Спектральные и асимптотические свойства некоторых вероятностных моделей математической физики и оптимизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат наук Яроцкий, Дмитрий Александрович

• Яроцкий, Дмитрий Александрович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Яроцкий, Дмитрий Александрович

Оглавление

Введение

1. Актуальность темы исследования и цели работы

2. Теоретическая и практическая значимость

3. Методы исследования

4. Научная новизна

5. Апробация результатов

6. Публикации

7. Структура диссертации

8. Благодарности

Часть I. Основные состояния и спектральные свойства слабовза-

имодействующих динамик на решетках

Глава 1. Введение

Глава 2. Существование основного состояния и спектральной щели - "операторный" подход

2.1. Введение и результаты

2.2. Доказательство теоремы 2.1

2.3. Доказательство теоремы 2.2

2.4. Доказательство теоремы 2.3

Глава 3. Единственность основного состояния

3.1. Введение

3.2. Возмущения, сохраняющие основное состояние

3.3. Доказательство теоремы 3.1 в общем случае

3.4. Основные состояния открытых квантовых систем

Глава 4. Существование основного состояния и спектральной щели — "траекторный" подход

4.1. Введение и результаты

4.2. Доказательство теоремы 4.1

4.3. Доказательство теоремы 4.2

Глава 5. Малые возмущения модели AKLT

5.1. Введение

5.2. Доказательство теоремы 5.1

Глава 6. Переход между "соизмеримой" и "несоизмеримой" фазами в модели AKLT

6.1. Введение

6.2. Представление динамики случайными блужданиями и аппроксимация минимальными траекториями

6.3. Строгое доказательство для модифицированной модели AKLT

Глава 7. Теория рассеяния многочастичных возбуждений

7.1. Введение

7.2. Спектральные щели

7.3. Одночастичные подпространства

7.4. Теория рассеяния

7.5. Высокотемпературная стохастическая ХУ-модель

Часть II. Оптимизация с помощью "ожидаемого улучшения" и

интерполяция экспоненциальными функциями

Глава 8. Введение

Глава 9. Пример несходимости к глобальному оптимуму

9.1. Введение

9.2. Новые результаты данного раздела

9.3. Численный пример

9.4. Доказательство теоремы 9.1

9.5. Доказательство теоремы 9.2

9.6. Доказательство теоремы 9.3

Глава 10. Интерполяция экспоненциальными функциями и сходимость оптимизации для одномерного гауссовского ядра

10.1. Введение

10.2. Явные формулы для ошибки интерполяции

10.3. Сходимость интерполяции для аналитических функций

10.4. Оптимизация методом ожидаемого улучшения для аналитических функций

Часть III. Предельные теоремы для локально-неоднородного

случайного блуждания

Глава 11. Введение

Глава 12. Принцип инвариантности для неоднородного случайного блуждания на одномерной решетке

12.1. Формулировка основного результата

12.2. Доказательство теоремы 12.1

12.3. Дуальная задача

12.4. Пример

Глава 13. Центральная предельная теорема для многомерного неоднородного блуждания

13.1. Формулировка результата

13.2. Доказательство теоремы 13.1

Заключение

Основные состояния квантовых решетчатых систем

Оптимизация на основе случайных процессов

Список литературы

Список иллюстраций

Список таблиц

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральные и асимптотические свойства некоторых вероятностных моделей математической физики и оптимизации»

Введение

1. Актуальность темы исследования и цели работы

Настоящая диссертация посвящена применению аналитических методов к решению некоторых задач теории вероятностей. Диссертация состоит из трех частей, относящихся к разным предметным областям, но объединенных общими методами исследований.

Часть I посвящена спектральным и асимптотическим свойствам основных и возбужденных состояний квантовых и стохастических решетчатых динамик.

Часть II посвящена асимптотическим свойствам алгоритмов математической оптимизации, основанных на стохастических моделях, а также некоторым тесно связанным с ними вопросами теории интерполяции.

Часть III посвящена асимптотическим свойствам локально-неоднородных случайных блужданий на решетке.

Во всех трех разделах центральным объектом изучения является некоторый случайный процесс (или, как в части I, состояние на некоммутативной алгебре локальных наблюдаемых), основные результаты имеют характер утверждений о некоторых связанных с процессом асимптотических свойствах, а ключевую роль в доказательствах играет спектральный анализ.

Тематически диссертация охватывает широкий круг современных задач, возникающих в квантовой статистической механике (часть I), математической оптимизации и теории аппроксимации (часть II) и в собственно теории случайных процессов (часть III). Охарактеризуем последовательно каждую из этих тематик.

1.1. Часть I

Квантовые решетчатые системы являются важным классом физических моделей, и строгие результаты о равновесных состояниях таких систем представляет значительный интерес как с физической, так и с математической точки зрения [27]. В настоящей диссертации мы рассматриваем круг вопросов, связанных с основными и низкоэнергетическими состояниями систем, которые можно, прямым или косвенным образом, представить в виде возмущений системы невзаимодействующих спинов, имеющей невырожденное основное состояние и спектральную щель.

Единственность основных состояний. Строгая аналитическая теория слабых квантовых возмущений основных состояний невзаимодействующих систем активно развивалась в последние годы многими авторами: К. Албанезе, Н. Ан-гелеску, Н. Даттой, Е. Жижиной, В. Загребновым, Т. Кеннеди, Дж. Кирквудом, В. Малышевым, Т. Мацуи, Р. Минлосом, Ю. Суховым, X. Тасаки, Л. Томасом и другими. Начальной точкой исследований в этой теме является конструкция основного состояния на всей решетке как термодинамического предела состояний в конечных объемах. Мацуи [95] поставил вопрос о единственности основного состояния на полной решетке, и, пользуясь техникой функционала удельной энергии, установил единственность такого состояния в классе трансляционно-инвариантных состояний и в предположении трансляционной инвариантности модели. Поскольку трансляционная инвариантность системы играет принципиальную роль при определении функционала удельной энергии, результат Мацуи оставил открытыми следующие естественные вопросы:

• Имеет ли место единственность в случае нетрансляционно-инвариантных моделей или в классе всех, не обязательно трансляционно-инвариантных состояний?

• Можно ли дать оценку зависимости основного состояния внутри конечно-

го объема от граничных условий, определив основные состояния с граничными условиями настолько общим образом, чтобы любые их ограничения на подмножества решетки также являлись основными состояниями с некоторыми граничными условиями?

Мы даем ответы на эти вопросы в главе 3.

Возмущения, относительно ограниченные в смысле квадратичных форм, и модель АКЪТ. Во многих работах ключевую роль в доказательстве результатов об основном и низкоэнергетических состояниях играет, явно или неявно, свойство относительной ограниченности возмущения относительно невозмущенного гамильтониана или подобного ему оператора, см. [18, 19, 75, 83, 92, 96, 97, 141]. В процитированных работах относительная ограниченность имеет довольно специальный смысл. В тоже время, хорошо известно, что в спектральной теории квантовомеханических и вообще самосопряженных операторов наиболее естественными и удобными являются классические понятия относительной ограниченности в операторном смысле или в смысле квадратичных форм [71, 122]. Таким образом, возникает следующая естественная задача:

• Обобщить понятие относительной ограниченности в смысле квадратичных форм на гамильтонианы на решетке и развить соответствующую теорию возмущений.

Мы решаем эту задачу в главе 4. При этом вводимое нами определение и полученный результат оказываются настолько общими, что позволяют охватить некоторые системы с сильным квантовым взаимодействием, не задаваемые в форме "свободная система + слабое возмущение". Наиболее интересным примером такой системы является модель АКЬТ. Эта модель была введена Аф-флеком, Кеннеди, Либом и Тасаки [16] как пример изотропной цепочки, обладающей, как было строго доказано этими авторами, единственным основным

состоянием и спектральной щелью. Еще до этой работы, Холдейн выдвинул на основании квантовополевых рассуждений предположение о том, что изотропная антиферромагнитная одномерная цепочка обладает единственным основным состоянием и спектральной щелью в случае целого спина, по не имеет спектральной щели в случае нецелого спина [61, 62]. Модель АКЬТ обладает предсказанными Холдейном свойствами и поэтому послужила веским свидетельством в пользу гипотезы Холдейна в части, касающейся целых спинов. Ожидается, что модель АКЬТ относится к той же термодинамической фазе, что и чисто антиферромагнитная цепочка со спином 1, однако строгие результаты Аффле-ка и др. существенно использовали очень специальное свойство модели АКЬТ — точную минимизацию энергии каждым членом гамильтониана, поэтому их доказательство не распространялось на другие, даже сколь угодно близкие к АКЬТ модели. При этом естественным является следующее предположение:

• При достаточно малых возмущениях модели АКЬТ основное состояние остается единственным и характеризуется экспоненциально быстрым убыванием корреляций; основное состояние отделено от возбужденных спектральной щелью.

В работе [75] Кеннеди и Тасаки смогли развить строгую теорию возмущений такого рода для т.н. "димеризованной" модели АКЬТ при достаточно сильной димеризации (при полной димеризации модель распадается на невзаимодействующие димеры). Развитая нами в главе 4 техника относительно ограниченных в смысле квадратичных форм возмущений позволяет представить исходную, недимеризованную модель АКЬТ как возмущение невзаимодействующей системы и благодаря этому строго доказать в главе 5 указанное предположение для недимеризованного случая.

Переход между "соизмеримой" и "несоизмеримой" подфазами в модели АКЬТ. Продолжая исследование возмущений модели АКЬТ, в главе 6 мы рассматриваем вопрос качественно различного поведения корреляционных

функций изотропных цепочек со спином 1 при переходе через точку АКЬТ. Этот переход был численно обнаружен Шольвеком, Жоликье и Гарелом [117]. Несколькими авторами [51, 102, 104] были предложены носящие феноменологический характер объяснения этого явления на основе аналогий с классическими системами или непрерывными теориями поля. В главе 6 мы даем полностью согласующееся с численными экспериментами объяснение этого явления, исходящее непосредственно из определения модели АКЬТ и позволяющее дать теоретическую оценку некоторым параметрам перехода.

Теория рассеяния квазичастичных возбуждений. В процитированном выше цикле работ Ангелеску, Жижиной, Загребнова, Кондратьева, Минлоса, Сухова, для ряда стохастических динамик решетчатых спиновых систем (глауберовой динамики, стохастической модели ротаторов и т.п.) было доказано существование т.н. "одночастичных" спектральных подпространств. По аналогии с известной теорией рассеяния Хаага-Рюэля в аксиоматической квантовой теории поля [59, 60, 113], можно поставить следующую задачу:

• Доказать, что из существования "одночастичных" спектральных подпространств следует существование "многочастичных" подпространств, отвечающих состояниям рассеяния наборов одночастичных возбуждений.

Мы решаем эту задачу в главе 7. 1.2. Часть II

Оптимизация методом "ожидаемого улучшения" является современным, популярным в инженерных приложениях методом численной оптимизации вычислительно затратных целевых функций сложной структуры [53]. Наиболее известный вариант метода был введен в работе Джонса и др. [70], хотя близкие подходы рассматривались и до этого разными авторами (в частности, Кушне-ром, Моцкусом, Зилинскасом и др. [87, 100, 101, 142]). В основе метода лежит

аппроксимация оптимизируемой функции гауссовским случайным процессом по нескольким наблюденным значениям этой функции.

Несмотря на то, что в последние годы метод и его варианты активно применяются в инженерной практике, имеется лишь небольшое число математически строгих работ, в которых устанавливаются его свойства. В недавних работах Бекта, Васкеса и Булла [29, 128, 129] было доказано, что в случае достаточно "грубого" процесса (со спектральной плотностью, убывающей степенным образом) и целевой функции из соответствующего гильбертова пространства с воспроизводящим ядром имеет место сходимость последовательности наилучших наблюдаемых в ходе оптимизации значений к глобальному оптимуму целевой функции. Булл также получил степенную оценку скорости сходимости. При этом возникает следующий естественный вопрос:

• Может ли иметь место несходимость оптимизации, если процесс является "гладким" (например, задается гауссовской ковариационной функцией) или если целевая функция не лежит в гильбертовом пространстве с воспроизводящим ядром, связанном с процессом?

Мы даем положительный ответ на этот вопрос в главе 9. Основным используемым при этом техническим результатом является полученная нами двусторонняя равномерная асимптотическая оценка для условной дисперсии одномерного процесса с экспоненциально убывающей спектральной плотностью при условии наблюдения процесса в конечном числе точек.

Оптимизация методом "ожидаемого улучшения" тесно связана с задачей интерполяции, поскольку условное среднее значение процесса представляется как интерполяция целевой функции линейными комбинациями сечений ковариационной функции, получаемых фиксированием одного из двух ее аргументов в узле интерполяции. В случае одномерной полиномиальной интерполяции хорошо известна классическая интегральная формула Эрмита для ее ошибки [65]. И полиномиальную интерполяцию, и интерполяцию гауссовскими радиальными

базисными функциями можно рассматривать, с точностью до простых преобразования, как частные случаи интерполяции экспоненциальными функциями. Мы задаем следующий вопрос:

• Можно ли обобщить интегральную формулу ошибки одномерной полиномиальной интерполяции на интерполяцию экспоненциальными функциями?

В главе 10 мы решаем эту задачу с помощью формулы Хариша-Чандры-Ицик-сона-Зубера (ХЧИЗ) [57, 63, 67]. Релевантность этой формулы в контексте теории аппроксимации была замечена ранее Босом и Де Марчи в работе об оптимальном распределении узлов [24]: формулу ХЧИЗ можно рассматривать как интегральное представление определителя матрицы одномерной экспоненциальной интерполяции.

Пользуясь полученной явной формулой ошибки, мы устанавливаем в случае аналитической целевой функции одной переменной и гауссовской ковариационной функции экспоненциально быструю сходимость оптимизации методом ожидаемого улучшения к глобальному оптимуму. Этот результат дополняет упомянутый выше пример несходимости; вместе они показывают, что для одномерной оптимизации на основе гауссова ядра имеет место резкая "дихотомия" между экспоненциально быстрой сходимостью для аналитических целевых функций и, вообще говоря, отсутствием сходимости для сколь угодно гладких, но не аналитических целевых функций.

1.3. Часть III

Случайное блуждание с локальной неоднородностью естественным образом возникает при рассмотрении простейшей модели локального взаимодействия пары блуждающих частиц. Исследование асимптотических свойств такого блуждания было инициировано Е. Жижиной и Р. Минлосом, установивших для него локальную предельную теорему [4], а также показавших [99], что в

случае одномерного пространства в пределе малого масштаба это блуждание сходится к некоторому обобщенному диффузионному процессу (т.н. процессу с "эластичным экраном в нуле" [8]), в том же смысле, в котором пределом обычного однородного блуждания является винеровский процесс. Исследования Жи-жиной и Минлоса оставляли открытыми ряд вопросов. Во-первых, сходимость блуждания к диффузионному процессу была установлена Жижиной и Минло-сом в смысле сходимости конечномерных распределений. Можно ожидать, что сходимость имеет место в более сильном смысле теоремы Донскера [2, 44], т.е. в смысле сходимости вероятностных мер на пространстве непрерывных траекторий. Во-вторых, предельный диффузионный процесс характеризуется скалярным параметром, определяющим эластичность экрана в нуле. В работах Жижиной и Минлоса этот параметр был найден в виде сложного аналитического выражения, и оставалось неясным, как его значение можно интерпретировать в терминах исходного блуждания. В-третьих, естественно рассмотреть обобщение одномерного локально-неоднородного блуждания на случай произвольной размерности, предполагая при этом, что неоднородность сконцентрирована на подрешетке некоторой произвольной коразмерности. Верно ли, что если коразмерность больше 1, то предельный процесс является тривиальным (винеров-ским)? На большинство этих вопросов автором были даны ответы в кандидатской диссертации [13]. В настоящей диссертации мы дополняем эти результаты рассмотрением задачи об инвариантной мере случайного блуждания, дающей альтернативный способ нахождения параметра эластичного экрана.

2. Теоретическая и практическая значимость

Диссертация носит теоретический характер; ее результаты могут быть полезны специалистам в области теории случайных процессов, математической физики, теории аппроксимации и математической оптимизации. Часть II диссертации может быть полезна инженерам в области авиа- и машиностроения,

занимающимся практической оптимизацией на основе вычислительно затратных расчетных моделей.

3. Методы исследования

Достоверность результатов диссертации обеспечена использованием строгих математических методов при их получении. Во всех трех разделах диссертации центральную роль играют асимптотические методы исследования различных объектов (трансфер-матрицы в главе 6, волновых операторов в главе 7, дисперсии условного гауссовского процесса в главе 9, инвариантных векторов оператора случайного блуждания в главе 13) на основе анализа Фурье-представлений. В частях I и III мы используем некоторые методы теории сильно-непрерывных однопараметрических полугрупп (теорема Хилле-Иосиды, аппроксима-ционная теорема 12.2) и вспомогательные результаты типа обобщенной леммы Шварца. В большинстве глав части I мы используем кластерные (полимерные) разложения или аналогичные конструкции. Кроме того, в части I мы существенно используем методы спектрального анализа, в особенности связанные с относительно ограниченными возмущениями ограниченных снизу операторов. Анализ основных состояний в главах 2, 3 использует некоторые методы теории локальных С*-алгебр. В главе 7 мы применяем стандартные методы теории рассеяния (метод Кука, метод стационарной фазы). В связи с применением нами формулы Хариша-Чандры-Ициксона-Зубера в главе 10, мы используем там элементы техники интегрирования по мере Хаара на унитарной группе. В главе 9 мы подтверждаем теоретические результаты вычислительным экспериментом с применением библиотек численной арифметики повышенной точности.

4. Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. На защиту выносятся следующие положения:

Часть I:

• Для квантовых гамильтонианов, являющихся возмущениями системы невзаимодействующих спинов на решетке, введено понятие относительной ограниченности возмущения в смысле квадратичных форм. В предположении наличия у свободного гамильтониана спектрально изолированного основного состояния, для моделей, обладающих вышеуказанным свойством, доказано наличие спектральной щели и экспоненциальное убывание корреляций.

Показано, что модель АКЬТ может быть представлена в виде такого относительно ограниченного возмущения свободного гамильтониана. Как следствие, доказано, что малые возмущения модели АКЬТ сохраняют спектральную щель и экспоненциальное убывание корреляций в основном состоянии.

• Для слабовзаимодействующей спиновой решетчатой системы в конечном объеме доказано, что различные состояния, удовлетворяющие алгебраическому условию локальной стабильности, экспоненциально сближаются по мере удаления от границы объема. Как следствие, доказана сильная единственность основного состояния в термодинамическом пределе.

• Для 6'0(3)-инвариантных возмущений модели АКЬТ предложено новое представление статсуммы в виде разложения по траекториям. Предложено точно решаемое приближение к модели АКЬТ, отвечающее "минимальным" траекториям, решение которого объясняет численно обнаруженный ранее эффект перехода между "соизмеримой" и "несоизмеримой" фазами. Кроме того, предложена естественная "блочная" модификация моде-

ли АКЬТ, для которой строго доказано, что отвечающие минимальным траекториям члены доминирует все остальные члены и, как следствие, строго доказан вышеуказанный эффект.

• Для слабовзаимодействующих спиновых стохастических динамик сформулированы общие предположения, на основе которых в спектре генератора доказано существование "многочастичных возбуждений". Показано, что ряд рассмотренных ранее другими авторами моделей (глауберова динамика, стохастическая модель ротаторов и т.д.) удовлетворяет данным предположениям.

Часть II:

• Для одномерного гауссовского случайного процесса с экспоненциально убывающей спектральной плотностью получены новые верхние и нижние оценки апостериорной дисперсии при фиксации процесса в конечном числе точек. С помощью полученных оценок построен пример задачи, в которой оптимизация с помощью "ожидаемого улучшения" не достигает глобального оптимума.

• Для одномерной интерполяции экспоненциальными и гауссовскими функциями получены явные интегральные формулы ошибки интерполяции на основе формулы Хариша-Чандры-Ициксона-Зубера, обобщающие классическую формулу ошибки для полиномиальной интерполяции. С помощью полученных формул дано единообразное доказательство сходимости полиномиальной, экспоненциальной и гауссовской интерполяции для функций, аналитических в достаточно большом круге. Как следствие, для таких целевых функций доказана экспоненциально быстрая сходимость к глобальному оптимуму оптимизации с помощью "ожидаемого улучшения" на основе гауссовского ядра.

Часть III:

• Для одномерного локально неоднородного случайного блуждания выявлена связь структуры инвариантных векторов как прямого, так и сопряженного стохастического оператора блуждания с параметром предельного диффузионного процесса с "эластичным экраном в нуле".

5. Апробация результатов

Основные результаты диссертации докладывались на следующих семинарах:

• семинаре механико-математического факультета МГУ по теории рассеяния под руководством Р. А. Минлоса (1995-2008);

• семинаре лаборатории больших случайных систем механико-математического факультета МГУ под руководством В. А. Малышева (2013);

• семинаре Добрушинской математической лаборатории ИППИ РАН под руководством Р. А. Минлоса и М. JI. Бланка (2001-2014);

• семинаре лаборатории PreMoLab МФТИ под руководством Г. К. Голубева (2012);

• семинаре кафедры прикладной математики и численных методов факультета математики Мюнхенского университета (LMU) под руководством JI. Эрдеша (2005-2007);

• семинаре метематического факультета Мюнхенского технического университета (TUM) под руководством X. Шпона (2005-2007);

• семинаре по математической физике математического факультета Дублинского университетского колледжа (UCD) под руководством Дж. Пуле (2005);

• семинаре Дублинского института перспективных исследований (DIAS) под руководством Т. Дорласа (2003-2005);

• семинаре группы математической физики математического факультета Университета Билефельда (Германия) под руководством Ю. Кондратьева (2001-2004);

• семинаре отдела теоретической физики Католического университета JTe-вена (KU Leuven, Бельгия) под руководством М. Фаннеса (2004);

• семинаре по математической физике Университета Калифорнии в Дэвисе (UC Davis, США) под руководством Б. Нахтергеле (2005);

• семинаре факультета математики Аризонского университета в Тусоне (UA Tucson, США) под руководством Т. Кеннеди (2005);

• семинаре физического факультета Университета Гакушуин в Токио (Gakushuin University) под руководством Хала Тасаки (2006);

• семинаре лаборатории адаптивных и робастных систем им. Я. 3. Цыпкина Института проблем управления им. В. А. Трапезникова под руководством Б. Т. Поляка (2013);

• семинаре лаборатории теоретической физики Объединённого института ядерных исследований (Дубна) под руководством В. Б. Приезжева (2014).

Кроме того, результаты диссертации были представлены на следующих международных конференциях:

• Workshop on Stochastic Analysis and Related Topics, Санкт-Петербург, 4-10 июня 2001 г.;

• Meeting on Mathematical Analysis of Quantum Systems IV, Dublin (Ирландия), 29 сентября - 1 октября 2004 г.;

• The Mathematics of Quantum Systems: Quantum Lattice Models, Warwick (Великобритания), 15-16 марта 2005 г.;

• 93rd Statistical Mechanics Conference, Rutgers (США), 15-17 мая 2005 г.;

• Current Status of Rigorous Statistical Mechanics and Mathematical Quantum Field Theory, Fukuoka (Япония), 4-9 сентября 2006 г.

• Mathematical Methods in Quantum Mechanics, Bressanone (Италия), 26 февраля - 3 марта 2007 г.

6. Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 11 печатных работах автора в рецензируемых журналах.

7. Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 частей, разбитых на 13 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 308 страниц. Библиография включает 143 наименования на 12 страницах, в том числе 11 публикаций автора.

8. Благодарности

Описанные в настоящей диссертации исследования не были бы возможны без идейной и организационной поддержки со стороны многих моих коллег, среди которых я хотел бы особенно выделить Роберта Минлоса, Сергея Пирогова, Бруно Нахтергеле, Ласло Эрдеша и Александра Кулешова. Я выражаю им всем свою искреннюю признательность.

Часть I

Основные состояния и

и

спектральные свойства слабовзаимодействующих динамик

на решетках

21

Глава 1 Введение

Часть I настоящей диссертации посвящена исследованию основных состояний и спектральных свойств решетчатых спиновых систем. Нашим основным объектом изучения являются квантовые решетчатые гамильтонианы, но мы рассматриваем и тесно связанные с ними стохастические спиновые динамики.

Спиновые системы на решетке являются одним из важнейших классов моделей статистической физики. Несмотря на свою сравнительную простоту и лаконичность, они обладают массой глубоких и нетривиальных свойств. Даже самая простая модель взаимодействия спинов — классическая модель Изинга [66] — позволяет описывать фазовые переходы, как показали в своих знаменитых работах Пайерлс [108] и Онзагер [105]. Квантовые же решетчатые модели, начиная с модели Гейзенберга, являются естественными математическими моделями физики твердых тел (см. любой учебник физики твердых тел, например [30]).

В настоящее время существует математически строгая общая теория решетчатых спиновых систем, в рамках которой придается точный смысл их термодинамическим свойствам — основным и температурным состояниям, термодинамическим потенциалам, возбуждениям основных состояний, фазовым переходам и т.д. (см., например, монографии Саймона [123], Рюэлля [114] и Брат-тели-Робинсона [26, 27]). В то же время, установление свойств конкретных систем часто является трудной задачей, для решения которой могут применяться самые разнообразные подходы. Довольно типична ситуация, когда модель считается физиками хорошо понятой на основании разного рода приближенных вычислений, аналогий с другими моделями, явных решений в частных случаях, гипотез универсальности и других подобных соображений, в то время как строгие доказательства ожидаемых свойств (математически легко формуляру-

емых) неизвестны или крайне сложны.

В настоящей диссертации мы в основном устанавливаем различные строгие результаты для моделей, которые можно рассматривать, в некотором смысле, как возмущения тривиальных систем — наборов невзаимодействующих спинов. От таких моделей ожидается, что их свойства близки к свойствам возмущаемых систем, а именно:

• если невозмущенная система обладает единственным и спектрально изолированным основным состоянием, то то же будет выполнено для слабовозмущенной системы, хотя ее основное состояние уже не будет допускать простую факторизацию; более того, ожидается, что пространственные корреляции в слабовозмущенной модели будут убывать экспоненциально быстро;

• расположение спектра и другие спектральные свойства гамильтониана возмущенной модели будут близки к свойствам исходной модели, хотя отдельные элементы структуры спектра могут утрачиваться или преобразовываться (например, вырожденные собственные пространства, при их наличии, будут превращаться в одно- или много-частичные подпространства с непрерывным спектром).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Яроцкий, Дмитрий Александрович, 2015 год

Список литературы

1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М: Наука, 1977.

3. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. М: Наука, 1971.

4. Минлос Р. А., Жижина Е. А. Локальная предельная теорема для неоднородного случайного блуждания одной частицы на решетке // Теория вероятностей и ее приложения. 1994. Т. 39, № 3. С. 513-529.

5. Минлос Р. А., Жижина Е. А. Предельный диффузионный процесс для неоднородного случайного блуждания на одномерной решетке // УМН. 1997. Т. 52, № 2. С. 314.

6. Пирогов С. А., Синай Я. Г. Фазовые диаграммы классических решетчатых систем // ТМФ. 1975. Т. 25. С. 358-369.

7. Пирогов С. А., Синай Я. Г. Фазовые диаграммы классических решетчатых систем (Продолжение) // ТМФ. 1976. Т. 26. С. 61-76.

8. Портенко Н. И. Обобщенные диффузионные процессы. Киев: Наукова думка, 1982.

9. Рыжик И. М., Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962.

10. Спицер Ф. Принципы случайного блуждания. М.: Мир, 1969.

11. Яроцкий Д. А. Принцип инвариантности для неоднородного случайного блуждания на решетке Ъ // Математические заметки. 1999. Т. 66, № 3. С. 459-472.

12. Яроцкий Д. А. Центральная предельная теорема для одного класса неоднородных случайных блужданий // Математические заметки. 2001. Т. 69, № 5. С. 751-757.

13. Яроцкий Д. А. Исследование некоторых марковских процессов, возника-

ющих в математической физике: Кандидатская диссертация. Московский Государственный Университет, 2002.

14. Яроцкий Д. А. Теория Пирогова-Синая для относительно ограниченных квантовых возмущений классических решетчатых моделей // УМН. 2006. Т. 61, № 2. С. 371-372.

15. Affleck I., Kennedy Т., Е.Н. L., Tasaki Н. Rigorous results on valence-bond ground states in antiferromagnets // Phys. Rev. Lett. 1987. Vol. 59. P. 799-802.

16. Affleck I., Kennedy Т., Е.Н. L., Tasaki H. Valence bond ground states in isotropic quantum antiferromagnets // Commun. Math. Phys. 1987. Vol. 115. P. 477-528.

17. Albanese C. On the spectrum of the Heisenberg Hamiltonian //J. Stat. Phys. 1989. Vol. 55, no. 1-2. P. 297-309.

18. Angelescu N., Minlos R. A., Zagrebnov V. A. The lower spectral branch of the generator of the stochastic dynamics for the classical Heisenberg model // On Dobrushin's way. From probability theory to statistical physics / Ed. by R. A. Minlos, S. Shlosman, Y. M. Suhov. Amer. Math. Soc. Transl., 2000. Vol. 198. P. 1-11.

19. Angelescu N., Minlos R. A., Zagrebnov V. A. The one-particle energy spectrum of weakly coupled quantum rotators //J. Math. Phys. 2000. Vol. 41, no. 1. P. 1-23.

20. Arovas D., Auerbach A., Haldane F. Extended Heisenberg model of antiferro-magnetizm: analogies to the fractional quantum Hall effect // Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 60. P. 531-534.

21. Bachmann S., Michalakis S., Nachtergaele В., Sims R. Automorphic Equivalence within Gapped Phases of Quantum Lattice Systems // Communications in Mathematical Physics. 2012. Vol. 309, no 3. P. 835-871.

22. Barber M. N., Batchelor M. T. Spectrum of the biquadratic spin-1 antiferro-magnetic chain // Phys. Rev. B. 1989. Vol. 40. P. 4621-4626.

23. Borgs C., Kotecky R., Ueltschi D. Low temperature phase diagrams for quan-

turn perturbations of classical lattice systems // Commun. Math. Phys. 1996. Vol. 181. P. 409-446.

24. Bos L., De Marchi S. On optimal points for interpolation by univariate exponential functions // Dolomites Research Notes on Approximation. 2011. Vol. 4. P. 8-12.

25. Bovier A., Zahradnik M. A simple inductive approach to the problem of convergence of cluster expansions of polymer models //J. Stat. Phys. 1982. Vol. 85. P. 517-528.

26. Bratteli 0., Robinson D. W. Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1: C*- and W*-Algebras. Symmetry Groups. Decomposition of States. Springer, 1987.

27. Bratteli 0., Robinson D. W. Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 2: Equilibrium States. Models in Quantum Statistical Mechanics. Springer, 1997.

28. Buhmann M. Radial Basis Functions: Theory and Implementations. Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics. Cambridge University Press, 2003.

29. Bull A. D. Convergence rates of efficient global optimization algorithms // Journal of Machine Learning Research. 2011. Vol. 12. P. 2879-2904.

30. Chaikin P., Lubensky T. Principles of Condensed Matter Physics. Cambridge University Press, 2000.

31. Cressie N. Geostatistics // The American Statistician. 1989. Vol. 43. P. 197-202.

32. Cressie N. The origins of kriging // Mathematical Geology. 1990. Vol. 22. P. 239-252.

33. Cressie N. Statistics for Spatial Data. John Wiley, New York, 1993.

34. Datta N., Fernandez R., Frohlich J. Low-temperature phase diagrams of quantum lattice systems. I. Stability for quantum perturbations of classical systems with finitely-many ground states //J. Stat. Phys. 1996. Vol. 84. P. 455-534.

35. Datta N., Fernández R., Fröhlich J., Rey-Bellet L. Low-temperature phase diagrams of quantum lattice systems. II. Convergent perturbation expansions and stability in systems with infinite degeneracy // Helv. Phys. Acta. 1996. Vol. 69. P. 752-820.

36. Datta N., Kennedy T. Expansions for one quasiparticle states in spin 1/2 systems //J. Stat. Phys. 2002. Vol. 108. P. 373-399.

37. Datta N., Kennedy T. Instability of interfaces in the antiferromagnetic XXZ chain at zero temperature // Commun. Math. Phys. 2003. Vol. 236. P. 477-511.

38. Davis P. J. Interpolation and approximation. Dover books on advanced mathematics. Dover Publications, 1975.

39. de Boor C. Polynomial interpolation in several variables // Studies in Computer Science (in Honor of Samuel D. Conte) / Ed. by R. DeMillo, J. R. Rice. Plenum Press (New York), 1994. P. 87-119.

40. de Boor C., Ron A. Computational aspects of polynomial interpolation in several variables // Math. Comp. 1992. Vol. 58. P. 705-727.

41. de Boor C., Ron A. The least solution for the polynomial interpolation problem // Math. Zeitschrift. 1992. Vol. 210. P. 347-378.

42. den Nijs M., Rommeise K. Preroughening transition in crystal surfaces and valence-bond phases in quantum spin chains // Phys. Rev. B. 1989. Vol. 40. P. 4709.

43. Dereziriski J., Gérard C. Scattering theory of classical and quantum A^-particle systems. N.Y.: Springer, 1997.

44. Donsker M. D. An invariant principle for certain probability limit theorems // Memoirs. 1951. Vol. 6. P. 1-10.

45. Driscoll T. A., Fornberg B. Interpolation in the limit of increasingly flat radial basis functions // Comput. Math. Appl. 2002. Vol. 43, no. 3-5. P. 413-422.

46. Duffin R. J. Discrete Potential Theory // Duke Math. J. 1953. Vol. 20. P. 233-251.

47. Ethier S. N., Kurtz T. G. Markov processes. Characterization and convergence.

New York: John Wiley & Sons, 1986.

48. Fannes M., Nachtergaele B., Werner R. Valence bond states on quantum spin chains as ground states with spectral gap //J. Phys. A: Math. Gen. 1991. Vol. 24. P. L185-L190.

49. Fannes M., Nachtergaele B., Werner R. Finitely correlated states of quantum spin chains // Commun. Math. Phys. 1992. Vol. 144. P. 443-490.

50. Fannes M., Werner R. F. Boundary conditions for quantum lattice systems // Helv. Phys. Acta. 1995. Vol. 68. P. 635-657.

51. Fäth G., Siito A. Commensurate and incommensurate correlations in Haldane-gap antiferromagnets // Phys.Rev. B. 2000. Vol. 62. P. 3778-3785.

52. Fornberg B., Zuev J. The Runge phenomenon and spatially variable shape parameters // Comput. Math. Appl. 2007. Vol. 54. P. 379-398.

53. Forrester A. I. J., Söbester A., Keane A. J. Engineering design via surrogate modelling: a practical guide. J. Wiley, 2008.

54. Fröhlich J., Rey-Bellet L., Ueltschi D. Quantum lattice models at intermediate temperature // Commun. Math. Phys. 2001. Vol. 224. P. 33-63.

55. Georgii H. Gibbs Measures and Phase Transitions. Walter De Gruyter Incorporated, 1988.

56. Ginibre J. Existence of phase transitions for quantum lattice systems // Commun. Math. Phys. 1969. Vol. 14. P. 205.

57. Gross K. I., Richards D. S. P. Total Positivity, Spherical Series, and Hyperge-ometric Functions of Matrix Argument //J. Approx. Theory. 1989. Vol. 59. P. 224-246.

58. Gutmann H.-M. A Radial Basis Function Method for Global Optimization // J. of Global Optimization. 2001. Vol. 19. P. 201-227.

59. Haag R. Quantum field theories with composite paticles and asymptotic completeness // Phys. Rev. 1958. Vol. 112. P. 669-673.

60. Haag R. The framework of quantum field theory // Nuovo Cimento Supp. 1959. Vol. 14. P. 131-152.

61. Haldane F. D. M. Continuum dynamics of the 1-d Heisenberg antiferromagnet: identification with the 0(3) nonlinear sigma model // Phys. Lett. A. 1983. Vol. 93. P. 464-468.

62. Haldane F. D. M. Nonlinear field theory of large-spin Heisenberg antiferromagnets: semiclassically quantized solutions of the one-dimensional easy-axis Neel state // Phys. Rev. Lett. 1983. Vol. 50. P. 1153-1156.

63. Harish-Chandra. Differential operators on a semi-simple Lie algebra // Amer. J. Math. 1957. Vol. 79. P. 87-120.

64. Hastings M. B., Koma T. Spectral gap and exponential decay of correlations // Commun. Math. Phys. 2006. Vol. 265. P. 781-804.

65. Hermite C. Sur la formule d'interpolation de Lagrange //J. Reine Angew. Math. 1878. Vol. 84. P. 70-79.

66. Ising E. Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus // Z. Phys. 1925. Vol. 31. P. 253-258.

67. Itzykson C., Zuber J.-B. The planar approximation II // J. Math. Phys. 1980. Vol. 21. P. 411-421.

68. Jones D. R. A Taxonomy of Global Optimization Methods Based on Response Surfaces // J. of Global Optimization. 2001. Vol. 21. P. 345-383.

69. Jones D. R., Schonlau M., Welch W. J. A data analytic approach to Bayesian global optimization // Proceedings of the ASA, Section on Physical and Engineering Sciences. 1997. P. 186 - 191.

70. Jones D. R., Schonlau M., Welch W. J. Efficient Global Optimization of Expensive Black-Box Functions //J. Glob. Opt. 1998. Vol. 13. P. 455-492.

71. Kato T. Perturbation theory for linear operators. Berlin: Springer-Verlag, 1976.

72. Katznelson Y. An introduction to harmonic analysis. Cambridge mathematical library. Cambridge University Press, 2004.

73. Kennedy T. Ornstein-Zernike decay in the ground state of the quantum Ising model in a transverse magnetic field // Commun. Math. Phys. 1991. Vol. 137. P. 599-615.

74. Kennedy T., Lieb E. H., Tasaki H. A two-dimensional isotropic quantum an-tiferromagnet with unique disordered ground state //J. Stat. Phys. 1988. Vol. 53. P. 383-415.

75. Kennedy T., Tasaki II. Hidden symmetry breaking and the Haldane phase in S = 1 quantum spin chains // Commun. Math. Phys. 1992. Vol. 147. P. 431-484.

76. Kennedy T., Tasaki H. Hidden Z2 x Z2 symmetry breaking in Haldane gap antiferromagnets // Phys. Rev. B. 1992. Vol. 45. P. 304.

77. Kincaid D., Cheney E. Numerical analysis: mathematics of scientific computing. Pure and applied undergraduate texts. American Mathematical Society.

78. Kirkwood J. R., Thomas L. E. Expansions and phase transitions for the ground states of quantum Ising lattice systems // Commun. Math. Phys. 1983. Vol. 88. P. 569-580.

79. Kliimper A. New Results for q -State Vertex Models and the Pure Biquadratic Spin-1 Hamiltonian // EPL (Europhysics Letters). 1989. Vol. 9, no. 8. P. 815.

80. Kliimper A. The spectra of q-state vertex models and related antiferromagnetic quantum spin chains // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1990. Vol. 23, no. 5. P. 809.

81. Kliimper A., Schadschneider A., Zittartz J. Matrix-product ground states for one-dimensional spin-1 quantum antiferromagnets // Europhys. Lett. 1993. Vol. 24. P. 293.

82. Knabe S. Energy gaps and elementary excitations for certain VBS-antiferro-magnets //J. Stat. Phys. 1988. Vol. 52. P. 627-638.

83. Kondratiev Y. G., Minlos R. A. One-particle subspaces in the stochastic XY model //J. Stat. Phys. 1997. Vol. 87, no. 3/4. P. 613-642.

84. Kotecky R., Preiss D. An inductive approach to the Pirogov-Sinai theory // Proceedings of the 11th Winter School on Abstract Analysis. 1984. P. 161-164.

85. Kotecky R., Preiss D. Cluster expansions for abstract polymer models // Commun. Math. Phys. 1986. Vol. 103. P. 491-498.

86. Krige D. G. A statistical approach to some mine valuations and allied problems at the Witwatersrand. Master's thesis, University of Witwatersrand, 1951.

87. Kushner H. J. A new method of locating the maximum point of an arbitrary multipeak curve in the presence of noise // Journal of Basic Engineering. 1964. Vol. 86. P. 97-106.

88. Liggett T. M. Interacting particle systems. N.Y.: Springer, 1985.

89. Locatelli M. Bayesian Algorithms for One-Dimensional GlobalOptimization // J. of Global Optimization. 1997. Vol. 10. P. 57-76.

90. Madych W. R., Nelson S. A. Bounds on multivariate polynomials and exponential error estimates for multiquadratic interpolation //J. Approx. Theory. 1992. Vol. 70, no. 1. P. 94-114.

91. Malyshev V. A., Minlos R. A. Gibbs Random Fields. Cluster Expansions. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1991.

92. Malyshev V. A., Minlos R. A. Linear operators in infinite particle systems. AMS, Providence, RI, 1995.

93. Matheron G. Principles of geostatistics // Economic Geology. 1963. Vol. 58. P. 1246-1266.

94. Matsui T. A link between quantum and classical Potts models //J. Stat. Phys. 1990. Vol. 59. P. 781-798.

95. Matsui T. Uniqueness of the translationally invariant ground state in quantum spin systems // Commun. Math. Phys. 1990. Vol. 126. P. 453-467.

96. Minlos R. A. Invariant subspaces of the stochastic Ising high temperature dynamics // Markov Processes Relat. Fields. 1996. Vol. 2. P. 263-284.

97. Minlos R. A., Suhov Y. M. On the spectrum of the generator of an infinite system of interacting diffusions // Commun. Math. Phys. 1999. Vol. 206. P. 463-489.

98. Minlos R. A., Trishch A. G. Complete spectral resolution of the generator of Glauber dynamics for the one-dimensional Ising model // Russian Math. Surveys. 1994. Vol. 49. P. 210-211.

99. Minlos R. A., Zhizhina E. A. The limiting theorems for a random walk of two particles on the lattice z" // Potential analysis. 1996. Vol. 5. P. 139-172.

100. Mockus J. Bayesian approach to global optimization: theory and applications. Mathematics and its applications: Soviet series. Kluwer Academic, 1989.

101. Mockus J., Tiesis V., Zilinskas A. The application of Bayesian methods for seeking the extremum // Towards Global Optimization. 1978. Vol. 2. P. 117 - 129.

102. Murashima T., Nomura K. Incommensurability and edge states in the one-dimensional S = 1 bilinear-biquadratic model // Phys.Rev. B. 2006. Vol. 73. P. 214431.

103. Nachtergaele B., Sims R. Lieb-Robinson bounds and the exponential clustering theorem // Commun. Math. Phys. 2006. Vol. 265. P. 119-130.

104. Nomura K. Onset of Incommensurability in Qunatum spin chain //J. Phys. Soc. Jpn. 2003. Vol. 72. P. 476-478.

105. Onsager L. Crystal statistics. I. A two-dimensional model with an order-disorder transition // Phys. Rev. (2). 1944. Vol. 65, no. 3-4. P. 117-149.

106. Parkinson J. B. On the integrability of the S=1 quantum spin chain with pure biquadratic exchange // Journal of Physics C: Solid State Physics. 1987. Vol. 20, no. 36. P. L1029.

107. Parkinson J. B. The S=1 quantum spin chain with pure biquadratic exchange // Journal of Physics C: Solid State Physics. 1988. Vol. 21, no. 20. P. 3793.

108. Peierls R. On Ising's model of ferromagnetism // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1936. Vol. 3. P. 477-481.

109. Platte R. B., Driscoll T. A. Polynomials and Potential Theory for Gaussian Radial Basis Function Interpolation // SIAM J. Numer. Anal. 2005. Vol. 43, no. 2. P. 750-766.

110. Rasmussen C. E., Williams C. K. I. Gaussian Processes for Machine Learning. The MIT Press, 2006.

111. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. V.2: Fourier analysis. Self-adjointness. N.Y.: Academic press, 1975.

112. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. V.3: Scattering theory. N.Y.: Academic press, 1979.

113. Ruelle D. On the asymptotic condition in quantum field theory // Helv. Phys. Acta. 1962. Vol. 35. P. 147-163.

114. Ruelle D. Statistical Mechanics: Rigorous Results. World Scientific Publishing Company Incorporated, 1999.

115. Runge C. Uber empirische Funktionen and die Interpolation zwischen aquidistanten Ordinaten // Z. Math. Phys. 1901. Vol. 46. P. 224-243.

116. Schaback R. Multivariate interpolation by polynomials and radial basis functions // Constructive Approximation. 2005. Vol. 21. P. 293-317.

117. Schollwock U., Jolicoeur T., Garel T. On the onset of incommensurability at the VBS point in the S=1 bilinear-biquadratic quantum spin chain // Phys.Rev. B. 1996. Vol. 53. P. 3304.

118. Schonlau M. Computer experiments and global optimization: Ph.D. thesis. Waterloo, Ont., Canada: University of Waterloo, 1997.

119. Schonlau M., Welch W. J. Global optimization with nonparametric function fitting // Proceedings of the ASA, Section on Physical and Engineering Sciences. 1996. P. 183 - 186.

120. Seiler E. Gauge theories as a problem of constructive quantum field theory and statistical mechanics. Berlin: Springer-Verlag, 1982. Vol. 159 of Lecture Notes in Physics.

121. Shabat B. Introduction to complex analysis. V.2: Functions of several variables. AMS, Providence, RI, 1992.

122. Simon B. Quantum Mechanics for Hamiltonians Defined as Quadratic Forms. Princeton University Press, 1971.

123. Simon B. The Statistical Mechanics of Lattice Gases. Princeton University Press, 1993.

124. Thomas L. E., Yin Z. Low temperature expansions for the Gibbs states of weakly interacting quantum Ising lattice systems // Commun. Math. Phys. 1983. Vol. 91. P. 405-417.

125. Thomas L. E., Yin Z. Low temperature expansions for the Gibbs states of quantum Ising lattice systems //J. Math. Phys. 1984. Vol. 25. P. 3128-3134.

126. Torn A., Zilinskas A. Global optimization. NY: Springer-Verlag New York, 1989.

127. Ueltschi D. Cluster expansions and correlation functions // Moscow Math. J.

2004. Vol. 4. P. 509-520.

128. Vazquez E., Beet J. Convergence properties of the expected improvement algorithm with fixed mean and covariance functions // Journal of Statistical Planning and Inference. 2010. Vol. 140, no. 11. P. 3088 - 3095.

129. Vazquez E., Beet J. Pointwise consistency of the kriging predictor with known mean and covariance functions // mODa 9 - Advances in Model-Oriented Design and Analysis. 2010. 14th-19th June 2010, Bertinoro, Italy.

130. Wendland H. Scattered Data Approximation. Cambridge University Press,

2005.

131. White S. R. Density matrix formulation for quantum renormalization groups // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 69. P. 2863-2866.

132. Yarotsky D. A. 'Free' Evolution of Multi-particle Excitations in the Glauber Dynamics at High Temperature // J. Stat. Phys. 2001. Vol. 104, no. 5-6. P. 1091-1111.

133. Yarotsky D. A. Perturbations of Ground States in Weakly Interacting Quantum Spin Systems //J. Math. Phys. 2004. Vol. 45. P. 2134-2152.

134. Yarotsky D. A. Scattering of Quasi-particle Excitations in Weakly Coupled Stochastic Lattice Spin Systems // Commun. Math. Phys. 2004. Vol. 249, no. 5-6. P. 449-474.

135. Yarotsky D. A. Uniqueness of the ground state in weak perturbations of non-in-teraeting gapped quantum lattice systems //J. Stat. Phys. 2005. Vol. 118.

P. 119-144.

136. Yarotsky D. A. Ground states in relatively bounded quantum perturbations of classical lattice systems // Commun. Math. Phys. 2006. Vol. 261. P. 799-819.

137. Yarotsky D. A. Random walk analysis of the commensurate-incommensurate transition in the isotropic spin-1 chain //J. Stat. Phys. 2008. Vol. 130. P. 957-981.

138. Yarotsky D. A. Examples of inconsistency in optimization by expected improvement // J. Glob. Opt. 2013. Vol. 56, no. 4. P. 1773-1790.

139. Yarotsky D. A. Univariate interpolation by exponential functions and gaussian RBFs for generic sets of nodes // J. Approx. Theory. 2013. Vol. 166. P. 163-175.

140. Zahradnik M. An alternate version of Pirogov-Sinai theory // Communications in Mathematical Physics. 1984. Vol. 93, no 4. P. 559-581.

141. Zhizhina E. A., Kondratiev Y. G., Minlos R. A. Lower branches of the spectrum of Hamiltonians of infinite quantum systems with a compact space of "spins" // Trans. Moscow Math. Soc. 1999. Vol. 60. P. 225-262.

142. Zilinskas A. A review of statistical models for global optimization // Journal of Global Optimization. 1992. Vol. 2. P. 145-153.

143. Zwicknagl B. Power Series Kernels // Constructive Approximation. 2009. Vol. 29. P. 61-84.

Список иллюстраций

4.1 Контур интегрирования Г5.......................104

5.1 Основное состояние в модели АКЬТ.................108

6.1 Корреляционная длина £(0) и несоизмеримое волновое число

в окрестности точки АКЬТ......................118

6.2 а) Типичная траектория. Ь) Минимальная траектория.......126

6.3 Минимальная траектория с Д-звеньями................131

6.4 Участок траектории, соответствующей модели Н^ + 6У.....141

9.1 Иллюстрация работы алгоритма Е1..................207

12.1 а) Асимптотически линейное решение уравнения ТН = Н. Ь)

Асимптотически постоянное решение уравнения Т*и> = и).....281

Список таблиц

9.1 Первые 10 элементов оптимизационной траектории с соответствующими ожидаемыми улучшениями, для ядра С(х) — е~х2 и целевой функции / = —(2..........................215

12.1 Финитные функции р, V из формулы (11.4), задающей переходные вероятности.............................280