Нелинейное уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова в квазиклассическом траекторно-когерентном приближении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Резаев, Роман Олегович

• Резаев, Роман Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Резаев, Роман Олегович

Введение

Глава 1. Одномерное уравнение Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью

1 Класс траекторно-сосредоточенных функций в окрестности точки

2 Система Эйнштейна-Эренфеста

3 Ассоциированное линейное уравнение Фоккера-Планка

4 Функция Грина нелинейного уравнения в классе траекторно-сосредоточенных функций. Оператор эволюции

5 Формула Меллера

Глава 2. Многомерное уравнение Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью

6 Система уравнений Эйнштейна-Эренфеста

7 Структура решения нелинейного уравнения Фоккера-Планка в классе траекторно-сосредоточенных функций

8 Производящая функция для траекторно-сосредоточенных решений ассоциированного уравнения

9 Многомерные полиномы Эрмита. Функция Грина

10 Оператор эволюции и операторы симметрии для нелинейного уравнения

11 Квазиклассические асимптотики с точностью 0(DN/2). Высшие приближения к главному члену

12 Обратное уравнение Фоккера-Планка

Глава 3. Уравнение Фоккера-Планка с нелокальной квадратичной нелинейностью

13 Уравнение Фоккера-Планка с квадратичным потенциалом и нелокальной нелинейностью

14 Система уравнений Эйнштейна-Эренфеста

15 Траекторно-когерентное решение уравнения Фоккера-Планка с квадратичным потенциалом

16 Операторы симметрии для уравнения с нелокальной квадратичной нелинейностью

16.1 Задача Коши и оператор эволюции.

16.2 Операторы симметрии и сплетающий оператор.

16.2.1 Операторы симметрии нелинейного и линейного уравнения Фоккера-Планка

16.2.2 Операторы симметрии и операторная задача Коши.

16.2.3 Операторы симметрии и оператор эволюции.

17 Фазовые потоки, порождаемые нелинейным уравнением Фоккера-Планка с квадратичным потенциалом 71 17.1 Пример.

Глава 4. Эволюция распределения частиц в электронных пучках

18 Описание взаимодействия частиц в пучках на основе уравнения Фоккера-Планка

19 Фокусировка переходного и дифракционного излучения от изогнутых мишеней 79 Заключение 88 Приложение А. Система в вариациях 89 Приложение Б. Функция Грина задачи Коши линейного уравнения Фоккера-Планка

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейное уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова в квазиклассическом траекторно-когерентном приближении»

Фундаментальной проблемой в изучении сложных систем (классических, квантовых, биологических и т.д.) является построение и анализ теоретических моделей, учитывающих влияние на систему большого числа случайных факторов. Следует отметить, что одиночное случайное воздействие в таких системах вызывает малое изменение параметров системы, однако суммарный эффект действия большого количества флуктуаций приводит к заметным изменениям в состоянии системы. Учет влияния случайных воздействий на систему может проводиться как в формализме стохастических дифференциальных уравнений (в форме Ито, Стратоновича и др.), так и в формализме уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. В первом случае адекватным методом исследования служит компьютерное моделирование. Аналитические методы более естественно использовать в моделях, основанных на уравнении Фоккера-Планка-Колмогорова. Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова первоначально использовалось для описания движения броуновских частиц, т.е. малых, но существенно больших, чем молекулы жидкости, частиц, находящихся в жидкости. Молекулы жидкости сталкиваются с макроскопической частицей, причем количество таких соударений на разных сторонах макрочастицы в общем случае оказывается различным, что приводит к скачкообразным изменениям положения частицы в жидкости, т.е. к флуктуациям. В результате броуновская частица совершает хаотическое движение, при котором невозможно предсказать заранее ее появление в какой-либо наперед заданной точке пространства. Тем не менее, можно найти вероятность обнаружить броуновскую частицу в заданной области. Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова описывает эволюцию плотности распределения вероятностей расположения частиц. Функция плотности вероятности дает возможность вычислить различные характеристики броуновской частицы, такие как средние значения импульса, координаты, энергии, дисперсии и т.д. Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова может описывать не только поведение броуновской частицы, но целый ряд явлений (в термодинамике, химии, эволюционной биологии и различных социальных науках), имеющих стохастическую природу (см., например, [1,2]). Повышенный интерес вызывают стохастические процессы, описываемые уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова с различными типами нелинейности (см., например, [3-20]).

Одним из наиболее перспективных приложений уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова является атомная физика, где в последнее время получен целый ряд интересных результатов, связанных с воздействием лазерного излучения на поступательные и внутренние степени свободы атомов. За последние два десятилетия достигнуты большие успехи в лазерном охлаждении [21] (Нобелевская премия за 1997 г. (С. Чу, К. Коэн-Таннуджи, У. Филлипс)), захвате и удержании атомов с образованием периодических и квазипериодических пространственных структур [22-25]. Существенный прогресс в управлении движением атомов привел к формированию новых направлений в атомной оптике [26] и интерферометрии [27], использующих когерентные атомарные пучки с заданными свойствами в прецезионных измерениях атомарных констант и детальных исследованиях взаимодействий таких атомарных ансамблей с поверхностями и другими физическими объектами. Также рассматриваются возможности использования когерентных ансамблей из нейтральных атомов в квантовых вычислениях [28,29]. Проблема описания движения атома в неоднородно поляризованных световых полях достаточно сложна из-за сильной корелляции между внутренними и поступательными степенями свободы атома. Поэтому при рассмотрении результатов экспериментов в реальных полевых конфигурациях и при учете реальной структуры энергетических уровней атомов преимущественно используются методы численного моделирования исходных квантовых кинетических уравнений: численное интегрирование квантовых уравнений для матрицы плотности атомов в импульсном пространстве [25]; метод Монте-Карло для волновых атомарных функций [30]. Эти методы дают хорошее количественное согласие результатов моделирования с экспериментом, однако требуют больших временных затрат, а вклады различных физических механизмов, приводящих к локализации и охлаждению атомов, остаются невыясненными. Квазиклассический поход [31,32] позволяет обнаружить и оценить влияние таких механизмов. В квазиклассическом приближении кинетический этап эволюции атомарного ансамбля описываются уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова1 вида и)

XJ где f(r,p) — функция распределения атомов в фазовом пространстве {r.p} € M2ri, описывающем динамику атомарного ансамбля по поступательным степеням свободы.

Уравнение (0.1) в математической литературе называют также уравнением Кра-мерса. Как уже было сказано, описание стохастических процессов можно проводить на основе двух эквивалентных подходов: стохастические дифференциальные уравнения и уравнение Фоккера-Планка. Например, уравнению Ланжевена вида x = v, v = -lv + F(x)/m + T(t), (0.2) r(t')r(t)) = 2<y(kT/m)8(t - f), (T(t)) = 0, где T(t) — так называемая случайная сила Ланжевена, отвечает уравнение Фоккера-Планка специального вида, так называемое уравнение Крамерса (0.1): du(v,x,t) г д д ( F{x)\ -ykTd2i , . ot I ox ov \ m J m ovz J

Коэффициентами уравнения Фоккера-Планка (0.1) являются светоиндуцированная сила F(r,p), обусловленная эффектами отдачи при поглощении и спонтанном и вынужденном испускании атомом фотонов, и матрица диффузии D(r,p) = \\Di3(f,p)\\ в пространстве импульсов, обусловленная случайным характером процессов испускания-поглощения. Структура этих коэффициентов несет информацию о действующих в среде диссипативных механизмах, механизмах захвата и удержания атомов в областях локализации.

Уравнение Фоккера-Планка также естественным образом возникает при описании движения заряженных частиц в ускорителях [33-35]. Особую роль в физике высоких энергий играют коллайдеры. Эксперименты, проводимые на коллайдерах, требуют создания пучков с заданными характеристиками: максимальная светимость, высокая степень поляризации, стабильный ток и пр. Отклонения от заданных параметров могут гВ физической литературе уравнение Фоккера-Планка-Колмогоровапринято называть уравнением Фоккера-Планка. В дальнейшем мы будем использовать оба термина. привести к дестабилизации пучка, и, в конечном счете, невозможности проведения эксперимента. Чтобы удовлетворить необходимым требованиям, нужно учитывать ряд эффектов, возникающих в процессе формирования и распространения пучка. Особо нужно отметить эффекты, приводящие к деградации пучка, состоящего из большого числа частиц. Современные пучки представляют собой последовательные сгустки частиц (так называемые банчи). Каждый такой банч содержит порядка 1013 частиц. К эффектам, приводящим к дестабилизации пучка, можно отнести различные резонансы, кулонов-ское взаимодействие, квантовые флуктуации и т.д.

Задача описания динамического поведения банчей посредством макроскопических динамических переменных таких, как плотность частиц, имеет большое значение для физики ускорителей. Математически система банчей может быть описана стохастическими дифференциальными уравнениями или соответствующим уравнением Фоккера-Планка. Например (см. [34]), функция распределения частиц в банче в поперечном направлении к движению пучка описывается уравнением (р, vx)Tk0 + <i?f + fgvvp>^0 + <vp, FkVw = (Vp,F%))(Vp,Ff)Fk o, (0.4) где J-'kо = P, t) — функция распределения частиц в фазовом пространстве; угловыми скобками (.,.) обозначено скалярное евклидово произведение векторов; F?'- детерменированные и стохастические составляющие радиационной силы трения

->(]Л "'(к) соответственно; FL ' — ускоряющая сила; FLq — сила взаимодействия пучков, которая может зависеть от функции распределения (x,p,t). Таким образом, уравнение (0.4) в общем случае является нелинейным. В работе [34] использовался численный алгоритм исследования уравнения (0.4).

Влияние нелинейных случайных возмущений на динамику частиц в накопительном кольце исследовалось в работе [35], где авторы на основе отвечающего уравнению Ланжевена уравнения Фоккера-Планка численно исследуют поведение решения вблизи резонансов. Показано, что при соответствующем выборе случайной возмущающей силы повышается устойчивость пучка. Авторы отмечают, что развитый подход связан со значительными затратами машинного времени, и оставляют открытым вопрос о сходимости численных решений. Последняя проблема обсуждалась также в работе [36], в которой предложен метод численного интегрирования нелинейного одномерного уравнения Фоккера-Планка. В качестве примера рассмотрено одномерное уравнение Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью: dtf(x, t) = дх [U'{x, t) + Ddx] f(x, t), (0.5) oo

4 2 г

U(x,t) = ^- + {e-l)^--e(x{t))x, {x(t)}= xf(x,t)dx. (0.6)

4 ^ J

00

Здесь вещественные параметры D, в характеризуют переходный процесс, описываемый уравнением (0.5).

В связи с возможной деградацией пучка, актуальной становится проблема его диагностики. Под диагностикой мы понимаем способ или метод определения поперечных размеров, энергии, поперечного распределения, эммитанса и других характеристик пучка. При этом измерение контрольных параметров пучка должно оказывать минимальное влияние на его характеристики. Существующие диагностики в той или иной мере приводят к дестабилизации пучка. Поэтому выбор диагностики определяется чувствительностью и мерой воздействия этого метода на пучок.

Одним из широко используемых методов диагностики электронных пучков является метод, основанный на переходном излучении. Например, в эксперименте (см. [37]) при измерении поперечных размеров электронного пучка с использованием переходного излучения было достигнуто разрешение порядка 5 мкм. В работе [38] была измерена длина электронного банча с использованием когерентного переходного излучения. Альтернативный подход был продемонстрирован в работе [39], где когерентное переходное излучение пучка с длиной волны порядка 1ь ~ 1 мм фокусировалось на специальный кристалл, через которой проходил луч опорного лазера. Под воздействием электрического поля переходного излучения Eqtr кристалл становится двулучепреломляющим, что приводит к возникновению циркулярно-поляризованной компоненты в излучении лазера после кристалла. Степень поляризации АРс пропорциональна напряженности поля переходного излучения и времени воздействия:

АРС ECtr | At Ectr I к/с. (0.7)

Длина банча определяется из значения степени поляризации А Рс

Использование переходного излучения для диагностики пучка приводит к росту эммитанса исследуемого банча. Поэтому Потылицыным А.П., Науменко Г.А. и др. в работах [40,41] было предложено использовать для диагностики пучка дифракционное излучение, что позволяет исключить непосредственное взаимодействие пучка с мишенью.

В случае, когда внешнее случайное возмущение в стохастических дифференциальных уравнениях нельзя считать гауссовским, описание таких процессов можно проводить на основе уравнения Фоккера-Планка с локальной нелинейностью: t] = (v, D(x, t)V)f(x, t) + (V, F(x, t))na, t), (0.8) где и, ji G E. В частности, уравнение (0.8) используется для описания процесса аномальной диффузии [16], т.е. диффузии, для которой среднее от квадрата смещения частицы пропорционально времени в дробной степени.

В работе [42] была показана связь между обобщенной энтропией

Sq\p}= (l - J [p(v.)Y)(q - q = 1 + n + veR (0.9) и одномерным уравнением (0.8):

-^ = *)] + 0- (0-Ю)

Связь максимума энтропии с решениями нелинейного уравнения Фоккера-Планка рассматривалась также в формализме обобщенной термостатистики [9]. Было показано, что специальным образом выбранные решения нестационарного нелинейного уравнения Фоккера-Планка, отвечающие максимуму энтропии, Тсалиса описывают распространение жидкостей в пористых средах и, в частности, явление аномальной диффузии.

Статистика Больцмана-Гиббса является мощным инструментом при описании большого количества физических систем. Однако она не работает, когда системы включают в себя дальнодействующие силы, эффект «памяти» или эволюция систем идет в фрак-тальноподобном пространстве-времени. Под термином «не работает» здесь понимается появление расходимостей при вычислении интегралов или сумм в подходе Больцмана-Гиббса. Для описания таких систем была предложена так называемая обобщенная термостатистика, которая базируется на понятии обобщенной энтропии

1 <7 s^k1-^, Ей = 1]. (0.11) г

Здесь к — положительная константа; q — вещественный параметр; W — число перестановок в системе; Pi — вероятность реализации каждой перестановки. Обобщенная энтропия (0.11) при q = 1 переходит в обычную энтропию Шеннона S\ — —кв Y^T Pi Pi■ Q-ожидаемое значение величины V дается формулой w

V)q = (0.12) i=1

В случае непрерывных реализаций суммирование в (0.11), (0.12) следует заменить интегрированием (см., например, (0.9)).

В работе [13] было показано, что плотности вероятностей переходных процессов, связанных с обобщенной термостатистикой, описываемые уравнением ФП, сходятся к стационарным плотностям вероятности. В работах [10,15] рассматривались различные классы нестационарных уравнений ФП с локальной и нелокальной нелинейностью, изучалась связь Н-теоремы и свободной энергии в рамках обобщенной термостатистики. Было показано, что такие уравнения связаны с энтропиями, предложенными Рени, Шармом и Миталом.

Точно решаемые задачи математической физики исключительно важны, поскольку позволяют проиллюстрировать основные положения и выводы рассматриваемой теории или модели. Однако такие задачи чаще всего возникают вследствие упрощения исследуемой модели. Для нелинейных моделей с переменными коэффициентами фактически отсутствуют точные аналитические методы интегрирования и поэтому проблема разработки различных асимптотических методов для них особенно актуальна. В линейных задачах математической физики эффективными оказались асимптотические методы, получившие название квазиклассических [43]. Квазиклассическое приближение естественно возникло в квантовой механике, поскольку одним из постулатов квантовой теории является принцип соответствия, который предъявляет к теории требование, чтобы в пределе h —» 0 квантовая динамика переходила в соответствующую классическую. С другой стороны, форма квазиклассических решений определяется тем, что основные квантовомеханические уравнения содержат параметр h при старших производных, который можно считать малым. В моделях, описываемых уравнением Фоккера-Планка (0.1), в роли малого параметра может выступать параметр диффузии D. Ввиду эффективности квазиклассических методов в линейных задачах естественно рассмотреть возможность построения квазиклассических решений нелинейного уравнения Фоккера-Планка.

Стохастические явления в некотором смысле близки к квантовым процессам, с той точки зрения, что для описания эволюции систем в обоих случаях используется вероятностный подход. Ввиду этого асимптотические методы, развитые для задач квантовой механики, можно использовать для изучения стохастических процессов, описываемых уравнением Фоккера-Планка. В частности, для линейного оператора L — VV — DА, D > О, V G Rn, V — гладкое векторное поле, допускающее /с-мерный инвариантный тор, Доброхотовым С.Ю. и др. рассматривалась возможность построения асимптотических собственных функций, локализованных в окрестности этого тора [44]. Было показано, что свойство асимптотической устойчивости инвариантного тора является достаточным условием существования собственных функций рассматриваемого оператора.

На основе комплексного метода ВКБ, или теории комплексного ростка Маслова [45,46], был развит подход траекторно-когерентного приближения, позволивший построить асимптотические решения в виде локализованных волновых пакетов, центр которых движется по некоторой фазовой кривой, для уравнения Шрёдингера [47-50] и для многомерного нестационарного уравнения типа Хартри с нелокальной нелинейностью [51-54]. Настоящая диссертация развивает этот подход на случай нелинейного уравнения Фоккера-Планка.

В работах [53, 55-59] найдены локализованные, асимптотические при h —► 0, решения уравнения типа Хартри — «квазисолитоны», обладающие рядом свойств, присущих уединенным волнам. Одним из наиболее интересных свойств уединенных волн является проявление частицеподобных свойств. Для «квазисолитонов» =- квазиклас-сически траекторно-сосредоточенных решений уравнения Фоккера-Планка — эти свойства представлены динамической системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно математического ожидания X(t, D), P(t, D). Также в эту систему входят центрированные моменты высших порядков. При D —> 0 центр таких «квазисолитонов» движется в пространстве переменных {р, х} по траектории-решению динамической системы относительно средних. Такая система называется системой Эйнштейна-Эренфеста.

В работе [60] на основе комплексного ростка Маслова были построены квазиклассические асимптотики одномерного уравнения Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью и «узкими», т.е. имеющими малую дисперсию в начальный момент времени, начальными распределениями:

4-оо

A(f,x,t) = Vx(x,t) + x J Wx(x,y,t)f(y,t), (0.14) оо где B(x,t), V(x, i), W(x,y,t) — заданные бесконечно гладкие функции, растущие при |сс|, \у\ —> оо не быстрее, чем полином. В частности, были получены система Эйнштейна-Эренфеста для уравнения (0.17) и ассоциированное уравнение Фоккера-Планка на основе асимптотических оценок, приведенных в работе [61].

Целью настоящей работы является развитие асимптотического метода решения задачи Коши на основе комплексного ростка Маслова для многомерного уравнения Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью следующего вида: xu(x,t) / Wz(x,y,t)u(y,t)dy

Vg(x, t)u(x,t) + xew\ (0.15)

Здесь t G R1, х = (х\,., xn)T E Rn, у = (yi,., уп)т e Шп — независимые переменные; (xi,. ,xn)J означает транспонированный вектор или матрицу; угловые скобки {.,.) представляют евклидово скалярное произведение; dx = dx\. dxn; u(x,t) — вещественная гладкая функция, убывающая при —> оо; Т — некоторая постоянная матрица диффузии; V(x, t), W(x, у, t) — потенциалы, определяющие коэффициент дрейфа, представляющий собой бесконечно гладкие функции, растущие при \х\, \у\ —^ оо не быстрее, чем полином, а дУdWs(x,y,t) * д дх ' =-д£-' n = ({U6) где D — малый параметр. Уравнение (0.15) является нелинейным, поскольку коэффициент дрейфа зависит от функции распределения. Для систем многих тождественных частиц функция W(x, у, t) имеет смысл потенциала парного взаимодействия. В этом случае исходная многочастичная задача (см., например, [3,4,19]) эффективно сводится к задаче (0.15) с меньшим числом измерений, но с нелокальным взаимодействием. Нелокальный потенциал в уравнении (0.15) обобщает аналогичные потенциалы, рассматриваемые в работах [5-7,9,12,13,15,18,19].

Метод квазиклассических асимптотик, приближенный по своей сути, в ряде частных случаев позволяет получить точные решения рассматриваемых задач. Например, для квадратичных потенциалов V(x,t), W(x,y,t) в нелинейном уравнении (0.15) в настоящей диссертации построены точные решения, точный оператор «эволюции», получен явный вид операторов симметрии.

Построение точных операторов симметрии представляет особый интерес в групповом и алгебраическом анализе нелинейных дифференциальных уравнений. Однако такое построение возможно только в частных случаях вследствие нелинейности производящих уравнений. Подробный обзор результатов исследований симметрийных свойств ряда линейных и нелинейных дифференциальных уравнений можно найти в [62]. В частности, с использованием метода симметрийной редукции были получены широкие классы точных решений таких нелинейных уравнений, как уравнение эйконала, д'Аламбера, Лиувилля, теплопроводности, Шредингера, Борна-Инфельда, Буссинеска, Монжа-Ампера, полигармонических уравнений. Нахождению групп симметрии линейного уравнения Фоккера-Планка для различных коэффициентов сноса и диффузии посвящены работы [63-71]. В [62] рассматривается применение метода алгебр Ли для исследования одномерного и двухмерного линейного уравнения Фоккера-Планка. С использованием этого метода найдены максимальные группы преобразований для одномерного уравнения Фоккера-Планка с произвольными коэффициентами сноса и диффузии. Главное внимание уделено построению в явном виде классов точных решений уравнений Фоккера-Планка, которые допускают четырехмерную алгебру инвариантности. Также исследованы симметрийные свойства двухмерного линейного уравнения Фоккера-Планка с произвольными коэффициентами сноса и постоянными коэффициентами диффузии, а также построены классы точных решений уравнения Крамерса.

Для интегро-дифференциальных уравнений (например, (0.15)) сложность вычисления симметрий обусловлена, в частности, тем, что неизвестно, каким образом задать подходящую структуру для симметрий. Вследствие этого поиск операторов симметрии зачастую не приводит к желаемым результатам. Поэтому явный вид таких операторов симметрии, полученный в настоящей диссертации и опубликованный в работе [72], представляет несомненный математический интерес.

Для уравнения типа Хартри в работе [54] с помощью оператора эволюции были получены квазиклассические операторы симметрии и для специальных потенциалов найден явный вид оператора эволюции, функции Грина и операторов симметрии, а также сформулирован нелинейный принцип суперпозиции.

Перейдем теперь к описанию содержания диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух приложений, заключения и списка цитируемой литературы, содержащего библиографических ссылок. Общий объем диссертации составля

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Резаев, Роман Олегович

Заключение

В работе впервые получены следующие основные результаты:

1. Развит метод построения асимптотических решений многомерного нестационарного уравнения Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью в классе траекторно-сосре-доточенных функций с точностью

2. Построено формальное асимптотическое решение задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка в классе траекторно-сосредоточенных функций.

3. Построен в явном виде с точностью 0(DN/2), D —» О, N > 3 в классе траекторно-сосредоточенных функций оператор эволюции многомерного уравнения Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью. С точностью 0(DN/2) в классе траекторно-сосредо-точенных функций построены семейства квазиклассических операторов симметрии.

4. Получена с точностью 0(DN/2) система Эйнштейна-Эренфеста, описывающая эволюцию центрированных моментов функции распределения. В явном виде построено семейство операторов симметрии и оператор эволюции уравнения Фоккера-Планка с квадратичным оператором и квадратичной нелокальной нелинейностью. С помощью операторов симметрии найдено семейство решений исходного нелинейного уравнения. Построены параметрические семейства фазовых потоков, определяющих эволюцию носителя решения нелинейного уравнения Фоккера-Планка.

5. Разработан метод расчета распределения интенсивности переходного излучения при пролете заряженных частиц, распределенных по заданному закону, через мишень произвольной формы. Исследована зависимость концентрации интенсивности излучения на детекторе по сравнению с плоской мишенью от геометрии мишени.

Результаты диссертации опубликованы в работах [72,125,131-136]. В заключение я хотел бы выразить глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Трифонову А.Ю. научному консультанту доктору физико-математических наук, профессору Шаповалову А.В., доктору физико-математических наук, профессору Потылицыну А.П. за многочисленные обсуждения различных аспектов данной работы, постоянную помощь в работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Резаев, Роман Олегович, 2007 год

1. Risken Н. The Fokker-Planck equation: Methods of Solution and Applications. — New-York: Springer, 1989. — 472 p.2. van Kampen N. G. Stochastic process in Physics and Chemistry. — North-Holland, 1992. 434 p.

2. Helbing D. Interrelations bettween stochastic equations for systems with pair interactions // Physica A. — 1992. Vol. 181. — P. 29-52.

3. Kaniadakis G., Quarati P. Kinetic equation for classical particles obeying an exclusion principle // Phys. Rev. E. 1993. - Vol. 48. - P. 4263-4270.

4. Kaniadakis G., Quarati P. Classical model of bosons and fermions // Phys. Rev. E. — 1994. Vol. 49. - P. 5103-5110.

5. Kaniadakis G. Classical model of intermediate statistics // Phys. Rev. E. — 1994. — Vol. 49. P. 5111-5116.

6. Drozdov A.N., Morillo M. Validity of basic concept in nonlinear cooperative Fokker-Planck models // Phys. Rev. E. 1996. - Vol. 54. - P. 3304-3313.

7. Martinez S., Plastino A.R., Plastino A. Nonlinear Fokker-Planck equations and generalized entropies // Physica A. 1998. - Vol. 259. - P. 183-192.

8. Frank T.D., Daffertshofer A. Exact time-dependent solutions of the Renyi Fokker-Planck equations and Fokker-Planck equations related to the entropies proposed by Sharma and Mittal // Physica A. 2000. - Vol. 285. - P. 129-144.

9. Chavanis P.H. Classical model of intermediate statistics // Phys. Rev. E. — 2001. — Vol. 64, 026309, Iss. 2.

10. Frank T.D., Daffertshofer A. Multivariate nonlinear Fokker-Planck equations and generalized thermostatistics // Physica A. 2001. - Vol. 292. — P. 392-410.

11. Frank T.D., Daffertshofer A. H-theorem for nonlinear Fokker-Planck equations related to generalized thermostatistics // Physica A. — 2001. — Vol. 295. — P. 455-474.

12. Kaniadakis G. Non Linear Kinetics underlying Generalized Staistics // Physica A. — 2001. Vol. 296. - P. 405-425.

13. Shiino M. Free energies based on generalized entropies and H-theorems for nonlinear Fokker-Planck equations // J. Math. Phys. 2001. - Vol. 42. - P. 2540-2553.

14. Pedron I.Т., Mendes R.S., Malacurne L.C., Lenzi E.K. Nonlinear anomalous diffusion equation and fractal dimansion: Exact generalized gaussian solution // Phys. Rev. E. 2002. - Vol. 65, Iss. 4.

15. Pedron I.Т., Mendes R.S., Malacurne L.C. N-dimetional nonlinear Fokker-Planck equation whith time-dependent coefficient // Ibid. — 2002. — Vol. 65, Iss. 5.

16. Shiino M. Nonlinear Fokker-Planck equation exhibiting bifurcation phenomena and generalized thermostatistics // J. Math. Phys. 2002. - Vol 43. - P. 2654-2669.19