого основания находится методом интегральных преобразований Фурье, а затем анализируется с помощью контурного интегрирования. Показано, что эквивалентная жесткость %к_х является функцией частоты и волнового числа волн, распространяющихся в балке. Установлен фундаментальный факт, что при равенстве фазовой скорости волн в балке скорости волн Рэлея обращается в ноль. Показано также, что эквивалентная жесткость является комплексной функцией, мнимая часть которой обусловлена излучением волн в полупространство. Данная мнимая часть отлична от нуля в случае, когда фазовая скорость волн в балке превышает скорость волн Рэлея.

В § 6.2 анализируется установившийся отклик балки, лежащей на полупространстве на равномерно движущуюся постоянную нагрузку. Смещение балки находится численно, с использованием выражения для эквивалентной жесткости полупространства Показано, что

существует две критические скорости нагрузки. Одна из них равна скорости волн Рэлея сК в полупространстве, а другая - минимальной

фазовой скорости волн УД1" в балке на полупространстве, которая немного меньше сК. Определены установившиеся прогибы балки при четырех различных наборах параметров балки и полупространства. Показано, что чем шире балка и чем жестче полупространство, тем меньше смещение балки под нагрузкой. Таким образом, рассматривая балку на полупространстве как модель рельсового пути, а нагрузку - как вес поезда, можно утверждать, что амплитуда колебаний рельсового пути существенно возрастет при движении поезда со скоростью, близкой у скорости поверхностных волн в окружающем путь грунте. Скорость этих волн в мягких и влажных грунтах (например, в Голландии) имеет порядок 200 км/ч, что вполне достижимо для современных скоростных поездов.

Третий параграф ( § 6.3 ) посвящен анализу устойчивости колебаний осциллятора, равномерно движущегося по балке, лежащей на упругом полупространстве. При исследовании задачи вновь используется выражение для эквивалентной жесткости полупространства. Вследствие линейности задачи, анализ устойчивости системы сводится к отысканию корней характеристического уравнения, описывающего колебания осциллятора, безотрывно движущегося по балке. Данное уравнение получено методом интегральных преобразований Фурье, а его корни проанализированы методом £>- разбиений [72]. Показано, что неустойчивость может иметь место при движении осциллятора, со скоростью, превышающей наименьшую фазовую скорость волн в балке. Неустойчивость наблюдается при жесткостях осциллятора пружины осциллятора порядка 106 кг/с2'. Если рассматривать движущийся осциллятор, как подрессоренное колесо поезда, то можно утверждать, что неустойчивость имеет место при используемых ныне жесткостях рессор.

В §6.4 анализируется влияние шпал на критическую скорость поезда. Для этого рассматриваются установившиеся колебания балки, лежащей на дискретных эквидистантных опорах, которые, в свою очередь, прикреплены к упругому полупространству. Основное внимание уделяется исследованию эквивалентной структуры, с помощью которой можно заменить полупространство. Показано, что это можно сделать с помощью идентичных пружин, помещенных под каждую опору. Установлено, что эквивалентная жесткость этих пружин является комплексной функцией частоты со колебаний балки и сдвига фаз <?(со) между колебаниями соседних опор. При выполнении условия ¿ус?/сл = |^(<у) + 2яп|, где й -расстояние между опорами, ся - скорость волн Рэлея, п - натуральное число, эквивалентная жесткость обращается в ноль. Как следствие, скорость волн Рэлея является критической для постоянной нагрузки, равномерно движущейся вдоль балки. Таким образом, учет дискретности контакта балка - полупространство, учитывающий наличие шпал в рельсовом пути, подтверждает "критичность" движения поезда со скоростью волн Рэлея.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Метрикин, Андрей Владимирович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Выявлен один из характерных источников вибраций в упругих системах - переходное излучение, возникающее при равномерном движении объектов по неоднородным упругим системам.

2. На основе анализа пересечения объектом уединенной области неоднородности упругой системы, рассмотрен непосредственно эффект переходного излучения. Изучены причины возникновения излучения, его спектральный состав, реакция и диаграмма направленности, а также законы изменения энергии и импульса, имеющие место при формировании излучения. Установлено, что в процессе излучения возможен разрыв контакта "движущийся объект -направляющая".

3. Исследовано переходное излучение в периодически и случайно-неоднородных системах. Показано, что при периодической неоднородности спектр излучения в установившемся режиме дискретен. Если групповая скорость одной из гармоник этого спектра совпадает со скоростью движения объекта, в системе наблюдается резонанс. В пренебрежении диссипацией, амплитуда резонансных колебаний неограниченна. В случае случайной неоднородности упругой системы, спектр излучения оказывается сплошным, а само поле излучения - локализованным вблизи движущегося объекта. Амплитуда резонансных колебаний, вызываемых. осцилляциями движущегося объекта, всегда ограничена.

4. Показано, что колебания равномерно движущегося по упругой направляющей объекта могут быть экспоненциально неустойчивы. Если направляющая однородна, то неустойчивость имеет место лишь при превышении объектом минимальной скорости волн в направляющей. Если же упругая система периодически или случайно неоднородна, то зоны неустойчивости появляются и при меньших скоростях движения. Проанализирована физическая причина неустойчивости, связанная с излучением аномальных по Доплеру волн. Указано на возможность стабилизации колебаний путем подбора упруго-инерционных параметров движущегося объекта.

5. Проанализирована возможность перехода равномерно движущегося объекта через "упругий барьер" за счет вариации параметров упругой системы. Установлено, что амплитуды колебаний направляющей, возникающих при таком способе перехода и при преодолении "упругого барьера" за счет ускорения объекта сравнимы по величине.

6. Проанализирована динамика некоторых трехмерных моделей рельсового пути. Показано, что динамическая жесткость грунта резко понижается при движении поезда со скоростью волн Рэлея в грунте. Как следствие, при движении поезда с такой скоростью амплитуда колебаний пути резко возрастает, а при превышении этой скорости в системе становится возможной неустойчивость. Скорость поверхностных волн в мягких и влажных грунтах имеет порядок 200 км/ч и является вполне достижимой для современных скоростных поездов. На основе этого можно заключить, что рассмотренные в работе волновые эффекты имеют не только академический интерес, на и важны для сегодняшней инженерной практики.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Метрикин, Андрей Владимирович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

[1] Алексеев В.M., Валеев К.Г., "Исследование колебаний линейной системы со случайными коэффициентами", Известия высших учебных заведений. Радиофизика 14, 1810-1815 (1971).

[2] Андриянов В.Л., Крысов C.B., "Решение одной задачи динамики упругой системы с движущейся нагрузкой методом интегральных преобразований", Дифф. и инт. уравнения. Сб. научных трудов, Горький, Изд. ГГУ, 78-85 (1985).

[3] Басс Ф.Г., "О тензоре эффективной диэлектрической проницаемости в среде со случайными неоднородностями", Известия высших учебных заведений. Радиофизика 2,1015-1016 (1959).

[4] Басс Ф.Г., Яковенко В.М., "Теория излучения заряда, проходящего через электрически неоднородную среду", Успехи физических наук 86, 189-230 (1965).

[5] Беляев Ю.А., "Осредненное описание колебаний в одномерной случайно - неоднородной среде", Прикладная математика и механика 49, 696-700 (1985).

[6] Беляев И.А., Вологин В.А., Взаимодействие токоприемников и контактной сети, Москва, Транспорт (1983).

[7] Бидерман В.Л., Теория механических колебаний, Москва, Высшая школа (1980).

[8] Бирагов С.Б., Тамойкин В.В., "О реакции.излучения звука при движении малых тел в неоднородных газообразных средах", Журнал экспериментальной и теоретической физики 4, 1544-1551 (1963).

[9] Бойко B.C., Гарбер Р.И., Кившик В.Ф., Кривенко Л.Ф., "Экспериментальное исследование переходного излучения звука дислокациями при их выходе на поверхность", Журнал экспериментальной и теоретической физики 71, 708-713 (1976).

[10] Бойко B.C., Гарбер Р.И., Кривенко Л.Ф., Кривуля С.С., "Звуковое излучение двойникующих дислокаций при их выходе из кристалла", Физика твердого тела 11, 3624-3626 (1969).

[11] Болотин В.В. ,Случайные колебания упругих систем, Москва, Наука (1979).

[12] Болотовский Б.М., "Теория эффекта Вавилова - Черенкова", Успехи физических наук 62, 201-246 (1957).

[13] Болотовский Б.М., Воскресенский Г.В., "Дифракционное излучение", Успехи физических наук 88, 209-251 (1966).

[14] Божков А.И., Бункин Ф.В. и др., "Переходное излучение звука термооптическим источником, реализуемым сканирующим лазерным пучком", Акустический журнал 28, 461-469 (1982).

[15] Бреховских Л.М., Волны в слоистых средах, Москва, Издательство АН СССР (1957).

[16]Бриллюен Л., Пароди М., Распространение волн в периодических структурах, Москва, Издательство иностранная литература (1953).

[17]Быченков В.А., Волновое сопротивление движению нагрузок вдоль одномерных упругих систем, дисс. ... канд.физ.-мат.наук, Горький, ГГУ (1988).

[18] Весницкий А.И., Волновые эффекты в упругих системах, В книге "Волновая динамика машин", Москва, Наука (1991).

[19] Весницкий А.И., Крысов C.B., "Возбуждение колебаний в движущихся элементах конструкций", Машиноведение 1,16-17 (1983).

[20] Весницкий А.И., Каплан Л.Э., Уткин Г.А., "Вывод естественных граничных условий для одномерных задач динамики с движущимися нагрузками и закреплениями", Дифференциальные и интегральные уравнения, 75-80 (1982).

[21] Весницкий А.И., Каплан Л.Э., Уткин Г.А., "Законы изменения энергии и импульса для одномерных систем с движущимися закреплениями и нагрузками", Прикладная математика и механика 47, 863-866 (1983).

[22] Весницкий А.И., Кононов A.B., Метрикин A.B., "Переходное излучение в двумерных упругих системах", Прикладная механика и техническая физика 3, 170-179 (1995).

[23] Весницкий А.И., Метрикин A.B., "Описание внутреннего трения в одномерных упругих системах с помощью операторов для среднего поля смещений в случайно-неоднородной среде", Нижегородский филиал института машино-ведения РАН, Нижний Новгород. Депонировано в ВИНИТИ 25.02.92. Ns 634-В92 (1992).

[24] Весницкий А.И., Метрикин A.B., "Переходное излучение в одномерных упругих системах", Прикладная механика и техническая физика 2, 6267 (1992).

[25] Весницкий А.И., Метрикин A.B., "Излучение, возникающее при равномерном движении объекта по случайно-неоднородной упругой системе", Прикладная механика 28, 46-50 (1992).

[26] Весницкий А.И., Метрикин А.ВМ "Параметрическая неустойчивость колебаний тела, равномерно движущегося по периодически-неоднородной упругой системе" Прикладная механика и техническая физика 2, 127-134 (1993).

[27] Весницкий А.И., Метрикин A.B., "Переходное излучение в периодически - неоднородной упругой направляющей", Известия РАН. Механика твердого тела 6, 164-168 (1993).

[28] Весницкий А.И., Метрикин A.B., "Неустойчивость колебаний объекта, равномерно движущегося по случайно-неоднородной упругой системе", Известия РАН. Механика твердого тела 5,162-169 (1996).

[29] Весницкий А.И., Метрикин A.B., "Переходное излучение в механике", Успехи Физических Наук 166(10), 1043-1068 (1996).

[30] Вибрации в технике. Колебания линейных систем. 1.1, Справочник под редакцией В.В. Болотина, Москва, Машиностроение (1978).

[31] Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П., Теория волн, Москва, Наука (1979).

[32] Владимиров B.C., Уравнения математической физики, Москва, Наука (1979).

[33] Гапонов-Грехов A.B., Долина И.С., Островский A.A., "Аномальный эффект Доплера и радиационная неустойчивость движения осцилляторов в гидродинамике", Доклады АН СССР 268, 827-831 (1983).

[34] Гарибян Г.М., "К теории переходного излучения и ионизационных потерь частицы", Журнал экспериментальной и теоретической физики 37, 527-533 (1959).

[35] Гинзбург В.Л., Теоретическая физика и астрофизика, Москва, Наука (1975).

[36] Гинзбург В.Л., Франк И.М., "Излучение равномерно движущегося электрона, возникающее при его переходе из одной среды в другую", Журнал технической физики 16, 15-32 (1946).

[37] Гинзбург В.Л., Цытович В.Н., "Некоторые вопросы переходного излучения и переходного рассеяния", Успехи физических наук 126, 553608 (1978).

[38] Гинзбург В.Л., Цытович В.Н., Переходное излучение и переходное рассеяние, Москва, Наука (1984).

[39] Горелик Г.С., "Резонансные явления в линейных системах с периодически меняющимися параметрами", Журнал технической физики 4, 1-26 (1934).

[40] Градштейн И.С., Рыжик И.М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произве-дений, Москва, Наука (1971).

[41] Григорьев Г.И., Савина О.Н., "Переходное излучение акустико-гравитационных волн", Известия высших учебных заведений. Радиофизика 26, 135-141 (1983).

[42] Денисов Г.Г., Новиков В.В., Кугушева Е.К., "К задаче об устойчивости одномерных безграничных систем", Прикладная математика и механика 49, 691-696 (1985).

[43] Деч Г., Руководство к практическому применению преобразования Лапласа, Москва, Наука (1971).

[44]Диткин В.А., Прудников А.П., Интегральные преобразования и операционное исчисление, Москва, Наука (1974).

[45] Докучаев В.П., "К теории излучения звуковых волн при движении малых тел в газообразных средах", Журнал экспериментальной и теоретической физики 43, 595-604 (1962).

[46] Докучаев В.П., Разин A.B., "Распространение упругих волн в твердой среде с флуктуирующими параметрами", Известия АН СССР. Физика Земли, 40-45 (1987).

[47] Каплунов Ю.Д., Муравский Г.Б., "Колебания бесконечной струны на деформируемом основании при действии равноускоренно двтжущейся нагрузки. Переход через критическую скорость.",b Известия АН СССР. Механика твердого тела 1, 155-161 (1986).

[48] Каплунов Ю.Д., Муравский Г.Б., "Действие равнопеременной движущейся сислы на балку Тимошенко, лежащую на упругом

, основании. Переходы через критические скорости", Прикладная математика и механика 51, 475-482 (1987).

[49] Кляцкин В.И., Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах, Москва, Наука (1980).

[50] Кононов A.B., Метрикин A.B., "Эффект переходного излучения в двумерных упругих системах", Известия РАН. Механика твердого тела 6, 95-100 (1994).

[51] Кононов A.B., Метрикин A.B., "Дифракционное излучение в двумерных упругих системах", Известия РАН. Механика твердого тела 1, 52-56 (1996).

[52] Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы, Москва, Наука (1984).

[53] Коул Дж., Методы возмущений в прикладной математике, Москва, Мир (1972).

[54] Кохманюк С.С., Янютин Е.Г., Романенко Л.Г., Колебания деформируемых систем при импульсных и подвижных нагрузках, Киев, Наукова Думка (1980).

[55] Крысов C.B., Вынужденные колебания и резонанс в упругих системах с движущимися нагрузками, Учебное пособие, Горький, Издательство ГГУ (1985).

[56] Крысов C.B., Съянов С.А., "Излучение упругих волн в одномерных системах движущимся источником", Прикладная механика и техническая физика 1,150-153 (1983).

[57] Крысов C.B., Филатов Л.В., "Об устойчивости стационарных движений сосредоточенной массы вдоль неограниченной упругой направляющей", Волновые задачи механики. Сборник статей, Нижний Новгород: Нф ИМАШ РАН, 88-95 (1991 ).

[58] Лаврентьев М.А., Шабат Б.В., Методы теории функций комплексного переменного, Москва, Наука (1973).

[59] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Краткий курс теоретической физики. Квантовая механика, Москва, Наука (1982).

[60] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Краткий курс теоретической физики. Механика, Москва, Наука (1988).

[61] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Краткий курс теоретической физики. Электродинамика сплошных сред, Москва, Наука (1982).

[62] Лисенкова Е.Е., "Некоторые общие соотношения для упругих волн, возбуждаемых в направляющей движущимся объектом", Волновые задачи механики. Сборник статей. Нижний Новгород, Нф ИМАШ РАН, 44-52 (1991).

[63] Маланов С.Б., "Постановка задачи согласованного движения сосредоточенного объекта вдоль упругой направляющей", Волновые задачи механики. Сборник статей. Нижний Новгород, Нф ИМАШ РАН, 11-18 (1992).

[64] Метрикин A.B., "Особенности проявления переходного излучения в одномерных упругих системах", Волновые задачи механики. Сборник статей. Нижний Новгород, Нф ИМАШ РАН, 35-43 (1991).

[65] Метрикин A.B., "Переходное излучение в струне, лежащей на неоднородном упругом основании", Динамика и Оптимизация. Межвузовский тематический сборник научых трудов, Нижний Новгород, Издательство ННГУ, 82-90 (1992).

[66] Метрикин A.B., "Неустойчивость поперечных колебаний объекта, равномерно движущегося вдоль упругой направляющей как следствие Аномального эффекта Доплера", Акустический журнал 40(1), 99-103 (1994).

[67] Метрикин A.B., "Стационарные волны в нелинейно-упругой системе, взаимодействующей, с движущейся нагрузкой", Акустический журнал 49(4), 647-650 (1994).

[68] Метрикин A.B., "Колебания упругого колеса, возбуждаемые движущейся нагрузкой", Волновые задачи механики. Сборник статей, Нижний Новгород, Нф ИМАШ РАН, 19-31 (1994).

[69] Метрикин A.B., "Постановка задачи о взаимодействии движущегося точечного объекта и упругой направляющей с использованием обобщенных функций", Волновые задачи механики. Сборник статей. Нижний Новгород, Нф ИМАШ РАН, 32-37 (1994).

[70] Метрикин А.В., "Резонанс в системе упругая направляющая - движущийся осциллятор", Акустический журнал 40(6), 974-978 (1994).

[71] Метрикин А.В., "Переходное излучение в упругом колесе", Прикладная механика и техническая физика, 176-184 (1995).

[72] Неймарк Ю.И., Динамические системы и управляемые процессы, Москва, Наука (1978).

[73] Нобл Б., Применение метода Винера - Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, Москва, Издательство Иностранная литература (1962).

[74] Павлов В.И., Сухоруков А.П., "Переходное излучение акустических волн", Успехи физических наук 147, 83-108 (1985).

[75] Пановко Я.Г., Губанова И.И., Устойчивость и колебания упругих систем, Москва, Наука (1987).

[76] Рабинович М.И., Трубецков Д.И., Введение в теорию колебаний и волн, Москва, Наука (1987).

[77] Работнов Ю.Н., Механика деформируемого твердого тела, Москва, Наука (1988).

[78] Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах, Москва, Мир (1981).

[79] Релятивистская высокочастотная электроника, Сборник статей. Под редакцией А.В. Гапонова-Грехова. Горький, Издательство ИПФ АН СССР (1979).

[80] Светлицкий В.А., Механика гибких стержней и нитей, Москва, Машиностроение (1978).

[81] Светлицкий В.А., Механика стержней, Москва, Машиностроение (1987).

[82] Слепян Л.И., Нестационарные упругие волны, Ленинград, Судостроение (1972).

[83] Тимошенко С.П., Колебания в инженерном деле, Москва, Наука (1967).

[84] Филиппов А.П., Колебания деформируемых систем, Москва, Машиностроение (1970).

[85] Филиппов А.П., Кохманюк С.С., Воробьев Ю.С., Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций, Киев, Наукова Думка (1974).

[86] Чернов Л.А., Распространение волн в среде со случайными неоднородностями, Москва, Издательство АН СССР (1958).

[87] Якубович В.А., Старжинский В.М., Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения, Москва, Наука (1972).

[88] Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции, Москва, Наука (1964).

[89] Achenbach J.D., Wave propagation in elastic solids, North-Holland Publishing Company, Amsterdam-London (1973).

[90] Achenbach J.D., Sun C.T., "Moving load on a flexible supported Timoshenko beam", International Journal of Solid and Structures 1, 353-370(1965).

[91] Amatuni A.Ts. and Korkhmazyan N.A., "Transition radiation in the case of a diffuse boundary between two média", Soviet Physics JETP 12 (4), 703-708 (1961).

[92] Ariaratnam S.T., Xie W.-C., "Wave localization in randomly disordered nearly periodic long beams", J.of Sound and Vibrations 181(1), 7-22 (1997).

[93] Bartels S., Herbert W., Seifert R., "Hochgeschwindigkeits-Stromabnehmer fuer den ICE", Electrishe Bahnen 89(11), 436-441 (1991).

[94] Belotserkovskiy P.M., "On the oscillations of infinite periodic beams subjected to a moving concentrated force", Journal of Sound and Vibration 193(3), 706-712 (1996).

[95] Bogacz R., "On dynamics and stability of continuous systems subjected to a distributed moving load", Ingeneuor Archive 53, 243-255 (1983).

[96] Bogacz R., Brzozowski M. and Ronda J., " Corrugations in rolling contact problems", ZAMM 67, 176-179 (1987).

[97] Bogacz.R, Nowakowski S., Popp K., "On the stability of a Timoshenko beam on an elastic foundation under a moving spring-mass system", Acta Mechanica 61, 117-127 (1986).

[98] Bogacz R., Krzyzinski T. and Popp K., "Influence of beam models on the solution of the generalized Mathews' problem", ZAMM 69(5), T320-T321 (1989).

[99] Bogacz R., Krzyzinski T. and Popp K., "On the group-phase velocities relations for continuous systems under moving ioads", ZAMM 70(4), T202-T203 (1990).

[100] Bogacz R., Krzyzinski T. and Popp K., "On the generalization of Mathews' problem of the vibrations of a beam on elastic foundation", ZAMM 69(8), 1989,243-252(1989).

[101] Bogacz R., Krzyzinski T. and Popp K., "On dynamics of systems modeling continuous and periodic guideways", Archives of Mechanics 45(5), 575-593 (1993).

[102] Brillouin L., Wave propagation in periodic structures, Dover Publications (1953).

[103] Cai C.W., Cheung Y.K. and Chan H.C., "Dynamic response of infinite continuous beams subjected to a moving force - an exact method", Journal of Sound and Vibration 123(3), 461-472 (1988).

[104] Cai C.W., Cheung Y.K. and Chan H.C., "Mode localization phenomena in nearly periodic systems", ASME Journal of Applied Mechanics 62(1), 141149 (1995).

[105] Charnley T., Perrin R., Mohanan V., Banu H., "Vibrations of thin rings of rectangular cross-section", Journal of Sound and Vibration 129(1), 455-488 (1989).

[106] Chonan S., "The elastically supported Timoshenko beam subjected to an axial force and a moving load", International Journal of Mechanical Sciences 17, 573-581 (1975).

[107] Chonan S., "Moving harmonic load on an elastically supported Timoshenko beam", ZAMM 58, 9-15 (1978).

[108] Chung Y.I. and Genin J., "Stability of a vehicle on a multispan simply supported guideway", ASME Journal of Dynamical Systems, Measurements and Control 100(4), 326-332 (1978).

[109] Cole J., Huth J., "Stresses Produced in a Half Plane by Moving Loads", ASME Journal of Applied Mechanics 25, 433-436 (1958).

[110] Dean G. Duffy, "The response of an infiniye railroad track to a moving vibrating mass", ASME Journal of Applied Mechanics 57, 66-73 (1990).

[111] Dieterman H.A., Metrikine A.V., "The equivalent stiffness of a half-space interacting with a beam. Critical velocities of a moving load along the beam", European Journal of Mechanics A/Solids 15(1), 67-90 (1996).

[112] Dieterman H.A., Metrikine A.V., "Critical velocities of a harmonic load moving uniformly along an elastic layer", Trans. ASME J. of Applied Mechanics 64, 596-600 (1997).

[113] Dieterman H.A. and Metrikine A.V., "Eigenfrequencies and simplified models of semi-infinite cascades with variable boundary mass", ZAMM 77(3), 232-235 (1997).

[114] Dieterman H.A. and Metrikine A.V., "Steady-state displacements of a beam on an elastic half-space due to a uniformly moving constant load", European Journal of Mechanics A/Solids 16(2), 295-306 (1997).

[115] Engels R.C., "Response of infinite periodic structures", Journal of Sound and Vibration 69(2), 181-197 (1980).

[116] Esveld C., Modern railway track, MRT-Productions, W.Germany (1989).

[117] Ewing W.M., Jardetsky W.S., Press F., Elastic Waves in Layered Media, McGraw-Hill, New-York (1957).

[118] Filippov A.P., "Steady-state vibrations of an infinite beam on elastic halfspace subjected to a moving load", Izvestija AN SSSR OTN Mehanika i Mashinostroenie 6, 97-105 (1961).

[119] Fryba L., Vibrations of Solids and Structures Under Moving Loads, Noordhoff International Publishing, Groningen (1972).

[120] Genin J. and Chung Y.I., "Response of a continuous guideway on equally spaced supports traversed by a moving vehicle loads", Journal of Sound and Vibrations 67(2), 245-251 (1979).

[121] Gottlieb H.P.W., "Vibrations of a closed string", Journal of Sound and Vibrations 135(1), 79-83 (1989).

[122] Graff K.F., Wave motion in elastic solids, Clarendon Press, Oxford (1975).

[123] Lamb H., "On the Propagation of Tremors Over the Surface of an Elastic Solid", Phil. Trans. Roy. Soc. London, Ser. a, Vol. CCIII, No. 7,1-42 (1904).

[124] Jezequel L., "Analysis of critical speeds of a moving load on an infinite periodically supported beam", Journal of Sound and Vibration 73(4), 606-610(1980).

[125] Jezequel L., "Response of periodic systems to a moving load", ASME Journal of Applied Mechanics 48(3), 603-618 (1981).

[126] Johnson L.R., "Greens Function for Lambs Problem", Geophys. J. Royal Astrono. Soc. 37, 99-131 (1974).

[127] Kenney J.T., "Steady-state vibrations of beam on elastic foundation for moving load", Journal of Applied Mechanics 76, 359-364 (1954).

[128] Kerr A.D., "The continuously supported rail subjected to an axial force and a moving load", International Journal of Mechanical Sciences 14, 71-78 (1972).

[129] Kerr A.D., "Continuously supported beams and plates subjected to moving loads - a survey", Solid Mechanics Archives 6, 401-449.

[130] Kerr A.D., El-Sibaie M.A., "On the new equations for the lateral dynamics of a rail-tie structure", Trans, of ASME J. of Dynamic Systems, Measurements, and Control 109,180-185 (1987).

[131] Knothe Kl., Grassie S.L., "Modelling of Railway Track and Vehicle/Track Interaction at High Frequencies", Vehicle System Dynamics 22, 209-262 (1993).

[132] Kjorling M., "Measurements on the Track at Algaras, Between Laxa and Toreboda, Sweden", Royal Institute of Technology Report TRITA-BST-0161, Stockholm, Sweden (1993).

[133] G.A. Korn and T.M. Korn, Mathematical handbook for scientists and engineers, Mc-Graw-Hill, New-York (1961).

[134] Kruse H., Metrikine A.V. and Popp K. "Eigenfrequencies of a two-mass oscillator uniformly moving along a string on a visco-elastic foundation" Journal of Sound and Vibration (accepted).

[135] Krzyzynski T., "On continuous subsystem modeling in the dynamic interaction problem of a train-track system", Supplement to Vehicle System Dynamics 24, 311-324 (1995).

[136] Krzyzynski T., "The influence of viscous damping on the dynamics of periodic structures", ZAMM 73(4), T11 -T114 (1993).

[137]Kunin I.A., Elastic media with microstructure, Vol.2, Three dimensional models, Springer, Berlin (1983).

[138] Lansing D.L., "The displacements in an elastic half-space due to a moving concentrated normal load", NASA technical report, TR R-238 (1996).

[139] Mackertich S. "Moving load on a Timoshenko beam", J. Acoust. Soc. Am. 88(2), 1175-1178(1990).

[140] Main I.G. Vibrations and waves in physics, Cambridge University Press, Cambridge (1978).

[141] Mead D.J., "Vibration response and wave propagation in periodic structures", AS ME J. Engng. for Industry 93(3), 783-792.

[142] Labra J.J., "An axially stressed railroad track on an elastic continuum subjected to a moving load", Acta Mechanica 22,113-129 (1975).

[143] Manabe K. "Periodical dynamic stability's of a catenary-pantograph system", QR ofRTRI 35(2), 112-117 (1994).

[144] McCoy J.J., "Pressure signals in random linearly elastic rods", International Journal Solids and Structures 8, 877-894 (1972).

[145] Mead D. J., "Vibration response and wave propagation in periodic structures", Transactions of ASME, Journal of Engineering for Industry Series B 93, 783-792 (1971)

[146] Metrikine A.V., Dieterman H.A., "Lateral vibrations of an axially compressed beam on an elastic half-space due to a moving lateral load.", European Journal of Mechanics A/Solids (accepted).

[147] Metrikine A.V. and Dieterman H.A., "Resonance interaction of vertical-longitudinal and lateral waves in a beam on a half-space", Trans. ASME J. of Applied Mechanics 64, 951-956 (1997).

[148] Metrikine A.V. and Dieterman H.A., "The equivalent vertical stiffness of an elastic half-space interacting with a beam, including the shear stresses at the beam - half-space interface", European Journal of Mechanics A/Solids 16(3), 515-527 (1997).

[149] Metrikine A.V. and Dieterman H.A., "Instability of vibrations of a mass moving uniformly along an axially compressed beam on a viscoelastic foundation", Journal of Sound and Vibration 201(5), 567-576 (1997).

[150] Metrikine A.V. and Popp K., "Instability of vibrations of an oscillator moving along a beam on an elastic half-space", European Journal of Mechanics A/Solids (accepted).

[151] Metrikine A.V. and Popp K., " Vibration of a periodically supported beam on an elastic half-space ", European Journal of Mechanics A/Solids (submitted).

[152] Metrikine A.V. and Popp K., "Load motion along a beam on a visco-elastic layer", Trans. ASME J. of Applied Mechanics (submitted).

[153] Metrikine A.V. and Vesnitsky A.I., "Instability of vibrations of a mass moving uniformly over periodically and randomly-inhomogeneous elastic systems", ZAMM 76(S4), 441-444 (1996).

[154] Metrikine A.V., Wolfert A.R.M. and Dieterman H.A., "Transitional radiation in an elastically supported string. Abrupt and smooth variation of the support stiffness", Wave motion 27, 291-305 (1998).

[155] Miklowitz J., The Theory of Elastic Waves and Waveguides, NHPC, Amsterdam (1978).

[156] Muravskii G., Operstein V., "Time-harmonic vibration of an incompressible linearly non-homogeneous half-space", Earthquake Engineering and Structural Dynamics 25, 1195-1209 (1996).

[157] Olsson M., "On the fundamental moving load problem", Journal of Sound and Vibration 145(2), 299-307 (1991).

[158] Patil S.P., "Natural frequencies of an infinite beam on a simple internal foundation model", International Journal of Solids and Structures 23, 16151623 (1987).

[159] Patil S.P., "Response of infinite railroad track to vimrating mass" Journal of Engineering Mechanics 114, 688-703 (1988).

[160] Payton R.J., "Transient Motion of an Elastic Half-Space Due to a Moving Surface Line Load", International Journal of Engineering Sciences 5, 49-79 (1967).

[161] Samavedam G., Kish A., Purple A. and Schoengart J., "Parametric analysis and safety concept of CWR buckling", U.S. Department of transportation, John A.VoIpe National Transportation System Center, Cambridge, report no. DOT-VNTSC-FRA-93-25, (December 1993).

[162] Sarfeld W., Numerishe verfahren zur dynamischen boden-bauwerk interaktion, Papyrus-Druck GmbH, Berlin (1994).

[163] Singh K. and Malik A.K., "Wave propagation and vibration response of a periodically supported pipe conveying fluid", Journal of Sound and Vibrations 54(1), 55-66 (1977).

[164] Singh K. and Malik A.K., "Parametric instabilities of a periodically supported pipe conveying fluid", Journal of Sound and Vibrations 62(3), 379397 (1979).

[165] Ting E.C., Genin J. and Ginsberg J.H., "A general algorithm for the moving mass problem", Journal of Sound and Vibrations 33 , 49-58 (1974).

[166] Van M.A., "Buckling of continuous welded rail (CWR) track", Proceedings of the Congress on "From Materials to Building Structures", Elspeet, Netherlands (1996).

[167] E.T. Witteker and Watson G.N., A course of modern analysis, Cambridge (1950).

[168] Wolfert A.R.M., "Contour integration and inverse Laplace transforms for application in moving load dynamics", Delft University of Technology. Report no. 03.21.0.22.16, Delft, The Netherlands (1997).

[169]Wolfert A.R.M., Metrikine A.V., "Inverse Laplace transforms, for applications in moving load problems", Delft University of Technology. Report no. 03.21.1.22.37, Delft,The Netherlands (1995),

[170] Wolfert A.R.M., Metrikine A.V. and Dieterman H.A., "Wave radiation in a one-dimensional system due to a non-uniformly moving constant load", Wave Motion 24(2), 185-196 (1996).

[171] Wolfert A.R.M., Metrikine A.V. and Dieterman H.A., "Stability of vibrations of two oscillators moving uniformly along a beam on a visco-elastic foundation", Journal of Sound and Vibration (accepted).

[172] Wolfert A.R.M., Metrikine A.V. and Dieterman H.A., "Passing through the 'Elastic Wave Barrier' by a Load Moving along a Waveguide", Journal of Sound and Vibration 203(4), 597-606 (1997).

[173] Wolfert A.R.M., Metrikine A.V. and Dieterman H.A., "Passing through the elastic wave barrier by a load moving uniformly along a smoothly inhomogeneous string on an elastic foundation"", ZAMM (accepted).

ПРИЛОЖЕНИЕ. Общий вид уравнений, описывающих безотрывные колебания движущегося точечного объекта и одномерной упругой системы.

В данном приложении приводится общая постановка задачи о взаимодействии движущегося точечного объекта и одномерной упругой системы, полученная в [20,21] исходя из Вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Следуя работе автора [69], осуществлен переход к постановке задачи через обобщенные функции.

Рассмотрим одномерную упругую систему, движение которой определено в области Б\{а<1< р,а<х<Ь\ и характеризуется функционалом Лагранжа

где Л(х,1,и(х,{),ипих) - плотность функции Лагранжа, обобщен-

ная координата упругой системы.

Пусть вдоль упругой системы по некоторому закону х = /(г) движется точечный объект, характеризующийся функцией Лагранжа

где у{г) - обобщенная координата объекта.

Будем считать, что при х = 1({) выполнены условия неразрывности упругой системы

и безотрывности колебаний движущегося объекта и упругой системы

Тогда, применяя вариационный принцип Гамильтона-Остроградского, получим [20,21] следующую систему уравнений, описывающую безотрывные колебания движущегося точечного объекта и одномерной упругой системы:

а

и(1,/(¿) - о) = и(1,1(1) + о) = и(1, Щ

(П.1.1)

^МОМО-

(П.1.2)

дк д дХ д дХ

ди й ¿и, дх дих

й „

+ д = 0,

ду & ¿¡у

дк дк

а? а с€

¡-+л = (с/Д/(0+о,0+с/Д/(0-о,0)

а ск ¿Я

дХ _ • дк

-о,

J ,«/(0

(П.1.3)

где - внешняя распределенная сила, действующая на упругую

систему, £1(() - внешняя сосредоточенная сила, действующая на движущийся объект в направлении и{х,{), Я{{) - внешняя сила, поддерживающая движение объекта по закону х = /(?). В (П.1.3) использовано следующее обозначение: [/(х>0]х-/(,) =/(^(0 + о>0~

-/(/(?)-0,г). Функции ср{{) и у/{{) полагаются заданными.

Если лагранжиан упругой системы зависит от старших производных обобщенной координаты и{х,{), т.е. к = к[х,1,и(х,{),и1,их,ихх,их1), а

функция Лагранжа движущегося объекта имеет вид (г - малый угол поворота объекта относительно оси х)

постановка задачи имеет, согласно [55], следующий вид:

дк д дХ д дк & дХ д1 дХ

ди & ди, дх дих дх ди^ дхй дОх1

+ ? =

а? й д£ „

----+ () =

ду <И

а? ¿1 д£

дк д дХ

д дХ дк

дих дхди^ а дС1х,

ди,

& <И дк

+ М =

дХ дХ

диг

ди,

xi .

Ж ¿1 ди

а <и а

дк д дк

д дк дк

Шх дх ди^ а сМх{

ди,

-в

(П.1.4)

U(l{t)-0,t) = U(l{t) + 0,t) = y{t), Ux{l{t)-0,t) = Ux{l{t) + 0,t) = z[t), U(a,t) = <p{t), U{b,t) = y/(t).

Здесь M - момент внешних сил, действующих на движущийся объект.

Аппарат теории обобщенных функций, изложенный в [32], дает возможность перейти от (П.1.4) к постановке задачи, базирующейся на использовании обобщенных функций. Для выполнения такого перехода нам потребуется определение обобщенной производной обобщенной функции, которое, согласно [32], имеет вид

= (П.1.5)

где / е£)', D' - пространство обобщенных функций, <p^D, D - пространство основных функций, {А,<р) = j A(x)<p(x)dx, d"f - обобщенная

производная функции /, д"<р - классическая производная функции (р. Из определения (П.1.5) следует:

а) Если функция / еС1, то д"/ = d"f.

б) Пусть функция f(x) такова, что / еС1 (х<х0) и /еС1 (х> х0), тогда

& = & +[Л0Ф-*о)> Я f = <?/ + [f% Ф - *о) + [Д Г(х - ),

где [/],[/'] -скачки f(x) и df / dx в точке х0:

[fl0 = Ахо + 0) ■" /(*о - 0), УХ = Г{х0 + 0) -/'(х0 - 0). Действительно, если peD, то

(¿М=ЧЛ-Ф)= -JД*У = [f]Xo ф0) + <р {x)dx=([f]XoS{x-x0)+^-,p

=(г^<р)=|/(*у =нд/м-/-¿^м*=

=[/I р'М+[/!„ +[=

Основываясь на приведенных выше свойствах обобщенной производной, запишем следующие равенства:

д <31 дх Шх д дк ---+ дх дОх дк

д дк д <31 ; 1 а ди, дк

а Ш, ди,_

д2 <31 д1 дк д дк

а? ей л дх1 ди^ дх ди ^

д1 <31 д1 <31 ' д дк

дх а ди м ска дим _а дих1

ф-/(*)),

<31

ди„

х=т

•*='(о

<31

Л/.

¿'(х-/(г)).

Подставляя данные равенства в первое уравнение (П.1.4) и учитывая третье и четвертое уравнение этой системы, получим

д2 дХ

дХ д дХ д дХ д2 дХ -------+—-+--

ди дг ди( дх дих дх2 ди^ 5x3? д\]х(

ГдЬ°

ду ¿г ду

5(х-/(0) +

дг йг дг

■М

Ъ'{х-Щ,

с1 дь°

81 да 81

дХ д 8Х

8 8Х _ • 8Х

дих дх ди^ дг дих1

ди,

<2

{7(<М) = ф(0> С/(Ь,0 = У(0-

(П.1.5)

Система уравнений (1.5) представляет собой общую постановку рассматриваемой задачи через обобщенные функции.