Математические задачи нелинейной теории переноса. Газокинетическое уравнение тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, доктор физико-математических наук Макин, Руслан Сергеевич

• Макин, Руслан Сергеевич
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Макин, Руслан Сергеевич

Введение.

§ В1. Актуальность темы.

§ В2. Современное состояние проблемы (обзор литературы).

§ ВЗ. Основные результаты и структура диссертации.

Глава 1.

Нелинейная нестационарная система уравнений переноса.

§ 1.1. Операторы в банаховых пространствах.

§ 1.2. Условия и постановка задачи.

§ 1.3. Свойства операторов переноса.

Глава 2.

Теоремы о существовании решений.

§ 2.1. Теорема о продолжении решения.:.

§ 2.2. О решении для Условия А.

§ 2.3. Существование сильного решения при выполнении Условия В.

Глава 3.

Качественные свойства решения нелинейной задачи.

§ 3.1. Положительность решения задачи Коши.

§ 3.2. Положительность решения нелинейной задачи.

§ 3.3. О не существовании глобального решения.

Глава 4.

Стационарная нелинейная задача.

§ 4.1. Свойства операторов стационарной задачи.

§ 4.2. Нелинейная стационарная задача. Существование решений.

§ 4.3. Существование условно-непрерывной ветви полусобственных векторов.

§ 4.4. Существование стационарных решений.

§ 4.5. Устойчивость стационарного решения.

Глава 5.

Свойства оператора нелинейной стационарной задачи.

§ 5.1. Полнота корневых векторов условно-критической задачи.

§ 5.2. Условно-критическая задача в однородной среде.

§ 5.3. Существование точек бифуркации.

§ 5.4. Условно-критическая задача в неоднородных средах.

Глава 6.

Свойства линеаризованной задачи.

§ 6.1. Основные сведения п результаты из теории операторных пучков.

§ 6.2. Операторные пучки с нелинейным вхождением спектрального параметра.

§ 6.3. Спектральные свойства линеаризованной задачи.

§ 6.4. Существование ведущего собственного значения и теоремы полноты для линеаризованной задачи.

Глава 7.

Инварнантные многообразия и нелинейные свойства решений.

§7.1. Основные положения теории бесконечномерных динамических систем.

§7.2. О существовании инерциальных многообразий для одного класса эволюционных уравнений.

§7.3. Нелинейные свойства решений исходной динамической системы.

§7.4. О существовании инерциальных многообразий для нестационарных задач.

Глава 8.

Задачи нелинейной теории переноса в многогрупповом диффузионном

Pi-) приближении.

§ 8.1. Условия и постановка задачи.

§ 8.2. Условия и постановка задачи о ксеноновой неустойчивости.

§ 8.3. Сравнительный анализ модельных задач и некоторые выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические задачи нелинейной теории переноса. Газокинетическое уравнение»

§ В1. Актуальность темы

Безопасность эксплуатации ядерных энергетических реакторов и других радиационно-опасных установок различного назначения является одной из важнейших проблем современной энергетики и нелинейной динамики. Большое значение в решении этой проблемы имеет знание и исследование их динамических характеристик. Целью исследования динамики в конечном итоге является доказательство устойчивости стационарных режимов нелинейной системы или отыскание условий, при которых обеспечивается указанная устойчивость. Обычно a priory такой информации либо нет, либо ее чрезвычайно мало. В этих условиях практически единственной возможностью является создание адекватных математических моделей и их последующий анализ [1-3]. При этом недостаток экспериментальных данных может быть компенсирован более полным математическим описанием основных процессов [3,4]. Повышение требований безопасной эксплуатации приводит к резкому росту требований в се обеспечение и точности проектных предсказаний [2,3]. При этом существенно возрастает роль различных эффектов, связанных с распределенностью, неоднородностью систем и нелинейностью происходящих сложных процессов [4-9].

В то же время используемые для анализа подобных нелинейных систем весьма упрощенные математические модели либо вообще не учитывают указанных эффектов, либо учитывают их очень приближенно, например, в рамках линеаризованных моделей [3,4,10-12]. Это связано в первую очередь с тем, что сложные распределенные системы в неоднородных нелинейных средах обычно описываются системой уравнений в частных производных или системой интегро-дифференциальных уравнений и должны рассматриваться в весьма общих банаховых пространствах [13-22]. Заметим, что сама процедура линеаризации для сложных нелинейных систем, как правило, требует строгого обоснования. При этом в отличие от упрощенных, точечных или полуточечных моделей, важную роль начинают играть такие вопросы как существование и единственность решения в исследуемом классе функций (функциональном пространстве), непрерывная зависимость его от начальных данных и физических коэффициентов системы, существование положительных стационарных решений, свойства полноты и сходимости корневых векторов, словом, все вопросы, связанные с корректностью и непротиворечивостью рассматриваемой математической модели: Без ответа на эти вопросы невозможно дать строгий математический анализ устойчивости и безопасности рассматриваемых сложных систем [6-9,23-25].

Поскольку получение аналитических решений таких сложных распределенных систем в неоднородных активных средах в большинстве случаев не удается, то при решении подобных задач широко используются вычислительные методы. При этом нелинейная распределенная система сводится в конечном итоге к системе алгебраических уравнений той или; иной структуры. На этом пути встречаются значительные трудности, которые приводят к необходимости использования мощных ЭВМ. Поэтому остается актуальной задача дальнейшего совершенствования существующих и создания новых, более экономичных и адекватных вычислительных методов исследования базовых математических моделей [26-28]. В связи с этим весьма полезной оказывается априорная информация, связанная с исходной моделью (семейством моделей). Такой информацией может служить принадлежность решения к тому или иному классу функций (функциональных пространств), обладающих определенными свойствами гладкости, свойства операторов задачи, свойства исходных данных и т.п. Априорная информация (если она имеется) в подавляющем большинстве случаев оказывает решающее влияние на выбор вычислительных методов, а иногда на создание принципиально новых подходов, используемых для решения рассматриваемых задач. Как правило, должно иметь место соответствие между априорными требованиями для исходной задачи и свойствами ее конечномерного (как правило, алгебраического) аналога. Это прежде всего относится к операторам задач, свойства которых должны быть по возможности сохранены при редукции задачи от континуальной модели к дискретной. Такой принцип, по-видимому, является основополагающим при решении многих модельных задач. Одновременно следует отметить, что преемственность свойств операторов задач при редукции дает возможность опираться на хорошо разработанные методы функционального анализа, что обычно позволяет простым и универсальным путем проводить исследования эффективности алгоритмов вычислительной математики [28,3]. В конечном итоге результаты качественного анализа распределенных базовых моделей помогают с весьма общих позиций оценить обоснованность тех или иных инженерно-физических методов расчета, применяемых при проектировании и создании сложных систем и установок [2933].

Априорная информация о базовых математических моделях (семействах моделей) (существование решения, его свойства и принадлежность определенному классу функций [34,35]) также очень важна при построении строгой математической теории некоторых оптимальных задач, в том числе задач управления, возникающих в теории реакторов [2325,32,33,36-38]. .-„ •

Таким образом, разработка адекватных распределенных нелинейных моделей сложных объектов, процессов и исследование возникающих режимов, вопросов устойчивости и нелинейных явлений, включая асимптотическое и нерегулярное (хаотическое) поведение, является весьма актуальной задачей. Кроме того, решение вопросов существования, единственности, свойств спектра, полноты корневых векторов, положительности решений и некоторых других представляет значительный интерес [2,68,39-41]. Данное обстоятельство связано с решением нового класса задач, описывающих гораздо более сложные процессы, нежели чем, например, краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка, которая, как известно, является достаточно грубым диффузионным приближением для рассматриваемых процессов переноса [2628,42-46].

В настоящее время считается общепринятым, что одной из базовых моделей описания нейтронно-физических процессов в реакторных системах является уравнение переноса [4,26-28,33], которое с учетом обратных связей представляет из себя нелинейную интегро-дифференциальную систему уравнений динамики реактора: дЬ м

0.1) дСк^ =-гкСк(х,0+ \^Кк{х,у-,Т{х,1))Ы{х,у\1), к = 1,.,М; а(х) Е^И = 20Т(х, 0 + 4 (Т)Щх, V, О , от с начальными и граничными условиями:

- N о (х, V); Ск (*Д=+0 = Ск0(х); к = 1 Г(х,ОЦ0 =Г0(х);

V(v,Гг(x))<0. (0.3) с?(х)(п(х),УхТ(х,0) +а(х)Т(х,Г)1хег = 0. (0.4)

Одной из основных целей диссертации является исследование свойств семейства нелинейных динамических систем, в которое естественным образом входит система (0.1) — (0.4). Коэффициенты и ядра в системе (0.1) имеют следующий вид:

К(х,V,Vй,Т) = К,(х,у,у}\Т) + К} (х,V,Vй,Т)\ ы

К, (х,и,у'-,Т) = ¿| т$1р(х,г,Т)р1к(р), к = 1 ,.,М; (0.5) 1 1 х Г) = ¿М^ (*. + (*> П + ^ (X, г;; Г)}, ы

Вывод уравнений системы (0.1) и физический смысл коэффициентов в (0.1) — (0.5) можно найти в работах [1,4,6-8]. Отметим лишь, что функции \у\Т,' (х,у;Т(х^)),р = з,/,с;1 = 1,.,г, характеризуются ядерно-физическими сечениями; р — тип взаимодействия излучения (нейтронов) с нуклидами (ядрами) 1-го изотопа, входящего в состав среды (р=в — рассеяние; р=1'- деление; р=с — захват).

Система (0.1) - (0.4) описывает эволюцию во времени пространственно — скоростного распределения М групп предшественников запаздывающего излучения (нейтронов) Ск (х,Г), к = \.,М, и температуры среды Т(х,1) в некотором объеме О с границей дО(=Г). Температура Т(х,/) отсчитывается от температуры окружающей среды. Система (0.1) - (0.4) является одной из базовых моделей переноса излучения (нейтронов) в ограниченных размножающих средах с температурной обратной связью. Основным ее отличием является то, что для описания эволюции температуры используется нелинейное уравнение диффузии.

Одним из важнейших открытий второй половины прошлого века явилось установление нового факта, говорящего о том, что нелинейная детерминированная динамическая система при отсутствии в ней каких-либо случайных внешних возмущений может! генерировать стохастические колебания, т.е. порождать динамический или детерминированный хаос [47-58]. Такой хаос может возникать в ситуации, когда в фазовом пространстве динамической системы имеется ограниченная область, из которой траектории не уходят, и при этом они неустойчивы по Ляпунову. В силу неустойчивости сколь угодно близкие вначале траектории расходятся за конечный промежуток времени. Поэтому практически невозможно предсказать длительное поведение детерминированной нелинейной динамической системы, поскольку реально начальные условия задаются лишь с конечной степенью точности.

Сегодня, несмотря на значительные успехи, теория нелинейных динамических систем далека от завершения даже для конечномерных пространств [59-65]. Известно, ( например, что хаос в нелинейных системах возникает при наличии в их фазовом пространстве гомоклинических (в общем случае — гиперболических) структур.

Существующие критерии возникновения хаоса труднопроверяемы, поскольку требуют, например, определения условий взаимного пересечения устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий, и в общем случае отсутствуют. Поэтому актуальной остается задача разработки конструктивных критериев хаоса, которые были бы применимы для широкого класса нелинейных динамических систем.

В настоящее время, после открытия в 1964 г. первой модельной системы (системы Лоренца) с хаотическим поведением, известны многочисленные примеры систем с подобным поведением в различных областях физики, механики, гидродинамики, биологии [66-120] (список можно продолжить), в том числе в реакторных системах [121-125,7]. Возникающий здесь круг вопросов в основном связан с устойчивостью поведения

•ч решений и возникновением динамического хаоса. Традиционно в теории устойчивости изучается асимптотическое поведение траекторий, лежащих вблизи уже известной (стационарной) траектории, или, как в теории ветвления, обнаружение и исследование решений, ответвляющихся от известного по мере изменения параметров задачи. Несмотря на обширные исследования, существующие трудности далеки от преодоления. Обычно исследуются на устойчивость решения, появляющиеся при первой бифуркации, если их удается получить. Очевидно, такой путь исследования задач гидродинамики имел в виду Л.Д. Ландау, высказавший гипотезу, что при возрастании параметра - числа Рейнольдса, усложнение (турбулизация) течения объясняется появлением все большего числа несоизмеримых периодов у решения. Можно принять и «физическую» точку зрения, восходящую к Э. Хопфу, O.A. Ладыженской и др. — решения диссипативных систем «забывают» свои начальные данные и формируются под действием постоянно и стационарно действующих факторов. В строгом математическом смысле это не так, потому! что в детерминированной системе решение (глобальное или локальное) полностью определяется своими начальными и дополнительными данными, а также внешним воздействием (например, системой управления). Однако с течением времени решение может ¡«далеко» уйти от этих данных и в этом смысле «забыть» их. В связи с этим возникает вопрос о той части фазового пространства, к которой притягиваются все решения, и динамике рассматриваемой системы на ней. Структура этого (компактного) притягивающего инвариантного множества (аттрактора) может быть весьма сложной, как и динамика на нем; другими словами, такое множество должно являться объектом исследования. Сложность изучения таких притягивающих множеств (аттракторов, квазнаттракторов) нелинейных динамических систем заключается в отсутствии t • законченной теории таких множеств (гиперболических, множеств) не только для бесконечномерных, но даже для конечномерных динамических систем [57-65]. Кроме того, не исключено (строго не установленный факт) появление так называемых «диких гиперболических множеств» (Ньюхаус) в составе притягивающих многообразий (см. [55], глава 6). Этот вопрос является дискуссионным и затрагивает другой, более важный: правильно ли мы определяем притягивающие множества и достаточно ли для описания динамики на них концепции грубости (типичности) Апдронова-Портрягина. Постановка и решение этих вопросов представляют несомненный, в том числе и самостоятельный интерес.

Для ряда нелинейных динамических систем наблюдается последовательность бифуркаций удвоения периода при изменении параметра от значений, при которых оно имеет лишь неподвижные точки, к значениям, при которых существует бесконечное множество периодических орбит. Эти каскады бифуркаций удвоения периода обладают богатой структурой (универсальность Фепгенбаума) [113,55,57]. Существуют свойства, ассоциированные с этими каскадами, которые универсальны в том смысле, что не зависят от выбора конкретной динамической системы. При этом весьма актуальной является задача установления механизма перехода к «хаосу» через бифуркации удвоения периода для конкретной распределенной модельной задачи переноса, - который наблюдался экспериментально [7,9,24,25,30,33,125]. Важно отметить, что для нелинейных распределенных динамических систем возможен пространственно-времеыпой хаос, характеризующийся тем, что в процессе колебаний случайными оказываются не только временные реализации процесса, но и пространственные распределения поля (излучения, температуры). Такой режим пространственно-временного хаоса в теории нелинейных динамических систем имеет специальное название — диссипативные структуры [57,69-72]. Этому режиму присуще соответствующее притягивающее множество (квазиаттрактор). В последние годы в исследовании структуры и свойств таких множеств на базе новых идей и понятий (инерциальные многообразия и инерциальные формы, параметры порядка, фрактальные множества и т.п.), а также основных положений (парадигм) синергетики достигнуты определенные успехи [56,57,69-72,89,108,109]. Здесь важно отметить, что результаты исследований нелинейных распределенных моделей переноса и их различных приближений немногочисленны, а в части изучения инвариантных многообразий, структуры притягивающих множеств и сопутствующих вопросов публикаций еще меньше.

Анализ современного состояния теории нелинейного переноса на основе газокинетического уравнения с распределенными параметрами позволяет сформулировать как одну из важнейших проблем нелинейной динамики проблему разработки и создания теоретических методов анализа динамики и свойств решений модельных задач переноса.

При решении этой проблемы на первый план выступают модельные задачи переноса в распределенных активных неоднородных средах, в основе которых лежат газокинетическое уравнение или много групповое диффузионное (Рг) приближения.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Макин, Руслан Сергеевич

Заключение

В диссертационной работе рассматривалась задача для общей нелинейной модели (семейства моделей) переноса излучения в размножающих распределенных средах с газокинетпческим уравнением переноса вида (0.1) — (0.4). В качестве конкретной нелинейной модели рассматривалась нелинейная динамическая система, описывающая динамику ядерного реактора с обратной связью по температуре. Выполненный анализ современного состояния теории нелинейного переноса на основе газокинетпческого уравнения с распределенными параметрами позволил сформулировать как одну из важнейших проблем нелинейной динамики проблему разработки и создания теоретических методов анализа динамики и свойств решений модельных задач переноса. При решении этой проблемы в первую очередь рассматривались два семейства модельных задач переноса в распределенных неоднородных размножающих средах, в основе которых лежали: (1) газокинетическое уравнение переноса (семейство моделей (1.1) - (1.4)); (и) его многогрупповое диффузионное (Р1-) приближение (семейство моделей (8.1) — (8.4)).

Основной целью работы являлось развитие и обоснование сгрогой математической теории нелинейных уравнений переноса, включившее в себя следующие основные этапы исследования: a) Выбор семейств математических моделей, адекватно описывающих реальные физические процессы (на примере переноса излучения (нейтронов)) в распределенных нелинейных неоднородных и ограниченных средах с размножением. b) Установление для них теорем существования и (локальной) единственности решений исходной задачи, а также условий существования" и" свойств решений стационарной нелинейной задачи, отвечающей исходной системе (системам), включая вопросы устойчивости. c) Обоснование метода линеаризации (первого метода Ляпунова) в задаче устойчивости стационарных и периодических решении исходной нелинейной задачи; анализ спектральных свойств линеаризованной задачи, нелинейным образом зависящей от спектрального параметра; исследование спектральной картины, структуры спектра и его основных спектральных свойств. с!) Доказательство обобщенной теоремы Смейла — Биркгофа (условий существования гомоклинпческой точки трансверсального пересечения инвариантных (локальных) многообразий (метод Мельникова)). Установление существования инвариантного гиперболического множества, топологически эквивалентного подедвнгу конечного типа (подкове Смейла) для исходного модельного семейства (1.1) - (1-4); установление условий существования инвариантных конечномерных множеств — инерциальных многообразий, исследование их свойств. Проверка спектрального условия (условия конуса) и доказательство существования конечномерных инерциальных многообразий для исходного семейства модельных задач (1.1) - (1.4). е) Применение изложенных методов и подходов для исследования более общих нелинейных диссипативных динамических систем; их демонстрация на двух практически важных модельных задачах (семействах): ф модельная задача (1.1) — (1.4), где перенос описывается в многогрупповом диффузионном (Р]-) приближении — динамическая система (8.1) — (8.4); (и) модельная задача (семейство) об устойчивости пространственного нейтронно-температурного распределения в размножающих средах с учетом поведения предшественников запаздывающего излучения в много групповом диффузионном (Р1-) приближении (так называемая ксеноновая неустойчивость) - динамическая система (8.8) -(8.11).

В работе был использован классический аппарат функционального анализа (теория полугрупп операторов, теория операторов, инвариантных относительно положительных конусов в банаховых пространствах, теория знакорегулярных (квазизнакорегулярных) операторов, спектральная теория самосопряженных и несамосопряжснных операторов), топологические методы,'' аппарат теории нелинейных динамических систем (гиперболические множества, инвариантные притягивающие множества (аттракторы, квазнаттракторы) и инвариантные инерциальиые многообразия), теория устойчивости и теория, бифуркаций, а также использованы результаты линейной теории переноса. В основе- развитого подхода лежат принципы линеаризации и локализации, а также основные положения синергетики.

Основными результатами диссертации являются следующие.

1. Сформулированы условия существования глобального (сильного) решения и условия существования локального решения для исходной нелинейной распределенной системы уравнений в ограниченных средах (1.1) - (1.4), где перенос описывается многоскоростным газокинетическим (интегродифференциальным) уравнением или его много групповым диффузионным (Р)-) приближением (система (8.1) — (8.4)); доказаны соответствующие теоремы существования (несуществования) глобальных решений в выбранном функциональном (фазовом) пространстве; г исследованы свойства операторов и решений исходной нелинейной задачи, включая свойство положительности решений в некоторых банаховых пространствах с положительными конусами.

2. Сформулированы и доказаны теоремы существования и свойства решений нелинейной стационарной задачи, отвечающей исходной нелинейной задаче, включая свойства положительности и условия существования ведущего собственного значения;

- доказаны теоремы полноты собственных (корневых) векторов в общем случае; указаны условия существования базиса Рисса;

- установлено существование счетного множества простых вещественных собственных значений и отвечающих им собственных элементов из некоторых множеств конечномерных положительных конусов (конусов конечного ранга) в случае одномерной геометрии;

- указана оценка спектрального зазора (расстояние между ведущим собственным значением и остальным спектром) и установлено, в каких случаях базисные функции являются чебышевскимп (Т-системами), что позволяет применить чебышевские методы ускорения сходимости;

- показано существование счетного множества точек бифуркации в случае одномерной геометрии; рассмотрены вопросы о количестве, характере и устойчивости решений на некотором инвариантном множестве; дана конструктивная оценка спектрального зазора.

3. Проведен анализ спектральных свойств линеаризованной задачи и установлен принцип линеаризации и спектр линеаризации (по В.И. Юдовичу) для исходной нелинейной задачи; установлены свойства гладкости нелинейной диссипативной полугруппы, разрешающей исходную задачу;

- сформулированы и доказаны теоремы о структуре спектра (точечного, непрерывного, существенного) операторного пучка (обобщенного пучка типа М.В. Келдыша), отвечающего линеаризованной задаче, где спектральный параметр нелинейным (дробно-рациональным и/или полиномиальным) образом входит в операторный пучок; найдена асимптотика спектра задачи;

- доказана полнота корневых векторов (кратная полнота по М.В. Келдышу) и условия сходимости по ним в некотором функциональном пространстве; установлены условия существования (ио-положительность) ведущего собственного значения и отвечающего ему (единственного)элемента из положительного конуса;

- существенно уточнены спектральные свойства и асимптотические оценки в одномерной геометрии:

• минимальность, полнота и базисность системы корневых векторов;

• принадлежность операторного пучка классу вполне положительных операторов;

• существование счетного подмножества простых вещественных собственных значений и отвечающего ему множества собственных элементов, обладающих осцилляционнымн свойствами (ряды Маркова);

4. Установлены условия существования на основе обобщенного метода Мельникова гомоклинической (гетероклинической) точки трансверсального пересечения (локальных) устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий для некоторого семейства абстрактных эволюционных уравнений (обобщенная теорема Биркгофа -Смейла); эти условия проверены для исходной нелинейной задачи; сформулировано утверждение: трансверсальная гомоклиническая (гетероклиническая) траектория порождает хаос («динамический реакторный хаос») в бесконечномерном фазовом пространстве; доказано существование инвариантного гиперболического множества, топологически эквивалентного подедвигу конечного типа (канторова множества, топологически эквивалентного подкове Смейла);

5. Проведен анализ экспериментально наблюдавшегося перехода к «реакторному хаосу» через последовательность бифуркаций удвоения периода (универсальность Фейгенбаума) как общего свойства (модельных) нелинейных систем," приближающихся к гомоклиническому касанию устойчивого и неустойчивого многообразий некоторой периодической орбиты (неподвижной точки);

6. Установлены условия существования инвариантных экспоненциально притягивающих конечномерных многообразий — ннерциальных многообразий для исходной нелинейной задачи с компактной (квазикомпактной) полугруппой и нормальным гиперболическим множеством;

- проведен анализ основных свойств инерциальных многообразий; сформулирован принцип сведения, проверено спектральное условие (условие конуса) и установлено существование к-мерного инерциального многообразия для исходной нелинейной задачи (гипотеза Э. Хопфа); сформулирован нелинейный динамический метод Галеркина.

7. Развитые в работе методы и подходы распространены на семейство модельных задач, где перенос описывается в многогрупповом диффузионном (Рг) приближении. Такое рассмотрение является важным с практической точки зрения, поскольку все проектные и инженерные расчетные исследования проводятся в указанном приближении. Результаты по п.п. 1—7 имеют место, в соответствующих формулировках, для нелинейной системы (8.1) — (8.4). Рассмотрена практически важная модельная задача (семейство) об устойчивости нейтронно — температурного распределения в размножающих ограниченных неоднородных средах с учетом поведения предшественников запаздывающего излучения в -многогрупповом диффузионном (Р1-) приближении (задача о ксеноновой неустойчивости (8.1) - (8.11)). Для этой задачи получепы результаты по п.п. 1-3.

8. Сравнительный анализ результатов, полученных для нелинейных динамических систем (семейств) (1.1) — (1.4) и (8.1) - (8.4), продемонстрировал принципиальные качественные отличия в спектральной картине, структуре и характере спектра этих двух задач; в частности, это касается различного характера асимптотического поведения решений, условий существования «диффузионного хаоса», «динамического хаоса» и некоторых других свойств. С другой стороны, было отмечено, что при определенных условиях может существовать ведущее собственное значение задачи, которому отвечает единственное положительное решение; эти условия существенно различные для задачи (1.1) - (1.4) и задачи (8.1) - (8.4). Проведенный анализ позволил сформулировать некоторые качественные выводы относительно изменений в спектральной картине рассмотренных семейств модельных задач. В частности, установлена понимаемая в определенном смысле эквивалентность эффектов «удержания» и «запаздывания» излучения и связанных с ними качественных изменениях в спектральной картине; в свою очередь, это позволяет применить разработанный в работе математический аппарат для решения ряда актуальных зада1!.

В заключение заметим, что многие результаты диссертационной работы можно распространить на модельные задачи (семейства) (1.1) - (1.4), (8.1) - (8.4), (8.1) - (8.11), в которых учитывается движение жидкого теплоносителя.

Проведенные в диссертационной работе исследования, предложенные подходы и полученные результаты позволили развить и обосновать строгую математическую теорию нелинейных уравнений переноса. Тем самым осуществлен важный этап в развитии нового направления теории переноса - нелинейной теории переноса. Кроме того, изложенные в работе методы и подходы представляют самостоятельный интерес для общей теории нелинейных динамических систем и вносят определенный вклад в общие представления синергетики. Материал диссертационной работы, будучи в первую очередь теоретическим исследованием, является основой для формулировки эффективных вычислительных алгоритмов и решения актуальных практических задач в соответствующих областях физики и техники. С другой стороны, полученные в работе результаты и поставленные вопросы могут являться основой для последующих исследовании.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Макин, Руслан Сергеевич, 2009 год

1. П2. Крянев A.B., Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. Нелинейный анализ. М.: Энергоатомиздат, 1983.

2. ПЗ. Емельянов И.Я., Константинов Л.В., Ефанов А.И. Научно-технические основы управления ядерными реакторами. М.: Энергия, 1980.

3. П4. Агошков В.И. Некоторые вопросы теории и приближенного решения задач теории переноса. М.: Отдел вычислит, матем. АН СССР, 1984.

4. П5. .Ершов Ю.И., Шихов С.Б. Математические основы теории переноса. Т.2. Приложения к физике реакторов. М.: Энергоатомиздат, 1985.

5. П6. Шихов С.Б., Щукин Н.В. Динамика реакторов. Учебное пособие. М.: МИФИ, 1982.

6. П7. Многогрупповое приближение в теории переноса нейтронов. // М.Н. Николаев, Б.Г. Рязанов, М.М. Савоськин, A.M. Цибуля. М.: Энергоатомиздат, 1984. 256 с.

7. П8. Математические проблемы кинетической теории переноса. // У.М. Султангазин, В.В. Смелов, А.Ш. Акишев и др. Под ред. У.М. Султангазина и И. Марека. Алма-Ата: Наука (Каз. ССР), 1986. 256 с.

8. П9. Румянцев Г.Я. Обобщенные распределения нейтронов. М.: Энергоатомиздат, 1989. 296 с.

9. П10. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1981.

10. П11. Шихов С.Б., Троянский В.Б. Теория ядерных реакторов. Учебник для вузов. Т.2. Газокинетическая теория. М.: Энергоатомиздат, 1983. 368 с.

11. П12. Охрименко А.И., Шихов С.Б. Метод интегральных уравнений для расчета реакторов сложной геометрии в многогрупповом Pi-приближении. НИИАР. Препринт №34 (442). Димитровград, 1980.

12. П13. Троянский В.Б. Аналитические решения уравнения переноса с произвольной индикатрисой рассеяния. // В кн.: Физика ядерных реакторов. Вып. 10. М.: Энергоиздат, 1981. с.79-85.

13. П14. Лебедев В.И., Дмитриев A.B. Численное исследование эффективности чебышевского итерационного метода для некоторых нелинейных задач. // В сб.: Проблемы теории и численного решения задач переноса частиц. М.: АН СССР, 1983. с.95-111.

14. П15. Agoshkov V.l. Boundary value problems for transport equations. Basel: Birkhäuser, 1998.

15. П16. Макин P.C. Некоторые математические задачи нелинейной теории переноса. Многогрупповое диффузионное приближение. Часть 1. // Сб. трудов НИИАР. 1998.

16. Вып.З. с.94-118. Часть 2. // Ibid. 1999. Вып.1. с.72-105. Часть 3. // Ibid. 1999. Вып.З. с.3-25. Часть 4. // Ibid. 2000. Вып.1. с.56-88.

17. П17. Макин P.C. Чебышевский итерационный метод для некоторых нелинейных задач динамики реакторов. // Вестник УлГТУ-ДИТУД. 2003. Вып.1(15). с.60-66.

18. П18. Макин P.C. Устойчивость стационарных режимов и нелинейные модели реакторов. // Вестник УлГТУ-ДИТУД. 2003. Вып. 2(16). С.40-45.

19. П19. Макин P.C. Нелинейные свойства решений одной модельной задачи динамики реакторов. // Вестник УлГТУ-ДИТУД. 2003. Вып.3(17). С.82-90.

20. П20. Поливанов И.Ф., Макин P.C., Старков В.А., Юдин К.И. Метод расчета кампании гетерогенного реактора. НИИАР. Препринт №19(427). Димитровград, 1980.

21. П21. Ванеев Ю.Е., Поляков Ю.Н., Коротков Р.И. Методика расчета запаса реактивности реакторов со сложной гетерогенной структурой. НИИАР. Препринт №25(478). Димитровград, 1981.

22. П22. Поливанов И.Ф., Макин P.C., Юдин К.И., Старков В.А. Методы расчета кампании гетерогенного реактора с регулярной решеткой органов системы управления и защиты. НИИАР. Препринт №13(528). Димитровград, 1982.

23. П23. Макин P.C., Юдин К.И., Поливанов И.Ф. Численный метод решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений динамики реакторов. НИИАР. Препринт №26(638). Димитровград, 1984.

24. П24. Макин P.C. О свойствах решений некоторых интегро-дифференциальных задач динамики реакторов. ЦНИИ атоминформ. Препринт №24(705). М.: 1986.

25. П25. Макин P.C. Метод собственных функций решения некоторых задач термализации нейтронов. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика и техника ядерных реакторов. 1984. Вып.6(43). С. 18-22.

26. П26. Платонов А.П. Численный метод расчета спектров замедляющихся нейтронов в конечных средах с учетом 5-образной зависимости индикатрисы упругого рассеяния. // Атомная энергия. 1998. Т.84. с.216-219.

27. П27. Платонов А.П. О дифференцируемое™ по энергии интеграла упругих соударений в задачах замедления нейтронов. // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т.39. №4. с.663-669.

28. П28. Платонов А.П. Об одном подходе к решению задачи упругого замедления нейтронов в однородной среде от моноэнергетического изотропного точечного источника. // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т.40. №1. с.144-152.

29. П29. Платонов А.П. Об эквивалентности решений интегральной и дифференциальной форм уравнения замедления нейтронов в бесконечных средах. // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т.41. №3. с.459-466.

30. П30. Платонов А.П. Модели и вычислительные методы в теории нейтронных полей (упругое замедление нейтронов). Автореферат диссерт. на соиск. уч. степени д.ф.-м.н. Ульяновск, УлГУ, 2003. '

31. П31. Николаев М.Н. Замедление нейтронов. Учебное пособие. Обнинск: Обнинский институт атомной энергетики. 1989.

32. П32. Байбаков В.Д., Воробьев Ю.Б., Кузнецов В.Д. Коды для расчета ядерных реакторов. Учебное пособие. М.: Изд-во МЭИ, 2003.

33. ПЗЗ. Емельянов И.Я., Гаврилов П.А., Селиверстов Б.Н. Управление и безопасность ядерных энергетических реакторов. М.: Атомиздат, 1975.

34. П34. Кострица A.A. Теория переноса нейтронов в движущейся среде. М.: Энергоиздат, 1981.

35. П35. Цыканов В.А., Чечеткин Ю.В., Макин P.C. и др. Реактор с органическим теплоносителем для ACT. НИИАР. Препринт №4(457). Димитровград, 1981.

36. П36. Бунтушкин В.П., Макин P.C., Карпюк В.И. и др. Исследования на установке АРБУС в обоснование безопасности атомных станций теплоснабжения на останове реакторов с органическим теплоносителем. НИИАР. Препринт №21(474). Димитровград, 1981.

37. П38. Цыканов В.А., Аверьянов П.Г., Бурукин В.П. Исследовательский реактор РБТ-6. // Атомная энергия. 1977. Т.43. Вып.1. с.14-19.

38. П39. Цыканов В.А., Чечеткин Ю.В., Кормушкин Ю.П., Макин P.C. и др. Опытная атомная станция теплоснабжения на базе реактора АРБУС. // Атомная энергия. 1981. Т.50. Вып.6. с.376-381.

39. П40. Макин P.C., Артемчук В.В., Поливанов И.Ф., Юдин К.И. Исследования аварийных ситуаций при разгерметизации «сухих» каналов на установке АСТ-1. НИИАР. Препринт №5(529). Димитровград, 1982.

40. П41. Коняшов В.В., Макин P.C., Охрименко А.И. и др. Реакторная установка ВК-50 -экспериментальная база научных исследований. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Ядерная техника и технология. 1991. Вып.6. с.81-90.

41. П42. Макин Р.С. О свойствах решений одной задачи динамики реактора с учетом ксеноновых колебаний. //Дифференциальные уравнения, 2004. Т.40. №4. с.1-11.

42. П43. Герасимов А.С., Рудик А.П. Отравление реактора ксеноном-135. М.: Энергоиздат, 1982.

43. П44. Митин A.M. Реакторы на быстрых нейтронах с внутренне присущими свойствами безопасности. Обзор. М.: ЦНИИ атоминформ, 1990.

44. П45. Митенков Ф.М. Актуальные задачи динамики энергетических реакторов. // Ibid. 1981. Вып.6(19). С.3-15.

45. П46. Горяченко В.Д. Качественные методы в динамике ядерных реакторов. М.: Энергоатомиздат, 1983.

46. П47. Горяченко В.Д., Золотарев C.JL, Колчин В.А. Исследование динамики ядерных реакторов качественными методами. М.: Энергоатомиздат, 1988.

47. П48. Eshcherkin V., Makin R.S., Yakshin Е. Energy block with vessel boiling reactor. // Third Annual Scientific Conference Nuclear Society International. Book of Abstracts. St.-Petersburg, 1992. p.222-224.

48. П49. Шихов С.Б., Щукин H.B. Метод расчета устойчивости кипящего канального реактора. //В сб.: Физика ядерных реакторов. Вып.7. М.: 1978. с.83-97.

49. П50. Щукин Н.В. Исследование устойчивости кипящих канальных реакторов с исследованием распределенных моделей. Диссерт. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. Москва, 1979.

50. П51. Леппик П.А., Павлов С.П., Плютинский В.И. К вопросу о механизме ВЧ-резонансной нестабильности реактора ВК-50. // Атомная энергия. 1984. Т.52. Вып.6. с.379-382.

51. П52. Леппик П.А. Экспериментальное определение взаимодействия пульсаций нейтронного потока и расхода теплоносителя в корпусном кипящем реакторе. // Атомная энергия. 1984. Т.57. Вып.6. с.420-422.

52. П53. Waaranpera V., Andersson S. BWR stability testing: reaching the limit cycle threshold at natural circulation. // Trans. Amer. Nucl. Soc. 1981. V.39. p.868-870.

53. П54. March-Leuba J., Perez R.B. A physical model of nonlinear noise with application to BWR stability. // Trans. Amer. Nucl. Soc. 1983. V.44. p.523-525.

54. П55. Потапенко П.Т., Косилов A.H., Михайлов B.H. Исследование двухфазного жидкого регулирования реакторов CANDU. // Атомная техника за рубежом. 1983. №7. с.79-89.

55. П56. Вдовин С.И. Бифуркации решений уравнений кинетики ядерного реактора с нелинейной обратной связью. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика и техника ядерных реакторов. 1985. Вып.2. с.75-81.

56. П57. Вдовин С.И., Сабаев Е.Ф. Ограниченность решений уравнений кинетики реактора. // Ibid. с.70-74.

57. П58. Горяченко В.Д., Колчин В.А. Исследование упрощенной модели динамики реактора как объекта с запаздыванием. // Ibid. 1982. Вып.3(25). С.18-25.

58. П59. Горяченко В.Д., Колчин В.А., Шилов Б.Н. Исследование динамики ядерного реактора по сосредоточенным нелинейным моделям с запаздываниями. // Ibid. 1986. Вып.1. с.76-87.

59. П60. Шилов Б.Н. К исследованию устойчивости ядерного реактора вторым методам Ляпунова. // Ibid. с.63-66.

60. П70. Золотарев С.Л. К исследованию точечной модели динамики реактора с циркулирующим горючим. // Ibid. с.52-58.

61. П71. Золотарев С.Л. Алгоритмы численного исследования бифуркационных явлений в динамических системах с последействием. //Ibid. 1984. Вып.2(39). с.75-80.

62. П72. Сабаев Е.Ф. Взрывные, неограниченные и глобально ограниченные решения уравнений кинетики реактора с обратной связью по реактивности. // Ibid. с. 10-19.

63. П73. March-Leuba J., Cacuci D.G., Perez R.W., Award M.M. Nonlinear dynamics and stability of boiling water reactors: qualitative and quantitative analyses. // Trans. Amer. Nucl. Soc. 1985. V.50. p.543-544.

64. П74. March-Leuba J. Stability of boiling water reactor limit cycle bifurcations and chaotic behavior. //Ibid. 1989. V.60. p.345-346.

65. П75. March-Leuba J., Otaduy PJ. The importance of momentum dynamics BWR neutronic stability: experimental evidence. // Ibid. 1985. V.50. p.563-564.

66. П76. March-Leuba J., Perez R.B. A physical model of nonlinear noise with application to BWR stability. //Nucl. Sei. Eng. 1984. V.86. №4. p.401-404.

67. П77. Cheng H.S. et al. Simulation of the recent La Salle incident with BWR analyzer. // Trans. Amer. Nucl. Soc. 1988. V.57. p.385-386.

68. П78. Robin G.R., Peter J.J. Investigation of BWR instability phenomena using RETRAN-03. // Ibid. 1989. V.60. p.482-483.

69. П79. March-Leuba J. Average power increase during limit cycle oscillations. // Ibid. 1989. V.60. p.481-482.

70. П80. Damiano В., March-Leuba J. Power distribution effects on boiling water reactor stability. // Ibid. 1989. V.60. p.480-481.

71. П81. Larry E.F. et al. OD YS Y: A computer program to predict stability of boiling water reactor. //Ibid. 1983. V.45. p.727-728.

72. П82. Nielan L.A., Pruitt D.W., Jones S.W. Stability monitoring in boiling water reactors. // Ibid. 1988. V.57.p.277-278.

73. П83. Jones S.W., Humphreys H.C. Stability monitoring system demonstration program AT WHP-2. // Ibid. 1989. V.60. p.483-484.

74. П84. Koldstein L. et al. Stability monitoring experience on German BWR's. // Ibid. 1989. V.60. p.484-485.

75. П85. Макин P.С. Об устойчивости кипящего реактора как нелинейной динамической системы.// Вопросы атомной науки и техники. Серия: Ядерная техника и технология. 1992. Вып.6. с.24-27.

76. П86. Макин Р.С. О бифуркации одной нелинейной системы уравнений динамики реакторов с распределенными параметрами. Препринт. НИИАР-27(639). Димитровград: 1984. 29 с.

77. П87. Макин Р.С. Асимптотические свойства решений некоторых задач динамики реакторов. Препринт НИИАР-13(744). ЦНИИ атоминформ. М.: 1988. 20 с.

78. П88. Макин Р.С. Об асимптотике решения некоторых задач динамики реакторов. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Ядерная техника и технология. 1992. Вып.6. с.59-67.

79. П89. Макин Р.С. Методы обнаружения и прогнозирования скрытых закономерностей поведения сложных динамических систем. // Труды НИИАР. Димитровград. 1993. 104 с.

80. П90. Постников Н.С. Динамический хаос в реакторе с системой регулирования. // Атомная энергия. 1991. Т.77. Вып.1. с.3-10.

81. П91. Постников Н.С. К исследованию автоколебаний в нелинейных моделях динамики ядерного реактора. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика и техника ядерных реакторов. 1994. Вып.1. с.28-30.

82. П92. March-Leuba J., Perez R.B., Caccuci D.G. Universality and aperiodic behaviour of nuclear reactor. //Nucl. Sci. Eng. 1988. V.86. №4. p.401-404.

83. П93. March-Leuba J., Perez R.B., Caccuci D.G. Nonlinear dynamics and stability of boiling water reactor: P.l. Qualitative analysis. //Nucl. Sci. Eng. 1986. V.93. №2. p.l 11-123; P.2. Quantitative analysis. // Ibid, p.124-136.

84. П94. Постников Н.С. Стохастические автоколебания в реакторе с дискретной системой регулирования. // Атомная энергия. 1989. Т.67. Вып.4. с.251-255.

85. П95. Постников Н.С. Хаотическая динамика ядерных реакторов. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика ядерных реакторов. 2002. Вып.З. с.17-25.

86. П96. Ни В., Мао J. Period doubling: universality and critical point order. // Phys. Rev. A. 1982. V.25 A. №6. p.3259-3261.

87. П97. Ни В., Satija I.I. A spectrum of universality classes in period doubling and period tripling. // Phys. Lett. 1983. V.98 A. №4. p.143-146.

88. П98. Kawai H., Туе S.-H.H. Approach to chaos: universal quantitative properties of one-dimensional maps. //Phys. Rev. A. 1984. V.30. №4. p.2005-2023.

89. П99. Schraiman В., Wayne C.E., Martin P.O. Scaling theory for noisy period- doubling transitions to chaos. //Phys. Rev. Lett. 1981. V.46. №4. p.935-936.

90. П100. Huberman B. A., Zisook A. B. Power spectra of strange attractor. // Phys. Rev. Lett. 1981. V.46. №10. p.626-632.

91. П101. Wolf A., Sift J. Universal power spectra for the reverse bifurcations sequence. // Phys. Lett. 1981. V.83 A. №5. p.184-188.

92. П102. Farmer J. D. Spectral Broadening of period-doubling bifurcation sequences. // Phys. Rev. Lett. 1981. V.47. №3. p. 179-182.

93. П103. Пиковский А. С. О поведении спектра странного аттрактора в критической точке. // Изв. Вузов. Серия: Радиофизика.1982.т.25.№7.с.846-848.

94. П104. Kai Т. Universality of power spectra of a dynamical system with an infinite sequence of period- doubling bifurcations. // Phys. Lett. 1979. V.74 A. №6. p.375-378.

95. П105. Гольберг А.И., Синай А. Г., Ханин Г.М.Универсальные свойства для последовательности бифуркаций утроения периода. // Успехи матем. наук. 1983. V.24. №3. р. 1640-1642.

96. П106. Кузнецов С.П., Пиковский А.С.Универсальность бифуркаций удвоения периода в одномерной диссипативной среде. // Изв. Вузов. Серия: Радиофизика. 1985. Т.28. №3. с.308-319.

97. П107. Makin R.S. Some regularity in simulating of sophisticated dynamical system.//Proc. of 7th European Simulation Symposium (Erlangen-Nuremberg, Germany).1995.p.798-801.

98. П108. Макин P.С.,Зайцев M.E. О спектральной оценке для одной задачи кинетики реактора.\\ Труды междунар. конференц. «Безопасность АЭС и подготовка персонала». 2007.0бнинск.с. 132-133.

99. П110. Грачев А.Ф., Кинский О.М., Макин Р.С., Федулин В.Н. Подготовка эксплуатационного персонала исследовательских реакторов в отраслевом Учебно-тренировочном центре. // Изв. Вузов. Ядерная энергетика. 1995. №5. с.58-65.

100. П112. Грачев А.Ф., Зацепин А. И., Макин Р.С., Ризванов В.К. Подготовка персонала исследовательских реакторов в отраслевом учебном центре. // Изв. вузов. Ядерная энергетика. 1998. №4. с.56-58.

101. П114. Makin R.S., Ochrimenko A.I., Demidov L.I. Research reactor operators training for emergency accident management using simulators and nuclear power analyzer. // Proc. of OECD Workshop, Lyon, France, (12-14) March, 2001. p.28-35.

102. П116. Макин Р.С., Охрименко А.И., Демидов Л.И. Подготовка персонала исследовательских реакторов с использованием тренажеров и анализаторов. // Ibid. с.263-264.

103. П119. Либенсон М.Н., Макин B.C., Макин Р.С.Дисперсия поверхностных поляритонов в среде с пространственно неоднородной диэлектрической проницаемостью. // Оптика и спектрокопия. 1985. Т.59. Вып.4. с.916-919.

104. П120. Либенсон М.Н., Макин B.C., Пестов Ю.И., Трубаев В.В. Образование регулярного рельефа на поверхности кремния под действием поляризованного лазерного излучения. // Оптический журнал. 1996. Вып.2. с.78-84.

105. П121. Makin V.S., Makin R.S., Guo С., Vorobjev A.Y. Universality of Feigenbaum and dissipative microstructures for highly nonequilibrium system. // Proc. of Int. Seminar "Days on Diffraction-2007". St.-Petersburg. 2007. p.60.

106. П122. Bonch-Bruevich A.M., Libenson M.N., Makin V.S., Trubaev V.V. Surface electromagnetic waves in optics. // Optical Engineering. 1992. V.31. №4. p.716-730.

107. П124. Logacheva E.I., Makin V.S., Trubaev V.V. Negative dispersion cylindrical surface plasmon- polaritons in layered media. // Proc. of the Intern. Conf. "Days on Diffraction 2006". May 30- June 2, 2006.St.-Petersburg, Russia, p. 154-160.

108. П125. Smirnov D.S., Makin V.S. Negative dispersion cylindrical surface plasmon-polaritons in spatially inhomogeneous dielectric permittivity media. // Ibid, p.286-292.

109. П126. Trubaev V.V., Logacheva E.I., Makin V.S. The fields generated by finite grating coupler in conditions of SEW excitation. // Ibid, p.306-313.

110. Емельянов Н.Я., Гаврилов П.А., Селиверстов Б.Н. Управление и безопасность ядерных энергетических реакторов. М.: Атомиздат, 1975.

111. Митенков Ф.М. Актуальные задачи динамики энергетических реакторов. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика и техника ядерных реакторов. 1981. Вып. 6. (19). с. 3-15.

112. Воронков A.B., Масленников М.В. О математической модели нейтронно- физических процессов в ядерном реакторе. //В сб.: Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1982. с. 84-101.

113. Akcasu A.Z., Lellouche G.S., Shotkin L.M. Mathematical methods in nuclear íeactor dynamics. N.-Y.: Academic Press, 1971.

114. Вейнберг Э., Вигнер E. Физическая теория ядерных реакторов. М.: Иностранная литература, 1961.

115. Горбунов В.П., Шихов С.Б. Нелинейная динамика ядерных реакторов. (Анализ методами A.M. Ляпунова). М.: Атомиздат, 1975.

116. Крянев A.B., Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. Нелинейный анализ. М.: Энергоатомнздат, 1983.

117. Новиков В.М., Шихов С.Б. Теория параметрического воздействия на перенос нейтронов. М.: Энергоиздат, 1983.

118. Горяченко В.Д.--Методы исследования устойчивости ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1977.

119. Галанин А.Д. Теория гетерогенного реактора. М.: Атомиздат, 1971.

120. Кипин Дж.Р. Физические основы кинетики ядерных реакторов. Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1967.

121. Шишков Л.К. Методы решения диффузионных уравнений двумерного ядерного реактора. М.: Атомиздат, 1976.

122. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. Пер. с англ. М.: Госатомиздат, 1960.

123. Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. Линейный анализ. М.: Атомиздат, 1973.

124. Ершов Ю.И., Шихов С.Б. Математические основы теории переноса. Т.1. М.: Энергоиздат, 1985.- • .

125. Ершов Ю.И., Шихов С.Б.(Математические основы теории переноса. Т.2. Приложения к физике реакторов. М.: Энергоатомиздат, 1985.

126. Фейиберг С.М., Шихов С.Б., Троянский В.Б. Теория ядерных реакторов. Т.1. Элементарная теория реакторов. М.: Атомиздат, 1978.

127. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1978.

128. Давыдов В.И., Шихов С.Б. Аналитические методы решения газокинетического уравнения переноса^нейтронов (приближенные представления). М.: Атомиздат, 1975.

129. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. // Труда матем. института им. В.А. Стеклова СССР. 1961.Т.61. с. 3- 158.

130. Смелов В.В. Лекции по теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1978.

131. Кольчужкин A.M., Учайкин В.В. Введение в теорию прохождения частиц через вещество. М.: Атомиздат, 1978.

132. Сабаев Е.Ф. Системы сравнения для нелинейных дифференциальных уравнений и их приложения в динамике реакторов. М.: Атомиздат, 1980.

133. Горяченко В.Д. Методы теории устойчивости в динамике ядерных реакторов. М.: Атомиздат, „1971. „ . . „.

134. Морозов И.И., Герлига В.Н. Устойчивость кипящих аппаратов. М.: Атомиздат, 1969.

135. Марчук Г.И. Методы расчета ядерных реакторов. М.: Госатомиздат, 1961.

136. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1971.

137. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

138. Крамеров А.Я., Шевелев Я.В. Инженерные расчеты ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1964.

139. Хетрик Д. Динамика ядерных реакторов. Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1975.

140. Хитчкок А. Устойчивость ядерных реакторов. Пер. с англ. М.: Госатомиздат, 1963.

141. Гози М., Кахан Т. Управление ядерными реакторами. М.: Госатомиздат, 1960.

142. Емельянов И.Я., Константинов Л.В., Ефанов А.И. Научно- технические основы управления ядерными реакторами. М.: Энергия, 1980.

143. Гермогенова Т.А. Локальные свойства решений уравнения переноса. М.: Наука, 1986.

144. Агошков В.И. Некоторые вопросы теории и приближенного решения задач теории переноса. М.: Отдел вычисл. мат. АН СССР, 1984.

145. Рудик А.П. Оптимизация физических характеристик ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1979.

146. Хромов В.В., Кузьмин A.M., Орлов В.В. Метод последовательной линеаризации в задачах оптимизации реакторов на быстрых нейтронах. М.: Атомиздат, 1978.

147. Рудик А.П. Оптимальное расположение ядерного горючего в реакторе. М.: Атомиздат, 1974.

148. Теория ядерных реакторов. Под ред. Г. Биркхофа и Э. Вигнера. Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1963.

149. Шихов С.Б., Щукин 11.В. Динамика реакторов. Учебное пособие. М.: МИФИ, 1982.

150. Многогрупповое приближение в теории переноса нейтронов. // М.Н. Николаев, Б.Г. Рязанов, М.М. Савоськин, А.М Цибуля. М.: Энергоатомиздат, 1984.

151. Методы расчета полей тепловых нейтронов в решетках реакторов. // Под ред. Я.В. Шевелева. М.: Атомиздат, 1974.

152. Румянцев Г.Я. Линейно-алгебраическая теория переноса нейтронов в плоских решетках. М.: Атомиздат, 1979.

153. Румянцев Г.Я. Обобщенные распределения нейтронов. М.: Энергоатомиздат, 1989.

154. Ершов Ю.И., Шихов С.Б. Методы решения краевых задач теории переноса. М.: Атомиздат, 1975.

155. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.

156. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984.

157. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение. М.: Мир, 1988.

158. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

159. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

160. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990.

161. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991.

162. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: о г маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988.

163. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Ижевск: PXD, 2002.

164. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A. Нестационарные диссипативные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.

165. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. Изд. 2-ое. М.: УРСС, 2002.

166. Нелинейные волны. //Сб. статей. Под ред. А. В. Гапонова-Грехова. М.: Наука, 1979.

167. Пссии Я.Б: Общая -теория гладких гиперболических динамических систем. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ. 1985.С. 123-173.

168. Нитецкп 3. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975.

169. Странные аттракторы. М.: Мир, 1981.

170. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкип С.Э. Теория колебаний. Фнзматиз, 1959.

171. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев 11.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976.

172. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные . направления. Т. 1,2. М.: ВИНИТИ, 1985.

173. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т.28. М.: ВИНИТИ, 1987. . . . .

174. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир, 1983.

175. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: 1980.

176. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997.

177. Малинецкий Г.Г. Математический основы синергетики. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. М.: УРСС, 2005.

178. Нелинейные волны: самоорганизация. // Сб. статей. Под ред. А. В. Гапонова-Грехова и М.И. Рабиновича. М.: Наука, 1983.

179. Нпколис Г., Пригожии И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979.

180. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.

181. Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов А.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических' уравнений. М.: Наука, 1987.

182. Боуэн Р. Методы символической динамики. М.: Наука, 1979.

183. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. М.: Мир, 1984.76,11,78,79,80,81,82,83,84,85;86,87