Статистический анализ индуцированных шумами различной природы эффектов в нелинейных динамических системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, доктор наук Дубков Александр Александрович

• Дубков Александр Александрович
• доктор наук
• 2017

Оглавление диссертации доктор наук Дубков Александр Александрович

Содержание

Содержание

Введение

Глава 1. Функциональный метод вывода уравнений для вероятностных характеристик нелинейных динамических систем, подверженных воздействию негауссовых шумов 21 § 1.1. Формулы размыкания функциональных средних для некоторых видов случайных процессов 22 § 1.2. Вывод общего уравнения Колмогорова для вероятностных характеристик нелинейной динамической системы, описываемой уравнением Ланже-вена с негауссовым белым шумом

§ 1.3. Вывод уравнений для вероятностных и временных характеристик нелинейной динамической системы, находящейся под одновременным воздействием гауссова белого и марковского дихотомического шумов 33 Глава 2. Исследование физических систем с негауссовыми случайными воздействиями, обладающими специфическими свойствами

§ 2.1. Гипотеза статистической обратимости и анализ термодинамической корректности ланжевеновских уравнений

§ 2.2. Нелинейное броуновское движение: проблема получения стохастического уравнения Ланжевена для частицы, взаимодействующей с негауссовым термостатом

§ 2.3. Структура полиспектров масштабно-инвариантных полей: приложение к турбулентности

Глава 3. Исследование статистических характеристик нелинейных динамических систем в установившихся режимах

§ 3.1. Стационарные вероятностные характеристики гармонического осциллятора с предельно быстрыми флуктуациями частоты

§ 3.2. Корреляционные характеристики равновесного броуновского движения в потенциальных полях 76 § 3.3. Спектр броуновской диффузии в бистабильном кусочно-линейном потенциале 95 § 3.4. Вероятностные распределения передемпфированного броуновского движения в случайно переключающихся потенциалах 104 § 3.5. Спектр диффузии в системе с одним случайно переключающимся устойчивым состоянием. Проявление эффекта резонансной активации 115 Глава 4. Анализ нелинейных флуктуационных явлений с конструктивной ролью шума 125 § 4.1. Повышение шумом устойчивости метастабильного состояния в системе со случайно переключающимся потенциальным барьером 125 § 4.2. Эффект повышения шумом устойчивости метастабильного состояния в двумерном потенциале с радиальной симметрией 139 § 4.3. Возможные подходы к анализу нелинейного режима стохастического резонанса

§ 4.4. Ускорение броуновской диффузии в быстро флуктуирующем периодическом потенциале

§ 4.5. Особенности диффузии частиц в случайно переключающемся периодическом потенциале 158 Глава 5. Исследование стационарных характеристик нелинейных динамических систем со скачкообразными изменениями состояния

§ 5.1. Установившиеся вероятностные распределения для полетов Леви в моностабильных потенциалах

§ 5.2. Время корреляции установившихся полетов Леви в потенциальных

ямах большой крутизны

§ 5.3. Эволюция вероятностных характеристик модели Ферхюльста с аномальными флуктуациями параметра насыщения

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистический анализ индуцированных шумами различной природы эффектов в нелинейных динамических системах»

Актуальность исследуемой проблемы

Проблема статистического анализа нелинейных динамических систем, находящихся в существенно неравновесных состояниях, охватывает различные разделы статистической физики и радиофизики и в настоящее время привлекает большое внимание в связи с ее важностью не только в широком круге физических проблем [98]-[164], но и в целом ряде задач химии [207]-[8] и биологии [309]-[12]. Примерами подобных неравновесных состояний нелинейных динамических систем могут служить: движение солитонов в длинных джо-зефсоновских контактах, нестабильные и метастабильные состояния, возникающие при фазовых и бифуркационных переходах, броуновские моторы, нуклеация, критические явления и др.

В общем случае под неравновесной понимается нелинейная динамическая система, обладающая рядом устойчивых и (или) квазиустойчивых состояний и находящаяся под воздействием внутренних (тепловых) шумов и внешних флуктуаций (а также, в ряде случаев, нестационарных детерминированных воздействий) как аддитивного, так и мультипликативного характера. Неравновесность стационарного состояния системы может быть обусловлена особенностями ее внутренней динамики. С другой стороны известно, что при наличии внешних воздействий динамическая система выходит из установившегося режима, поскольку в ней возникают различные дополнительные потоки (массы, заряда, тепла), и ее поведение резко меняется. Появляются качественно новые характеристики ее усредненного и флуктуационного поведения. Возникают новые метастабильные режимы функционирования системы, зависящие от внешних воздействий, индуцированные шумом переходы из одного состояния в другое, различные виды неравновесных неустойчивостей, явления переходной бимодальности и мультимодальности и т.д.

За последние тридцать пять лет был обнаружен и досконально изучен ряд нелинейных флуктуационных явлений в подобных системах, где шум весьма неожиданно начинает играть конструктивную роль. Среди них следует упомянуть такие эффекты как стохастический резонанс - усиление шумом отклика нелинейной пороговой системы на входной гармонический сигнал, нашедший огромное количество практических применений в различных областях [268], задержка шумом распада метастабильных состояний [246]-[245], резонансная активация - минимизация времени преодоления броуновской частицей потенциального барьера при изменении частоты его модуляции [237, 226], рэтчет - создание однонаправленного потока частиц вдоль асимметричной периодической структуры за счет ее модуляции внешним полем, лежащий в основе действия так называемых молекулярных моторов [230].

Проблема статистического анализа нелинейных динамических систем, находящихся в существенно неравновесных состояниях, является достаточно сложной в силу неразрывной связи и взаимовлияния флуктуаций, диссипации и нелинейности. Ее решение затруднено также невозможностью применения существующих флуктуационно-диссипационных соотношений и теорем, базирующихся на равновесном распределении Гиббса и микроскопической обратимости уравнений движения во времени. Тем не менее, в большинстве случаев рассматриваемая проблема, включая различные частные случаи и конкретные радиофизические приложения, сводится к задаче о статистических характеристиках движения броуновской частицы (представляющей изображающую точку динамической системы в фазовом пространстве) в заданном потенциальном профиле при наличии тех или иных детерминированных или случайных воздействий.

Не меньшее внимание с начала нынешнего столетия уделяется обнаруженной в целом ряде экспериментов аномальной диффузии, отличающейся от обычного броуновского движения более быстрым, либо более медленным

разбеганием облака броуновских частиц, и наблюдаемая в различных физических и химических системах [66]. Медленная диффузия, называемая субдиффузией, наблюдается в веществах со сложной геометрией - мутных кристаллах и стеклах, аморфных полупроводниках, в то время как ускоренная диффузия или супердиффузия встречается в хаотической динамике и турбулентности. Явление аномальной диффузии можно описать с помощью аппарата дробного дифференцирования [21] и уравнения Фоккера-Планка в дробных производных. Дробное уравнение Фоккера-Планка получают различными методами: из модели непрерывных случайных блужданий, из фрактального обобщения уравнения Колмогорова-Феллера, из дихотомической модели со специальным вероятностным распределением времен между переключениями, из дробного разложения в ряд Тейлора в окрестности точки, из концепции случайного времени и т.д.

Особое внимание в последних публикациях в данной области стало уделяться одной из форм аномальной диффузии - так называемым полетам Леви [353], характеризуемым наличием в реализации наряду с обычной диффузией экстремально больших скачков. Подобный вид супердиффузии наблюдается во многих физических системах, таких как лазерное охлаждение, диффузия потоков в пористых средах и плазме, молекулярные столкновения, движение отдельного иона в одномерной оптической решетке. Для описания данного явления применим обычный марковский аппарат уравнений Фоккера-Планка. Это позволяет последовательно вывести уравнение Фоккера-Планка с дробной пространственной производной непосредственно из ланжевенов-ского уравнения движения с источником в форме устойчивого процесса Леви [81]. На данный момент хорошо изучен вопрос о стационарных вероятностных распределениях и конфайнменте аномальной диффузии в форме полетов Ле-ви [355]-[356] но наибольшее внимание уделяется временным характеристикам полетов Леви, таким как среднее время первого достижения границ, среднее

время прихода, время пребывания в заданной области, обсуждаются вопросы о новом законе для времени распада метастабильного состояния системы в случае полетов Леви, аналогичному известному экспоненциальному закону Крамерса для обычной диффузии. Однако, аналитические результаты в данном направлении получить уже гораздо сложнее и поэтому большинство публикаций содержит лишь результаты численного моделирования.

Цель диссертационной работы

Целью работы является разработка новых методов статистического анализа неравновесных нелинейных динамических систем и получение на их основе точных результатов для вероятностных, временных и спектральных характеристик протекающих в них флуктуационных процессов, а также выявление особенностей поведения и роли как нелинейностей самих систем, так и параметров внешних воздействий негауссовой природы.

Основные задачи диссертации

1. Развитие функционального аппарата анализа стохастических систем и его применение к отысканию вероятностных и временных характеристик нелинейных динамических систем, возмущаемых негауссовыми шумами.

2. Установление особенностей спектров высшего порядка негауссовых случайных процессов, обладающих свойством временной симметрии, а также масштабно-инвариантных случайных полей на примере развитой изотропной турбулентности.

3. Разработка новых подходов к исследованию нелинейного броуновского движения, связанного с взаимодействием подсистемы с негауссовым

тепловым резервуаром.

4. Детальный анализ особенностей нелинейных флуктуационных явлений с конструктивной ролью шума: задержка распада метастабильного состояния, нелинейный режим стохастического резонанса, ускорение диффузии частиц в периодических структурах.

5. Получение новых точных результатов для установившихся вероятностных и временных характеристик аномальной диффузии в форме полетов Леви в различных потенциалах.

Научная новизна

Научная новизна результатов, представленных в диссертационной работе, заключается в разработке и развитии математических методов статистического анализа и получении на их основе новых строгих результатов для вероятностных, временных и спектральных характеристик нелинейных динамических систем.

Основная часть представленных в диссертации результатов получена лично автором. В большинстве совместных работ автором выполнены все аналитические расчеты. Постановка задач, разработка подходов, объяснение и интерпретация результатов были осуществлены либо лично автором, либо совместно с соавторами научных работ, опубликованных соискателем.

Теоретическая и практическая значимость

Предлагаемые в диссертационной работе методы являются развитием общей теории неравновесных нелинейных динамических систем. Полученное общее интегро-дифференциальное уравнение Колмогорова наряду с новыми методами анализа спектрально-корреляционных характеристик систем, нахо-

дящихся в стационарных состояниях, вносит существенный вклад в теорию марковских случайных процессов.

Полученные результаты позволяют глубже понять взаимовлияние флук-туаций, диссипации и нелинейности в неравновесных динамических системах. Так, предложенное термодинамически корректное нелинейное уравнение Ланжевена с мультипликативным шумом для движения частицы, взаимодействующей с негауссовым термостатом, может служить отправной точкой для дальнейших исследований нелинейного броуновского движения.

Разработанные подходы могут найти применение для предсказания поведения сложных динамических систем. Метод определения степенных показателей спектров высшего порядка масштабно-инвариантных случайных процессов и полей позволяет объяснить экспериментальные данные для бис-пектра поля скоростей турбулентности и предсказать поведение его высших корреляционных характеристик. Задача о времени жизни метастабильных состояний входит в круг важнейших проблем статистической физики, и поэтому полученные результаты по его увеличению за счет шума могут найти, в принципе, применение в экспериментах по анализу флуктуаций тока, сопутствующих движению носителей заряда в полупроводниках. Обнаруженный эффект ускорения диффузии путем стохастической модуляции поля с заданным пространственным периодом может представлять интерес для современных диффузионных технологий изготовления материалов твердотельной электроники.

Методы исследования

Применяемые в диссертации методы исследования основаны на строгом математическом аппарате теории марковских случайных процессов и функциональном подходе к анализу стохастических систем.

Основные научные положения и результаты, выносимые на защиту

1. Получение общего интегро-дифференциального уравнения Колмогорова для плотности вероятности марковского процесса непосредственное из стохастического уравнения Ланжевена с негауссовым белым шумом.

2. Вывод строгого операторного соотношения для нелинейной диссипации в задаче о взаимодействии частицы с негауссовым термостатом.

3. Установление степенной зависимости спектров высшего порядка поля скоростей развитой однородной изотропной турбулентности и ее сравнение с экспериментальными данными.

4. Точные результаты для установившихся вероятностных распределений и спектров броуновского движения в случайно переключающихся потенциалах. Обнаружение нового проявления эффекта резонансной активации.

5. Получение точных уравнений для отыскания среднего времени пребывания броуновских частиц в метастабильном состоянии с флуктуирующим потенциальным барьером. Анализ условий, при которых возникает эффект задержки шумом распада метастабильного состояния для кусочно-линейного потенциального профиля.

6. Получение точной квадратурной формулы для эффективного коэффициента диффузии броуновских частиц, движущихся в быстро флуктуирующем периодическом потенциальном поле. Установление эффекта ускорения диффузии по сравнению со случаем свободной диффузии также и при модуляции периодического потенциала марковским дихотомическим шумом.

7. Получение строгих соотношений для стационарного вероятностного распределения и времени корреляции координаты частицы при аномальной диффузии в форме полетов Леви в симметричном степенном потенциале с одним устойчивым состоянием.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и заключения. Она изложена на 221 странице и содержит 57 иллюстраций. Список литературы содержит 200 наименований.

Логика изложения материала в диссертационной работе построена следующим образом. Математический аппарат и результаты, полученные в первой главе, являются основой для решения задач, рассматриваемых в последующих главах. Так, формула размыкания функциональных средних для негауссова белого шума из § 1.1 применяется во второй главе при исследовании задачи о взаимодействии частицы с негауссовым термостатом (см. § 2.2). Уравнения для вероятностных характеристик из § 1.2 используются в третьей главе для анализа стационарных характеристик броуновского движения в фиксированных и флуктуирующих потенциальных полях. На базе уравнений для времен первого достижения, выведенных в § 1.3, в четвертой главе изучаются эффекты повышения шумом устойчивости метастабильного состояния системы (§ 4.1) и ускорения диффузии частиц вдоль периодической структуры (§ 4.5). Наконец, на основе дробного уравнения Фоккера-Планка, являющегося частным случаем полученного в § 1.2 общего интегро-дифференциального уравнения Колмогорова, в пятой главе исследуются вероятностные и временные характеристики супердиффузии в форме полетов Леви (§ 5.1, § 5.2).

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована ее цель и задачи, показана научная новизна, теоретическая и практическая значимость полученных результатов, приводятся положения,

выносимые на защиту, описана структура и приведено краткое содержание диссертации. Введение содержит сведения о достоверности и апробации результатов.

В первой главе развивается функциональный аппарат анализа вероятностных и временных характеристик нелинейных динамических систем, который применяется в дальнейшем для анализа конкретных систем с одним или несколькими источниками шума.

В § 1.1 исходя из того, что приращение обобщенного винеровского процесса обладает свойствами случайной величины с безгранично делимым распределением, получено замкнутое интегральное представление его характеристической функции и найдена новая формула размыкания корреляции производной обобщенного винеровского процесса (негауссова белого шума) с произвольным функционалом от нее.

Этот результат далее применяется в § 1.2 для вывода общего интегро-дифференциального уравнения Колмогорова непосредственно из стохастического уравнения Ланжевена с негауссовым белым шумом. Показано, что в случае гауссова шума данное уравнение принимает вид обычного уравнения Фоккера-Планка, для аддитивного воздействия превращается в известное уравнение Колмогорова-Феллера для чисто разрывных марковских процессов, а для негауссова белого шума с устойчивым вероятностным распределением переходит в уравнение Фоккера-Планка с дробной пространственной производной, используемое для описания супердиффузии броуновских частиц в форме полетов Леви.

В § 1.3 функциональным методом получена замкнутая система уравнений для вероятностных характеристик и времен первого достижения границ фазовой переменной нелинейной динамической системы, находящейся под одновременным воздействием гауссова белого шума и марковского дихотомического шума.

Во второй главе рассматриваются специальные классы обратимых во времени случайных процессов и масштабно-инвариантных случайных полей и их физические приложения. При этом основное внимание сосредоточено на исследовании особенностей их спектров высшего порядка.

В § 2.1 анализируются особенности спектров высшего порядка случайных процессов, обладающих свойством статистической обратимости во времени. В контексте этого рассматривается проблема построения термодинамически корректных уравнений Ланжевена, описывающих стохастическую динамику подсистемы, взаимодействующей с термостатом. Отмечается, что в случае моделирования воздействия теплового резервуара гауссовым шумом с конечным временем корреляции (уравнения Кубо-Мори) возникают определенные проблемы с моделирование движения подсистемы.

В § 2.2 предложена процедура построения уравнения ланжевеновского типа для частицы, движущейся в потенциальном поле и взаимодействующей с негауссовым тепловым резервуаром. Получено точное операторное соотношение, связывающее нелинейное трение со статистическими характеристиками негауссова мультипликативного белого шума, моделирующего негауссов термостат.

В § 2.3 проведено исследование структуры пространственных спектров высшего порядка (полиспектров) масштабно-инвариантных скалярных случайных полей. Базируясь на Колмогоровской гипотезе о масштабной инвариантности поля скоростей развитой однородной изотропной турбулентности в диапазоне больших волновых чисел, показано, что полиспектры поля скоростей и давления несжимаемой жидкости зависят от обобщенного волнового числа по степенному закону, и найдены соответствующие показатели степенных зависимостей. Указан простой критерий экспериментальной проверки гипотезы масштабной инвариантности скалярного поля.

Третья глава посвящена исследованию вероятностных, временных и спек-

тральных характеристик броуновского движения в фиксированных и случайно переключающихся потенциалах. Предложены новые методы точного расчета этих характеристик.

В § 3.1 получены уравнения для моментных и вероятностных характеристик гармонического осциллятора с флуктуациями частоты в форме негауссова белого шума. Для белого гауссова шума на основе системы уравнений для совместных моментов восстановлена приближенная форма установившихся вероятностных распределений координаты и скорости в пределе малого трения. Обнаружено, что эти плотности вероятности не существуют при нулевой диссипации, поскольку не могут быть нормализованы.

В § 3.2 предложен новый метод строгого отыскания времени корреляции стационарного броуновского движения в произвольных потенциалах и отмечены особенности поведения корреляционной функции координаты частицы в негладких потенциальных профилях.

В § 3.3 найдено точное выражение для спектра равновесной броуновской диффузии в симметричном двухъямном кусочно-линейном потенциале, справедливое для любых значений высоты потенциального барьера, разделяющего устойчивые состояния системы, и интенсивности гауссова белого шума. Показано, что с увеличением высоты потенциального барьера происходит экспоненциально быстрое сужение спектра. В отсутствии барьера полученный результат стыкуется с известным выражением для спектра диффузии в прямоугольной потенциальной яме.

В § 3.4 на основе общих уравнений первой главы для вероятностного распределения фазовой переменной нелинейной динамической системы, возмущаемой одновременно гауссовым белым шумом и марковским дихотомическим шумом, проанализированы стационарные вероятностные характеристики броуновского движения в бистабильной системе с флуктуирующим барьером и в прямоугольной потенциальной яме с переключающимся по направ-

лению постоянным полем.

В § 3.5 получено точное выражение для спектра установившихся флуктуа-ций координаты броуновской частицы, движущейся в случайно переключающемся кусочно-линейном моностабильном потенциальном профиле. Обнаружена немонотонная зависимость спектральной плотности на нулевой частоте от среднего темпа переключений с характерным минимумом, что является манифестацией эффекта резонансной активации. Установлен также типично нелинейный эффект, заключающийся в сужении спектра флуктуаций с увеличением ширины спектра модулирующего дихотомического шума.

В четвертой главе рассматривается целый ряд нелинейных флуктуа-ционных явлений, где шум играет конструктивную роль. Проанализирован эффект задержки шумом распада метастабильного состояния, нелинейный режим стохастического резонанса, возможность ускорения диффузии и сортировки частиц в периодической структуре с помощью ее модуляции внешним полем.

В § 4.1 получены общие уравнения для отыскания среднего времени жизни броуновских частиц в метастабильном состоянии со случайно переключающимся потенциальным барьером, которые точно решены для кусочно-линейного потенциального профиля. Аналитически найдено условие, при котором возникает явление повышения устойчивости системы шумом.

Аналогичное явление исследуется в § 4.2 для двумерного потенциала, обладающего радиальной симметрией, где найдено среднее время жизни ме-тастабильного состояния. Показано, что в отличие от одномерного случая в такой системе задержка распада состояния может наблюдаться лишь при первоначальном расположении частиц на склоне кратера потенциального профиля выше его дна.

В § 4.3 предложено модифицированное двухуровневое приближение для аналитического исследования нелинейного режима явления стохастического

резонанса, основанное на операторном методе описания случайных процессов. Проведено сравнение результатов для коэффициента усиления входного синусоидального сигнала по мощности с результатами, даваемыми методом обрывания по кумулянтам и прямым численным моделированием уравнения движения системы.

В § 4.4 выводится точная квадратурная формула для эффективного коэффициента диффузии броуновских частиц в быстро флуктуирующем периодическом потенциальном поле. Показано, что при любой форме потенциала наблюдается явление ускорения диффузии по сравнению со случаем свободной диффузии. Доказана эквивалентность задачи о вычислении коэффициента диффузии с отысканием среднего времени первого достижения.

В качестве обобщения предыдущей задачи в § 4.5 получена система уравнений для определения эффективного коэффициента диффузии броуновских частиц в случайно переключающемся между двумя конфигурациями симметричном периодическом потенциале. Найдены условия ускорения диффузии по сравнению со случаем свободной диффузии и показано, что этот эффект имеет место лишь в определенной области на плоскости параметров переключающего шума.

В пятой главе получены новые точные результаты для вероятностных и временных характеристик ускоренной диффузии в форме полетов Леви в удерживающих потенциалах, а также задача о динамике изолированной популяции с флуктуирующим объемом жизненных ресурсов, распределенном по устойчивому закону Леви.

В § 5.1 выведены точные соотношения для стационарного вероятностного распределения координаты частицы при аномальной диффузии в форме полетов Леви в симметричном степенном потенциале произвольной степени с одним устойчивым состоянием. Показано, что все эти распределения имеют ранее обнаруженную бимодальную форму в отличие от унимодального

распределения Больцмана для броуновской диффузии.

В § 5.2 получено точное аналитическое выражение для времени корреляции установившейся супердиффузии в форме полетов Леви в симметричном потенциале четвертой степени с одним устойчивым состоянием. Показано, что время корреляции имеет степенную зависимость от интенсивности шума и уменьшается с ростом крутизны потенциальной ямы.

В § 5.3 на основе известного точного решения стохастического уравнения Ферхюльста для плотности популяции с флуктуирующим объемом жизненных ресурсов определена эволюция плотности вероятности для возмущения в форме белого шума Леви с односторонним вероятностным распределением. Обнаружены явление переходной бимодальности и немонотонной релаксации средней значения плотности популяции для белого шума с устойчивым распределением Леви-Смирнова. Обнаружено, что для исходной нелинейной системы корреляционная функция плотности популяции в установившемся состоянии может иметь простую экспоненциальную зависимость, где время корреляции не зависит от параметров шума.

В Заключении подведены итоги диссертационной работы, сформулированы основные результаты.

Достоверность полученных результатов

Обоснованность научных положений и выводов, полученных в диссертации, обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата. Достоверность большинства результатов работы следует из получаемых точных соотношений в рамках рассматриваемых моделей и их стыковки с ранее известными результатами, а в случае приближенных расчетов подтверждается результатами численного моделирования.

Апробация результатов и публикации

Основные результаты диссертации были представлены в форме приглашенных, устных и стендовых докладов на 26-ти международных научных конференциях: 16th (Prague, Czech Republic, 2003), 17th (Salamanca, Spain, 2005), 18th (Tokyo, Japan, 2007), 20th (Pisa, Italy, 2009), 23rd (Xi'an, China, 2015) International Conferences on Noise and Fluctuations; 16th (Zakopane, Poland, 2003), 19th (Krakow, Poland, 2006), 24th (Zakopane, Poland, 2011), 27th (Zakopane, Poland, 2014) Marian Smoluchowski Symposium on Statistical Physics; International Workshop "Noise in Condensed Matter and Complex Systems" (Citta del Mare, Terrasini, Sicily, 2004); International Workshop "Stochastic Resonance: New Horizons in Physics and Engineerin" (Dresden, Germany, 2004); ESF-STOCHDYN Conference (Erice, Italy, 2005); International Seminar and Workshop "Constructive Role of Noise in Complex Systems" (Dresden, Germany, 2006); International Workshop "Ecological Complex Systems: Stochastic Dynamics and Patterns" (Citta del Mare, Terrasini, Sicily, 2007); 5th (Lyon, France, 2008), 6th (Kolkata, India, 2012), 7th (Barcelona, Spain, 2015) International Conferences "Unsolved Problems on Noise"; International Workshop "Stochastic Resonance" (Perugia, Italy, 2008); XXIII Sitges Conference on Statistical Mechanics: Understanding and Managing Randomness in Physics, Chemistry and Biology (Sitges, Barcelona, Spain, 2012); 4th Conference "Statistical Physics: Modern Trends and Applications" (Lviv, Ukraine, 2012); 25th International Conference on Statistical Physics (Seoul, Korea, 2013); Conference "Large Deviations and Rare Events in Physics and Biology" (Rome, Italy, 2013); International Conference on Statistical Physics (Rhodes, Greece, 2014); International Workshop "Anomalous diffusion: wild and bad?" (Bad Wildbad, Germany, 2015) и опубликованы в Трудах [27]-[32].

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Дубков Александр Александрович, 2017 год

Список литературы

[1] Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика. -М.: Наука, 1985. - 478 с.

[2] Lindenberg K., West B.J. The Nonequilibrium Statistical Mechanics of Open and Closed Systems. VCH, New York, 1990.

[3] Hanggi P., Talkner P., Borkovec M. Reaction rate theory: Fifty years after Kramers // Rev. Mod. Phys. 1990. V.62. P.251-342.

[4] Климонтович Ю.Л. Нелинейное броуновское движение // УФН. 1994. Т.164. С.811-844.

[5] van Kampen N.G. Stochastic Processes in Physics and Chemistry. -Amsterdam: North-Holland, 1981.

[6] Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы: теория и применение в физике, химии и биологии. -М.: Мир, 1987. - 832 с.

[7] Coffey W., Kalmykov Yu.P., Waldron J.T. The Langevin Equation: With Applications in Physics, Chemistry, and Electrical Engineering. World Scientific, Singapore, 1996.

[8] Mazo R.M. Brownian Motion: Fluctuations, Dynamics, and Applications. Clarendon Press, 2002.

[9] Jiilicher F., Ajdari A., Prost J. Modeling molecular motors // Rev. Mod. Phys. 1997. V.69. P.1269-1281.

[10] Matis J.H., Kiffe T.R. Stochastic Population Models: A Compartmental Perspective. -N.Y.: Springer, 2000. - 212 p.

[11] Vicsek T. Fluctuations and Scaling in Biology. -Oxford: Oxford University Press, 2001.

[12] Ecological Modeling / Ed. Wen-Jun Zhang. Nova Science Publishers, New York, 2012.

[13] Gammaitoni L., Hänggi P., Jung P., Marchesoni F. Stochastic resonance // Rev. Mod. Phys. 1998. V.70. P.223-287.

[14] Mantegna R.N., Spagnolo B. Noise enhanced stability in an unstable system // Phys. Rev. Lett. 1996. V.76. P.563-566.

[15] Agudov N.V., Malakhov A.N. Decay of unstable equilibrium and nonequilibrium states with inverse probability current taken into account // Phys. Rev. E 1999. V.60. P.6333-6342.

[16] Agudov N.V., Spagnolo B. Noise-enhanced stability of periodically driven metastable states // Phys. Rev. E 2001. V.64. P.035102-1-035102-4 (R).

[17] Doering C.R., Gadoua J.C. Resonant activation over a fluctuating barrier // Phys. Rev. Lett. 1992. V.69. P.2318-2321.

[18] Bier M., Astumian R.D. Matching a diffusive and a kinetic approach for escape over a fluctuating barrier // Phys. Rev. Lett. 1993. V.71. P.1649-1652.

[19] Reimann P. Brownian motors: noisy transport far from equilibrium // Phys. Rep. 2002. V.361. P.57-265.

[20] Metzler R., Klafter J. The random walks guide to anomalous diffusion: A fractional dynamics approach // Phys. Rep. 2000. V.339. P.1-77.

[21] Учайкин В.В. Метод дробных производных -Ульяновск: Артишок, 2008. - 512 с.

[22] Chechkin A.V., Gonchar V.Yu., Klafter J., Metzler R. Fundamentals of Levy flight processes // Adv. Chem. Phys. 2006. V.133. P.439-496.

[23] Yanovsky V.V., Chechkin A.V., Schertzer D., Tur A.V. Levy anomalous diffusion and fractional Fokker-Planck equation // Physica A. 2000. V.282. P.13-34.

[24] Chechkin A., Gonchar V., Klafter J., Metzler R., Tanatarov L. Stationary states of non-linear oscillators driven by Levy noise // Chem. Phys. 2002. V.284. P.233-251.

[25] Chechkin A.V., Klafter J., Gonchar V.Yu., Metzler R., Tanatarov L.V. Bifurcation, bimodality, and finite variance in confined Levy flights // Phys. Rev. E 2003. V.67. P.010102(R)-1-010102(R)-4.

[26] Chechkin A.V., Gonchar V.Yu., Klafter J., Metzler R., Tanatarov L.V. Levy flights in a steep potential well // J. Stat. Phys. 2004. V.115. P.1505-1535.

[27] Dubkov A.A., Ganin V.N. Spectral density of noise-driven nonlinear system switching between two steady states. Proc. 17th Int. Conf. "Noise and Fluctuations". Charles Univer-sity Conference Center, Prague, Czech Republic, August 18-22, 2003. Ed. Josef Sikula. Czech Noise Research Laboratory. Brno University of Technology, pp.37-40 (2003).

[28] Dubkov A.A., Spagnolo B. Diffusion Acceleration in Randomly Switching Sawtooth Potential. Proc. 18th Int. Conf. "Noise and Fluctuations Salamanca, Spain, 19-23 September, 2005. Eds. T.Gonzalez, J.Mateos, and D.Pardo. AIP Conference Proceedings. V.780, Melville, New York, 2005, pp.25-28.

[29] Dubkov A.A., Ganin V.N. Spectral Characteristics of Overdamped Brownian Motion in Randomly Switching Bistable Potential. Proc. 19th Int. Conf. on Noise and Fluctuations, Tokyo, Japan, 9-14 September, 2007. Eds. M.Tacano, Y.Yamamoto, and M.Nakao. AIP Conference Proceedings. V.922, Melville, New York, 2007, pp.519-522.

[30] Dubkov A.A. Noise Enhanced Stability Phenomenon in 2-D Potential with Radial Sym-metry. Proc. 19th Int. Conf. on Noise and Fluctuations, Tokyo, Japan, 9-14 September, 2007. Eds. M.Tacano, Y.Yamamoto, and M.Nakao. AIP Conference Proceedings. V.922, Melville, New York, 2007, pp.539-542.

[31] Dubkov A.A. Modified two-state approximation for classical stochastic resonance. Proc. 20th Int. Conf. on Noise and Fluctuations, Pisa, Italy, 1419 June, 2009. Eds. M.Macucci and G.Basso. AIP Conference Proceedings. V.1129, Melville, New York, 2009, pp.45-48.

[32] Spagnolo B., Augello G., Caldara P., Fiasconaro A., La Cognata A., Pizzolato N., Valenti D., Dubkov A.A., Pankratov A.L. Noise stabilization effects in models of interdisciplinary physics. Journal of Physics: Conference Series, 2009, V.174, pp.012037-1-012037-13.

[33] Дубков А.А., Малахов А.Н., Саичев А.И. Время корреляции и структура функции корреляции нелинейного равновесного броуновского движения в потенциальных ямах произвольной формы // Изв.вузов. Радиофизика. 2000. Т.43. С.369-382.

[34] Дубков А.А. Коэффициент диффузии броуновской частицы в быстро флуктуирующем периодическом потенциале // Письма в ЖТФ. 2003. Т.29. С.18-23.

[35] Dubkov A.A. Exact calculation of effective diffusion constant in fluctuating periodic potentials // Изв.вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2003. Т.11. С.102-107.

[36] Dubkov A.A., Makhov P.N, Spagnolo B. Nonequilibrium steady-state distributions in randomly switching potentials // Physica A. 2003. V.325. P.26-32.

[37] Agudov N.V., Dubkov A.A., Spagnolo B. Escape from a metastable state with fluctuating barrier // Physica A. 2003. V.325. P.144-151.

[38] Spagnolo B., Agudov N.V., Dubkov A.A. Noise enhanced stability // Acta Phys. Pol. B 2004. V.35. P.1419-1436.

[39] Dubkov A.A., Ganin V.N., Spagnolo B. Exact results for spectra of overdamped Brownian motion in fixed and randomly switching potentials // Acta Phys. Pol. B 2004. V.35. P.1447-1462.

[40] Dubkov A.A., Agudov N.V., Spagnolo B. Noise enhanced stability in fluctuating metastable states // Phys. Rev. E 2004. V.69. P.061103-1-061103-7.

[41] Spagnolo B., Dubkov A.A., Agudov N.V. Enhancement of stability in randomly switching potential with metastable state // Eur. Phys. J. B 2004. V.40. P.273-281.

[42] Spagnolo B., Dubkov A.A., Agudov N.V. Escape times in fluctuating metastable potential and acceleration of diffusion in periodic fluctuating potentials // Physica A 2004. V.340. P.265-273.

[43] Dubkov A.A., Spagnolo B. Acceleration of diffusion in randomly switching potential with supersymmetry // Phys. Rev. E 2005. V.72. P.041104-1-041104-8.

[44] Dubkov A.A., Spagnolo B. Generalized Wiener process and Kolmogorov's equation for diffusion induced by non-Gaussian noise source // Fluct. Noise Lett. 2005. V.5. P.L267-L274.

[45] Spagnolo B., Dubkov A.A. Diffusion in flashing periodic potentials // Eur. Phys. J. B. 2006. V.50. P.299-303.

[46] Dubkov A.A., Spagnolo B. Langevin approach to Levy flights in fixed potentials: Exact results for stationary probability distributions // Acta Phys. Pol. B 2007. V.38. P.1745-1758.

[47] Spagnolo B., Dubkov A.A., Pankratov A.L., Pankratova E.V., Fiasconaro A., Ochab-Marcineke A. Lifetime of metastable states and suppression of noise in interdisciplinary physical models // Acta Phys. Pol. B 2007. V.38. P.1925-1950.

[48] Dubkov A.A., Spagnolo B. Verhulst model with Levy white noise excitation // Eur. Phys. J. B 2008. V.65. P.361-367.

[49] Dubkov A.A., Spagnolo B., Uchaikin V.V. Levy flight superdiffusion: An introduction // Int. J. Bifurc. Chaos 2008. V.18. P.2649-2672.

[50] Dubkov A.A., Hanggi P., Goychuk I. Non-linear Brownian motion: The problem of obtaining the thermal Langevin equation for a non-Gaussian bath // J. Stat. Mech.: Theor. Exper. 2009. V.2009. P.P01034-1-P01034-9.

[51] Dubkov A.A., La Cognata A., Spagnolo B. The problem of analytical calculation of barrier crossing characteristics for Levy flights //J. Stat. Mech.: Theor. Exper. 2009. V.2009. P.P01002-1-P01002-12.

[52] Dubkov A.A. Statistical time-reversal symmetry and its physical applications // Chem. Phys. 2010. V.375. P.364-369.

[53] Дубков А.А. Эволюция вероятностных характеристик модели Ферх-юльста с флуктуациями количества ресурсов // Вестник ННГУ. 2011. e 5(3). C.201-204.

[54] Spagnolo B., Caldara P., La Cognata A., Valenti D., Fiasconaro A., Dubkov A.A., Falci G. The bistable potential: An archetype for classical and

quantum systems // Int. J. Mod. Phys. B 2012. V.26. P.1241006-1-1241006-16.

[55] Dubkov A.A. Transient dynamics of Verhulst model with fluctuating saturation parameter // Acta Phys. Pol. B 2012. V.43. P.935-946.

[56] Spagnolo B., Caldara P., La Cognata A., Augello G., Valenti D., Fiasconaro A., Dubkov A.A., Falci G. Relaxation phenomena in classical and quantum systems // Acta Phys. Pol. B 2012. V.43. P.1169-1189.

[57] Dubkov A. Steady-state distributions for harmonic oscillator with very fast frequency fluctuations // Fluct. Noise Lett. 2012. V.11. P.1242009-1-1242009-9.

[58] Dubkov A., Spagnolo B. Time characteristics of Levy flights in a steep potential well // Eur. Phys. J. Special Topics 2013. V.216. P.31-35.

[59] Dubkov A.A., Kharcheva A.A. Transient and stationary characteristics of the Malthus-Verhulst-Bernoulli model with non-Gaussian fluctuating parameters // Phys. Rev. E 2014. V.89. P.052146-1-052146-7.

[60] Dubkov A.A., Kharcheva A.A. Features of barrier crossing event for Levy flights // Europhys. Lett. 2016. V.113. P.30009-p1-30009-p6.

[61] Dubkov A.A., Litovsky I.A. Probabilistic characteristics of noisy Van der Pol type oscillator with nonlinear damping //J. Stat. Mech.: Theor. Exper. 2016. V.2016. P.054036-1-054036-18.

[62] Kharcheva A.A., Dubkov A.A., Dybiec B., Spagnolo B., Valenti D. Spectral characteristics of steady-state Levy flights in confinement potential profiles // J. Stat. Mech.: Theor. Exper. 2016. V.2016. P.054039-1-054039-13.

[63] Дубков А.А. Стохастический резонанс: от теории линейного отклика к анализу нелинейного режима. В кн. "Динамические явления в сложных

системах"/ Под. ред. А.В. Мокшина, С.А. Демина, Р.М. Хуснутдинова, О.Ю. Панищева. - Казань: Изд-во МОиН РТ. 2011. С.89-102.

[64] Spagnolo B., Valenti D., Spezia S., Curcio L., Pizzolato N., Dubkov A.A., Fiasconaro A., Persano Adorno D., Lo Bue P., Peri E., Colazza S. Chapter 12 - Environmental Noise and Nonlinear Relaxation in Biological Systems. In book "Ecological Modeling". Series: Environmental Science, Engineering and Technology. Ed. Wen-Jun Zhang. Nowa Science Publishers Inc. 2012. P.289-323.

[65] Bezrukov S.M., Vodyanoy I. Noise-induced enhancement of signal transduction across voltage-dependent ion channels // Nature. 1995. V.378. P.362-364.

[66] Metzler R., Klafter J. The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Phys. Rep. 2000. V.39. P.1-77.

[67] Кляцкин В.И. К статистической теории отражения света в случайно-неоднородной среде // ЖЭТФ. 1973. Т.65. С.54-65.

[68] Дубков А.А., Малахов А.Н. Кумулянтный анализ функционального нелинейного преобразования негауссовых случайных процессов и полей // Докл. АН СССР. 1975. Т.222. С.793-796.

[69] Furutsu K. On the statistical theory of electromagnetic waves in a fluctuating medium (I) //J. Res. Nat. Bur. Standards. Sect. D (Radio Propagation). 1963. V.67. P.303-323.

[70] Новиков Е.А. Функционалы и метод случайных сил в теории турбулентности // ЖЭТФ. 1964. Т.47. С.1919-1926.

[71] Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы: теория и применение в физике, химии и биологии. -М.: Мир, 1987.-400 с.

[72] Bena I. Dichotomous Markov noise: Exact results for out-of-equilibrium systems // Int. J. Mod. Phys. B. 2006. V.20. P.2825-2888.

[73] Shapiro V.E. and Loginov V.M. "Formulae of differentiation" and their use for solving stochastic equations // Physica A. 1978. V.91. P.563-574.

[74] Шапиро В.Е., Логинов В.М. Динамические системы при случайных воздействиях: Простые средства анализа. -Новосибирск: Наука, 1983.

[75] Кляцкин В.И. Динамические системы с флуктуациями параметров в виде процессов телеграфного типа // Изв.вузов-Радиофизика. 1977. Т.20. С.562-575.

[76] Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика. -М.: Наука, 1985.

[77] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. -М.: Мир, 1984.

[78] Chechkin A.V., Gonchar V.Yu., Klafter J., Metzler, R. Fundamentals of Levy flight processes // Adv. Chem. Phys. 2006. V.133. P.439-496.

[79] Hanggi P. Correlation functions and master equations of generalized (non-Markovian) Langevin equations // Z. Physik B. 1978. V.31. P.407-416.

[80] Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. -М.: Сов. радио, 1961.

[81] Yanovsky V.V., Chechkin A.V., Schertzer D., Tur A.V. Levy anomalous diffusion and fractional Fokker-Planck equation // Physica A. 2000. V.282. P.13-34.

[82] Sancho J.M. Stochastic processes driven by dichotomous Markov noise: Some exact dynamical results //J. Math. Phys. 1984. V.25. P.354-359.

[83] Kitahara K., Horsthemke W., Lefever R. Colored-noise-induced transitions: Exact results for external Markovian dichotomous noise // Phys. Lett. A 1979. V.70. P.377-380.

[84] Kitahara K., Horsthemke W., Lefever R., Inaba Y. Phase diagrams of noise-induced transitions // Prog. Theor. Phys. 1980. V.64. P.1233-1247.

[85] Balakrishnan V., Van den Broeck C., Hanggi P. First-passage times of non-Markovian processes: The case of a reflecting boundary // Phys. Rev. A 1988. V.38. P.4213-4222.

[86] Graham R., Haken H. Generalized thermodynamic potential for Markoff systems in detailed balance and far from thermal equilibrium // Z. Physik. 1971. V.243. P.289-302.

[87] Gaspard P. Time-reversed dynamical entropy and irreversibility in Markovian random processes // J. Stat. Phys. 2004. V.117. P.599-615.

[88] Chung K.L., Walsh J.B. Markov Processes, Brownian Motion, and Time Symmetry. 2nd ed. Springer, New York, 2005.

[89] Lamb J.S.W., Roberts J.A.G. Time-reversal symmetry in dynamical systems: A survey // Physica D 1998. V.112. P.1-39.

[90] Hinich M.J. Testing for Guassianity and linearity of a stationary time series //J. Time Series Analysis. 1982. V.3. P.169-176.

[91] Diks C., van Houwelingen J.C., Takens F., DeGoede J. Reversibility as a criterion for discriminating time series // Phys. Lett. A 1995. V.201. P.221-228.

[92] Ramsey J.B., Rothman P. Time irreversibility and business cycle asymmetry // J. Money, Credit and Banking. 1996. V.28. P.1-21.

[93] Fong W.M. Time reversibility tests of volume-volatility dynamics for stock returns // Econom. Lett. 2003. V.81. P.39-45.

[94] Morita K. Reversible computing and cellular automata - A survey // Theor. Comput. Sci. 2008. V.395. P.101-131.

[95] De Masi A., Ferrari P.A., Goldstein S., Wick W.D. An invariance principle for reversible Markov processes. Applications to random motions in random environments //J. Stat. Phys. 1989. V.55. P.787-855.

[96] Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. -М.: Сов. радио, 1961.

[97] Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. -М.: Сов. радио, 1978.

[98] Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика. -М.: Наука, 1985.

[99] Callen H.B., Welton T.A. Irreversibility and generalized noise // Phys. Rev. 1951. V.83. P.34-40.

[100] Ефремов Г.Ф. Флуктуационо-диссипационная теорема для нелинейных сред // ЖЭТФ. 1968. Т.55. С.2322-2333.

[101] Gupta M.S. Thermal fluctuations in driven nonlinear resistive systems // Phys. Rev. A 1978. V.18. P.2725-2731.

[102] Gupta M.S. Thermal noise in nonlinear resistive devices and its circuit representation // Proc. IEEE 1982. V.70. P.788-804.

[103] Бочков Г.Н., Кузовлев Ю.Е. К общей теории тепловых флуктуаций в нелинейных системах // ЖЭТФ. 1977. Т.72. С.238-247.

[104] Бочков Г.Н., Кузовлев Ю.Е. Флуктуационно-диссипационные соотношения для неравновесных процессов в открытых системах // ЖЭТФ. 1979. Т.76. С.1071-1088.

[105] Jarzynski C. Nonequilibrium equality for free energy differences // Phys. Rev. Lett. 1997. V.78. P.2690-2693.

[106] Crooks G.E. Entropy production fluctuation theorem and the nonequilibrium work relation for free energy differences // Phys. Rev. E. 1999. V.60. P.2721-2726.

[107] Crooks G.E. Path-ensemble averages in systems driven far from equilibrium // Phys. Rev. E. 2000. V.61. P.2361-2366.

[108] Hanggi P., Marchesoni F. Introduction: 100 years of Brownian motion // Chaos. 2005. V.15. P.026101-1-026101-5.

[109] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Часть 1. Изд. 5-ое. -М.: Физматлит, 2005.

[110] Kubo R. Statistical-mechanical theory of irreversible processes. I. General theory and simple applications to magnetic and conduction problems // J. Phys. Soc. Japan 1957. V.12. P.570-586.

[111] Hänggi P., Thomas H. Stochastic processes: Time-evolution, symmetries and linear response // Phys. Rep. 1982. V.88. P.207-319.

[112] Jung P., Hanggi P. Amplification of small signals via stochastic resonance // Phys. Rev. A 1991. V.44. P.8032-8042.

[113] Gammaitoni L., Hanggi P., Jung P., Marchesoni F. Stochastic resonance // Rev. Mod. Phys. 1998. V.70. P.223-287.

[114] Mori H. Transport, collective motion, and Brownian motion // Prog. Theor. Phys. 1965. V.33. P.423-455.

[115] Kubo R. The fluctuation-dissipation theorem // Rep. Prog. Phys. 1966. V.29. P.255-284.

[116] Costa I.V.L., Morgado R., Lima M.V.B.T., Oliveira F.A. The Fluctuation-Dissipation Theorem fails for fast superdiffusion // Europhys. Lett. 2003. V.63. P.173-179.

[117] Bao Jing-Dong. Comment on "The Fluctuation-Dissipation Theorem fails for fast superdiffusion" by I. V. L. Costa et al. // Europhys. Lett. 2004. V.67. P.1050-1051.

[118] Costa I.V.L., Morgado R., Lima M.V.B.T., Oliveira F.A. Reply to the Comment by J. D. Bao on "The Fluctuation-Dissipation Theorem fails for fast superdiffusion" // Europhys. Lett. 2004. V.67. P.1052-1053.

[119] Morgado R., Oliveira F.A., Batrouni G.G., Hansen A. Relation between anomalous and normal diffusion in systems with memory // Phys. Rev. Lett. 2002. V.89. P.100601-1-100601-4.

[120] Bao Jing-Dong, Zhuo Yi-Zhong. Ballistic diffusion induced by a thermal broadband noise // Phys. Rev. Lett. 2003. V.91. P.138104-1-138104-4.

[121] Bao Jing-Dong. Numerical integration of a non-Markovian Langevin equation with a thermal band-passing noise //J. Stat. Phys. 2004. V.114. P.503-513.

[122] Bao Jing-Dong, Zhuo Yi-Zhong. Anomalous dissipation: Strong non-Markovian effect and its dynamical origin // Phys. Rev. E 2005. V.71. P.010102(R)-1-010102(R)-4.

[123] Bao Jing-Dong, Song Yan-Li, Ji Qing, Zhuo Yi-Zhong. Harmonic velocity noise: Non-Markovian features of noise-driven systems at long times // Phys. Rev. E 2005. V.72. P.011113-1-011113-7.

[124] Bao Jing-Dong, Hanggi P., Zhuo Yi-Zhong. Non-Markovian Brownian dynamics and nonergodicity // Phys. Rev. E 2005. V.72. P.061107-1-061107-5.

[125] Lutz E. Fractional Langevin equation // Phys. Rev. E 2001. V.64. P.051106-1-051106-4.

[126] Siegle P., Goychuk I., Talkner P., Hanggi P. Markovian embedding of non-Markovian superdiffusion // Phys. Rev. E 2000. V.81. P.011136-1-011136-10.

[127] Стратонович Р.Л. Случайные процессы в динамических ситемах // Под ред. Ю.Л. Климонтовича, Ю.М. Романовского. -М.: Ижевск, 2009.

[128] Hanggi P., Talkner P., Borkovec M. Reaction rate theory: Fifty years after Kramers // Rev. Mod. Phys. 1990. v.62. P.251-342.

[129] Hoare M.R. The linear gas // Adv. Chem. Phys. 1971. V.20. P.135-214.

[130] Hanggi P. Correlation functions and master equations of generalized non-Markovian Langevin equations // Z. Physik B 1978. V.31. P.407-416.

[131] Hanggi P. Langevin description of Markovian integro-differential master equations // Z. Physik B 1980. V.36. P.271-282.

[132] Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. -М.: Сов. радио, 1961.

[133] Coffey W., Kalmykov Yu.P., Waldron J.T. The Langevin Equation: With Applications in Physics, Chemistry, and Electrical Engineering. World Scientific, 1996.

[134] Климонтович Ю.Л. Нелинейное броуновское движение // УФН. 1994. Т.164. С.811-844.

[135] Langevin P. Sur la theorie du mouvement brownien // C.R. Acad. Sci. (Paris). 1908. V.146. P.530-533.

[136] Hanggi P. Nonlinear fluctuations: The problem of deterministic limit and reconstruction of stochastic dynamics // Phys. Rev. A 1982. V.25. P.1130-1136.

[137] Hayakawa H. Langevin equation with Coulomb friction // Physica D 2005. V.205. P.48-56.

[138] Kraichnan R.H. Dynamics of nonlinear stochastic systems //J. Math. Phys. 1961. V.2. P.124-148.

[139] Leslie D.C. Developments in the Theory of Turbulence. -Oxford: Clarendon Press, 1973.

[140] Lesieur M. Turbulence in Fluids. 2nd edition. -Dordrecht: Kluwer, 1990.

[141] Frisch U. Turbulence (the legacy of A.N. Kolmogorov). -Cambridge: Cambridge University Press, 1995.

[142] Eyink G., Goldenfeld N. Analogies between scaling in turbulence, field theory, and critical phenomena // Phys. Rev. E 1994. V.50. P.4679-4683.

[143] Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // Докл. АН СССР 1941. V.30. P.299-304.

[144] Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовых случайных процессов и их преобразований. -М.: Сов. радио, 1978.

[145] Monin A.S., Yaglom A.M. Statistical Fluid Mechanics // Ed. J.Lumley. -Cambridge: MIT Press, 1975. V.2.

[146] Handbook of Turbulence. V.1. Fundamentals and Applications // Ed. W.Frost and T.H.Moulden. -New York and London: Plenum Press, 1977.

[147] Yeh T.T., Van Atta C.W. Spectral transfer of scalar and velocity fields in heated-grid turbulence // J. Fluid Mech. 1973. V.58. P.233-261.

[148] Van Atta C.W., Wyngaard J.C. On higher-order spectra of turbulence // J. Fluid Mech. 1975. V.72. P.673-694.

[149] Lii K.S., Rosenblatt M., Van Atta C.W. Bispectral measurements in turbulence //J. Fluid Mech. 1976. V.77. P.45-62.

[150] Helland K.N., Van Atta C.W., Stegen G.R. Spectral energy transfer in high Reynolds number turbulence //J. Fluid Mech. 1977. V.79. P.337-359.

[151] Helland K.N., Lii K.S., Rosenblatt M.// In Appl. Stat. North Holland, 1977. P.223; In Developments of Statistics. V.2. -New York: Academic Press, 1979. P.123.

[152] Herring J.R., Metais O. Spectral transfer and bispectra for turbulence with passive scalars //J. Fluid Mech. 1992. V.235. P.103-121.

[153] Van Atta C.W. Inertial range bispectra in turbulence // Phys. Fluids. 1979. V.22. P.1440-1442.

[154] Herring J.R. Theoretical calculations of turbulent bispectra //J. Fluid Mech. 1980. V.97. P.193-204.

[155] Helland K.N., Itsweire E.C., Lii K.S. A program for computation of bispectra with application to spectral energy transfer in fluid turbulence // Adv. Eng. Software. 1985. V.7. P.22-27.

[156] Schenzle A., Brand H. Multiplicative stochastic processes in statistical physics // Phys. Rev. A 1979. V.20. P.1628-1647.

[157] van Kampen N.G. Stochastic Processes in Physics and Chemistry. -Amsterdam: North-Holland, 1981.

[158] Horsthemke W., Lefever R. Noise-Induced Transitions: Theory and Applications in Physics, Chemistry, and Biology. Springer, New York, 1983.

[159] Risken H. The Fokker-Planck Equation: Methods of Solution and Applications. Springer, Berlin, 1984.

[160] Lindenberg K., West B.J. The Nonequilibrium Statistical Mechanics of Open and Closed Systems. VCH, New York, 1990.

[161] Coffey W., Kalmykov Yu.P., Waldron J.T. The Langevin Equation: With Applications in Physics, Chemistry, and Electrical Engineering. World Scientific, Singapore, 1996.

[162] Gitterman M. The Noisy Oscillator: The First Hundred Years, From Einstein Until Now. World Scientific, Singapore, 2005.

[163] Медведев С.Ю., Музычук О.В. Статистические характеристики нелинейной резонансной системы, параметрически возбуждаемой случайной силой // Изв. вузов. Радиофизика. 1981. Т.24. С.49-58.

[164] Климонтович Ю.Л. Нелинейное броуновское движение // УФН. 1994. Т.164. С.811-844.

[165] Caughey T.K., Dienes J.K. Analysis of a nonlinear first-order system with a white noise input //J. Appl. Phys. 1961. V.32. P.2476-2479.

[166] Malakhov A.N. Time scales of overdamped nonlinear Brownian motion in arbitrary potential profiles // Chaos. 1997. V.7. P.488-504.

[167] Хелстром К.В. Марковские процессы и их применения // В сб. "Теория связи". М.: Связь, 1972.

[168] Агудов Н.В., Малахов А.Н. Нестационарная диффузия через произвольный кусочно-линейный потенциальный профиль. Точное решение и временные характеристики // Изв. вузов. Радиофизика. 1993. Т.36. С.148-166.

[169] Malakhov A.N., Pankratov A.L. Exact solution of the Kramers' problem for piece-wise parabolic potential profiles // Physica A. 1996. V.229. P.109-126.

[170] Malakhov A.N., Pankratov A.L. Evolution times of probability distributions and averages - Exact solutions of the Kramers' problem // Adv. Chem. Phys. 2002. V.121. P.357-438.

[171] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1984.-832с.

[172] Risken Н. The Fokker-Planck Equation: Methods of Solution and Applications. Second Edition. Springer, Berlin, 1989.

[173] Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовских процессов и их преобразований. -М.: Сов. радио, 1978.

[174] Саичев А.И. Об одном методе нахождения временных характеристик марковских процессов // Изв. вузов. Радиофизика. 1974. Т.17. С.864-868.

[175] Медведев С.Ю. Точное разложение корреляционной функции произвольного стационарного марковского процесса // Изв. вузов. Радиофизика. 1977. Т.20. С.1241-1244.

[176] Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. -М.: Наука, 1968.

[177] Gammaitoni L., Hanggi P., Jung P., Marchesoni F. Stochastic resonance // Rev. Mod. Phys. 1998. V.70. P.223-287.

[178] Doering C.R., Gadoua J.C. Resonant activation over a fluctuating barrier // Phys. Rev. Lett. 1992. V.69. P.2318-2321.

[179] Bier M., Astumian R.D. Matching a diffusive and a kinetic approach for escape over a fluctuating barrier // Phys. Rev. Lett. 1993. V.71. P.1649-1652.

[180] Mantegna R.N., Spagnolo B. Noise enhanced stability in an unstable system // Phys. Rev. Lett. 1996. V.76. P.563-566.

[181] Agudov N.V., Malakhov A.N. Decay of unstable equilibrium and nonequilibrium states with inverse probability current taken into account // Phys. Rev. E 1999. V.60. P.6333-6342.

[182] Agudov N.V., Spagnolo B. Noise-enhanced stability of periodically driven metastable states // Phys. Rev. E 2001. V.64. P.035102-1-035102-4 (R).

[183] Magnasco M.O. Forced thermal ratchets // Phys. Rev. Lett. 1993. V.71. P.1477-1481.

[184] Jiilicher F., Ajdari A., Prost J. Modeling molecular motors // Rev. Mod. Phys. 1997. V.69. P.1269-1281.

[185] Morsch M., Risken H., Vollmer H.D. One-dimensional diffusion in soluble model potentials // Z. Physik B 1979. V.32. P.245-252.

[186] Dykman M.I., Mannella R., McClintock P.V.E., Moss F., Soskin S.M. Spectral density of fluctuations of a double-well Duffing oscillator driven by white noise // Phys. Rev. A 1988. V.37. P.1303-1313.

[187] Dykman M.I., Mannella R., McClintock P.V.E., Soskin S.M., Stocks N.G. Noise-induced narrowing of peaks in the power spectra of underdamped nonlinear oscillators // Phys. Rev. A 1990. V.42. P.7041-7049.

[188] Dykman M.I., Mannella R., McClintock P.V.E., Soskin S.M., Stocks N.G. Zero frequency spectral peaks of underdamped nonlinear oscillators with asymmetric potentials // Phys. Rev. A 1991. V.43. P.1701-1708.

[189] Dykman M.I., McClintock P.V.E. Power spectra of noise-driven nonlinear systems and stochastic resonance // Physica D 1992. V.58. P.10-30.

[190] Dykman M., Lindenberg K. Fluctuations in nonlinear systems driven by colored noise //In "Contemporary Problems in Statistical Physics". Ed. G.H. Weiss / SIAM, Philadelphia, p.41-101 (1994).

[191] Marchesoni F., Menichella-Saetta E., Pochini M., Santucci S. Analog simulation of underdamped stochastic systems driven by colored noise: Spectral densities // Phys. Rev. A 1988. V.37. P.3058-3066.

[192] Ouyang H.F., Huang Z.Q., Ding E.J. 1/f noise and one-dimensional Brownian motion in a singular potential // Phys. Rev. E 1994. V.50. P.2491-2495.

[193] Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. -М.: Сов.радио, 1961.

[194] Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. -М.: Сов.радио, 1977.

[195] Zürcher U., Doering C.R. Thermally activated escape over fluctuating barriers // Phys. Rev. E 1993. V.47. P.3862-3869.

[196] Van den Broeck C. Simple stochastic model for resonant activation // Phys. Rev. E 1993. V.47. P.4579-4580.

[197] Marchi M., Marchesoni F., Gammaitoni L., Menichella-Saetta E., Santucci S. Resonant activation in a bistable system // Phys. Rev. E 1996. V.54. P.3479-3487.

[198] Mantegna R.N., Spagnolo B. Numerical simulation of resonant activation in a fluctuating metastable model system //J. Phys. IV (France) 1998. V.8. P.247-252.

[199] Mantegna R.N., Spagnolo B. Experimental investigation of resonant activation // Phys. Rev. Lett. 2000. V.84. P.3025-3028.

[200] Astumian R.D., Bier M. Fluctuation driven ratchets: Molecular motors // Phys. Rev. Lett. 1994. V.72. P.1766-1769.

[201] Doering C.R., Horsthemke W., Riordan J. Nonequilibrium fluctuation-induced transport // Phys. Rev. Lett. 1994. V.72. P.2984-2987.

[202] Reimann P., Elston T.C. Kramers rate for thermal plus dichotomous noise applied to ratchets // Phys. Rev. Lett. 1996. V.77. P.5328-5331.

[203] Doering C.R. Stochastic ratchets // Physica A 1998. V.254. P.1-6.

[204] Reimann P. Brownian motors: noisy transport far from equilibrium // Phys. Rep. 2002. V.361. P.57-265.

[205] Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. -М.: Сов. радио, 1969.

[206] Кляцкин В.И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. -М.: Наука, 1975.

[207] van Kampen N.G. Stochastic Processes in Physics and Chemistry. -Amsterdam: North-Holland, 1981.

[208] Risken H. The Fokker-Planck Equation: Methods of Solution and Applications. Springer, Berlin, 1984.

[209] Gardiner C.W. Handbook of Stochastic Methods. Springer, Berlin, 1985.

[210] Кляцкин В.И. Динамические системы с флуктуациями параметров в виде процессов телеграфного типа // Изв.вузов-Радиофизика. 1977. Т.20. С.562-575.

[211] Бердников А.А. Воздействие телеграфного сигнала на динамическую систему первого порядка // Изв. вузов. Радиофизика. 1980. Т.23. С.998-999.

[212] Шапиро В.Е., Логинов В.М. Динамические системы при случайных воздействиях: Простые средства анализа. -Новосибирск: Наука, 1983.

[213] Sancho J.M. Stochastic processes driven by dichotomous Markov noise: Some exact dynamical results //J. Math. Phys. 1984. V.25. P.354-359.

[214] Bena I. Dichotomous Markov noise: Exact results for out-of-equilibrium systems // Int. J. Mod. Phys. B. 2006. V.20. P.2825-2888.

[215] Mankin R., Ainsaar A., Reiter E. Trichotomous noise-induced transitions // Phys. Rev. E 1999. V.60. P.1374-1380.

[216] Van Den Broeck C. On the relation between white shot noise, Gaussian white noise, and the dichotomic Markov process //J. Stat. Phys. 1983. V.31. P.467-483.

[217] Luczka J., Bartussek R., Hanggi P. White-noise-induced transport in periodic structures // Europhys. Lett. 1995. V.31. P.431-436.

[218] Luczka J., Czernik T., Hanggi P. Symmetric white noise can induce directed current in ratchets // Phys. Rev. E 1997. V.56. P.3968-3975.

[219] Hanggi P., Jung P. Colored noise in dynamical systems // Adv. Chem. Phys. 1995. V.89. P.239-326.

[220] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1984.

[221] Leggett A.J. Nucleation of 3He-ß from the A phase: A cosmic-ray effect? // Phys. Rev. Lett. 1984. V.53. P.1096-1099.

[222] Arrayas M., Dykman M.I., Mannella R., McClintock P.V.E., Stein N.D. Symmetry breaking of fluctuation dynamics by noise color // Phys. Rev. Lett. 2000. V.84. P.5470-5473.

[223] Muthukumar M. Translocation of a confined polymer through a hole // Phys. Rev. Lett. 2001. V.86. P.3188-3191.

[224] Mantegna R.N., Spagnolo B. Experimental investigation of resonant activation // Phys. Rev. Lett. 2000. V.84. P.3025-3028.

[225] Mielke A. Noise induced stability in fluctuating, bistable potentials // Phys. Rev. Lett. 2000. V.84. P.818-821.

[226] Bier M., Astumian R.D. Matching a diffusive and a kinetic approach for escape over a fluctuating barrier // Phys. Rev. Lett. 1993. V.71. P.1649-1652.

[227] Marchesoni F., Grigolini P. The Kramers model of chemical relaxation in the presence of a radiation field // Physica A 1983. V.121. P.269-285.

[228] Fonseca T., Gomes J.A.N.F., Grigolini P., Marchesoni F. Classical dynamics of a coupled double well oscillator in condensed media //J. Chem. Phys. 1983. V.79. P.3320-3327.

[229] Maddox J. Surmounting fluctuating barriers // Nature (London) 1992. V.359. P.771.

[230] Reimann P. Brownian motors: noisy transport far from equilibrium // Phys. Rep. 2002. V.361. P.57-265.

[231] Smelyanskiy V.N., Dykman M.I., Golding B. Time oscillations of escape rates in periodically driven systems // Phys. Rev. Lett. 1999. V.82. P.3193-3197.

[232] Lehmann J., Reimann P., Hanggi P. Surmounting oscillating barriers // Phys. Rev. Lett. 2000. V.84. P.1639-1642.

[233] Maier R.S., Stein D.L. Noise-activated escape from a sloshing potential well // Phys. Rev. Lett. 2001. V.86. P.3942-3945.

[234] Doering C.R., Horsthemke W., Riordan J. Nonequilibrium fluctuation-induced transport // Phys. Rev. Lett. 1994. V.72. P.2984-2987.

[235] Kogan S. Random telegraph noise in microstructures // Phys. Rev. Lett. 1998. V.81. P.2986-2989.

[236] Balakrishnan V., Van den Broeck C., Hänggi P. First-passage times of non-Markovian processes: The case of a reflecting boundary // Phys. Rev. A 1988. V.38. P.4213-4222.

[237] Doering C.R., Gadoua J.C. Resonant activation over a fluctuating barrier // Phys. Rev. Lett. 1992. V.69. P.2318-2321.

[238] Zärcher U., Doering C.R. Thermally activated escape over fluctuating barriers // Phys. Rev. E 1993. V.47. P.3862-3869.

[239] Van den Broeck C. Simple stochastic model for resonant activation // Phys. Rev. E 1993. V.47. P.4579-4580.

[240] Pechukas P., Hänggi P. Rates of activated processes with fluctuating barriers // Phys. Rev. Lett. 1994. V.73. P.2772-2775.

[241] Reimann P. Thermally driven escape with fluctuating potentials: A new type of resonant activation // Phys. Rev. Lett. 1995. V.74. P.4576-4579.

[242] Boguna M., Porrà J.M., Masoliver J., Lindenberg K. Properties of resonant activation phenomena // Phys. Rev. E 1998. V.57. P.3990-4002.

[243] Dybiec B., Gudowska-Nowak E. Influence of the barrier shape on resonant activation // Phys. Rev. E 2002. V.66. P.026123-1-026123-6.

[244] Agudov N.V., Malakhov A.N. Decay of unstable equilibrium and nonequilibrium states with inverse probability current taken into account // Phys. Rev. E 1999. V.60. P.6333-6342.

[245] Agudov N.V., Spagnolo B. Noise-enhanced stability of periodically driven metastable states // Phys. Rev. E 2001. V.64. P.035102-1-035102-4(R).

[246] Mantegna R.N., Spagnolo B. Noise enhanced stability in an unstable system // Phys. Rev. Lett. 1996. V.76. P.563-566.

[247] Agudov N.V. Noise delayed decay of unstable states // Phys. Rev. E 1998. V.57. P.2618-2625.

[248] Hirsch J.E., Huberman B.A., Scalapino D.J. Theory of intermittency // Phys. Rev. A 1982. V.25. P.519-532.

[249] Dayan I., Gitterman M., Weiss G.H. Stochastic resonance in transient dynamics // Phys. Rev. A 1992. V.46. P.757-761.

[250] Malakhov A.N., Pankratov A.L. Influence of thermal fluctuations on time characteristics of a single Josephson element with high damping exact solution // Physica C 1996. V.269. P.46-54.

[251] Apostolico F., Gammaitoni L., Marchesoni F., Santucci S. Resonant trapping: A failure mechanism in switch transitions // Phys. Rev. E 1997. V.55. P.36-39.

[252] Wackerbauer R. Noise-induced stabilization of one-dimensional discontinuous maps // Phys. Rev. E 1998. V.58. P.3036-3044.

[253] Wackerbauer R. When noise decreases deterministic diffusion // Phys. Rev. E 1999. V.59. P.2872-2879.

[254] Dan D., Mahato M.C., Jayannavar A. M. Mobility and stochastic resonance in spatially inhomogeneous systems // Phys. Rev. E 1999. V.60. P.6421-6428.

[255] Mahato M.C., Jayannavar A.M. Two-well system under large amplitude periodic forcing: Stochastic synchronization, stochastic resonance and stability // Mod. Phys. Lett. B 1997. V.11. P.815-820.

[256] Mahato M.C., Jayannavar A.M. Some stochastic phenomena in a driven double-well system // Physica A 1998. V.248. P.138-154.

[257] Yoshimoto M., Kurosawa S., Nagashima H. Effect of noise on chaos in a one-dimensional map // J. Phys. Soc. Jpn. 1998. V.67. P.1924-1929.

[258] Matsumoto K., Tsuda I. Noise-induced order //J. Stat. Phys. 1983. V.31. P.87-106.

[259] Yoshimoto M. Noise effects on the one-dimensional return map of the high flow rate chaos of the Belousov-Zhabotinsky reaction // Phys. Lett. A 2003. V.312. P.59-64.

[260] Malakhov A.N. Time scales of overdamped nonlinear Brownian motion in arbitrary potential profiles // Chaos 1997. V.7. P.488-504.

[261] Iwaniszewski J. Escape over a fluctuating barrier: Limits of small and large correlation times // Phys. Rev. E 1996. V.54. P.3173-3184.

[262] Marchi M., Marchesoni F., Gammaitoni L., Menichella-Saetta E., Santucci S. Resonant activation in a bistable system // Phys. Rev. E 1996. V.54. P.3479-3487.

[263] Li J.H., Xing D.Y., Dong J.M., Hu B. Resonant activations for a fluctuating barrier system driven by dichotomous noise and Gaussian white noise // Phys. Rev. E 1999. V.60. P.1324-1328.

[264] Novotny T., Chvosta P. Resonant activation phenomenon for non-Markovian potential-fluctuation processes // Phys. Rev. E 2000. V.63. P.012102-1-012102-4.

[265] Iwaniszewski J., Kaufman I.K., McClintock P.V.E., McKane A.J. Resonances while surmounting a fluctuating barrier // Phys. Rev. E 2000. V.61. P.1170-1175.

[266] Hanggi P., Talkner P., Borkovec M. Reaction-rate theory: Fifty years after Kramers // Rev. Mod. Phys. 1990. V.62. P.251-341.

[267] Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. -М.: Сов.радио, 1961.

[268] Gammaitoni L., Hanggi P., Jung P., Marchesoni F. Stochastic resonance // Rev. Mod. Phys. 1998. V.70. P.223-287.

[269] Mantegna R.N., Spagnolo B. Stochastic resonance in a tunnel diode in the presence of white or coloured noise // Nuovo Cimento D 1995. V.17. P.873-881.

[270] Mantegna R.N., Spagnolo B., Trapanese M. Linear and nonlinear experimental regimes of stochastic resonance // Phys. Rev. E 2001. V.63. P.011101-1-011101-8.

[271] Fiasconaro A., Ochab-Marcinek A., Spagnolo B., Gudowska-Nowak E. Monitoring noise-resonant effects in cancer growth influenced by external fluctuations and periodic treatment // Eur. Phys. J. B 2008. V.65. P.435-442.

[272] McNamara B., Wiesenfeld K. Theory of stochastic resonance // Phys. Rev. A 1989. V.39. P.4854-4869.

[273] Jung P., Hanggi P. Amplification of small signals via stochastic resonance // Phys. Rev. A 1991. V.44. P.8032-8042.

[274] Stocks N.G. A theoretical study of the non-linear response of a periodically driven bistable system // Nuovo Cimento D 1995. V.17. P.925-940.

[275] Casado-Pascual J., Gómez-Ordóñez J., Morillo M., Hanggi P. Two-state theory of nonlinear stochastic resonance // Phys. Rev. Lett. 2003. V.91. P.210601-1-210601-4.

[276] Casado-Pascual J., Gomez-Ordoñez J., Morillo M. Nonlinear stochastic resonance with subthreshold rectangular pulses // Phys. Rev. E 2004. V.69. P.067101-1-067101-4.

[277] Casado-Pascual J., Gomez-Ordoñez J., Morillo M. Stochastic resonance: Theory and numerics // Chaos 2005. V.15. P.026115-1-026115-12.

[278] Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. -М.: Сов. радио, 1978.

[279] Кузовлев Ю.Е., Бочков Г.Н. Операторные методы анализа стохастических негауссовых процессов и систем // Изв. вузов. Радиофизика. 1976. Т.20. P.1505-1515.

[280] Barone A., Paterno G. Physics and applications of the Josephson effect. John Wiley, 1982. - 544p.

[281] Лихарев К.К. Введение в динамику джозефсоновских переходов. -М.: Наука, 1985.- 320 с.

[282] Munakata T. Resonance in non-Markovian activation processes. II // Prog. Theor. Phys. 1986. V.75. P.747-750.

[283] Магомедов М.Н. О роли вакансий в процессе самодиффузии при низких температурах // Письма в ЖТФ. 2002. Т.28. Вып.10. С.64-71.

[284] Fulde P., Pietronero L., Schneider W.R., Strassler S. Problem of Brownian motion in a periodic potential // Phys. Rev. Lett. 1975. V.35, No.26. P.1776-1779.

[285] Risken H., Vollmer H.D. Correlation functions for the diffusive motion of particles in a periodic potential // Z. Phys. B 1978. V.31. P.209-216.

[286] Dieterich W., Fulde P., Peschel I. Theoretical models for superionic conductors // Adv. Phys. 1980. V.29. P.527-605.

[287] Santoro G., Scandolo S., Tosatti E. Charge-density waves and surface Mott insulators for adlayer structures on semiconductors: Extended Hubbard modeling // Phys. Rev. B 1999. V.59. P.1891-1901.

[288] Grote R.F., Hynes J.T. Energy diffusion-controlled reactions in solution // J. Chem. Phys. 1982. V.77, No.7. P.3736-3743.

[289] Wiesenfeld K., Pierson D., Pantazelou E., Dames C., Moss F. Stochastic resonance on a circle // Phys. Rev. Lett. 1994. V.72, No.14. P.2125-2129.

[290] Kurrer Ch., Schulten K. Noise-induced synchronous neuronal oscillations // Phys. Rev. E 1995. V.51, No.6. P.6213-6218.

[291] Медведев С.Ю., Саичев А.И. Точное вычисление коэффициента диффузии фазы синхронизованного генератора // Радиотехника и электроника. 1979. Т.24. В.10. С.2058-2061.

[292] Reguera D., Rubi J.M., Perez-Madrid A. Controlling anomalous stresses in soft field-responsive systems // Phys. Rev. E 2000. V.62, No.4. P.5313-5317.

[293] Nixon G.I., Slater G.W. Entropic trapping and electrophoretic drift of a polyelectrolyte down a channel with a periodically oscillating width // Phys. Rev. E 1996. V.53, No.5. P.4969-4980.

[294] Risken H., Vollmer H.D. Brownian motion in periodic potentials; nonlinear response to an external force // Z. Phys. B. 1979. V.33, No.3. P.297-305.

[295] Risken H. The Fokker-Planck equation. Springer, Berlin, 1984.

[296] Igarashi A., Munakata T. Non-Markovian Brownian motion in a periodic potential //J. Phys. Soc. Japan. 1988. V.57, No.7. P.2439-2447.

[297] Igarashi A., McClintock P.V.E., Stocks N.G. Velocity spectrum for non-Markovian Brownian motion in a periodic potential //J. Stat. Phys. 1992. V.66. P.1059-1070.

[298] Festa R., d'Agliano E.G. Diffusion coefficient for a Brownian particle in a periodic field of force: I. Large friction limit // Physica A. 1978. V.90, No.2. P.229-244.

[299] Weaver D.L. Effective diffusion coefficient of a Brownian particle in a periodic potential // Physica A. 1979. V.98. P.359-362.

[300] Guyer R.A. Dynamics of nonlinear systems: The heavy damping limit // Phys. Rev. B 1980. V.21. P.4484-4499.

[301] Costantini G., Marchesoni F. Threshold diffusion in a tilted washboard potential // Europhys. Lett. 1999. V.48. P.491-497.

[302] Lindner B., Kostur M., Schimansky-Geier L. Optimal diffusive transport in a tilted periodic potential // Fluct. and Noise Lett. 2001. V.1. P.R25-R39.

[303] Reimann P., Van den Broeck C., Linke H., Hanggi P., Rubi J.M., Perez-Madrid A. Giant acceleration of free diffusion by use of tilted periodic potentials // Phys. Rev. Lett. 2001. V.87. P.010602-1-010602-4.

[304] Reimann P., Van den Broeck C., Linke H., Hänggi P., Rubi J.M., Perez-Madrid A. Diffusion in tilted periodic potentials: Enhancement, universality, and scaling // Phys. Rev. E 2002. V.65. P.031104-1-031104-16.

[305] Heinsalu E., Tammelo R., Ord T. Diffusion and current of Brownian particles in tilted piecewise linear potentials: Amplification and coherence // Phys. Rev. E 2004. V.69. P.021111-1-021111-7.

[306] Haljas A., Mankin R., Sauga A., Reiter E. Anomalous mobility of Brownian particles in a tilted symmetric sawtooth potential // Phys. Rev. E 2004. V.70. P.041107-1-041107-12.

[307] Doering C.R. Randomly rattled ratchets // Nuovo Cim. D 1995. V.17. P.685-697.

[308] Astumian R.D. Thermodynamics and kinetics of a Brownian motor // Science. 1997. V.276. P.917-922.

[309] Julicher F., Ajdari A., Prost J. Modelling molecular motors // Rev. Mod. Phys. 1997. V.69. P.1269-1281.

[310] Abad E., Mielke A. Brownian motion in fluctuating periodic potentials // Ann. Phys. (Leipzig). 1998. V.7. P.9-23.

[311] Reimann P. Brownian motors: Noisy transport far from equilibrium // Phys. Rep. 2002. V.361. P.57-265.

[312] Reimann P., Hanggi P. Introduction to the physics of Brownian motors // Appl. Phys. A. 2002. V.75. P.169-178.

[313] Astumian R.D., Hanggi P. Brownian motors // Physics Today. 2002. V.55. P.33-39.

[314] Малахов А.Н. Эффект ускорения диффузии броуновских частиц вдоль короткопериодного в пространстве быстрого случайного поля // Письма в ЖТФ. 1998. Т.24. С.9-15.

[315] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1976. - 576 с.

[316] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1973. - 831 с.

[317] Gang H., Daffertshofer A., Haken H. Diffusion of periodically forced Brownian particles moving in space-periodic potentials // Phys. Rev. Lett. 1996. V.76. P.4874-4877.

[318] Schreier M., Reimann P., Hanggi P., Pollak E. Giant enhancement of diffusion and particle selection in rocked periodic potentials // Europhys. Lett. 1998. V.44. P.416-422.

[319] Reguera D., Reimann P., Hanggi P., Rubi J.M. Interplay of frequency-synchronization with noise: Current resonances, giant diffusion and diffusion-crests // Europhys. Lett. 2002. V.57. P.644-650.

[320] Astumian R.D., Bier M. Fluctuation driven ratchets: Molecular motors // Phys. Rev. Lett. 1994. V.72. P.1766-1769.

[321] Prost J., Chauwin J.-F., Peliti L., Ajdari A. Asymmetric pumping of particles // Phys. Rev. Lett. 1994. V.72. P.2652-2655.

[322] Chauwin J.-F., Ajdari A., Prost J. Force-free motion in asymmetric structures: A mechanism without diffusive steps // Europhys. Lett. 1994. V.27. P.421-426.

[323] Chauwin J.-F., Ajdari A., Prost J. Current reversal in asymmetric pumping // Europhys. Lett. 1995. V.32. P.373-378.

[324] Doering C.R. Stochastic ratchets // Physica A 1998. V.254. P.1-6.

[325] Astumian R.D. Adiabatic theory for fluctuation-induced transport on a periodic potential // J. Phys. Chem. 1996. V.100. P.19075-19081.

[326] Parmeggiani A., Jülicher F., Ajdari A., Prost J. Energy transduction of isothermal ratchets: Generic aspects and specific examples close to and far from equilibrium // Phys. Rev. E 1999. V.60. P.2127-2140.

[327] Makhnovskii Yu.A., Rozenbaum V.M., Yang D.-Y., Lin S.H., Tsong T.Y. Flashing ratchet model with high efficiency // Phys. Rev. E 2004. V.69. P.021102-1-021102-7.

[328] Розенбаум В.М. Механизм возникновения высокой эффективности броуновского мотора с флуктуирующим потенциалом // Письма в ЖЭТФ. 2004. Т.79. С.475-479.

[329] Rozenbaum V.M., Korochkova T.Ye., Yang D.-Y., Lin S.H., Tsong T.Y. Two approaches toward a high-efficiency flashing ratchet // Phys. Rev. E 2005. V.71. P.041102-1-041102-8.

[330] Tsong T.Y., Astumian R.D. Absorption and conversion of electric field energy by membrane bound atpases // Bioelectrochem. Bioenerg. 1986. V.15. P.457-476.

[331] Markin V.S., Tsong T.Y., Astumian R.D., Robertson R.J. Energy transduction between a concentration gradient and an alternating electric field //J. Chem. Phys. 1990. V.93. P.5062-5066.

[332] Markin V.S., Tsong T.Y. Frequency and concentration windows for the electric activation of a membrane active transport system // Biophys. J. 1991. V.59. P.1308-1316.

[333] Markin V.S., Tsong T.Y. Electroconformational coupling for ion transport in an oscillating electric field: Rectification versus active pumping // Bioelectrochem. Bioenerg. 1991. V.26. P.251-276.

[334] Chen Y., Tsong T.Y. On the efficiency and reversibility of active ligand transport induced by alternating rectangular electric pulses // Biophys. J. 1994. V.66. P.2151-2158.

[335] Rozenbaum V.M., Yang D.-Y., Lin S.H., Tsong T.Y. Catalytic wheel as a Brownian motor // J. Phys. Chem. B 2004. V.108. P.15880-15889.

[336] Bier M., Astumian R.D. Biasing Brownian motion in different directions in a 3-state fluctuating potential and an application for the separation of small particles // Phys. Rev. Lett. 1996. V.76. P.4277-4280.

[337] Derenyi I., Astumian R.D. ac separation of particles by biased Brownian motion in a two-dimensional sieve // Phys. Rev. E 1998. V.58. P.7781-7784.

[338] Kettner C., Reimann P., Hänggi P., Müller F. Drift ratchet // Phys. Rev. E 2000. V.61. P.312-323.

[339] Savel'ev S., Marchesoni F., Nori F. Manipulating small particles in mixtures far from equilibrium // Phys. Rev. Lett. 2004. V.92. P.160602-1-160602-4.

[340] Rousselet J., Salome L., Ajdari A., Prost J. Directional motion of Brownian particles induced by a periodic asymmetric potential // Nature (London) 1994. V.370. P.446-447.

[341] Faucheux L.P., Bourdieu L.S., Kaplan P.D., Libchaber A.J. Optical thermal ratchet // Phys. Rev. Lett. 1995. V.74. P.1504-1507.

[342] Ertas D. Lateral separation of macromolecules and polyelectrolytes in microlithographic arrays // Phys. Rev. Lett. 1998. V.80. P.1548-1551.

[343] Duke T.A.J., Austin R.H. Microfabricated sieve for the continuous sorting of macromolecules // Phys. Rev. Lett. 1998. V.80. P.1552-1555.

[344] Chou C-F., Bakajin O., Turner S.W.P., Duke T.A.J., Chan S.S., Cox E.C., Craighead H.G., Austin R.H. Sorting by diffusion: An asymmetric obstacle course for continuous molecular separation // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 1999. V.96. P.13762-13765.

[345] Gorre-Talini L., Jeanjean S., Silberzan P. Sorting of Brownian particles by the pulsed application of an asymmetric potential // Phys. Rev. E 1997. V.56. P.2025-2034.

[346] Alcor D., Croquette V., Jullien L., Lemarchand A. Molecular sorting by stochastic resonance // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 2004. V.101. P.8276-8280.

[347] Lee S.-H., Grier D.G. One-dimensional optical thermal ratchets //J. Phys.: Condens. Matt. 2006. V.17. P.S3685-S3695.

[348] Zutic I., Fabian J., Das Sarma S. Spin injection through the depletion layer: A theory of spin-polarized p-n junctions and solar cells. // Phys. Rev. B 2001. V.64. P.121201(R)-1-121201(R)-4.

[349] §i§ianu S.T., §i§ianu T.S., Railean S.K. Shallow p-n junctions formed in silicon using pulsed photon annealing. // Semiconductors. 2002. V.36. P.581-587.

[350] Reimann P. Supersymmetric ratchets. // Phys. Rev. Lett. 2001. V.86. P.4992-4995.

[351] Levy P. Theory de l'addition des variables Aléatoires. Gauthier-Villars, Paris, 1937.

[352] Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.-Л.: ГТТИ, 1949.-264с.

[353] Chechkin A.V., Gonchar V.Yu., Klafter J., Metzler R. Fundamentals of Levy flight processes // Adv. Chem. Phys. 2006. V.133. P.439-496.

[354] Учайкин В.В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // УФН. 2003. Т.173. С.847-876.

[355] Chechkin A., Gonchar V., Klafter J., Metzler R., Tanatarov L. Stationary states of non-linear oscillators driven by Levy noise // Chem. Phys. 2002. V.284. P.233-251.

[356] Chechkin A.V., Gonchar V.Yu., Klafter J., Metzler R., Tanatarov L.V. Levy flights in a steep potential well // J. Stat. Phys. 2004. V.115. P.1505-1535.

[357] Chechkin A.V., Klafter J., Gonchar V.Yu., Metzler R., Tanatarov L.V. Bifurcation, bimodality, and finite variance in confined Levy flights // Phys. Rev. E 2003. V.67. P.010102(R)-1-010102(R)-4.

[358] Kramers H.A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions // Physica 1940. V.7. P.284-304.

[359] Hünggi P., Talkner P., Borkovec M. Reaction rate theory: Fifty years after Kramers // Rev. Mod. Phys. 1990. V.62. P.251-342.

[360] Fiasconaro A., Spagnolo B., Boccaletti S. Signatures of noise-enhanced stability in metastable states // Phys. Rev. E. 2005. V.72. P.061110-1-061110-5.

[361] Ditlevsen P.D. Observation of a-stable noise induced millennial climate changes from an ice-core record // Geophys. Res. Lett. E 1999. V.26. P.1441-1444.

[362] Fajans J., Schmidt A. Malmberg-Penning and Minimum-B trap compatibility: The advantages of higher-order multipole traps // Nucl. Instrum. and Methods in Phys. Res. A. 2004. V.521. P.318-325.

[363] Gitterman M. Mean first passage time for anomalous diffusion // Phys. Rev. E. 2000. V.62. P.6065-6070.

[364] Yuste S.B., Lindenberg K. Comment on "Mean first passage time for anomalous diffusion" // Phys. Rev. E. 2004. V.69. P.033101-1-033101-2.

[365] Chechkin A.V., Sliusarenko O.Yu., Metzler R., Klafter J. Barrier crossing driven by Levy noise: Universality and the role of noise intensity // Phys. Rev. E 2007. V.75. P.041101-1-041101-11.

[366] Медведев С.Ю. Точное разложение корреляционной функции произвольного стационарного марковского процесса // Изв. вузов. Радиофизика. 1977. Т.20. С.1241-1244.

[367] Саичев А.И. Об одном методе отыскания временных характеристик марковских процессов // Изв. вузов. Радиофизика. 1974. Т.17. С.864-868.

[368] Malakhov A.N. Time scales of overdamped nonlinear Brownian motion in arbitrary potential profiles // Chaos. 1997. V.7. P.488-504.

[369] Chechkin A., Metzler R., Gonchar V., Klafter J., Tanatarov L. First passage and arrival time densities for Levy flights and the failure of the method of images //J. Phys. A: Math. Gen. 2003. V.36. P.L537-L544.

[370] Chechkin A., Gonchar V., Klafter J., Metzler R. Barrier crossing of a Levy flight // Europhys. Lett. 2005. V.72. P.348-354.

[371] Augello G., Valenti D., Spagnolo B. Non-Gaussian noise effects in the dynamics of a short overdamped Josephson junction // Eur. Phys. J. B 2010. V.78. P.225-234.

[372] Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы: теория и применение в физике, химии и биологии. -М.: Мир, 1987. - 832 с.

[373] Eigen M., Schuster P. The Hypercycle: A Principle of Natural Self-Organization. Berlin - N.Y.: Springer-Verlag, 1979. - 92 p.

[374] Brauer F., Castillo-Chavez C. Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology. 2nd ed. Springer, 2011.

[375] Ogata H. Logistic equations in nonlinear systems // Phys. Rev. A 1983. V.28. P.2296-2299.

[376] Eigen M. Selforganization of Matter and the Evolution of Biological Macromolecules // Naturwissenschaften. 1971. V.58. P.465-523.

[377] Das A.K. A stochastic approach to the freezing of supercooled liquids // Can. J. Phys. 1983. V.61. P.1046-1049.

[378] McNeil K.J., Walls D.F. Nonequilibrium phase transitions in chemical reactions //J. Stat. Phys. 1974. V.10. P.439-448.

[379] Schlögl F. Chemical reaction models for non-equilibrium phase transitions // Z. Physik. 1972. V.253. P.147-161.

[380] Chaturvedi S., Gardiner C.W., Walls D.F. Exact Fokker-Planck equations from stochastic master equations // Phys. Lett. A 1976. V.57. P.404-406.

[381] Gardiner C.W., Chaturvedi S. The Poisson representation. I. A new technique for chemical master equations //J. Stat. Phys. 1977. V.17. P.429-468.

[382] Leung H.K. Transient properties of a constrained aucatalytic reacting system perturbed by external white noises //J. Chem. Phys. 1987. V.86. P.6847-6851.

[383] Morita A. An exact expression for the average value of the population governed by the stochastic Verhulst equation //J. Chem. Phys. 1982. V.76. P.4191-4194.

[384] Ciuchi S., de Pasquale F., Spagnolo B. Nonlinear relaxation in the presence of an absorbing barrier // Phys. Rev. E 1993. V.47. P.3915-3926.

[385] Matis J.H., Kiffe T.R. Stochastic Population Models: A Compartmental Perspective. -N.Y.: Springer, 2000. - 212 p.

[386] Acedo L. A second-order phase transition in the complete graph stochastic epidemic model // Physica A 2006. V.370. P.613-624.

[387] Bao-Quan Ai, Xian-Ju Wang, Guo-Tao Liu, Liang-Gang Liu. Correlated noise in a logistic growth model // Phys. Rev. E 2003. V.67. P.022903-1-022903-3.

[388] Wei-Rong Zhong, Yuan-Zhi Shao, Zhen-Hui He. Influence of correlated noises on growth of a tumor in a modified Verhulst model // Fluct. Noise Lett. 2006. V.6. P.L349-L358.

[389] Музычук О.В. Аналитико-численное построение нестационарных вероятностных распределений для одного класса нелинейных стохастических систем // Изв. вузов. Радиофизика. 2000. Т.43. С.827-834.

[390] Zygallo R. Verhulst-type kinetics driven by white shot noise: Exact solution by direct averaging // Phys. Rev. E 1993. V.47. P.106-117.

[391] Calisto H., Bologna N. Exact probability distribution for the Bernoulli-Malthus-Verhulst model driven by a multiplicative colored noise // Phys. Rev. E 2007. V.75. P.050103-1-050103-4.

[392] Zygallo R. Kinetics of a Verhulst-type system with nonlinearly coupled noise // Phys. Rev. E 1996. V.54. P.5964-5968.

[393] Zygallo R. Power-law distribution as a result of asynchronous random switching between Malthus and Verhulst kinetics // Phys. Rev. E 2008. V.77. P.021130-1-021130-4.

[394] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. -М.: Мир, 1984. - 751 с.