Исследование волновых и колебательных процессов в струнах щипковых музыкальных инструментов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Малашин, Алексей Анатольевич

• Малашин, Алексей Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Малашин, Алексей Анатольевич

Основные обозначения.

Введение.

1. Состояние вопроса.

2. Поперечно-продольные волны в струне щипкового музыкального инструмента при воздействии медиатора.

2.1 Введение.

2.2 Решение задачи распространения поперечно- продольных волн при воздействии жесткого медиатора треугольной формы, движущегося с постоянной скоростью, в нелинейной постановке.

2.3 Решение задачи распространения поперечно- продольных волн при воздействии жесткого медиатора треугольной формы, движущегося с постоянной скоростью, в линейной постановке.

2.4 Взаимодействие медиатора треугольной формы со струной конечных размеров.

2.5 Взаимодействие медиатора произвольной формы, движущегося с переменной скоростью, со струной.

2.6 Анализ результатов.

2.7 Выводы.

3. О взаимовлиянии волновых процессов в струнах щипковых музыкальных инструментов и движения медиатора.

3.1 Введение.

3.2 Воздействие жесткого медиатора на струну. Случай движения в одной плоскости.

3.3 Воздействие жесткого медиатора на струну.

Случай разворота медиатора.

3.4 Анализ уравнений и получаемых решений.

3.5 Возможные обобщения результатов.

3.6 Выводы.

4. Поперечно-продольные колебания струн щипковых музыкальных инструментов.

4.1 Введение.

4.2 Спектры поперечных колебаний струн щипковых музыкальных инструментов в период воздействия исполнителя.

4.3 Спектры поперечных колебаний струн щипковых музыкальных инструментов после воздействия исполнителя.

4.4 Спектры продольных колебаний струн щипковых музыкальных инструментов после окончания воздействия медиатора в рамках традиционной постановки.

4.5 Спектры продольных колебаний струн щипковых музыкальных инструментов в период воздействия исполнителя.

4.6 Спектры продольных колебаний струн щипковых музыкальных инструментов после окончания воздействия медиатора в рамках новой постановки.

4.7 Анализ полученных решений для продольных колебаний.

4.8 Анализ причин возникновения продольных колебаний на частотах поперечных на основе волновых решений.

4.9 Выводы.

5. Применение методов возмущений при определении спектров поперечных и продольных колебаний в струнах.

5.1 Введение.

5.2 Определение методами малого параметра поправок к спектрам поперечных колебаний с учетом произвольной формы медиатора.

5.3 Определение методами малого параметра поправок к спектрам поперечных колебаний с учетом упругости заделки струны.

5.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование волновых и колебательных процессов в струнах щипковых музыкальных инструментов»

Диссертация посвящена математическому моделированию и исследованию волновых и колебательных процессов, возникающих в струне щипкового музыкального инструмента в период воздействия исполнителя и после окончания воздействия на струну.

Актуальность темы

Традиционное рассмотрение задачи взаимодействия возбудителя колебаний со струной, ведущее свое начало от классической работы лорда Рэлея сводится к рассмотрению задачи с начальными данными для уравнения поперечных колебаний. Рассмотрение процесса взаимодействия медиатора со струной как процесса взаимодействия струны в течение определенного конечного времени с телом, движущимся по некоторому закону, приводит к новым расчетным схемам для определения компонентов смещения, деформаций и скоростей частиц струны, и как следствие, спектров колебаний струны и деки музыкального инструмента. В классическом решении задачи о колебании струны не учитывается процесс взаимодействия медиатора со струной, как следствие, не принимаются во внимание колебания, возникающие в период возбуждения струны. Вместе с тем, спектры поперечных и продольных колебаний, возникающие в период воздействия медиатора воспринимаются декой и отражаются на спектрах её дальнейшего звучания. В традиционной постановке влияние продольных смещений, деформаций и скоростей струны, определяющих процесс её колебаний, не учитывается. Из-за неучета продольных динамических составляющих натяжения в струне неполностью описывается механизм колебания деки — основного источника звука музыкальных инструментов. Между тем при рассмотрении уравнений поперечно-продольных колебаний струны установлено, что вклад продольных и поперечных составляющих в динамическое нагружение оказывается одного порядка. Также установлено, что вынужденные продольные колебания происходят на частотах поперечных, при этом возможны резонансные явления. Это означает необходимость рассмотрения продольных составляющих как одного из основных источников колебания деки.

Цель работы

Постановка и решение задачи, описывающей волновые и колебательные процессы в струнах щипковых музыкальных инструментов в период воздействия исполнителя за счет построения модели взаимодействия медиатора со струной как динамического взаимодействия «струна -движущееся тело». Рассмотрение влияния поперечно-продольных волновых процессов на характер движения медиатора и, следовательно, манеру игры исполнителя. Уточнение колебательных процессов после окончания воздействия медиатора а) за счет использования решения задачи для периода воздействия, б) за счет впервые выполненного теоретического определения собственных и вынужденных продольных колебаний.

Учет продольных волн в струне как одного из основных источников нагружения струны. Определение методами возмущения поправок в спектре поперечно- продольных колебаний за счет податливости точек закрепления струны и отличия формы медиатора от бесконечно тонкой скользящей палочки.

Научная новизна

Научная новизна работы заключается в следующем:

• эксперимент по определению времени воздействия медиатора на струну щипкового инструмента показал, что за это время, составляющее 0,010,05 с, продольные и поперечные волны многократно отражаются от мест крепления и медиатора, динамическая нагрузка при этом оказывается максимальной;

• для случая воздействия медиатора треугольной формы на струну получено точное решение нелинейных уравнений распространения поперечно- продольных волн и определена волновая картина при этом, обоснована применимость линеаризованных уравнений поперечных и продольных колебаний;

• в рамках линеаризованных уравнений распространения поперечных и продольных волн поставлена и решена задача взаимодействия медиатора произвольной формы со струной;

• предложена схематизация воздействия медиатора бесконечно тонкой палочкой (показано, что при этом поправки на форму медиатора могут быть проведены методами возмущений);

• в рамках линеаризованного уравнения продольных колебаний показано, что разрывы составляющих продольных скоростей и деформаций на поперечной волне остаются неизменными при взаимодействии с продольной волной, продольные волны распространяются от заделки до точки удара и обратно, не отражаясь от поперечной волны, оставляя величину разрыва неизменной, это обстоятельство объясняет возникновение вынужденных продольных колебаний на частотах поперечных;

• рассмотрен процесс нагружения медиатора силами натяжения струны, определено условие начала его разворота, получено уравнение разворота медиатора, найдено численное решение, рассмотрено взаимовлияние манеры игры исполнителя и волнового процесса;

• с учетом малой массы медиатора в нелинейной постановке решена предельная задача о развороте медиатора и волновых процессах при этом;

• найдены спектры поперечных и продольных колебаний как в период воздействия, так и после его окончания; впервые приведены данные по продольным колебаниям, определены компоненты смещений, деформаций и скоростей частиц струны в период воздействия медиатора на струну, а также волновая картина, после окончания воздействия;

• методом возмущений определяются поправки в амплитудно-частотных характеристиках спектров колебаний из-за податливости точек закрепления струны, произвольной формы медиатора;

• анализируются результаты проведенных экспериментов по измерению спектров звучания электрогитары.

Практическая ценность

В работе впервые рассмотрен новый расчетный случай динамического нагружения и колебаний струны, соответствующий периоду воздействия исполнителя, исследовано распространение поперечно- продольных волн в струне щипкового инструмента и найдены спектры поперечных и продольных колебаний. Уточнены спектры поперечных колебаний после окончания воздействия, впервые приведены данные по продольным колебаниям, вклад в динамическое нагружение которых оказывается одного порядка с поперечными.

Практическая ценность работы определяется возможностью использования разработанных математических моделей и методов при анализе и уточнении амплитудно-частотных спектров поперечных и продольных колебаний струн щипковых музыкальных инструментов и связанного с этим процесса нагружения деки- основного источника звука музыкальных инструментов. Результаты приведенных исследований могут быть применены при расчете строительных конструкций, поддерживаемых гибкими связями, опор электропередачи, спортивного лука. Результаты применяются при моделировании спектров звучания электронных музыкальных инструментов.

Апробация работы

Основные материалы и результаты исследований докладывались и получили положительную оценку на:

• на научных семинарах кафедры волновой и газовой динамики механико-математического факультета МГУ ( под. рук. акад. Е.И.Шемякина)

• на семинаре в Институте проблем механики РАН (под. рук. акад. А.Ю. Ишлинского и Д. Климова) ( тезисы доклада опубликованы вМТТ)

• на научном семинаре в отделе математической физики МИАН им. Стеклова ( под рук. акад. В.В. Владимирова),

• на научном семинаре в Институте механики МГУ ( под. рук. чл.-корр. А.Г. Куликовского, проф. А.А. Бармина и В.П. Карликова)

• на X школе- семинаре « Современные проблемы аэрогидродинамики», (Сочи, «Буревестник», 5-15 сентября, 2002) (председатель акад. Г.Г. Черный, тезисы опубликованы в Изд. МГУ)

• на научной конференции МГУл Публикации

Основное содержание работы опубликовано в 5 работах, список которых представлен в Заключении в конце диссертации.

Структура и объем

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объем диссертационной работы составляет 107 страниц.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Малашин, Алексей Анатольевич

Основные результаты диссертации изложены в 5 работах:

1. Ю.А. Демьянов, А.А. Малашин. О взаимосвязи волновых и колебательных процессов в струнах щипковых музыкальных инструментов с манерой игры исполнителя. Докл. РАН, 2002, т. 387, №3, с. 333-337.

2. Демьянов Ю.А., Дементьева Д.В., Малашин А.А. Взаимовлияние поперечных и продольных колебаний в музыкальных инструментах. Москва, ПММ, 2003, т. 67, №2, с. 273-283.

3. Ю.А. Демьянов, А.А. Малашин. Поперечно-продольные волны в струне щипкового инструмента при воздействии исполнителя. Москва, ПММ, 2003, т. 67, №3.

4. Ю.А. Демьянов, А.В. Брюквин, Д.В. Дементьева, С. С. Лобанова, А.А. Малашин. Теория поперечно- продольных колебаний струн и мембран под действием произвольных тел и её приложения. Изд. МГУ, Тезисы докладов X школы- семинара «Современные проблемы аэрогидродинамики», 2002.

5. Ю.А. Демьянов, А.В. Брюквин, Д.В. Дементьева, С. С. Лобанова, А.А. Малашин. Теория поперечно- продольных колебаний музыкальных струн под воздействием исполнителя. Тезисы докладов МТТ, 2002.

Заключение.

При изучении звучания струнных музыкальных инструментов необходимо учитывать то обстоятельство, что в процессе игры участвуют три элемента: два пассивных - струны и дека, и активный - исполнитель, который, в зависимости от его мастерства и качества инструмента, может добиваться красивого звучания. Исследование взаимодействия и взаимовлияния этих элементов, свойств самого музыкального инструмента является очень сложной и трудоемкой задачей.

Данная работа посвящена исследованию волновых и колебательных процессов в струнах щипковых музыкальных инструментов.

При изучении колебаний струн (а также динамического взаимодействия системы «струны- дека») были выделены и рассмотрены следующие задачи:

• Изучение фазы атаки, т.е. процесса воздействия возбудителя колебаний на струну. Именно в этой фазе исполнитель, используя различные приемы звукоизвлечения, добивается нужного ему звучания. От динамики процесса возбуждения струны и от места воздействия зависит окраска, т.е. характер и красота звучания.

• Изучение поперечных и продольных колебаний, возникающих в струнах в период воздействия исполнителя и его после окончания . Необходимо отметить, что продольные возмущения (наравне с поперечными) оказывают влияние на динамическое нагружение струны (а затем и деки).

Ниже перечислены основные результаты работы:

1. Решена нелинейная задача распространения поперечно-продольных волн в струне при воздействии клинообразного медиатора, движущегося с постоянной скоростью. Расчеты параметров составляющих смещений, деформаций и скоростей в нелинейной постановке подтверждают возможность использования линеаризованных уравнений поперечных и продольных колебаний первого приближения применительно к условиям игры на щипковом музыкальном инструменте.

2. В рамках линейной постановки определены поперечные и продольные составляющие смещений, деформаций и скоростей частиц струны в период воздействия на струну для произвольной формы медиатора и произвольной скорости его движения. Этот участок является участком максимальных динамических нагрузок.

3. Показано, что продольные волны распространяются от заделки до точки удара и обратно, не отражаясь от поперечной волны, оставляя на ней величину разрыва продольных составляющих скоростей и деформаций неизменной; поэтому поперечная волна является фронтом разрыва продольных скоростей и деформаций и источником вынужденных продольных колебаний на частотах поперечных.

4. На основании анализа нагружения медиатора рассмотрены две схемы воздействия, отражающие различные стили игры на музыкальном инструменте.

5. Считая медиатор жестким, составлены уравнения его вращения с одновременным учетом изменения координаты места контакта струны с ним. Составлена программа расчета угла поворота медиатора, и получены соответствующие численные результаты для широкого диапазона данных.

6. Полученные численные данные о вращении медиатора сопоставлены с точными аналитическими решениями, которые можно получить в следующих обоснованных предположениях: малая масса медиатора, малые изменения координаты точки контакта со струной. В случае малой массы получена и решена нелинейная автомодельная задача распространения волн в струне.

7. Рассмотрен новый расчетный случай динамического деформирования и колебаний струны, соответствующий периоду воздействия исполнителя. Определены поперечные и вынужденные продольные колебания, основной тон которых выше, чем основной тон всей струны, и которые будут восприниматься опорой и декой, давая дополнительный спектр звучания.

8. С учетом новой постановки взаимодействия медиатора со струной найдены спектры поперечных и продольных колебаний после окончания воздействия, впервые приведены данные по продольным колебаниям. Наряду с продольными колебаниями на собственных частотах существует спектр вынужденных продольных колебаний на поперечных частотах.

9. Определены условия резонанса между основными частотами продольных и обертонами поперечных колебаний, которые находятся в диапазоне, воспринимаемым человеческим ухом.

10. Вклад поперечных и вынужденных продольных колебаний в динамическую нагрузку деки одного порядка. Это подтверждается результатами численных расчетов амплитуд поперечных и продольных колебаний, а также проведенных экспериментов по анализу и моделированию акустических спектров колебаний щипковых инструментов с использованием компьютерной программы Soundforge.

11. Методами возмущений определены поправки в амплитудно-частотных характеристиках спектров колебаний. Найдены сдвиги частот с учетом податливости точек закрепления струны, произвольной формы медиатора.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Малашин, Алексей Анатольевич, 2003 год

1. Baron Rayleigh, The theory of sound. London, 1926

2. Рэлей. Теория звука. JT.; М.: Гостехтеориздат, 1940.Т.1.С.187-257.

3. Рахматулин Х.А. О косом ударе по гибкой нити с большими скоростями при наличии трения. // ПММ. 1945. т.9. вып.6. с.449-462

4. Рахматулин Х.А. Об ударе по гибкой нити. ПММ, т. XI, №3, 1947.

5. Рахматулин Х.А. Поперечный удар по гибкой нити с переменной скоростью. Ученые записки МГУ, т. 4, 1951.

6. Рахматулин Х.А. Поперечный удар по гибкой нити телом заданной формы. ПММ, т. 16, вып. 1, 1952.

7. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках.// М. Физматгиз. 1961.

8. Зверев И.Н., Некоторые задачи о распространении волн при ударе. // Дисс. на соискание учен, степени к. ф.-м. н. МГУ. НИИ механики. 1949.

9. Рябова Е.В., Поперечный удар с переменной скоростью по гибкой нити. Вестник МГУ, №10, 1953.

10. Мороз Г.С., Переходные этапы движения гибкой нити конечной длины при поперечном ударе. ПММ, т. 20, №6, 1954.

11. Демьянов Ю.А. Асимптотический метод решения задач распространения волн в нити. // ПММ. М.1993. т.57. вып.4. с.146-149.

12. Демьянов Ю.А. К уточнению теории колебания музыкальных струн.// Докл. РАН. 1999. т.369. №4. с.461-465

13. Демьянов Ю.А. Постановка задач взаимодействия струны с возбудителем её колебаний. // ДАН. 2000.Т.372. №6.С.743-748.

14. Демьянов Ю.А., Демьянова Е.Г., Лобанова С.С., Распространение поперечно-продольных волн в натянутой струне при ударе по ней телом произвольной формы. Известия АН, МТТ, 2002г. (в печати).

15. Лобанова С.С., Удар по нити. Сборник научных трудов аспирантов и докторантов МГУЛ, 1999.

16. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, М., Наука. 1977.17 .Коишяков Н. С., Глинер Э. Б., Смирное М. М. Уравнения математической физики в частных производных. М.: Высшая школа, 1970

17. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Гостехиздат, 1954.

18. Ю.А. Демьянов, А.А. Малашин. О взаимосвязи волновых и колебательных процессов в струнах щипковых музыкальных инструментов с манерой игры исполнителя. Докл. РАН, 2002, т. 387, №3, с. 333-337.

19. Демьянов Ю.А., Дементьева Д.В., Малашин А.А. Взаимовлияние поперечных и продольных колебаний в музыкальных инструментах. Москва, ПММ, 2003, т. 67, №2, с. 273-283.

20. Ю.А. Демьянов, А.А. Малашин. Поперечно-продольные волны в струне щипкового инструмента при воздействии исполнителя. Москва, ПММ, 2003, т. 67, №3.

21. Ю.А. Демьянов, А.В. Брюквин, Д.В. Дементьева, С. С. Лобанова, А.А. Малашин. Теория поперечно- продольных колебаний музыкальных струн под воздействием исполнителя. Тезисы докладов МТТ, 2002.

22. R.Narasimha, Nonlinear vibration of an elastic string, J.Sound Vib. 8, 134146 (1968)

23. K.D. Murphy and T.M. Morrison "Grazing instabilities and post-bifurcation behavior in an impacting string" Journal of Acoustic Society of America, 111(2), February 2002.

24. T. Watanabe, Forced vibrations of continuous systems with non-linear boundary condition. J. Mech. Des. 100, 487-491, 1978.

25. Кузнецов Л. А. Акустика музыкальных инструментов. М.: Легпромбытиздат, 1989.

26. Комаров Н.А., Федюнин С.Н., Изготовление и ремонт щипковых музыкальных инструментов, М.; Легпромбытиздат, 1988.

27. Снеддон И. Преобразование Фурье. М.: ИЛ, 1955.

28. Смирнов В.И., курс высшей математики, Гостехиздат, 1976.

29. Морзе. Механические колебания, М., 1966.

30. Витт А.А., Андронов А.А., Теория колебаний, М., 1981.

31. Андронов А.А., Хайкин С.Э., Теория колебаний, ОНТИ, М.,1937.

32. Ф. Морз, Колебания и звук, Государственное издательство технико-теоретической литературы, М. 1949.

33. Н. Д. Папалекси, Успехи физических наук, 1, вып. 2, 1931.

34. Fletcher, PIRE, 30, 6, 266, June, 1942.

35. Русаков И.Г., Отчет НИИМП, Г-У-708. 1940.

36. Шумова Н.Д., Отчет НИИМП, Д-1-402, 1937- 1938.

37. Римский- Корсаков А.В., Кандидатская диссертация, Физический институт АН СССР, М., 1940.

38. Римский- Корсаков А.В., Сборник НИИМП №3, 1941.

39. Римский- Корсаков А.В., Докторская диссертация, Ленинградский физико-технический институт АН СССР, 1949.

40. Римский- Корсаков А.В., Дьяконов Н.А., Музыкальные инструменты, Росгизместпром, М., 1952.

41. Сагомонян А.Я., Волны напряжения в сплошных средах, Изд. МГУ, М.,1985.

42. Павленко A.JL, О распространении разрывов в гибкой нити, Изв. АН СССР, ОТН Механика и машиностроение, 1954, №4, 112-123.

43. A5.Nayfeh А.Н. Perturbation methods. John Wiley&Sons, Inc., 1973.

44. Аб.Найфе A. X. Методы возмущений. M.: Мир, 1976.

45. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А., Асимптотические методы нелинейных колебаний. М., Наука, 1974.

46. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х., Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания, М., Наука, 1975.

47. Поделков В.В., Вопросы устойчивости и колебаний. М., Наука, 1974.

48. Пановко Я.Г., Основы прикладной теории колебаний и удара, Л., Политехника, 1990.51 .Современное состояние математической теории малых колебаний, Сб. статей, М.-Л., Акад. Наук СССР, 1948.

49. Тонг К.Н., Теория механических колебаний, М., Машгиз, 1963.

50. Митропольский Ю.А., Колебания нелинейных систем, Киев, 1976.

51. Основы механики нити, Сб. статей, М.-Л., Гизтехпром, 1951.

52. Хаяси Т., Вынужденные колебания в линейных системах, М., Наука,1967.5 6. Taylor С. A., The physics of musical sounds, New York, Elsevier, 1965.

53. Тейлор C.A., Физика музыкальных звуков, М., Легкая индустрия, 1976.

54. Hale J.K., Oscillations in nonlinear systems, New York, Mc Graw Hill, 1973.

55. Crafton P.A., Shock and vibration in linear systems. New York, Harper @ Brothers, 1961.

56. Thompson W.T., Mechanical vibrations, London, Allen @ Unwin, 1976.