Долговременная асимптотика и аттракторы нелинейных гамильтоновых волновых уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Комеч, Александр Ильич

• Комеч, Александр Ильич
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Комеч, Александр Ильич

Оглавление

0.1. Введение

0.1.1. Мотивировка исследования

0.1.2. Обозначения и определения

0.1.3. Основные результаты

0.1.4. О методах исследования

0.1.5. Комментарии

0.1.6. Об известных результатах

0.1.7. Открытые проблемы

I Одномерные уравнения

1. Струна с нелинейным осциллятором

1.1. Введение

1.2. Основные результаты

1.3. Существование динамики и априорные оценки

1.3.1. Существование динамики

1.3.2. Непрерывность динамики

1.3.3. Сохранение энергии

1.4. Релаксация для приведенного уравнения

1.4.1. Примеры

1.4.2. Доказательство релаксации для приведенного уравнения

1.5. Долговременная асимптотика

1.5.1. Переходы к стационарным состояниям

1.5.2. Затухающие блуждания

1.5.3. Транзитивность

2. Струна с конечным числом нелинейных осцилляторов

2.1. Введение

2.2. Основные результаты

2.3. Существование динамики и априорные оценки

2.4. Стационарные состояния

2.5. Долговременная асимптотика

2.6. Притяжение к компактному множеству

2.6.1. Релаксация на бесконечности

2.6.2. Рассеяние энергии в бесконечность" 7\

2.6.3. Лемма о релаксации

3. Нелинейная струна с пространственно-локализованной нелинейностью

3.1. Введение и основные результаты

3.2. Существование динамики и априорные оцейки : . V"

3.3. Стационарные состояния

3.4. Долговременная асимптотика

3.4.1. Компактное притягивающее множество

3.4.2. Доказательство теоремы 1.3

3.5. Притяжение к компактному множеству

3.6. Притяжение в среднем

3.6.1. Рассеяние энергии в бесконечность

3.6.2. Нелинейная задача Гурса

3.6.3. Доказательство притяжения в среднем

II Трехмерные системы

4. Скалярное поле с частицей

4.1. Введение

4.2. Основные результаты

4.3. Существование динамики и априорные оценки

4.4. Рассеяние энергии в бесконечность

4.5. Асимптотики типа Льенара-Вихерта в волновой зоне

4.6. Релаксация ускорения и скорости частицы

4.7. Долговременная асимптотика

4.7.1. Притяжение к множеству солитонов

4.7.2. Притяжение к множеству стационарных состояний

4.7.3. Сходимость к стационарным состояниям

4.8. Линеаризация в стационарной точке

4.9. Убывание для линеаризованной системы

4.10. Асимптотическая устойчивость стационарных состояний

4.11. Скорость сходимости к стационарным состояниям

4.12. Строгий принцип Гюйгенса

4.13. Дополнение: Плотности винеровского типа

5. Система Максвелла-Лоренца

5.1. Введение

5.2. Основные результаты

5.3. Рассеяние энергии в бесконечность

5.4. Асимптотики типа Льенара-Вихерта в волновой зоне

"V

5.5. Релаксация ускорения и скорости частицы

5.6. Долговременная асимптотика

5.6.1. Притяжение к множеству солитонов

5.6.2. Притяжение к множеству стационарных состояний

5.6.3. Сходимость к стационарным состояниям

5.7. Дополнение. Существование динамики

5.7.1. Линейная динамика Максвелла

5.7.2. Представления Льенара-Вихерта

5.7.3. Гладкие аппроксимации поперечных полей

5.7.4. Нелинейная динамика Максвелла-Лоренца

6. Добавление

6.1. С-инвариантные уравнения

6.1.1. Группа [/(1). Периодические асимптотики

6.1.2. Группа II(к). Квазипериодические асимптотики

6.1.3. Группа Пуанкаре. Солитоно-подобные асимптотики

6.2. О связях с задачами математической физики

6.2.1. Квантовые стационарные состояния

6.2.2. Боровские переходы между стационарными состояниями

6.2.3. Корпускулярно-волновая двойственность Л. де Бройля

6.2.4. Элементарные частицы и алгебры Ли

Литература

Резюме 0.0.1. Рассматривается долговременная .асимптотика всех решений конечной энергии некоторых классов нелинейных волновых уравнений, являющихся бесконечномерными гамилътоновыми системами. Устанавливается долговременная сходимость рассматриваемых решений к стационарным состояниям в топологии Фреше, определяемой локальными энергетическими полунормами. Это означает, что множество стационарных состояний является точечным аттрактором в данной топологии. Сходимость доказывается в части I для одномерных нелинейных волновых уравнений с нелинейными членами, сосредоточенными в одной точке, в нескольких точках и на конечном отрезке, и в части II - для трехмерного скалярного волнового уравнения, связанного с частицей, и для системы Максвелла-Лоренца с зарядом. Эта сходимость представляется парадоксальной ввиду обратимости и консервативности гамильтоновых уравнений. Исследование мотивировано выделенной ролью стационарных состояний во многих явлениях, описываемых нелинейными гамилътоновыми волновыми уравнениями.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Долговременная асимптотика и аттракторы нелинейных гамильтоновых волновых уравнений»

0.1. Введение

Главная цель данной диссертации - исследование долговременной асим-тотики всех решений конечной энергии некоторых классов нелинейных га-ми льтоновых волновых уравнений и систем.

0.1.1. Мотивировка исследования

Вызывает удивление совершенно особая роль стационарных состояний во многих явлениях, описываемых гамильтоновыми нелинейными волновыми уравнениями. Процесс образования этих состояний внушает мысль о том, что любое решение соответствующих уравнений стремится к некоторому своему стационарному пределу при t оо. Для краткости назовем такое поведение системы стабилизацией. Оно означает, что множество стационарных состояний является точечным аттрактором соответствующего уравнения. Однако это стремление представляется весьма парадоксальным и несовместимым с обратимостью и консервативностью гамильтоновых уравнений. Систематическое исследование стабилизации для нелинейных гамильтоновых волновых уравнений и является основной темой диссертации.

Проблематика такого сорта существует давно в самых разных областях. Например, в классической электродинамике это проблема радиационного трения [34, 82], в квантовой теории это проблема боровских переходов [9] и корпускулярно-волновой двойственности Л. де Бройля, в газо- и гидродинамике это проблема устойчивости ударных волн. Отметим также работу [85], связывающую парадокс репродукции генов с квантовыми боровскими переходами.

Радиационное трение имеет важное теоретическое значение, поскольку оно наблюдается экспериментально во многих практически важных ситуациях (например, в связи со спектром торможения рентгеновского излучения, с синхротронным излучением и т.п.). Ему посвящено много физических работ (см. работы [5, 34, 82] и имеющиеся там ссылки). Однако точная математическая формулировка этого феномена до сих пор не существовала по разным причинам. Радиационное трение означает, что движущийся с ускорением заряд излучает электромагнитную волну, которая уносит энергию. В результате ускорение стремится к нулю, что трактуется как некое эффективное трение. Главная трудность в теоретическом описании этого феномена - существенная нелинейность взаимодействия поля с частицей. Из-за этой нелинейности корректное рассмотрение проблемы для точечной частицы невозможно. Поэтому почти сто лет назад Г.Лоренц предпринял

исследование этой проблемы для "размазанного" заряда. Для учета нелинейного самодействия заряда он раскладывает траекторию частицы в ряд Тэйлора, что приводит к дифференциальному уравнению бесконечного порядка [64, 82]. Точное исследование этого уравнения до сих пор не проведено. Обрыв разложения Тэйлора на члене Ч (£) приводит к необратимому уравнению третьего порядка, которое позволяет объяснить излучение энергии для периодических движений заряда [34, 82]. Однако это не привело к точным результатам, и породило новые вопросы [5, 23, 34, 82]. Частичное решение проблемы радиационного трения дается в настоящей диссертации для систем поле-частица в случае одной частицы в общем контексте исследования стабилизации для нелинейных гамильтоновых волновых уравнений. До сих пор стабилизация не рассматривалась как естественное свойство нелинейных гамильтоновых волновых уравнений. Это и дало импульс к настоящему исследованию. В главах 1-Ш мы устанавливаем стабилизацию для трех классов одномерных нелинейных уравнений, а в главах IV и V - для нелинейных систем поле-частица. В главе IV рассматривается скалярное поле, а в главе V - электромагнитное. В Добавлении к диссертации обсуждаются возможные обобщения и связи с задачами математическое физики.

Формально основной темой диссертации является изучение долговременного поведения решений нелинейных гамильтоновых волновых уравнений типа

й{х^) = Аи(х^) +/(х,и(х,г)), (0.1.1)

и некоторых систем близкой структуры. Линеаризация нелинейных задач в сочетании с теорией возмущений является мощным средством изучения многих нелинейных задач. Однако задачи долговременного поведения не могут быть решены в рамках линеаризованного подхода, если траектория не остается близкой к некоторому известному решению. Именно так обстоит дело, например, в проблемах радиационного трения, боровских переходов и многих других задачах. Поэтому в настоящее время назрела необходимость в независимом от теории возмущений качественном изучении долговременного поведения нелинейных задач.

Мы ограничиваемся исследованием решений конечной энергии. Стабилизация означает долговременную сходимость всех траекторий конечной энергии к стационарным состояниям. Принципиальное значение имеет топология в которой осуществляется эта сходимость к аттрактору. Это метризу-емая топология Фреше, определяемая локальными энергетическими полунормами. Эта топология представляется оптимальной, т.к. сходимость по глобальной энергетической норме вообще говоря невозможна ввиду сохра-

нения энергии для гамильтоновых уравнений. Оснбвные результаты диссертации означают, что подобная сходимость имеет место для некоторых классов нелинейных гамильтоновых волновых уравнений и систем.

Решения бесконечной энергии здесь не рассматриваются, и для них долговременная асимптотика сильно зависит от поведения начальных данных на бесконечности.

Для классической системы Максвелла-Лоренца (б! 1.19) задача долговременного поведения изучалась в [4], [5], [23], [64], [87], [89].

0.1.2. Обозначения и определения

Мы рассматриваем некоторые классы уравнений вида (0.1.1) при п = 1 и некоторые системы близкой структуры при п — 3. Все производные здесь и ниже понимаются в смысле распределений, и 6 ШД с? > 1 и f(x,u) = и), где У(х,и) некоторая вещественная функция, называемая потенциалом. Тогда (0.1.1) является формально гамильтоновой системой с гамильтонианом

Щщй)= + (0.1.2)

•>2 2

Результаты глав 1-Ш касаются одномерных уравнений (0.1.1) с пространственно-локализованной нелинейностью, т.е. /(х,и) = 0 при \х\ >сопз1. Результаты глав IV и V касаются, соответственно, волнового уравнения

о

и системы Максвелла в Ш, , взаимодействующих с частицей. Эти системы являются гамильтоновыми системами, близкими по структуре к трехмерным уравнениям (0.1.1) с некоторыми гладкими нелокальными членами взаимодействия вместо /(х,и(х, ¿)). Мы рассматриваем задачу Коши для уравнения (0.1.1) с начальными условиями

и\^о = и°{х), й\ы0 = у°(х), ж€1Ып. (0.1.3)

Обозначим = (п(-,£),й(-,£)), У0 = (и°,у°) и запишем задачу (0.1.1), (0.1.3) в виде

у(*) = у(увд) при г е ш, Г(0) - у0. (0.1.4)

Введем фазовое пространство состояний "конечной энергии" для задачи (0.1.4). Через | • | обозначим норму в Ь2(КП, Ж,^), и через | • ¡д, Я > 0 - норму в где Вц - шар {^еГ: \х\ < Я}. Я^ЕТ,!^) обозначает

пополнение пространства функций и(х) € С^Ш™, Ш!1) по норме [62].

Определение 0.1.1. г) £ - гильбертово пространство пар (и(х),у(х)) €Е Н^ПГ, И*) © Ь2{ЕГ, Ш/*) с конечной нормой

||(«,г;)||£ = |У«| + М. (0.1.5)

п) £р - пространство Е с топологией, определяемой локальными энергетическими полунормами

Ц(г4^)||л=|Уг4|д + Ня + Нл, йбК (0.1.6)

Через обозначается сходимость в этом пространстве.

Замечание Ер ~ линейное топологическое счетно-нормированное пространство. Поэтому топология пространства Ер метризуема [19]. Это означает, что сходимость У^ У эквивалентна сходимости в некоторой метрике •) в пространстве Ер (такая метрика, разумеется, не единственна). Кроме того, пространство Ер является сепарабельным.

Для краткости мы называем сепарабельные метризуемые пространства пространствами Фреше, даже если они не являются полными. В частности, Ер является таким пространством Фреше. Как известно, в таких пространствах компактность подмножества эквивалентна его секвенциальной компактности [19].

Отметим, что гамильтониан % непрерывен на Е и не является непрерывным в топологии Фреше пространства Ер во всех задачах, рассматриваемых в данной диссертации.

Определение 0.1.2. ¿> = {5 6 Е : У(5) — 0} - множество стационарных состояний задачи (0.1.4)-

В каждой главе диссертации мы рассматриваем некоторый класс задач типа (0.1.1), налагая подходящие условия на нелинейный член /(х, и). Для любого начального состояния У0 е Е мы устанавливаем существование и единственность решения У(£) е С(Ж, £), и сохранение энергии

ЩУ(г)) = п(У°) для г е к. (Е)

Наши главные результаты означают долговременное поведение следующих двух типов

Релаксация Для любого начального состояния Уд' £ Е, возможно с некоторой дополнительной гладкостью и убыванием на бесконечности, орбита О (У) = {У(2) : £ € И} предкомпактна в Ер и

У(*) <5 при г ±оо. (0.1.7)

Это по определению означает, что для любой окрестности 0(8) множества в в Ер существует такое Т > 0, что У(£) 6 при £ > Т.

Стабилизация Если, дополнительно, множество S дискретно в некотором смысле, то существуют такие стационарные состояния S± G S, зависящие от решения Y{t), что

Y(t) ^ S± при t ±00. " " (0.1.8)

Замечание Пусть /?(•,•) - любая метрика, задающая топологию Фреше пространства Ер. Тогда сходимость (0.1.7) эквивалентна сходимости в этой метрике

inf p(Y(t), S) 0 при t —> ±00 V-R > 0 (0.1.9)

S ES

ввиду предкомпактности орбиты О (У). Это эквивалентно также сходимости в каждой полунорме

inf ||Y(t) - 5||д 0 при t^ ±00, УЛ > 0. (0.1.10)

S S s

Можно формализовать импликацию (0.1.7)=ф(0.1.8) при помощи следующего определения. Пусть Т - подмножество некоторого топологического пространства Т.

Определение 0.1.3. Т - захватываюшее подмножество в Т, если для каждой непрерывной кривой Y(t) 6 C(IR, J?-") с предкомпактной в Т орбитой 0(Y), из сходимости Y(t) —> Т при t —» 60 следует сходимость Y(t) —> Т при t 00 к некоторой точке T G Т-

Например, замкнутое подмножество Z С IR является захватывающим в IR тогда и только тогда, когда

Z не содержит никакого непустого интервала (ci, С2), (T 1)

что эквивалентно также плотности ]R \ Z в IR. В частности, любое канто-ровское множество в IR является захватывающим подмножеством в IR.

0.1.3. Основные результаты

В настоящее время нет достаточно общего представления о типичном характере долговременного поведения решений нелинейных волновых уравнений. Не существует также и универсального метода анализа такого долговременного поведения. Поэтому мы изучаем здесь модельные задачи, допускающие исследование возможных типов долговременного поведения. Мы рассматриваем пять типов таких задач М1-М5 и представляем результаты в соотвествующих главах диссертации.

Опишем кратко основные результаты диссертации. В части I диссертации мы устанавливаем долговременные асимптотики (0.1.7), (0.1.8) для следующих трех типов Ml—МЗ одномерных волновых уравнений (0.1.1).

Ml В главе I рассматривается сингулярный нелинейный член вида f(x,u) = ê(x)F(u), сосредоточенный в одной точке х = .0. Предполагается, что d > 1

F (и) G С1^, md), F {и) =-VV(u) и V(u) +оо при \и\ оо,

(0.1.11)

Тогда (0.1.7) верно для всех решений У(£) G C(IR, S). Если, дополнительно, Z = {z G IRd : F{z) — 0} - захватывающее подмножество в TRd, то выполняется также и (0.1.8). Для любых двух стационарных состояний S± G S существуют решения Y(t) G C(IR, 8) для которых выполняется (0.1.8).

М2 В главе II рассматривается сингулярный нелинейный член вида f(x,u) = T,k=ià(x ~~ xk)Fk{u)i сосредоточенный в конечном множестве точек. Предполагается, что d > 1 и

все Fk G Cl(IRd,IRd), Fk(u) = -W*(u), (0.1.12)

inf mmVk(y) > —оо и тахУк(у) —> +oo при \y\ —> oo. (0.1.13)

y£ Rd A A

Тогда (0.1.7) имеет место для всех решений Y(t) G C(IR, S). Если, дополнительно, d = 1 и все Ffc - действительные аналитические функции на IR, то и (0.1.8) также верно.

МЗ В главе III рассматриваются непрерывные нелинейные члены f(x,u), для которых f(x,u) — 0 при |ж| > a для некоторого a > 0. Предполагается, что d > 1 и

f(x,u) = x(x)F(u), F G C\lRd,]Rd), xW G C(IR), (0.1.14) F(u) = -W(u) и V(u) +oo при |û| oo, - (0.1.15) xM > 0, x(®) ^ 0 и x(®) = 0 при |®| > a. (0.1.16)

Тогда (0.1.7) выполняется для всех решений Y(t) G C(IR, £). Если дополнительно, d = 1 ж F является действительной аналитической функцией на IR, то верно также и (0.1.8).

В части II диссертации мы устанавливаем долговременные асимптотики (0.1.7), (0.1.8) для трехмерных систем М4 и М5 следующего вида.

М4 В главе IV рассматривается скалярное поле ф(х, t), взаимодействующее

с частицей с координатой € Ж3,

ф{х^) = Аф(х,г) - р(х - д(г)),жё'ш3 -

л т

(0.1.17)

УУШ) + / - д)(16х.

Здесь У(д) - потенциал внешнего поля, и р{х — д) - "плотность заряда" частицы в положении д. Предполается, что потенциал

V Е С2(Н3), ¥(д) -> оо при оо. (Р^)

Про распределения заряда р предполагается, что

р Е р{х) — 0 при |ж| > р(х) = рг(\х\). (С)

Однако, как будет объяснено ниже, необходимо, чтобы все "моды" волнового поля были связаны с частицей. Это формализуется условием Винера

р(к) = I е{кхр{х)(1х ф 0 при Мк е И3. (\У)

В частности, общий заряд /5(0) не равен нулю. Тогда при I —» ±оо все решения У(£) Е С(И, £) с некоторой дополнительной гладкостью и убыванием начальных данных на бесконечности сходятся в локальных энергетических полунормах к множеству солитонов. В частности, это означает релаксацию ускорения

ф) —> 0 при г ±оо, (0.1.18)

где д(£) - координата частицы. Если траектория частицы ограничена, то имеет место сходимость типа (0.1.7). Если, кроме того, ^ = {д £ 1Л3 : VI/(д) = 0} - захватывающее подмножество в Ш3 , то также справедлива и сходимость типа (0.1.8).

Мы также устанавливаем явный критерий типа Ляпунова, обеспечивающий асимптотическую устойчивость стационарного состояния системы М4. Если соответствующая данному состоянию точка д является невырожденным минимумом потенциала V, т.е. ¿2У(д) > 0, то это состояние асимптотически устойчиво в топологии Фреше. При этом скорость сходимости (0.1.8) экспоненциальная (степенная), если начальные данные экспоненциально (соответственно, степенным образом) убывают на бесконечности.

М5 В главе V рассматривается система Максвелла-Лоренца в ЕЗ3, введенная в [64] (см. также [22], [72], [76]), состоящая из электромагнитного

максвелловского поля Е(х, ¿), В(х, ¿), взаимодействующего с зарядом в положении € Ж3,

бы Е{х,{) = р(х-д(1)), тоЬ Е(х,г) =

<ЦуВ(х,г) = 0, rot В(х,г) = Ё(х,г) +р(х-д$))№), (0.1.19)

д = , Р = / [Е{х, *) + + Л *) + ^(®))]р(яг - (?) Л-

Здесь -Е'(ж) = —\7</> и В(х) - заданные статические внешние поля. Предполагается, что потенциал У(д) = J ф(х)р(х — д) ¿ъх и распределение заряда р(х) удовлетворяют тем же условиям (Роо), (С) и (И^), что и выше, а В{х) или rot А{х) удовлетворяют некоторым весьма общим условиям. Тогда при Ь —> ±оо все решения У(£) £ С(И, £) с некоторой дополнительной гладкостью и убыванием начальных данных на бесконечности сходятся в локальных энергетических полунормах к множеству солитонов. В частности, это означает релаксацию ускорения (0.1.18). Если траектория частицы ограничена, то имеет место сходимость типа (0.1.7). Если, кроме того, ^з

о

- захватывающее подмножество в Н , то также справедлива и сходимость типа (0.1.8).

Замечания 1) Система М1 введена Г.Лэмбом в [59] и рассматривалась также в [39].

II) Система М1 является частным случаем М2, а М2 формально есть частный случай МЗ. Однако, мы рассматриваем все системы независимо по следующим причинам. Во-первых, мы рассматриваем модифицированную модель М1 и выводим для М1 (М2) более точные результаты, чем для М2 (МЗ). Во-вторых, методы, используемые для анализа системы М2 (МЗ), являются естественным развитием методов анализа системы М1 (М2).

III) Систему М4 можно рассматривать как обобщение одномерной системы Лэмба М1 для п — 3.

[у) При анализе систем М4 и М5 общая стратегия и функциональные методы весьма близки, хотя алгебраические детали сильно отличаются.

0.1.4. О методах исследования

Все результаты диссертации основаны на изучении рассеяния энергии в бесконечность. Энергия, рассеянная в бесконечность, может быть оценена снизу в каждой рассматриваемой задаче с помощью соответствующего "интеграла рассеяния". С другой стороны, эта энергия ограничена априори.

Это приводит к оценке для интеграла рассеяния, обеспечивающей сходимость (0.1.7).

Мы развиваем методы глобального анализа задач с диссипацией [1, 35, 58, 74, 81] для рассматриваемых гамильтоновых систем и применяем следующую универсальную схему:

I. Ограниченность интеграла рассеяния. \

II. Убывание производных решения по времени.

III. Интегральное представление решения.

IV. Притяжение траектории в Ер к компактному (в Ер) множеству.

V. Любая а;-предельная (в Ef) точка траектории является стационарным состоянием.

VI. S является захватывающим подмножеством в Ер.

Однако реализация этой схемы в рассматриваемых системах различна. Например, шаг I при анализе трехмерных систем М4 и М5 основан на новой трактовке известных соотношений Льенара-Лармора о мощности излучения для запаздывающих потенциалов Льенара-Вихерта. Шаг II в этих системах получается при помощи винеровской тауберовой теоремы [73], [88]. Эта связь с гармоническим анализом происходит из представления интеграла рассеяния как квадратичной формы от преобразования Радона плотности заряда и из представления типа свертки для преобразования Радона.

Шаг IV для системы М2 выводится при помощи понятия "релаксации на бесконечности" функции f(t), t > 0, которое является ослабленной формой сходимости f'(t) —» 0 при t —» оо. Грубо.говоря, оно означает, что

max I f(t ± т) — f(t)I —> 0 при t —> оо для каждого Т > 0. Это понятие о<т<т' 4 ' w

обладает рядом удобных свойств (свойства R0-R8 из §2.6.1 диссертации), систематическое использование которых приводит к результату.

Для системы МЗ шаг IV вытекает из исследования задачи Гурса для нелинейного волнового уравнения. При этом приближение к компакту Л сначала удается получить лишь "в среднем": !

гОО г,

Jo p\(t)dt<oо. (0.1.20)

где pr(í) = infsg^ ||y(¿) — S\\r. Отсюда выводится что на самом деле Pr(í) 0 при t —> ±оо. Для этого используется компактность А, равномерная непрерывность динамики вблизи компакта и соображения напоминающие леммы Бореля-Кантелли.

С другой стороны, шаг V во всех системах М1-М5 вытекает из универсальной леммы 1.5.3 Ю.Е. Егорова [24], а шаг VI для систем Ml, М4 и М5 получается из следующего простого универсального критерия для S С Ер

быть захватывающим подмножеством.

Лемма 0.1.4. Пусть Т\ и Тч - два пространства Фреше, отображение I : Т\ —» Тг непрерывно, Тч _ захватывающее подмножество в Тч, 1Т\ С 72 и I : Ti 7ч - инъективное отображение. Тогда Т\ - захватывающее подмножество в Т\.

В диссертации явно строится подобное отображение / из Т\ = Ер в Тч —

о _

IR для систем М1-МЗ, и в IR для систем М4 и М5. Подмножество Тч С Тч для этих систем также явно описывается. Поэтому лемма 0.1.4 дает для этих систем эффективный критерий, обеспечивающий сходимость (0.1.8).

При анализе трехмерных систем М4 и М5 винеровская тауберова теорема позволяет вывести сходимость (0.1.8), но не дает никакой информации относительно скорости этой сходимости. Мы определяем эту скорость для системы М4, линеаризуя ее в окрестности стационарного состояния. Линеаризованная система явно решается преобразованием Лапласа и для ее анализа используется техника Пэли-Винера преобразования Фурье в комплексной области [69], [52]. Для перехода к нелинейной системе используется метод интегральных неравенств [56].

0.1.5. Комментарии

В диссертации устанавливается, что все решения конечной энергии рассматриваемых гамильтоновых систем сходятся при t —> ±оо к аттрактору, состоящему возможно из бесконечного числа точек. Это обобщает результаты, известные для диссипативных систем [1, 35, 58, 74, 81]. Данное обобщение содержит следующие принципиальные отличия.

1. В диссипативных системах сходимость имеется вообще говоря лишь при t —> +оо.

II. Причина этой сходимости совершенно другая. В диссипативных системах имеется поглощение энергии. В гамильтоновых же системах энергия сохраняется, а роль диссипации играет рассеяние энергии в бесконечность.

III. Такая сходимость вообще говоря отсутствует для гамильтоновых волновых уравнений в ограниченных областях из-за отражения волн от границы. Именно поэтому в диссертации уравнения (0.1.1) рассматриваются во всем пространстве.

IV. Для диссипативных систем сходимость (0.1.7) и (0.1.8) выполняется в (глобальной) энергетической метрике соответствущёго фазового пространства Е. Для гамильтоновых же систем сходимость (0.1.8) в метрике пространства Е вообще говоря невозможна ввиду сохранения энергии. Действительно, если — S±\\s —> 0 при t —> ±оо, то из (Е) следует %{S±) —

%(Y{t)), так как гамильтониан Н непрерывен на £ во всех рассматриваемых нами задачах. Поэтому сходимость в £ всех решений конечной энергии означала бы что И{£) С 7i(S). Однако это невозможно для любой нетривиальной гамильтоновой системы, если множество S дискретно. Аналогично, сходимость (0.1.8) всех решений невозможна для любой нетривиальной конечномерной гамильтоновой системы.

V. Для диссипативной системы динамическая группа состоит из компактных отображений £, а для гамильтоновой - лишь из ограниченных, т.е. компактных в слабой топологии. Это отличие является главным и оно представляет главную трудность в доказательстве асимптотик (0.1.7), (0.1.8). Именно оно определяет роль топологии Фреше в исследовании гамильтоно-вых систем.

Для неинтегрируемых гамильтоновых уравнений сходимость типа (0.1.7) или (0.1.8) всех решений конечной энергии до настоящего времени была изучена лишь в случае убывания локальной энергии (0.1.23) для класса уравнений с условием (0.1.25), когда множество S состоит из одной точки 0.

Исследование систем систем М4 и М5 обнаруживает связь проблемы радиационного трения с винеровской тауберовой теоремой. Это приводит к новому условию (W) винеровского типа на плотность распределения заряда, которое обеспечивает релаксацию ускорения (0.1.18). На этом пути получено частичное решение проблемы радиационного трения для скалярного и электромагнитного поля с одной частицей. .

Исследование рассеяния энергии в бесконечность для систем поле-частица в главах IV и V основано на новом точном понимании известных асимптотик Льенара-Вихерта для запаздывающих потенциалов и соотношений Льенара-Лармора для мощности излучения частицы. Обычно эти асимптотики и соотношения трактуются как предел потенциалов и мощности при \х\ сю. Мы формулируем их как асимптотику потенциалов вдоль характеристического (светового) конуса ~ t —» оо (иначе говоря, в волновой зоне).

Результаты главы I показывают необходимость всех наложенных на систему Ml условий для справедливости основных результатов. Условия, налагаемые на систему М2, также близки к необходимым, что иллюстрируется в многочисленными примерами в главе. II. То fee относится и к условиям на системы МЗ-М5 в главах III—V.

Сходимость (0.1.8) означает "переход" вида

5_ S+ (0.1.21)

за время от — оо до +оо. Это дает математическую модель боровских пе-

реходов между стационарными состояниями в квантовых системах. Для системы Лэмба М1 переходы (0.1.21) существуют для любых двух стационарных состояний 5± 6 5 (Лемма 1.2.4).

Из сходимости (0.1.8) во всех рассматриваемых нами случаях вытекает неравенство

< Я(У(*)) = £ е И, (0.1.22)

подобно хорошо известному свойству слабой сходимости в гильбертовых и банаховых пространствах. Примеры показывают, что строгое неравенство в (0.1.22) действительно возможно. Это можно назвать рассеянием энергии в бесконечность.

Отметим важное различие рассеяния в бесконечность для одномерных систем М1-МЗ с одной стороны и для трехмерных систем М4-М5 - с другой. А именно, для одномерных систем мощность этого рассеяния пропорциональна квадрату скорости частицы, как видно, например, из интеграла рассеяния (1.4.1) для системы М1. Для трехмерных же систем эта мощность пропорциональна квадрату ускорения, как видно из интегралов рассеяния (4.4.2) и (5.3.2) для систем М4 и М5. Это различие связано с разной асимптотикой фундаментального решения волнового уравнения на бесконечности в одномерном и трехмерном пространстве, т.е. с различием в геометрии пространства.

Результаты диссертации показывают, что асимптотики (0.1.7) и (0.1.8) справедливы для "общих" систем и могут нарушаться в некоторых "исключительных" системах. А именно, сходимость (0.1.8) справедлива, если £ - захватывающее подмножество, т.е. дискретнае в некотором смысле; асимптотики (0.1.7) справедливы для трехмерных систем (6.1.17) и (0.1.19), если выполняется неравенство (\У). С другой стороны, многие примеры показывают, что для некоторых "узких" классов уравнений (0.1.1) долговременное поведение решений может быть совершенно отличным от (0.1.7) и (0.1.8). Например, это так для "вырожденных" систем М1 согласно лемме 1.2.3 и для С-инвариантных уравнений, рассмотренных в [33]. Мы обсуждаем в Добавлении эти вопросы, а также их физические мотивировки.

Полученные в диссертации результаты наводят на мысль о возможности использования топологии Фреше в теории устойчивости и аттракторов для общих нелинейных гиперболических уравнений.

Главы I и II содержат обобщение результатов автора [42]—[51]. Результаты главы III публикуются здесь впервые. Часть'результатов главы IV получена в сотрудничестве с Г.Шпоном и М.Кюнце [55]. Результаты главы V получены в сотрудничестве с Г.Шпоном [54].

0.1.6. Об известных результатах

I. Аттракторы диссипативных систем. Сходимость типа (0.1.7), (0.1.8) к стационарным состояниям при £ —> +оо является одним из основных достижений известной теории аттракторов диссипативных уравнений, построенной для системы Навье-Стокса, для нелинейных волновых уравнений с трением и для нелинейных систем реакции-диффузии в работах А.В.Бабина и М.И.Вишика [1], О.А.Ладыженской [58], Л.И.Сазонова и В.И.Юдовича [74], Р.Темама [81], Д.Хейла [35] и-других.

II. Убывание локальной энергии. Для гамильтоновых волновых уравнений сходимость (0.1.7), (0.1.8) давно интенсивно исследуется в линейной и нелинейной теории рассеяния в ситуации, когда аттрактор £ состоит из одной точки 0. Это известное убывание локальной энергии

\\(и(-, £), й(-, ¿))||д 0 при ^ —» оо для каждого Я > 0. (0.1.23)

Это убывание впервые было установлено для линейных задач П.Д.Лаксом, К.Моравец, Р.С.Филлипсом [60] - [61], [65] и другими для акустического уравнения во внешности звездного препятствия. Б.Р.Вайнберг установил такое убывание для линейных волновых уравнений, уравнений Клейна-Гордона и систем с переменными коэффициентами, удовлетворяющими условию "неловушечности", [13]—[16]. Это же убывание было распространено на нелинейные релятивистки-инвариантные волновые уравнения типа

= Аи(х:г)-т2и{х^) +¡(и(х,г)), жбЕ", ¿бЕ (0.1.24)

с нелинейным членом /(и), удовлетворяющим условию /(0) = /'(0) = 0 и предположению "устойчивости"

и ■ /(и) < 0 для и е К. - - (0.1.25)

При этом предположении И.Е.Сигал [75], В.А.Штраусе [78] и другие доказали убывание локальной энергии для уравнений вида (0.1.24) с т = 0. Для т ф 0 убывание локальной энергии установили Г.М.Чадам [20], К.Моравец и В.А.Штраусе [66] и другие, также предполагая (0.1.25) (см. обзоры [70], [79]). При том же условии (0.1.25) РЛГ.Глэсси и В А.Штраусе [31], [32] установили убывание локальной энергии для уравнений Янга-Миллса, а Ж.Жинибр и Г.Вело [30] - для нелинейных уравнений Шредин-гера и Клейна-Гордона. Все эти результаты касаются уравнений с нелинейными членами удовлетворяющими основному условию (0.1.25). При этом условии множество 5 всех стационарных состояний конечной энергии уравнения содержит единственную точку 0. Таким образом, 5 = {0}, и сходимость (0.1.7) эквивалентна (0.1.8) и локальному убыванию энергии

(0.1.23). Обратно, из локального убывания энергии (0.1.23) всех решений конечной энергии следует, что <S = {0}. Отметим, что отсутствие локального убывания энергии для некоторых решений уравнений без условия (0.1.25) обнаружили Е.Г.Рофман [71] и Г.М.Чадам [21].

С.Клайнерман [41] и Л.Хермандер [36] установила-убывание (0.1.23) решений конечной энергии для общих релятивистских нелинейных волновых уравнений и уравнения Клейна-Гордона без условия (0.1.25) на нелинейный член. Предполагается, что начальные данные малы в соболевских нормах Wf с р — 1 и р — 2 для некоторых достаточно больших значений I. Тогда решение сходится к нулю при t —> оо в Lf0C(IRn) и равномерно по х G IRn.

III. Солитонная асимптотика решений интегрируемых уравнений. Долго-временная солитонная асимптотика решений гамильтоновых уравнений в частных производных с нетривиальным аттрактором не сводящимся к одной точке найдена для ряда интегрируемых нелинейных одномерных уравнений. Это известные результаты, полученные методом обратной задачи рассеяния в работах В.Е.Захарова, С.В.Манакова, С.П.Новикова и Л.П.Питаевского [37], А.Р.Итса [38], В.Ю.Новокшенова [68], В.В.Суханова [80], Е.Я.Хруслова [83], А.Б.Шабата [84] и других.

IV. Неинтегрируемые нелинейные уравнения Шредингера. Для неинтегрируемых нелинейных уравнений Шредингера долговременная солитонная асимптотика построена для одномерного случая в работах В.С.Буслаева и Г.Перельман [10]—[12], и для двумерного и трехмерного случаев -в работе А.Соффера и М.И.Вайнштейна [77]. - * -: *,г - ~

V. Орбитальная устойчивость солитонов. В работах [4] и [33] рассматривалась орбитальная устойчивость солитонов для нелинейных волновых (j-инвариантных уравнений.

VI. Асимптотическая устойчивость стационарных решений. В работе [56] найден критерий типа Ляпунова, гарантирующий асимптотическую устойчивость стационарных решений общих нёлинейныхтамильтоно-вых уравнений и систем вида (0.1.1) с пространственно-локализованными нелинейными членами, т.е. f(x,u) = 0 при |ж| >const.

Итак, до сих пор в математической литературе рассматривалась либо стабилизация для диссипативных систем при t —► -Ьро, либо стабилизация для гамильтоновых уравнений в случае аттрактора из одной точки, либо солитонная асимптотика для интегрируемых гамильтоновых уравнений. Кроме того, рассматривалась либо устойчивость, либо асимптотическая устойчивость отдельных решений. Таким образом, назрела необходимость исследования долговременной асимптотики всех решений конечной энергии

нелинейных гамильтоновых волновых уравнений без условия (0.1.25), не обязательно интегрируемых, и в случаях когда 5 ф {0}. Такое исследование и проводится в данной диссертации для некоторых классов уравнений. В качестве образца рассматривается теория аттракторов диссипативных уравнений.

0.1.7. Открытые проблемы

Существование стационарных состояний типа (Ф(х),ехр(г^)'ф(х)) доказано недавно в [27] для нелинейных систем Максвелла-Дирака и Клейна-Гордона-Дирака. Тем не менее, долговременная сходимость типа (0.1.7) или (0.1.8) к этим стационарным состояниям является открытой проблемой.

Долго-временные асимптотики (0.1.7) и (0.1.8) всех решений конечной энергии еще не доказаны для релятивистки-инвариантных уравнений (0.1.24) без условия (0.1.25). Если асимптотики (0.1.8) справедливы для решений такого уравнения, то для них также имеют место в некотором смысле солитоно-подобные асимптотики. Это вытекает из релятивистской инвариантности уравнения.

Мы обсуждаем в Добавлении эти математические проблемы и их возможные связи с задачами математической физики.

Часть I Одномерные уравнения

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Комеч, Александр Ильич, 1998 год

Литература

[1] Бабин А.В.,Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. М.: Наука, 1989.

[2] Balabane M., Cazenave T., Douady A., Merle F. Existence of excited states for a nonlinear Dirac field// Comm. Math. Phys. 1988. V.119. P. 153-176.

[3] Bambusi D. A Nekhoroshev-type theorem for the Pauli-Fierz model of classical electrodynamics// Ann. Inst. H. Poincaré, Phys. Theor. 1994. V. 60. P. 339-371.

[4] Bambusi D., Galgani L. Some rigorous results on the Pauli-Fierz model of classical electrodynamics// Ann. Inst. H. Poincaré, Phys. Theor. 1993. V. 58. P. 155-171.

[5] Barut A.O. Electrodynamics and classical theory of fields and particles. New York:Dover Publications, 1980. • . ^ , -

[6] Bauer G., Diirr D. Global existence for the Maxwell-Lorentz system of a rigid charge distribution. Preprint, 1997.

[7] Berestycki H., Lions P.L. Nonlinear scalar field equations I; II// Arch. Rat. Mech. and Anal. 1983. V. 82. P. 313-345; 347-375.

[8] Birnir B. Qualitative analysis of radiating breathers// Comm. Pure Appl. Math. 1994. V. 47. P. 103-119.

[9] Bohr N. On the constitution of atoms and molecules// Phil. Mag. 1913. V. 26. P. 1-25.

[10] Buslaev V.S., Perelman G.S. On nonlinear scattering of states which are close to a soliton// Méthodes Semi-Classiques. Colloque International (Nantes, juin 1991). Vol. 2. Asterisque. 1992. V. 208. P. 49-63.

[11] Buslaev V.S., Perelman G.S. Scattering for the nonlinear Schrôdinger equations: states close to a soliton// St. Petersburg Math. J. 1995. V. 4, N 6. P. 111-1142.

[12] Buslaev V.S., Perelman G.S. On the stability of solitary waves for nonlinear Schrodinger equations// Amer. Math. Soc. Trans. (2). 1995. V. 164. P. 7598.

[13

[14

[15

[16 [17 [18 [19 [20 [21

[22 [23 [24

Вайнберг Б.P. Об аналитических свойствах резольвенты для некоторого класса пучков операторов// Матем. Сборник. 1968. Т. 77. С. 259296.

Вайнберг Б.Р. Поведение решений задачи Коши для гиперболических уравнений при t->oo// Матем. Сборник. 1969. Т. 78, N 4. Р. 542-578.

Вайнберг Б.Р. Асимптотическое поведение при t —» оо решений внешних смешанных задач для гиперболических уравнений и квазиклассика/ / Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, Фундаментальные направления. 1991. Т. 34. М.:Изд-во ВИНИТИ, 1991. С. 57-92.

Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.:Изд-во МГУ, 1982.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца, и их применения. М.:ФМ, 1958.

Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.:ФМ, 1958.

Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций. М.:ФМ, 1958.

Chadam G.M., Asymptotics for □ и = т2и + G(x, i, и, их, ut) I; II// Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Fis. Mat. 1972. V. 26. P. 33-65; 67-95.

Chadam G.M. On certain global solutions of the (classical) coupled KleinGordon equation in one and three space dimensions// Arch. Rat. Mech. Anal. 1974. V. 54. P. 223-237.

Cohen-Tannoudji C., Dupont-Roc J., Grynberg G. Photons and atoms. New York: John Wiley к Sons, 1989.

Dirac P.A.M. Classical theory of radiating electrons// Proc. Roy. Soc. (London). 1938. V. A 167. P. 148-169.

Егоров Ю.Е. О стабилизации взаимодействия струны с нелинейными осцилляторами. Кандидатская Диссертация. Московский Государственный Университет, 1997.

[25] Егоров Ю.Е., Комеч А.И. Об аттракторах и асимптотике решений в нелинейной задаче Лэмба// Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Мат.,мех. 1996. N 5, С. 80-88.

[26] Егоров Ю.Е., Комеч А.И. Стабилизация взаимодействия струны с нелинейным осциллятором// УМН. 1995. Т. 49, вып. 4. С. 152.

[27] Esteban М., GeorgievV., Seré Е. Stationary solutions of the Maxwell-Dirac and Klein-Gordon-Dirac equations. Preprint No. 9514, CEREMADE, 1995.

[28] Esteban M.J., Séré E. Stationary states of the nonlinear Dirac equation: a variational approach// Comm. Math. Phys. 1995. V. 171, N 2. P. 323-350.

[29] Gell-Mann M. Symmetries of Baryons and Mesons// Phys. Rev. 1962. V. 125. P. 1067-1084.

[30] Ginibre J., Velo G. Time decay of finite energy solutions of the nonlinear Klein-Gordon and Schrodinger equations// Ann. Inst. Henri Poincaré. 1985. V. 43. P. 399-442.

[31] Glassey R.T., Strauss W.A. Decay of classical Yang-Mills fields// Comm. Math. Phys. 1979. V. 65. P. 1-13. J. ... -

[32] Glassey R.T., Strauss W.A. Decay of Yang-Mills field coupled to a scalar field// Comm. Math. Phys. 1979. V. 67. P. 51-67.

[33] Grillakis M., Shatah J., Strauss W.A. Stability theory of solitary waves in the presence of symmetry, I; II.// J. Func. Anal. 1987. V. 74. P. 160-197; 1990. V. 94. P. 308-348. ■-■ -

[34] Джексон Д. Классическая электродинамика. М.:Мир, 1965.

[35] Hale J. Asymptotic Behavior of Dissipative Systems. Providence:AMS, 1988.

[36] Hormander L. On the fully nonlinear Cauchv problem with small data// Microlocal Analysis and Nonlinear Waves. IMA Vol. Math. Appl. Vol. 30. Berlin:Springer, 1991. P. 51-81.

[37] Захаров B.E., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. М.: Наука, 1980.

[38] Итс А.Р. Асимптотика решений нелинейного.уравнения-Шредингера и изомонодромные деформации систем линейных дифференциальных уравнений// ДАН СССР. 1981. Т. 261, N 1. С. 14-18.

[39 [40 [41 [42 [43 [44 [45

[46 [47

[48

[49 [50

Keller J.В., Bonilla L.L. Irreversibility and nonrecurrence// Journal of Statistical Physics. 1986. V. 42. N 5/6. P. 1115-1125.

Kichenassamy S. Breather solutions of the -nonlinear wave equation// Comm. Pure Appl. Math. 1991. V. 44. P. 789-818.

Klainerman S. Long-time behavior of solutions to nonlinear evolution equations// Arch. Rat. Mech. Anal. 1982. V. 78. P. 73-98.

Комеч А.И. О стабилизации взаимодействия струны с нелинейным осциллятором// УМН. 1991. Т. 46, вып. 6. С. 166^167.

Комеч А.И. Стабилизация взаимодействия струны с нелинейным осциллятором// Вестник Моск. ун-та. Сер. Мат.,мех. 1991. N 6, 35-41.

Komech A.I. On stabilization of string-nonlinear oscillator interaction// J. Math. Anal. Appl. 1995. V. 196. P. 384-409.

Комеч А.И. О переходах к стационарным состояниям в некоторых бесконечномерных гамильтоновых системах// Доклады РАН. 1996. Т. 347, N 3. С. 309-311.

Комеч А.И. О стабилизации взаимодействия струны с конечным числом осцилляторов// УМН. 1994. Т. 49, вып. 4. С. 117.

Komech A.I. Asymptotics of solutions to nonlinear wave equations// Proceedings of the Third International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Wave propagation. SIAM - INRIA. Edited by Gary Cohen. 1995. P. 22-46.

Komech A.I. Asymptotics and attractors of solutions to nonlinear wave equations// The 3rd International Symposium "on Statistical Physics. Nonlinear and Random Processes. Institute of Physics. TaipeirAcademica Sinica, 1995. P. 488-489.

Komech A.I. On long-time asymptotics and attractors for nonlinear wave equations. Preprint CEREMATH-UT1. 1996. N 3. P. 1-30.

Komech A.I. On long-time asymptotics and attractors'for nonlinear wave equations// Proceedings of the Conference on Applied Mathematics and Computer Science. Moscow:French-Russian A.M.Liapunov Institute on Applied Mathematics and Computer Science, 1996. P. 40-64 .

[51] Komech A.I. On the stabilization of string-oscillators interaction// Russian Journal of Math.Phys. 1995. V. 3. P. 227-248. .. ..... ..

[52] Комеч А.И. Линейные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 31. М.:Изд-во ВИНИТИ, 1988. С. 127-261.

Komech A.I., Spohn H. Soliton-like asymptotics for a classical particle interacting with a scalar wave field// accepted in Nonlin. Analysis.

Komech A.I., Spohn H. Long-Time Asymptotics for the coupled Maxwell-Lorentz Equations// submitted to Rev. Math. Phys.

Komech A.I., Spohn H., Kunze M. Long-time asymptotics for a classical particle interacting with a scalar wave field// Comm. Partial Diff. Equs. 1997. V. 22, N 1/2. P. 307-335.

Komech A.I., Vainberg B.R. On asymptotic stability of stationary solutions to nonlinear wave and Klein-Gordon equations// Arch. Rat. Mech. Anal. 1996. V. 134. P. 227-248.

Курант P., Гильберт Д. Методы математической физики. М.:ГТТИ, 1933.

Ладыженская О.А. Об аттракторах нелинейных эволюционных дисси-пативных задач// Записки научных семинаров ЛОМИ. 1986. Т. 18. С. 72-85. ....... ,. ......-

Lamb H. On a peculiarity of the wave-system due to the free vibrations of a nucleus in an extended medium// Proc. London Math. Soc. 1900. V. 32. P. 208-211.

Lax P.D., Morawetz C.S., Phillips R.S. Exponential decay of solutions of the wave equation in the exterior of a star-shaped- obstacle / /-Comm. Pure Appl. Math. 1963. V. 16. P. 477-486.

Лаке П., Филлипс P. Теория рассеяния.M.:Мир, 1971.

Lions J.L. Problèmes aux limites dans les équations aux dérivées partielles. Montréal:Presses de l'Univ. de Montréal, 1962.

Lions P.-L. Compactness in Boltzmann's equation via Fourier integral operators and applications. Ill// Math. Kyoto Univ. 1994. V. 34, N 3. P. 539-584.

Лоренц Г.А. Теория электронов.M.:ГТТИ, 1956.

[65] Morawetz C.S. The decay of solutions to exterior initial-boundary value problem for the wave equation// Comm. Pure Appl. Math. 1961. V. 14. P. 561-568.

[66] Morawetz C.S., Strauss W.A. Decay and scattering of solutions of a nonlinear relativistic wave equation// Comm. Pure Appl. Math. 1972. V. 25. P. 1-31.

[67] Ne'emann Y. Derivation of strong interactions from a gauge invariance// Nucl. Phys. 1961. V. 26. P. 222-229.

[68] Новокшенов В.Ю. Асимптотика при t —> oo решения задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера//ДАН СССР. 1980. Т. 251, N 4. С. 799-801.

[69] Пэли Р., Винер Н. Преобразование Фурье в комплексной области. М.:Наука, 1964.

[70] Reed М. Abstract поп-linear wave equations. Lecture Notes in Mathematics 507. Berlin:Springer, 1976.

[71] Roffman E.H. Localized solutions of nonlinear wave equations// Bull. Amer. Math. Soc. 1970. V. 76. P. 70-71.

[72] Rohrlich F. Classical charged particles. Foundations of their theory. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1965.

[73] Рудин У. Функциональный анализ.М.:Мир, 1975.

[74] Сазонов Л.И., Юдович В.И. Устойчивость стационарных решений параболических уравнений и уравнения Навье-Стокса во всем простран-стве//Сиб. Мат. Ж. 1988. Т. 29, N 1. С. 151-158.

[75] Segal I. Dispersion for nonlinear relativistic wave equations// Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1968. V. 1. P. 459-497.

[76] Scharf G. From electrostatics to optics. Berlin:Springer, 1994.

[77] Soffer A., Weinstein M.I. Multichannel nonlinear scattering for noninte-grable equations// Comm. Math. Phys. 1990. V. 133. P. 119-146.

[78] Strauss W.A. Decay and asymptotics for Пи = F(u)// J. Funct. Anal. 1968. V. 2. P. 409-457. -

[79] Strauss W.A. Nonlinear invariant wave equations. Lecture Notes in Phys. Vol. 73. BerlimSpringer, 1978.

[80] Суханов В.В. Асимптотическое поведение решений задачи Коши для системы типа КдВ при больших временах//ДАН СССР. 1983. Т. 269, N5. С. 1091-1094.

[81] Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. Applied Mathematical Sciences. Berlin:Springer, 1988.

[82] Фейнман P., Лейтон P., Сэндс M. Фейнмановские лекции по физике. Электродинамика. М.:Мир, 1966.

[83] Хруслов Е.Я. Асимптотика решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза с начальными данными типа ступеньки// Матем. Сборник. 1976. Т. 99, N 2. С. 261-281.

[84] Шабат А.Б. Об уравнениях Кортевега-де Фриса// ДАН СССР. 1973. Т. 211, N 6. С. 1310-1313.

[85] Э.Шредингер. Что такое жизнь? М.:ИЛ, 1947.

[86] Wakano М. Intensely localized solutions of the classical Dirac-Maxwell field equations// Progr. of Theor.Phys.(Kyoto). 1966. V. 35. P. 1117-1141.

[87] Wheeler J.A., Feynman R.P. Interaction with the absorber as the mechanism of radiation// Rev. Mod. Phys. 1945. V: 17/P. 157-181.

[88] Wiener N. Tauberian theorems// Ann. Math. 1932. V. 33, N 1. P. 1-100.

[89] Yaghjian A.D. Relativistic dynamics of a charged sphere. Berlin:Springer, 1992.