Динамическое разрушение твердых сред при движении в них жестких и деформируемых включений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Звягин, Александр Васильевич

• Звягин, Александр Васильевич
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Звягин, Александр Васильевич

Введение 1

Обзор литературы8

Глава I. Используемые в работе модели сред и методы решения.29

1. Уравнения установившегося движения упругой среды.29

2. Задача о движении разрыва смещений в упругой среде.31

3. Основные этапы численной реализации метода граничных элементов на примере решения статических задач линейной механики разрушения.36

4.Уравнения движения сред и методы их численного решения.44

ГЛАВА II. Движение симметричного жесткого тела в линейно упругой среде.58

1. Основные уравнения.58

2. Постановка и решение задачи о движении симметричного тела при отсутствии трения на поверхности контакта со средой.60

3. Движение симметричного тела в упругой среде при наличии трения68

4. Сверхзвуковое движение жесткого тела в упругой среде при наличии трения.„76

Глава III. Разрушение среды телом при движении со скоростью меньшей, чем скорость волн Рэлея.92

1. Схема движения с зоной разрушения при отсутствии сил трения.92

2. Движение затупленного тела со скоростью меньшей, чем скорость волн Рэлея, для случая вязкого разрушении.100

3. Движение затупленного тела со скоростью меньшей, чем скорость волн Рэлея, при наличии трения.107

ГЛАВА IV. Влияние асимметрии тела и присутствия свободной поверхности на процесс движения тела в упругой среде111

1. Движение несимметричного тела в упругой среде.111

2. Движение тела в упругом полупространстве со свободной поверхностью.116

Глава V. Задача разрушения среды жидкостью.

Взаимодействие трещины гидравлического разрыва с естественными неоднородностями среды.127

1. Автомодельная задача о движении вязкой жидкости < в канале с упругими стенками в рамках нелокального взаимодействия127

2. Численное решение задачи гидравлического разрыва упругой среды136

3. Взаимодействие трещины гидравлического разрыва с естественным разломом.149

Глава VI. Прикладные задачи нестационарного взаимодействия упругопластических тел. 159

1. Косое проникание твердого тела в упругопластическую преграду конечной толщины.159

2. Взрывное метание пластин в жесткие формы.166

4. Задачи проникания и прочности.183

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамическое разрушение твердых сред при движении в них жестких и деформируемых включений»

Диссертация состоит из введения, обзора литературы, шести глав и заключения. Общим и объединяющим началом данной диссертации является предмет исследований - разрушение деформируемых сред движущимися в этих средах инородными включениями. В роли таких включений в данной работе рассматриваются абсолютно твердые тела, жидкость, пластически деформируемые объекты. В работе исследовано влияние на процесс движения прочности среды, геометрии контура подвижных включений, сил трения в области контакта. При этом определялась сама область контакта и точки отрыва среды от поверхности тела. Рассмотрены случаи движения инородных тел в безграничной среде и при наличии в ней свободной от напряжений границы.

В разделе обзор литературы излагается история научного развития вопросов, которые исследуются в диссертации. Показана актуальность и практическая значимость рассматриваемых задач, поскольку они являются составной частью таких важных проблем, как: прикладные задачи внешней баллистики проникания и прочности проникающих тел; обработка материалов; теория гидравлического разрыва сред. Сделан анализ состояния исследуемых вопросов и выделены отличия результатов данной работы от результатов, полученных ранее другими авторами. Многие рассмотренные в работе постановки задач, предложенные схемы движения и результаты являются новыми.

В первой главе представлены модели сплошных сред, которые используются в данной диссертации. Здесь также приведено описание численных методов решения, которые применяются для решения задач гидравлического разрыва сплошной среды, а также для решения задач проникания и прочности тел. В данной главе приводятся результаты тестирования используемых численных методов решения с целью проверки достоверности получаемых с их помощью результатов. Сравнение с имеющимися аналитическими решениями, экспериментальными данными и численными результатами, полученными другими авторами, позволяет сделать вывод о возможности и целесообразности использования данных методов в последующих исследованиях широкого круга задач: гидравлического разрыва; проникания тел в деформируемые прочные среды; для задач сложного контактного взаимодействия тел с подвижными деформируемыми границами; при определении прочности и сохранности проникающих тел.

Остальную часть диссертации можно условно разбить на три основные части.

В первой части работы (главы II - IV) аналитически исследована плоская задача движения твердого тела конечных размеров в деформируемой неограниченной и ограниченной среде во всем диапазоне скоростей движения тела. Исследован вклад трения на поверхности котакта тела и среды.

Во второй части работы (глава V) аналитически и численно исследована задача разрушения среды жидкостью. Впервые решена задача гидравлического разрыва упругой среды с учетом прочности при разрушении и области отставания жидкости от края трещины. Впервые исследована задача о взаимодействии трещины гидравлического разрыва с естественным разломом пласта.

В третьей части работы (глава VI) предложены методики расчета задач нестационарного трехмерного взаимодействия упругопластических тел. Рассмотрены конкретные прикладные задачи взрывной штамповки и наклонного проникания.

В первой части диссертации рассмотрены плоские задачи разрушения упругой среды подвижным твердым телом. Все результаты, полученные в этой части работы, являются точными аналитическими решениями.

Показано, что при рассматриваемом установившемся движении существенную роль играет диапазон скоростей тела. Характер и рассматриваемая схема движения зависят от неравенства, связывающего скорость тела с тремя характерными скоростями среды: скоростью волн Рэлея, скоростью поперечных волн, скоростью продольных волн. В зависимости от диапазона, в котором находится скорость тела, меняется общая схема обтекания. При переходе на сверхзвуковые скорости меняется и тип уравнений.

При движении со скоростью, меньшей скорости поперечных волн, уравнения являются эллиптическими. Решение в этом случае удалось свести к задачам сопряжения для системы двух аналитических функций. Найденные в данной работе замены искомых функций, позволили свести решения к задаче Римана - Гильберта с постоянными по областям границы коэффициентами. В результате удачно найденных замен искомых функций, полученные задачи сопряжения удалось свести к классической задаче Дирихле - определению функции по ее скачку на границе. Основные результаты данных глав опубликованы в работах [58], [59], [60], [61], [62], [69], [70], [72], [225].

Во второй главе рассмотрены задачи движения симметричного тела во всем диапазоне скоростей, превышающих скорость волн Рэлея.

Первый параграф является вводным. В нем приведены основные уравнения.

Во втором параграфе второй главы при отсутствии трения рассматривается движение симметричного тела со скоростью, превышающей скорость волн Рэлея, но меньшей, чем скорость поперечных волн. Место отрыва среды от поверхности тела определяется в ходе решения. Полученное аналитическое решение позволило исследовать влияние геометрии контура и определить характер распределения сил, действующих на поверхности проникающего тела. Отдельно рассмотрена актуальная задача определения точки отрыва среды от тела. Следует отметить, что в разных разделах механики задача нахождения данной точки далека от полного и исчерпывающего решения. Все существующие критерии дают одностороннюю оценку для места отрыва. В данной диссертации место отрыва среды от выпуклой поверхности определялось условием равенства нулю производной давления. Показано, что давление и его производная равны нулю только в одной точке контура поверхности, которая и считалась точкой отрыва. В этом случае кривая контура свободной поверхности среды имеет касание второго порядка к контуру тела. Примечательно, что при отсутствии трения положение точки отрыва не зависит от скорости тела и целиком определяется видом поверхности.

В третьем параграфе данной главы рассмотрены плоские задачи движения симметричного тела при наличии трения в области контакта среды с поверхностью тела. В результате удалось получить аналитические решения и исследовать влияние скорости и трения на параметры движения тел с различной выпуклостью контура. Оказалось, что влияние трения является существенным фактором. В отличие от рассмотренного в первом параграфе второй главы движения без трения, оно, как и скорость, увеличивает область контакта среды с поверхностью выпуклого тела. Как и следовало ожидать, скорость движения тела, равная скорости волн Рэлея, оказалась особой. Скорость волн Рэлея соответствует резонансной скорости для упругого полупространства с границей, свободной от напряжений. При движении тела в упругой среде граница после точки отрыва среды от поверхности тела становится свободной от напряжений.

В четвертом параграфе второй главы рассмотрена задача о движении со скоростью, превышающей скорость поперечных волн, но меньшей скорости продольных волн и движение со скоростью большей скорости продольных волн. Оказалось, что продольная скорость, также как и скорость волн Рэлея, является особой. В линейной постановке движение с такими скоростями приводит к бесконечно большим значениям сил, действующих на тело. Напротив, переход через скорость поперечных волн порождает более слабую особенность, поскольку при таком переходе сила сопротивления остается конечной. И это несмотря на то, что при переходе скорости тела через ее значение, меняется тип одного из уравнений движения (оно из уравнения эллиптического типа становится гиперболическим). Физически это связано с тем, что основной вклад в силу сопротивления вносит давление, которое связано, прежде всего, с продольными волнами.

В третьей главе рассматривается движение затупленного тела со скоростями меньшими, чем скорость волн Рэлея. Характерной особенностью для таких задач в данном диапазоне скоростей является наличие застойных зон разрушения среды, расположенных впереди тела. Все решения получены в аналитическом виде.

В первом параграфе третьей главы рассмотрено движение тела в среде с хрупким разрушением при отсутствии трения. В качестве критерия разрушения принят силовой критерий, а именно, достижение коэффициентом интенсивности напряжений своего критического значения. В ходе решения определяется размер области разрушения и силы, действующие на тело. Исследован характер зависимости величины области разрушений и силы сопротивления от скорости движения. Оказалось, что с приближением скорости тела к скорости волн Рэлея размеры области разрушения уменьшаются, а сила сопротивления стремится к бесконечности. В результате получилось, что в рассматриваемом случае движения затупленного тела решение слабо зависит от формы тела и в основном определяется его толщиной.

Во втором параграфе третьей главы рассматривается схема движения для среды с вязким разрушением, когда перед телом имеется зона пластического течения. В качестве критерия пластичности принят критерий Треска о равенстве максимального касательного напряжения своему критическому значению. В этом случае, с ростом скорости тела длина области пластического течения увеличивается и стремится к бесконечности, когда скорость движения стремится к скорости волн Рэлея. При малых скоростях движения сила сопротивления пропорциональна модулю прочности тела и практически не зависит от скорости.

В третьем параграфе данной главы рассматривается движение затупленного тела с хрупким разрушением, когда на границе разрушенной среды действуют силы сцепления и трения. В отличие от ранее рассмотренных задач в данном случае на бесконечности действует заданное давление. Полученное аналитическое решение позволило определить характер зависимости основных характеристик задачи от скорости, коэффициента трения и давления, действующего на бесконечности. В данном случае, как и при отсутствии сил трения, размер области разрушений с ростом скорости уменьшается, а сила сопротивления становится бесконечно большой, когда скорость тела становится близкой к скорости распространения поверхностных волн Рэлея.

В четвертой главе рассмотрены плоские задачи при отсутствии симметрии тела при его движении в безграничной среде и в среде, ограниченной свободной поверхностью.

В первом параграфе четвертой главы рассмотрена задача о движении в безграничной среде тела, не обладающего симметрией. Дана постановка задачи и получено аналитическое решение в общем случае геометрии контура тела. В полном объеме рассмотрена и исследована задача о движении под углом атаки пластины. Получены значения для силы сопротивления и подъемной силы. Исследовано влияние силы трения.

Во втором параграфе данной главы задача решена для упругого полупространства, т.е. в том случае, когда тело движется под заданным углом атаки на заданной глубине параллельно свободной поверхности упругого полупространства. Для тела в виде пластины удалось аналитически полностью исследовать движение среды для двух вариантов угла атаки (положительного и отрицательного) в случае большой и малой глубины движения. Показано, что в случае большой глубины (под глубиной понимается расстояние от линии движения тела до границы свободной поверхности) решение допускает предельный переход к задаче движения в безграничной среде. Для малой глубины движения тела, решения для углов атаки разных знаков имеют существенные отличия как для кинематики среды, так и для значений действующих на тело сил.

Вторая часть диссертации посвящена проблеме гидравлического разрыва. В ней приведены аналитические и численные результаты для задач, связанных с совместным движением упругой среды и разрывающей эту среду вязкой жидкости. Основные результаты данной главы опубликованы в работах [26], [27], [65], [67], [68], [217], [225], [226].

В первом параграфе пятой главы получено и исследовано аналитическое автомодельное решение задачи о гидравлическом разрыве в приближенной постановке. Отличием данного решения от решений, полученных другими авторами, заключается в попытке учесть нелокальный характер взаимодействия жидкости и упругой среды. Оказалось, что данное решение имеет одну примечательную черту - скорость жидкости в каждый данный момент времени постоянна вдоль оси канала. В работе это связывается с тем, что именно при таком распределении скорости, сила сопротивления движению жидкости минимальна.

Во втором параграфе данной главы поставлена и численно решена задача о совместном движении жидкости и упругой среды в задаче гидравлического разрыва, с учетом прочности при разрушении и наличием области отставания жидкости от движения вершины трещины. В данной постановке задача решена впервые. Следует отметить, что для прямолинейной трещины имеются решения данной задачи, когда пренебрегается прочностью среды и при отсутствии свободного от жидкости участка. Полученное в диссертации решение сравнивалось с решениями других авторов. Оказалось, что при малой прочности результаты практически совпадают, а при большой прочности существенно отличаются. Причем наибольшие отличия характерны для начальных времен движения трещины гидравлического разрыва. При больших временах, когда трещина становится длинной, эти различия не столь существенны. Решение получено с использованием авторской программы, основу которой составляет метод граничных элементов, изложенный в первой главе. Существенно, что предложенный метод позволяет решать аналогичные задачи в более общей постановке. Это продемонстрировано в следующем параграфе данной главы.

В третьем параграфе пятой главы рассмотрена задача о взаимодействии основной трещины гидравлического разрыва с уже имеющимся естественным разломом пласта. Задача решалась с учетом напряжений, действующих на бесконечности. Разлом моделировался трещиной, берега которой могут раскрываться или проскальзывать относительно друг друга. Области возможного раскрытия и взаимного скольжения определялись в ходе решения методом последовательных приближений. Считалось, что в случае взаимного скольжения они взаимодействуют по закону Кулона - Мора. Основным исследуемым параметром служил угол между направлением распространения основной трещины гидравлического разрыва и трещиной разлома. Определялось поведение перемещений и напряжений у берегов трещин в окрестности их точки взаимодействия. Проверялись разные возможные пути эволюции гидравлического разрыва после взаимодействия с разломом. В экспериментах отмечено, что возможно как продолжение движения гидравлического разрыва в первоначальном направлении, так и поворот движения жидкости по направлению разлома. В расчетах показана возможность реализации одного из трех сценариев развития. При малых углах между трещинами более вероятен поворот жидкости с дальнейшим движением вдоль разлома. При углах близких к 90°, когда трещина разлома перпендикулярна основной, более вероятно продолжение движения без изменения его направления. При средних углах наклона возможна более сложная комбинация, когда жидкость сначала поворачивает вдоль разлома, а затем повторно меняет направление своего движения. Эти выводы сделаны на основе анализа поля напряжений вблизи берегов трещины. Определялись главные разрывающие напряжения и максимальные касательные напряжения, а также площадки их действия.

В третьей части диссертации рассмотрены решения нескольких важных для приложений задач, связанных с ударным взаимодействием упругопластических тел. Основные результаты данной главы опубликованы в работах [24], [25],[63], [64], [65].

В первом параграфе шестой главы изложена методика приближенного расчета косого проникания затупленного жесткого тела в плиту конечной толщины в рамках гипотезы локального взаимодействия. Материал плиты полагается жесткопластическим. На каждом шаге по времени для контактных точек поверхности тела решается нестационарная одномерная задача пластического течения материала преграды в криволинейной системе координат, учитывающей локальную кривизну поверхности проникающего тела. В результате аналитического решения данной задачи удается определить величину локального давления и деформацию преграды. Известное распределение давления на поверхности контакта позволяет проинтегрировать уравнения движения на текущем шаге по времени и свести задачу к исходной для нового шага по времени. Предложенная методика использована для расчетов проникания тел. Показана возможность определения углов рикошета.

Во втором параграфе шестой главы исследуется задача взрывного метания упругопластической пластины в жесткую форму. Целью работы было исследование влияния на штамповку прочности пластины, толщины слоя ВВ, толщины пластины и геометрии жесткой формы, а также вклад газовой прослойки. К этому времени разными авторами был решен ряд задач о взрывной штамповке пластины в жесткую форму. При этом использовались различные предположения. Основным приближением было то, что пластина рассматривалась как мембрана, или как тонкая оболочка. Влияние газовой прослойки не учитывалось. Одной из целей данной работы, была проверка достоверности таких предположений в зависимости от параметров задачи. Оказалось, что вклад газовой прослойки действительно мал. Основной вклад в энергетический баланс системы вносит работа на пластических деформациях. Моделирование пластины тонкой мембраной оправдано, если ее толщина составляет порядка одной сороковой от радиуса формы, причем на таком этапе ее движения, когда скорость точки контакта пластины и поверхности формы превышает скорость поперечных волн.

В третьем параграфе шестой главы рассматривается задача трехмерного проникания тела в упругопластическую плиту конечной толщины. Исследуются два основных прикладных аспекта проблемы -характер разрушения преграды и определение прочности проникающего тела.

- При исследовании косого проникания цилиндрического тела в мишень удалось обнаружить возможность самостоятельного выхода выбиваемой «пробки» после первого кратковременного взаимодействия тела с преградой. Такая возможность существует, если скорость удара превышает некоторое критическое значение, а углы встречи близки к нулю (под углом встречи понимается угол между скоростью тела и нормалью к мишени). Показано, что процесс разрушения мишени очень сильно зависит от угла встречи. Уже при углах больших 10' наблюдается лепестковый характер разрушения. В этих условиях часто используемый в приложениях приближенный механизм разрушения в виде выбиваемой «пробки» не наблюдается в расчетах.

- Вторым важным прикладным вопросом в задачах проникания является методика определения сохранности и целостности проникающего тела. В данном параграфе приведено решение задачи расчета напряженно-деформированного состояния полого неоднородного тела с заполнителем при его косом проникании в мишень. Главной целью было создание эффективной методики расчета прочности проникающего тела с достаточно сложной геометрией корпуса, при наличии заполнителя из другого менее прочного материала. Для конкретного тела показано существование критической скорости взаимодействия, при превышении которой для всех реальных углов встречи с преградой неизбежно разрушение корпуса. Критическая скорость в основном зависит от соотношения толщины головной части корпуса и преграды. Следует отметить, что расчетный характер разрушения корпуса -вдавливание головной части внутрь тела, также близок к типу разрушения, наблюдаемому в экспериментах.

Обзор литературы

Разрушение - сложный процесс, который на разных стадиях своей эволюции может быть предметом изучения различных разделов физики. В работе рассматривается только та стадия процесса, которая характеризуется наличием макроразрушений. В этом случае предметом механики разрушения является изучение закономерностей возникновения, роста и взаимодействия трещин. Невозможно представить все многообразие сложнейших проблем, стоящих перед этим разделом науки о прочности. Многие важные по практической значимости вопросы такие, например, как разрушение в условиях ползучести, в композитных материалах, в средах со структурой, разрушение с учетом температурных эффектов, разрушение в модели нелинейной теории упругости рассматриваются в монографиях [73], [74], [76], [84], [115], [117], [126], [127], [128], [139], [151], [171]. Там можно найти детальное исследование этих проблем и соответствующую обширную библиографию.

Как раздел науки о прочности механика разрушения возникла в начале XX века. К этому времени накопились экспериментальные факты, которые не объяснялись традиционными подходами науки о прочности, основой которых являлись уже хорошо развитая теория упругости и физика твердого тела. В эти годы общепринятыми были критерии прочности по предельно допустимым напряжениям или деформациям (силовые и деформационные).

На практике изделия, изготовленные с достаточно большим запасом прочности, разрушались при эксплутационных нагрузках явно меньших, чем предсказывали расчеты. Много вопросов накопилось и в физике твердого тела. В экспериментах прочность на сдвиг оказалась на три - четыре, а на разрыв - на два порядка меньше их теоретических значений.

В 1920 г. академик А.Ф. Иоффе провел эксперименты по определению прочности кристаллов каменной соли. Выяснилось, что при растворении поверхностного слоя прочность кристаллов возрастала на порядки и приближалась к ее теоретическому значению. Стало понятно, что причина малой прочности реальных материалов состоит в том, что они, даже кристаллы, содержат микродефекты, приводящие к локальной концентрации напряжений, намного превосходящих номинальные напряжения, а значит к разрушению.

В 1909 г. Г.В. Колосов опубликовал работу с решением задачи о растяжении упругой пластины с эллиптическим отверстием. Согласно полученному решению вблизи точек наименьшего радиуса кривизны эллипса отношение локальных напряжений а к действующим напряжениям сг0(номинальным) составляет с/с0 =1 + 2а/6, где а,Ь-большая и меньшая полуоси эллипса. Соответственно это приводило к парадоксальному результату о бесконечных напряжениях, возникающих при стремлении длины меньшей из полуосей к нулю. Позднее, в 1913 г., решение той же задачи была опубликовано К. Инглисом.

В феврале 1920 г. в трудах Лондонского королевского общества появилась статья инженера одного из авиационных исследовательских центров А. Гриффитса «Явление разрушения и течения в твердых телах»[192], которая содержала первое математическое описание хрупкого разрушения тела с-трещиной. Согласно его модели упругая энергия, накопленная материалом вследствие его нагрузки, из малой окрестности трещины, соизмеримой с ее размером, тратится на создание новой свободной поверхности при росте трещины. Энергия свободной поверхности была введена Гриффитсом по аналогии с энергией поверхностного натяжения в жидкости. Ее значения он определил из экспериментов по измерению величины поверхностного натяжения для расплавленного стекла при разных температурах и экстраполировал полученные результаты для температуры плавления.

Проводя опыты по определению прочности стеклянных нитей, Гриффите обратил внимание на сильную зависимость напряжения разрыва от диаметра нити - чем меньше диаметр нити, тем она прочнее. При уменьшении диаметра нити ее прочность резко возрастала и стремилась к своему теоретическому значению. А. Гриффите объяснил отличие теоретического и практического значений прочности наличием в материале невидимых трещин, величина которых намного больше межмолекулярных расстояний.

Основная заслуга Гриффитса состоит в том, что он связал развитие трещины с процессом освобождения накопленной при нагрузке энергии упругих деформаций. Кроме того, он распространил математическое решение Инглиса о концентрации напряжений на микротрещины. Эти две идеи привели его к пониманию того, что для распространения трещины необходимо затрачивать энергию на образование новых поверхностей. Главным итогом его работ является теоретическое обоснование возможности самопроизвольного распространения трещины без дополнительной подкачки энергии.

Если предположить, что часть упругой энергии идет на образование трещины, то можно достаточно просто получить оценку величины энергии, необходимой для самопроизвольного роста трещины начального размера / в упругой среде с модулем Юнга Е под действием растягивающего напряжения Р.

Поскольку безразмерная плотность упругой энергии очевидно равна Р2/(2Е), энергия близкой к трещине области будет примерно Р212/(2Е). Когда размер трещины станет равным величине / + Ш, изменение упругой энергии можно определить равной РгЫ1/Е. Это уменьшение энергии пойдет на образование новой поверхности 2угде у-энергия единицы длины свободной поверхности. Если учитывать только эти два вида энергии, уравнение баланса позволяет оценить напряжения, необходимые для начала роста трещины - формулу Гриффитса Р = С^уЕ/l, где безразмерный коэффициент С может быть определен из эксперимента.

На практике все оказалось значительно сложнее. Если для стекла значение плотности поверхностной энергии, определенное различными физическими методами, дает достаточно хорошие результаты при применении формулы Гриффитса, то для металлов величина у в формуле Гриффитса должна быть на три порядка больше, чем удельная поверхностная энергия. Только в этом случае получается удовлетворительное совпадение с экспериментальными данными. Именно поэтому теория Гриффитса была воспринята современниками весьма скептически.

Интерес к теории Гриффитса возродился в 50-е годы XX в. после опубликования работ Дж. Ирвина и Е. О. Орована [195],[206]. По их представлениям в конце трещины развивается пластическая область. Распространение трещины сопровождается работой на пластических деформациях. Если характерный размер пластической области d мал по сравнению с длиной трещины, то размерностный анализ вполне применим и в этом случае, но в балансном уравнении энергии должна участвовать работа, затраченная на пластические деформации. Если ввести в рассмотрение плотность этой работы, т.е. работу, приходящуюся на единицу длины трещины, то уравнение Гриффитса можно сохранить, заменив в нем плотность поверхностной энергии плотностью работы на пластических деформациях.

Эту плотность принято называть силой сопротивления движению трещины под действием напряжений а, поскольку она имеет размерность силы поделенной на длину. Если обозначить эту плотность как Gc, модифицированная формула Гриффитса - Ирвина - Орована будет иметь вид c = CjGcE/l.

Во второй половине XX в. благодаря труду многих ученых механика разрушения все больше из чисто теоретического раздела науки о прочности превращается в ее практическую ветвь.

Успехи фундаментальной математики и механики [29], [35], [36], [109], [110], [111], [122], [124], [129], [152], [171], [172], [173] в решении краевых задач уравнений теории упругости для областей с разрезами позволили ответить на часть вопросов линейной механики разрушения в том случае, когда область пластических деформаций мала по сравнению с длиной трещины. Следует выделить работы [16], [17], [91], [92], [93], в которых были решены динамические задачи о движении трещин. Способы определения потока энергии в конец трещины с различных позиций обсуждались и были предложены в работах [133], [173], [179], [187], [195], [206], [214], [222]. Стационарные задачи рассматривались в монографии [35].

Необходимо отметить также учебные пособия, в которых обсуждаются вопросы механики разрушения [7], [77], [110], [122-124], [128], [147], [151].

В общепринятой терминологии рассматривается разрушение трех основных типов. К первому типу принято относить разрушение при растяжении силами Р, перпендикулярными плоскости трещины, ко второму типу - разрушение сдвиговыми напряжениями в плоскости перпендикулярной плоскости трещины, к третьему типу - разрушение сдвиговыми напряжениями в плоскости самой трещины. Третий тип деформации называется антиплоской. В реальных условиях все три типа нагрузок могут присутствовать одновременно.

При упругом анализе разрушения основной системой уравнений является система уравнений теории упругости в отсутствии массовых сил [125], [151], [173]. Математической основой анализа является возможность свести решение задач механики трещин в упругом теле к смешанным краевым задачам теории функций комплексной переменной. Основными формулами, устанавливающими комплексное представление напряжений и перемещений, служат формулы Колосова - Мусхелишвили [111]. Комплексное представление для напряжений получено впервые в 1914 г. Г.В.Колосовым и затем с других позиций Н.И.Мусхелишвили [111].

В качестве основных критериев разрушения (условие движения трещины) на практике применяются силовые, деформационные и энергетические. Показано, что в рамках теории упругости они эквивалентны.

Поскольку напряжения а на продолжении конца трещины имеют характерную особенность а « к/Ллг, где г - расстояние от конца трещины, то работа по созданию трещины определяется фактически величиной К. В механике разрушения эта величина называется коэффициентом интенсивности напряжений. Если он мал, критерий движения трещины не выполняется и она стабильна. Если он достигает некоторой критической величины, трещина начинает расти. Такой критерий разрушения называют силовым. Показана эквивалентность силового и энергетического критериев разрушения, поскольку в статике энергия и коэффициент интенсивности напряжений связаны однозначной зависимостью. Зависимость коэффициента интенсивности напряжений от условий нагрузки на тело и от характерных геометрических размеров самого тела позволяет ответить на основные вопросы. Во-первых, о возможности разрушения при данных внешних нагрузках; во-вторых, о статической устойчивости трещины при постоянной внешней нагрузке. Если с ростом длины трещины критическое значение коэффициента интенсивности приложенных напряжений убывает, можно заключить, что при постоянном внешнем напряжении такая трещина будет неустойчивой.

При энергетическом подходе за основу берется критерий, согласно которому на создание новой свободной поверхности должна затрачиваться эффективная поверхностная энергия, определенная для заданного материала.

В работе [173] предложено вычислять поток энергии в край трещины через инвариантный Г-интеграл яЛ еЬ.

Здесь а„ - вектор напряжений; Ж-упругая энергия среды. Аналогичные инвариантные интегралы (I- интегралы) предложены в работах [187], [214].

В случае произвольной трехмерной трещины асимптотическое поведение напряжений и перемещений в конце трещины, как показано в [173], будет иметь следующий вид

Фу(а)(6) + -, и = 12,3; а = 1,11,III. д/2яр а Ц\2я а

Здесь система координат ориентирована таким образом, что плоскость трещины находится в плоскости хг, а ось у ортогональна этой плоскости. Угол 0 отсчитывается от оси ох, которая направлена по нормали к кривой края трещины в плоскости хг. Коэффициенты интенсивности напряжений зависят от приложенных нагрузок, длины и формы трещины и геометрии тела, функции /(/-а),ф-а) наоборот, зависят только от угла 0.

Если экспериментальные значения критических коэффициентов интенсивности напряжений Кк,КПс,КШс известны, то в качестве критерия разрушения в общем случае нагрузки обычно используется критерий типа

Г(К1,КП, Кш, К!с, К11с, КШс) = 0.

Функция F предлагается из теории или определяется экспериментально. Применение энергетического критерия для трещин всех трех типов дает следующие соотношения для энергии на продвижение трещины: дЭ,=-^(* + 1)Д/; ДЭя=-^-(* + 1)Д/; ДЭ/Я=-^Д/. 8// 8// 2//

Если ввести удельную энергию вс, необходимую для продвижения трещины на единицу длины, т.е. ДП = б^Д /, можно прийти к следующим связям коэффициентов интенсивности напряжений и величин энергий: л 2\Ка Г' ^а т тт. ^+ а) Оа=( б) Оа = а = 1,11; вш =--для плоской деформации (а) и плосконапряженного состояния (б). В частном случае, если считать, что энергия на продвижение трещины равна постоянной величине, можно, суммируя, получить критерий разрушения в форме

1-у2) вс = в! + в„ + СТШ =

2 , у! , КШ

2 > к;+к;, + V

1-У Е

Такое уравнение является одной из возможных форм критерия разрушения при общем трехмерном напряженно деформированном состоянии тела.

Экспериментальное определение критических характеристик начала роста трещины - важнейшая часть прикладной механики разрушения. В зависимости от выбора критерия разрушения определяемым является критическое значение выбранной физической величины. Если используется силовой критерий разрушения, то такой величиной будет критическое значение коэффициента интенсивности напряжений. Если выбран деформационный критерий разрушения, определяемой величиной является предельное раскрытие трещины. Достаточно подробный обзор методов экспериментального определения критических характеристик и ссылки на литературу приведены в [54], [77]. Нелинейным эффектам в конце трещины посвящены работы [174], [175]. В работах [114], [204] разрушение рассматривается, как фазовый переход материала в другое состояние.

По современным представлениям, разрушение является сложным процессом эволюции возникающих малых нарушений сплошности среды, их последующим взаимодействием и слиянием, вплоть до макроразрушения [74], [76], [126]. Ниже представлен обзор работ, в которых развивается направление, связанное с учетом накопления микроповреждений в сплошной среде, которое принято называть моделью континуального повреждения.

Введение параметров поврежденности в систему внутренних переменных и использование термодинамических принципов механики сплошной среды делает возможным построение термодинамически корректных связанных моделей повреждаемых твердых тел. Одна из таких моделей развивалась учениками Х.А. Рахматуллина и Ю.А.Работнова (см. [79], [80], [81] и приведенную там библиографию). В них представлена одна из возможных моделей среды с накоплением повреждений -термоупруговязкопластическая модель с двумя параметрами поврежденности, которая позволяет описывать как макроразрушение в виде накопления микродефектов типа пор, так и сдвиговые разрушения. Аналогичные модели предложены в работах [48], [89], [138], [155], [199], [49].

Для прямолинейной трещины в бесконечной области решение получается в конечном виде. Если тело конечно и трещина имеет сложную форму или трещин несколько, получить аналитическое решение часто невозможно. В этом случае используются различные численные методы решения. Теоретическим вопросам обоснования этих методов посвящены многие работы, например [2], [3] [109]. Достаточно обширные обзоры по применению и примеры использования этих методов можно найти в работах [23], [95]. В данной работе используется и развивается один из таких методов - метод разрывных перемещений, удобный в приложениях к расчетам задач для тел с трещинами.

В данной диссертации рассматривается разрушение среды подвижными телами, когда приложенные на границе контакта силы неизвестны, и должны определяться в ходе решения задачи.

Задачи о движении тел в различных средах возникли в механике в самом начале ее развития. Это, прежде всего, вызвано большим классом практических проблем, решение которых включает описание движения тела в среде и возникающие в результате поля напряжений и деформаций.

Классическими задачами такого типа являются задачи гидродинамики и аэродинамики обтекания тел. Схожие проблемы возникают при резании материалов, при обработке почвы в сельском хозяйстве (пахота, культивация) при землеройных работах, при бурении, в задачах проектирования проникающих снарядов, при моделировании работы резцов для различных материалов и т.д. и т.п.

В качестве проникающего тела может выступать и жидкость, которая выступает в роли разрушающего жидкого бойка. К таким задачам сводятся проблемы гидравлического разрыва нефтяных пластов, разрыв горных пород под давлением магмы. В настоящее время одним из основных способов повышения добычи нефти является гидравлический разрыв пласта, существенно увеличивающий поверхность, с которой собирается и фильтруется к скважине нефть.

Существенной особенностью таких задач является наличие прочности в средах, где происходит движение внедряемого тела. Это приводит к необходимости рассматривать не только вопросы внешней баллистики тела в среде, но и проблемы разрушения среды. То, что разрушаемая среда является твердой, приводит к тому, что краевые задачи, характерные для контактного разрушения, сводятся к наиболее трудным и наименее изученным краевым задачам смешанного типа с неизвестными и определяемыми лишь в ходе решения точками смены типа граничных условий.

К настоящему времени отечественными и зарубежными авторами рассмотрен широкий класс задач, связанных, прежде всего с прониканием тел в грунты.

В первых работах, например [4], [216], [188] изложены экспериментальные и теоретические исследования механики проникания. Первые модели строились в основном на предположении о характере зависимости силы сопротивления от геометрических и физических характеристик и не решали задачу обтекания.

Более полное моделирование движения среды и учет ее свойств предложено в работах [6], [102], [135], [137], [144]. В работах [8], [9],[10], [121], [100] в рамках выбранных моделей получены точные решения задач вдавливания штампов и движения тела в грунте и упругой среде. Аналогичные работы в одномерном приближении и прогнозирование глубины проникания в грунт рассматривались в [210], [203].

В работе [17] впервые решалась задача о разрушении упругого пространства тонким жестким телом бесконечной длины. В принятой схеме хрупкого разрушения [14], [172], [173] перед телом движется трещина. Решение получено в квазистатическом приближении. Анализ решения показал, что при приближении скорости тела к скорости волн Рэлея длина трещины стремится к нулю. Аналогичная статическая задача о разрушении хрупкой среды телом конечных размеров рассмотрена в работе [105].

В работе [94] Костровым Б.В. методом функционально-инвариантных решений Смирнова и Соболева впервые получено точное решение динамической задачи о вдавливании с постоянной скоростью клина и конуса в упругое полупространство со свободной поверхностью. Задача о вдавливании тупого клина и конуса с переменной скоростью в слой упругой среды, лежащий на жестком основании, рассмотрена в работе [165]. Малое поступательное и вращательное движения шара в упругой среде решались в работах [11-12]. Движение тонких тел в твердых деформируемых средах рассматривалось в работах [166], [167]. [168], [148],

149], [119], [120]. Несмотря на достаточно большое количество работ, посвященных движению различных включений в твёрдых средах, многие вопросы остаются открытыми и требуют своего решения.

В первой части данной диссертации (главы II-IV) рассматриваются плоские задачи о разрушении среды при движении в ней твердых тел. Наиболее идейно близкими в данной области являются работы [35], [17], [172], [150]. В замечательной монографии JI.A. Галина [35] впервые рассмотрен большой класс стационарных контактных задач о движении штампов по границе упругого полупространства.

Основная масса работ по линейной механике разрушения имеет своим предметом изучения рост и эволюцию трещин под действием приложенных к телу заданных внешних сил. Характерной отличающей чертой разрушения среды инородным телом, является то, что эти задачи являются контактными и в них приложенные силы заранее неизвестны и определяются лишь в ходе решения задачи. Используется предположение о стационарном движении среды в системе координат, связанной с телом. В такой постановке задачи рассматривались в работах [17], [172], [150]. В работах [17], [172] рассмотрена задача разрушения среды телами с прямоугольным контуром при малой скорости движения. Силы инерции не учитывались. В работе

150] рассмотрено движение со скоростью большей скорости поперечных волн.

Целью исследований плоских задач в данной диссертации было изучение основных характеристик взаимодействия во всем диапазоне скоростей движения тела. При этом учитывалось действие сил инерции среды и отдельно исследовалось влияние формы контура тела и трения в области контакта. Впервые решена задача о движении тела в ограниченной среде.

При рассмотрении этих задач были развиты аналитические методы, позволившие получить точные решения и исследовать влияние прочности среды, геометрии тела, его скорости, трения, и возможного наличия свободной поверхности. Новые результаты, полученные по данной проблеме, опубликованы в работах [58], [59], [60], [61], [62], [225]. Показано сильное влияние знака выпуклости образующей поверхности тела на характер обтекания, распределение напряжений и силу сопротивления.

Во второй части рассматривается разрушение твердой среды жидкостью. Разрушение твердой среды жидкостью наиболее часто применяется при гидравлическом разрыве нефтяных пластов. Для этого в скважину под давлением закачивается жидкость с заполнителем, которая после формирования трещины откачивается. Создаваемая в результате разрыва трещина увеличивает приток нефти к скважине. Отметим, что аналогичные механические задачи возникают при моделировании разрыва земной коры магмой [57]. Задача гидравлического разрыва нефтяного пласта была впервые поставлена и в некоторых приближениях решена Христиановичем С.А. и Желтовым Ю.П. [169], [200]. Тем не менее, она сохраняет свою актуальность, поскольку эволюция разрыва в очень сильной степени зависит от механических характеристик среды и геологических условий, в которых он производится. Поэтому исследования данной проблемы продолжаются. Проблеме гидравлического разрыва посвящены работы [45], [55], [81], [182-186], [189-191], [194], [201], [207], [208], [211], [215]. В работах [45], [55], [183] исследуется влияние пористости и фильтрации. В работах [81], [191], [207], [208] развиты численные методы расчета гидравлического разрыва. В работе [219] приведены экспериментальные методы в данной области. В работах [201], [211], [218] приведены аналитические результаты, где получены автомодельные решения задач гидравлического разрыва при некоторых упрощающих предположениях. Анализ вклада различных факторов (прочности среды, вязкости жидкости, наличие области отставания жидкости от конца трещины, пористости, объема фильтрации) в процесс разрушения среды жидкостью проведен в работах [185], [186], [189], [190], [215].

В пятой главе диссертации ([67], [68], [71], [226]) приведены полученные автором результаты по исследованию некоторых вопросов, касающихся гидравлического разрыва. К ним относится полученное точное автомодельное решение разрыва среды жидкостью. При построении решения удалось учесть нелокальный характер взаимодействия жидкости со средой.

Важнейшими параметрами, влияющими на процесс разрыва, являются характеристики поля внешних напряжений в пласте и геометрия уже существующих в нем разломов и трещин меньшего масштаба. В диссертации развиты численные методы, адаптированные к задачам расчета системы трещин. Эти методы использованы для построения точного решения о росте трещины гидравлического разрыва. При этом учитывались все основные факторы процесса: прочность при разрушении; вязкость разрывающей жидкости, наличие области отставания переднего фронта жидкости от края трещины. Проведен качественный и количественный анализ полученных результатов и проведено их сравнение с результатами других авторов.

Как показывают расчеты и эксперименты [169], [200], с ростом длины трещины гидравлического разрыва давление в жидкости быстро падает и выравнивается, поэтому для достаточно протяженной трещины его можно считать почти постоянным, поскольку скорость разрывающей жидкости уже невелика. Это позволяет рассматривать многие задачи в квазистатической постановке. Важными с точки зрения практики являются возможные сценарии развития разрыва при встрече основной трещины с разломом. В экспериментах [219] с помощью механического разрыва движущимся бойком существующего разреза, моделирующего основную трещину, прослеживалась ее эволюция при взаимодействии с залеченной вспомогательной трещиной (в условиях эксперимента вспомогательная трещина создавалась путем механического разделения образца с последующей склейкой). Как показали эти эксперименты, после слияния основной и вспомогательной трещин возможны три основных сценария эволюции основной трещины:

- при больших углах наклона вспомогательной трещины по отношению к основной трещине, она не меняла направления своего движения;

- при малых углах наклона, основная трещина поворачивала и продолжала своё движение вдоль вспомогательной трещины;

- при средних углах наклона, наблюдался первоначальный поворот основной трещины по направлению вспомогательной с последующим повторным поворотом и восстановлением первоначального направления движения.

В данной главе диссертации предпринята попытка теоретического решения такой задачи. Рассмотрена задача о взаимодействии основной трещины гидравлического разрыва с уже имеющимся, естественным разломом пласта. Задача решалась с учетом действующих на бесконечности напряжений. Разлом моделировался залеченной трещиной, берега которой могут раскрываться или проскальзывать относительно друг друга. Области возможного раскрытия и взаимного скольжения определялись в ходе решения методом последовательных приближений. В случае взаимного скольжения они взаимодействуют по закону сухого трения типа Кулона - Мора. Основным исследуемым параметром служил угол между направлением распространения основной трещины гидравлического разрыва и трещиной разлома. Определялось поведение перемещений и напряжений у берегов трещин в окрестности их точки взаимодействия. Проверялись разные возможные пути эволюции гидравлического разрыва после взаимодействия с разломом. В экспериментах отмечено, что возможно как продолжение движения гидравлического разрыва в первоначальном направлении, так и поворот движения жидкости по направлению разлома. В расчетах показана возможность реализации одного из трех сценариев развития. При малых углах между трещинами более вероятен поворот жидкости с дальнейшим движением вдоль разлома. При углах близких к 90", когда трещина разлома перпендикулярна основной, более вероятно продолжение движения без изменения его направления. При средних углах наклона возможна более сложная комбинация, когда жидкость сначала поворачивает вдоль разлома, а затем повторно меняет направление своего движения. Эти выводы сделаны на основе анализа поля напряжений вблизи берегов трещины. Определялись главные разрывающие напряжения и максимальные касательные напряжения, а также площадки их действия.

Основные результаты пятой главы опубликованы в работах [67], [68], [71], [226].

В третьей части диссертации исследуется ряд прикладных задач, общим для которых является нестационарное деформирование упругопластических тел различной геометрии при контактном взаимодействии.

Предложена методика приближенного расчета косого проникания затупленного жесткого тела в плиту конечной толщины в рамках локального взаимодействия. Материал плиты полагается жесткопластическим.

В данной главе также исследуется задача взрывного метания упругопластической пластины в жесткую форму с учетом воздушной прослойки.

Здесь приведены решения задач определения прочности проникающего трехмерного неоднородного тела и характера разрушения преграды в задаче пробивания.

Общей целью являлось создание пакета прикладных программ, позволяющих решать задачи, связанные с динамическим пространственным взаимодействием тел.

Изучение и решение нестационарных динамических многомерных задач важно, поскольку именно к таким задачам сводится большинство практических проблем. Поскольку получение аналитических решений в этом случае невозможно, решения строятся численно. При этом важно помнить, что построенные численно решения являются приближенными и их использованию должна предшествовать строгая проверка на соответствие результатов имеющимся аналитическим решениям или результатам экспериментов. Именно в возможности сравнить численные результаты с имеющимися аналитическими решениями заключается одна из ценностей таких решений. Аналитические решения в первую очередь были получены, когда исследование удавалось свести к рассмотрению одномерных задач и задач с осевой или сферической симметрией. Это был очень важный этап развития динамики твердых деформируемых сред, поскольку он позволил открыть и объяснить целый ряд эффектов в рамках предложенных моделей сплошных сред. Основополагающие результаты здесь были получены как отечественными, так и зарубежными учеными В. Сен-Венаном, Р. Мизесом, X. Хенки, JI. Прандтлем, В. Прагером, Р.Хиллом, A.A. Ильюшиным, Х.А. Рахматулиным, С.А. Христиановичем, Е.И. Шемякиным, В.С.Ленским, и многими другими авторами.

Практическое использование построенных моделей и методов их исследования при решении многих важных проблем техники столкнулось с рядом трудностей. Сюда можно отнести пространственную сложность геометрии рассматриваемых тел, нелинейность основных систем дифференциальных уравнений. Аналитические методы здесь мало применимы.

Возможность решения таких задач появилась в сравнительно недавнее время в связи с появлением ЭВМ и разработкой вычислительных методов. Однако вплоть до недавнего времени, мощностей вычислительной техники было достаточно лишь для расчетов одномерных и плоских задач.

Прогресс в технологии и архитектуре ЭВМ последних лет способствовали тому, что численное моделирование пространственных нестационарных задач механики твердого тела стало реальной задачей.

Рассмотрим лишь некоторые основные результаты, которые получены в близких областях исследования.

Следуя исторической последовательности развития динамических задач взаимодействия упругопластических тел по импульсной нагрузке пластин и проблеме проникания, начнем обзор с ранних работ, постепенно переходя к рассмотрению их развития с помощью аналитических и численных методов.

Первые результаты, тем или иным образом связанные с задачами метания пластин, появились в ходе исследования динамики тонких пластин, нагруженных импульсом давления. Рассмотрение здесь велось в рамках подхода теории пластин и оболочек. Динамическое пластическое деформирование жесткопластической, круглой, свободно опертой пластины, подвергшейся действию прямоугольного импульса давления, исследованы в работе [44]. В статье [212] автор обобщил эти результаты на случай иных распределений давления и нашел, что вид распределения давления значительно влияет на окончательную деформацию. В работах [213], [223] авторы учли влияние скоростей деформаций и вязко - пластичности, а в [196] исследовано влияние мембранных усилий на конечные смещения, а также эффекты упрочнения и чувствительности к скоростям деформаций. В работе [96] решена задача о свободно опертой пластине, нагруженной по участку ее поверхности.

Исследование задач проникания в твердые среды также имеет давнюю историю. Наиболее ранними в этом направлении являются следующие работы. В работе [188] предложены основы проникания в предположении постоянства силы сопротивления, в [4], [216] изложены экспериментальные и теоретические исследования проникания в грунт. Более полный учет свойств грунта приведен в работе [135], [136]. В монографии А.Я.Сагомоняна [144] приведено решение многих задач проникания в различные сжимаемые среды. В работе [209] в одномерном приближении решена задача о внедрении тупого клина в идеально пластическую среду. Работа [203] посвящается вопросам прогнозирования глубины проникания в грунт в предположении, что сопротивление прониканию является функцией глубины и скорости.

В большинстве задач проникания на первом этапе их развития не учитывалось разрушение, которое на практике всегда сопутствует движению тел в твердой среде. Актуальность учета этого фактора вытекает из существенного влияния разрушения материала на характер распределения напряженно-деформированного состояния тела. Одной из первых работ по динамическому разрушению явились классические опыты Дж.Гопкинсона и Б.Гопкинсона [85]. В частности, Б.Гопкинсон исследовал разрушение происходящее на тыльной поверхности толстой металлической пластины при подрыве на лицевой ее поверхности контактного заряда. С противоположной от заряда стороны пластины отлетал круглый диск, который Гопкинсон назвал «отколом». Видимо первым теоретическим решением этой задачи была работа В.С.Ленского[101], в которой получены условия лицевого и тыльного откола.

Дальнейшие исследования выявили различные картины разрушения [86] [47], которые возникают в соответствии с полем напряжений в теле. В работе [143] на основании анализа теоретических и экспериментальных результатов выделены следующие механизмы разрушения: однородное пластическое течение, сдвиговое разрушение, фазовый откол, отрывное разрушение.

В [129] показано, что в процессе пробивания ударом с умеренными скоростями, разрушения бывают двух видов: отрывное и сдвиговое.

Одна из рассматриваемых в данной главе диссертации задач изучает пробивание преграды жестким затупленным телом. В этом случае, как показано в [145], вероятнее сдвиговое разрушение. Оно известно [138], как неустойчивый разрушающий термопластический адиабатический сдвиг. Наличие именно такого характера разрушения при проникании затупленных тел подтверждается экспериментами [224], [221]. Процесс проникания здесь сопровождается локальным повышением температур в зоне контакта и большими скоростями сдвиговых деформаций в цилиндрической зоне, что и приводит к разрушению сдвигом.

За этапом построения базовых механических моделей и их аналитического и математического исследования последовал этап их численного исследования, поскольку практические проблемы требовали решения нестационарных задач для тел достаточно сложной геометрии. Этому также способствовало появление более мощных вычислительных машин.

Аналитические решения в задаче штамповки взрывом тонкостенных оболочек получены в работах [112], [113]. Задачи решены в предположении, что материал пластины является жестковязкопластическим. Показана существенность предположения о зависимости интенсивности касательных напряжений от интенсивности скоростей деформаций. Отмечено, что «не учет» вязкости среды, например в модели идеально пластического материала, приводит к эллиптической системе уравнений.

В [177] получено в замкнутой форме решение для динамических пластических деформаций круглой свободно опертой пластины, подвергающейся действию кратковременного давления достаточно общего вида. Материал пластины рассматривается как жесткоидеальнопластический чувствительный к скоростям деформаций с условием текучести Треска. Показано, что окончательные пластические деформации можно рассматривать как функцию импульса и некоторого эффективного давления.

В работах [41], [42] автором исследовано динамическое деформирование жестко защемленной и шарнирно опертой пластин. Здесь, как у Прагера и Кузина, рассмотрен прямоугольный импульс давления, но вместо условия Треска использовано условие максимального приведенного напряжения.

В рассмотренных задачах об импульсной нагрузке пластин делалось существенное предположение о том, что они являются тонкими, что позволяло делать постановку в рамках теории оболочек. Однако на практике часто приходится иметь дело с пластинами конечной толщины. Кроме того, например в задачах взрывной штамповки, могут иметь место более сложные граничные условия.

Огромный опыт экспериментальных работ обобщен выработанными инженерными методами. Отметим результаты наиболее близкие к теме данной работы. Наиболее систематические исследования в области обработки металлов давлением содержатся в работах [5], [131] [132]. В монографии [132] собран и систематизирован обширный материал экспериментов и наблюдений, относящийся к деформированию и разрушению металлов при импульсивных нагрузках. Здесь формулируются некоторые общие принципы поведения металлов, в то время как математическая трактовка явлений носит скорее иллюстративный характер. В монографии [131] рассматриваются физические и инженерные основы и практика взрывной обработки металлов. Даются сведения о взрывных веществах и взрывах. Обсуждаются принципы организации взрывных операций, рассматривается возбуждение и распространение ударных волн в металлах. Несмотря на общий характер изложения в [131],[132], в этих работах имеются многочисленные ссылки, которые могут использоваться для более детального ознакомления с вопросом. Монография [5] посвящается вопросам гидровзрывной штамповки. Автор подробно рассматривает все ее составные аспекты и особенности: развитие взрыва в жидкой среде; действие подводного взрыва на заготовку.

Вопросы определения вида ударной нагрузки и условий предотвращения потери устойчивости отдельных зон заготовки при технологическом использовании гидровзрывной штамповки приведены в

53], [75], [157]. Работа [34] посвящается исследованию количественных связей между работой, необходимой для выполнения заданного формоизменения заготовки и величиной заряда, выполняющего эту работу. Решение проводилось путем усреднения основных характеристик напряженно-деформированного состояния с учетом упрочнения материала. В работе [104] с прикладной точки зрения рассматривается классификация ВВ и их воздействие на обрабатываемые материалы.

Рассмотрим некоторые задачи, которые были решены в связи с проблемой пробивания. В области аналитического исследования процесса наибольший прогресс достигнут в изучении нормального пробивания. Так в работе [146] рассматривается пробивание жесткопластической преграды твёрдым, жесткопластическим и упругопластическим бойками. Предполагается, что пластическое напряжение, приводящее к деформации сдвига на границе пробки и ее выбиванию, является постоянной величиной. Задача решена в одномерной постановке. Рассмотрены волновые процессы в преграде и бойке. Использовалось предположение о действии по срезу пробки постоянного касательного напряжения.

При решении задач о нормальном пробивании или проникании тонкого тела можно рассматривать движение среды в рамках гипотезы плоских сечений. В качестве примера приведем здесь работу [13], в которой дается решение задачи проникания тонких тел в упруго-трансверсально-изотропную среду при наличии вращения тела с постоянной угловой скоростью. Показано, что анизотропия среды и вращение тела влияют как на размер области пластичности, так и на величины радиальных напряжений.

При решении задач о наклонном пробивании авторы обычно пользуются некоторыми приближениями. В [64] на основании приближенной методики предложенно численно-аналитическое решение задачи о наклонном пробивании твердым телом жесткопластической пластины.

Аналитические методы, как уже указывалось, позволяют получить эффективные решения достаточно узкого класса задач. В связи с этим в последнее время все большее распространение получают численные методы, позволяющие проводить моделирование сложных нестационарных задач. Имеется ряд обзоров [97], [98], [99] и монографий [39], [87], [170], [82], полностью или частично посвященных этому вопросу.

В настоящее время, в основном, используются конечно-разностные методы, метод граничных интегральных уравнений, различные вариации метода конечных элементов и другие. Остановимся на работах, в которых применялись конечно-разностные методы.

Одной из разновидностей конечно-разностных методов являются сеточные методы, среди которых видимо наиболее популярным является метод Уилкинса. Название это появилось в литературе после опубликования работы [160], в которой был предложен конечно-разностный метод на лагранжевой сетке для решения осесимметричных упругопластических задач. Этот метод получил довольно широкое распространение, например, в работах [162], [163], [49], [90], [108], [82], [83]. Кроме метода Уилкинса часто используется метод Лакса -Вендроффа [78], [118], [134] и метод Годунова [39], [38]. Одними из наиболее сильно развитых методов в настоящее время являются характеристические методы, представляющие собой конечно-разностную аппроксимацию уравнений, представленных в характеристической форме. При решении многомерных задач, распространению этого метода посвящено значительное число работ. Вслед за решением уравнений газовой динамики [103], [22], метод был применён к решению упруговязкопластических [99] и упругопластических [87]задач.

Рассмотрим круг работ близких к теме данной диссертации, решение которых получено с использованием численных методов.

В работах [1], [19] проведено исследование упругопластического деформирования тонких круглых пластин при импульсных нагрузках. Автором [56] строится численная модель деформирования пластины под действием продуктов детонации ВВ. Для описания поведения материала пластины принята модель упругопластической среды с конечными деформациями.

Движение пластины и поршня мембранного типа в газокоммулятивном устройстве рассматривается в [37]. Внедрением ударника в плиту конечной толщины занимались авторы [106]. Материал соударяющихся тел упругопластический с линейным упрочнением. В ходе решения найдена линия максимумов энергии пластических деформаций, которая может считаться кольцевой зоной трещин.

В работе [88] рассмотрено численное моделирование процесса внедрения жесткого тела вращения в упругопластическую среду. Проведено исследование влияния радиальных волн разгрузки на решение задачи, а также определены зависимости силы сопротивления движению от времени. По изолиниям работы напряжений на пластических деформациях определены зоны возможного разрушения.

Процессы динамического деформирования упругопластических тел с учетом континуального разрушения рассмотрены в работе [89] на примере осесимметричного соударения жесткого цилиндра с деформируемой плитой. Для учета процесса разрушения авторами предложена скалярная модель разрушения, представляющая аналог подхода Гриффитса.

Одним из первых численных исследований по определению напряженно-деформированного состояния тела при его взаимодействии с преградой можно назвать работу о соударении упругопластических стержней с жесткой преградой. Решение осесимметричной задачи было дано в [50]. Здесь исследовалась волновая картина в стержне и определялись отдельные интегральные характеристики. Соударение стержней с прямоугольным сечением рассмотрено в [82], [83]. Кроме исследования влияния на процесс взаимодействия волн и упругопластических свойств среды, в [82] определены зоны возможного разрушения.

Решения сложных трехмерных задач стали появляться лишь в последние годы, и число таких работ непрерывно возрастает. Динамическое взаимодействие упругопластического цилиндра с жесткой поверхностью рассмотрено в [168]. В работе подробно описывается характер соударения под различными углами на протяжении больших интервалов времени, сопровождающиеся рикошетом или внедрением цилиндра. В работе [202] дано краткое описание моделирования конечно-элементного расчета высокоскоростного удара. При этом мишень и снаряд обладают пластическими свойствами. Результаты численного расчета представлены для удара полым цилиндрическим снарядом по броневой плите.

Приближенный метод расчета взаимодействия двух тел применительно к задачам соударения и проникания предложен авторами [180]. Алгоритм основан на разделении узлов расчетных сеток на два типа узлов: главные узлы мишени и вспомогательные узлы ударника. С помощью конечно-элементного метода исследуется наклонное пробивание мишени однородным телом. В развитие [180] выполнена работа [181]. Здесь, на примере наклонного пробивания цилиндром из меди стальной плиты, исследовано влияние деформирования граничных элементов ударника и мишени на процесс разрушения в этих элементах.

В работе [197] с помощью «тетраэдральных» элементов изучался удар коническим бойком по алюминиевой плите переменной толщины со скоростью 1,5 км/с, а также косой удар по жесткой поверхности алюминиевым стержнем со скоростью 1 км/с под углом 20 градусов. На границе контакта принимались условия полного прилипания. В более поздней работе [198] вводились более сложные условия контактного взаимодействия с трением и с возможностью отрыва поверхностей. Также рассматривалось наклонное пробивание медным стержнем стальной плиты при скоростях удара 5 и 9 км/ с.

В [43] приводится конечно-элементный алгоритм решения трехмерной динамической контактной задачи. Взаимодействующие тела -сжимаемые упруговязкопластические.

В первом параграфе шестой главы приведена схема приближенного моделирования наклонного проникания жесткого затупленного тела в преграду конечной толщины. Материал преграды считается жесткопластическим, а давление при взаимодействии поверхности тела с преградой определяется на основе гипотезы нормальных локальных сечений. Показано, что предложенная схема может применяться при оценке потерь скорости и возможности рикошета. Поскольку при выбранной схеме давление определяется аналитическим выражением, численно интегрировались уравнения движения твердого тела и отслеживалось положение деформированных поверхностей пластины (тыльной и лицевой).

Второй параграф посвящен исследованию взрывного метания пластины конечной толщины в жесткие формы при наличии осевой симметрии. В качестве механизма метания была выбрана детонация слоя ВВ конечной толщины. Данная задача представляет интерес с прикладной точки зрения, поскольку является основным звеном в задачах штамповки и высокоскоростного метания пластины в газодинамических устройствах.

В связи с этим, рассматривается задача о штамповке взрывом упругоидеальнопластической пластины в жесткую форму. Края пластины считаются жестко защемленными. Задача решалась методом Уилкинса. При этом исследовалось влияние интенсивности ударной нагрузки и геометрии штампа.

В качестве примеров разной геометрии приведены расчеты штампов двух видов: один имел форму сферического сегмента, другой - более сложную выпукло-вогнутую форму. Для сферического сегмента исследовалась глубина «штамповки» пластины в зависимости от толщины слоя ВВ. Определялся характер деформирования пластины в процессе метания, оценивалась величина пластических деформаций. Кроме того, рассматривалось изменение пластины по толщине, связанное с остаточными деформациями в зависимости от профиля штампа. На основании расчетов были сделаны некоторые прогнозы о возможности осуществления «штамповки» для отдельных видов штампов без разрушения материала заготовки. Считалось, что в камере между пластиной и штампом нет воздушной прослойки.

Поскольку в реальных задачах газовая прослойка есть, для исследования ее влияния была решена более сложная задача расчета совместного движения пластины конечной толщины и газа в камере. Наличие другой среды - газа потребовало параллельно с методом Уилкинса для расчета твердого тела использовать метод крупных частиц для расчета движения газа. Газ считался идеальным и совершенным. В качестве примера расчета, был рассмотрен процесс метания пластины в камеру, имеющую форму сферического сегмента с газоотводным отверстием. Толщина пластины в задаче варьировалась.

Несмотря на то, что толщина пластины в расчетах изменялась всего в четыре раза, это существенно влияло на процессы, происходящие в пластине и камере. Совместное решение аэро-упругопластической задачи позволило сделать важные выводы о слабом влиянии газа на пластину с одной стороны и о весьма большом влиянии прочностных свойств пластины на движение газа - с другой стороны.

Исследование вопроса о возможности моделировать пластину плоскостью или мембраной показало, что такая возможность появляется, когда скорость движения контактной точки пластины и стенок камеры становится больше скорости сдвиговых волн. Основные результаты данного параграфа опубликованы в работах [24], [25].

В третьем параграфе шестой главы рассматривались задачи, связанные с двумя основными аспектами проблемы пробивания. Это задача определения характера разрушения преграды и поля давления на поверхность проникающего тела (боек считается жестким) и задача определения прочности самого проникающего тела, когда давление на него со стороны преграды задается известной функцией координат и времени.

Для исследования первой части проблемы была рассмотрена следующая модельная задача: упругопластическая плита круглой формы, жестко закрепленная по краям, под произвольным углом пробивается жестким бойком, имеющим форму полубесконечного цилиндра с плоским передним срезом. Исследовалось пробивание плиты для различных скоростей и углов подлета бойка. В ходе численного решения определялось влияние скорости бойка на механизм пробивания. Для случаев нормального пробивания определялась критическая скорость пробивающего тела, при превышении которой существенное влияние на механизм пробивания оказывают волны, отраженные от свободной поверхности плиты. В этом случае удалось обнаружить режим самостоятельного выхода пробки после ее отскока от бойка без последующего взаимодействия с ним. Исследовалось влияние условий встречи на схему разрушения мишени. Замечено, что небольшое отклонение угла встречи от нормали существенно меняет картину пробивания и приводит к уменьшению фактора отраженных волн. Выполненные расчеты позволили сравнить характер разрушения и распределения остаточных деформаций в преграде с результатами экспериментов. Из решений найдено распределение давлений на поверхности цилиндрического бойка.

Исследование второго аспекта проблемы пробивания - определение прочности проникающего тела - было выполнено для пространственно сложного составного тела в процессе проникания в преграду. При общем подходе, здесь следует отметить характерные особенности решенной задачи.

К таким особенностям следует отнести достаточно сложные геометрические формы и наличие заполнителя. Эти особенности задачи приводят к необходимости решения нестационарной трехмерной динамической задачи при наличии раздела двух сред и сложной геометрии корпуса.

Составленный пакет программ был использован для расчета напряженно-деформированного состояния конкретного тела при его взаимодействии с металлической пластиной конечной толщины. При этом внешнее давление задавалось по приближенной авторской методике, предложенной в [64]. В результате численных исследований определены значений критических скоростей, при которых движение сопровождается появлением развитых деформаций, локализованных вблизи области контакта с преградой и представляющих опасность для целостности корпуса в процессе пробивания.

Для некоторого определенного диапазона скоростей и углов подлета тела к плите определен характер деформаций корпуса.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Звягин, Александр Васильевич

Заключение

Подводя итоги проделанной работы, можно выделить следующие основные результаты:

В первой части работы (главы II - IV) аналитически исследована плоская задача движения твердого тела конечных размеров в деформируемой неограниченной и ограниченной среде во всем диапазоне скоростей движения. Исследован вклад трения.

Во второй части работы (глава V) аналитически и численно исследована задача разрушения среды жидкостью. Впервые решена задача гидравлического разрыва упругой среды с учетом прочности при разрушении и области отставания жидкости от края трещины. Впервые исследована задача о взаимодействии трещины гидравлического разрыва с естественным разломом пласта.

В третьей части работы (глава VI) предложены методики расчета задач нестационарного трехмерного взаимодействия упругопластических тел. Рассмотрены конкретные прикладные задачи взрывной штамповки и наклонного проникания.

Результаты изложены в виде решения следующих конкретных задач:

1. Получено аналитическое решение задачи о движении симметричного тела при отсутствии трения с дозвуковой скоростью, превышающей скорость поверхностных волн Рэлея.

- Проведено сравнение сил сопротивления для тел разной формы, но имеющих одинаковую толщину и начальный угол раствора. Сравнение полученных выражений для силы сопротивления показало, что при одинаковой толщине сопротивление тела выпуклой формы является наименьшим из трех рассмотренных форм. Сила сопротивления для тела клиновидной формы на треть, а для тела с вогнутым контуром почти в два раза больше, чем для тела с выпуклым контуром. Этот факт соответствует действительности, поскольку при изготовлении проникающих снарядов часто используется выпуклая форма контура носовой части типа «оживал».

2. Удалось в конечном виде найти решение задачи стационарного проникания симметричного тела в твердую упругую среду при наличии сухого трения:

- решение проанализировано для тел, достаточно часто используемых на практике (режущая кромка в виде клина и оживала);

- получены зависимости силы сопротивления от трения, толщины и от скорости тела;

- найдены коэффициенты формы, характеризующие влияние геометрических характеристик тел на сопротивление;

- показано, что для выпуклого тела постоянной кривизны характерен срыв среды с поверхности в точке, расположенной примерно на половине длины носовой части. За счет этого коэффициент формы в силе сопротивления для него оказался в два раза меньше, чем для клина.

3. Предложены и рассмотрены схемы хрупкого разрушения при внедрении тела со скоростью, меньшей, чем скорость волн Рэлея при отсутствии сил трения.

- При хрупком разрушении величина возникающей зоны разрушения определяется в основном максимальной толщиной тела и прочностью при разрушении и слабо зависит от геометрии поверхности носовой части.

- При стремлении скорости тела к скорости волн Рэлея длина области разрушений стремится к нулю, а давление стремится к бесконечности.

4. Предложена постановка и получено аналитическое решение задачи о внедрении симметричного тела в среду для случая вязкого разрушения.

- В этом случае при малых скоростях движения сила сопротивления является постоянной величиной, которая определяется пределом пластичности и толщиной тела.

5. Получено аналитическое решение задачи о движении симметричного тела с учетом трения при хрупком разрушении среды, сжатой давлением.

- Как и при отсутствии трения, в данном решении при стремлении скорости тела к скорости волн Рэлея длина зоны разрушения I стремится к нулю. При этом давление стремится к бесконечности.

- При скорости близкой к скорости волн Рэлея сила сопротивления стремится к бесконечности.

- Получена нижняя оценка для силы сопротивления. Сила сопротивления удовлетворяет неравенству ц5 уЛл5 где равенство возможно при условии 8 = кЬ. Здесь: //-модуль сдвига; 8-толщина тела; ¿-коэффициенттрения; Р* = ?///-давление на бесконечности; К'с = Кс/ц, Кс - критическое значение коэффициента интенсивности напряжений, соответствующее разрушению, ¿-длина области разрушенной среды.

6. Получено аналитическое решение задачи о движении тела под углом атаки с учетом трения на поверхности контакта.

- Найдены выражения для сопротивления и подъемной силы:

Fc=Fx=^-mx(k + /0( \ + 2к2)),

Fn =F =~-p.yQïï\\ ^2arctg2(kA2)\ 4 { к ) где /-длина пластины, у0- угол атаки, к- коэффициенту трения.

7. Поставлена и аналитически решена задача о разрушении среды пластиной длины которая движется параллельно свободной поверхности на глубине h под углом атаки ±у0(отрезание слоя).

- В случае (а), когда угол атаки -у0 оказалось, что сила сопротивления X и подъемная сила Y соответственно равны:

Для большой толщины слоя h/L» 1

Г/(РК0>)=^; Для бесконечно тонкого отщепляемого слоя h)L « 1

X/(pVÎ) = y/(pF02) = ^.

- В случае (б), когда угол атаки равен +у0, сила сопротивления X и подъемная сила Y соответственно равны:

Для большой толщины слоя h/L» l

Xh Yl(PVl)=-^f- ; для бесконечно тонкого отщепляемого слоя h/L«\

- Выражения для сил в случае большой глубины отличаются только знаком подъемной силы, а их величины совпадают с аналогичным решением для бесконечной среды.

- Для тонкого слоя их значения существенно отличаются. В случае (а) силы определяются углом атаки и толщиной слоя. В случае (б) они явно не зависят от толщины слоя, но зависят от длины пластины и ее угла атаки, причем их величины ровно в два раза больше, чем аналогичные для случая бесконечной среды. Это можно объяснить только тем, что сопротивление движению тела имеет волновую природу. В этом случае возрастание сил происходит за счет образования поверхностных волн, ведь свободная поверхность в случае движения в полупространстве (границы каверны и граница полупространства) в два раза больше свободной поверхности для случая движения в неограниченной среде (границы каверны).

7. Получено аналитическое решение автомодельной задачи о раскрытии канала с упругими стенками при втекании в него вязкой жидкости.

- Найденное решение позволяет оценить характер поведения основных параметров задачи от времени. Интересно, что независимо от модуля упругости контур раскрывается во времени так, что скорость жидкости постоянна вдоль оси канала в каждый фиксированный момент времени. Это позволяет надеяться, что и в более сложной постановке, например при раскрытии канала в упругой среде течение будет обладать аналогичным свойством, поскольку это обеспечивает минимальную силу сопротивления со стороны границ канала.

8. Численно решена плоская задача о распространении в упругой среде трещины под действием давления находящейся в иен вязкой жидкости. Впервые задача решена с учетом прочности среды при разрушении и с учетом области отставания фронта жидкости от края трещины. **

- Проведено сравнение с известными автомодельными решениями. > Численные и аналитические результаты (автомодельное решение) для малых значений прочности (Кс критическое коэффициента интенсивности напряжений) очень хорошо согласуются.

- Существенное различие между аналитическим и численным решениями наблюдается для малых моментов времени, когда влияние прочности среды • • и наличие отставания жидкости от конца трещины оказывают заметное г< влияние на процесс.

- С ростом длины трещины автомодельное и численное решения снова совпадают. Для очень малой прочности эти решения фактически не отличаются, что является хорошей тестовой проверкой для проведенных расчетов.

- Соответствующие численные результаты для большого значения прочности обнаруживают значительное расхождение с полуаналитическим решением. Найдена безразмерная величина прочности, при превышении которой аналитические решения не применимы.

9. Поставлена и исследована задача о взаимодействии трещины гидравлического разрыва с естественным разломом.

- Авторская программа расчета упругой среды с произвольной системой трещин была использована для анализа возможных сценариев развития трещины гидравлического разрыва при ее сближении с разломом. Основным геометрическим параметром задачи был угол р между трещиной разрыва и естественной трещиной разлома. В качестве альтернатив рассматривались три возможных случая:

1). При больших углах наклона р трещина гидроразрыва продолжит движение в первоначальном направлении, «проткнув» разлом.

2). При малых углах наклона р трещина гидроразрыва сольется с разломом и продолжит свое движение вдоль него.

3). При промежуточных углах наклона р возможно слияние трещины гидроразрыва с разломом, а затем повторный поворот с образованием новой трещины в направлении, близком к исходному направлению. Проведенные расчеты качественно совпали с результатами экспериментов по расклиниванию образца трещиной нормального разрыва при наличии в образце линии ослабленных связей. Анализ напряженно-деформированного состояния показал возможность реализации всех трех экспериментально наблюдаемых сценариев эволюции трещины. Показано, что повторный поворот основной трещины обеспечивается возникновением больших касательных напряжений на площадках, ориентированных по нормали к трещине разлома. Это может привести к возникновению новой трещины сдвига, направление которой близко к направлению основной трещины.

10. Предложена и апробирована приближенная методика расчета на ЭВМ косого ударного взаимодействия твердого тела с деформируемой пластиной.

- Данный метод позволяет достаточно эффективно получить поле давлений на проникающее тело и кинематику его движения, включая возможность рикошета.

11. Исследована задача штамповки пластины в жесткую форму при наличии и отсутствии воздушной прослойки между пластиной и формой.

- При метании пластины в жесткую камеру форма деформированной пластины существенным образом зависит от ее начальной толщины и прочности, а также от геометрии камеры.

- Влияние газа на пластину мало, но влияние пластины на газ существенно и зависит от ее деформированной формы.

- Моделирование тонкой пластины мембраной или плоскостью возможно только на том этапе ее движения, когда скорость точки контакта со стенками камеры становится больше скорости поперечных волн.

12. Рассмотрена задача разрушения преграды жестким ударником при косом взаимодействии.

- Обнаружен режим возможного самостоятельного выхода пробки при нормальном ударе после краткого взаимодействия с бойком, который наблюдался экспериментально.

- Показано, что уже при малых углах отклонения от нормали режим выбивания пробки сменяется образованием лепестка.

13. Решена трехмерная задача нестационарного взаимодействия неоднородного тела с преградой.

- В задаче прочности проникающего тела на конкретном примере показано существование критических скоростей, при которых движение сопровождается появлением развитых деформаций представляющих опасность для целостности корпуса.

- Показано, что при больших скоростях область сильных деформаций имеет локальный характер и находится вблизи мест контакта с преградой.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Звягин, Александр Васильевич, 2007 год

1. Алексидзе М. А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. -М.: Наука. 1978.351 с.

2. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. -М.: Наука. 1991.352 с.

3. Аллен У., Мейсфильд Э. Морисон Г. Динамика проникания тел в песок.//В сб."Механика", 1957, №6

4. Анучин М. А. Штамповка взрывом. М.: Машиностроение, 1972.

5. Анциферов В. С. Автомодельная задача о проникании твердого тела в грунт. // ПММ, XXII, Вып.6,1958

6. Астафьев В. И., Радаев Ю. Н., Степанова Л. В. Прикладные задачи механики разрушения Учебное пособие. Самара: Изд.Самарского ун-та, 1999. 195 с.

7. Апикян Ж. Г. Движение жесткого конуса в упругой средой со сверхзвуковой скоростью. Изв.АН Арм.ССР, сер.мехапика, 1970, № 5

8. Ахмедов М. А. К расчету о проникании клина в грунтовое полупространство. Дан Уз.ССР, 1969, N27

9. Ахмедов М. А. Проникание клина и конуса в грунтовое полупространство. Сб.Прочность и сейсмостойкость сооружений. Ташкент, Изд.Фан Уз.ССР, 1971

10. Бабичев А. И. Поступательное движение шара в упругой среде. Изв.АН Уз.ССР,с.техн.наук,1966, № 4

11. Бабичев А. И. Вращательное движение шара в упругой среде. Изв.АН Уз.ССР.с.техн.наук, 1966, № 6

12. Багдоев А. Г., Ванцян А. А. Проникание тонкого тела в трансверсально-изотропную среду с вращением // МТТ. 1989. N 2. с. 187-189.

13. Баренблатт Г. И.Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении. ПМТФ, 1961, № 4, с.3-56.

14. Баренблатт Г. И. О распространении мгновенных возмущений в среде с нелинейной зависимостью напряжений от деформаций. ПММ, 1953, т. 17, № 4, с. 455-460.

15. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Салганик Р. Л. О кинетике распространения трещин. "Инж. ЖМТТ", 1966, № 5, с 82-92, № 6, с. 76-78, 1967, № 1, с. 122-129, № 2, с. 148-150.

16. Баренблатт Г. И, Черепанов Г. П. О расклинивании хрупких тел. ПММ, 24, вып.4,1960

17. Баренблатт Г. И. Об образовании горизонтальной трещины при гидравлическом разрыве нефтяного пласта. Изв. АН СССР, ТН, 1956, №9.

18. Батанин М. А. Расчет больших динамических упругопластических деформаций круглых пластин на основе волновых уравнений теорииоболочек // В сб.: Методы решения задач упругости и пластичности. Горький. Вып. 8.1974.

19. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц (схемы и приложения). М.: МФТИ. 1978.

20. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц в газовой динамике. Вычислительный эксперимент. М.: Наука. 1982

21. Белоцерковский О. М. Численные методы решения задач механики сплошных сред. М.: ВЦ АН СССР. 1969.

22. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках: Пер. С англ. М.: Мир, 1984.494 с.

23. Богданов В. И., Звягин А. В. Штамповка взрывом // Вести. Моск.ун-та. Сер. Математика, механика. 1990. N 2. с. 42-46.

24. Богданов В. И., Звягин А. В. Взрывное метание пластины //В сб.: "Современные проблемы физики и ее приложений". Материалы Всесоюзной конференции. Москва. Апрель. 1990. с. 72.

25. Богданов А. В., Звягин А. В., Тьерсилен М. Взаимное влияние системы трещин на коэффициент интенсивности напряжений. // Вестник МГУ. Матем. Механ. 2004. N 6, с. 44-49.

26. Богданов А. В., Звягин А. В. Взаимодействие трещины гидроразрыва с разломом.// Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород. Сб.статей к 75-летию Е.И.Шемякина. Под ред. Д.Д.Ивлева и Н. Ф. Морозова. М.: Физматлит. 2006. с.87-99

27. Броберг К. Ударные волны в упругой и упругопластической среде. М: Госгортехиздат, 1959,116 с.

28. Векуа Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. -М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

29. Велич И. А. 0 распространении и взаимодействии упругопластических волн в стержне при ударе о преграду // МТТ. 1970. N 4. с. 182- 187.

30. Велич И. А., Малышев Б. М. Продолжительность удара упругопластического стержня//МТТ. 1976. N2. с. 193- 197.

31. Войтенко А. Д. Получение газовых струй большой скорости //Докл. АН СССР. 1964, N 6. С. 1278 1280.

32. Войтенко А.Е. Ускорение газа при его сжатии в условиях остроугольной геометрии // ПМТФ. 1966. N 4. с. 112-116.

33. Воронов Н. С., Гринченко А. М., Дорофеев В. Г. Получение листовых деталей отбортовкой взрывом. // В сб. Импульсная обработка металлов давлением. М.: Машиностроение. 1977. с.47-51.

34. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1953. 264 с.

35. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М. Наука, 1977, 640 с.

36. Гендугов В. М., Моргунов Ю. А. Исследование динамики пластины и поршня в метательном устройстве типа взрывного компрессора // Вести. Моск. ун-та. Сер. Математика, механика. 1987. N 3. с. 22 27.

37. Глушко А. И. Соударение твердых тел с учетом откольных явлений. Диссертация. к.ф.-м.н. М. 1979.206 с.

38. Годунов О. К. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.

39. Ивашнев О. Е., Смирнов H. Н. Формирование трещины гидроразрыва в пористой среде.// Вестн. Моск. ун-та. Сер. Матем., механ. 2003.№ 6.28 36 .

40. Гольба А. В. О динамическом деформировании жестко-пластической куглой пластины при условии текучести максимального приведенного напряжения // Тр.НИИ мат. Воронеж, ин-т. 1974. вып. 16. с. 31 -37.

41. Гольба А. В. О динамическом деформировании жестко защемленной круглой пластины при условии текучести максимального приведенного напряжения // Тр. НИИ мат. Воронеж, ин-т. 1975. вып. 21. с. 41 48.

42. Горельский В. А., Хорев И. Е., Югов Н. Т. Численное исследование трехмерной задачи динамического контакта твердых тел // В сб.: Мех. деф. твердого тела. Томск. 1987. с. 55-58.

43. Гопкинс X., Прагер В. Динамика пластических круглых пластин // Механика. 1955. Вып.З1. N 3. с. 112-122.

44. Гордеев Ю. Н. Рост трещины гидроразрыва в пороупругой среде. Int.J. Rock. Mech. and geomech. 30(3), 233-238,1993.

45. Григорян С. С. Автореферат канд. дисс. МГУ, 1957

46. Григорян С. С. Некоторые вопросы математической теории деформирования и разрушения твердых горных пород // ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 4. с. 643- 669.

47. Гулидов А. И., Шабалин И. И. Численное моделирование криволинейной трещины откола при соударении пластин // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы IX Всес. конф., Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1986.117-121.

48. Гулидов А. Н., Фомин В. М. Численное моделирование отскока осесимметричных стержней от твердой преграды // Жур. ПМТФ.1980. N 3. с. 126- 132.

49. Гулидов А. М., Фомин В. М. Численное моделирование отскока осесимметричных стержней от твердой преграды // Жур. ПМТФ.1980. N 3. с. 126-132.

50. Давыдов Ю. М. Расчет обтекания тел произвольной формы методом крупных частиц//ЖМФ и МФ. 1971. II. N4., с. 1056-1063.

51. Елисеев В. И. Взрывная штамповка метанием передающей среды// Кузнечно штамповочное производство. 1972. N 1. с. 20-21.

52. Ентов В. М., Салганик P. JI. О балочном приближении в теории трещин. Изв. АН СССР, Механика, 1965, № 5, с. 95-102

53. Зазовский А.Ф., Панко C.B. Локальная структура решения связанной задачи о гидравлической трещине в проницаемой среде. МТТ, 13(5), 1978. с. 153-158.

54. Запаров К. И., Рей И. В. Численное моделирование ударно-волнового деформирования металлических пластин // 4 Всес. совещ. по детонации : Докл. Т. 2.1988. С. 225 -229.

55. Захаров В. В. Никитин Л. В. Механика подъема магмы по трещинам.// Изв. АН СССР, Физика Земли, №7, 1985, с. 14-24

56. Звягин А. В., Павленко А. Л. О движении тонких тел в линейно упругой среде// В сб.Газовая и волновая динамика, Вып.2 ,1979

57. Звягин А. В. Дозвуковое движение твердого тела в упругой среде// Вестник МГУ. Матем. Механ. N3,1979

58. Звягин А. В, Павленко А. Л. Движение тел конечных размеров в упругой среде.//Матер. Всес. Конф.по мех.спл. сред, Ташкент. 1979

59. Звягин А. В. Дозвуковое движение жесткого тела в упругой среде со свободной поверхностью. // Конф. По распростр. упругих и упруго-пластических волн, Фрунзе, 1983

60. Звягин А. В. Дозвуковое движение жесткого тела в упругом полупространстве со свободной поверхностью// Взаимодействие волн в сплошных средах. Сборник статей. Изд. МГУ, 1984

61. Звягин А. В. К вопросу наклонного проникания тел в грунт. // Проблемы динамики взаимодействующих сред. Изд. АН Арм. ССР. 1984

62. Звягин А. В., Сагомонян А. Я. Косой удар по пластине из идеально пластического материала. Изв.АН СССР, МТТ, №1,1985

63. Звягин А. В., Богданов В. А. Метание пластины взрывом Вестник Моск. Университета, Мат.,мех., №2,1991

64. Звягин А. В., Богданов В. А. Численное исследование пространственного проникания жесткого тела в упругопластическую плиту. // Вестник Моск. университета, Мат., мех., № 4,1993

65. Звягин А. В. Влияние ориентации микротрещин на интенсивность напряжений в конце макротрещины // Материалы Межд. Симпозиума по проблемам деформируемых тел., Москва. МГУ. 2001

66. Звягин А. В. Движение вязкой жидкости в канале с упругими стенками. // Вестник МГУ. Матем. Механ. 2005. N 1.69.3вягин А. В. О расклинивании упругой среды. Газовая и волновая динамика. М.: 2005, с. 121-127.

67. Звягин А. В. Движение тонкого жесткого тела в упругой среде. // Вестник МГУ. Матем. Механ. 2005. N 5, 59-66

68. Звягин А. В., Богданов А. В. Взаимодействие трещины гидроразрыва с разломом.//Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научн. конф.,Секц.механика, Изд.Московского ун та, 2005, с. 95-96

69. Звягин А. В. Движение тела в упругой среде при наличии трения // Вестник МГУ. Матем. Механ. 2006. N 5.

70. Ильюшин А. А. Пластичность (Часть первая. Упругопластические деформации) М.-Л.: ГИТТЛ. 1948.

71. Ильюшин А. А. Об одной теории длительной прочности // Инж. журн. Механика твердого тела. 1967. N3. с. 21-35.

72. Исаченков Е. И. Штамповка резиной и жидкостью. М.: Машиностроение, 1967.

73. Качанов Л. М. О времени разрушения в условиях ползучести// Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1958. N 8. с. 26-31.

74. Керштейн И. М., Клюшников В. Д., Ломакин Е. В., Шестериков С. А. Основы экспериментальной механики разрушения М.: Изд. Моск. ун-та, 1989. 140 с.

75. Клистон Р. Дж. Разностный метод в плоских задачах динамической упругости //Механика. Сб. переводов 1968. N 1., с. 103 122.

76. Киселев А. Б., Юмашев М. В. Деформирование и разрушение при ударном нагружении. Модель повреждаемой термоупругопластической среды//ПМТФ. 1990. N5. с. 116-123.

77. Киселев А. Б. К расчету трехмерной зодачи высокоскоростного соударения упругопластического стержня с жесткой преградой // Вести. Моск. ун-та. Математика, механика. 1988. N2.0.30 36.

78. Киселев А. Б., Лукьянов А. А., Тьерсилен М. Численное моделирование распространения криволинейных трещин гидроразрыва // Вести. МГУ. Матем. Механ. 2004. N 1.

79. Киселев А. Б. Развитие метода Уилкинса для решения трехмерных задач соударения деформируемых твердых тел // Взаимодействие волн в деформируемых средах. М.: МГУ. 1984. с. 87 -100.

80. Киселев А. Б. К расчету трехмерных задач высокоскоростного соударения упругопластического стержня с жесткой преградой // Вести. Моск. ун-та. -Сер. Математика, механика. 1988. N2,0.30-36

81. Кит Г. С., Хай М. В. Метод потенциалов в трехмерных задачах термоупругости тел с трещинами. Киев: Наук, думка, 1989.-288 с.

82. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. М: ИЛ. 1955.

83. Кольский Г., Рейдер Д. Волны напряжения и разрушение / В кн.Разрушение. Т. 1. М.:Мир. 1973. С. 570 608.

84. Кондауров В. И., Кукуджанов В. Н. Численное решение неодномерных задач динамики упруго-пластических сред // В сб.Избранные проблемы прикладной механики. М.: ВИНИТИ. 1974.

85. Кондауров В. И., Петров И. Б., Холодов А. С. Численное моделирования процесса внедрения жесткого тела вращения в упруго-пластическую среду // Жур. ПМТФ. 1984. Н 4. С. 132 139.

86. Кондауров В. И., Петров И. Б. Расчет процессов динамического деформирования упругопластических тел с учетом континуального разрушения //ДАН СССР. 1985. Т. 285. N 6. с. 1344 1347.

87. Коротких Ю. Г., Рузанов А. И. Исследование динамического разрушения упруго-пластических тел при силовых и тепловых воздействиях// Прикладная механика. 1978. Т. 14. N 7. с. 3-9.

88. Костров Б. В. Осесимметрическая задача о распространении трещины нормального разрыва. ПММ, 1964, т. 28, вып. 4, с. 644-652.

89. Костров Б. В. Распространение трещин с переменной скоростью. ПММ, 1974, вып.З, с. 551-560.

90. Костров Б. В., Никитин Л. В., Флитман Л. М. Механика хрупкого разрушения // Изв. АН СССР, МП 1969, № 3, с. 112-125.

91. Костров Б. В. Автомодельные динамические задачи о вдавливании жесткого штампа в упругое полупространство. Изв. АН СССР, сер. мех. и машиностр., 1964, № 4

92. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела: Пер.с англ. М.: Мир, 1987.328 с.

93. Кузин П. А., Кузин 3. К., Шапиро Г. С. О действии локальной динамической нагрузки на свободно опертую жестко-идеально-пластическую пластину // MIT. 1969. N 2. с. 73-82.

94. Кукуджанов В. Н., Кондауров В. И. Численное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела // В сб.:Проблемы динамики упруго-пластических сред. М.: Мир. 1975. с. 39 84.

95. Кукуджанов В. Н. Численные методы решения неодномерных задач динамики упруго-пластических сред // В кн.: Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы 6 Всесоюзной конференции. Часть 1, Новосибирск. 1980. с. 105-120.

96. Кукуджанов В. Н. О численном решении задач распространения упруго-вязко-пластических волн //В кн.: Распространение упругих и упруго-пластических волн. Алма-Ата.: Наука. 1973.

97. Кусукаво К. К теории ударных волн, возникающих при движении жесткого клина со сверхзвуковой скоростью в упругой среде. Мех., сб. пер., 1952, №4

98. Ленский В. С. Акустический вариант теории откола // ПММ.1956. Т. 20. Вып. 4. С. 552 554.

99. Любин Л. Я., Повицкий A.C. Косой удар твердого тела о грунт. ПМТФ, 1966, № 1

100. Магомедов К. М., Холодов А. С. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений // ЖВМ и МФ. 1969. Т.9. N 2. С. 373 386.

101. Манько П. А., Луковин А. И., Рядков А. Н., Сидоров И. И. Металлообработка взрывом в судостроении. Л.: ЛКИ. 1978.

102. Маркузон И. А. О расклинивании хрупкого тела клином конечной длины. ПММ, 25, вып.2,1961

103. Меньшиков Г. Л., Одинцов В. А., Чудов Л. А. Внедрение цилиндрического ударника в конечную плиту //MIT. 1976. N 1. с. 125 130.

104. Милейко С. Г., Кондаков С.Ф., Ролофаст Е. Е. Об одном случае пробивания // Проблемы прочности. Киев. 1979. N 12. с. 69-71.

105. Митчел Дж., Сак С. Метод расчета "тензор" /У В кн.: Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир. 1967. с. 185-211.

106. Михлин С. Г. Прямые методы в математической физике. М.: Гос.изд. технико-теор. литературы. 1950. 428 с.

107. Михлин С. Г., Морозов Н. Ф., Паукшто М. В. Граничные интегральные уравнения и задачи теории упругости. Учебное пособие. Л., 1986. 88 с.

108. Мусхелишвили H. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука. 5-е изд. 1966. 707 с.

109. Никитин JI. В. Штамповка взрывом тонкостенных оболочек // В сб. Волны в неупругих средах. Кишинев. АН Молд. ССР. 1970. с. 181-187.

110. Никитин JT. В., Тонбергенов Дж. Б. Штамповка сферической оболочки // Изв АН Каз. ССР. Сер. Физ.-мат. 1972. N 3. с. 44 45.

111. Никитин JI. В. Закритическое поведение разупрочняющегося материала. ДАН, №6, с. 300-303,1995.

112. Никифоровский В. С., Шемякин Е. И. Динамическое разрушение твердых тел. Новосибирск: Наука, 1979. 271 с.

113. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М. Наука, 1974,640 с.

114. Новожилов В. В. О необходимости и достаточности критерия хрупкой прочности. ПММ. Т.ЗЗ, вып.2, стр.212-222,1969.

115. Одинцов В. А., Чудов JI. А. Расширение и разрушение оболочек под действием продуктов детонации // В сб. Проблемы динамики упругопластических сред. М.: Мир. 1975. с. 85 154.

116. Бивин Ю. К., Колесников В. А., Флитман JI. М. Определение механических свойств среды методом динамического внедрения. // Изв. РАНл MIT. 2001.№2. с. 87-96

117. Бивин Ю. К., Симонов И. В. Оценки глубин проникания жестких тел в грунтовые среды при сверхзвуковых скоростях входа. Исследование движения твердого тела в глинистой среде. /У Догах. АН СССР. МТТ. 1982., ; № 5.С.181-184

118. Павленко A. JL, Апикян Ж. Г. Сверхзвуковое обтекание жесткого клина линейно-упругой средой. Изв. АН Уз.ССР, сер. техн. наук, 1969, №2

119. Партон В.З., Морозов Е. М. Механика упруго-пластического * v разрушения. Наука, 1974,416 с.

120. Партон В.З. Механика разрушения. От теории к практике. М.: Наука, 1990. 240с.

121. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986. 328 с.

122. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М. 1963.

123. Работнов Ю. И. Механизм длительного разрушения // Вопросы прочности материалов и конструкций. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

124. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. -М.: Наука, 1966. 752 с.

125. Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения. М.: Наука, 1987., 80 с.

126. Разрушение. Т. 2. Математические основы теории разрушения // Под ред. А. Ю. Ишлинского. М.: Мир. 1975.

127. Дж. С. Райнхарт, Дж. Пирсон. Поведение металлов при импульсивных нагрузках. М.: ИЛ. 1958.

128. Дж. С. Райнхарт, Дж. Пирсон. Взрывная обработка металлов. М.: Мир. 1966.

129. Райнхарт Дж. С., Пирсон Дж. Поведение металлов при импульсивных нагрузках. -М.: Изд.иностр. лит., 1958.

130. Райе Дж. Математические методы в механике разрушения.// Разрушение (под ред.Г. Либовица).Т.2. с. 204-335.

131. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.

132. Рахматулин X. А., Сагомонян А. Я., Алексеев Н. А. Вопросы динамики грунтов. М.: Изд. МГУ, 1965

133. Рахматулин X. А., Саатов Я. У., Сабодаш II. Ф., Филиппов Н. Г. Двумерные задачи по неустановившемуся движению сжимаемых сред. Изд. Фан. Узб. ССР. 1969.

134. Рейни Т. Д. Глубина проникания снарядов при ударе со сверхзвуковыми скоростями. Ракетная техника и космонавтика. 1965, № 1

135. Рехт Р.Ф. Разрушающий термопластический сдвиг //Прикладная механика. 1964. N 2. с. 34-39.

136. Ромалис Н. Б., Тамуж В. П. Разрушение структурно неоднородных тел. -Рига: Зинатне, 1989. 224 с.

137. Романов Г. С., Урбан В. В. Численное моделирование взрывного плазменного генератора в газодинамическом приближении // Инж. физ. ж. 1979. 37. N5. с. 859- 867.

138. Романов Г. С., Урбан В. В. Теоретическое решение взрывного плазменного генератора // Динамика сплошной среды. Нестационарные проблемы гидродинамики. Новосибирск. Вып. 48., с. 121 -129.

139. Романов Г. С., Урбан В. В. Численное моделирование взрывного плазменного генератора с учетом переноса энергии излучения и испарения стенок // Инж. физ. ж. 1979.37. N 5.с. 1012 1020.

140. Рузанов А. И. Моделирование разрушения твердого тела при динамических нагрузках как процесса образования и роста дискообразных микротрещин // в сб.: Прикладные проблемы прочности и пластичности, вып. 18. Горький. 1981. с. 23-31.

141. Сагомонян А. Я. Проникание (Проникание твердых тел в сжимаемые сплошные среды). М.: Изд. МГУ, 1974

142. Сагомонян А. Я. Динамика пробивания преград. М.: МГУ. 1988.

143. Сагомонян А. Я. К задаче пробивания преграды цилиндрическим бойком // Вести. Моск. ун-та. Сер. Математика, механика. 1977. N 5. с.111-118.

144. Сиратори М., Миёси Т., Мацусита X. Вычислительная механика разрушения: Пер.с японск. -М: Мир, 1986. 334 с.

145. Симонов И. В. Об устойчивости движения удлиненного тела вращения в упругопластической среде при отрыве потока // ПММ. 2000.Т.64. Вып.2. с. 313-322

146. Симонов И. В. О классификации траекторий плоскопараллельного движения тела вращения в прочной среде при отрыве потока // Докл. РАН. 2002.Т.386.№2. с. 198-302

147. Симонов И. В. Трансзвуковое обтекание тонкого твердого тела упругой средой// ПММ.1984.Т.48. Вып.1. с.114-122

148. Слепян Л. И. Механика трещин. М.: 1990,296 с.

149. Слепян JI. И., Троянкина Л. В. Теория трещин. Л.: «Судостроение», 1976,44 с.

150. Слепян Л. И. О волне хрупкого разрушения. Инж. Ж. МТТ, 1968, № 4, с. 190-192.

151. Слепян Л. И. Приближенная модель динамики трещин- Динамика сплошной среды, Новосибирск. Институт гидродинамики СО АН СССР, 1974, вып. 19-20, с 101-110.

152. Слепян Л. И. Динамика хрупкого разрушения в средах со структурой.// Докл.АН СССР.МТТ. 1984. № 6. С.121 -130.

153. Степанов Г. В., Коваленко А. В. Неупругий прогиб круглой пластины локализованным импульсом давления // Пробл. прочности., 1988. N 4. С. 2931.

154. Степанов В. Г., Синилин П. М., Навагин Ю. С., Панкратов В. П. Гидровзрывная штамповка элементов судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1966.

155. Уайэтт О., Дью-Хьюз Д. Металлы, керамики, полимеры. М.: Атомиздат, 1979, 580 с.

156. Ударные трубы // Сб. статей под ред. X. А. Рахматулина и О.О. Семенова. Москва. 1962.

157. Уилкинс М. Вычислительные методы в гидродинамике. 1967, с. 212-263. '

158. Уилкинс М. Л. Расчет упруго-пластических течений // В кн.: Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир. 1967.С. 212 -263.

159. Физика взрыва / Под ред. К.П. Станюковича. М., 1975.

160. Филиппов И. Г. О проникании тупого клина и конуса в слой упругой среды. Матер.Всес.симп. по распространению упруго-пластических волн в сплошных средах. Баку, 1964, Изд.Наука, Азерб.ССР, 1966

161. Флитман Л. М. Дозвуковое осесимметричное обтекание тонких заостренных тел вращения упругопластическим потоком // Изв. АН СССР. МТТ. 1991.№4. с. 155-164

162. Флитман Л. М. Безотрывное обтекание затупленного тела высокоскоростным упругопластическим потоком // ПММ.1990.Т.54. с. 642651

163. Хорев Е. И., Горельский В. А., Югов Н. Г. Численное исследование физических особенностей трехмерной задачи скоростного удара деформируемого тела о препятствие // Докл. АН СССР. 1985. N 3

164. Христианович С. А., Желтов Ю. П. О гидравлическом разрыве нефтеносного пласта. // Изв. АН СССР. ОТН, 1955, № 5, с. 3-41

165. Чебан В.Г., Навал И.К., Сабодаш П.Ф., Чередниченко P.A. Численные методы решения задач динамической теории упругости. Кишинев.: Штиинца, 1976.

166. Черепанов Г. П. Механика разрушения композиционных материалов. -М.: Наука,1983.296 с.

167. Черепанов Г. П. Механика разрушения горных пород в процессе бурения. М.: Недра, 1987. 308 с.

168. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1984 Черепанов Г. П., Ершов JI. В. Механика разрушения. М.: Машиностроение, 1977

169. Шемякин Е. И. Задача о "хрупком шарнире". МТТ, 2, 1996.

170. Шемякин Е. И. О хрупком разрушении твердых тел (плоская деформация), МТТ, 2, 1997.

171. Якупов Р. Г. Пластические деформации круглой пластины при нагружении взрывной волной // МТТ. 1980. N 5. С. 93-99.

172. Янгдаль К. Влияние формы импульса на окончательные пласические деформации круглой пластины // Мех. Период, сб. перев.ин. статей. 1972. N 2. с. 137- 150.

173. J. I. Adachi and Е. Detournay (2002). Self-similar solution of a plane-strain fracture driven by a power-law fluid. Department of Civil Engineering, University of Minnesota, Minneapolis, Minnesota 55455, U.S.A.

174. Atkinson C., Eshelby J.D. The flow of energy into the tip of moving crack.// Int.J. Fracture Mechanics, 1968.V. 4.N. LP. 3-18.

175. Belytschko T.,Liw J.I.// A Three-dimensional impact-penetration algorithm with erosion// Comput. and Struct.l987.V.25.Nl.p.95-104.

176. Belytchko J, Kennedy J.M., Lin J.I.// Three-dimensional penetration computations// Struct.Mech.React.Technol.: Trans.9-th Int.Conf.,Lausanne, 17-21 aug.,1987.V.B.-Rotterdam, Boston, 1987.p.83-88.

177. Detourney E. Propagation regimes of fluid-driven fractures in impermeable rocks. //Int. J. of Geomechanics 4(1), 2004, p. 35-45

178. Detourney E., A.D. Cheng and J.McLennan. A poroelastic PKN hydraulic fracture model based on an explicit moving mesh algorithm. // ASME J. Energy Res. Tech. 1990, 112, p. 224-230

179. Detournay E., Cheny A. Plane strain analysis of a stationary hydraulic fracture in a poroelastic medium. Int.J. ofol. and Struct. 37,1645-1662,1991.

180. Detourney E. and D. Garagash. The near tip region of a fluid-driven D. fracture in permeable elastic solid. //J. Fluid Mech., 2003, 494, p. 1-32

181. Garagash. and Detourney E. The tip region of a fluid-driven fracture in an elastic medium. // ASME J. Appl. Mech. 67, 2000, p. 183-192

182. Echelby J.D. The force on an elastic singularity. // Philos. Trans. Roi. Soc., 1951.V.A244.P. 87-111.

183. Euler L. Neue Grindsatze der Artillerie. Berlin, 1922

184. Garagash D., Ph.D.Thesis. Near Tip Processes of Fluid-Driven Fracture. Universit ofMinesota,1998, Fanulty of the gadute school.

185. Garagash D., Detourney E. and Adachi J. Near tip behavior of a fluid-driven fracture propagating in permeable rock/ J. Mehch. Phys. Solids, 2004

186. Geertsma J., Deklerk F. A rapid method of predicting width and extent of hydraulic fracture.//JPT 246,1571-1581,1969.

187. Griffith A. A. The phenomena of rupture and flow in solids. // Philos.Trans. of Roy.Soc.of London.-l 920.-Ser.A, V.221 .-P. 163-198.

188. Growley B.H., Clenn H.D. Numerical imulation of a High-Energy // Air Shock Experiment.Int.Proc.7-th, Int.Shock Tube.Symp.,Ed.I.I.Glass.Toronto, 1970.p.314-342.

189. Hutchinson J.W. Singular behaviour at the end of tensile crack in a hardening material.//J.Mech. Phys. Solids, 16,13-31,1968.

190. Irvin G. Analysis of stresses and straines near the and of a crack.// J.Appl.Mech.-1957.-V.24,№ 3.-P. 361-364.

191. Jones N. Impulsive loading of simply supported circular rigid plastic plate //J.Appl.Mech. 1968.V.35.p.59-65

192. Johnson G.R. High velocity impact calculation in three dimension // Trans. ASME,J. Appl.Mech., 1977.N1.

193. Johnson G.R., Stryk R.A. Eroding interface and improved tetrahedral element algritme for high-velocity impact computations in three dimansions // Int.J.Impact Eng., 1987, V.5,Nl,p.441-421

194. Kiselev A.B., Lykyanov A.A. Mathematical modelling of irreversible deforming, micro- and macrofracture of solids and structures //Int. J. of Forming Processes. 2002. Vol. 5.No. 2-3-4.

195. Khristianovich S.A., Zeltov Y.P. Formation of vertical fractures by means of highly viscous liquid. // Proc., Forth World Pet. Congress, Rome, 1995 V.2, 579586

196. Lenoach B. The crack tip solution for hydraulic fracturing in a permeable solid. J.Mech.Phys. of solids 43,1025-1043.

197. Marti J., Kalsi G.S., Last H.C. Three-dimensional calculation of misile impact// Struct.Impact and Crashworth.Proc.Int.Conf.,London, 16-20 July,1984.V.2 London,Newyork, 1984,p.310-319.

198. Murff I.D., Coyle H.M. Preduction method for projective penetration //J.Soil Mech.and Founat,Div.Proc.Amer.Soc.Civ.Eng.l973.V.99.Nl 1.

199. Nikitin L.V. Application of the Griffith energy approach to non-classical problems of fracture. Advances in Fracture Research, ICF9, Sydney, Vol.4,1997.

200. Orowan E.O. Fundamentals of brittle behaviour in metals // Simp.Fatique and Fracture of Metals.-N.Y.: 1952.-P. 139-167.

201. Papanastasiou P. The influence of plasticity in hydraulic fracturing. Intern. Journal of Fracture 84,61-79,1997.

202. Papanastasiou P., Thercelin C.H. Influence of in elastic rock behaviour in hydraulic fracturing. International Journ. of Rock Mechanics and Mining Sciences 30(7) 1241-1247, 1993.

203. Parisean W.G.,Fairhast C. The force penetration characteristic for wedge penetration in to rock. // Int. J. Rock.Mech. and Mining Sci., 1967,4, N 2

204. Parisean W.G.,Fairhast C. The forclpenetraion in to rock //Intern.J.Rock.Mech. and Mining Sci.l967.V.4.N2

205. Perkins T.K., Kern L.R. Width of Hydraulic fracture// SPEJ, 22, pp.937-949, 1961.

206. Perzyna P.P. Dynamic load carrying capacity of a circular plate// Arch.mech.Stosowe. 1958.V.10.N5.p.635-647.

207. Perrone N. Impulively boaded strain-rate-sensitive plates// J. Appl.Mech. 1967. V.3 4.p.3 80-3 84.

208. Rice J., Rosengren. Plane strain deformation near crack tip in power law hardening material// J.Mech.Phys.Solids, 16,1-12,1968.

209. Roberto Carbonell, Jean Desroches, Emmanuel Detournay. A comparison between a semi-analytical and a numerical solution of a two-dimensional hydraulic fracture. Int. J. Solids and Structures

210. Robertson H.P. Terminal ballistics, National Research, Courneil, Washington, D.C., 1941

211. Spence D.A. & Sharp P. (1985). Self-Similar solution for elastohydrodynamic cavity flow. Proc. Roy. Soc. London, Ser. A A400, pp. 289-313.

212. L. Roy Xu, Yonggang Y. Huang, Ares J. Rosakis Dynamics crack deflection' and penetration at interfaces in homogeneous materials: experimental studies and model predictions // Journal of the mechanics and Physics of Solids. N51,2003. P. 461-486

213. Rudnicki J.W., Rice J. Condition for the localisation of deformation in pressure-sensitive materials.// J.MecLPhys.Solids. 23,371-394,1975.

214. Stock T.A.C., Thompson R.R.L. Penetration of Alum, alloys by projectiles// Met.Trans. 1970. V. 1 .N1 .p.219-224.

215. Westergaard H.M. Bearing pressures and cracks// J. Appl. Mech. 1939. V.6. N2. P.A49-A53.

216. Wierzbicki I., Floreuce A.Z. A theoretical and experimental invetigation of impulsively loaded clamped cilcular viscoplastic plates// Int.J.Solids and Struct. 1970. V.6.p.553-568.

217. Wingrove A.L. The Influence of projectile Geometry on Aaiabatic Shear and Target Failure// Met.Trans, 1973, V.4.N8.p. 1829-1833.

218. Zvyagin A.V. About wedging of an elastic half-space near a free surface // V International Congress on mathematical modeling. Dubna. 2002

219. Zvyagin A.V., Bogdanov A.V. Influence of cracks on the stress intensity coefficients. // V International Congress on mathematical modeling. Dubna. 2002