Нелинейные случайные процессы и анализ систем взаимодействующих частиц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Ярыкин, Павел Николаевич

• Ярыкин, Павел Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ярыкин, Павел Николаевич

Введение

1 Существование процесса и его основные свойства

§ 1.1 Существование.

§ 1.2 Свойства решения СДУ.

2 Связь между нелинейным и многочастичным процессами

§2.1 Аппроксимация многочастичного процесса нелинейным.

§ 2.2 Следствие об устойчивости стационарного распределения

3 Асимптотическое поведение нелинейного процесса

§3.1 Стационарные распределения.

§3.2 Сходимость процесса к стационарному распределению. Метод

Фурье.

§ 3.3 Функционал свободной энергии.

§3.4 Предельное поведение решения нелинейного СДУ при а ^ 1/

§ 3.5 Предельное поведение решения нелинейного СДУ при больших а

А Добавления

§ А. 1 Замечания к условию 1.

§ А.2 Доказательство леммы 5.

§ А.3 Оценка на ±оо некоторой функции

§ А.4 Обоснование уравнения (3.38).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные случайные процессы и анализ систем взаимодействующих частиц»

Настоящая работа посвящена исследованию решения нелинейного стохастического дифференциального уравнения (СДУ) типа МакКпна-Власова без внешнего поля. Нелинейные процессы такого вида получаются как предел среднего поля для однородной системы попарно взаимодействующих броуновских частиц, то есть как предел (в среднем квадратичном при ограниченном времени) динамики выделенной частицы при росте числа частиц к бесконечности.

В данной работе осуществлен многосторонний анализ данного нелинейного одномерного процесса в случае однородного по времени траисляцпопно-инвариантного взаимодействия, состоящего из двух компонент:

• линейного притяжения,

• ограниченного гладкого возмущения. В работе получены следующие результаты:

1. существование и единственность сильного решения;

2. доказан предел среднего поля для класса ограниченных возмущений;

3. доказано существование стационарных решений нелинейного СДУ и получены результаты об их количестве;

4. исследована сходимость нестационарного нелинейного процесса к стационарным распределениям.

1. Математическая теория (классических) стохастических дифференциальных уравнении (СДУ) началась в 40-х годах XX века с работы Ито [34], в которой было введено понятие стохастического дифференциала и его свойства. С тех пор теория классических СДУ была значительно развита, а в настоящее время их решения изучены для широкого круга условий. Обзор современного развития теории классических СДУ имеется в работе [1].

В 50-60-е годы зародилась теория нелинейных СДУ, в которых уравнение не является линейным относительно случайного процесса, а именно + ^а(й) + I Ъ{Хь, у)/^ Л, (1) где множитель а(^) + ^ г/)задает снос процесса, причем мера является распределением X/, а(х) - внешняя составляющая сноса процесса и Ь(х, у) — функция взаимодействия.

Заметим, что это уравнение является обобщением однородного но времени классического СДУ.

Это уравнение возникло у Каца ([35]) из уравнения на многочастичный процесс

1X1= Л^ + (а(Х1К) + ^ £ЧХУ, Л':' ' ') Л (2) при описании эволюции частиц разреженного газа (уравнение Больцмана). Также Кац написал уравнение (1) в качестве модели уравнения Власова для плазмы. При этом функции а(х) и Ь(х,у) имели физический смысл градиента внешнего ноля (внешнего по отношению к системе частиц) и силы взаимодействия частиц.

Однако, этот тип уравнений оказался существенно сложнее для изучения и его решение было исследовано гораздо слабее. В значительной мере, это связано с тем, что решение нелинейного СДУ не является марковским процессом. По он близок к марковскому в том смысле, что марковской является пара (Xt,l.l^') из процесса и его распределения.

Обратим внимание, что уравнение (2) задает многочастичный процесс со взаимодействием типа среднего поля, когда влияние каждой частицы на поведение другой мало. Процессы со взаимодействием среднего ноля образуют широкий класс и представляют научный интерес. В настоящее время, они исследуются многими авторами при различных предположениях. Для примера можно указать работы [8, 30, 39, 40].

2. В настоящей работе рассматривается случайный процесс, являющийся решением нелинейного СДУ (1), также именуемый нелинейным процессом.

Мы исследуем следующие основные проблемы.

Во-первых, это вопрос существования исследуемого объекта, то есть решения СДУ (1), а также вопрос единственности решения.

Во-вторых, вопрос соответствия решения нелинейного СДУ и его физической модели. То есть верно ли, что процесс ^ действительно является пределом среднего поля эволюции выделенной частицы из системы попарно взаимодействующих броуновских частиц.

В-третьих, вопрос существования стационарных решений уравнения (1), а также изучение динамики распределения случайной величины Xt по отношению к найденным инвариантным мерам.

Под решением нелинейного СДУ будем понимать случайный процесс такой, что П1)и подстановке его распределения в уравнение он является решением получившегося классического СДУ.

Кап, ввел понятие «распространение хаоса» для системы частиц со взаимодействием среднего поля, которое означает, что фиксированный набор частиц асимптотически независим при устремлении общего числа частиц к бесконечности.

В дальнейшем, также стало активно использоваться близкое по смыслу (но отличное от первого) понятие предела среднего поля, означающее, что слабый предел выборочной меры многочастичного процесса (2) при фиксированном времени стремится к распределению нелинейного процесса (1), то есть в Г{Ш'1) для любого г > 0.

В основной части диссертации предел среднего поля понимается в более; сильном смысле. А именно, что распределение выделенной частицы из системы из N частиц в фиксированный момент времени сходится в среднем квад-ратическом к распределению нелинейного процесса в тот же момент времени. При этом полагается, что начальные распределения и впнеровские процессы нелинейного СДУ и выделенной частицы совпадают.

Поскольку естественными предположениями о силе взаимодействия являются предположения о ее пространственной трансляционной инвариантности, симметричности и однородности во времени, то функцию взаимодействия Ь(х, у) удобно задавать с помощью ядра взаимодействия /3(х) по фор1 муле:

Ь{х, у) = -(3(х- у) = -Ь{у, х).

При этом в силу симметричности взаимодействия его ядро обязано быть нечетным.

Вторая часть третьей проблемы заключается н вопросе об устойчивости стационарных распределений. При этом устойчивость распределения понимается в смысле, что существует такая окрестность стационарного распределения, что процесс, начинающийся с любого распределения из этой окрестности будет слабо сходиться к данному инвариантному распределению.

Начало в изучении нелинейных СДУ положила работа МакКина [38]. В пей для процессов (1) и (2) в условиях гладкости п ограниченности функций а(-) и &(•, •) был доказан предел среднего поля.

Шнитман ^икшап) в работе [42] сделал хороший исторический обзор темы и получил предел среднего поля для глобально липшицевого ограниченного &(•,■) вероятностными методами. Кроме того, в работе [42] предел среднего поля был получен еще для некоторых специфических случаев.

Тамура, в работах [43], [44] исследовал процесс (1), у которого функция взаимодействия [3 быстро убывает к нулю на бесконечности и имеется сильное полиномиальное «центростремительное» внешнее поле, а именно, а(х) ~ ~ сх\х\а~1 при х —> со, где а ^ 1 . В его работе доказаны существование и единственность решения нелинейного стохастического уравнения, существование, единственность стационарного решения и сходимость по вариации любого решения к нему. Там же показано и распространенно хаоса. Основную роль в его исследовании играет функционал свободной энергии. Аналогичная конструкция будет рассмотрена в §3.3, поэтому ее подробное описание здесь опустим.

Бепашур, Руанет, Талан, Валуа в работах [22] и [23] получили результаты, аналогичные результатам Тамуры, по для нелинейного уравнения без внешнего поля, в предположении полиномиального роста функции /З(-), ее локальной липшпцевостп, выпуклости па М+ и некоторых других технических условий.

В работе [45] Веретенников рассматривает вопросы существования и единственности, предельного поведения нелинейного процесса при больших временах и распространения хаоса для симметричного взаимодействия, растущего при увеличении расстояния не более чем линейно (равномерно по пространству), при достаточно сильном внешнем поле, притягивающем процесс в нуль. Ключевой в работе является равномерная но времени оценка среднеквадратического расстояния между X],N и Xt с согласованными начальным распределением и броуновским движением. Далее, эргодичность многочастичного процесса позволяет получить предельные свойства Xt. Подобные рассуждения будут приведены в данной работе в главе 2. Однако, сразу заметим, что без внешнего поля рассуждения из [45] не проходят.

Также схожую задачу исследовали Карило (Carrillo), МакКап (McCaim), Вилани (Villani) в работе [25]. Независимо от предыдущих авторов они исследовали решение уравнения = V{pV(U'(p) + V + Wxp)) (3) относительно вероятностной плотности р в R¿, где U: М+ —> R ость плотность внутренней энергии, V: Ж'1 —> R — внешний потенциал и W: Ж'1 —> —> R — потенциальная энергия взаимодействия. В частности, в качество U(s) можно рассматривать «внутреннюю энергию» броуновского движения, равную s 1п s. Тогда уравнение (3) будет описывать динамику плотности решения уравнения (1) с а(х) = W(x) и ядром взаимодействия (3(х) = V\V{x).

В их работе исследуется предельное по t поведение решения уравнения (3). В частности, доказывается существование и единственность стационарного решения и сходимость любого решения к стационарному решению. Однако, на функции V и W накладываются довольно сильные условия: V — строго выпуклая функция, V и W — строго полиномиального роста, а также другие технические условия. Исследования [25] опираются на функционал свободной энергии и логарифмические неравенства Соболева.

Случайные процессы, порожденные нелинейным СДУ, изучаются также в работах [2G, 27, 33, 37] (теми же методами, что и [22]) и [24, 28, 31, 32).

Также продольный процесс для системы взаимодействующих частиц рассматривался Дороговцевым и Котеленцем в [30]. По эти авторы рассматривали другой предельный переход от системы взаимодействующих частиц. Таким образом, полученные ими результаты другие, несравнимые, в частности, с результатами данной работы.

3. В диссертации исследуются проблемы, названные выше (стр. 5) в случае, когда а(х) = 0 и ядро взаимодействия /3 не является финитной, быстро убывающей на бесконечности или выпуклой на R+ функцией, то есть ядро взаимодействия (5 не укладывается в известные работы других авторов.

Более того, отсутствие внешнего поля и трансляционная инвариантность системы приводят к тому, что каждая инвариантная мера порождает целый класс инвариантных мор, полученных из исходной сдвигом. Поэтому в основной части диссертации устойчивость стационарного распределения мы будем понимать в смысле его устойчивости на суженном пространстве распределений, содержащем только распределения с заданным первым моментом.

В диссертации рассматривается ядро взаимодействия /5, состоящее из двух компонент: линейно возрастающей силы притяжения и ограниченного липшпцевого возмущения, то есть

В третьей главе на ядро взаимодействия ¡3 накладывается более сильное огра

При этих условиях па все поставленные проблемы даются полные ответы.

4. Диссертация построена следующим образом:

В главе 1 доказано существование сильного решения и его единственность при минимальных ограничениях па начальное распределение. Также получены некоторые свойства найденного решения:

• неизменность первого момента решения;

• пространственная гладкость распределения решения;

• непрерывность решения по времени в слабой топологии;

• убывание плотности к нулю при х —оо.

Глава 2 приводит обоснованно физического смысла данного исследования. В этой главе показано, что в данном случае при условии, что константа Липшица а для возмущения взаимодействия (3\{х) по превосходит 1/4, нелинейное СДУ описывает случайный процесс, являющийся пределом среднего поля (£ — фиксировано, N—>00) для выделенной частицы из системы взаимодействующих па расстоянии броуновских частиц

3(х) = х + 01(х). ничение:

3(х) = х + авш^). n

Более того, в этой главе для случайного процесса, близкого к X¿'A получена сходимость в среднем квадратичном к нелинейному процессу Xt равномерно по времени. Последняя оценка позволила получить предельные свойства Xt при а ^ А именно, существование и единственность стационарного распределения и слабую сходимость решения с произвольным начальным Хц к стационарному. Однако, данный метод принципиально не позволяет следить за скоростью сходимости.

Глава 3 содержит основные результаты об асимптотическом поведении нелинейного процесса. В пей предложено еще два подхода к изучению асимптотических свойств решении нелинейного СДУ. Оба подхода используют результаты о стационарных распределениях процесса, полученные в параграфе §3.1. В нем находится явно заданное двухпараметрпческое семейство распределений, которое содержит в себе все стационарные распределения. Более того, находятся (правда уже в неявном виде) значения параметров, задающие стацпонарное(-ые) распределенпе(-ия) для всех а 6 К. Там же доказывается единственность стационарного решения при а < ао (где q-q > \) и существование нескольких стационарных решений при больших а.

Параграф §3.2 представляет интерес преимущественно с точки зрения возможной техники работы с нелинейными СДУ. Он охватывает небольшую часть значений параметра а. А именно, в ней рассматриваются только малые по модулю ск. Основой этой техники является использование преобразования Фурье, которое преобразует нелинейное уравнение в частных производных на плотность решения в нелокальное уравнение в частных производных. Последнее позволяет оцепить вклад в эволюцию процесса и получить экспоненциальную сходимость Фурье-образа к Фурье-образу стационарного решения в пространствах Lp при р > 1. В частности, это дает экспоненциальную скорость сходимости решения к стационарному решению в V(№).

Наконец, в параграфах § 3.3—§ 3.5 случай синусоидального возмущения взаимодействия (/3(х) = х 4- asina;) рассматривается в наиболее широком диапазоне значений а. Эта часть работы покрывает случай а ^ 1/2, при которых доказана слабая сходимость решения СДУ к существующему и единственному стационарному решению. Кроме того, в этой главе рассматривается случай больших а (а > »2 > 0). В последнем случае показана неустойчивость стационарного решения с конечным (0(1) при а —> оо) параметром, а также показано, что существует ровно два четных стационарных решения, соответствующих значениям параметра 2а + 0(1) и —1а + 0(1), которые имеют ненулевые окрестности сходимости к ним. Скорость найденной слабой сходимости не получена.

Цитируемые утверждения носят название «утверждение». Собственные результаты названы «теоремами» (вспомогательные утверждения — «леммами»). Константы с, ci,. носят локальный характер (в разных частях ¡заботы так обозначенные константы могут принимать разные; значения).

В ¡заботе используется сквозная нумерация теорем, лемм и утверждении, ni)ii этом теоремы, леммы и утверждения нумеруются независимо друг от друга. Формулы нумеруются в каждой главе отдельно, при этом используется двойная система нумерации, например, формула (2.4) следует читать как «формула 4 главы 2».

5. Автор выступал на XXV Конференции молодых ученых в 2003 г., па научно-исследовательских семинарах кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ «Теория вероятностей и статистическая физика» под руководством Оселедца В. И. в 2002 г. и 2004 г., «Вероятностные методы в биологии» под руководством Малышева В. А., Ломоносовских чтениях в 2005 году, па Большом кафедральном семинаре в 2005 г., а также на научно-исследовательском семинаре Добрушинской математической лаборатории Г1ППИ РАИ под руководством Мпнлоса P.A. в 2005 г.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 99-01-01140 и 02-01-00945).

Непосредственно к теме диссертации относятся ¡заботы автора [15-19].

Работа выполнена иод руководством к.ф.-м.н., доцента Маииты А. Д., которому автор выражает искреннюю благодарность.