Внешняя и внутренняя задачи динамики изогнутого трубопровода - построение математических моделей и приближенное решение их уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Ткаченко, Олег Павлович

• Ткаченко, Олег Павлович
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ткаченко, Олег Павлович

Введение.

Глава 1. Задача геометрически нелинейного деформирования трубопровода.

1.1. Физическая постановка задачи об изгибании трубопровода. Геометрия системы.

1.1.1. Физическая постановка задачи.

1.1.2. Системы координат

1.1.3. Начальная лагранжева система координат.

1.1.4. Сопутствующая лагранжева система координат

1.2. Кинематика движения трубопровода.

1.2.1. Единичные векторы базиса и физические компоненты векторов.

1.2.2. Перемещения срединной поверхности трубы и гипотеза прямых нормалей.

1.2.3. Перемещение осевой линии трубопровода.

1.2.4. Матрица перехода между базисами и перемещение стенок трубопровода.

1.3. Уравнения движения трубопровода как трехмерного деформируемого тела.

1.3.1. Уравнения движения в напряжениях.

1.3.2. Деформации трубопровода.

1.3.3. Краевые условия на внутренней и внешней поверхностях трубопровода.

1.3.4. Сопротивление внешней среды.

1.3.5. Скорость сдвига поперечного сечения трубопровода

1.3.6. Закон Гука для трубы.

1.3.7. Формулировка замкнутой начально-краевой задачи о движении трубопровода.

Глава 2. Математическое моделирование трубопровода, нагруженного потоком жидкости и сопротивлением внешней среды.

2.1. Необходимые соотношения теории оболочек.

2.1.1. Линейное кручение стенки

2.1.2. Следствия гипотез теории оболочек.

2.2. Переход к уравнениям движения оболочки.

2.2.1. Связь деформаций трехмерного упругого тела и оболочки

2.2.2. Интегрирование по толщине стенки для перехода к уравнениям оболочки

2.2.3. Силы, действующие на оболочку со стороны потока жидкости и внешней среды.

2.2.4. Переход к технической оболочке.

2.2.5. Построение математической модели движения стенки трубы как технической оболочки.

2.2.6. Упрощение математической модели.

2.3. Редукция уравнений оболочки к одномерному виду.

2.3.1. Исходное приближение для асимптотического анализа

2.3.2. Асимптотическое разложение решений в ряд по малому параметру Л.

2.3.3. Редукция уравнений к одномерному виду.

2.3.4. Физический смысл коэффициентов рядов.

2.4. Деформации и перемещения стенки трубопровода.

2.4.1. Поперечное перемещение осевой линии

2.4.2. Деформации стенки трубы.

2.4.3. Критерий несущей способности трубопровода.

2.5. Методы и алгоритмы решения уравнений математической модели

2.5.1. Решение уравнений нулевого приближения.

2.5.2. Постановка начально-краевой задачи для уравнений первого приближения.

2.5.3. Построение разностной схемы для задачи первого приближения

2.5.4. Алгоритм численного решения задачи первого приближения

2.6. Результаты численных расчетов движения осевой линии и деформаций стенок трубопровода.

2.6.1. Физические и геометрические параметры механической системы.

2.6.2. Результаты расчета тестовых задач

2.6.3. Численный анализ медленного движения длинномерных трубопроводов

2.6.4. Особенности процесса деформирования трубопровода с профилем в виде цепной линии.

2.6.5. Реакция трубопровода на медленное изменение внутреннего давления.

2.7. Движение трубопровода как растяжимого стержня в вязкой среде.

2.7.1. Физическая постановка задачи. Учет сопротивления внешней среды.

2.7.2. Вывод уравнений движения и постановка начально-краевых задач

2.7.3. Разностная схема и алгоритм численного решения

2.7.4. Результаты численного анализа. Оценка напряжений в стенке трубы.

Глава 3. Математическое моделирование распространения гидроупругих колебаний внутри изогнутого трубопровода

3.1. Физическая постановка задачи, исходные предположения и системы координат.

3.2. Уравнения движения трубопровода при условии малости деформаций

3.2.1. Уравнения движения стенки трубы в напряжениях

3.2.2. Краевые условия на внутренней и внешней поверхностях трубопровода

3.2.3. Переход к уравнениям движения оболочки.

3.2.4. Краевые условия на торцах трубопровода.

3.3. Математическое моделирование движения жидкости

3.3.1. Уравнения движения жидкости, разделение стационарного и нестационарного процессов.

3.3.2. Приведение задачи к безразмерному виду и наложение краевых условий.

3.3.3. Асимптотический анализ задачи о стационарном движении жидкости.

3.3.4. Метод редукции задачи гидроупругости.

3.3.5. Асимптотический анализ уравнений колебательного движения жидкости.

3.3.6. Анализ уравнений движения жидкости в первом приближении по Л методом малого параметра.

Глава 4. Численные и аналитические решения задачи о малых гидроупругих колебаниях в изогнутом трубопроводе

4.1. Перемещения стенок трубы под влиянием стационарного внутреннего потока.

4.1.1. Постановка краевой задачи равновесия трубопровода

4.1.2. Некоторые точные решения стационарной задачи

4.1.3. Сеточное решение уравнений равновесия в первом приближении

4.1.4. Численное решение тестового примера.

4.2. Численный анализ задачи о нестационарных гидроупругих колебаниях трубопровода

4.2.1. Волновая динамика в нулевом приближении.

4.2.2. Постановка задачи о волновой динамике в первом приближении

4.2.3. Алгоритм численного анализа уравнений волновой динамики

4.2.4. Результаты численного решения системы уравнений первого приближения.

4.3. Сравнение расчетов с результатами других авторов.

4.3.1. Теоретическое построение математической модели

4.3.2. Гидравлический удар в эластичной изогнутой трубе

4.3.3. Акустические колебания в трубопроводе.

4.3.4. Гидравлический удар в сильно изогнутом трубопроводе

4.3.5. Геометрические параметры трубопроводных систем

Глава 5. Нелинейные внутренние волны в трубопроводе

5.1. Нелинейные волны в цилиндрическом трубопроводе.

5.1.1. Построение исходной математической модели.

5.1.2. Асимптотическое разложение потенциала скорости. Уравнения мелкой воды.

5.1.3. Вывод разрешающего уравнения Кортевега-де Вриза. Двухволновые уравнения.

5.1.4. Частное решение уравнений распространения возмущения скорости жидкости в виде уединенной волны

5.1.5. Перемещение стенки трубы.

5.1.6. Движение трубы при различных соотношениях между параметрами.

5.2. Нелинейные волны в изогнутом трубопроводе

5.2.1. Построение исходной математической модели.

5.2.2. Анализ уравнений математической модели.

5.2.3. О достаточности уравнения Клейна-Гордона-Фока

5.2.4. Решение уравнения для потенциала скорости жидкости

5.2.5. Физический смысл результатов.

5.3. О геометрическом обобщении математических моделей внутренних волн в изогнутом трубопроводе.

5.3.1. Построенные математические модели движения и колебаний изогнутого трубопровода.

5.3.2. Метод редукции к одномерным задачам. Внутренняя связь поставленных задач.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Внешняя и внутренняя задачи динамики изогнутого трубопровода - построение математических моделей и приближенное решение их уравнений»

В диссертации разработан новый подход к математическому моделированию трубопровода, при котором нелинейные уравнения движения трубы выведены на основе обобщения теории оболочек В.З. Власова, а описание движения жидкости основано на уравнениях Эйлера с учетом трения в шероховатых трубах. Построена математическая модель, универсальная по широте охвата исследуемых явлений: от медленных движений трубопровода во внешней среде до распространения гидроупругих колебаний и гидравлического удара. Создан обобщенный алгоритм редукции уравнений, основанный только на характерной геометрии трубопровода, позволивший свести все рассмотренные задачи к одномерным. Результаты диссертации опубликованы в [77]-[87], [101]-[127], [163], [174].

В результате различных внешних факторов (подвижки грунта, вибраций от техногенных процессов, сейсмической активности и других), а также собственной неустойчивости, трубопроводы отклоняются от своего проектного положения [175]. Исследование процессов изменения трассы трубопроводов и разработка методов диагностики состояния профиля является одной из актуальных проблем современной механики сплошной среды. Это обусловлено интенсивным развитием сети подземных и подводных трубопроводов, необходимостью поиска новых подходов к методам их контроля, повышением требований к безопасности ввиду возросшей активности эксплуатации, а также тяжелыми последствиями возможных аварий. Прямой контроль состояния трубопровода путем прохождения его трассы — практически единственный, очень дорогостоящий, метод диагностики.

Проблема исследования совместного движения труб и жидкости охватывает множество классических задач механики, всегда привлекавших внимание исследователей. К их решению в различных постановках обращались Н.Е. Жуковский, В.З. Власов, Г.Т. Алдошин, И.П. Гинзбург, A.C. Вольмир, Л.Г. Лойцянский, С.П. Тимошенко, В.И. Феодосьев, W.R. Dean и другие известные специалисты. В.И. Феодосьев, по-видимому, впервые математически точно поставил задачу об устойчивости подземного трубопровода [130], позднее упрощенный вариант задачи использован в учебной литературе [131], решение которой совпадает с решением задачи Ж.А.Ш. Бресса о движении по мосту распределенной нагрузки [63]. Впоследствии вопросы сохранения проектного профиля стали предметом специальных технических исследований [11], [45] и нормативных документов [96], [97]. Итак, несомненна актуальность задач о совместном движении трубопровода и заполняющей его жидкости в различных постановках, ввиду большой прикладной ценности и теоретической важности.

Изменение формы профиля трубопровода должно быть своевременно установлено. В качестве одного из методов контроля предложено пропускание через поток жидкости импульса давления или акустической волны. Большое теоретическое и практическое значение имеет также задача прогноза изменения профиля трубопровода как при потере устойчивости, так и при неидеальности прямолинейной укладки его трассы.

Таким образом, есть две задачи: внутренняя задача о распространении волн в изогнутом трубопроводе и внешняя задача о движении трубопровода в сопротивляющейся среде.

Процесс распространения гидроупругих колебаний в изогнутой трубе, находящейся во внешней среде и нагруженной внутренним потоком жидкости, до сих пор недостаточно хорошо изучен. Вопросами взаимодействия упругой трубы и заполняющей ее жидкости занимались Л. Эйлер [147], Д. Бернулли [9], Н.Е. Жуковский [35] и другие известные ученые. Исторический обзор исследований по этой тематике сделан Г.Т. Алдошиным [6], в нем изложено развитие постановок задач и их решений от Эйлера до наших дней. Отмечена глубокая взаимосвязь различных постановок задачи, а именно, гемодинамики [181] и волн внутри металлических труб.

Исторической вехой в теории гидравлического удара является работа Н.Е. Жуковского [35]. В основу теории положены уравнения движения идеальной жидкости, а деформация стенок трубы рассмотрена как квазистационарная деформация упругого кольца [6]. Сопротивление трубы в теории гидравлического удара определяется через эмпирический коэффициент [13].

Для теории и приложений большое значение имеет статья Г. Т. Алдо-шина [4], в которой решена задача о распространении гидравлического удара в системе двух соосных цилиндров, с заполненным жидкостью промежутком между ними и заполненным газом внутренним цилиндром, долгое время не поддававшаяся теоретическому анализу. Продвижение в ее решении достигнуто благодаря введению скачка площади сечения внутреннего цилиндра и записи на этом скачке законов сохранения, как при анализе ударных волн.

Необходимо упомянуть о значительном вкладе в развитие теории гидравлического удара и внутренних течений жидкости в трубах научной школы И.П. Гинзбурга (БГТУ "Военмех"). И.П. Гинзбург получил аналитическое решение задачи о неустановившемся течении жидкости в длинном трубопроводе переменного диаметра, в рамках классической теории гидравлического удара [24]. Подробное изложение научной биографии И.П. Гинзбурга можно найти в [2], [3]. Примерами актуальных и практически важных работ школы являются статьи [34], [19].

Обстоятельный обзор теории гидравлического удара по состоянию на 1996 год дан в [5]. Упомянем также об обзорах [41] и [23]. В [41] приведены основные предположения, которые используются при выводе уравнений гидравлического удара: инерция поперечного перемещения жидкости и оболочки не учитывается; неустановившееся движение рассматривается как одномерное; деформация каждого кольца, вырезанного из оболочки двумя сечениями, нормальными к ее оси и бесконечно близкими друг к другу, рассматривается независимо от деформаций соседних колец. С другой стороны, в [42] уравнения для тонкостенных прямолинейных цилиндрических труб выведены из безмоментной теории оболочек. В [23] дан обзор исследований течения газожидкостной смеси в прямых трубах.

В последнее время интерес исследователей привлекли задачи, в которых необходим учет упругости стенки трубы, ее изгибных колебаний, инерции, а также кривизны осевой линии. Этот подход важен для диагностики и контроля современных трубопроводных систем с тонкостенными трубами.

Колебания давления в зависимости от условий закрепления конца трубы, с учетом эффекта Пуассона и инерции стенки изучались в [128], [176],

166]. В [177], [160] исследовалось влияние закрепления колена трубопровода на распространение волн давления в остановленном потоке идеальной жидкости. Дальнейшие разработки [133], [178] этого направления шли по пути увеличения количества разветвлений и колен трубопровода, оставляя неизменными основные черты исследования: одномерность модели, идеальная жидкость без учета трения о стенку.

Расширение классической теории гидравлического удара Н.Е. Жуковского, установленное в [166], развито в трудах Tijsseling A.S., Lavooij C.S.W. [173], [155]. Эти результаты, а также некоторые другие, рассматриваются в главе 4.

Одномерное совместное движение трубы с изгибом профиля и заполняющей ее жидкости анализируется в [62], [139], [142], [144], [150], [158], [165],

167], [179] и других публикациях. Проводились экспериментальные исследования пульсаций давления [170]. Гидравлический удар в движущемся по заданному закону трубопроводе описан в [139], где построена одномерная математическая модель и проведен расчет методом характеристик. В том же сборнике качественно исследована одномерная математическая модель гидравлического удара в изогнутом трубопроводе [62]. Влияние внешней среды в обеих статьях не учитывалось.

Более фундаментальная задача взаимодействия цилиндрической оболочки и заполняющей ее жидкости изучалась в труде A.C. Вольмира [21]. Основное внимание уделено вопросам обтекания оболочек и их колебаниям. Рассматривались оболочки правильной цилиндрической или конической формы, жидкость считалась несжимаемой. Приведена обширная библиография по задачам гидроупругости.

Детальные исследования движения вязкой жидкости в трубах с изгибом профиля начались, по-видимому, с работ [145], [146]. Изучалось движение вязкой несжимаемой жидкости в трубе с постоянной кривизной оси, установлен эффект, известный как "вихри Дина" (см. [136]). Типичной работой этого направления является [164], в которой изучается ламинарный поток несжимаемой вязкой жидкости через колено трубопровода с прямолинейным входом и выходом.

В статье [157] изучалось течение несжимаемой вязкой жидкости по изогнутым трубам, с приложениями к динамике крови. Это направление исследований исторически было начальным в изучении движений жидкости (идеальной) совместно с деформациями стенки трубы [6], [9], [147]. Учитывая, что диссертация посвящена динамике металлического трубопровода, упомянем, что обстоятельные обзоры проблематики есть в [142], [143].

Приложения решений задач о течении жидкости в трубопроводах в переменных "массовая скорость - давление" ярко отражены в работах [23], [30], [41], [54], [69]. Этот подход оправдал себя при расчетах стационарных расходов жидкости в сетях трубопроводов и низкочастотных нестационарных процессов. Одномерная постановка задачи и пренебрежение динамикой стенки трубопровода не позволяют исследовать распределение давления в поперечном сечении, изучать влияние изгиба профиля на распространение волн давления.

Линейные задачи о взаимодействии прямой трубы и жидкости рассматриваются в работах Р.Г. Якупова [137], [138] и других. В [137] определяются перемещения и напряжения в бесконечной цилиндрической оболочке, находящейся в упругой среде, под действием осесимметричной волны давления, движущейся вдоль оболочки с постоянной скоростью. В [138] анализируются волновые процессы в полубесконечном стержне, находящемся в упругой среде, при ударной внешней нагрузке.

Помимо вышеупомянутых трудов, задача о нелинейных колебаниях трубопровода решалась в работах [92], [159]. В [92] изучены колебания гибкого металлического рукава, описанного нелинейными уравнениями балки. В [159] развита и проанализирована математическая модель колебаний цилиндрических и тороидальных оболочек, нагруженных внутренним давлением жидкости.

Рассмотрим работы по внешней задаче о движении трубопровода.

Вопросы гидроупругости, четко обрисованные в [21], получили за рубежом название fluid-structure interaction problems (FSI) и выделились в самостоятельное направление вычислительной и прикладной механики [161]. Литература по данному направлению весьма обширна, в связи с прикладным значением этих задач. Коснемся некоторых актуальных областей, особенно задач морских технологий.

Современное состояние исследований внешней задачи о динамике подводного трубопровода отражено в сборниках конференций общества "International Society of Offshore and Polar Engineers" (ISOPE) (см. [171], [172]). В каждом из этих сборников есть разделы, посвященные так называемым "райзерам" (risers). Этот термин обозначает трубопроводную конструкцию, по которой подается нефть или иная жидкость из глубоководной скважины на надводную станцию/платформу.

Основные сведения по механике, использующиеся в трудах данных конференций, изложены в книге В.А. Светлицкого [169]. Общим обзором технических специальных вопросов по тематике райзеров является книга [180].

Типичные вопросы по внешней задаче применительно к райзерам рассматриваются в [141], [140], [156], [152], [168], [148], [151].

В [141] на основе вариационного подхода построена трехмерная математическая модель движения подводного трубопровода, рассматриваемого как стержень при выполненных гипотезах Эйлера-Бернулли [18], [169]. Изучены эффекты от продольного растяжения в трубе, нагруженной внутренним потоком и внешней идеальной жидкостью. Ценность этой работы в том, что в ней детально описывается применение вариационного принципа к райзерам и подводным трубопроводам. В другой работе части того же авторского коллектива [140] изучается влияние транспортируемой жидкости на нелинейную динамику трубы.

Такой же вариационный подход при построении стержневой модели райзера использован в [156] для анализа задачи о динамическом отклике трубы, транспортирующей жидкость, на колебания ее верхнего конца.

Другая группа исследуемых задач - распределенные колебания райзера, погруженного во внешнюю жидкость, под действием вихрей в этой жидкости. Наиболее опасна ситуация, когда частота внешних вихрей совпадает с собственной частотой колебаний райзера [152]. В зарубежной литературе все направление характеризуется термином Vortex-Induced Vibrations (VIV). В [152] нелинейное уравнение колебаний балки, моделирующей трубопровод, решено известным методом Ритца. В идейно близкой работе [168] изложен анализ нелинейного взаимодействия нескольких мод инициированных вихрями колебаний райзера. Другая сторона проблемы затронута в [148]: рассмотрены формы колебаний свободно подвешенного в потоке жидкости трубопровода. Уравнения движения аналогичны [152], но выражения для внутренних и гидродинамических сил оригинальны.

Работа [151] представляет инженерное направление анализа глубоководных трубопроводных систем. Она посвящена экспериментальному и численному анализу трубопроводной системы, подающей воду со дна на поверхность океана. Несмотря на то, что ставится численный эксперимент, уравнений математической модели в работе не представлено. Приведены результаты расчета методом конечных элементов и их сравнение с натурным экспериментом, а именно, зависимость напряжения в стенке трубы от глубины воды и скорости внутреннего потока.

Задача о движении трубопровода как балки на винклеровском основании, с учетом кулоновского закона трения, получила свое развитие в трудах JI.A. Розина с соавторами [75], [76]. Учтена упругая нелинейность грунта, задачи поставлены в вариационной форме. Практический расчет движения надземного газопровода на основе применения современного программного обеспечения выполнен в [50].

Нельзя не коснуться работ об устойчивости и поперечных колебаниях трубопроводов. Уравнение колебаний трубопровода в приближении балки приведено в [135], там же дан пример исследования устойчивости трубопровода с потоком идеальной несжимаемой жидкости. Некоторые абстрактные результаты с использованием того же уравнения для трубопровода, но уже погруженного в вязкую среду и нагруженного потоком вязкой жидкости, приведены в [56]. Работа [64] непосредственно опирается на первоисточник

130] и некоторые более поздние статьи, и раскрывает дополнительные математические аспекты проблематики.

Итак, согласно литературе, основной механической моделью трубопровода является нагруженный потоком жидкости и внешними силами стержень. При этом считаются выполненными гипотезы технической теории стержней, в частности, гипотеза плоских сечений. Но при рассмотрении реальных технических характеристик подземных трубопроводов [44] ясно, что соотношение толщины стенки трубы К и радиуса ее поперечного сечения Ло часто не позволяет считать ее классическим стержнем. Конечно, это обстоятельство отражено в литературе (см., например, [21], [29], [16]), но широкая практика научных и инженерных исследований осталась неизменной.

Главными трудностями рассматриваемых задач являются: отсутствие ясного алгоритма непосредственного перехода от условий на поверхности твердого тела к силам, действующим на трубу как на стержень; недостаточная изученность свойств уравнений Навье-Стокса в области больших чисел Рейнольдса, что затрудняет расчет динамики потока жидкости в трубах; ограниченность набора математических моделей трубопровода уравнениями движения стержней Эйлера-Бернулли; необходимость учета явлений с характерным масштабом порядка радиуса трубы при анализе движения волны давления через весь трубопровод.

Целью диссертационной работы является разработка и анализ математической модели трубопровода как геометрически нелинейного упругого тела, содержащего поток жидкости и окруженного внешней средой, разработка алгоритмов построения комплексов математических моделей для классов частных задач и редукции их уравнений к задачам меньших размерностей, асимптотический и численный анализ построенных моделей.

Для задач, в которых зависимость давления от угловой координаты существенна, а также важно точно проследить влияние условий на внешней и внутренней поверхностях трубопровода, нами в [101] предложена математическая модель трубопровода как оболочки, погруженной в мягкую упругую среду и нагруженную внутренним потоком сжимаемой жидкости. Уравнения и краевые условия разработанных математических моделей записаны в специальной криволинейной системе координат, адаптированной к задачам динамики криволинейного трубопровода. Найден вид приближенного решения уравнений, позволивший редуцировать эти уравнения к одномерным.

Такой новый подход был применен к двум вышеупомянутым классам задач: внутренней задаче о распространении колебаний [77] и внешней задаче о медленном движении трубы [102]. Кроме того, для нелинейных колебаний потока несжимаемой жидкости были установлены расширения области приложений известных уравнений математической физики [79], [80].

Методологической основой диссертации являются следующие фундаментальные труды.

1) В монографии В.З. Власова [16] изложен общий алгоритм перехода от уравнений равновесия трехмерного упругого тела к оболочке. Асимптотический алгоритм такого перехода теоретически изучен в [27], [28]. На основе книг Л.И. Седова [93], [94] получены необходимые соотношения механики деформируемого трубопровода высокой степени общности.

2) В.З. Власов [16] создал линейную теорию полубезмоментных оболочек, хорошо описывающую поведение труб средней длины, для которых выполнено условие где h- толщина стенки, L- длина, Rq- радиус поперечного сечения, радиус кривизны профиля трубы. Эта теория работает в рамках приближения малых деформаций. Здесь удалось учесть в рамках применимости этого условия конечность деформаций, вызванных изгибом осевой линии трубы, тем самым расширив теорию на протяженные трубы.

3) В связи с недостаточной изученностью уравнений Навье-Стокса, потребовались усилия ряда выдающихся ученых по нахождению полуэмпирических формул для сопротивления шероховатой трубы движению жидкости: И.А. Кибель, Н.Е. Кочин, Л.Г. Лойцянский, Th. Karman, I. Nikuradse, W. Nusselt, L. Prandtl, Т.Е. Stanton и другие. Тщательно проведенные эксперименты и их теоретическое обобщение И. Никурадзе [60] приобрели современную завершенность и оформление в известном труде Л.Г. Лойцянского [53]. В основу описания движения жидкости в данной диссертации положены уравнения движения Эйлера, дополненные полуэмпирическими соотношениями Никурадзе-Лойцянского для плотности силы сопротивления потоку. Аналогичный подход применен для одномерного случая в монографии И.А. Чарного [134].

4) На основе обобщения мирового опыта в книге [175] изложен подход к математическому моделированию грунта как вязкой жидкости. Здесь этот подход использован для вычисления силы сопротивления внешней среды медленному перемещению трубопровода. Непосредственно сила сопротивления и давление внешней среды найдено в соответствии с решением задачи о движении бесконечного цилиндра в вязкой жидкости [47].

5) Для учета конечности деформаций, вызванных поперечным перемещением трубы, использованы идеи, развитые при построении теории конечного прогиба пологих арок С.П. Тимошенко [99].

Перейдем к более подробному описанию полученных результатов. Диссертация состоит из введения и пяти глав.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Ткаченко, Олег Павлович

Заключение

В диссертации рассмотрены проблемы математического моделирования динамики изогнутого трубопровода, проложенного в вязкой среде. Построены математические модели медленного движения трубопровода в сильно вязкой среде; распространения квазилинейных колебаний в потоке сжимаемой жидкости внутри изогнутого трубопровода; распространения нелинейных волн в прямолинейном и изогнутом трубопроводах, заполненных несжимаемой идеальной жидкостью. Разработаны методы приближенного решения поставленных начально-краевых задач, созданы алгоритмы численного анализа этих задач на ЭВМ. Установлены классы уравнений математической физики, к которым сводятся уравнения математических моделей нелинейных волн в трубопроводах, обобщены методы редукции задач динамики трубопровода к одномерным. Численным анализом и сравнением с известными результатами установлена адекватность созданных математических моделей и алгоритмов их исследования на ЭВМ.

Ниже перечислены основные результаты диссертации по главам. Глава 1:

1) Построены ортогональные криволинейные системы координат, адаптированные к геометрии трубопровода. В этих координатах получены геометрические соотношения, необходимые для выполнения операций математического анализа.

2) Получены кинематические соотношения, связывающие физические компоненты вектора перемещений срединной поверхности трубы в начальных и актуальных координатах, а также формулы, определяющие текущее положение осевой линии трубы. Найдены формулы для физических компонент тензора деформаций стенки трубы.

3) Построена математическая модель деформирования стенки трубопровода как трехмерного упругого тела, представляющая собой нелинейнук/ краевую задачу (1.78)-(1.81), (1.32)-(1.34).

Глава 2:

1) На основе уравнений главы 1 и нелинейного обобщения уравнений движения оболочки В.З. Власова построена цепочка упрощающихся математических моделей движения стенки трубы (2.36)—>(2.42)—>(2.46).

2) Предложен вид приближенного решения уравнений математической модели трубопровода как оболочки, позволивший уменьшить количество независимых переменных на единицу. Посредством этой редукции построена одномерная математическая модель движения трубопровода в вязкой среде.

3) Построена разностная схема и создан алгоритм для ЭВМ с целью нахождения численного решения уравнений первого приближения. Система уравнений нулевого приближения решена аналитически.

4) Найдено численное решение тестовых задач. На примере труб малой протяженности показана согласованность построенной математической модели с известными результатами механики. Установлено, что поперечные сечения длинных труб испытывают депланацию в большой окрестности критических точек, а также деформации стенки не малы в окрестности этих точек. На примерах расчета трубопровода с профилем в виде цепной линией и со скачком давления подтверждена адекватность математической модели.

5) Построена математическая модель движения трубопровода как стержня в вязкой среде и найдено численное решение тестовой задачи. Дана оценка величины напряжений в стенке трубы.

Глава 3:

1) Построена трехмерная математическая модель распространения гидроупругих колебаний в потоке сжимаемой жидкости внутри изогнутого трубопровода, погруженного в вязкоупругую среду.

2) На основе методов [93], [16] осуществлен переход к уравнениям полубез-моментной оболочки, находящейся под воздействием внутреннего давления и трения потока жидкости, и сопротивления внешней среды.

3) Предложен вид (3.65), (3.66) приближенного решения уравнений математической модели, позволивший уменьшить на единицу количество независимых переменных.

4) В результате предложенной редукции и проведения дополнительного асимптотического анализа получены одномерные уравнения и формулы математической модели распространения колебаний в трубопроводе (3.71)—(3.74), (3.82), (3.95), (3.96).

Глава 4:

1) На основе стационарного вида уравнений главы 3 численно проанализировано состояние равновесия трубопровода.

2) На основе построенной в главе 3 математической модели поставлены начально-краевые задачи о волновой динамике трубопровода в нулевом и первом приближении по кривизне.

3) Для численного анализа поставленных задач построены разностные схемы, созданы и протестированы алгоритмы и программы для ЭВМ.

4) Путем сопоставления теоретических выводов и результатов расчетов по предложенной математической модели с литературными источниками установлена большая общность построенной модели по сравнению с существующими. Рассмотрены задачи о гидравлическом ударе в полимерной изогнутой трубе, об акустических колебаниях коленообразного трубопровода, о гидравлическом ударе в трубопроводе с коленами.

Глава 5:

1) Для описания гидроупругих колебаний несжимаемой жидкости и цилиндрической трубы построена математическая модель (5.14)-(5.17).

2) На основе асимптотического разложения потенциала скорости жидкости из уравнений (5.14)—(5.17) выведены уравнения мелкой воды и уравнение Кортевега-де Вриза. Этим установлены условия существования уединенных волн в цилиндрическом трубопроводе. Найдено, что скорость уединенной волны превышает скорость гидравлического удара.

3) Установлено, что в случае применимости к гидроупругим колебаниям приближения мелкой воды результаты расчетов согласованы с экспериментальными данными.

4) Построена математическая модель распространения гидроупругих нелинейных волн в изогнутом трубопровода, заполненном идеальной несжимаемой жидкостью (5.43).

5) Найден вид приближенного решения уравнений (5.43), позволивший упростить их к системе (5.46)-(5.49). Из уравнений нулевого по кривизне оси приближения получается уравнение Кортевега-де Вриза.

6) Найдена замена неизвестной функции, позволившая после асимптотического разложения по радиальной координате свести уравнения первого приближения к неоднородному уравнению Клейна-Гордона-Фока.

7) Доказана достаточность уравнения Клейна-Гордона-Фока для решения исследуемой задачи в рамках принятых приближений. Численно решены тестовы! примеры и показан физический смысл найденных решений.

8) Показано, что примененный в данной работе алгоритм редукции задачи к одномерной обусловлен только геометрией механической системы и поэтому является универсальным для механики трубопроводов.

Научные результаты, выносимые на защиту.

• Построена математическая модель трубопровода как деформируемого твердого тела специальной геометрии, нагруженного внутренним потоком жидкости и сопротивлением внешней среды. В уравнениях модели учтена геометрическая нелинейность задачи, возникающая из-за конечных поперечных перемещений осевой линии трубопровода, и трение потока о стенки шероховатой трубы. Общий вид краевых условий на поверхности твердого тела сужен на задачи динамики трубопровода.

Для внешней задачи о медленном движении изогнутого трубопровода в вязкой среде при условии конечности перемещений построена математическая модель, которой являются обобщенные путем учета геометрической нелинейности уравнения движения оболочки В.З. Власова, нагруженной потоком жидкости и силами от внешней среды.

Для внутренней задачи о квазилинейных колебаниях в изогнутом трубопроводе построена цепочка упрощающихся математических моделей, приводящая к уравнениям совместного движения потока сжимаемой жидкости и полубезмоментной оболочки, с учетом трения, давления и упругого сопротивления внешней среды.

Создан обобщенный алгоритм построения приближенного решения как внешней, так и внутренней задачи. На его основе для этих задач выведены упрощенные уравнения, содержащие одну пространственную переменную.

Показано, что предложенные математические модели обладают большей общностью по сравнению с существующими моделями. Найдены численно-аналитические решения уравнений этих моделей и дана интерпретация результатов расчетов. Установлена согласованность численных решений с известными результатами.

Разработан новый подход к математическому моделированию распространения нелинейных внутренних гидроупругих волн в трубопроводах, заполненных несжимаемой жидкостью, по аналогии с теорией гравитационных волн. Для слабо изогнутой трубы найден метод редукции нелинейных уравнений модели к задаче меньшей размерности. Выполнен анализ динамики прямолинейного и изогнутого трубопровода при различных соотношениях между малыми параметрами, входящими в уравнения движения.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ткаченко, Олег Павлович, 2012 год

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987. - 479 с.

2. Акимов Г.А. Развитие теоретической и прикладной газодинамики школой профессора И.П.Гинзбурга / Балтийский гос.техн.ун-т "Военмех" им. Д.Ф.Устинова. СПб.:Изд-во БГТУ, 2002. - 195 с.

3. Акимов Г.А., Максимов В.В. 100 лет со дня рождения И.П. Гинзбурга // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2010. - № 2(8). - С.96-101.

4. Алдошин Г.Т. Гидравлический удар в деформированном трубопроводе // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. механики, математики и астрономии. -1961. В.Ч. - С. 93-102.

5. Алдошин Г.Т. Внутренние сопряженные задачи аэрогидроупругости // Модели механики сплошной среды: Сб. докл. и лекций XIV Между нар. школы по моделям механики сплошной среды (17-24 августа 1997, Жуковский, Россия). М.: 1997. - С. 4-15.

6. Алдошин Г.Т. К истории гидроупругости от Эйлера до наших дней // Механика твердого тела. 2007. - Вып. 27. - С. 184-191.

7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 636 с.

8. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Релятивистская квантовая теория. Ч. I. М.: Наука, 1968. - 480 с.

9. Бернулли Д. Гидродинамика или записки о силах и движении жидкости. М.: Изд-во АН СССР, 1959. - 552 с.

10. Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Иосилевич Г.Б. Расчет на прочность деталей машин: Справочник. М.: Машиностроение, 1979. - 702 с.

11. Бородавкин П.П. Подземные магистральные трубопроводы. М.: Недра, 1982. - 287 с.

12. Бронштейн И.Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука. Физматлит, 1980. 976 с.

13. Будак Б.М., Самарский A.A., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука, 1980. - 688 с.

14. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. - 288 с.

15. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. -М.: Физико-математическая литература, 2000. 400 с.

16. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. Власов В.З. Избранные труды. - Т.1. - Москва: Издательство АН СССР, 1962. - С. 15-439.

17. Власов В.З. Принципы построения общей технической теории оболочек. Власов В.З. Избранные труды. - Т.2. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. -С. 467-503.

18. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М.: Физматлит, 1959.— 568 с.

19. Волков К.Н., Денисихин C.B., Емельянов В.Н. Турбулентное течение в цилиндрическом канале с кольцевой выточкой // Инженерно-физический журнал. 2007. - Т.80, № 6. - С. 116-121.

20. Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. -879 с.

21. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости. М.: Наука, 1979. - 320 с.

22. Габов С.А., Свешников А.Г. Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 344 с.

23. Галиев Ш.У., Галиев Т.Ш. Линейные и разрывные вынужденные колебания потока пузырьковой жидкости в деформируемом трубопроводе (обзор) // Проблемы прочности 1994. - №9. - С. 3-29.

24. Гинзбург И.П., Гриб A.A., Качанов JI.M., Поляхов H.H. Основные этапы развития механики на кафедрах Ленинградского университета за 19171967 годы // Вестн. Ленигр. ун-та. Сер. матем., мех., астрон. 1967. -Вып. 3. - С. 5-20.

25. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979. -392 с.

26. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976. - 400 с.

27. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // Прикладная математика и механика. 1962. - Т. XXVI. - С. 668-686.

28. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // Прикладная математика и механика. 1963. - Т. XXVII, Вып. 4 - С. 593608.

29. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. М.: Наука. Физматлит, 1997. - 272 с.

30. Гусейнзаде М.А., Юфин В.А. Неустановившееся движение нефти и газа в магистральных трубопроводах. М.: Недра, 1981. - 232 с.

31. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений: Пер. с англ. М.: Мир, 1988.- 334 с.

32. Дубровский И.М., Егоров Б.В., Рябошапка К.П. Справочник по физике.- Киев: Наукова думка, 1986. 558 с.

33. Дьяконов В.П. Mathematica 4: учебный курс. СПб.: Питер, 2001. - 656 с.

34. Емельянов В.Н. Внутренние течения сложной структуры // Внутри-камерные процессы, горение и газовая динамика дисперсных систем. -СПб: Изд-во БГТУ, 1998. С. 80-91.

35. Жуковский Н.Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах. -M.-J1.: Гос. изд. техн.-теорет. лит., 1949 104 с.

36. Завьялов Ю.С., Квасов Б.П., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. - 352 с.

37. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988. - 368 с.

38. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория со-литонов: метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. - 319 с.

39. Ильгамов М.А. Введение в нелинейную гидроупругость. М.: Наука, 1991. - 200 с.

40. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Наука, 1979.- 288 с.

41. Картвелишвили Л.Н. Гидравлический удар: основные положения и современное состояние теории //Гидротехническое строительство. 1994.- №9. С. 49-54.

42. Картвелишвили H.A. Динамика напорных трубопроводов. М.: Энергия, 1979. - 224 с.

43. Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. MATLAB 6.x.: программирование численных методов. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 672 с.

44. Клейн Г.К. Расчет подземных трубопроводов. М.: Стройиздат, 1969. -240 с.

45. Клок Б.А., Стояков В.М., Тимербулатов Г.Н. Прочность и ремонт магистральных трубопроводов в Западной Сибири. М.: Машиностроение, 1994. - 120 с.

46. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1977. - 832 с.

47. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2. M.-JL: Гостехиздат, 1948. - 612 с.

48. Кошкин Н.И., Ширкевич М.Г. Справочник по элементарной физике. -М.: Наука, 1980. 208 с.

49. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981. - 598 с.

50. Лалин В.В., Яваров A.B. Современные технологии расчета магистральных трубопроводов // Инженерно-строительный журнал. 2010. - № 3.- С. 43-47.

51. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10-ти т. Т. VI. Гидродинамика. - М.: Наука. Физматлит, 1988. - 736 с.

52. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10-ти т. Т. VII. Теория упругости: Учебное пособие. - М.: Наука. Физматлит, 1987. -248 с.

53. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. - 840 с.

54. Лурье М.В., Адилова М.Д. Особенности нестационарного течения нестабильных жидкостей в магистральных трубопроводах // Нефт. и газ. пром-ть. Сер. защита от коррозии и охрана окружающей среды. 1993.- №6. С.10-13.

55. Макарьянц Г.М., Прокофьев A.B., Шахматов Е.В. Моделирование виброакустических характеристик трубопровода с использованием метода конечных элементов // Известия Самарского научного центра РАН. Механика и машиностроение. 2002. - Т.4, № 2. - С. 327-333.

56. Минеева О.М. Об устойчивости решения одной краевой задачи гидродинамики //Мат. заметки. 1996. - Т. 59, № 5. - С. 774-776.

57. Найфе А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. - 456 с.

58. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. II. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 360 с.

59. Никурадзе И. Закономерности турбулентного течения в гладких трубах // Проблемы турбулентности. М.: ОНТИ, 1938. - С.75-150.

60. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989. - 326 с.

61. Овчинников В.Ф. Численное моделирование динамики пространственных трубопроводных систем при гидравлическом ударе //Теплофиз. аспекты безоп. ВВЭР: Тр. Междунар. конф., Обнинск, 21-24 нояб., 1995. Т.2. Обнинск, 1995. - С. 174-183.

62. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1987. - 352 с.

63. Пивоварчик В.Н. Необходимые условия гироскопической стабилизации в одной задаче механики // Математические заметки. 1993. - Т. 53. -Вып. 6. - С. 89-96.

64. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. Киев: Наук, думка, 1988. - 736 с.

65. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир, 1988. - 412 с.

66. Погорелов A.B. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек. М.: Наука. Физматлит, 1967. - 280 с.

67. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

68. Попов Д.Н. Нестационарные гидромеханические процессы. М.: Машиностроение, 1982. - 239 с.

69. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. - 712 с.

70. Райхмист Р.Б. Графики функций: Справ, пособие для вузов. М.: Высш. шк, 1991. - 160 с.

71. Ревуженко А.Ф. Механика сыпучей среды. Новосибирск: ЗАО ИПП "ОФСЕТ 2003.- 373 с.

72. Ржаницын А.Р. Строительная механика. М.: Высш. шк., 1991. - 439 с.

73. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. М.: Стройиздат, 1968. - 416 с.

74. Розин Л.А., Ловцов А.Д., Смирнов М.С. Продольная деформация многопролетной балки с трением и податливостью опор // Известия вузов. Строительство. 2004. - № 8. - С. 17-22.

75. Розин Л.А., Ловцов А.Д. Изгиб балки-трубопровода, взаимодействующей с нелинейно-упругим основанием, при учете трения Кулона // Науч.-техн. вед. СПбГПУ. 2005. - № 41. - С. 132-142.

76. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Численное и асимптотическое решение уравнений распространения гидроупругих колебаний в изогнутом трубопроводе // Прикладная механика и техническая физика. 2000. -Т. 41, № 6. - С. 161-169.

77. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Нелинейные уравнения движения растяжимого подземного трубопровода: вывод и численное исследование // Прикладная механика и техническая физика. 2003. - Т.44, № 4. -С. 144-150.

78. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Об уравнении Кортевега-де Вриза в цилиндрическом трубопроводе // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. - Т.48, № 1. - С. 146-153.

79. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Влияние изгиба профиля трубопровода на распространение внутренних гидроупругих волн // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. - Т.50, № И. - С. 1988-1997.

80. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Приближенное решение нелинейной задачи о деформировании подземного трубопровода // Сибирский журнал индустриальной математики. 2010. - Т. 13, № 4(44). - С. 97-108.

81. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Численный анализ математической модели гидроупругих колебаний в изогнутом трубопроводе // Математическое моделирование. 2011. - Т.23, Я2 1. - С. 51-64.

82. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Одномерная математическая модель гидроупругих колебаний в трубопроводе с изгибом профиля // Численные методы механики сплошной среды. Красноярск: Вычислительный центр СО АН СССР, 1991. - С. 97-98.

83. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Численное исследование медленных поперечных движений длинного трубопровода // XXX Дальневосточная матем. школа-семинар им. ак. Е.В.Золотова: тезисы докладов. Хабаровск: Издательство ДВГУПС, 2005. - С. 168-169.

84. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. -432 с.

85. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 591 с.

86. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1992. - 424 с.

87. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высш. школа, 1982. - 264 с.

88. Саченков A.B., Гутин С.Я. Нелинейные колебания гибких металлических трубопроводов // Исслед. по теор. пластин и оболочек. Т. 14. -Казань: Изд-во Казанского ун-та. - 1979. - С. 191-196.

89. Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2 т. Т. 1. СПб.: Лань, 2004. -528 с.

90. Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2 т. Т. 2. СПб.: Лань, 2004. -560 с.

91. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том второй. — М.: Наука. Физ-матлит, 1967. 656 с.

92. СНиП 2.05.06-85 Магистральные трубопроводы. М.: Госстрой СССР, 1985. - 52 с.

93. СП 107-34-96 Балластировка, обеспечение устойчивости положения газопровода на проектных отметках. М.: Госстрой России, 1996. - 85 с.

94. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. М.: Наука, 1979. - 832 с.

95. Тимошенко С.П. Выпучивание пологих стержней и слегка искривленных пластин // В кн.: Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. - С.662-669.

96. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. - 635 с.

97. Ткаченко О.П. Математическая модель распространения волны давления в потоке жидкости внутри изогнутого подземного трубопровода // Вычислительные технологии. 1996. - Т. 1, № 3. - С. 78-86.

98. Ткаченко О.П. Кинематика и динамика подземного трубопровода при конечных перемещениях // Вычислительные технологии. 2003. - Т. 8, № 4. - С. 97-107.

99. Ткаченко О.П. Асимптотическое представление и численный расчет конечных деформаций криволинейного подземного трубопровода // Вычислительные технологии. 2006. - Т. 11, Я2 1. - С. 95-105.

100. Ткаченко О.П. Построение математической модели распространения гидроупругих колебаний в длинной изогнутой трубе // Вычислительные технологии. Новосибирск: Институт вычислительных технологий СО РАН. - 1993. - Т.2, № 6. - С. 112-122.

101. Ткаченко О.П. Движение подземного трубопровода с учетом конечности его перемещений // Вычислительные технологии. 2001. - Т.6, ч.2. -Спец. выпуск: RDAMM-2001. - С. 628-631.

102. Ткаченко О.П. К теории распространения волн давления в длинной изогнутой трубе // Методы численного анализа. Владивосток: "Дальнау-ка 1993. - С. 91-112.

103. Ткаченко О.П. Движение изогнутого трубопровода в вязкой среде // Proceedings and Abstracts of 2001 Far-Eastern School-Seminar on Mathem. Modeling and Numerical Analysis. Khabarovsk: Publishing of FESTU. -2001. - P. 195-200.

104. Ткаченко О.П. Численное исследование движения трубопровода в вязкой среде с учетом конечности перемещений // Дальневосточная матем. школа-семинар им. ак. Е.В.Золотова. Тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука. - 2001. - С. 64.

105. Ткаченко О.П. Конечные перемещения заполненной жидкостью цилиндрической оболочки в вязкой среде // Дальневосточная матем. школа-семинар им. ак. Е.В.Золотова: тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 2002. - С. 90-91.

106. Ткаченко О.П. Конечные деформации и условия прочности подземного изогнутого трубопровода // Дальневосточная матем. школа-семинар им. ак. Е.В.Золотова. Тезисы докладов. Владивосток: ДВГУ. - 2004. -С. 113-114.

107. Ткаченко О.П. Уединенная волна в тороидальном трубопроводе // XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар им. ак. Е.В. Золотова: Тезисы докладов. Владивосток: Изд-во Дальнаука, 2007. -С. 147-148.

108. Ткаченко О.П. Нелинейные задачи механики трубопроводов // Успехи механики сплошных сред. Тезисы Всероссийской конференции, приуроченной к 70-летию академика В.А. Левина. Владивосток: Дальнаука, 2009. - С. 17-18.

109. Ткаченко О.П. Обобщение математических моделей внутренних волн в трубопроводе // XXXV Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: сб. докладов. Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2010. - С. 675-679.

110. Ткаченко О.П. О математическом моделировании гидравлического удара в изогнутом трубопроводе // Труды X Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики». СПб.: Наука, 2010. - С. 281-284.

111. Торли Дж. Нестационарные давления в гидравлических трубопроводах // Теоретические основы инженерных расчетов. 1969, № 3. - С. 131-139.

112. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. - 622 с.

113. Феодосьев В.И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости // Инж. сб. 1951. - Т.10. - С. 169-170.

114. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1967. - 376 с.

115. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1986. - 512 с.

116. Хатфилд Р., Уиггерт Д., Отуэлл Р. Анализ гидроупругого взаимодействия в трубопроводах с помощью поэлементного синтеза // Теоретические основы инженерных расчетов. 1982, № 3. - С. 138-146.

117. Чарный И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. М.: Недра, 1975. - 296 с.

118. Челомей C.B. О динамической устойчивости упругих систем при протекании через них пульсирующей жидкости //Изв.АН СССР, сер. Механика твердого тела. 1984. - № 5. - С. 170-174.

119. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. - 712 с.

120. Якупов Р.Г. Действие подвижной нагрузки на цилиндрическую оболочку в упругой среде // Известия АН СССР. Сер. Механика твердого тела. -1979. № 3. - С. 152-157.

121. Якупов Р.Г. Волны в стержне при действии импульсной нагрузки // Прикладная механика и техническая физика. 2008. - Т. 49, № 2. -С. 178-184.

122. Яскеляин A.B. Моделирование гидравлического удара в жидкости при колебаниях трубопровода //Теплофиз. аспекты безоп. ВВЭР: Тр. Меж-дунар. конф., Обнинск, 21-24 нояб., 1995. Т.2. Обнинск, 1995. - С.222-231.

123. Berger S.A., Talbot L., Yao L.S. Flow in curved pipes //Ann. Rev. Fluid Mech. Vol.15, 1983. - P. 461-512.

124. Clarke R.J., Denier J.P. The decay of suddenly blocked flow in a curved pipe // J. Eng. Math. 2009. - Vol. 63. - P. 241-257.

125. Collins W.M., Dennis S.C.R. The steady motion of a viscous fluid in a curved tube //Q. J. Mech. Appl. Maths. 1975. - Vol. 28. - P. 133-156.

126. Dean W. R. Note on the motion of fluid in a curved pipe // Phil. Mag. -1927. Vol. 4. - P. 208-223.

127. Dean W. R. The streamline motion of fluid in a curved pipe // Philos. Mag. 1928. - Vol. 5. - P. 673-695.

128. Euleri L. Principia pro motu sanguines per arteria determinando // Opera Postuma mathematica et physica Anno MD CCC XLIV DETECTA. -Petropoli, 1862. P. 814-823.

129. Furnes G.K., Sorensen K. Flow Induced Vibrations Modeled by Coupled Non-linear Oscillators // Proceedings of the Sixteenth (2007) International Offshore and Polar Engineering Conference. Lisbon, Portugal, July 1-6, 2007. - P. 2781-2787.

130. Goto S.-I. Amplitude equations for a linear wave equation in a weakly curved pipe // arXiv:0910.0549vl nlin.PS. 2009. -http://arxiv.org/abs/0910.0549vl

131. Ishigaki H. Analogy between laminar flows in curved pipes and ortogonally rotating pipes //J. Fluid Mech. vol.268, 1994. - P. 133-145.

132. Keber M., Wiercigroch M. A Reduced Order Model for Vortex-Induced Vibration of a Vertical Offshore Riser in Lock-in // IUTAM Symposium on Fluid-Structure Interaction in Ocean Engineering. Vol. 8. - 2008. -P. 155-166.

133. Kwon H.J. Computer Simulations of Transient Flow in a Real City Water Distribution System // KSCE Journal of Civil Engineering. 2007. Vol. 11, N.l. - P.43-49.

134. Lavooij C.S.W., Tijsseling A.S. Fluid-structure interaction in liquid-filled piping systems // Journal of Fluids and Structures. 1991. - Vol. 5. - № 5. - P.573-595.

135. Lynch D.G., Waters S.L., Pedley T.J. Flow in a tube with non-uniform, time-dependent curvature: governing equations and simple examples //J. Fluid Mech. Vol. 323. - 1996. - P. 237-265.

136. Makrides Gr. Path to chaos for flow-induced vibrations in tubes conveying fluid // J. Theor. and Appl. Mech. 1994. - Vol. 25. - № 3. - P. 62-69.

137. Orynyak I. V., Radchenko S.A., Batura A.S. Calculation of natural and forced vibrations of a piping system. Part 2. Dynamic stiffness of a pipe bend // Strength of Materials. Vol. 39, No. 2, 2007. - P. 144-158.

138. Otwell R.S. The effect of elbow translations on pressure transient analysis of piping systems // Fluid Transients and Fluid-Structure Interaction, ASME PVP. Vol.64, 1982. - P. 127-136.

139. Paidoussis M.P. Fluid-structure interactions. Slender structures and axial flow. San Diego, London: Academic Press, 1998. - 574 p.

140. Russel J.S. Report on waves // Rept. Fourteenth Meeting of the British Association for the Advancement of Sciences. John Murray: London, 1844.- P. 311-390.

141. Rukavishnikov V.A., Tkachenko O.P. The numerical modeling of a thin-walled curved underground pipeline by finite strains // Международная конференция по вычислительной математике. Труды: часть 2. Новосибирск, 2004. - С. 922-926.

142. Sasic R., Sasic S. A new approach to the velocity field investigation in case of the entry flow in curved pipes with circular cross section // Acta Mechanica, Springer-Verlag. 2000. - V.140. - P.103-117.

143. Singh M.P. Entry flow in a curved pipe // J. Fluid Mech. 1974. - Vol.65.- P.517-539.

144. Skalak R. An extension of the theory of water hammer // TRANS. ASME.- 1956. Vol. 78, № 1. - P. 105-116.

145. Smith F.T. Pulsatile flow in curved pipes // J. Fluid Mech. 1975. - Vol.71.- P. 15-42.

146. Svetlitsky V.A. Dynamics of Rods // Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2005. 448 p.

147. Swanson C.J., Stalp S.R., Donnelly R.J. Experimental investigation of periodic flow in curved pipes //J. Fluid Mech. — Vol. 256, 1993. — P.69-83.

148. The Proceedings of The Nineteenth (2009) International Offshore and Polar Engineering Conference // Osaka, Japan, June 21-26, 2009. Vol. 1-4. -844 p.

149. The Proceedings of The Eighth (2008) ISOPE Pacific/Asia Offshore Mechanics Symposium (PACOMS-2008) // Bangkok, Thailand November 10-14, 2008. 315 p.

150. Tijsseling A.S., Lavooij C.S.W. Waterhammer with fluid-structure interaction // Applied Scientific Research. 1990. - Vol. 47. - P.273-285.

151. Towhata I. Geotechnical Earthquake Engineering. Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg, 2008. - 684 p.

152. Walker J.S., Phillips J.W. Pulse Propagation in Fluid-Filled Tubes // Journal of Applied Mechanics. — March, 1977. — P.31-35.

153. Wiggert D.C., Otwell R.S., Hatfield F.J. The Effect of Elbow Restraint of Pressure Transients // Journal of Fluids Engineering. Vol. 107, 1985. -P. 402-406.

154. Williams D.J. Waterhammer in non-rigid pipes: Precursor waves and mechanical damping // Journal of Mechanical Engineering Science. — 1977. Vol. 19, N6. - P. 237-242.

155. Yao L.S., Berger S.A. Entry flow in a curved pipe //J. Fluid Mech. -1975. -Vol.67.-P.177-196.

156. Yong Bai. Pipelines and risers // Amsterdam London - New York - Oxford - Paris - Shannon - Tokyo: ELSEVIER Science Ltd., 2003. - 500 p.

157. Young T. Hydraulic investigation subservient to an intended Gronian Lecture on the motion of the blood // Phil. Trans. Roy. Soc. of London. 1808. -Vol. 98. - P.164-186.