Динамика прецессионного движения неуравновешенного ротора тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, доктор физико-математических наук Пасынкова, Инна Анатольевна

• Пасынкова, Инна Анатольевна
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Пасынкова, Инна Анатольевна

Введение 2

1 Стационарные движения статически и динамически несбалансированного ротора 12

1.1 Описаиие модели жесткого ротора с четырьмя степенями свободы.13

1.2 Вывод уравнений движения.13

1.3 Прямые синхронные прецессии.19

1.4 Множество нелинейных резопапсов.20

1.5 Самоцентрирование ротора.23

1.6 Симметричные гиперболоидальиые прецессии. Амплитудно-частотные характеристики .24

1.6.1 Нелинейная характеристика опор типа Герца.27

1.6.2 Нелииейпая характеристика опор типа Дуффипга.28

1.7 Исследование устойчивости.31

1.7.1 Нелинейная характеристика опор типа Герца.35

1.7.2 Нелинейная характеристика типа Дуффипга .38

1.8 Влияние внешнего трения па вращение ротора. Несимметричные гиперболоидальиые прецессии.41

1.8.1 Прямые синхронные прецессии и их свойства.42

1.8.2 Результаты численного эксперимента.43

2 Стационарные движения статически несбалансированного ротора 47

2.1 Внешнее и внутреннее трепие .48

2.2 Уравнения движения и прямые синхронные прецессии.49

2.3 Цилиндрические прецессии ротора в подшипниках с нелинейной характеристикой Герца .51

2.3.1 Амплитудно-частотные характеристики .51

2.3.2 Устойчивость цилиндрической прецессии.54

2.3.3 Бифуркации цилиндрической прецессии. 58

2.3.4 Бифуркации Андропова - Хопфа, предельные циклы и странные аттракторы. 61

2.3.5 Ляпуповские показатели. Алгоритмы численной оценки ляпу-повских показателей. 72

2.3.6 Нестационарные движения ротора при переходе через резонансную область . 77

2.4 Цилиндрические прецессии ротора в подшипниках с нелинейной характеристикой типа Дуффипга . 82

2.4.1 Амплитудно-частотные характеристики . 82

2.4.2 Устойчивость и бифуркации цилиндрической прецессии. 86

2.4.3 Автоколебания. Приближенное определение предельного цикла. 90

2.4.4 Хаотизация предельных циклов.

Странный аттрактор . 93

2.4.5 Нестационарные колебания ротора при переходе через резонансную область .102

2.5 Влияние зазора в подшипниках крепления па цилиндрические прецессии неуравновешенного ротора .105

2.5.1 Устойчивость цилиндрической прецессии.110

3 Стационарные движения динамически несбалансированного ротора 114

3.1 Уравнения движения и прямые синхронные прецессии.114

3.2 Симметричные конические прецессии ротора в подшипниках с нелинейной характеристикой типа Герца.116

3.2.1 Амплитудно-частотные характеристики .116

3.2.2 Устойчивость симметричной конической прецессии.119

3.2.3 Бифуркации Андропова - Хоифа симметричной конической прецессии.122

3.2.4 Нестационарные колебания ротора при переходе через резонансную область .127

3.3 Конические прецессии ротора в подшипниках с нелинейной характеристикой типа Дуффипга.130

3.3.1 Амплитудно-частотные характеристики .130

3.3.2 Устойчивость и бифуркации симметричной конической прецессии.132

3.3.3 Автоколебания. Приближенное определение предельного цикла.135

4 Стационарные движения неуравновешенного ротора, укрепленного на гибком валу 142

4.1 Описание модели ротора и вывод уравнений движения.142

4.2 Гиперболоидальпые прецессии неуравновешенного ротора в упругих линейных опорах.147

4.3 Гиперболоидальпые прецессии неуравновешенного ротора в упругих опорах типа Герца.153

5 Цилиндрические и конические прецессии неуравновешенного ротора, укрепленного на гибком валу 156

5.1 Цилиндрические прецессии статически неуравновешенного ротора . . 156

5.1.1 Опоры с нелинейной характеристикой Герца.157

5.1.2 Опоры с нелинейной характеристикой Дуффипга.169

5.2 Конические прецессии динамически неуравновешенного ротора в нелинейных подшипниках типа Герца.174

5.2.1 Устойчивость конической прецессии вблизи нелинейных резо-папсов.176

5.2.2 Потеря устойчивости конической прецессии в закритической области. . 178

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика прецессионного движения неуравновешенного ротора»

Современный уровень развития техники, машиностроения и транспорта предъявляет высокие требования к частоте вращения роторных машин. Как правило, требуется, чтобы рабочий диапазон угловых скоростей вращеиия был достаточно высоким, по при этом должно быть обеспечено безопасное прохождение через резонансную область. Имеется огромное число работ, в которых исследуется влияние различных факторов па динамику быстровращающихся роторов, таких как статический и динамический дисбаланс, гироскопические эффекты, влияние сил сопротивления различной природы и гидродинамических сил смазочного слоя, влияние собственного веса и упругости опор, наличие зазоров в подшипниках крепления и др.

Начало теоретическим исследованиям динамики быстровращающихся валов положила короткая заметка известного шотландского ученого Уильяма Рэпкипа, опубликованная в 1869 г. [112]. В этой работе впервые приведено описание влияния центробежных и упругих сил па вращеиие гибкого вала, которое приводит к появлению вращения оси вала в изогнутом состоянии. Это движение Рэнкип назвал "centrifugal whirling" и ввел этот термин в англоязычную научную литературу по динамике роторов. В современной русской литературе этому термину соответствует "прецессия оси ротора". Несомненная заслуга Рэпкипа состоит в том, что ои применил теорию поперечных колебаний стержней, разработанную Пуассоном, к динамике быстровращающихся валов [111]. Рэнкип первым понял, что критическая угловая скорость вала достигается в тот момент, когда вал, как упругий стержень, теряет устойчивость своей прямолинейной формы.

Первые математические модели вращающегося вала были созданы профессором Мюнхенского университета Аугустом Фёпплем в 1895 г. [84, 85] и независимо профессором Ирландского Королевского колледжа Генри Джеффкоттом в 1919 г. [92]. А. Фёппль первым обнаружил явление самоцентрирования ротора, когда при неограниченном росте угловой скорости ротора центр масс диска стремится запять положение па линии опор, и тем самым теоретически обосновал возможность работы со сверхкритическими скоростями.

Инженерная практика опережала теоретические исследования. В 1882 г. выдающийся шведский инженер и изобретатель Карл Лаваль создал первую импульсную паровую турбину, а в 1883 г. он получил патент па морскую реверсивную паровую турбину с рабочей скоростью 42000 об/мин, которая была заведомо выше, чем "whirling speed" Рэпкипа. Подробно о первых работах по динамике роторов см. Приложение, стр. 186.

Начиная с работы Дапкерлея [83], который в 1894 г. предложил эмпирические формулы для расчета критических угловых скоростей вала, усилия многих выдающихся механиков XX века были направлены па создание и обоснование приближенных методов определения критических частот вращения. Следует отметить труды А. Стодолы [115], Р. Граммеля [88], А.Н. Крылова [33], Ф.М. Диментберга [18], В.Я. Натанзона [45].

Определение критических угловых скоростей является одной из основных задач динамического расчета роторов, однако она не исчерпывает всех проблем динамики роторов. Динамическое поведение роторов при переходе через критические зоны и при работе па сверхкритических скоростях чрезвычайно важно в практике конструирования и эксплуатации роторных машин. Интенсивные колебания валов при переходе через критические зоны и возбуждение колебаний большой амплитуды в закритической области требовали теоретического объяснения причин возникающей неустойчивости. Уже в 30-х годах XX века в работах А. Кимбалла [95, 96] было установлено, что причиной неустойчивости в закритической области может быть внутреннее трение, а в работах Б.Л. Ныокирка и Г.Д. Тейлора теоретически и экспериментально показано, что причиной автоколебаний валов, вращающихся в подшипниках скольжения, является действие смазочного слоя [102,103]. Исследованию устойчивости вращения гибких валов посвящены работы E.J1. Николаи [47, 104], Д.М. Смита [113], П.Л. Капицы [27], Ф.М. Диментберга [18], В.В. Болотина [10], А. Топдла [70, 71] и многих других авторов.

Большое влияние па изучение динамики вращающихся валов оказали труды Н.М. Крылова, H.H. Боголюбова и Ю.А. Митропольского [9, 35]. С применением асимптотических методов проводится исследование стационарных и нестационарных изгибпых колебаний валов в работе В. А. Гробова [16], а исследование автоколебаний и субгармонических колебаний — в монографии М.Я. Кушуля [37].

С развитием вычислительной техники и компьютерных методов стало возможным применять к задачам динамики роторов хорошо разработанные вычислительные методы, такие как метод конечных элементов ( например, [99, 101, 119]).

В последнее время большое внимание в работах по динамике роторов уделяется влиянию различных нелинейных факторов па устойчивость и характер движения роторных систем. Отдельное направление посвящено действию нелинейных гидродинамических сил смазки в подшипниках скольжения. Много работ посвящено изучению роторов с нелинейными упругими свойствами валов и опор, например, работы [10, 24, 26, 42, 43, 67, 71, 78, 87, 118]. Влияние зазора в подшипниках для модели ротора Джеффкотта исследовалось в работах [106, 117, 118]. Роторные системы с нелинейным внешним трением рассмотрены в работах [6, 68] (сухое трение), [20] (квадратичное трение) и нелинейным внутренним трением в работах [81, 89]. Дестабилизирующее воздействие двигателя ограниченной мощности исследовалось в работах [43, 118]. Влияние внутреннего резонанса в модели ротора Джеффкотта с одновременным учетом нелинейных характеристик опор рассмотрено в работе [90].

Успехи теории устойчивости и теории нелинейных колебаний, теории бифуркаций и теории катастроф, нелинейной динамики ([2, 3, 4, 36, 38, 39, 40, 46, 64, 66, 74, 75]) позволили исследователям роторных систем обнаруживать и предсказывать появление асинхронных прецессий, квазипериодических и хаотических колебаний, странных аттракторов [72, 78, 90, 93, 117, 118].

Однако в большинстве работ по динамике роторов в основном используется простейшая модель ротора с двумя степенями свободы, представляющая собой диск, насаженный па гибкий вал, укрепленный в шарнирных опорах.

Настоящая работа посвящена изучению динамики ротора с четырьмя степенями свободы, при этом в первой части работы (I, II, III главы) рассматривается жесткий ротор, а во второй (IV, V главы) — ротор, насаженный на гибкий вал. Вал укреплен в упругих опорах, которые предполагаются изотропными и нелинейными. Рассматриваются два вида нелинейных характеристик — существенно нелинейные, задаваемые законом Герца и характерные для подшипников качения, а также содержащие линейный и кубический члены (типа Дуффипга), характерные для подшипников скольжения.

Первыми работами, в которых изучался жесткий ротор, вращающийся в двух упругих опорах, были работы В. Блесса в 1926 г. [80], С.П. Тимошенко в 1928 г. [116] и В. Дизиоглу в 1951 г. [82]. Блесс рассматривает вынужденные колебания уравновешенного ротора, вызванные двумя малыми массами, эксцентрично присоединенными к ротору в двух параллельных плоскостях. Тимошенко и Дизиоглу рассматривают вынужденные колебания, вызванные одной малой массой, также эксцентрично присоединенной к ротору. В работах [80] и [82] не учитывалось влияние присоединенных масс на изменение моментов инерции ротора, поэтому в названных работах не был обнаружен эффект самоцептрироваиия, причем Дизиоглу [82] пришел к неточным выводам об отсутствии самоцептрироваиия, что было отмечено A.C. Кельзопом в работе [28].

Большой вклад в решение проблемы, связанной с созданием роторных машин с высоким ресурсом и большими скоростями вращения, внесли результаты, полученные A.C. Кельзопом и его коллегами и обобщенные в монографии [32]. Был предложен новый для того времени метод расчета и конструирования линейных упругих опор, позволяющий существенно уменьшить динамические составляющие реакций опор. Одновременно наблюдалось резкое уменьшение амплитуды колебаний вместе с ростом угловой скорости, т.е. самоцентрирование статически и динамически неуравновешенного жесткого ротора. В работах A.C. Кельзопа и A.C. Меллера [29, 30, 31] и в диссертации последнего [41] рассматривался ротор, установленный в нелинейные упругие подшипники качения с нелинейным контактом типа Герца. В задаче о вынужденных колебаниях ротора в нелинейных упругих опорах без учета сил сопротивления были получены параметры цилиндрической и конической прецессий полностыо уравновешенного ротора и установлена устойчивость некоторых режимов.

В данной диссертации проводится исследование динамики прецессионного движения жесткого статически и моментпо неуравновешенного ротора, укрепленного в упругих изотропных нелинейных опорах. Ротор установлен вертикально, что позволяет не учитывать действие силы тяжести. Принимается, что перемещением ротора вдоль оси вращения можно пренебречь. Кроме того, считается, что ротор приводится во вращение двигателем, способным поддерживать заданный закон изменения угловой скорости. При таких предположениях ротор можно рассматривать как механическую систему с четырьмя степенями свободы. Изучение динамики ротора проводится в геометрически линейной постановке, при этом перемещения точек оси ротора в упругих опорах считаются малыми по сравнению с длиной ротора. Наличие дисбаланса приводит к возбуждению прямой синхронной прецессии оси ротора. Если опоры изотропны, то прямая синхронная прецессия будет круговой. Направление и частота вращения оси ротора вокруг ее равновесного положения совпадают с направлением и частотой вращения ротора, и каждая точка оси ротора движется по окружности. В системе координат, вращающейся с угловой скоростью ротора, ось вращения ротора сохраняет неизменное положение. Налицо аналогия с регулярной прецессией искусственных спутников Земли. Изучая регулярные прецессии динамически симметричного спутника под действием гравитационных моментов Ф.Л. Чер-поусько [73] установил, что возможны три типа регулярных прецессий, и по виду линейчатой поверхности, которая получается как след движения оси дииамической симметрии в неподвижном пространстве, они названы гиперболоидальиой (одпопо-лостный гиперболоид), конической (круговой конус) и цилиндрической (прямой круговой цилиндр).

В первой главе приводится описание модели ротора и вывод уравнений движения, причем в качестве обобщенных координат выбраны координаты точек оси ротора в плоскости опор, как и в работах [32, 116]. Предложен новый подход к исследованию прямой синхронной прецессии, позволяющий изучать связанные колебания ротора цилиндрического и конического типа, которые и представляют собой гиперболои-дальную прецессию. Установлено соответствие между типом прецессии (гиперболои-дальпая, коническая или цилиндрическая) и параметрами комплексной амплитуды, введено понятие множества нелинейных резопапсов, подтверждено явление самоцентрирования при больших угловых скоростях ротора. Показано, что в отсутствие сопротивления могут существовать симметричные гиперболоидальпые прецессии, и проведено их аналитическое исследование: построены амплитудно-частотные характеристики и нелинейные резонапсы, по линейному приближению исследована устойчивость. Показано, что внешнее трение разрушает симметрию гиперболоидальных прецессий. С использованием численных методов проведено исследование гипербо-лоидальпых прецессий при действии внешнего вязкого трения, предложен алгоритм построения амплитудно-частотных характеристик и определения границ устойчивых и неустойчивых режимов. Рассмотрены два типа подшипников с различной пелинейной характеристикой упругих свойств опор. Существенно нелинейная характеристика контакта в опорах типа Герца присуща шариковым подшипникам качения. Нелинейная характеристика, включающая линейный и кубический члены (нелинейность типа Дуффипга), типична для подшипников скольжения. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [48, 49, 57, 58, 59, 60].

Во второй главе исследуется прецессионное движение статически неуравновешенного жесткого ротора, имеющего четыре степени свободы.

Модель жесткого статически неуравновешенного ротора с двумя степенями свободы в нелинейных подшипниках при довольно общих предположениях о нелинейных характеристиках опор рассматривалась Д.Р. Меркиным [42, 43]. В линейном приближении при учете сил вязкого трения были найдены условия устойчивости цилиндрической прецессии в предположении, что ротор совершает плоско-параллельное движение. Условия устойчивости цилиндрической прецессии при тех же предположениях, по в силу полных уравнений получены В.В. Румянцевым [67]. В работе В.В. Филиппова [72] исследуется совместное действие сил внешнего и внутреннего трения па устойчивость установившихся движений ротора в нелинейных упругих подшипниках, движение ротора также предполагается плоско-параллельпым. Показано, что уравновешенный ротор может совершать асимптотически устойчивые движения типа асинхронных прецессий. Совместное влияние таких нелинейных факторов, как зазор в опорах и нелинейный контакт в опорах типа Герца, приводит к неустойчивости и хаосу, причем переход к хаосу характеризуется перемежаемостью и удвоением периода (работа Тивари и др. [117]).

Система дифференциальных уравнений движения ротора с четырьмя степенями свободы в нелинейных упругих опорах, учитывающая влияние внешнего и внутреннего трения, представляет собой сложную нелинейную систему восьмого порядка. Показано, что среди решений системы существуют решения, описывающие прямую сипхропиую прецессию цилиндрического типа, и найдено уравнение поверхности, на которой могут быть локализованы эти решения. При исследовании устойчивости по линейному приближению получены аналитические выражения для бифуркационного множества, точки пересечения которого с амплитудно-частотной характеристикой определяют границы устойчивых и неустойчивых режимов цилиндрической прецессии. Прямой синхронной прецессии соответствует состояние равновесия в подвижной системе координат, вращающейся с угловой скоростью ротора, поэтому угловую скорость можно рассматривать как параметр в задаче об одпопараметрической бифуркации состояния относительного равновесия [3,15, 46]. Показано, что могут быть различные сценарии потери устойчивости. При изменении частоты вращения ротора и прохождении через точки с нулевым корнем характеристического уравнения бифуркации могут иметь "жесткий" характер, когда происходит "скачок" или "срыв" амплитуды и имеет место бистабильпость, но при этом тип прецессии сохраняется. Бифуркации могут быть "мягкого" типа, когда потеря устойчивости цилиндрической прецессии сопровождается одновременным отделением двух устойчивых прецессий гиперболоидального типа. Потеря устойчивости такого рода не может быть обнаружена в рамках модели ротора с двумя степенями свободы, совершающего плоскопараллельное движение. Природа потери устойчивости в этом случае объясняется наличием у системы двух нелинейных резопапсов. Вблизи одного из них значительно смещается центр масс и наблюдается цилиндрическая прецессия большой амплитуды, вблизи другого ось ротора отклоняется от первоначального вертикального состояния, и колебания принимают характер связанных цилиндрических и конических.

Известно, что внутреннее трение при малых угловых скоростях оказывает стабилизирующее, а при больших — дестабилизирующее действие па вращение ротора [И]. Причиной автоколебаний роторов при больших угловых скоростях часто является внутреннее трение [95, 96].

Особый интерес вызывает значение угловой скорости ротора, при котором характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней. А. М. Ляпунов предложил специальные методы исследования, относящиеся к случаю, когда среди корней характеристического уравнения есть корпи с равной пулю вещественной частью [39]. Ответ па вопрос, является ли значение параметра (в нашем случае это угловая скорость), которому соответствует пара чисто мнимых корней, "опасной" или "безопасной" границей устойчивости, зависит от знака первого ляпуповского коэффициента. Н. Н. Баутип получил выражения для ляпуповских коэффициентов в замкнутой форме для систем дифференциальных уравнений второго, третьего и четвертого порядка [8]. Для диска, копсольпо укрепленного па гибком валу, М. Я. Кушуль при некоторых дополнительных предположениях также получил расчетные формулы для ляпуповского коэффициента [37]. Однако в случае ротора с четырьмя степенями свободы даже при дополнительных предположениях о симметрии (например, ротор установлен в одинаковых опорах и точно посередине между опорами) получить преобразование системы к специальному виду не удалось. Однако непосредственное численное интегрирование системы обнаружило, что имеет место "безопасная" граница устойчивости. С увеличением угловой скорости бифуркация Андронова — Хопфа имеет "мягкий" характер. Во второй главе численно построена зависимость границы возбуждения автоколебаний от отношения коэффициентов внутреннего и внешнего трения, которая показывает, что даже небольшое увеличение внешнего трения существенно сдвигает границу автоколебаний в сторону высоких угловых скоростей.

Численное интегрирование было проведено для достаточно широкого спектра угловых скоростей и для всех значений были получены предельные циклы, которые проиллюстрированы па плоскости {Яь Л1} шестимерпого фазового пространства (Я\ — величина отклонения от равновесного положения конца оси ротора в первой опоре). Было обнаружено, что достаточно близко от границы возбуждения автоколебаний существует диапазон угловых скоростей, где проявляется чувствительность к изменению начальных данных и происходит хаотизация предельных циклов, а затем происходит синхронизация и устанавливается предельный цикл другой структуры (с двойной петлей). Для всех аттракторов в закритической области были построены частотные спектры [17], а также с помощью алгоритма Беиеттипа [98, 105] получе-пы оценки спектра ляпуиовских показателей, которые в каждом случае подтвердили характер аттрактора.

Числепиым интегрированием было проведепо исследование нестационарного перехода через резонансную область при равномерном изменении угловой скорости вращения и проведепо сравнение с амплитудно-частотными характеристиками. Были рассмотрены случаи при наличии внутреннего трения и при его отсутствии, а также рассмотрены начальные условия, соответствующие периодическому и хаотическому вращению при постоянной угловой скорости. Результаты приведены в виде графиков.

В заключении главы приводится исследование влияния зазора в подшипнике па цилиндрическую прецессию. Постановка задачи соответствует работе [106], выполненной для ротора Джеффкотта с двумя степенями свободы.

Следует отметить, что все исследования проведены для динамически вытянутого ротора и для двух типов нелинейности: Герца и Дуффипга. Основные результаты второй главы опубликованы в статьях [48, 51, 54, 56, 59, 108].

В третьей главе методика, разработанная во второй главе для статически неуравновешенного ротора, применяется для исследования динамики прецессионного движения динамически неуравновешенного ротора. Показано, что для ротора, установленного в одинаковых опорах и укрепленного посередине между опорами, существуют прямые синхронные симметричные конические прецессии, когда концы оси ротора движутся по окружностям одинакового радиуса. При этом центр масс ротора неподвижен и находится в вершине конуса, который зачерчивает в пространстве ось вращения ротора. Для симметричной конической прецессии для двух видов нелинейных опор (типа Герца и типа Дуффипга) получены следующие результаты: построена поверхность локализации симметричных коиических прецессий; исследована устойчивость по линейному приближению; установлено, что при прохождении угловой скорости через значение, соответствующее пулевому корню характеристического уравнения, могут иметь место бифуркации "мягкого" и "жесткого" типа; численным интегрированием получено, что при наличии внутреннего трения имеет место бифуркация Андропова — Хопфа "мягкого" типа; для предельных циклов построены частотные спектры и спектры ляпуиовских показателей; для нелинейности типа Дуффипга проведено приближенное определение предельного цикла по методу, предложенному А. Топдлом [71]; проведепо исследование прямого и обратного нестационарного перехода через резонансную область, при этом обнаружено, что при наличии внутреннего трения колебания в закритической области происходят с резким увеличением амплитуды.

Явление хаотизации предельных циклов для симметричных конических прецессий не обнаружено. При специальном выборе начального положения ротора, когда ось вращения расположена по образующей конуса, происходит "затягивание неустойчивости" (см. [4]). После небольшого переходного периода устанавливается прецессия с амплитудой, соответствующей неустойчивому режиму конической прецессии, и только по прошествии некоторого времени наблюдается переход к предельному циклу. Основные результаты третьей главы опубликованы в статьях [48, 50, 53, 54, 56].

В четвертой и пятой главах рассматривается статически и динамически неуравновешенный ротор Фёппля — Джеффкотта с четырьмя степенями свободы, установленный в упругих опорах. Ротор представляет собой динамически симметричное твердое тело, укрепленное на гибком валу. Рассматривается линейно упругий вал, массой которого можно пренебречь в сравнении с массой тела. Опоры, как и в случае жесткого ротора, предполагаются изотропными и нелинейными. Для исследования динамики прецессионного движения применяется подход, разработанный для жесткого ротора с четырьмя степенями свободы. Прежде всего вводится определение гиперболоидаль-пой, цилиндрической и конической прецессии для ротора па гибком валу. Тип прецессии соответствует поверхности, заметаемой педеформироваппой осыо вращения ротора или, что то же, прямой, характеризующей перемещение ротора, как твердого тела. Для описания положения ротора в пространстве вводятся восемь обобщенных координат, четыре из которых определяют перемещение ротора как твердого тела, а остальные четыре характеризуют положение ротора при изогнутой оси вала. В силу того, что рассматривается безмассовый вал, уравнения Лаграижа 2-го рода включают в себя группу четырех дифференциальных уравнений и группу четырех алгебраических уравнений. Алгебраические уравнения можно рассматривать как уравнения связей, которые позволяют исключить часть координат и свести изучение к системе четырех дифференциальных уравнений. В силу того, что рассматривается линейно упругий вал, алгебраические уравнения являются линейными относительно координат, которые характеризуют положение ротора при изогнутой оси вала, и тем самым возможно получить их точное решение, которое затем нужно подставить в группу дифференциальных уравнений Лаграижа. Полученная система дифференциальных уравнений допускает решение, которое параметризует прямую синхронную круговую прецессию ротора. Дальше проводится процедура исследования, развитая в первых главах.

В четвертой главе приводится описание модели ротора и вывод уравнений движения. Без учета сил сопротивления исследуются гиперболоидальные прецессии полностью неуравновешенного ротора, установленного в линейно упругих опорах. Получены параметры самоцентрирования ротора и найдены критические частоты. Для конкретных примеров проведено вычисление критических частот и показано влияние упругих опор па их значения. Проведено сравнение с известными результатами для ротора, укрепленного в жестких опорах [16, 86]. Рассмотрены также гиперболоидальные прецессии в нелинейных упругих подшипниках с нелинейностью типа Герца. Для симметричной прецессии построены амплитудио-частотпые характеристики, найдены параметры самоцентрирования и исследована устойчивость по линейному приближеиию как для динамически вытянутого, так и для динамически сжатого ротора.

В пятой главе проведено исследование цилиндрических и коиических прецессий ротора, имеющего только один тип неуравновешенности и установленного в нелинейных подшипниках. Для статически неуравновешенного ротора с учетом сил внешнего и внутреннего сопротивления исследованы цилиндрические прецессии в подшипниках типа Герца и типа Дуффипга. Построено множество нелинейных резопапсов и амплитудно-частотные характеристики. Получено уравнение для определения параметров самоцентрирования ротора. Как и в случае жесткого ротора, установлено, что потеря устойчивости может иметь "мягкий" и "жесткий" характер при прохождении частоты, при котором характеристическое уравнение имеет пулевой корень. Потеря устойчивости в закритической области, вызванная влиянием внутреннего трепия, имеет "мягкий" характер. Определена граница возбуждения автоколебаний и построены предельные циклы. В ходе численного эксперимента обнаружено, что при изменении начальных условий происходит хаотизация предельных циклов. Для нелинейных опор типа Герца построен странный аттрактор, при этом наблюдаются переходы типа "хаос — хаос". Результаты представлены в виде графиков. С использованием алгоритма Бепеттипа построен полный спектр показателей Ляпунова, подтверждающий хаотический тип аттрактора. Для нелинейных опор типа Дуффипга потеря устойчивости в закритической области также происходит "мягким" образом с возбуждением автоколебаний, однако явление хаотизации не было обнаружено. Отмечено, что с ростом угловой скорости существенно возрастает среднее значение автоколебаний и уменьшается амплитуда. Кроме того, значительно возрастает время установления автоколебаний, поэтому, начиная с некоторого значения частоты, практически можно говорить о неограниченном росте амплитуды.

Конические прецессии динамически неуравновешенного ротора исследованы для нелинейных опор типа Герца. Следует отметить, что потеря устойчивости в закритической области также сопровождается возникновением автоколебаний, однако процесс установления происходит длительное время и посит хаотический характер. С ростом угловой скорости также наблюдается неограниченный рост амплитуды, по при этом прецессия по форме стремится к цилиндрической. Основные результаты четвертой и пятой глав опубликованы в работах [107, 109].

В Приложении приводится краткий исторический обзор ранних работ по динамике роторов.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Развитие модели жесткого и гибкого ротора с четырьмя степенями свободы и новый подход в исследовании прямых синхронных прецессий, позволяющий исследовать связанные цилиндрические и конические колебания ротора, вызванные его статическим и динамическим дисбалансом.

2. В рамках предложенного подхода аналитически и численно проведено исследование гиперболоидальиой, цилиидрической и коиической прецессий жесткого ротора в упругих нелинейных изотропных опорах. Рассмотрены упругие характеристики опор существенно нелинейные (типа Герца) и содержащие линейиый и кубический члены (типа Дуффинга). Установлены параметры самоцентрирования ротора.

3. В линейном приближении проведено исследование устойчивости прецессионного движения неуравновешенного ротора. Изучены различные сценарии потери устойчивости цилиндрической и конической прецессий во всем диапазоне угловых скоростей, в том числе появление квазипериодических и хаотических аттракторов, эффекта "затягивания неустойчивости".

4. Для статически и для динамически неуравновешенного ротора проведено численное исследование прямого и обратного нестационарного перехода через резонансную область, которое показало существенную роль внутреннего трения в процессе возникновения хаотических колебаний нарастающей амплитуды в закритической области.

5. Метод, разработанный для жесткого ротора, применен для исследования прецессий неуравновешенного ротора с четырьмя степенями свободы, насаженного па линейно упругий безмассовый вал, который в свою очередь укреплеп в упругих опорах. Введено определение цилиндрической, конической и гиперболоидальиой прецессии ротора на гибком валу.

6. Изучено влияние упругих опор на критические частоты гибкого ротора в линейных упругих опорах и проведено сравнение с известными результатами для жестких опор.

7. Проведено исследование симметричиой гиперболоидальиой прецессии полностью неуравновешенного ротора па гибком валу в нелинейных упругих опорах без учета сил сопротивления.

8. Для статически и для динамически неуравновешенного гибкого ротора исследованы цилиндрические и конические прецессии в подшипниках типа Герца и типа Дуффинга при учете сил внешнего и внутреннего сопротивления во всем диапазоне угловых скоростей. Показано, что в закритической области имеют место бифуркации Андропова — Хопфа, хаотизация предельных циклов, переходы типа "хаос — хаос" и практически неограниченный рост амплитуды прецессии.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Пасынкова, Инна Анатольевна

Заключение

В работе при исследовании динамики прецессионного движения неуравновешенного ротора предложены развитие модели жесткого и гибкого ротора с четырьмя степенями свободы и новый подход в исследовании прямых синхронных прецессий, заключающийся в определении типа прецессии в зависимости от вида поверхности, которую заметает в пространстве ось вращения ротора (цилиндр, конус или одпопо-лостпый гиперболоид).

Новый подход позволил изучать связанные колебания ротора цилиндрического и конического типов. Рассмотрены две модели упругих нелинейных опор. В одной модели сила реакции как функция величины смятия в точке контакта имеет линейный и кубический члены (нелинейный контакт типа Дуффипга). В этом случае возможна линейная постановка задачи. Определение критических скоростей долгое время было одной из основных задач динамики роторов, как и определение условий "безопасного" прохождения через критические скорости. В другой модели опор сила реакции задается формулой Герца и является существенно нелинейной. В этом случае невозможно ввести понятие критической угловой скорости ротора, принципиально связанное с линейной задачей. Для ротора, укрепленного в нелинейных упругих опорах, оказалось полезным ввести понятие множества нелинейных резонаисов, роль которого подобна скелетной кривой в уравнении Дуффипга. В линейном случае динамически вытянутого ротора существуют две критические частоты, причем вблизи одной из них наблюдаются интенсивные "симметричные" колебания, связанные с движением центра масс, а вблизи другой — интенсивные "кососимметричпые" колебания, или угловые колебания оси вращения ротора (терминология Ф. М. Димепт-берга [18]). Для динамически вытянутого ротора в нелинейных опорах существуют два нелинейных резонанса, причем вблизи одного из них происходят интенсивные колебания цилиндрического типа, также связанные с движением центра масс, а вблизи другого — интенсивные конические колебания, связанные с раскачкой оси ротора. В зависимости от конструкционных параметров преобладают колебания того или иного типа. В работе установлено также, что для опор типа Дуффипга неограниченные колебания вблизи нелинейных резопапсов имеют место не только в отсутствие внешнего треиия, по также при малом трепии. Получены соответствующие оценки для коэффициента внешнего трепия. Этот результат имеет важный практический аспект. Можно, следуя рекомендациям П. Л. Капицы [27] для линейного ротора, в соответствии с получеппыми оценками увеличить трение па этапе разгона, а затем сиять дополнительное трение.

Для всех рассмотренных моделей жесткого и гибкого ротора получены аналитические выражения для параметров самоцентрирования ротора. Построены аналитически или численно амплитудно-частотные характеристики для каждого типа прецессии, что позволяет оцепить ширину резонансной полосы частот вращения и значения максимальных амплитуд.

Большое внимание в работе уделено влиянию внутреннего трения на характер прецессий в закритической области. Для всех случаев численно построена зависимость частоты возбуждения автоколебаний от величины х отношения коэффициента внутреннего трения к коэффициенту внешнего трения. При значениях х < 1 граница возбуждения автоколебаний значительно отодвигается в сторону больших частот, т.е. даже небольшое увеличение внешнего трения или уменьшение внутреннего трения позволит расширить рабочий диапазон.

При изучении прецессионного вращения ротора па гибком безмассовом валу следует иметь в виду ограниченность такой постановки задачи. В более точной постановке следует учитывать не только упругие, по и инерционные свойства вала.

Ниже перечислены основные результаты, полученные в работе. В рамках предложенного подхода получены условия существования симметричной гиперболоидаль-пой прецессии жесткого ротора в упругих нелинейных изотропных опорах в отсутствии сил сопротивления. Проведено качественное исследование этого движения: установлено существование двух нелинейных резопапсов, построены амплитудно-частотные характеристики и определены интервалы неустойчивости во всем диапазоне угловых скоростей. Численно показана возможность проверки выполнения условий гироскопической стабилизации. Предложен алгоритм построения амплитудно-частотных характеристик и определения границ устойчивости для гиперболоидаль-пой прецессии в общем несимметричном случае с учетом сил внешнего сопротивления. Рассмотрены нелинейные характеристики опор типа Герца и типа Дуффипга. Рассмотрены модели динамически вытянутого и динамически сжатого ротора.

Проведено исследование динамики прецессионного движения статически неуравновешенного ротора. Получены аналитические выражения нелинейных резопапсов, а также амплитудпо- и фазово-частотпых характеристик цилиндрической прецессии, определены параметры самоцентрирования ротора. При исследовании устойчивости установлено, что потеря устойчивости наблюдается вблизи нелинейных резопапсов. В одном случае имеет место "скачок" амплитуды, по цилиндрический тип прецессии сохраняется, вблизи другого резонанса потеря устойчивости сопровождается появлением двух устойчивых гиперболоидальпых прецессий.

Установлено, что наличие внутреннего трепия приводит к суперкритической бифуркации Андропова — Хопфа в закритической области, при этом существует диапазон угловых скоростей, где предельные циклы Андропова — Хопфа теряют устойчивость и возникает хаотическое вращение, а затем происходит синхронизация и устанавливается предельный цикл с двойной петлей.

Проведено исследование влияния зазора в подшипниках па цилиндрическую прецессию ротора в случае простейшей модели взаимодействия оси ротора с опорой — модели абсолютно неупругого удара.

Проведено исследование динамики прецессионного движения динамически неуравновешенного ротора. Получено, что в случае центрально (посередине между двумя опорами) установленного ротора в двух одинаковых опорах существует симметричная коническая прецессия. Подобно цилиндрической проведено аналитическое исследование этой прецессии. Численное исследование устойчивости в закритиче-ской области угловых скоростей также показало появление предельных циклов Андропова — Хопфа, однако хаотизации предельных циклов обнаружено не было. При определенных начальных условиях проявилось "затягивание неустойчивости".

И для статически, и для динамически неуравновешенного ротора проведено численное исследование прямого и обратного нестационарного перехода через резонансную область, которое показало существенную роль внутреннего трепия в процессе возпикповеиия хаотических колебаний нарастающей амплитуды в закритической области.

Метод, разработанный для жесткого ротора, применен для исследования прецессий неуравновешенного ротора с четырьмя степенями свободы, насаженного на линейно упругий безмассовый вал, который в свою очередь укреплен в упругих опорах. Введено определение цилиндрической, конической и гиперболоидальпой прецессии ротора па гибком валу. Получены уравнения движения ротора в координатах, связанных с опорами.

Для гибкого ротора в линейных упругих опорах найдены параметры самоцентрирования и получено биквадратное уравнение для определения критических частот. В случае симметричной гиперболоидальпой для критических частот прецессии получены простые формулы. Приведены численные примеры, показывающие влияние упругости опор на критические частоты, и проведено сравнение с известными результатами для жестких опор.

Для полностью неуравновешенного ротора в нелинейных упругих опорах без учета сил сопротивления выписаны условия существования симметричной гиперболоидальпой прецессии, определены параметры самоцентрирования, найдены нелинейные резопапсы, построена амплитудно-частотная характеристика и по линейному приближению исследована устойчивость, определены неустойчивые режимы прецессии.

Для статически неуравновешенного гибкого ротора исследованы цилиндрические прецессии в подшипниках типа Герца и типа Дуффипга при учете сил внешнего и внутреннего сопротивления. Построены нелинейные резопапсы и амплитудно-частотные характеристики. Получено уравнение для определения параметров самоцентрирования ротора. Во всем диапазоне угловых скоростей исследована устойчивость в линейном приближении. В случае нелинейных подшипников типа Герца при изменении начальных условий происходит хаотизация предельных циклов Андропова — Хопфа, причем наблюдаются переходы типа "хаос — хаос". Для нелинейных опор типа Дуффипга с ростом угловой скорости вращения наблюдается практически неограниченный рост амплитуды прецессии.

Для динамически неуравновешенного гибкого ротора исследованы симметричные конические прецессии в подшипниках типа Герца с учетом сил внешнего и внутреннего сопротивления. Во всем диапазоне угловых скоростей исследована устойчивость в линейном приближении. С ростом угловой скорости вращения также наблюдается практически неограниченный рост амплитуды прецессии, но сама прецессия по форме стремится к цилиндрической.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Пасынкова, Инна Анатольевна, 2006 год

1. Александров Н. Из истории паровой турбины // Двигатель. — 2000. — № 4(10). — С. 26-30. http://engine.aviaport.ru.

2. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний, — М.: Наука, 1981.

3. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 304 с.

4. Арнольд В. И. Теория катастроф. — М.: Наука, 1990. — 128 с.

5. Архипова И. М. Установившиеся движения жесткого неуравновешенного ротора в нелинейных упругих опорах // Прикладная математика и механика, Т. 66, Вып. 4.- 2002.-С. 551-558.

6. Ахметшин И. X., Нагаев Р. Ф. Динамика неуравновешенного ротора с сухим трением в подшипнике // МТТ. 1995. - № 5. - С. 57-63.

7. Бабаков И. М. Теория колебаний. — М.: Наука, 1968. — 560 с.

8. Баутин Н. Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. — Л.-М.: Гостехиздат, 1949.— 165 с.

9. Боголюбов Н. Н., Митрополъский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1958. — 408 с.

10. Болотин В. В. Нелинейные колебания валов за критическими скоростями вращения // Проблемы прочности в машиностроении. Вып. 1,— М.: Изд-во АН СССР, 1958.-С. 25-53.

11. Болотин В. В. Некопсервативиые задачи теории упругой устойчивости. — М.: Физматгиз, 1961.- 339 с.

12. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ. М.: Наука, 1986. - 544 с.

13. Вериигор В. H., Михайлов А. Л. Модальный анализ механических колебаний упругих систем. Рыбинск: РГАТА, 2001. — 288 с.

14. Вернигор В. О расчете критических частот вращения роторов авиационных двигателей // Проблемы машиностроения и надежности машин. — 2003. — № 1. — С. 19 25.

15. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф: В 2-х книгах. — М.: Мир, 1984. — Кп.1. 350 с. - Кн.2. - 285 с.

16. Гробов В. А. Асимптотические методы расчета изгибпых колебаний валов тур-бомашип. М.: Изд-во АН СССР, 1961,- 166 с.

17. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения: в 2-х выпусках. М.: Мир, 1971, 1972. - Вып.1. - 316 с. - Вып.2. - 288 с.

18. Диментберг Ф. М. Изгибпые колебания вращающихся валов. — М.: Изд-во АН СССР, 1959.-248 с.

19. Епишев Л. В. О динамической неустойчивости вращающегося ротора при неполном наливе жидкости // Научн. докл. высш. школы, сер. «Машиностроение и приборостроение». — 1959.— № 2.

20. Жесткое И. Г., Самсонов В. А. О влиянии внешнего трения па движение ротора па гибком валу // Некоторые задачи динамики управляемых тел. — М.: Изд-во МГУ, 1989.-С. 82-91.

21. Жуковский H. Е. Об упругой оси турбины Лаваля и об осях с качающимися подшипниками. Труды Отделения физических паук Общества любителей естествознания. 1899. T. X. Вып. 1. // Собр. соч. T. III.— М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. - С. 523-537.

22. Жуковский H. Е., Чаплыгин С. А. О трении смазочного слоя между шипом и подшипником. Труды Отделения физических наук Общества любителей естествознания. 1906. T. XIII. Вып. 1. С. 24-33. // Собр. соч. Т. III,- М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.-С. 133-151.

23. Журавлев В. Ф. Об устойчивости стационарных жвижепий плоского тела в поле центральной силы // Изв. АН СССР. МТТ,- 1983.- № 4,- С. 71-76.

24. Ишлинский А. Ю. Механика относительного движения и силы инерции. — М.: Наука, 1981.- 191 с.

25. Капица П. Л. Устойчивость и переход через критические числа оборотов быстро вращающихся валов при наличии трепия // ЖТФ. — 1939. — Т. IX. Вып. 2. — С. 124 147.

26. Келъзон А. С., Бергер Е. Г. Влияние вязкого трения иа самоцентрирование жесткого ротора, вращающегося в двух упругих опорах // Изв. ВУЗов СССР. Машиностроение. — 1963. — № 5. — С. 60-67.

27. Келъзон А. С., Меллер А. С. Динамика статически неуравновешенного ротора в подшипниковых опорах // Доклады РАН. — 1991. — Т. 318, № 1. — С. 69-72.

28. Келъзон А. С., Меллер А. С. К динамике роторов в подшипниках качения // Доклады РАН,- 1992. Т. 323.

29. Келъзон А. С., Меллер А. С. Рациональные пределы точности балансировки // Проблемы машиностроения и надео/сности машин. — 1992. — № 1. — С. 19 25.

30. Келъзон А. С., Циманский Ю. П., Яковлев В. И. Динамика роторов в упругих опорах. М.: Наука, 1982.- 280 с.

31. Крылов А. Н. Об определении критических скоростей вращающегося вала. — Л.: Изд-во АН СССР, 1932. 31 с. // Собр. трудов акад. А.Н. Крылова. Т. V. -М.: Изд-во АН СССР, 1937. - С. 363-390.

32. Крылов А. Н. О динамическом уравновешивании роторов гироскопов // Собр. трудов акад. А.Н. Крылова. Т. V. М.: Изд-во АН СССР, 1937. - С. 459-494.

33. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. — Киев: Изд. АН УССР, 1937. 365 с.

34. Кузнецов С. П. Динамический хаос, — М.: Физматлит, 2001. — 296 с.

35. Кушулъ М. . Автоколебания роторов (Динамика быстроходных веретен). — М.: Изд-во АН СССР, 1963. 168 с.

36. Леонов Г. А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения. — Санкт-Петербург: Издательство С.-Петербургского университета, 2004. — 144 с.

37. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. — Л. М.: ОНТИ, 1935.- 386 с.

38. Марсден Д., Мак-Кракен. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М.: Мир, 1980. 368 с.

39. Меллер А. С. Динамика высокооборотных роторных машин: Автореф. дис. канд. физ.-мат. паук: 01.02.01 / СПбГУ,- СПб., 1998.- 16 с.

40. Мерши Д. Р. Об устойчивости стационарных движений оси вращающегося ротора // Докл. АН СССР. 1981. - Т. 257, № 2. - С. 298-301.

41. Меркин Д. Р. Об устойчивости стационарных движений оси вращающегося ротора, установленного в нелинейных подшипниках // ПММ,— 1983.— Т. 47. Вып. 3. С. 378-384.

42. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения, — М.: Наука, 1987.— 304 с.

43. Натанзон В. Я. Колебания валов. — М.: Оборонгиз, 1954.

44. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. — М.: Наука, 1987. 424 с.

45. Николаи Е. Л. К теории гибкого вала. Труды Ленингр. индустр. ин-та. — 1937. № 6. Вып. 3 // Труды по механике, М.: ГИТТЛ, 1955.- С. 419-435.

46. Пасынкова И. А. Гиперболоидальпая прецессия ротора в нелинейных упругих опорах // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып. 4.— 1997.— С. 88-95.

47. Пасынкова И. А. Устойчивость конической прецессии жесткого неуравновешенного ротора // Вести. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып. 1.— 1998.— С. 82-86.

48. Пасынкова И. А. Влияние зазора в подшипниках крепления па конические прецессии неуравновешенного ротора // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып. 1.- 2005.-С. 103-110.

49. Пасынкова И. А. Потеря устойчивости конических прецессий неуравновешенного ротора в квазилинейных упругих опорах // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып. 2.- 2005.-С. 113-121.

50. Пасынкова И. А. Установившиеся движения неуравновешенного ротора в подшипниках с радиальным зазором // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып. 3. 2005. - С. 87-95.

51. Пасынкова И. А. Конические прецессии ротора Джеффкотта с четырьмя степенями свободы в нелинейных упругих опорах // Четвертые Поляховские чтения: Избранные труды, СПб.: Изд-во "ВВМ", 2006.- С. 146 - 156.

52. Пасынкова И. А. Бифуркации прецессионного движения неуравновешенного ротора // Прикладная математика и механика, Т. 70, Вып. 4,— 2006.— С. 605616.

53. Пасынкова И. А. Прецессии неуравновешенного ротора нецентрально укрепленного в упругих опорах // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып. 1. — 2006. — С.128-136.

54. Пасынкова И. А. Устойчивость симметричной гиперболоидальиой прецессии неуравновешенного ротора // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып. 1.—2006.- 82 92.

55. Пасынкова И. А., Архипова И. М. Исследование прецессионного движения неуравновешенного ротора // Вторые Поляховские чтения: Избр. труды.— СПб.: Изд-во НИИ Химии СПб. ун-та, 2000. С. 65-72.

56. Пасынкова И. А., Лебедева И. М. Установившиеся вращения ротора в нелинейных упругих опорах без учета сопротивления. // Вести. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып. 3.- 1998.- С. 101-106.

57. Пасынкова И. А., Сабанеев В. С. Из истории развития динамики роторов // Четвертые Поляховские чтения: Избранные труды. — СПб.: Изд-во "ВВМ", 2006. — С. 644 654.

58. Пасынкова И. А., Сабанеев В. С. Первые математические модели в теории гибкого быстровращающегося вала // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып. 1.—2007. — принята к печати.

59. Петров Н. П. Трепие в машинах и влияние па пего смазывающей жидкости. Инж. журнал. — 1883. Т. 27. № 1 4. // Гидродинамическая теория смазки. — М.: Изд-во АН СССР, 1948.

60. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний.— М.: Наука, 1964. — 364 с.

61. Позняк Э. JI. Устойчивость вращающегося железного сердечника в магнитном поле // Изв. АН СССР, ОТН, сер. «Энергетика и автоматика». — 1959.— № 3.

62. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифферепциальиыми уравнениями. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.- 392 с.

63. Румянцев В. В. Об устойчивости установившихся движений систем с квазициклическими координатами // ПММ. — 1986. — Т. 50. Вып. 6.- С. 918-927.

64. Сумбатов А. С. Об устойчивости стационарных вращений песимметричиого вала в опорах с сухим трением // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1989.- № 1.-С. 44-47.

65. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. — М.: Физматгиз, 1959. — 440 с.

66. Тондл А. Динамика роторов турбогенераторов. — М.: Энергия, 1971.

67. Тондл А. Автоколебания механических систем. — М.: Мир, 1979. — 429 с.

68. Филиппов В. В. Об устойчивости установившихся движений ротора в подшипниках // Изв. PAH. МТТ. — 1995. — № 3.- С. 54-64.

69. Черноусъко Ф. Л. Об устойчивости регулярной прецессии спутника // ПММ. — 1964.- Т. 28. Вып. 1.- С. 155-157.

70. Четаев Н. Р. Устойчивость движения. — М.-Л.: Гостехиздат, 1946. — 208 с.

71. Шустер Р. Детерминированный хаос. — М.: Мир, 1988. — 239 с.

72. Юшков М. П. Приближенный способ определения основной критической угловой скорости нагруженных весомых валов // Вестник ЛГУ. — 1962. — № 13. — С. 99-102.

73. Юшков М. П. Об одном способе определения основной критической угловой скорости роторов турбомашин // Изв. вузов Энергетика.— 1963.— № 1,— С. 64-69.

74. Adiletta G., Guido A. R., Rossi С. Non-periodic motions of a jeffcott rotor with nonlinear elastic restoring forces // Nonlinear Dynamics. — 1996. — Vol. 11. — Pp. 37-59.

75. Benettin G., Galgani L., Strelcyn J.-M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Phys. Rev. 1976. - Vol. A14. - Pp. 2338-2345.

76. Bläss V. Über den Massenausgleich raschumlaufender Körper // Z. Angew. Math.— 1926. Vol. 6. - Pp. 429 - 449.

77. Dimentberg M. F. Vibration of a rotating shaft with randomly varying internal damping // Journal of Sound and Vibration. — 2005. — Vol. 285.— Pp. 759-765.

78. Dizioglu B. Schwingungserscheinungen an spideln // Fazerforschung und Textiltechnik. 1951. - no. 11, 12. - Pp. 425 - 440, 484 - 492.

79. Dunkerley S. On the whirling and vibrations of shafts // Phil. Trans. R. Soc. London. Ser. A. 1894. - Vol. 185, Pt. 1. - Pp. 279-360.

80. Föppl A. Das Problem der Laval'schen Turbinenwelle // Der Civilingenieur. — 1895. Vol. 41. - Pp. 333 - 342.

81. Föppl A. Vereinfachte Darstellung meiner Theorie der Laval'schen Turbinenwelle // Der Civilingenieur. 1896. - Vol. 42. - Pp. 249 - 252.

82. Genta G. Vibration of structure and machines: practical aspects.— 3d edition.— Berlin: Springer-Verlag, 1999. — 599 pp.

83. Genta G. Dynamics of Rotating Systems. — NY: Springer-Verlag, 2005. — 658 pp.

84. Grammel R. Kritische Drehzahl und Kreiselwirkung // Zeitschr. VDI.— 1919. — Vol. 63. P. 32. - Vol.64, p.44, 1920.

85. Hagedorn P., Kühl H., Teshner W. Zur Stabilität einfach besetzer Wellen mit nichtlinearer innerer Dämpfung // Ingenieur-Archiv. — 1977.— Vol. 46.— Pp. 203212.

86. Jeffcott H. H. The periods of lateral vibrations of loaded shafts. The rational derivation of Dukerley's empirical rule for determining whirling speeds // Proceedings of the Royal Society. Series A. — 1918. — Vol. 95, no. A666.

87. Jeffcott H. H. The Lateral Vibration of the Loaded Shafts in the Neighbourhood of a Whirling Speed 11 Phil. Mag. 1919. - Vol. 6, no. 37. - Pp. 304-314.

88. Karpenko E. V., Pavlovskaia E. E., Wiercigroch M. Bifurcation analysis of a preloaded jeffcott rotor // Chaos, Solutions and Fractals.— 2003.— Vol. 15.— Pp. 407-416.

89. Kerr W. On the Whirling Speeds of Loaded Shafts // Engineering. 1916. — P. 150.

90. Kimball A. Internal Friction Theory of Shaft Whirling // Phys. Review.- 1923. — no. 2. P. 703.

91. Kimball A. Internal Friction as a Cause of Shaft Whirling 11 Phil. Mag. — 1925. — Vol. 49. Pp. 724-727.

92. Klein L. Theorie, Konstruction und Nutzeffect der Dampfturbinen // Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure.- 1895. — Vol. XXXIX, no. 40.-Pp. 1189-1195.

93. Mohiuddin M., Khulief Y. Coupled bending torsional vibration of rotors using finite elements // Journal of Sound and Vibration. — 1999. — April. — Vol. 223, no. 5.— Pp. 757-779.

94. Nelson F. C. A brief history of early rotor dynamics // Journal of Sound and Vibration. — 2003. — June. — http://www.findartircles.eom/p/artides/miqa4075/ is200306.ain9296359.

95. Nelson F., McVaugh J. The dynamics of rotor bearing systems using finite elements // Journal of Engineering for Industry. — 1976. — Vol. 98.

96. Newkirk B. L. Shaft Whipping // General Electric Review.- 1924.- Vol. 27, no. 3. Pp. 169-178.

97. Newkirk B. L., Taylor H. D. Shaft Whirling due to Oil Action in Journal Bearing // General Electric Review. 1925. - Vol. 28, no. 8. - Pp. 559-568.

98. Nikolai E. L. Uber den Einfluss der Torsion auf die Stabilität rotierenden Wellen 11 Proc. of the 3d Congr. Appl. Mech. Stockholm: 1930.

99. Parker T. S., Chua L. 0. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems.— NY: Springer Verlag, 1989. 357 pp.

100. Pascal M. Non linear vibrations of an unbalanced rotor with radial clearance // Третьи Поляховские чтения: Избр. труды. — СПб.: Изд-во НИИ Химии СПб. ун-та, 2003. С. 123-131.

101. Pasynkova I. A. Whirling motion of an unbalanced rotor in linear and nonlinear elastic bearings // 7.Magdeburger Maschinenbau-Tage. 11.-12. Oktober 2005 an der Otto-von-Guericke-Universitaet Magdeburg. Tagungsband. — 2005. — Pp. 143-148.

102. Pasynkova I. A. Bifurcations of cylindrical precessions of an unbalanced rotor // Technische Mechanik. 2006. - Vol. 26, no. 1.- Pp. 1-10.

103. Pasynkova I. A. Cylindrical precessions of an unbalanced jeffcott rotor with four degrees of freedom in non-linear elastic supports // Technische Mechanik. — 2006. — Vol. 26, no. 2.-Pp. 117-130.

104. Pasynkova I. A. Cylindrical precessions of an unbalanced flexible rotor supported in nonlinear elastic bearings 11 XXXIV Summer School Conference "Advanced Problems in Mechanics", June 25 - July 1, 2006. APM 2006 Book of Abstracts.-2006. - P. 67.

105. Poisson S. D. Traité de Mechanique. Paris, 1811. - Vol. VII. - 528 pp.

106. Rankine W. J. M. On the centrifugal whirling of shafts // The Engineer. — 1869. — April. Vol. 27. - P. 249.

107. Smith D. M. The Motion of a Rotor carried by a Flexible Shaft in Flexible Bearings 11 Proc. R. Soc. London, Ser. A. 1933.- Vol. 142,- Pp. 92-118.

108. Stévart A. Note sur la turbine de Laval // Revue universelle des Mines, Ser.3.— 1896. Vol. 33, no. 2. - Pp. 141-161.

109. Stodola A. Dampf- und Gasturbinen .— 6-te Auflage edition. — Berlin: Springer, 1924,- 1157 pp.

110. Timoshenko S. P. Vibration Problems in Engineering. — Toronto: Van Nostrand, 1928.

111. Tiwari M., Gupta K., Prakash O. Dynamic response of an unbalanced rotor supported in ball bearings // Journal of Sound and Vibration. — 2000.— April. — Vol. 238, no. 5. Pp. 757-779.

112. Yamamoto T., Jshida Y. Linear and Nonlinear Rotordynainics. — Wiley & Sons, 2001.-358 pp.

113. Zachwieja J. Analisys of dynamics of stodola — green rotor in flexible bearings // Developments in Machinery Design and Control. — 2004. — Vol. 3.