Существование решений системы Власова-Максвелла и уравнения нелинейной теплопроводности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Рудых, Геннадий Алексеевич

• Рудых, Геннадий Алексеевич
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Рудых, Геннадий Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. СУЩЕСТВОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЛАСОВА-МАКСВЕЛЛА

1. Нестационарная n-компонентная система уравнений Власова-Максвелла. Краткий обзор исследований и постановка задачи.

2. Существование стационарных решений n-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла.

3. Существование решений краевой задачи Дирихле для системы нелинейных эллиптических уравнений на скалярный и векторный потенциалы.

4. Специальные классы точных решений стационарной п-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла.

5. Редукция нестационарной n-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла к нелинейному гиперболическому уравнению.

6. Исследование нестационарной п-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла с внешними источниками.

ГЛАВА II. СУЩЕСТВОВАНИЕ ТОЧНЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ

РЕШЕНИЙ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

1. Преобразования Беклунда, связывающие решения одномерного уравнения нелинейной теплопроводности с родственными уравнениями.

2. Уравнения нелинейной диффузии без источника (стока).

3. Уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком), зависящим от температуры.

4. Уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком) специального вида.

ГЛАВА III. СУЩЕСТВОВАНИЕ ТОЧНЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ

РЕШЕНИЙ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С КОНЕЧНОЙ СКОРОСТЬЮ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

1. Многомерное квазилинейное уравнение теплопроводности без источника (стока).

2. Исследование совместности переопределенной системы уравнений (частный случай).

3. Исследование совместности переопределенной системы уравнений (общий случай).

4. Многомерное квазилинейное уравнение теплопроводности с источником (стоком).

ГЛАВА IV. СУЩЕСТВОВАНИЕ И КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТОЧНЫХ НЕАВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФУЗИИ

1. Представление многомерного уравнения нелинейной диффузии в виде переопределенной системы и исследование ее совместности.

2. Конечномерная разрешающая система для многомерного уравнения нелинейной диффузии.

3. Редукция разрешающей системы к переопределенной системе алгебро-дифференциальных уравнений (существование решения, частный случай). Качественный анализ решений задачи Коши для вспомогательного скалярного обыкновенного дифференциального уравнения.

4. Разрешимость задачи Коши для матрично-векторно-скалярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

5. Существование решений задачи Коши для переопределенной системы алгебро-дифференциальных уравнений (случай р ^ 2).

6. Существование решений задачи Коши для переопределенной системы алгебро-дифференциальных уравнений (случай р = 2).

7. Некоторые обобщения, замечания, комментарии и примеры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Существование решений системы Власова-Максвелла и уравнения нелинейной теплопроводности»

Проблема управляемого термоядерного синтеза (УТС) - проблема формирования, нагрева и удержания высокотемпературной плазмы, состоящей из ансамбля заряженных частиц. Составной частью этой проблемы является задача формирования и транспортировки мощных потоков (пучков) заряженных частиц, имеющая многочисленные приложения. Эта и многие другие задачи математического моделирования в физике плазмы приводят к необходимости исследования нелинейных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений с частными производными. В настоящей работе исследуются система интегродифференциальных уравнений Власова-Максвелла (ВМ) [Власов, 1950] и нелинейное параболическое уравнение второго порядка с неявным вырождением [Калашников, 1987], связанные с задачами математического моделирования в физике плазмы и описывающие соответственно динамику заряженной плазмы в кинетическом приближении [Девидсон, 1978] и ее диффузию поперек магнитного поля [Hyman, Rosenau, 1986; Rosenau, Hyman, 1986].

Действительно, в течение длительного времени, в связи с созданием сильноточных ускорителей и проблемой УТС, продолжают оставаться актуальными задачи математического моделирования в физике плазмы, связанные с формированием, удержанием, подавлением диффузии, фокусировкой и транспортировкой взаимодействующих пучков (ансамблей) заряженных частиц [Днестровский, Костомаров, 1982; Дривотин, Овсянников, 2001; Чихачев, 2001].

Одной из математических моделей, описывающих бесстолкновитель-ный ансамбль п £ N различных сортов взаимодействующих заряженных частиц Qi, • • • ? Яп £ М\{0}, каждый из которых характеризуется функцией распределения v, £) > 0 по координатам г = (х, у, z) £ О, С R3 и скоростей v = (vx,vy,vz) £ R3, является система уравнений Власова-Максвелла (ВМ) lfa + v Vrfa -f —(Е+ -v x В) • Vvfa = 0, д at та 1

0.1) at

0.2) р(г> о = Qa / f<*dv* ^ = Qa / vf<*dv- (°-3) a=l R3 a=l ^

Здесь t G R+-время; = (0,+oo); (r,v,t) G E3xE3xR+; E(r,t),B(r,t) - напряженность электрического поля и магнитная индукция; Е, В : R3 х R+ Е3; /а : I3 х R3 х Ё+ Ё+; p(r,t), j(r,t) - плотности заряда и тока; та, qa - масса и заряд частиц сорта а; с - скорость света.

Отметим, что наиболее полное описание бесстолкновительной заряженной плазмы, в частности, высокотемпературной плазмы, состоящей из ансамбля п G N различных сортов взаимодействующих заряженных частиц, дается именно кинетическим приближением (0.1)-(0.3), в котором плазма исследуется на основе уравнений Власова (0.1) и системы уравнений Максвелла (0.2), (0.3) с самосогласованным электромагнитным полем. Под этим подразумевается, что для решения кинетических уравнений Власова (0.1) относительно функций распределения /a(r, v, t) необходимо знать электромагнитные поля JE?(r, t), В (г, t), которые, в свою очередь, определяются из системы уравнений Максвелла (0.2), (0.3), содержащих моменты функций распределения: плотность пространственного заряда p(r,t) и плотность тока j(r,t). Иначе, электромагнитные поля E(r,t), B(r,t), определяемые согласно (0.2), (0.3), являются самосогласованными, поскольку из уравнений Власова (0.1) определяются такие распределения fa(r,v,t), которые вызывают появление электромагнитных полей E(r, t),B(r,t), поддерживающих эти распределения.

Таким образом, система (0.1)-(0.3) описывает коллективные взаимодействия п G N различных сортов заряженных частиц и называется тг-компонентной системой уравнений ВМ. Система ВМ является, в общем случае, существенно нелинейной системой интегродифференциаль-ных уравнений, имеет с математической точки зрения ряд особенностей [Самарский, 1980], не относится ни к одному из известных типов уравнений и не поддается до конца аналитическому исследованию [Batt, 1998].

Однако, в настоящей работе, при определенных предположениях относительно функций распределения /а(т, v,t), удалось продвинуться и в этом направлении. В частности, предложен анзатц, сводящий систему ВМ (0.1)-(0.3) к нелинейному гиперболическому уравнению и доказано, что каждому решению этого уравнения соответствует семейство самосогласованных распределений fa(r,v,t) и электромагнитных полей E(r,t), B(r,t) исходной задачи (0.1)-(0.3). Кроме того, в этой работе исследуется задача о существовании решений стационарной п-компонентной системы уравнений ВМ

V • Vrfa + ^{Е + -V х В) ■ Vvfa = 0, (0.4) та с п г

V • Е = Атг^Яа fadv, VxE = О, (0.5) а—1

4*7Г С vхв = /vfadv' = (°-6) a=l R3 описывающей кинетическое равновесие плазмы в бесстолкновительном приближении, где /«(г, v) - функция распределения частиц сорта а в расширенном фазовом пространстве (г, и) € R6; Е € М3 - вектор напряженности электрического поля; В G М3 - вектор магнитной индукции; та, Ча - масса и заряд частицы сорта а.

Описание заряженной плазмы на основе кинетического приближения (0.1)-(0.3) характерно тем, что знание функций распределения /а(г, v,t) позволяет получить полную информацию о макроскопических величинах, характеризующих плазму, например, таких, как плотность Na(r,t), средняя скорость Va(r,t) и температура Ta(r,t) частиц сорта а, определяемых формулами

Na = j fadv, Va = ~ J vfadv, Ta = ^j- J {v - Va)2fadv.

R3 R3 R3

В прикладных исследованиях часто пренебрегают влиянием магнитного поля и рассматривают нестационарную предельную систему Власова- Пуассона (ВП) о jrJa + V Vrfa + — V^ • Vvfa = 0, at ma n „

Д</>(г, t) = 4тг Я* / fadv, (0.7) a-l & или ее стационарный аналог n r vVrfa + — VrVJV^/a = 0, A(p(r) = 4тг ^ qa / fadv. (0.8) ma 1 J

R3

Здесь t £ К+; г £ Q С М3; v £ Е3; <p(r, t) - скалярный потенциал электрического поля E(r,t), удовлетворяющий уравнению Пуассона; E(r,t) = Vrc/?(r, t). При решении системы ВП (0.8) ее обычно сводят либо к интегральному уравнению [Власов, 1950, 1966], либо, задавая вид функций распределения /Q(r, г>), к нелинейным дифференциальным уравнениям [Власов, 1966; Gogny, Lions, 1989]. Причем при сведении к интегральному уравнению в одномерном случае удается явно построить точные решения [Власов, 1950] системы (0.8). В работе [Gogny, Lions, 1989] функция распределения f(r,v) для одного сорта частиц (электронов) задавалась в виде jYi \ з/2 / m\v\^ \ ъ^г) ехр + (ф(г)'+ ) ' (0-9) с условием нормировки

J J f(r,v)drdv = 1, (0.10)

R3 Q где T £ К+ - температура электронов; к £ - постоянная Больцмана; </?(г),Ф(г) - функции, определенные в области ОсМ3и принимающие значения соответственно в R,l3;r £ Cl С М3. Далее с учетом условий (0.9), (0.10) было показано, что система ВП (0.8) сводится к нелинейному эллиптическому уравнению

Аи = 47г ехр ^ р{г) = ~и(г) + Л, Ф(г) е0, AGE, для г G fi; где е - заряд электрона. В случае, когда плазма состоит из ni + П2 сортов частиц с различными массами и зарядами, то потенциал и = и(г) удовлетворяет нелинейному эллиптическому уравнению Пуассона-Больцмана

-Аи = I Jexp(-/Ziu)dr j - (0.11) / n exp (cjju) dr I , r £ Г2, Aj, vj £ ^ujj £ где г £ Q с К3; и : О, С М3 —> R. Задавая значение потенциала на границе и(г) =и0(г), г е Ш, (0.12) краевая задача (0.11), (0.12) решалась в работе [Gogny, Lions, 1989] вариационным методом с использованием потенциальности уравнения (0.11). Существование и единственность классического решения краевой задачи (0.11), (0.12) с однородным граничным условием доказывалась [Krzywicki, Nadzieja, 1991] на основе техники априорных оценок с использованием теоремы Лере-Шаудера [Хатсон, Пим, 1983] о неподвижной точке.

Точные предельные свойства решения уравнения Пуассона - Больцма-на изучались в работе [Rubinstein, 1986]. Краевая задача (0.8) с условием ip(r) =0 для г 6 дО рассматривалась в [Веденяпин, 1986].

В настоящее время наиболее изученными установками, с точки зрения поведения плазмы, являются тороидальные магнитные ловушки (тока-маки) [Кадомцев, Сагдеев, Шафранов, 1985]. Такие установки предназначены для нагрева и достаточно длительного удержания высокотемпературной заряженной плазмы в квазистационарном состоянии, за счет того, что внешние и генерируемые токами плазмы магнитные поля не дают разлететься и остыть нагретой плазме.

В работе [Днестровский, Костомаров, 1982] показано, что при определенных предположениях равновесные конфигурации в плазме токамака описываются задачей на собственные значения для полулинейного эллиптического уравнения

Аи + А/(г, и) = 0, и = и(х), х = (r,z) £ П С М2, (0.13) и > 0, х € ft, и = 0, х € dVL, где Q - область сечения проводящего кожуха токамака в плоскости (г, z); д£1 - граница области Г2; / : М х М+ —> R; А £ К. - параметр, пропорциональный полному продольному току в плазме токамака. Причем граница дО, проводящего кожуха является магнитной поверхностью.

Вопросам несуществования, существования одного и разветвляющихся решений задачи (0.13) непосредственно посвящены работы [Похожаев, 1965; Gough, 1994] и примыкают исследования [Lions, 1982; Giacomoni, 1998]. Обобщение двумерной краевой задачи (0.13) на систему п € N эллиптических интегродифференциальных уравнений и ее разрешимость (существование и единственность классического решения) будут проведены в этой работе.

Теперь кратко остановимся на задачах физики плазмы, при математическом моделировании которых возникает нелинейное вырождающееся параболическое уравнение второго порядка [Калашников, 1987].

Известно [Днестровский, Костомаров, 1982], что один из дополнительных методов нагрева плазмы токамака до термоядерных температур и, тем самым, увеличения ее макроскопических характеристик связан с инжекцией, поперек магнитного поля, пучка нейтральных частиц высокой энергии. Нейтральные частицы не отклоняются магнитным полем и поэтому их пучок легко проникает в плазму токамака. В плазме нейтральные частицы ионизируются, образовавшиеся в результате этого высокоэнергетичные ионы захватываются магнитным полем и за счет кулоновского механизма столкновений передают свою энергию электронам и ионам плазмы. Для медленных процессов эволюции в токамаке при классическом (кулоновском) переносе плазмы преобладающей является ее диффузия поперек магнитного поля [Днестровский, Костомаров, 1982]. Диффузия плазмы в аксиально-симметричных конфигурациях возникает только за счет перекрестных столкновений между электронами и ионами. Тем самым, в результате столкновений между собой, электроны и ионы будут диффундировать поперек магнитного поля.

Диффузия плазмы через магнитное поле изучалась в работах [Hyman, Rosenau, 1986; Rosenau, Hyman, 1986; Kwong, 1988; Bertsch, Kamin, 1990} и описывается, в общем случае, нелинейными вырождающимися параболическими уравнениями второго порядка [Калашников, 1987] вида щ = Ад(и) + /(А, и), (*, х) € Е+ х fi, (0.14) и = 0, (t, х) Е М+ х dfi, и = щ, (t, х) е {0} х а

Здесь R+ = (0, оо); П С К" - открытое ограниченное подмножество с границей класса С2+а]а Е (0,1); <7 : Е+ —> М+ - непрерывная возрастающая функция; <7(0) = 0; / : М х Ё+ —> Е - непрерывная функция; д(-), /(А, •) - локально непрерывны по Липшицу; /(А,0) = 0 для A G 1. Если д~1 непрерывна по Гельдеру, тогда v = д(и) € С2+а(й) - классическое решение краевой задачи

-Av = h(A, v), x e f2, v = 0, x € dQ, (0.14)' где /i: 1 x 1+ -4 R; h(\,v) = /(A,01(i;)).

Основными инструментами исследования уравнения (0.14)' являются [Похожаев, 1980, 1991; Митидиери, Похожаев, 1998] метод обыкновенных дифференциальных уравнений, вариационные методы, метод верхних и нижних решений, априорные оценки и, так называемый, метод теорем типа Лиувилля.

Уравнение (0.14) эквивалентно уравнению щ = V- (K(u)Vu) + Q(\,u), u = u(x,t), хеШп, (0.15) и

К{и) = д'(и), д{и) = j К{Ode, > 0, о где К (и) ~ коэффициент нелинейной теплопроводности, зависящий от температуры и — и(х, t) > 0; Q(А, и) - функция, описывающая процесс тепловыделения или горения в среде с нелинейной теплопроводностью, если Q(А, и) > 0 при и > 0 и процесс поглощения тепла, если Q(Л, и) < 0.

В настоящее время имеется значительное число публикаций, посвященных исследованию уравнения (0.15). Приведем, например, обзорные статьи [Aronson, 1986; Калашников, 1987; Галактионов, Дородницын, Еле~ нин, Курдюмов, Самарский, 1987] и монографию [Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987]. В работах [Aronson, Peletier, 1981; Bertsh, 1982] для обобщенных решений начально-краевой задачи (0.14) в области Q С М1, а также [De Mottoni, Schiaffino, Tesei, 1984; Aronson, Crandall, Peletier, 1982] была построена качественная теория, аналогичная той, что развита в исследованиях [Белоносов, Зеленяк, 1975; Зеленяк, 1977] для равномерно параболических уравнений.

Уравнения (0.14), (0.15) описывают различные процессы нелинейной теплопроводности с источником (стоком) и одновременно протекающие процессы диффузии и, в частности, процесс диффузии тепла и горения нелинейной диссипативной среды с объемным энерговыделением при, так называемом, лазерном термоядерном синтезе [Самарский, Михайлов, 1997]. При этом процесс горения может осуществляться в виде сложных диссипативных структур [Самарский, Еленин, Змитриенко, Курдюмов, Михайлов, 1977; Самарский, 1980; Курдюмов, 1982], а распространение выделяющейся при этом энергии происходит в результате теплопередачи и описывается, в частности, задачей Коши щ = (К(и)их)х + Q(u), и(х, 0) = щ(х), (0.16) где и = u(x,t); t € М+; х 6 R; К(и) = k0ua\ Q(u) — q0uko,qo,(J 6 R+; (3 > 1.

В этих исследованиях показано, что, в зависимости от значений параметров сг, /3, существуют различные режимы горения нелинейной среды. Например, при (3 > 1 может развиваться, так называемый, режим горения с обострением, когда температура u(x,t), по крайней мере, в одной из точек пространства обращается в бесконечность за конечное время. Иначе, существует т € М+ (t — т - момент обострения) такое, что решение и(х, t) > 0 определено на (0, т) х R и lim sup u(x,t) = +оо, то есть задача Коши (0.16) не имеет глобального по времени решения. Неограниченные решения, или режимы с обострением, приводят к локализации в пространстве областей высокой температуры и к образованию пространственно-временных (нестационарных) диссипативных структур. Тем самым, локализация тепла и горения дает, в частности, возможность сконцентрировать любое количество энергии в ограниченных областях нелинейной среды, удерживать это тепло и горение в течение конечного времени практически без распространения из зоны локализации [Галактионов, Курдюмов, Михайлов, Самарский, 1980]. Следует отметить, что одним из примеров нестационарных диссипативных структур является эффект Т-слоя [Самарский, Дородницын, Курдюмов, Попов, 1974] в плазме. Суть этого эффекта состоит в том, что в замагниченной плазме при определенных условиях самопроизвольно могут возникать области относительно высокой температуры. Эти области, или Т-слои, обладают повышенной проводимостью. Тем самым, в них концентрируется основная часть плазменного тока, разогревающего плазму и поддерживающего в нем высокую температуру.

В настоящее время работы, посвященные исследованию системы (0.1)-(0.3) и уравнения (0.14), можно условно разделить на две большие группы, отличающиеся как используемыми методами, так и кругом рассматриваемых задач. Дадим очень краткий обзор1, выделяя в каждой группе работ лишь некоторые, наиболее близкие, на взгляд автора, к данной работе публикации.

Первую группу составляют исследования, связанные с доказательством теорем существования и единственности решений задач Коши, краевых и начально-краевых задач, а также с изучением различных динамических свойств решений, таких, как устойчивость, асимптотическое

1 Более полный обзор работ, примыкающих к результатам диссертации, проводится по главам. поведение [Poupaud, 1992; Braasch, 1996, 1997; Guo, 1997; Batt, 1998; Самарский, 1980; Калашников, 1987; Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987].

Вторую группу составляют работы, посвященные методам построения точных, либо приближенных решений в том или ином явном виде [Mahajan, 1989; Марков, 1992; Batt, Fabian, 1993; Галактионов, Дородницын, Еленин, Курдюмов, Самарский, 1987; Galaktionov, 1991, 1995; Пухначев, 1995; Капцов, 1998]. К этой группе работ примыкают исследования [Batt, Berestycki, Degond, Perthame, 1988; Degond, 1990; Галактионов, Посашков, 1989; Galaktionov, 1990; Семенов, 2000], основанные на анзатце, позволяющим свести систему (0.1)—(0.3) или уравнение (0.14) к некоторой системе, соответственно, уравнению, которые поддаются разрешимости.

Нет смысла противопоставлять эти две группы работ. Обе они важны как для понимания особенностей поведения решений исследуемых задач (0.1)—(0.3), (0.14), так и для определения области их применимости при математическом моделировании тех или иных процессов в физике плазмы. Это замечание можно отнести ко всем нелинейным уравнениям математической физики.

Частные точные и приближенные решения дают достаточно полное представление о поведении макроскопических характеристик плазмы, таких, как плотность Na, средняя скорость Va, температура Та, в некоторых, представляющих интерес с физической точки зрения, ситуациях. Это, в свою очередь, подтверждает правильность выбора математической модели, основанной на системе (0.1)-(0.3) или уравнении (0.14). С другой стороны, строгие результаты, полученные в первой группе работ, позволяют судить о том, насколько исключительны частные точные решения, насколько они отражают общую ситуацию, существуют ли решения в целом или неограниченные решения (режимы с обострением)

Результаты, изложенные в диссертации, примыкают как к первой, так и ко второй группам работ.

Уравнению Власова (0.1) соответствует характеристическая система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) описывающая движение заряженных частиц в электромагнитном поле. задач (ОЛ)-(О.З), (0.14).

0.17)

Известно [Власов, 1966], что решением системы уравнений ВМ (0.1)—(0.3) являются произвольные функции вида а = /а(Яа1,.,Яа/), Q = 1, 2, . ,71, (0.18) где Hai, • ■ •, Hai - первые интегралы системы ОДУ (0.17). Кроме того, каждая из функций распределения /а(г, v, t) сама является первым интегралом системы (0.17), то есть d s ( .4 % . 9fa . <9/а .

-/aM,t) = + r + „ = 0. (0.19)

Уравнение (0.19) называется уравнением Лиувилля [Немыцкий, Степанов, 1949; Kaplan, 1953] относительно функции распределения fa{r,v,t) частиц сорта а для системы ОДУ (0.17). Причем вдоль решения характеристической системы (0.17) функция распределения fa(r,v,t) является постоянной и определяет классическое решение уравнения Власова (0.1) [Rein, 1990; Horst, 1990]. Этот результат есть не что иное, как классическая теорема Лиувилля об инвариантной мере [Арнольд, Козлов, Ней-штадт, 1985] (см. также формулы (1.9) главы I).

Аналогично метод построения стационарных решений системы (0.4)-(0.6) состоит во введении анзатца fa(riv)=(pa(Iai,.,Ial), = 1, 2, . . . , 71, (0.20) где Iai = Iai(r,v)i г G Q С R3; v G R3; (ра : М/ —► R+ - некоторые фиксированные функции своих аргументов; 1аь - • •, Iai '• П х Е3 —;► Ш -первые интегралы уравнения Власова (0.4); ipa, Iai,., Iai - непрерывно дифференцируемые функции. Причем анзатц (0.20) редуцирует стационарную систему уравнений ВМ (0.4)-(0.6) к нелинейной системе эллиптических уравнений.

Действительно (см. раздел 2 главы I), если отыскивать стационарные распределения вида fi(r, V) = /г(-сф|2 + (Pi, (г>, di) + Фг) = fi(R, G), (0.20)'

Pi = <Pi{r) : R3 E, = 4>i{r) : M3 M, геПС R3; v 6 M3; ck G M3 (г = 1,2,., n), и соответствующие им самосогласованные электромагнитные поля Е(г), В (г), удовлетворяющие (0.4)-(0.6), тогда приходим к совместному исследованию системы нелинейных эллиптических уравнений п р п

Д</> = /л^Як / fkdv, Aip = i>22 d)fkdv, (0.21) k=l JJ3 A=1 в области fi С R2. Здесь \di\ ф 0 - свободные параметры; д =

87Гaq/m] v = -Anq / (тс2)] а — ai; q = qi] m = mi; d — d\.

Далее рассматривается редукция системы (0.21) к одному нелинейному эллиптическому уравнению.

Конкретизируя вид функций распределения (0.20), представляющих интерес в теории высокотемпературной плазмы [Ладиков, 1978], fi = ехр(-сф|2 + (v, di) + U<p + кгф + 7i) (г = 1, 2,., n), (0.22) и полагая, что fi удовлетворяют условию нормировки (0.10), система (0.21) запишется

А<р = f Jexp(Up + h^)dx n

-l qJ^e^+W ^ J exp&<Р + W)dxj , (0.23) где ip = ip(x), ф — ф(х) - потенциалы электрического и магнитного полей; ж € О С R2.

В работе [Марков, Рудых, Сидоров, Синицын, 1989] система (0.23) исследовалась в двух предельных случаях и сводилась к одному уравнению вида (0.11). Причем, зная решение уравнения (0.11) и граничное значение потенциала (р\еа, можно определить искомые электромагнитные поля.

Далее (см. раздел 3 главы I) рассматривается общий случай, когда систему (0.23) нельзя свести к одному уравнению эллиптического вида. В этом случае доказывается разрешимость (существование и единственность классического решения) задачи Дирихле для системы (0.23).

Причем в случае одного уравнения вида (0.11) при нарушении условий Ai,i/i £ К+ (г = 1,2,. ,п) свойство единственности решения может теряться. Например, этот факт следует из анализа упрощенного уравнения

Аи + Ae2u ^ J exp(2u)dx j = 0, х G Q С R2, с однородным условием Дирихле, которое допускает разветвляющиеся решения [Hesse, Schinder, 1986]. Существование разветвляющихся решений задачи Дирихле для уравнения Лиувилля А и + еехр и = 0, е G R+, рассмотрено в [Dancer, 1988].

Теперь кратко остановимся на некоторых аспектах теоремы и уравнения Лиувилля для системы обыкновенных дифференциальных уравне-ний(ОДУ) х = Х(х, t), x(t0) = х° е Rn, (0.24) где х € En; J = {t : t0 < t < +00}; X^x.t) e C§l){G)\ G = Hx J; С Rn - область (открытое связное множество). При выполнении этих условий через каждую точку х° € Rn в любой момент времени to проходит единственное решение x(t) — x(x°,to,t) задачи Коши (0.24). Известно, что системе ОДУ (0.24) соответствует уравнение Лиувилля [Немыцкий, Степанов, 1949; Kaplan, 1953] д

-/(м) = £/(М), /(Мо) = Мх). (0.25)

Здесь п о = 0-]- (0.26) i=l 1 оператор Лиувилля, относительно которого, исходя из специфики функции f(x,t) € Ьг(Мп), t е J, будем предполагать, что С действует согласно формуле

С : Cg°(Rn) -ч. L2(Mn), (0.27) fo(x) - функция, обладающая свойствами fo(x) > 0, fo(x) е C0°°(Rn), J fo(x)dx = 1, (0.28)

X{x,t) = divX{x, t) - дивергенция векторного поля системы ОДУ (0.24); D(x(x°, to, t)t) = det - якобиан отображения x° —► x(x(x°, £);

S(x, t) = det dx - якобиан отображения x(x°, to,t) —► x(x{x°,to,t),t) - дивергенция векторного поля системы ОДУ (0.24), вычисленная вдоль ее решения x(t) = x(x°,to,t).

Ансамблем Гиббса [Гиббс, 1946] системы уравнений (0.24) назовем множество идентичных систем вида (0.24) с одинаковыми правыми частями и отличающимися друг от друга лишь начальными состояниями. Если систему ОДУ (0.24) трактовать как закон движения изображающей точки х в Rn, то ансамблю Гиббса системы уравнений (0.24) будет соответствовать в IRn ансамбль изображающих точек. Пусть fi*0 с fi - компактное множество меры Лебега mesfit0, занимаемое ансамблем изображающих точек Гиббса системы (0.24) в момент времени t = to. Каждая из изображающих точек х° € fifo, двигаясь по траекториям системы ОДУ (0.24), переместится за время от to Д° t в новое состояние х(х°, t0,t) = T(t,t0)x° € fit С fi, где T(t,to) -оператор сдвига [Красносельский, 1966] вдоль траекторий системы (0.24); Qt = {x(x°,to,t) = T(t,to)x° : я0 £ fit0} - образ множества Qto в силу системы ОДУ (0.24). Итак, имеем Qt = T(t,to)fifo. Пусть mesfit - мера Лебега множества fit С fin. Функцию fo(x) со свойствами (0.28) будем трактовать как плотность вероятности распределения ансамбля изображающих точек Гиббса системы (0.24), принадлежащего множеству fito. Текущее значение функции плотности вероятности распределения f(x,t) £ Z,2(IRn),£ £ J, определяется из задачи Коши (0.25), (0.26) и характеризует состояние ансамбля изображающих точек Гиббса системы ОДУ (0.24) в образе flt множества fit0. Будем говорить, что для системы уравнений (0.24) выполняется предположение А, если для всех изображающих точек xQ С fit0 решение x(t) = x(x0,tg,t) последней нелокально продолжимо [Красносельский, 1966] на J и остается в fi при всех t > to. Под классическим решением задачи Коши (0.25) с оператором (0.26), действующим согласно (0.27), будем понимать функцию f(x,t) G Z^M"), которая, будучи подставленной в уравнение Лиувилля (0.25), обращает последнее в тождество. Тогда имеет место следующий результат [Рудых, 1987].

Теорема 0.1. Пусть для системы ОДУ (0.24) выполняется предположение А и ансамбль изображающих точек Гиббса последней характеризуется в компактном множестве fit0 С fi начальной функцией плотности вероятности распределения fo(x) со свойствами (0.28). Пусть fit = = T(t,to)x° : х° £ fit0} - образ множества fifo в силу системы (0.24) и D(x(x°,to,t),t) Ф 0. Тогда оператор сдвига T(t,to) вдоль траекторий системы ОДУ (0.24) определяет гомеоморфизм множества fit0 С fi в множество fit С fi it для всех t €Е J существует единственное классическое решение задачи Коши (0.25)-(0.27), обладающее свойствами

0.29) L f{x{x°, to, t),t) = fo(x°) exp [ - j х(Ф°, to, t), t) dt] - (0.30) to fo(xQ)/D(x(x°,t°,t),t), t f(Xyt) = fo(p(x,t,t0))ew[ - J x(x(p(x,t,tQ), to,т),т)&г] = (0.31) to f0(p(x,t,tQ))S(x,t). Помимо этого, справедливы соотношения In D(x(xq, t0, t),t) = Х(Ф°, к, t),t), D(x(x°, to, t),t)\t=t0 = 1, (0.32) = £S(x,t), S(x,t)U = 1, (0.33) mesQt = J exp [ J х{Ф°,t0,t),t) dt}dx°, (0.34)

Qtg t0 t mes = J J xix,T) dzdr + mes Qto, (0.35) to fit где L - оператор Лиувилля (0.26); p(x,t,to) = о)я = x°.

В работах [Немыцкий, Степанов, 1949; Зубов, 1982] функция p{x,t), удовлетворяющая уравнению Лиувилля (0.25),(0.26), трактовалась как ядро или плотность интегрального инварианта. Разрешая п соотношений х = x(x°,to,t) относительно п начальных состояний я0 (что возможно, так как отображение, осуществляемое оператором сдвига T(t, to), является гомеоморфным, более того, выполняются условия теоремы о неявной функции), имеем x° = T-1(t,to)=p(x,t,to)i (0.36) где р(х, t, to) ~ функции, являющиеся п независимыми первыми интегралами системы ОДУ (0.24).

Теорема 0.2 [Зубов, 1982]. Пусть (1) решение х = x(x°,to,t) системы (0.24) существует при t 6 (—оо,+оо), to Е (—оо,+оо),:г0 Е (2) векторная функция (0.36) существует при t Е (—оо, -foo),£o € (—оо, +оо),х Е Мп. Тогда каждой неотрицательной функции ро{х) ^ 0, заданной при х € Rn, непрерывно дифференцируемой по всем своим аргументам, отвечает единственное неотрицательное решение p{x>t) уравнения такое, что p(x,t) = Ро{х) при t = При этом p(x,t) является ядром интегрального инварианта системы (0.24).

Формулировку знаменитой теоремы Лиувилля, помимо его оригинальной работы [Liouville, 1838], можно найти в трудах Якоби, Больцмана^ Пуанкаре, различные ее аспекты изложены в курсе математического анализа [Гурса, 1936] и в более поздних публикациях [Соболев, 1962; Fronteau, 1965; Guiasu, 1967; Арнольд, 1974, 1975; Федорюк, 1985]. Переход от детерминированного описания динамических систем к вероятностному обсуждался в отечественной и зарубежной литературе неоднократно и связан с, так называемой, проблемой обоснования статистики [Хинчин, 1943; Крылов, 1950; Боголюбов, 1946, 1954, 1969, 1970], заключающейся в установлении связи между вероятностным и детерминированным описаниями динамических систем [Митропольский, Боголюбов, Прикарпатский, Самойленко, 1987]. По-видимому, в работах Н.М. Крылова, Н.Н.Боголюбова (см. избранные труды [Боголюбов, 1969, с.480-497; 1970, с.5-76]) впервые использовалось классическое уравнение Лиувилля faf(<l,P,t) = [H{q,p,t)J{q,p,t)}, f{q>p,t0) = f0(q,p), для вероятностного описания системы канонических уравнений Гамильтона д д Qi — т;—H(q,p, £), Pi = -—H{q,p,t), qi{tQ) = qQi, Pi(t0) = opi dqi со случайными начальными состояниями, распределенными в фазовом пространстве R2n. Здесь q,p G Rn - вектор обобщенных координат и сопряженный вектор обобщенных импульсов; to < t < +оо); H(q,p,t) 6 C°°(R2n+1) - функция Гамильтона; н f] = Ш dpidgi.

- скобка Пуассона; fo{q,p), f{q,P,t) - начальная и текущая функции плотности вероятности распределения ансамбля изображающих точек

Гиббса [Гиббс, 1946] системы канонических уравнений в R2n со свойствами

Теорема и уравнение Лиувилля являются эффективным инструментом и широко используются при доказательстве теорем существования [Повзнер, 1964], синтезе оптимальных управлений пучками траекторий [Овсянников, 1980; Рудых, 1982], исследовании устойчивости [Fronteau, 1965; Рудых 1982, 1983, 1984; Жуков, 1992], анализе различных динамических свойств [Misra, 1978; Steeb, 1979; Рудых 1982, 1987], качественном изучении [Fronteau, 1979; Рудых 1982; Жуков, 1992] систем обыкновенных дифференциальных уравнений, динамических систем [Корнфельд, Синай, Фомин, 1980] и, наконец, при выявлении стохастических режимов [Синай, 1979] последних.

Кроме того, теорема и уравнение Лиувилля играют весьма важную роль в статистической механике [Хинчин, 1943; Крылов, 1950; Боголюбов, 1946, 1954; Пригожин, 1964] не только в связи с проблемой обоснования статистики, но и с выяснением структуры состояния системы многих тел и процессов стремления ее к равновесию. Теорема Лиувилля об инвариантной мере [Арнольд, Козлов, Нейштадт, 1985] является основой качественных методов в исследовании проблемы п- тел в классической механике [Хильми, 1951, 1958] и звездной динамике [Батт, 1986; Guo, Rein, 1998]. Помимо этого, уравнение Лиувилля является отправной точкой как для эргодической теории [Корнфельд, Синай, Фомин, 1980], так и для кинетической теории необратимых процессов, например, для вывода системы интегродифференциальных уравнений Власова-Максвелла (ВМ) [Власов, 1950, 1966]. В самом деле, из работ [Власов, 1950, 1966] следует, что уравнение Власова может быть получено из уравнения Лиувилля для функции распределения всех заряженных частиц данного сорта а, если пренебречь корреляциями частиц и предположить, что многочастичная функция распределения является произведением одно-частичных функций распределения. Использование теоремы Лиувилля в исследовании системы уравнений ВМ можно найти в работах [Мас-лов, Федорюк, 1985; Schwarz, 1986; Lewis, Barnes, Melendez, 1987; Horst, 1990; Rein, 1990]. Бесконечномерный гамильтонов формализм для бесконечномерной системы ВМ развит в работах [Morrison, 1980; Weinstein, Morrison, 1981; Marsden, 1982]. В этих публикациях вводится техника вычисления скобок Пуассона для системы уравнений ВМ и показано, что

МЧуР) > 0, fo(q,p)dqdp = 1, f(q,p,t)dqdp = 1. последняя является бесконечномерной гамильтоновой системой, то есть допускает представление в виде уравнения Лиувилля.

Наконец, в исследованиях [Fronteau, Combis, 1984; Chaljub-Simon, Fro-nteau, 1986] применялась теорема Лиувилля, а в работах [Рудых, Семенов, 1990, 1991, 1993, 1995, 1997, 1998, 2000; Рудых, 1998, 2000; Rudykh, Semenov, 1990, 1991] - уравнение Лиувилля для построения точных решений нелинейных эволюционных уравнений. Большинство из построенных на основе уравнения Лиувилля точных решений нелинейных эволюционных уравнений не являются инвариантными с точки зрения групп точечных преобразований и групп Ли-Беклунда [Овсянников, 1978; Ибрагимов, 1983]. Построению точных неотрицательных решений квазилинейных параболических уравнений нелинейной теплопроводности посвящено большое число публикаций. Укажем лишь наиболее близкие исследования [Баренблатт, 1952, 1956; Галактионов, Дородницын, Еленин, Курдюмов, Самарский, 1987; Галактионов, Посашков, 1988, 1989, 1994; Галактионов, Посашков, Свирщевский, 1994, 1995; Дородницын, 1982; Дородницын, Князева, Свирщевский, 1983; Кершнер, 1978; Косыгина, 1994, 1995; Мартинсон, 1979, 1982, 1986; Овсянников, 1959; Пухначев, 1987, 1994, 1995; Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987; Свирщевский, 1995; Аристов, 1999; Сидоров, 1985; Титов, 1988, 1996; Титов, Устинов, 1985; Фущич, Штелень, Серов, 1989; Bertsch, Kersner, Peletier, 1985; Galaktionov, 1990, 1991, 1995; Herrero, 1989; King, 1993; Meirmanov, Pukhnachev, Shmarev, 1997; Olver, 1991, 1994; Peletier, Zhang, 1995], в которых можно найти ссылки на другие исследования.

Точные решения нелинейных дифференциальных и интегродиффе-ренциальных уравнений с частными производными, задача построения которых является сама по себе самостоятельной математической проблемой [Калоджеро, Дегасперис, 1985], играют весьма важную роль практически во всех областях современной математической физики. Дело в том, что при математическом моделировании [Самарский, Михайлов, 1997] исследуемого физического явления (объекта) наиболее интересные закономерности, как правило, обусловлены его нелинейным поведением. С другой стороны, математическая модель в первую очередь отражает наиболее общие закономерности исследуемого объекта, такие, как законы сохранения, правила отбора и т.п., являющиеся следствием его симмет-рийных свойств, исследованию которых посвящена обширная литература. За последние три десятилетия был достигнут значительный прогресс в построении и исследовании точных решений широкого класса нелинейных дифференциальных и интегродифференциальных (например, система Бенни) уравнений с частными производными. Используемые при этом алгеброгеометрический и аналитический подходы в основном связаны с методом обратной задачи рассеяния [Лаке, 1969; Захаров, Шабат, 1974, 1979; Захаров, Манаков, Новиков, Питаевский, 1980]. Однако [Маслов, Данилов, Волосов, 1987] к полулинейным, а тем более к нелинейным параболическим уравнениям второго порядка неприменим метод обратной задачи рассеяния. В связи с этим, в работе [Маслов, Данилов, Волосов, 1987, с. 177-209], прямым методом [Хирота, 1983], с небольшими модификациями и с использованием Паде-аппроксимации, построены точные одно и двухфазные решения широкого класса одномерных полулинейных параболических уравнений.

Возникает естественный вопрос, для чего нам нужны точные аналитические решения нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Дело в том, что точные решения нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными служат прекрасными тестами для приближенных методов их интегрирования, дают представление о структуре решения и позволяют провести его качественный анализ. Хорошо известно, что метод дифференциальных связей [ Сидоров, Шапеев, Яненко, 1984; Андреев, Капцов, Пухначев, Родионов, 1994; Кап-цов, 1998] является одним из эффективных методов выделения классов точных решений нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными и содержит в качестве частных случаев методы построения промежуточных интегралов, функционально-инвариантных и автомодельных решений.

Итак, точные решения квазилинейных параболических уравнений наглядно демонстрируют и позволяют разобраться в механизме таких важных физических явлений, как неограниченные решения, или режимы с обострением, эффекты локализации режимов с обострением, приводящих к образованию нестационарных диссипативных структур, асимптотическое поведение положительных решений, множественность или отсутствие стационарных состояний и т.п.[Самарский, Галактионов, Кур-дюмов, Михайлов, 1987; Галактионов, Дородницын, Еленин, Курдюмов, Самарский, 1987; Ахромеева, Курдюмов, Малинецкий, Самарский, 1992].

Следует отметить, что даже частные точные решения нелинейных дифференциальных уравнений, которые не имеют ясного физического смысла, играют важную роль тестовых примеров при проверке корректности и оценке точности различных численных, асимптотических и приближенных аналитических методов. С другой стороны, так как исследуемые уравнения являются нелинейными и построить их общее решение из частного нельзя, то наборы частных точных решений последних служат своего рода ориентирами или границами среди множества всех возможных решений. В связи с этим, частные точные (в частности, автомодельные) решения нашли широкое применение [Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987] в принципе максимума и теоремах сравнения, когда исследование многих важных аспектов качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными опирается на специальное сравнение с пространственно временной структурой построенного точного решения. Тем самым, принцип максимума и теоремы сравнения позволяют сопоставить различные решения исследуемого нелинейного параболического уравнения и дают возможность с помощью какого-то одного фиксированного (точного) решения описать и изучить свойства широкого класса других решений.

Задача нахождения в замкнутом виде точных решений нелинейных уравнений математической физики является очень трудной и порой непреодолимой. Сложность обусловлена, главным образом, либо нелинейностью уравнений, либо большим числом переменных. Поэтому получили широкое распространение исследования (см. работы [Galaktionov, 1991; Галактионов, Посашков, Свирщевский, 1995; Свирщевский, 1995] и цитируемую в них литературу), связанные с проблемой отыскания конечномерных линейных пространств, инвариантных относительно заданного оператора. Показано, что изучаемая проблема, в общем случае, сводится к некоторой нелинейной задаче на собственные значения.

С другой стороны, многие важные нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными обладают некоторой внутренней структурой, знание которой позволяет отыскивать точные решения, исходя из соображений симметрии. Одним из таких уравнений является уравнение нелинейной теплопроводности с источником (стоком) вида (0.15).

Для уравнения (0.16) в исследовании [Овсянников, 1959] впервые решена задача групповой классификации в одномерном случае и отсутствии объемных источников тепла. В работах [Дородницын, 1982; Дородницын, Князева, Свирщевский, 1983] проведен групповой анализ уравнения (0.16) соответственно в одномерном и многомерном случаях (п — 2,п = 3).

В работе одним из объектов исследования является уравнение нелинейной диффузии: ut = V • (uxVu), и = u(x,i),x G Rn,n > 1, (0.37) которое обладает различными, в зависимости от знака параметра Л G R, А ф 0, свойствами. Если Л > 0, тогда (0.37) является квазилинейным параболическим уравнением с неявным вырождением [Калашников, 1987]. Другими словами, уравнение (0.37) является параболическим при и > 0, а при и — 0 вырождается в нелинейное эволюционное уравнение первого порядка типа Гамильтона-Якоби. Исследованиями [Олей-ник, 1957; Олейник, Калашников, Чжоу Юй-Линь, 1958] было начато построение строго математической теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений, а затем продолжено в монографиях [Антон-цев, 1986; Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987] и обзорных работах [Kersner, 1978; Мартинсон, 1982, 1986; Калашников, 1987; Aronson, 1988]. С вырождением уравнения (0.37) связаны некоторые особые свойства его решений, например, конечность скорости распространения носителей решений [Олейник, Калашников, Чжоу-Юй-Линь, 1958; Калашников, 1967, 1972]. В свою очередь, с конечностью скорости распространения носителей решений уравнения (0.37), при Л G R+, связаны многие другие типичные свойства последнего [Калашников, 1987; Антонцев, 1986]: наличие (1) режимов с обострением (несуществование глобальных по времени решений); (2) эффектов локализации режимов с обострением; (3) инерции(конечной или бесконечной временной задержки) начала распространения носителя решения и т.п.

С другой стороны, если Л G Ж~, то в этом случае типичным свойством решений уравнения (0.37) является свойство обращения их в нуль за конечное время. Эффект полного остывания для уравнения (0.37) при Л < 0, рассматриваемого в ограниченной области Q G Mn(u(x, t) = 0 на dfl), известен сравнительно давно [Сабинина, 1962].

Уравнение (0.37) при Л > 0 описывает процесс нестационарной фильтрации, называется уравнением пористой среды и возникает в задачах распространения тепла и диффузии в средах с большими температурными перепадами [Калашников, 1987]. Уравнение (0.37) при Л < 0 описывает диффузионные процессы в полупроводниках, кристаллическом водороде, плазме [Галактионов, Дородницын, Еленин, Курдюмов, Самарский, 1987; Калашников, 1987; Пухначев, 1994, 1995] и называется уравнением быстрой диффузии. Наконец, при А = — 1 уравнение (0.37) запишется щ = АЫи, и = и(х, t), х (Е Rn, п > 1. (0.38)

Уравнение (0.38), согласно общепринятой терминологии, является предельной формой уравнения быстрой диффузии и описывает [Пухначев, 1995] при п = 2 процесс растекания сверхтонкой пленки жидкости под действием сил Ван-дер-Ваальса, а для п = 3 - эволюцию плотности электронного пучка, подчиненного распределению Максвелла. Отметим, что уравнение (0.38) при п = 2 является особым с точки зрения групповой теории, так как в этом случае группа допустимых преобразований бесконечномерна и называется предельным уравнением быстрой диффузии. Несмотря на большое число работ, посвященных построению точных неотрицательных решений уравнения (0.37), большинство из них относится к случаю, когда А > 0. Известных нам работ, в которых строятся частные точные неотрицательные решения многомерного уравнения быстрой диффузии, значительно меньше. Поэтому основное внимание в^ соответствующих главах диссертации уделено построению точных неотрицательных решений многомерных уравнений быстрой и предельной диффузии.

Настоящая работа посвящена исследованию интегродифференциаль-ной системы уравнений ВМ и уравнения нелинейной теплопроводности.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Нумерация формул, утверждений и теорем двузначная в пределах каждой главы, первая цифра соответствует номеру раздела. В ссылках на формулы, утверждения и теоремы из других глав добавляется цифра, соответствующая номеру главы, которая ставится в начале. Наконец, обзор работ, примыкающих к результатам диссертации, проводится по главам.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Рудых, Геннадий Алексеевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты, полученные в работе.

1. Отыскание стационарных решений п-компонентной интегродиффе-ренциальной системы уравнений ВМ (с учетом задания функций распределения fa(r,v,t) ) сведено к совместному исследованию системы двух нелинейных эллиптических уравнений ("разрешающая"система) в области Г2 с 3R2. Рассмотрены случаи редукции этой системы к одному нелинейному эллиптическому уравнению, названному в работе "разрешающим". Для этого уравнения рассмотрена задача Дирихле. На этой основе доказаны две общие теоремы о существовании решений исходной стационарной системы уравнений ВМ с граничным условием Дирихле на скалярный потенциал. Причем самосогласованные поля Е(г),В(г) и функции распределения /а(г, v) определены в явном виде.

2. Изучен случай, когда "разрешающая"система нелинейных эллиптических уравнений не сводится к одному "разрешающемумуравнению. Тогда задача конструктивного построения стационарных решений п -компонентной системы уравнений ВМ сводится к равномерно эллиптической нелинейной системе, содержащей нелокальные (интегральные) операторы, с граничными условиями Дирихле. В предположении существования верхних и нижних решений, удовлетворяющих некоторым неравенствам, доказана теорема существования и единственности классического решения исследуемой системы нелинейных эллиптических уравнений (теорема З.1.). Причем характер нелинейности позволяет свести построение верхних и нижних решений исследуемой задачи к конечномерным задачам. Для этого нужно, только, уметь решать задачу Дирихле для уравнения Пуассона с единичной правой частью.

3. Проведено исследование нестационарной n-компонентной системы уравнений ВМ с внешними источниками. При определенных предположениях, доказано, что плотности внешних зарядов /?°(г, t), токов j°(r, t) и функции распределения fa(r,v,t) индуцируют самосогласованные электромагнитные поля E(r,t), B(r,t).

4. На основе уравнения Лиувилля, доказано существование (путем конструктивного построения) точных неотрицательных решений (большинство из которых не являются инвариантными с точки зрения групп точечных преобразований и групп Ли-Беклунда) многомерного квазилинейного уравнения теплопроводности с конечной скоростью распространения возмущений.

5. Предложена и исследована нетривиальная конструкция точного неотрицательного решения многомерного уравнения нелинейной диффузии в виде "конечной суммы", которое, в зависимости от параметра нелинейной среды Л G 9R\{0}, описывает различные процессы распространения тепла и диффузии. В итоге, после подстановки предъявленной конструкции в изучаемое уравнение, приходим к исследованию конечномерной переопределенной системы алгебро-дифференциальных уравнений (АДУ).

6. Получены достаточные условия, обеспечивающие существование решения задачи Коши для переопределенной системы АДУ. На основе этого результата, показано, что введенная конструкция позволяет получить (а с использованием результатов качественного исследования задачи Коши для некоторого скалярного ОДУ) и проанализировать точные неавтомодельные, анизотропные по пространственным переменным, явные неотрицательные решения, как класса уравнений пористой среды, когда Л € так и класса уравнений быстрой диффузии, когда Л E 5ft-.

7. Получены новые точные неавтомодельные, анизотропные по пространственным переменным, явные неотрицательные решения предельного уравнения быстрой диффузии, которое, как известно, является особым с точки зрения групповой теории, так как в этом случае группа Ли допустимых преобразований бесконечномерна.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Рудых, Геннадий Алексеевич, 2004 год

1. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука. 1994.

2. Антонцев С.Н. Локализация решений вырождающихся уравнений механики сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР. 1986. 108С.

3. Аристов С.Н. Периодические и локализованные точные решения уравнения ht = Л In Л// Прикл. механика и технич. физика. 1999. Т.40, N 1. С.22-26.

4. Арнольд В.И. Об условиях нелинейной устойчивости плоских стационарных криволинейных течений идеальной жидкости// Докл. АН СССР. 1965. Т. 162, N 5. С.975-978.

5. Арнольд В.И. Об одной априорной оценке теории гидродинамической устойчивости // Изв. высш. учебн. заведений. Математика. 1966, N 5. С.3-5.

6. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука. 1974.

7. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1975.

8. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики// Итоги науки и техн. Соврем, про-бл. матем. Фундаментальные направления. Т.З. М.: ВИНИТИ. 1985. С.5-304.

9. Арсеньев А.А. Единственность и существование в малом классического решения системы уравнений Власова// Докл. АН СССР. 1974. Т.218, N 1. С.11-12.

10. Арсеньев А.А. Существование в целом слабого решения системы уравнений Власова// Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1975. Т. 15, N 1. С.136-147.

11. Архипов Ю.Ю., Веденяпин В.В. О классификации и устойчивости стационарных решений уравнения Власова на торе и в граничной задаче// Труды МИРАН. 1994. Т.203. С.13-20.

12. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Квазилокальные симметрии уравнений типа нелинейной теплопроводности// Докл. АН СССР. 1987. Т.295, N 1. С.75-78.

13. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Квазилокальные симметрии уравнений математической физики// Математическое моделирование. Нелинейные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Наука. 1987. С.22-56.

14. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Нелокальные симметрии. Эвристический подход// Соврем, пробл. матем. Новейшие достижения. Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ АН СССР. 1989. Т.34. С.3-83.

15. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970.

16. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука. 1992.

17. Баренблатт Г.И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде// Прикл. матем. и механика. 1952. Т.16, N 1. С.67-68.

18. Баренблатт Г.И. Об автомодельных решениях задачи Коши для нелинейного параболического уравнения нестационарной фильтрации газа в пористой среде// Прикл. матем. и механика. 1956. Т.20, N 6. С.761-763.

19. Батт Ю. Нелинейная система Власова-Пуассона уравнений с частными производными в звездной динамике// Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск: Наука. 1986. С.47-55.

20. Баутин С.П. Применение характеристических рядов для представления решений нелинейных уравнений параболического типа в окрестности линии вырождения // Численные методы механики сплошной среды. 1985. Т.16, N 5. С.16-28.

21. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука. 1976.

22. Белоносов B.C., Зеленяк Т.И. Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений. Новосибирск: НГУ. 1975.

23. Бицадзе А.В. Точные решения некоторых классов нелинейных уравнений в частных производных// Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, N 10. С. 1774- 1778.

24. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.

25. Богаевский В.Н., Повзнер А.Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений. М.: Наука. 1987.

26. Боголюбов Н.Н. О некоторых статистических методах в математической физике. Киев: АН УССР. 1954.

27. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. M.-JI.: Гостехиздат. 1946.

28. Боголюбов Н.Н. Избранные труды. Киев: Наукова думка. 1969. Т.1. 647С.

29. Боголюбов Н.Н. Избранные труды. Киев: Наукова думка. 1970. Т.2. 522С.

30. Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. М.: Наука. 1991.

31. Богоявленский О.И. Точные глобальные равновесия плазмы // УМН. 2000. Т.55, N 2. С.63-102.

32. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехтеориздат. 1956.

33. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука. 1968.

34. Веденяпин В.В. Граничные задачи для стационарного уравнения Власова // Докл. РАН. 1986. Т.290, N 4. С.777-780.

35. Веденяпин В.В. Граничные задачи для стационарного уравнения Власова // Докл. РАН. 1992. Т.323, N 6. С.1004-1006.

36. Векуа И.Н. Замечания о свойствах уравнения Аи = —2Кеи // Сиб. матем. журн. 1960. T.l, N 3. С.331-342.

37. Веселов А.П., Дынников И.А. Интегрируемые градиентные потоки // Алгебра и анализ. 1996. Т.8, N 3. С.78-103.

38. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1971.

39. Власов А.А. Теория многих частиц.М.: Гостехиздат, 1950.

40. Власов А.А. Статистические функции распределения.М: Наука, 1966.

41. Власов А.А. Нелокальная статистическая механика. М.: Наука, 1978.

42. Волосов К.А. Об одном свойстве анзаца метода Хироты для квазилинейных параболических уравнений // Матем. заметки. 2002.Т.71, N 3. С.373-389.

43. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука. 1976.

44. Вольперт А.И., Худяев С.И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. М.: Наука. 1975.

45. Вольперт А.И., Иванова А.Н. Математические модели в химической кинетике // Математическое моделирование. Нелинейные дифференциальные уравнения в математической физике. М.: Наука. 1987. С.57-102.

46. Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П., Самарский А.А. Асимптотическая стадия режимов с обострением и эффективная локализация тепла в задачах нелинейной теплопроводности / / Дифференц. уравнения. 1980. Т.16, N 7. С.1196-1204.

47. Галактионов В.А., Посашков С.А. Неограниченное точное решение уравнения нелинейной теплопроводности с источником // Препринт ИПМ АН СССР. N 42. Москва. 1988. 15С.

48. Галактионов В.А., Посашков С.А. О новых точных решениях параболических уравнений с квадратичными нелинейностями // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1989. Т.29, N 4. С.497-506.

49. Галактионов В.А., Посашков С.А. Точные решения и инвариантные пространства для нелинейных уравнений градиентной диффузии // Журн. вычис. матем. и матем. физики. 1994. Т.34, N 3. С.373-383.

50. Галактионов В.А., Посашков С.А. Примеры нессиметричного полного остывания и режимов с обострением для квазилинейных уравнений теплопроводности // Препринт ИПМ РАН. N 21. Москва. 1994. 24С.

51. Галактионов В.А., Посашков С.А., Свирщевский С.Р. Об инвариантных множествах и точных решениях нелинейных эволюционных уравнений с квадратичными нелинейностями // Препринт ИПМ РАН. N 22. Москва. 1994.

52. Галактионов В.А., Посашков В.А., Свирщевский С.Р. Обобщенное разделение переменных для дифференциальных уравнений с полиномиальными нелинейностями // Дифференц. уравнения. 1995. Т.31, N 2. С.253-261.

53. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. 1966.

54. Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // Успехи матем. наук. 1959. Т.14, N 2. С.87-158.

55. Герман Р. Продолжения, преобразования Беклунда и теория Ли как средство для изучения нелинейных дифференциальных уравнений // В. кн.: Солитоны в действии. М.: Мир. 1981. С.45-71.

56. Гиббс Дж. Основные принципы статистической механики. М.: Го-стехиздат. 1946.

57. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука. 1989.

58. Гурса Э. Курс математического анализа. М.-Л.: ОНТИ, 1936.

59. Данилов В.Г., Субочев П.Ю. Точные однофазные и двухфазные решения полулинейных параболических уравнений // Препринт МИАН СССР. Москва. 1988.

60. Данилов В.Г., Субочев П.Ю. Волновые решения полулинейных параболических уравнений // ТМФ. 1991. Т. 89, N 1. С.25-47.

61. Девидсон Р. Теория заряженной плазмы. М.: Мир, 1978. 215С.

62. Днестровский Ю.Н. Костомаров Д.П.Математическое моделирование плазмы. М.: Наука. 1982. 320С.

63. Добрушин P.JI. Уравнение Власова // Функц. анал. и его приложения. 1979. Т. 13, N 2. С.48-58.

64. Дородницын В.А. Об инвариантных решениях уравнения нелинейной теплопроводности с источником // ЖВМ и МФ. 1982. Т.22, N 6. С.1393-1400.

65. Дородницын В.А., Князева И.В., Свирщевский С.Р. Групповые свойства уравнения теплопроводности с источником в двумерном и трехмерном случаях // Дифференц. уравнения. 1983. Т.19, N 7. С.1215-1223.

66. Дривотин О.И., Овсянников Д.А. Самосогласованные распределения для пучков заряженных частиц. Санкт-Петербург: С.-ПГУ. 2001. 106с.

67. Жуков В.П. Полевые методы в исследовании нелинейных динамических систем. М.: Наука. 1992.

68. Журавлев В.М. Точные решения уравнения нелинейной диффузии щ = Alnw + Хи в двумерном координатном пространстве // Теор. и матем. физика. 2000. Т. 124, N 2. С.265-278.

69. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. Точные решения. М.: Физматлит. 2002.

70. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния // Функцион. анализ и его прилож. 1974. Т.8. Вып.З. С.43-53.

71. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния // Функцион. анализ и его прилож. 1979. Т.13. Вып.З. С.13-22.

72. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи рассеяния. М.: Наука. 1980.

73. Зеленяк Т.И. О качественных свойствах решений квазилинейных смешанных задач для уравнений параболического типа // Матем. сборник. 1977. Т. 104, N 3. С. 486-510.

74. Зельдович Я.Б., Компанеец А.С. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры // Сб., посвященный 70-летию академика А.Ф.Иоффе. М.: Изд-во АН СССР. 1950. С.61-71.

75. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. М.: Высшая школа. 1982.

76. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука. 1983.

77. Иорданский С.В. О задаче Коши для кинетического уравнения плазмы // Труды МИАН СССР. 1961. Т.60. С.181-194.

78. Кадомцев Б.Б., Сагдеев Р.З., Шафранов В.Д. Теория термоядерной тороидальной плазмы // Вестник АН СССР. 1985, N 3. С.28-37.

79. Калашников А.С. О возникновении особенностей у решений уравнения нестационарной фильтрации // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1967. Т.7, N 2. С.241-259.

80. Калашников А.С. Об уравнениях типа нестационарной фильтрации с бесконечной скоростью распространения возмущений // Вестн. МГУ. Сер. мат. мех. 1972, N 6. С.45-49.

81. Калашников А.С. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка // УМН. 1987. Т.42, N 2. С.135-176.

82. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и со-литоны. Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений. М.: Мир. 1985.

83. Капцов О.В. Нелинейные диффузионные уравнения и инвариантные многообразия // Мат. моделирование. 1992. Т.4, N 8. С.31-46.

84. Капцов О.В. Построение точных решений систем диффузионных уравнений // Мат. моделирование. 1995. Т.7, N 3. С.107-115.

85. Капцов О.В. Линейные определяющие уравнения для дифференциальных связей// Матем. сборник. 1998. Т.189, N 12. С.103-118.

86. Карасев М.В., Маслов В.П. Алгебры с общими перестановочными соотношениями и их приложения. И. Операторные унитарно-нелинейные уравнения // Совр. пробл. математики. М.: ВИНИТИ. 1979. Т. 13. С. 145-267.

87. Кершнер Р. О некоторых свойствах обобщенных решений квазилинейных вырождающихся параболических уравнений // Acta Math. Acad. Sci. Hungaricae. 1978. T.32, N 3-4. C.301-330.

88. Ковалев В.Ф., Кривенко С.В., Пустовалов В.В. Групповой анализ кинетического уравнения Власова.1 // Дифференц. уравнения. 1993. Т.29, N 10. С.1804-1817.

89. Ковалев В.Ф., Кривенко С.В., Пустовалов В.В. Групповой анализ кинетического уравнения Власова.П // Дифференц. уравнения. 1993. Т.29, N 11. С.1971-1983.

90. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М. : Наука. 1980.

91. Косыгина Е.Р. О новых точных сингулярных решениях многомерного уравнения нелинейной диффузии // Теор. и прикл. аспекты мат. исслед. М.: МГУ. 1994. С.71-75.

92. Косыгина Е.Р. Об анизотропных точных решениях многомерного уравнения нестационарной фильтрации // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1995. Т.35, N 2. С.241-259.

93. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз. 1962.

94. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1966.

95. Крылов Н.В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. М.: Наука. 1985.

96. Крылов Н.С. Работы по обоснованию статистической физики. M.-JL: АН СССР. 1950.

97. Кудряшов Н.А. Многофазные и рациональные решения нелинейных уравнений одного семейства // ТМФ. 1993. Т.94, N 3. С.393-407.

98. Курдюмов С.П. Собственные функции горения нелинейной среды и конструктивные законы построения ее организации // Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука. 1982. С.217-243.

99. Ладиков Ю.П. Стабилизация процессов в сплошных средах. М.: Наука, 1978.

100. Лаке П.Д. Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные волны // Математика. 1969. Т.13, N 5. С.128-150.

101. Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений. М.: Мир. 1974.

102. Локуциевский О.В., Михайлова М.С., Хазин Л.Г., Ходатаев К.В. Об устойчивости стационарных решений одномерных уравнений Власова // Препринт ИПМ АН СССР. N 75. Москва. 1974. 35С.

103. Марков Ю.А., Рудых Г.А., Сидоров Н.А., Синицын А.В. Существование стационарных решений уравнений Власова-Максвелла и некоторые их точные решения // Мат. моделирование. 1989. T.l, N 6. С.95-107.

104. Марков Ю.А., Рудых Г.А., Сидоров Н.А., Синицын А.В. Об одном семействе решений системы Власова-Максвелла и их устойчивости // Мат. моделирование. 1990. Т.2, N 12. С.88-101.

105. Марков Ю.А. Точные решения нелинейных уравнений равновесия плазмы // Препринт ИрВЦ СО АН СССР. N 2. Иркутск. 1988. 23С.

106. Марков Ю.А. Точные решения системы уравнений Власова

107. Максвелла. Устойчивость равновесных состояний // Дис.канд.физ.-мат. наук, Иркутск, 1992.

108. Марков Ю.А. Об одном классе точных решений кинетической модели равновесия плазмы // Теорет. и математ. физика. 1992. Т.91, N 1. С.129-141.

109. Марков Ю.А. О некоторых точных решениях кинетической модели равновесия плазмы // Докл. АН СССР. 1989. Т.308, N 1. С.80-83.

110. Мартинсон Л.К. Распространение тепловой волны в нелинейной среде с поглощением // Прикл. механика и технич. физика. 1979, N 4. С.36-39.

111. Мартинсон Л.К. Эволюция теплового импульса в среде с нелинейной теплопроводностью // Тр. МВТУ. 1982, N 374. С. 14-34.

112. Мартинсон Л.К. Исследование математической модели переноса нелинейной теплопроводности в средах с объемным поглощением // Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. М.: Наука. 1986. С.279-309.

113. Маслов В.П. Уравнения самосогласованного поля // Совр. пробл. математики. М.: ВИНИТИ. 1978. Т.Н. С.153-234.

114. Маслов В.П., Федорюк М.В. Линейная теория затухания Ландау // Матем. сборник. 1985. Т.127, N 4. С.445-475.

115. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. М.: Наука. 1987.

116. Митропольский Ю.А., Боголюбов Н.Н., Прикарпатский А.К., Са-мойленко В.Г. Интегрируемые динамические системы: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты. Киев.: Наукова думка. 1987.

117. Митидиери Э., Похожаев С.И. Отсутствие глобальных положительных решений квазилинейных эллиптических неравенств // Докл. АН СССР. 1998. Т.359, N 4. С.456-460.

118. Мовчан А.А. Устойчивость процессов по двум метрикам // Прикл. матем. и механика. 1960. Т.24, N 6. С.988-1001.

119. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений.М.: Гостехиздат. 1949.

120. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир. 1989.

121. Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнения нелинейной теплопроводности// Докл. АН СССР. 1959. Т.125, N 3. С.492-495.

122. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978.

123. Овсянников Д.А. Математические методы управления пучками. Л: Изд-во ЛГУ. 1980.

124. Олейник О.А. Об уравнениях типа нестационарной фильтрации // Докл. АН СССР. 1957. Т.113, N 6. С.1210-1213.

125. Олейник О.А., Калашников А.С., Чжоу-Юй-Линь. Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1958. Т.22, N 5. С.667-704.

126. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М.: Наука, 1965.

127. Повзнер А.Я. Теорема существования в целом для нелинейной системы и индекс дефекта линейного оператора // Сиб. мат. журн. 1964. Т.5, N 2. С.377- 386.

128. Похожаев С.И. О собственных функциях уравнения Au+\f(u) = О // Докл. АН СССР. 1965. Т.165, N 1. С.36-39.

129. Похожаев С.И. Об уравнениях вида Аи = f(x,u,Du) // Матем. сборник. 1980. Т.113, N 2. С.324-338.

130. Похожаев С.И. Об одной задаче J1.B. Овсянникова // Прикл. механика и техн. физика. 1989. N 2. С.5-10.

131. Похожаев С.И. Об эллиптических задачах в Ж™ с суперкритическим показателем нелинейности // Матем. сборник. 1991. Т.182, N 4. С.467-489.

132. Пригожин И. Неравновесная статистическая механика. М.: Мир. 1964.

133. Пухначев В.В. Преобразования эквивалентности и скрытая симметрия эволюционных уравнений // Докл. АН СССР. 1987. Т.294, N 3. С.535-538.

134. Пухначев В.В. Преобразования взаимности радиальных уравнений нелинейной теплопроводности // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1994.Т. 213. С.151-163.

135. Пухначев В.В. Многомерные точные решения уравнения нелинейной диффузии // Прикл. механика и технич. физика. 1995. Т.36, N 2. С.23-31.

136. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука. 1978.

137. Рубинов А.С., Рудых Г.А. Оператор Лиувилля и существование в целом решения системы квазиканонических уравнений Гамильтона // Дифференц. уравнения и числ. методы. Новосибирск: Наука. 1986. С.162-168.

138. Рудых Г.А. Исследование обобщенного уравнения Лиувилля // ТМФ. 1981. Т.46, N 3. С.414-425.

139. Рудых Г.А. Динамика неконсервативных негамильтоновых системв вероятностной постановке // Дис.канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ.1982.

140. Рудых Г.А. Обобщенное уравнение Лиувилля в иследовании устойчивости неавтономных систем // Динамика нелинейных систем. Новосибирск: Наука. 1983. С.141-151.

141. Рудых Г.А. Связь теоремы Лиувилля для неавтономной системы дифференциальных уравнений с устойчивостью движения // Метод функций Ляпунова и его приложения. Новосибирск: Наука. 1984. С.151-170.

142. Рудых Г.А. Наиболее вероятная (типичная) траектория движения неконсервативной негамильтоновой системы // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы. Пермь: ПГУ. 1984. С. 137-145.

143. Рудых Г.А. О поведении интегральной кривой системы квазиканонических уравнений Гамильтона // Дифференц. уравнения и числ. методы. Новосибирск: Наука. 1986. С. 153-162.

144. Рудых Г.А. Свойства интегральной кривой и решения неавтономной системы дифференциальных уравнений // Функции Ляпунова и их применения. Новосибирск: Наука. 1987. С. 189-198.

145. Рудых Г.А. Точные неавтомодельные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии // Докл. РАН. 1998. Т.358, N 3. С.323-324.

146. Рудых Г.А. Пары Лакса для одномерного нелинейного эволюционного уравнения и обобщенное преобразование Миуры // Докл. РАН. 1998. Т.358, N 6. С.749-751.

147. Рудых Г.А. Одномерное нелинейное эволюционное уравнение допускает счетное число представлений Лакса и Богоявленского // Докл. РАН. 1997. Т.356, N 5. С.605-607.

148. Рудых Г.А. (Ь,А)-пары Лакса для одномерного нелинейного эволюционного уравнения // Докл. РАН. 1997. Т.356, N 1. С.19-21.

149. Рудых Г.А. Существование и качественный анализ точных неавтомодельных решений уравнения щ = V • (uAV") // Труды международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск, 2000. С.189-193.

150. Рудых Г.А. Свойства стационарных решений нелинейной краевой задачи, моделирующей диффузию плазмы поперек магнитного поля // Докл. РАН (направлена в печать).

151. Рудых Г.А., Рубинов А.С., Синицын А.В. Алгоритм решения обобщенного уравнения Лиувилля для системы квазиканонических уравнений Гамильтона // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы. Пермь: ПГУ. 1987. С.129-135.

152. Рудых Г.А., Синицын А.В. Разложение и сходимость решения обобщенного уравнения Лиувилля по ортонормированной системе функций // Асимптотические методы. Задачи и модели механики. Новосибирск: Наука. 1987. С.251-266.

153. Рудых Г. А., Синицын А.В. Разложение решения обобщенного уравнения Лиувилля по собственной системе функций // Асимптотические методы. Задачи механики. Новосибирск: Наука. 1988. С. 183-200.

154. Рудых Г.А., Сидоров Н.А., Синицын А.В. О стационарных решениях системы уравнений Власова-Максвелла // Докл. АН СССР. 1988. Т.302., N 3. С.594-597.

155. Рудых Г.А., Сидоров Н.А., Синицын А.В. О разветвляющихся стационарных решениях двухчастичной системы Власова-Максвелла // Докл. АН СССР. 1989. Т.304, N 5. С.1109-1112.

156. Рудых Г.А., Сидоров Н.А., Синицын А.В. О нестационарных решениях двухчастичной системы Власова-Максвелла // Докл. АН СССР. 1989. Т.307. С.1354- 1357.

157. Рудых Г.А., Сидоров Н.А., Синицын А.В. О некоторых точных решениях стационарной системы уравнений Власова-Максвелла //В кн.: Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. 1988. С.118-128.

158. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Коммутационные представления и преобразования Беклунда для нелинейных эволюционных уравнений с одной пространственной переменной// Препринт N 7 ИрВЦ СО АН СССР. Иркутск. 1990. 74С.

159. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Об одном подходе построения частных точных решений квазилинейного уравнения теплопроводности с N- пространственными переменными.// Препринт N 6 ИрВЦ СО АН СССР. Иркутск. 1991. 21С.

160. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Построение точных решений многомерного квазилинейного уравнения теплопроводности // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1993. Т.ЗЗ, N 8. С.1228-1239.

161. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Представления Лакса и преобразования Беклунда для одномерных нелинейных эволюционных уравнений // Сиб. матем. журнал. 1995. Т.36, N 1. С.164-176.

162. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Новые точные решения одномерного уравнения нелинейной диффузии // Сиб. мат. журн. 1997. Т.38, N 5. С.1130-1139.

163. Рудых Г.А., Семенов Э.И. О новых точных решениях одномерного уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком) // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1998. Т.38, N 6. С.971-977.

164. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Точные неотрицательные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии // Сиб. матем. журн. 1998. Т.39, N 5. С.1129-1138.

165. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Точные неавтомодельные решения уравнения щ = Л Inn // Матем. заметки. 2001. Т.70, N 5. С.787-792.

166. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Новые точные решения неоднородного уравнения нелинейного тепломассопереноса // Труды международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск, 2000. С.193-196.

167. Рудых Г.А., Семенов Э.И. О новых точных решениях неоднородного уравнения нелинейного тепломассопереноса // Оптимизация, управление, интеллект. Иркутск, 2000. Т.5(1). С.63-69.

168. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Существование и построение анизотропных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии. I // Сиб. матем. журн. 2000. Т.41, N 5. С.1144-1166.

169. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Существование и построение анизотропных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии. II // Сиб. мат. журнал. 2001. Т.42, N 1. С.176-195.

170. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Неавтомодельные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии // Матем. заметки. 2000. Т.67, N 2. С.250-256.

171. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Существование и качественный анализ точных неавтомодельных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии // В кн. "Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения". М.: Физматлит. 2003. С. 352-396.

172. Рудых Г.А., Синицын А.В. О разрешимости нелинейной краевой задачи, возникающей при моделировании диффузии плазмы поперек магнитного поля и ее равновесных конфигураций // Матем. заметки (принята к публикации).

173. Сабинина Е.С. Об одном классе нелинейных вырождающихся параболических уравнений // Докл. АН СССР. 1962. Т. 143, N 4. С.794-797.

174. Самарский А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1980. Т.26, N 11. С.1925-1935.

175. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука. 1987.

176. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. М.: Наука. 1997.

177. Самарский А.А., Дородницын В.А., Курдюмов С.П., Попов Ю.П. Образование Т- слоев в процессе торможения плазмы магнитным полем // Докл. АН СССР. 1974. Т.216, N 6. С.1254-1257.

178. Самарский А.А., Еленин Г.Г., Змитриенко Н.В., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Горение нелинейной среды в виде сложных структур // Докл. АН СССР. 1977. Т.237, N 6. С.1330-1333.

179. Самойленко Ю.А., Губарев В.Ф., Кривонос Ю.Г. Управление быст-ропротекающими процессами в термоядерных установках. Киев: Нау-кова думка. 1988.

180. Свинин А.К. Специальный класс нестационарных решений системы уравнений Власова- Максвелла // Препринт ИрВЦ СО АН СССР. N 12. Иркутск. 1989. 20С.

181. Свирщевский С.Р. Нелинейные дифференциальные операторы первого и второго порядков, обладающие инвариантными линейными пространствами максимальной размерности // Теор. и матем. физика. 1995. Т. 105, N 2. С.198-207.

182. Семенов Э.И. Существование и построение точных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии // Дис. канд. физ.-мат. наук, Иркутск, 2000.

183. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука,1984.

184. Сидоров А.Ф. Аналитические представления решений нелинейных параболических уравнений типа нестационарной фильтрации // Докл. АН СССР. 1985. Т.280, N 1. С. 47-51.

185. Сидоров Н.А., Рудых Г.А., Синицын А.В. Существование разветвляющихся стационарных решений двухчастичной системы уравнений Власова-Максвелла // Препринт ИрВЦ СО АН СССР, N 4. Иркутск. 1987. 22С.

186. Сидоров Н.А., Рудых Г.А., Синицын А.В. Существование и ветвление стационарных решений системы уравнений Власова-Максвелла // Препринт ИрВЦ СО АН СССР, N 5. Иркутск. 1987. 22с.

187. Синай Я.Г. Стохастичность динамических систем // Нелинейные волны. М.: Наука. 1979. С.192-212.

188. Синицын А.В. Стационарные решения системы Власова-Максвелла и их устойчивость // Дис.канд. физ.-мат. наук, Новосибирск, 1989.

189. Соболев C.J1. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: СО НА СССР. 1962.

190. Титов С.С. Метод конечномерных колец для решения нелинейных уравнений математической физики // Аэродинамика. Саратов: Саратов. универ. 1988., вып.11. С.104-110.

191. Титов С.С. О движении фронта нелинейной диффузии // Прикл. механика и технич. физика. 1996. Т.37, N 4. С.113-118.

192. Титов С.С. Решение уравнений с особенностями в аналитических шкалах банаховых пространств // Препринт. Екатеринбург, 1999. 264с.

193. Толстоногое Д.А. Свойства решений интегро-дифференциальныхуравнений физики плазмы // Дис.канд. физ.-мат. наук, Иркутск,1991.

194. Тычинин В.А. Симметрия и точные решения уравнения щ = h(u)uxx// Симметрийный анализ и решения уравнений математической физики. Киев. Ин-т матем. АН УССР. 1988. С.72-77.

195. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

196. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1985.

197. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики. Киев: Наукова думка. 1989.

198. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1970.

199. Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир. 1983.

200. Хильми Г.Ф. Проблема п тел в небесной механике. М.: АН СССР, 1951.

201. Хильми Г.Ф. Качественные методы в проблеме п тел. М.: АН СССР. 1958.

202. Хинчин А.Я. Математические основания статистической механики. М.-Л.: Гостехиздат. 1943.

203. Хирота Р. Прямые методы в теории солитонов //В кн.: Солитоны. Под ред. Р.Буллафа, Ф.Кодри. М.: Мир. 1983.

204. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир. 1989.

205. Четаев Н.Г. Об устойчивых траекториях динамики // Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: АН СССР. 1962. С.250-268.

206. Четаев Н.Г. Устойчивость и классические законы // Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: АН СССР. 1962. С. 269-272.

207. Чихачев А.С. Кинетическая теория квазистационарных пучков заряженных частиц. М.: Физматлит. 2001. 174С.

208. Шапеев В.П. Метод дифференциальных связей и его приложение куравнениям механики сплошной среды // Дис.докт. физ.-мат. наук.1. Новосибирск. 1987.

209. Шишков А.Е. Мертвые зоны и мгновенная компактификация носителей энергетических решений квазилинейных параболических уравнений произвольного порядка // Матем. сборник. 1999. Т.190, N 12. С.129-156.

210. Яненко Н.Н. Теория совместности и методы интегрирования систем нелинейных уравнений в частных производных // Труды IV Всесоюзного математического съезда. Т.2. Ленинград: Наука. 1964. С.613-621.

211. Abdallah N.B. Weak solutions of the initial-boundary value problem for the Vlasov-Poisson system // Math. Meth. Appl. Sci. 1994. V.17. P.451-476.

212. Abraham-Shrauner B. Li point transformation grup solutions of the nonlinear Vlasov-Maxwell equations // Workshop on local and global methods of dynamics. New York: Springer-Verlag. 1985.

213. Antonsev S.N., Diaz J.I., Shmarev S.I. The support shrinking propertiers for solutions of quasilinear parabolic equations with strong absorption terms // Ann.Fac. Sci. Toulouse Math. 1995. V.4. N 1. P.5-30.

214. Aronson D.G., Crandall M.G., Peletier L.A. Stabilization of solutions of a degenarate nonlinear diffusion problem // Nonlinear Anal. TMA. 1982. V.6, N 10. P.1001-1022.

215. Aronson D.G., Peletier L.A. Large time behaviour of solutions of the porous medium equation in bounded domains // J.Differ. Equat. 1981. V.39, N 3. P.378-412.

216. Aronson D.G. The porous medium equation // Some problems in nonlinear diffusion. Lecture Notes in Math., N 1224. Springer Verlag. 1986.

217. Aronson D.G. Regularity of flows in porous media: a survey // Nonlinear Diffusion Equations and Their Equilibrium States. N.Y.: Springer 1988. V.l. N 1. P.35-49

218. Arnold V.I. Sur la geometrie differentielle des groupes de Lie de dimension infinite et ses applications a e'hydrodynamique des fluids parfaits // Ann. Inst. Fourier. Grenoble. 1966. V.16. P.319-361.

219. Asano K. On local solutions of the initial value problem for the Vlasov-Maxwell equations // Commun. Math. Phys. 1986. V.106. P.551-568.

220. Bardos C., Degond P. Existence global et comportement asymptotique de la solution de l'equation de Vlasov-Poisson // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser.I. 1983. V.297. P.321-324.

221. Bardos C., Degond P. Global existence for the Vlasov-Poisson equation in 3 space variables with small initial data // Ann. Inst. Henri Poincare. 1985. V.2, N 2. P.101-118.

222. Batt J. Global symmetric solutions of the initial value problem of stellar dynamics // J.Differ. Equat. 1977. V.25. N 3. P.342-364.

223. Batt J., Faltenbacher W., Horst E. Stationary spherically symmetric models in stellar dynamics // Arch. Rat. Mech. Anal. 1986. V.93. P.159-183.

224. Batt J. Asymptotic properties of spherically symmetric self-gravitating mass systems for t oo. // TTSP. 1987. V.16. P.763-778.

225. Batt J., Berestycki H., Degond P., Perthame B. Some families of solutions of the Vlasov-Poisson system // Arch. Rat. Mech. Anal. 1988. V.104. N 1. P.79-103.

226. Batt J., Rein G. Global classical solutions of the periodic Vlasov-Poisson system in three dimensions // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser.I. 1991. V.313. P.411-416.

227. Batt G., Rein G. A rigorous stability result for the Vlasov-Poisson system in three dimensions // Anal, di Mat. Рига ed Appl. 1993. V.164. P. 133-154.

228. Batt J., Fabian K. Stationary solutions of the relativistic Vlasov-Maxwell system of plasma physics // Chin. Ann. Math. Ser.B. 1993. V.14. P.253-278.

229. Batt J., Morrison P.J., Rein G. Linear stability of stationary solutions of the Vlasov-Poisson system in three dimensions // Arch. Rat. Mech. Anal. 1995. V.130. P.163-182.

230. Berger M.S. Perspektives in nonlinearity. New-York. Amsterdam. 1968.

231. Bernstein I., Greene J.M., Kruskal M.D. Exact non-linear plasma oscillations // Phys. Rev. 1957. V.108. N 3. P.546-550.

232. Berryman J.G., Holland C.J. Stability of the separable solution for fast diffusion // Arch. Rat. Mech. Anal. 1980. V.74, N 4. P.379-388.

233. Bertsch M. Asymptotic behaviour of solutions of a nonlinear diffusion equation // SIAM J.Appl. Math. 1982. V.42, N 1. P.66-76.

234. Bertsch M., Kamin S. A system of generate parabolic equations // SIAM J.Math.Anal. 1990. V.21, N.4. P. 905-916.

235. Bertsch M., Kersner R., Peletier L.A. Posivity versus localization degenarate diffusion equations // Nonlinear Anal. TMA. 1985. V.9, N 10. P.987-1008.

236. Bogaevsky V.N., Povzner A.Ya. Linear methods in nonlinear problems with a small parameter // Lecture Notes in Math., 1983, N 985. P.431-449.

237. Braasch P. On stationary solutions of the relativistic Vlasov-Maxwell system // Preprint. N 9611/46. Mathematisches Institut Ludwig-Maximilians- niversitat Miinchen. 1996. 16p.

238. Braasch P. On quasistationary solutions of the relativistic Vlasov-Maxwell system // Preprint. N 9704/51. Mathematisches Institut Ludwig-Maximilians-Universitat Miinchen. 1997. 24P.

239. Braasch P. Semilineare elliptische differentialgleichungen und das Vlasov-Maxwell-system // Ph.D. Dissertation. Universitat Miinchen. 1996.

240. Braasch P. On stationary solutions of the relativistic Vlasov-Maxwell system // Math. Meth. Appl. Sci. 1997. V.20. P.667-677.

241. Brenan K.E., Campbell S.L., Petzold L.R. Numerical solution of initial -value problems in differential algebraic equations. North-Holland. Elsevier. New-York. 1989.

242. Chaljub-Simon A., Fronteau J. Quasi-differential systems associated to some equations of evolution // Hadronic J. 1986. V.9. P.291-300.

243. Cooper J., Klimas A. Boundary value problems for the Vlasov- Maxwell equation in one dimension // J.Math. Anal. Appl.1980. V.75. P.306- 329.

244. Cooper J., Klimas A. Addendum: boundary value problems for the Vlasov- Maxwell equation in one dimensional // J.Math. Anal. Appl. 1981. V.84. P.644- 650.

245. Cooper J., Strauss W. The initial boundary problem for the Maxwell equations in the presence of a moving body // SIAM J.Math. Anal. 1985. V.16. P.1165-1179.

246. Dancer E.N. The effect of domain shape on the number of positive solutions of certain nonlinear equations // J.Differential Equat. 1988. V.74, N 1. P.120-156.

247. Degond P. Local existence of solutions of the Vlasov-Maxwell equations and convergence to the Vlasov-Poisson system for infinite light velocity // Math. Meth. Appl. Sci. 1986. V.8. P.533-558.

248. Degond P. Solutions stationnaires explicites du syst/eme de Vlasov-Maxwell relativiste // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser.I. 1990. V.310. P.607-612.

249. Demeio L. Linear stability of the spatially homogeneous equilibria of the Vlasov-Poisson system with collisions // Repts. Math. Phys. 1997. V.40, N 3. P.455-464.

250. De Mottoni P., Schiaffino A., Tesei A. Attractivity properties of Nonnegative solutions for a class of nonlinear degenerate parabolic problems// Ann. Math. Рига Appl. 1984. v.136. P.35-48.

251. Di Perna R.J., Lions P.L. Global weak solutions of Vlasov-Maxwell systems // Commun. Pure and Appl. Math. 1989. V.42, N 6. P.729-757.

252. Di Perna R.J., Lions P.L. Global weak solutions of kinetic equations // Rend. Sem. Mat. Univ. Politech. Torino. 1988. V.46, N 3. P.259-288.

253. Dolbeault J. Stationary states in plasma physics: Maxwellian solutions of the Vlasov-Poisson system // Math. Meth. Appl. Sci. 1991. V.l. P.183-208.

254. Fowler Т.К. Lyapunov's stability criteria for plasmas // J.Math. Phys. 1963. V.4, N 4. P.559-569.

255. Fridman A., Tintarev K. Boundary asymptotics for solutions of the Poisson-Boltzmann equation // J.Differ. Equat. 1987. V.69, N 1. P.15-38.

256. Fronteau J. Le theoreme de Liouville et le probleme general de la stabilite // Preprint. N 65-38. Geneve. CERN. 1965.

257. Fronteau J. Vers une description non conservative de revolution en physique // Hadronic J. 1979. V.2. P.727-829.

258. Fronteau J., Combis P. A Li-admissible method of integration of Fokker-Plank equations with nonlinear coefficients (exact and numerical solutions) // Hadronic J. 1984. V.7. P.911-930.

259. Galaktionov V.A. On new exact blow-up solutions for nonlinear heat conduction equations with source and applications // J.Differential and Integral Equations. 1990. V.3, N 5. P.863-874.

260. Galaktionov V.A. Invariant subspaces and new explicit solution to evolution equations with quadratic nonlinearities // School of Mathematics. Univ. Bristol. 1991. Report N AM-91-11. 39P.

261. Galaktionov V.A. Invariant subspaces and new explicit solution to evolution equations with quadratic nonlinearities // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 1995. V.125A. P.225-246.

262. Giacomoni J. Global bifurcation results for semilinear elliptic problems in // Commun. in partial differential equations. 1998. V.23, N 11-12. P. 1875-1927.

263. Glassey R.T., Strauss W.A. Singularity formation in a collisionless plasma could occur only at high velocities // Arch. Rat. Mech. Anal. 1986. V.92. P.59-90.

264. Glassey R.T., Strauss W.A. High velocity particles in a collisionless plasma // Math. Meth. Appl. Sci. 1987. V.9. P.46-52.

265. Glassey R.T., Strauss W.A. Large velocities in the relativistic Vlasov Maxwell equations // J.Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. IA. Math. 1989. V.36.P.615-627.

266. Gogny D., Lions P.L. Sur les etats d'equilibre pour les densites electroniques dans les plasmas // RAIRO Model. Math. Anal. Numer. 1989. V.23, N 1. P.137-153.

267. Gough J.S. On solution continua of supercritical quasilinear elliptic problems // J. Differential and Integral Equations. 1994. V.7, N 6. P. 1453-1471.

268. Greengard C., Raviart P.A. A boundary-value problem for the stationary Vlasov-Poisson equations: the plane diode // Commun. Pure. Appl. Math. 1990. V.43. P.473-507.

269. Guiasu S. Sur les systemes physiques avec les conditions initiales aleatoires // Rev. roum. de math, pures et appl. 1967. V.12, N 9. P.1271-1281.

270. Guo Y. Global weak solutions of the Vlasov-Maxwell system with boundary conditions // Commun. Math. Phys. 1993. V.154. P.245-263.

271. Guo Y., Strauss W. Nonlinear instability of double-humped equilibria // Ann. Inst. Henri Poincare. 1995. V.12. P.339-352.

272. Guo Y. Stable magnetic equilibria in collisionless plasmas // Commun. Pure and Appl. Math. 1997. V.50, N 9. P.891-933.

273. Guo Y., Grotta R. On steady states in a collisionless plasma // Commun. Pure and Appl. Math. 1996. V.49. P.1145-1174.

274. Guo Y., Rein G. Stable steady states in stellar dynamics // Preprint. 1998.

275. Herrero M.A. A limit case in nonlinear diffusion // Nonlinear Anal TMA. 1989. V.13, N 6. P.611-628.

276. Hesse M., Schindler K. Bifurcation of current sheets in plasmas // Phys. Fluids. 1986. V.29, N 8. P.2484-2492.

277. Holden H., Lindstrom Т., Oksendal В., Uboe J. The Burgers equation with a noisy forse and the stochastic heat equation // Commun. in partial differential equations. 1994. V.19, N 1-2. P.119-141.

278. Holm P., Marsden J., Ratiu Т., Weinstein A. Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria // Phys. Rep. 1985. V.123. N 1-2. P.l-116.

279. Horst E. On the classical solution of the initial value for the unmodified non-linear Vlasov equation // Math. Methods Appl. Sci. Part 1. 1981. V.3. P.229-248; Part 2. 1982. V.4. P. 19-32.

280. Horst E. Global solutions of the relativistic Vlasov-Maxwell system of plasma physics // Ph. D. Dissertation. Universitat Munchen. 1986.

281. Horst E. Symmetric plasmas and their decay // Commun. Math. Phys. 1990. V.126. P.613-633.

282. Horst E. On the asymptotic growth of the solutions of the Vlasov-Poisson system // Math. Meth. Appl. Sci. 1993. V.16. P.75-85.

283. Hyman J.M., Rosenau P. Analysis of nonlinear parabolic equations modeling plasma diffusion across a magnetic field // Lecture in Appl. Math. 1986. V.23. P.219-245.

284. Kaplan W. Some methods for analysis of the flow in phase space // Proc. of the symposium on nonlinear circuit analysis. New York. 1953. P.99-106.

285. Kaptsov O.V. B-determining equations: applications to nonlinear partial differential equations // Euro. J. Appl. Math. 1995. V.6. P.265-286.

286. Kaptsov O.V. Determining equations and differential constrains // J. Nonlinear. Math. Phys. 1995. V.4, N 1. P.283-291.

287. Kersner R., de Mottoni P. Support properties of non-negative solutions of a degenarate logistic equation // Nonlinearity. 1990. V.3, N 2. P.453-474.

288. King J.R. Exact solutions to some nonlinear diffusion equations // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1989. V.42, N 4. P.419-436.

289. King J.R. Exact multidimensional solutions to some nonlinear diffusion equations // Quart.J.Mech.Appl.Math. 1993. V.46, N 3. P.419-436.

290. Kruse K.O., Rein G. A stability result for the relativistic Vlasov-Maxwell system // Arch. Rat. Mech. Anal. 1992. V.121. P.187-203.

291. Krzywicki A., Nadzieja T. Poisson-Boltzmann equation in R3 // Annales Polon. Math. 1991. V.54, N 2. P.125-134.

292. Kwong Y.C. Interior and boundary regularity of solutions to a plasma type equation // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. V.104, N 2. P.472-478.

293. Lewis H.R., Barnes D.C., Melendez K.J. The Liouville theorem and accurate plasma simulation // J.Comput. Phys. 1987. V.69. P.267-282.

294. Lions P.L. On the existence of positive solutions of semilinear elliptic equations // SIAM Review. 1982. V.24, N 4. P.441-467.

295. Lions P.L., Perthame B. Propagation of moments and regularity for the 3-dimensional Vlasov-Poisson system // Invent. Math. 1991. V.105. P.415-430.

296. Liouville J. Note sur la theorie de la variation des constantes arbitraires //J. math, pures et appl. 1838. N 3. P.342-349.

297. Mahajan S.M. Exact and almost exact solutions to the Vlasov-Maxwell system // Phys. Fluids. B. 1989. V.l, N 12. P.43-54.

298. Marchioro C., Pulvirenti M. A note of the nonlinear stability of a spatially symmetric Vlasov-Poisson flow // Math. Meth. Appl. Sci. 1986. V.8. P.284-288.

299. Markov Yu.A., Rudykh G.A., Sidorov N.A., Sinitsyn A.V. Some families of solutions of the Vlasov-Maxwell system and their stability // IMACS Ann. Comput. Appl. Math. 1990. V.8. P.197-203.

300. Markov Yu., Rudykh G., Sidorov N., Sinitsyn A., Tolstonogov D. Steady- state solutions of the Vlasov-Maxwell system and their stability // Acta Appl. Math. 1992. V.28, N 3. P.253-293.

301. Markowich P.A., Ringhofer C., Schmeiser C. Semiconductor equations. Wien: Springer. 1990.

302. Marsden J.E., Weinstein A. The Hamiltonian structure of the Maxwell-Vlasov equations // Physica D. 1982. V.4. P.394-406.

303. Marsden J.E. A group theoretic approach to the equations of plasma physics // Canad. Math. Bull. 1982. V.25. P.129-142.

304. Meirmanov A.M., Pukhnachev V.V., Shmarev S.I. Evolution equations and Lagrangian coordinates. Berlin, New York: Walter de Gruyter. 1997.

305. Misra B. Nonequilibrium entropy, Lyapunov variables, and ergodic properties of classical systems // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1978. V.75, N 4. P.1627-1631.

306. Morrison P.J. The Maxwell-Vlasov equations as a continuous Hamiltonian system // Phys. Letters. 1980. V.80A. P.383-386.

307. Munier A., Burgan R.J., Gutierrez J., Fijalkov E., Feix M.R. Group transformations and the nonlinear heat diffusion equation // SIAM J.Appl. Math. 1981. V.40, N 2. P.191-207.

308. Neunzert H., Petry K.H. Ein existenzsaft fur die Vlasov gleichung mit selbstkonsistentem magnetfeld // Math. Meth. Appl. Sci. 1980. V.2, N 4. P.429-444.

309. Olver P.J. Symmetry and explicit solutions of partial differential equations //Preprint University of Minnesota. 1991.

310. Olver P.J. Direct reduction and differential constrains // Proceedings Roy. Soc. London. A. 1994. V.444, N 1922. P.509-523.

311. Peletier M.A., Zhang H. Self-similar solutions of a fast diffusion that do not conserve mass // J.Differential and Integral Equations. 1995. V.8, N 8. P.2045-2064.

312. Perthame B. Time decay, propagation of low moments and dispersive effects for kinetic equations // Commun. Partial Differential Equations. 1996. V.21. P.659-686.

313. Pfaffelmoser K. Globale klassische losungen des dreidimensionalen Vlasov-Poisson systems // Ph.D. Dissertation. Munich. 1989.

314. Pfaffelmoser K. Global classical solutions of the Vlasov-Poisson system in three dimensions for general initial data // J.Differ. Equat. 1992. V.95. N 2. P.281-303.

315. Poupaud F. Solutions stationnaires des equations de Vlasov-Poisson // C.R. Acad. Sci. Paris. 1990. V.311. Ser.I. P.307-312.

316. Poupaud F. Boundary value problems for the stationary Vlasov-Maxwell system // Forum Math. 1992. V.4. P.499-527.

317. Rein G. Das Verhalten Klassischer Losungen des relativischen Vlasov-Maxwell-Systems bei kleinen Storungen der Anfangsdaten und Aussagen iiber globale Existenz // Ph. D. Dissertation. Universitat Mimchen. 1989.

318. Rein G. Generic global solutions of the relativistic Vlasov-Maxwell system of plasma physics // Commun. Math. Phys. 1990. V.135. P.41-78.

319. Rein G. Existence of stationary, collisionless plasmas in bounded domains // Math. Meth. Appl. Sci. 1992. V.15. P.365-374.

320. Rein G. Non-linear stability for the Vlasov-Poisson system-the energy-Casimir method // Math. Meth. Appl. Sci.1994. V.17, N 1. P.1129-1140.

321. Rein G. Growth estimates for the solutions of the Vlasov-Poisson system in the plasma physics case // Math. Nachr. 1998. V.191. P.269-278.

322. Rosenau P., Hyman J. Plasma diffusion across a magnetic field // Phys. D. 1986. V.20. P. 444-446.

323. Rosenau P., Turkel E. Long time asymptotic of system for plasma diffusion // TTSP. 1987. V.16, N 2-3. P.377-391.

324. Rubinstein I. Counterion condensation as an exact limiting property of solution of the Poisson Boltzmann equation // SIAM J. Appl. Math. 1986. v.46. P.1024-1038.

325. Rudykh G.A., Semenov E.I. Commutational representations and Backlund transformations for the one dimensional nonlinear equation of evolution // Differential equations and control theory. 1991. V.250. P.289-295.

326. Rudykh G.A., Semenov E.I. Application of Liouville's equation to construction of special exact solutions for the quasilinear heat equation // IMACS Ann. Comput. and Appl. Math. 1990. V.8. P.193-196.

327. Schaeffer J. Global existence of smooth solutions to the Vlasov- Poisson system in three dimensions // Commun. Part. Differ. Equat. 1991. V.16. N 8-9. P.1313-1335.

328. Schwarz G. On electromagnetic fields in the hamiltonian description of continua // Reports Math. Phys. 1986. V.24. P.293-304.

329. Steeb W.H. Generalized Liouville equation, entropy and dynamic systems containing limit cycles // Physica A. 1979. V.95, N 1. P. 181-190.

330. Ukai S., Okabe T. On classical solution in the large in time of two-dimensional Vlasov's equation // Osaka J. Math. 1978. V.15. P.245-261.

331. Wan Y.H. Nonlinear stability of stationary spherically symmetric models in stellar dynamics // Arch. Rat. Mech. Anal. 1990. V.112. P.83-95.

332. Weckler J. On the initial-boundary-value problem for the Vlasov-Poisson system: existence of weak solutions and stability // Arch. Rat. Mech. Anal. 1995. V.130. P.145-161.

333. Weinstein A., Morrison P. Comment on: the Maxwell-Vlasov equations as a continuous hamiltonian system // Phys. Lett. 1981. V.86A. P.235-236.

334. Wollman S. An existence and uniqueness theorem for the Vlasov-Maxwell system // Commun. Pure Appl. Math. 1984. V.37. P.457-462.