Взаимовлияние волновых и колебательных процессов в предварительно напряженных элементах и системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Малашин, Алексей Анатольевич

• Малашин, Алексей Анатольевич
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Малашин, Алексей Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ.

1.1 Объект исследований.

1.2 Актуальность темы.

1.3 Цель работы.

1.4 Идея, положенная в работу.

1.5 Задачи исследования.

1.6 Научная новизна работы.

1.7 Достоверность результатов.

1.8 Теоретическая и практическая ценность работы.

1.9 Основные положения, выносимые на защиту.

1.10 Публикации.

1.11 Апробация диссертационной работы.

1.12 Личное участие автора.

1.13 Структура и объем работы.

ГЛАВА I. ВЗАИМОВЛИЯНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ И ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН И КОЛЕБАНИЙ В РАСТЯНУТЫХ СТРУНАХ.

1.1 Поперечные колебания струн щипковых музыкальных инструментов в период воздействия на струну.

1.2 Поперечные колебания струн щипковых музыкальных инструментов после воздействия исполнителя.

1.3 Продольные колебания струн щипковых музыкальных инструментов после окончания воздействия медиатора в рамках традиционной постановки.

1.4. Продольные колебания струн щипковых музыкальных инструментов в период воздействия исполнителя.

1.5. Продольные колебания струн щипковых музыкальных инструментов после окончания воздействия медиатора в рамках новой постановки.

1.6. Анализ полученных решений для продольных колебаний.

1.7 Анализ причин возникновения продольных колебаний на частотах поперечных на основе волновых решений.

1.8. Определение поправок к спектрам поперечных колебаний с учетом произвольной формы медиатора.

1.9 Определение методами малого параметра поправок к спектрам поперечных колебаний с учетом упругости заделки струны.

ГЛАВА II. ВЗАИМОВЛИЯНИЕ КРУТИЛЬНЫХ, ПОПЕРЕЧНЫХ И ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН И КОЛЕБАНИЙ.

2.1 Волны и колебания в витых струнах и канатах.

2.1.1. Дифференциальные уравнения движений струн с навивкой.

2.1.2. Уравнения при малых динамических деформациях.

2.1.3. Анализ и решения полученных уравнений.

2.1.4. Анализ условий резонанса между различными типами движений.

2.1.5. Дифференциальные уравнения движений струн с навивкой в случае малых углов свивки.

2.2 Продольно-крутильные волны и колебания в напряженных тонкостенных трубах.

2.2.1 .Вывод дифференциальных уравнений крутильно-продольных движений.

2.2.2. Решение уравнений для случая постоянной скорости закручивания трубы.

2.2.3. Вывод линеаризованных уравнений распространения крутильных и продольных волн и колебаний.

2.2.4. Решения линеаризованных уравнений распространения крутильных и продольных волн и колебаний.

2.3. Распространение поперечно-продольных волн и колебаний в мембранах.

2.3.1. Вывод уравнений поперечно-продольных движений предварительно напряженных мембран.

2.3.2. Распространение сдвигово-продольных волн и колебаний в предварительно напряженных тонких пластинах.

2.4 Распространение волн и колебаний в тяжелых и предварительно деформированных канатах.

2.4.1. Вывод уравнений распространения волн и колебаний в тяжелых канатах.

ГЛАВА III. ВЛИЯНИЕ ЖЕСТКОСТИ НА ПОПЕРЕЧНО-ПРОДОЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ РАСТЯНУТЫХ ТОНКИХ СТЕРЖНЕЙ И СТРУН.

3.1. Вывод уравнений движения растянутых стержней.

3.2. Распространение поперечных волн в тонких стержнях и струнах с малой жесткостью.

3.3. Особенности распространения продольных колебаний в тонких стержнях и струнах.

ГЛАВА IV. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ГИБКИХ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАТЯНУТЫХ СТРУН НА

ЧАСТОТАХ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ.

4.1. Уравнения поперечно-продольных колебаний натянутых струн. Амплитудно-частотные характеристики продольных колебаний.

4.2. Экспериментальное определение вынужденных продольных колебаний.

4.3. Резонанс между модами продольных и поперечных колебаний.

ГЛАВА У. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПОПЕРЕЧНО-ПРОДОЛЬНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ СТРУН.

5.1. Задача управления продольными колебаниями струн продольным граничным режимом на одном конце при закрепленном другом.

5.2. Управление продольными колебаниями с помощью поперечного граничного режима при закрепленном втором конце. Граничное условие первого рода для продольных составляющих.

5.3. Граничное управление продольными колебаниями струны с помощью поперечной силы, приложенной на одном конце.

5.4. Задача о граничном управлении при Т = —.

5.5. Резонансное увеличение амплитуды продольных колебаний с помощью поперечного граничного режима.

5.6. Управление поперечными колебаниями с помощью продольного смещения на одном из концов струны при закрепленном другом.

5.6.1.Вывод уравнения поперечных колебаний ограниченной струны для случая продольного смещения одного из концов.

5.6.2. Влияние продольных колебаний на поперечные. Управление поперечными колебаниями струны с помощью продольных колебаний.

ГЛАВА VI. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ О ВОЗБУЖДЕНИИ И СВОБОДНЫХ ПОПЕРЕЧНО-ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ СТРУН ЩИПКОВЫХ И КЛАВИШНЫХ ИНСТРУМЕНТОВ.

6.1. Возбуждение и свободные поперечно-продольные колебания струн щипковых инструментов.

6.1.1. Воздействие жесткого медиатора на струну. Случай движения в одной плоскости.

6.1.2. Воздействие жесткого медиатора на струну. Случай разворота медиатора.

6.1.3. Анализ уравнений и получаемых решений.

6.2. Возбуждение и свободные поперечно-продольные колебания струн клавишных инструментов.

ГЛАВА VII. К РЕШЕНИЮ ПРОБЛЕМЫ УДАРА ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ ПО ГИБКОЙ ДЕФОРМИРУЕМОЙ СТРУНЕ ПРИ ВОЗНИКНОВЕНИИ ДЕФОРМАЦИИ СЖАТИЯ.

7.1. Новые случаи удара по гибкой деформируемой струне, приводящие к возникновению областей сжатия.

7.2. Анализ неустойчивости движения гибкой струны в случае возникновения деформации сжатия.

7.3. Постановка и приближенное решение задачи о движении струны, имеющей начальные зоны сжатия.

7.4. Решение задачи об абсолютно неупругом ударе клином по струне при абсолютно неупругом взаимодействии.

ГЛАВА VIII. ДИНАМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗВЕРТЫВАНИЯ ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ НА ОКОЛОЗЕМНОЙ ОРБИТЕ.

8.1. Математическая модель для задачи развертывания тросовой системы на низкой околоземной орбите.

8.2. Результаты вычислений.

8.3. Анализ натяжения троса в конце размотки.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Взаимовлияние волновых и колебательных процессов в предварительно напряженных элементах и системах»

1.1 Объект исследований.

Объектом исследований являются волновые взаимодействия в элементах и системах, распространение и взаимовлияние поперечных, продольных и сдвиговых волн и вызванных ими колебаний, обусловленных учетом нелинейных членов в тензоре деформаций на примере колебаний струн, канатов, мембран, тонких стержней и тонкостенных труб с учетом динамических воздействий на них. Исследованы условия возникновения резонансов различных типов между модами отдельных колебаний, изучена возможность граничного управления поперечно-продольными колебаниями струн.

Также рассмотрены процессы распространения поперечных и продольных волн и колебаний в натянутых струнах при ударе по ним.

1.2 Актуальность темы.

До последнего времени при рассмотрении колебаний (и динамических нагружений при этом) струн, канатов, мембран и других элементов гибких связей исходили из того, что эти колебания можно считать поперечными. В последние годы благодаря работам Ю.А. Демьянова было установлено, что вклад продольных колебаний в динамическое деформирование и нагружение гибких связей одного порядка со вкладом поперечных колебаний, хотя амплитуды поперечных колебаний на порядок больше продольных. В результате исследований было показано, что имеют место вынужденные продольные колебания, которые происходят на частотах поперечных колебаний. С участием автора было показано, что при определенных обстоятельствах возможны резонансные явления между продольными и поперечными колебаниями. Кроме того было установлено, что в период каких-либо динамических воздействий на гибкие связи возникает дополнительный спектр поперечно- продольных колебаний, который оказывает существенное влияние на процесс колебаний и на процесс динамического нагружения в последующий период после окончания воздействия. Результаты работы применялись к определению нагружения и колебаний элементов музыкальных инструментов. Для строительных конструкций установленные результаты позволяют определить новые расчетные случаи нагружения (например, опор подвесных мостов и линий электропередач, башен, крыш стадионов и других конструкций, соединенных гибкими связями, испытывающими какие-либо динамические воздействия).

1.3 Цель работы.

Целью работы является исследование обнаруженных вынужденных продольных колебаний в деформируемом твердом теле, которые возникают из-за наличия поперечных, сдвиговых, крутильных колебаний (в зависимости от геометрии твердого тела и характера нагружения). Изучение резонансных явлений, возникающих при совпадении частот отдельных мод колебаний различных типов, а также возможного разрушения твердого тела из-за резонансного увеличения амплитуды колебаний. Исследование новых типов волновых слабонелинейных взаимодействий, ранее не учитываемых при динамических расчетах гибких связей, инженерных конструкций и их элементов. Целью также является изучение распространения с учетом взаимного влияния продольно-поперечных и сдвиговых волн и колебаний на примере колебаний струн, канатов, мембран, балок.

1.4 Идея, положенная в основу работы.

Идея, положенная в основу диссертации, состоит в том, чтобы на основе корректно проведенного асимптотического анализа нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений распространения волн и колебаний в элементах и системах (струнах, канатах, тонких стержнях, мембранах, тонкостенных трубах) исследовать основные закономерности распространения продольно-поперечных и сдвиговых волн и колебаний в предварительно напряженных деформируемых твердых телах при учете нелинейных членов в разложении тензора деформации.

1.5 Задачи исследования.

• Решение задачи поперечно-продольных колебаний растянутых струн. Определение условий резонанса между отдельными модами собственных продольных колебаний и вынужденных продольных колебаний на поперечных частотах. Волновая интерпретация вынужденных продольных колебаний на частотах поперечных.

• Постановка и решение задачи распространения продольных, поперечных и крутильных волн и колебаний в витых канатах, струнах с навивкой и тонкостенных трубах.

• Решение задачи о влиянии жесткости на распространение волн и колебаний в растянутых стержнях и струнах.

• Экспериментальные исследования вынужденных продольных колебаний гибких деформируемых предварительно натянутых струн на частотах поперечных колебаний.

• Постановка и решение задач граничного управления продольно-поперечными и крутильными волнами и колебаниями в струнах и тонкостенных трубах. Взаимовлияние продольных и поперечных составляющих движения.

• Постановка и решение динамической задачи о возбуждении и свободных колебаниях струн щипковых инструментов с учетом произвольной формы медиатора и сдвига частот из-за податливости Пространственные волновые и колебательные процессы в струнах.

• Решение динамической задачи о возбуждении и свободных колебаниях струн клавишных инструментов.

• Постановка и исследование задачи распространения продольно-поперечные волны и колебания в тяжелых и предварительно деформированных струнах.

• Решение задачи удара твердым затупленным телом по гибкой деформируемой струне при наличии деформации сжатия.

• Постановка и решение задачи о размотке тросовой системы на околоземной орбите.

1.6 Научная новизна работы.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- Получение асимптотических слабо нелинейных уравнений поперечных, продольных, изгибных и крутильных колебаний струн, мембран, стержней, труб. Решение задач распространения поперечно-продольных волн и колебаний с учетом их взаимодействия в новой постановке.

- Теоретические исследования и экспериментальные данные о том, что в предварительно напряженных телах различной геометрии существуют вынужденные продольные колебания на частотах поперечных, крутильных колебаний являются новыми.

- Впервые определено экспериментально, что вклад продольных составляющих в динамическое нагружение растянутых струн оказывается одного порядка с вкладом поперечных и крутильных колебаний.

- Теоретические и экспериментальные исследования резонансных явлений между поперечными и продольными колебаниями.

- Поставлены и решены задачи граничного управления поперечно-продольными колебаниями струн в рамках линеаризованной системы уравнений.

- Поставлены и решены задачи динамического воздействия на музыкальные струны. Определены спектры поперечных и продольных колебаний в данной постановке. Даны постановка и решение задачи, описывающей волновые и колебательные процессы в струнах щипковых музыкальных инструментов в период воздействия исполнителя за счет построения модели взаимодействия медиатора со струной как динамического взаимодействия «струна - движущееся тело». Учтен пространственный характер этого взаимодействия и определена пространственная волновая картина, возникающая при этом. Рассмотрено влияние поперечно-продольных волновых процессов на характер движения медиатора и, следовательно, манеру игры исполнителя.

Исследования в области распространения и взаимодействия продольных, поперечных, сдвиговых волн и колебаний в твердом теле с учетом нелинейности тензора деформаций, представленные в работе, являются новыми.

1.7 Достоверность результатов.

Достоверность результатов работы определяется применением общих законов механики и физики, корректных постановок и строгих математических методов решения поставленных задач.

Составленная программа численного счета тестировались путем сравнения с имеющимися аналитическими решениями, и это сравнение показало очень хорошее согласование численных и аналитических результатов. Численный метод при решении задач динамического воздействия медиатора и молоточка фортепиано на струну можно назвать полу аналитическим, так как искомые величины определялись в виде сходящихся рядов точных аналитических решений.

Проверкой достоверности теоретических выводов являются результаты проведенных экспериментов по измерению спектров звучания электрогитары с помощью современной компьютерной программы цифровой обработки акустических спектров музыкальных инструментов. Сравнение амплитудно-частотных характеристик акустических спектров с результатами теоретических расчетов подтвердило правильность последних.

1.8 Теоретическая и практическая ценность работы.

Теоретическая и практическая значимость работы состоит в том, что результаты работы являются точными аналитическими решениями и носят достаточно общий характер. Они могут быть использованы в изготовлении музыкальных инструментов. Эти результаты были использованы для расчетов при производстве музыкальных струн с навивкой. Применительно к строительным конструкциям установленные результаты позволяют определить новые расчетные случаи нагружения конструкций, соединенных гибкими и негибкими связями, испытывающими какие-либо динамические воздействия.

1.9 Основные положения, выносимые на защиту.

Решение задачи поперечно-продольных колебаний растянутых струн. Обнаружено, что хотя продольные смещения на порядок меньше поперечных, их вклад в динамическое нагружение струны одного порядка с поперечными составляющими. Поэтому решенная задача с учетом продольных динамических составляющих натяжения в струне более полно описывает механизм передачи воздействий на присоединенные к ней элементы. Обнаружено, что наряду с собственными продольными колебаниями существуют вынужденные продольные колебания на поперечных частотах. При совпадении частот отдельных мод поперечных и продольных колебания возможны резонансные явления.

Получены дифференциальные уравнения и решены задачи распространения продольных, поперечных и крутильных волн и колебаний с учетом их взаимного влияния в витых канатах, струнах с навивкой, тонкостенных трубах и мембранах, а также тяжелых и предварительно деформированных канатах с использованием нелинейного тензора деформаций. Полученные уравнения для продольных составляющих являются неоднородными, что обусловлено влиянием поперечных и крутильных воздействий. Показано, что вклад продольных и поперечных и крутильных составляющих в динамическое нагружение этих элементов одного порядка, при этом возможны резонансные явления между модами продольных, крутильных и поперечных колебаний.

Решение задачи о распространении волн и колебаний в растянутых стержнях и струнах с учетом жесткости. Показано, что в негибких средах возникают вынужденные продольные колебания на поперечных частотах при этом также как и в гибких средах возможно увеличение амплитуды колебаний при совпадении собственных и вынужденных частот. Наличие малой жесткости, характерной для музыкальных струн, приводит к незначительному изменению частот всего спектра поперечно-продольных колебаний, образованию групп гармоник близких по частотам, а также к существенному изменению формы струны в местах соударения, креплений и на фронте поперечной волны.

Проведены экспериментальные исследования вынужденных продольных колебаний предварительно натянутых струн на частотах поперечных колебаний. Экспериментально подтверждено наличие вынужденных продольных колебаний на поперечных частотах и увеличение амплитуды при совпадении собственных и вынужденных частот продольных колебаний растянутых струн. Вынужденные продольные возмущения наряду с поперечными являются источником колебаний присоединенных к струне элементов и конструкций.

Постановка и решение задач граничного управления продольно-поперечными и крутильными волнами и колебаниями в струнах и тонкостенных трубах. Показано, что с помощью граничного режима можно управлять поперечно-продольным движением струн, переводя их из одного состояния с заданными профилями координат и скоростей в другое за определенное конечное время. При этом определены условия управления продольными колебаниями с помощью поперечных или крутильных граничных режимов и наоборот.

Постановка и решение динамической задачи о возбуждении и свободных поперечно-продольных колебаниях струн щипковых и клавишных инструментов под влиянием произвольной формы медиатора, молоточка и сдвига частот из-за податливости заделки. Проведенное в диссертации рассмотрение процесса воздействия на струну как процесса взаимодействия струны в течение определенного конечного времени с телом, движущимся по некоторому закону, привело к новым задачам определения компонентов смещения, деформаций и скоростей частиц струны и, как следствие, спектров колебаний струны музыкального инструмента. Определение спектров колебаний при учете а) решения задачи для периода воздействия, б) впервые выполненного теоретического определения собственных и вынужденных продольных колебаний.

Пространственные волновые и колебательные процессы в струнах. Установлена связь между волновыми и колебательными процессами в струнах и манерой игры исполнителя. Рассмотрено влияние поперечно-продольных волновых процессов на характер движения медиатора и, следовательно, процесс звукоизвлечения.

Постановка и решение задачи удара твердым затупленным телом по гибкой деформируемой струне при наличии деформации сжатия. Найдены условия возникновения таких режимов. Проанализированы волновые процессы, возникающие при воздействии струны на клин с различными углами раствора (или на полуплоскость), в случаях, когда скорость точки схода струны с клина больше (сверхзвуковой случай) или меньше (дозвуковой) скорости распространения продольной волны в ней. Впервые обнаружено, что и для дозвукового случая существуют режимы (даже при абсолютно неупругих взаимодействиях), когда в струне возникают области отрицательных деформаций. Установлено, что такие режимы являются динамически неустойчивыми и приводят к возникновению не описанных ранее в литературе нестационарных процессов деформирования струн.

1.10 Публикации

Основное содержание диссертации опубликовано в 31 работе, список которых представлен в конце диссертации, из них 16 - в реферируемых изданиях, 13 - ведущих изданиях, входящих в перечень ВАК. В них опубликованы основные результаты диссертации. Из совместных публикаций в диссертацию включены результаты, полученные непосредственно автором.

1.11 Апробация диссертационной работы.

Основные материалы и результаты исследований докладывались и получили положительную оценку: на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород. 2006 г. на международной конференции «Современные проблемы газовой и волновой динамики», посвященной памяти академика Х.А. Рахматулина в связи со 100-летием со дня его рождения. Москва. 2009г. на Международной конференции, посвященной памяти академика Х.А. Рахматулина в связи со 100-летием со дня его рождения. Бишкек. 2009г. на X - XV школах-семинарах «Современные проблемы аэрогидродинамики», (2002 - 2007) (председатель акад. Г.Г. Черный, тезисы опубликованы в Изд. МГУ) на Ломоносовских чтениях в Московском Государственном Университете с 2005 по 2010 год на научных семинарах кафедры волновой и газовой динамики механико-математического факультета МГУ (руководитель семинара акад. Е.И.Шемякин) на научных семинарах Акустического института им. H.H. Андреева на научном семинаре кафедры композитов механико-математического факультета МГУ под руководством проф. Победри Б.Е. на научном семинаре в Институте механики МГУ (руководители чл.корр. РАН А.Г. Куликовский, проф. A.A. Бармин и В.П. Карликов) на научном семинаре Института проблем механики РАН руководители акад. Д. М. Климов и А.Ю. Ишлинский) на научном семинаре в отделе математической физики МИАН им. В.А.

Стеклова (руководитель акад. В.В. Владимиров) на научных конференциях МГУл

12 Личное участие автора.

Основные результаты диссертационной работы получены автором самостоятельно. Из совместных публикаций в работе использованы результаты, полученные непосредственно автором.

1.13 Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, 8 глав, заключения, списка используемых литературных источников к каждой главе, содержит 215 страниц, включая рисунки и таблицы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Малашин, Алексей Анатольевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ, ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ

Как показал анализ, проведенный.в книге (Рахматулин Х.А., Демьянов IG.A. Прочность, при интенсивных* кратковременных, нагрузках. Изд. 2-е, дополненное, М:: Логос, 2009), опубликованной к столетию со дня рождения Х.А.Рахматулина, предложенная^ им впервые вг мире идея использовать в задачах динамики гибких деформируемых, струн нелинейный тензор деформации позволила исследовать взаимодействие продольно-поперечных волн, установить взаимосвязь продольных колебаний с поперечными. Полученная Ю.А. Демьяновым линеаризованная система уравнений для задачи распространения поперечных и продольных волн и колебаний в предварительно напряженных струнах впервые позволила решать задачи малых колебаний с учетом взаимовлияния поперечных и продольных составляющих. Проведенный асимптотический анализ нелинейных уравнений показал для малых колебаний, что хотя продольные смещения на порядок меньше поперечных, их вклад в динамическое нагружение струны одного порядка с поперечными составляющими. Было обнаружено, что наряду с собственными продольными колебаниями существуют вынужденные продольные колебания на поперечных частотах.

Эти исследования были продолжены и применены к задачам распространения поперечных, крутильных, продольных волн и колебаний в предварительно напряженных средах и элементах других геометрий (мембраны, стержни, тонкостенные трубы, витые струны и канаты). Результаты этих исследований приведены в диссертации.

1) В диссертации представлено решение задачи поперечно-продольных колебаний растянутых струн. Определены спектры поперечных и продольных колебаний для периода возбуждения струны и для последующих свободных колебаний. Обнаружено, что при совпадении частот отдельных мод поперечных и продольных колебаний возможны резонансные явления. Определены механические параметры, когда наблюдаются резонансные явления, то есть усиление амплитуды продольных колебаний и как следствие усиление воздействия со стороны струны на присоединенные элементы и конструкции. Сделан вывод о том, решенная задача с учетом продольных динамических составляющих натяжения в струне более полно описывает механизм передачи воздействий на присоединенные к ней элементы. Продольные составляющие деформаций и скоростей терпят разрыв на фронте поперечной волны. Показано, что продольные волны распространяются, не отражаясь от поперечной волны, оставляя на ней величину разрыва продольных составляющих скоростей и деформаций неизменной; поэтому поперечная волна является фронтом разрыва продольных скоростей и деформаций и источником вынужденных продольных колебаний на частотах поперечных. Получены нелинейные дифференциальные уравнения крутильных и продольных движений с учетом их взаимовлияния для тонкостенных труб. Найдены общие решения уравнений для случая кручения бесконечной трубы при воздействии с постоянной угловой скоростью. Продольные составляющие скоростей и деформаций испытывают разрыв на крутильных волнах. Получены линеаризованные уравнения крутильных и продольных колебаний. Показано, что вклады крутильных и продольных составляющих в динамическое нагружение оказываются одного порядка. Возникновение крутильных движений приводит к появлению продольных. Колебания в продольном направлении происходят как на собственных частотах, так и на частотах крутильных колебаний. Поставлены и решены задачи распространения продольных, и крутильных волн и колебаний в тонкостенных трубах. Показано, что учет продольных составляющих более полно описывает процесс динамического нагружения трубы и присоединенных элементов.

4) Получены дифференциальные уравнения и решены задачи распространения продольных, поперечных и крутильных волн и колебаний* с,учетом их взаимного влияния в витых канатах и струнах с навивкой. Полученные уравнения для продольных составляющих являются неоднородными, что обусловлено влиянием поперечных И-крутильных воздействий. В процессе деформирования эти элементы находятся в сложном поперечно-продольно-крутильном движении. Показано, что вклад продольных и поперечных и крутильных составляющих в динамическое нагружение этих элементов одного порядка, при этом возможны резонансные явления между модами продольных, крутильных и поперечных колебаний. Крутильные колебания воздействуют на подставку и приводят к её вращательному движению. Продольные колебания (наряду с поперечными) раскачивают деку (являющуюся основным генератором звука струнных музыкальных инструментов). (Результаты исследований применялись при разработке навивки струн музыкальных инструментов).

5) Получены линеаризованные уравнения распространения поперечных, продольных волн и волн сдвига в мембранах, тонких пластинах и тяжелых струнах.

6) Проведен анализ влияния жесткости на распространение волн и колебаний в растянутых стержнях и струнах. В работе представлены решения задач о распространении волн и колебаний в растянутых стержнях и струнах с учетом жесткости. Показано, что в негибких средах возникают вынужденные продольные колебания на поперечных частотах при этом так же, как и в гибких средах, возможно увеличение амплитуды колебаний при совпадении собственных и вынужденных частот. Наличие малой жесткости, характерной для музыкальных струн, приводит к незначительному изменению частот всего спектра поперечно-продольных колебаний, образованию групп гармоник близких по частотам, а также к существенному изменению формы струны в местах соударения^ креплений и на фронте поперечной волны.

Проведены экспериментальные исследования вынужденных продольных колебаний гибких деформируемых предварительно натянутых струн на частотах поперечных колебаний. Эксперименты проводились путем измерения звука от присоединенных к струнам элементов. Экспериментально подтверждено, что вклад продольных составляющих в динамическое нагружение растянутых струн оказывается одного порядка с вкладом поперечных и крутильных колебаний. Экспериментально подтверждено наличие вынужденных продольных колебаний на поперечных частотах и увеличение амплитуды при совпадении собственных'и вынужденных частот продольных колебаний растянутых струн. Вынужденные продольные возмущения наряду с поперечными являются источником колебаний присоединенных к струне элементов и конструкций. В рамках линеаризованной системы распространения поперечно-продольных волн и колебаний в растянутых струнах постановлены и решены задачи граничного управления продольно-поперечными колебаниями в струнах. Показано, что, управляя поперечным смещением на границе, можно управлять продольным движением струн, переводя их из одного состояния с заданными профилями координат и скоростей в другое за определенное конечное время. Также указана возможность управления поперечными колебаниями с помощью управления продольным смещением на границе. При этом определены условия возможности такого управления. Также найдены условия для неограниченного возрастания амплитуды в рамках линеаризованного подхода для случаев поперечного и продольного управлений.

9) В результате экспериментов было определено характерное время воздействия медиатора на струну музыкального инструмента. Было установлено, что в период динамических воздействий на гибкие связи» возникает дополнительный спектр поперечно- продольных колебаний, который оказывает влияние на процесс колебаний и на процесс динамического нагружения в период после окончания воздействия. В работе поставлена и решена динамическая задача о возбуждении и свободных поперечно-продольных колебаниях струн щипковых и клавишных инструментов под влиянием медиатора, молоточка. Определен сдвиг частот из-за податливости заделки. Проведенное в диссертации рассмотрение процесса воздействия на струну как процесса взаимодействия струны в течение определенного конечного времени с телом, движущимся по некоторому закону, привело к новым задачам определения компонентов смещения, деформаций и скоростей частиц струны и, как следствие, спектров колебаний струны музыкального инструмента. В диссертации определены спектры колебаний при учете а) решения задачи для периода воздействия, б) впервые выполненного теоретического определения собственных и вынужденных продольных колебаний. Воздействие медиатора в общем случае приводит к пространственным волновым и колебательным процессам в струнах. В работе установлена связь между волновыми и колебательными процессами в струнах и манерой игры исполнителя. Рассмотрено влияние поперечно-продольных волновых процессов на характер движения медиатора или молоточка фортепиано и, следовательно, процесс звукоизвлечения. Теоретические расчеты привели к удовлетворительному совпадению с экспериментальными результатами.

10) Решение задачи удара клином по нити, когда скорость продольной волны меньше скорости точки схода струны с поверхности клина, и приводящее к образованию области сжатия, было получено

Х.А. Рахматулиным. Анализ распространения волн в струне при ударе по ней клином показал, что при некоторых других параметрах в струне возникают области сжатия. В диссертации поставлена и решена задача удара клином по гибкой деформируемой струне, найдены условия возникновения областей сжатия. Проанализированы волновые процессы, возникающие при воздействии струны на клин с различными углами раствора при абсолютно неупругом взаимодействии клина со струной. Рассмотрены два случая, когда скорость точки схода струны с клина больше или меньше скорости распространения продольной волны в ней. Впервые обнаружено, что и для дозвукового случая существуют режимы (даже при абсолютно неупругих взаимодействиях), когда в струне возникают области отрицательных деформаций. Установлено, что такие режимы являются динамически неустойчивыми и приводят к реализации волновых схем с отскоком от поверхности клина.

11) В качестве технического приложения поставлена и решена задача о влиянии процесса распространения поперечных и продольных колебаний на размотку тросовой системы на околоземной орбите. Показано, что учет динамического влияния распространения продольных волн при расчете фазы торможения аппарата на упругом тросе необходим. Это приводит к более корректному описанию траектории движения аппарата.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Малашин, Алексей Анатольевич, 2011 год

1. Демьянов Ю.А., Кокорева Д.В., Малашин A.A. Взаимовлияние поперечных и продольных колебаний в музыкальных инструментах. Москва, ПММ, 2003, т. 67, №2, с. 273-283.

2. Ю.А. Демьянов, A.A. Малашин. Поперечно-продольные волны в струне щипкового инструмента при воздействии исполнителя. Москва, ПММ, 2003, т. 67, №3.

3. Ю.А. Демьянов, A.A. Малашин. О взаимосвязи волновых и колебательных процессов в струнах щипковых музыкальных инструментов с манерой игры исполнителя. ДАН, 2002, т. 387,№ 3, с. 333-337.

4. A.B. Звягин, A.A. Малашин. Постановка и решение задачи динамики спортивного лука. Докл. РАН, 2004, т.399, №1, с.45-51.

5. Ю.А. Демьянов, A.A. Малашин. Вынужденные продольные колебания музыкальных струн, обусловленные их поперечными колебаниями. Газовая и волновая динамика. 2005.,МГУ, Сб. с. 178-187.

6. A.A. Малашин. Продольно-крутильные волны и колебания в напряженных тонкостенных трубах. Докл. РАН, 2005, т.401, №1, с.47-53.

7. Ю.А. Демьянов, A.A. Малашин. О влиянии волновых процессов в струнах щипковых музыкальных инструментов на характер движения медиатора. Проблемы механики. Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. 2003, с. 350-356.

8. Ю.А. Демьянов, A.B. Звягин, A.A. Малашин. Проблемы динамики спортивного лука и аэродинамики его стрелы. Проблемы механики. Сб. статей. К 75-летию со дня рождения Е.И. Шемякина. 2005.

9. Ю.А. Демьянов, A.A. Малашин. Возмущения воздуха, вызванные колебаниями струн музыкальных инструментов. Современные проблемы аэрогидродинамики. Тезисы докладов XI школы семинара под руководством академика РАН Г.Г. Черного. Изд. МГУ. 2003. с. 32.

10. Ю.А. Демьянов, A.A. Малашин. Аэродинамика стрелы спортивного лука. Современные проблемы аэрогидродинамики. Тезисы докладов XII школы семинара под руководством академика РАН Г.Г. Черного. Изд. МГУ. 2004. с. 30-31.

11. Ю.А. Демьянов, A.B. Брюквин, Д.В. Дементьева, С. С. Лобанова, A.A. Малашин. Теория поперечно- продольных колебаний музыкальных струн под воздействием исполнителя. Тезисы докладов МТТ, 2002.

12. Ю.А. Демьянов, A.A. Малашин. К решению проблемы удара твердым телом по гибкой деформируемой струне при возникновении деформации сжатия. Докл. РАН, 2007. №413, 45-49.

13. A.A. Малашин. Вынужденные продольные колебания- гибких деформируемых предварительно натянутых струн на частотах поперечных колебаний. Докл. РАН, 2006.

14. А.А. Малашин. Акустические спектры вынужденных продольных колебаний музыкальных струн на поперечных частотах. Тезисы докладов XV школы семинара под руководством академика РАН Г.Г. Черного. Изд. МГУ. 2007. с.75-76

15. Ю1А. Демьянов, A.A. Малашин. Взаимозависимость продольных, поперечных, изгибных и крутильных волн и колебаний в предварительно напряженных средах. Бишкек. Тезисы докладов международной конференции. 2009

16. Малашин A.A. О граничном управлении поперечно-продольными колебаниями струн. Ломоносовские чтения. 2009.

17. А.А. Малашин. Продольно-поперечно-крутильные волны и колебания в музыкальных струнах. Докл. РАН, 2009. Т.424. с. 197-199.

18. Ю. А. Демьянов, A.A. Малашин. Почему звучат музыкальные инструменты. М.: Природа. 2008 г. №8.с 42-51.

19. Демьянов Ю.А., Звягин A.B., Куксенко Б.В., Лужин A.A., Малашин A.A., Никитин В.Ф., Смирнов H.H. О размотке тросовых систем на околоземной орбите. Газовая и волновая динамика. 2010.,МГУ, Сб.

20. А.А. Малашин. Некоторые задачи граничного управления поперечно-продольными колебаниями натянутых струн. М.: Изд-во Московского университета 2010. Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции.

21. A.A. Малашин. Волны и колебания в витых струнах. Москва, ПММ, 2011. №1.

22. Ю.А. Демьянов, A.A. Малашин. Влияние жесткости на поперечно-продольные движения музыкальных струн. Москва, ПММ, 2011. №1.

23. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. Изд. 2-е, дополненное, М.: Логос, 2009.,

24. Рахматулин Х.А., Шемякин Е.И., Демьянов Ю.А., Звягин A.B. Прочность и разрушение при кратковременных нагрузках. М.: Логос, 2009.

25. Демьянов Ю.А. Асимптотический метод решения задач распространения волн в нити. // ПММ. М.1993. т.57. вып.4. с. 146-149.

26. Демьянов Ю.А. К уточнению теории колебания музыкальных струн.// Докл. РАН. 1999. т.369. №4. с.461-465.

27. Демьянов Ю.А. Постановка задач взаимодействия струны с возбудителем её колебаний. // ДАН. 2000.Т.372. №6.С.743-748.

28. Baron Rayleigh, The theory of sound. London, 1926

29. Рэлей. Теория звука. Л.; M.: Гостехтеориздат, 1940.Т.1.С. 187-257.

30. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики, М., Наука.1977.

31. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов M. М. Уравнения математической физики в частных производных. М:: Высшая школа, 1970

32. Ю.Комаров H.A., Федюнин С.Н., Изготовление и ремонт щипковых музыкальных инструментов, М.; Легпромбытиздат, 1988.

33. П.Кузнецов Л. А. Акустика музыкальных инструментов. М.: Легпромбытиздат, 1989.

34. Римский- Корсаков A.B., Дьяконов H.A., Музыкальные инструменты, Росгизместпром, М., 1952.

35. Taylor С.А., The physics of musical sounds, New York, Elsevier, 1965.

36. Тейлор G.A., Физика музыкальных звуков, M., Легкая индустрия, 1976.

37. Сагомонян А .Я., Волны напряжения в сплошных средах, Изд. МГУ, М.,1985.

38. NayfehA.H. Perturbation methods. John Wiley&Sons, Inc., 1973.

39. НайфеА. X. Методы возмущений. M.: Мир, 1976.

40. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А., Асимптотические методы нелинейных колебаний. М., Наука, 1974.

41. Митропольский Ю.А., Колебания нелинейных систем, Киев, 1976.1. Литература к ГЛАВЕ II

42. Рахматулин Х.А., Адылов К.А. Нормальный поперечный удар по спиральным проволочным канатам. Вестник МГУ, серия Математика и механика, 1976, №6, с. 105-110.

43. Демьянов Ю.А., Кокорева Д.В., Малашин A.A. Взаимовлияние поперечных и продольных колебаний в музыкальных инструментах. Москва, ПММ, 2003, т. 67, №2, с. 273-283.

44. Смирнов В.И., Курс высшей математики, Гостехиздат, 1976.

45. Светлицкий В.А. Механика стержней.ч.1-2. М.: Высшая школа, 1987.

46. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.

47. Сагомонян А.Я., Волны напряжения в сплошных средах, Изд. МГУ, М.,1985.

48. Демьянов Ю.А. Уточнение теории колебания мембран // ДАН, 2002, т.387, №2, с.168-174.

49. ЛявА. Математическая теория упругости. М.; Л.: ОНТИ, 1935.

50. Люстерник JI. А. Кратчайшие линии. Вариационные задачи. M.-JL: Гостехиздат, 1955.1. Литература к ГЛАВЕ Ш

51. Светлицкий В.А. Механика стержней. М.: Высш. шк., 1987. 4.1/2.

52. Демьянов Ю.А. ДАН. 1999. Т. 369. № 4. С. 461-465.

53. Демьянов Ю.А., Дементьева Д.В., Малашин A.A. ПММ. 2003. Т. 67. № 2. С.273.283.

54. Демьянов Ю.А. К теории поперечно-продольных колебаний предварительно напряженных балок и стержней. ДАН, т. 401, № 4, 2005, стр. 476-478.

55. Рэлей. Теория звука. Л.; М.: Гостехтеориздат, 1940.Т.1.1. Литература к ГЛАВЕ IV

56. Демьянов Ю.А. К уточнению теории колебания музыкальных струн.// Докл. РАН. 1999. т.369. №4. с.461-465.

57. Демьянов Ю.А., Дементьева Д.В., Малашин A.A. Взаимовлияние поперечных и продольных колебаний в музыкальных инструментах. Москва, ПММ, 2003, т. 67, №2, с. 273-283.

58. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

59. Baron Rayleigh, The theory of sound. London, 1926

60. Рэлей. Теория звука. Л.; M.: Гостехтеориздат, 1940.Т. 1 .С. 187-257.1. Литература к ГЛАВЕ V.

61. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках.//М. Физматгиз. 1961.

62. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. С. 140-143.

63. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при свободном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны. ДАН. 2005. Том 400, №5, с. 587-591.

64. Ильин В. А., Моисеев Е.И. Нелинейная динамика и управление. М.: Физматлит, 2004.

65. Ильин В. А., Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце. Дифференциальные уравнения. 1999, Т.35, №12, с. 1640-1659.

66. Ильин В. А., Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце. Доклады Академии Наук, 1999, том. 369, №6, с. 732-735.

67. Ильин В. А., Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени. Дифференциальные уравнения. 1999, Т.35, №11, с. 1517-11534.

68. Ильин В. А., Моисеев Е.И. Оптимизация граничного управления упругой силой на двух концах струны. ДАН. 2005. Том 402, №2.

69. Ильин В. А., Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление смещением на двух концах и отвечающее ему распределение полной энергии струны. ДАН. 2005. Том 400, №1, с. 16-20.

70. Ильин В. А., Тихомиров В.В., Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса. Дифференциальные уравнения. 1999, Т.35, №5, с. 692-704.

71. А.И. Егоров. Основы теории управления. М.: Физматлит, 2007.

72. НайфеА. X. Методы возмущений. М.: Мир, 1976.

73. Bender C.M., Orszag S.A. "Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. Asymptotic Methods and Perturbation theory" McGraw-Hill College, 1978. 576 pages.

74. B.B. Александров, В.Г. Болтянский, C.C. Лемак, H.A. Парусников, В.М. Тихомиров, Оптимальное управление движением, М.: Физматлит, 20051. Литература к ГЛАВЕ VI

75. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики, М., Наука. 1977.

76. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов M. М. Уравнения математической физики в частных производных. М.: Высшая школа, 1970

77. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках.//М. Физматгиз. 1961.

78. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. Изд. 2-е, дополненное, М.: Логос, 2009.

79. Baron Rayleigh, The theory of sound. London, 1926

80. Рэлей. Теория звука. Л.; M.: Гостехтеориздат, 1940.T.l.C.l87-257.

81. Римский- Корсаков A.B., Дьяконов H.A., Музыкальные инструменты, Росгизместпром, М., 1952.1. Литература к ГЛАВЕ VII

82. Рахматулин X.A. Поперечный удар по гибкой нити телом заданной формы. ПММ, т. 16, вып.1, 1952.

83. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивныхкратковременных нагрузках.//М. Физматгиз. 1961.

84. Зверев И.Н., Некоторые задачи о распространении волн при ударе. //

85. Дисс. на соискание учен, степени к. ф.-м. н. МГУ. НИИ механики. 1949.

86. Рахматулин Х.А. О косом ударе по гибкой нити с большими скоростямипри наличии трения. // ПММ. 1945. т.9. вып.6. с.449-462

87. Рахматулин Х.А. Об ударе по гибкой нити. ПММ, т. XI, №3, 1947.

88. Рахматулин Х.А. Поперечный удар по гибкой нити с переменнойскоростью. Ученые записки МГУ, т. 4, 1951.

89. Демьянов Ю.А., Демьянова Е.Г., Лобанова С.С., Распространениепоперечно-продольных волн в натянутой струне при ударе по ней телом произвольной формы. Известия АН, МТТ, 2002г. (в печати).

90. Лобанова С.С., Удар по нити. Сборник научных трудов аспирантов идокторантов МГУ Л, 1999.

91. ЛенскийЭ.В. Удар клином по упругой нити. МТТ, 1968, №2, с. 104-106.

92. Муталлимов Ш.А. О схеме движения гибкой нити при ударе клином. Прикл. Мех. 1978, Т. 14, №7, с. 108-112.

93. Никитин JI.B. Статика и динамика твердых тел с внешним сухим трением. М.: «Московский лицей», 1998.

94. Дородницын A.A., «Метод интегральных соотношений для решения задач аэродинамики». Всесоюзный математический съезд, тезисы доклада, 1956.

95. Белоцерковский О.М., «Обтекание затупленного профиля сверхзвуковым потоком», ПММ, т. 22, № 2, 1958.

96. Белоцерковский О.М., «Обтекание затупленного тела сверхзвуковым потоком», ПММ, т.22, № 6, 1958.

97. Тихонов А. К, Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. С. 140-143.1. Литература к ГЛАВЕ VIII

98. Kruijff, М., Heide, van der E.J., De Venuto, F., Dobrowolny, M., Vannaroni, G., Long Term Stability Of Bare Conductive Tethers: Combined Results From Plasma Chamber Tests And Advanced Simulations, Proceedings of STAIF 2001, Albuquerque.

99. Kruijjf, M., Heide, van der E.J., The YES satellite: a tethered momentum transfer in the GTO orbit, Proceedings of Tether Technology Interchange Meeting, NASA/CP-1998-206900; Januaiy 1998.

100. A. Hyslop, E. van der Heide, M.Stelzer, M.Kruijff, C.Bonnal, C.Talbot,

101. A.Espinosa. Designing a Micro-launcher with tether upper stage. Proc. IAC Valencia, 2006, IAC-06-D2.3.03.

102. Smirnov N.N. (Ed.) Space debris hazard'evaluation and mitigation. Taylor and Francis, 2002, London, New York.

103. E.J. van der Heide, M.Kruijff, Tethers and debris mitigation, Acta Astronáutica 2001. Vol. 48, No. 5-12, pp. 503-516.

104. Chobotov V.A., Melamed, N., Ailor, W.H., Campbell, W.S. Ground assisted rendezvous with geosynchronous satellites for the disposal of space debris by means of Earth-oriented tethers. Acta Astronáutica 2009, vol. 64 No(9-10), pp. 946-951.

105. Sakamoto, Y., Yotsumoto, K, Sameshima, K., Nishio, M., Yasaka, T. Methods for the orbit determination of tethered satellites in the project QPS. Acta Astrounautica 2008, vol.62 No(2-3), pp. 151-158.

106. Белецкий, B.B., Левин E.M., Динамика космических тросовых систем. М.: Наука, 1990.

107. Звягин А.В., Демьянов Ю.А., Куксенко Б.В., Малашин А.А., Лужин А.А., Смирнов Н.Н. Динамика размотки тросовых систем на околоземной орбите. М.: Изд-во Московского университета. Ломоносовские чтения. 2007, с. 68.

108. М. Kruijff, E.J. van der Heide, W.J. Oskels, E. Gill. First Mission Results of the YES2 Tethered Space Mail Experiment. AIAA pap. 092407, 2008, No. 7385.

109. Рахматулин X.A., Шемякин Е.И., Демьянов Ю.А., Звягин А.В. Прочность и разрушение при кратковременных нагрузках. М.: Логос, 2009.