Системы осцилляторов в различных случайных и детерминированных внешних полях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Меликян Маргарита Врежовна

• Меликян Маргарита Врежовна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Меликян Маргарита Врежовна

1.1 История и истоки вопроса

1.2 Основная модель

1.3 Цель и задачи диссертации

1.4 Положения, выносимые на защиту

1.5 Объект и предмет исследования

1.6 Методы исследования

1.7 Теоретическая и практическая ценность работы

1.8 Апробация работы

1.9 Структура и объем работы

1.10 Содержание работы

1.11 Благодарности

2 Гамильтоновы счетные системы с локальным внешним воздействием - стационарным процессом

2.1 Модель и основные результаты

2.2 Доказательства

2.2.1 Доказательство предложения

2.2.2 Доказательство Теоремы

2.2.3 Доказательство Теоремы

2.2.4 Доказательство Теоремы

3 Счетная система гармонических осцилляторов без внешнего воздействия - возможность резонанса

3.1 Модель и результаты

3.1.1 Равномерная ограниченность

3.1.2 Асимптотическое поведение

3.1.3 Замечания

3.2 Доказательства

3.2.1 Доказательство Теоремы

3.2.2 Доказательство Теоремы

3.2.3 Доказательство Теоремы

4 Конечные системы частиц под действием локальной внешней силы — гармонической и стационарного случайного процесса

4.1 Конечная система частиц под действием локальной гармонической силы. Условия резонанса

4.1.1 Основные результаты

4.1.2 Доказательства

4.1.2.1 Доказательство Теоремы

4.1.2.2 Доказательство Теоремы

4.2 Конечная система гармонических осцилляторов с локальным внешним взаимодействием - стационарным процессом

4.2.1 Результаты

4.2.2 Доказательства

5 Счетная негамильтонова система частиц. Условия ограниченности

5.1 Результаты

5.1.1 Устойчивость

5.1.1.1 Движение, близкое к стационарному

5.1.1.2 Нестационарные начальные условия

5.1.1.3 Плотность потока

5.1.1.4 «Ограниченная» устойчивость

5.1.2 Неустойчивость

5.2 Устойчивость: доказательства

5.2.1 Теорема 5.3, Следствие 1, Замечание

5.2.2 Теорема

5.2.3 Теорема

5.2.4 Теоремы 5.5 и

5.2.5 Теорема

5.3 Неустойчивость: доказательства

5.3.1 Теорема

5.3.2 Спектр, Теорема 5.8 и Следствие

5.3.2.1 Замечания о спектре

5.3.2.2 Доказательство Теоремы

5.3.2.3 Следствие

б Заключение SS

Список литературы

Глава 1 Введение

1.1 История и истоки вопроса

Методы исследования многих систем в физике носят вероятностный характер: как правило исследователи описывают, как движение частиц системы влияет на усредненную картину поведения системы в целом. Естественно, что подобные задачи давно привлекли к себе внимание математиков, желающих с надлежащей математической строгостью вывести, каково же будет равновесное состояние системы и каким образом она к этому состоянию придет.

Первоначально предметом изучения стали краевые задачи для дифференциальных уравнений (что произошло в связи с появлением дифференциального исчисления в XVIII веке), в которых вероятность отсутствовала вовсе, однако постепенно спектр задач становился все шире. И вот уже в XX веке широкий круг исследователей заинтересовался задачами, которые в статистической механике относят к так называемым равновесным системам.

Здесь нельзя не отметить цикл работ [1, 2, 3, 4], в которых исследуются цепочки гармонических осцилляторов с различными случайными начальными условиями (у этой же группы авторов есть и более ранние работы, однако приведенные выше видятся основными). Интерес к подобным моделям не угас до сих пор, см., например, [5].

Однако равновесная статистистическая механика отвечает лишь на вопрос, какова инвариантная вероятностная мера, и позволяет исследовать огромное количество ее глубоких свойств. Неравновесная же статистическая механика начинается с проблемы сходимости к инвариантной вероятностной мере. Нужно отметить, что задача сходимости к равновесию возникает естественно и в задачах, отличных от физических, в частности, в транспорте, и других. При этом нужно отметить, что задачи сходимости к равновесию могут сильно различаться тем, какую динамику мы при этом имеем в виду: в какой степени внешнее воздействие случайно. В частности, представляют большой интерес задачи, где случайность сведена к минимуму, но тем не менее играет основную роль и без нее никакой сходимости не будет (см. [6]).

Причем случайность может быть введена разными способами. Например, в ряде работ, где

исследуется поток тепла в конечной неупорядоченной цепочке осцилляторов, случайными могут предполагаться массы частиц (см. [7, 8, 9, 10]).

Случайными также могут быть начальные условия или же внешнее воздействие. Здесь хочется отметить работы Дудниковой Т.В., например, [11, 12, 13], статью Лыкова А.А. [14], а также цикл физических работ (выполненных скорее в математическом духе) [15, 16, 17, 18]. Наиболее близкими к модели, рассмотренной в Главе 3 настоящей работы, являются работы [11, 12], где автор исследует взвешенные /2-нормы бесконечных гармонических цепочек, в свою очередь предмет нашего рассмотрения - максимум-норма.

Основная сложность данного круга задач состоит в том, что рассматриваемые системы предполагаются состоящими из большого числа частиц N, лежащими в одномерном или многомерном пространстве, причем N здесь очень велико. Как известно, уже при N = 3 задача полного описания траекторий частиц (известная задача трех тел) в общем случае не имеет решения в виде конечных аналитических выражений. Ввиду того, что число частиц в системе огромно, естественным образом возникли работы, изначально рассматривающие системы бесконечного числа частиц. В последнем случае речь может идти об описании сплошных сред, см., например, [19]).

В числе прочего было упомянуто моделирование транспортных потоков. Подобные задачи стали популярны уже лет пятьдесят назад, см. подробнее обзор [20]. Причем и здесь возникают как макро-, так и микромодели. Макроподход не разделяет транспортные единицы друг от друга и использует аналогию с потоком жидкости в гидродинамике ([21, 22]). Также очень популярны стохастические микромодели, в которых используются многие типы стохастических процессов ([23, 24, 25, 26, 27, 28]).

Большинство указанных работ рассматривают системы связанных гармонических осцилляторов и их обобщения, что не случайно - это классический объект изучения в математической физике, как и в самой физике. Дело в том, что в физике модель гармонического осциллятора играет важную роль, особенно при исследовании малых колебаний систем около положения устойчивого равновесия. Существование решений соответствующих уравнений и их эрго-дические свойства были изучены в [29]. Также было проведено обширное исследование сходимости к равновесию счетной гармонической цепочки, находящейся в контакте с термостатом [2, 13, 30, 31]. Свойство равномерной ограниченности траекторий частиц системы (по времени t и номеру частицы к) особо важно для некоторых приложений. Например, равномерная ограниченность траекторий частиц в конечной гармонической цепи позволяет вывести уравнения Эйлера и газ Чаплыгина (уже упомянутая статья [19]). Равномерная ограниченность траекторий частиц в односторонней несимметричной гармонической цепочке играет важную роль в некоторых моделях транспортного потока [50].

1.2 Основная модель

В настоящей работе мы будем рассматривать большие системы частиц (счетные и конечные) при различных случайных и детерминированных внешних воздействиях. При этом взаимодействия между частицами мы рассматриваем только в рамках классических законов Ньютона (см. [19, 32, 33, 34]).

Рассматривается не более чем счетная система точечных частиц единичных масс на вещественной прямой К с координатами {хки скоростями {гк}кез, где 1 С Ъ. Определяем формальный гамильтониан (общую энергию системы) посредством формулы:

2

Н(х(1),г(1)) = £ | + £ ^(Хк(г) - М)2 + £ ^(Хк(*) - х(*) - (к - 3)й)2,

ке1 ке1 , . тт

к,з е 1 к =

где параметры й > 0, акк ^ 0, (V)т = акт - линейный оператор в некотором линейном пространстве (в каждой модели условия на него будут оговариваться отдельно). Формальным данный гамильтониан мы называем потому, что в случае счетного 1 встает вопрос о сходимости участвующих в определении рядов. При этом первая сумма отвечает кинетической энергии системы, а оставшееся - потенциальной. А именно, вторая сумма в гамильтониане означает, что частица с номером к, где акк > 0, является гармоническим осциллятором (осцилляция происходит около положения кй), последняя же сумма отвечает за взаимодействие между частицами с номерами к и 3, где акт = 0, причем в зависимости от знака акт(хк(¿) - хт-(¿) - (к -3)й) имеют место притяжение или отталкивание между соответствующими частицами расстояние (к - 3)й здесь является тем расстоянием, к которому эти частицы «стремятся». Динамика частиц определяется не более чем счетной системой ОДУ:

дН

Хк = - дХН = -акк (Хк (¿) - кй) + ^ акт (хк (^ - хт (г) - (к - 3)й), к е 1, (1.1) дхк 3 е

3=к

с начальными условиями Хк(0),гк(0). Положением равновесия (минимумом энергии) будет:

хк = кй, гк = 0, к е

Это означает, что если начальные условия находятся в положении равновесия, то частицы не будут двигаться, т.е. будем иметь хк(г) = кй, гк(г) = 0 для всех г ^ 0. В таком случае будет удобно перейти к новым переменным - отклонениям:

Як(г) = Хк - кй, рк (г) = 4к(г) = гк (г).

Легко видеть, что новые переменные дк(¿) удовлетворяют следующей системе ОДУ:

Чк = -аккЧк + ^ ак,з(Чк(^ - Чзк е 1. (1.2)

3 е 1 3 = к

В главах 2 и 4 будут сразу исследоваться именно отклонения Чк (¿), к е

1.3 Цель и задачи диссертации

Диссертационная работа преследует следующую цель:

Исследовать возможные условия возникновения резонанса в больших системах частиц с взаимодействием, в которых внешнее воздействие (случайное или же детерминированное) локально.

1.4 Положения, выносимые на защиту

Основные результаты диссертации заключаются в следующем

1. В случае счетной одномерной цепочки с ограниченным радиусом взаимодействия между частицами, на одну из которых действует стационарный в широком смысле процесс, получено представление решения (траекторий) в виде суммы двух процессов - сходящегося почти наверное к нулю и стационарного в широком смысле. Найден предел средней энергии системы в этом случае.

2. При дополнительных условиях на внешнее воздействие в модели из пункта 1 получено предельное распределение для решения, найдена его средняя энергия.

3. Для конечной цепочки с тем же внешним воздействием на одну выделенную частицу, что и в пункте 1 , найдены условия, приводящие к явлению резонанса, посчитана средняя энергия системы в случае его отсутствия, а также порядок роста (по времени) в случае резонанса.

4. Для счетной цепочки, начальные условия для частиц в которой лежат в 12(Ъ), найден возможный порядок роста траекторий частиц системы, условия их ограниченности, асимптотическое поведение (по времени и по номерам частиц).

5. Для конечной цепочки, в случае, когда на одну выделенную частицу действует гармоническая сила, получены условия ограниченности траекторий системы, при этом найдены оценки для траекторий и скоростей частиц, в случае возникновения резонанса найден порядок роста кинетической, потенциальной и полной энергий системы.

6. Для негамильтоновой системы частиц с локальным взаимодействием и диссипативной силой, действующей на каждую частицу, получены в зависимости от параметров а,ш,й системы

(их смысл см. в Главе 5), а также в зависимости от начальных условий и от движения лидирующей частицы (от ее скорости и ускорения) условия ограниченности траекторий, условия отсутствия столкновений между частицами, а также конкретные оценки в каждом из случаев.

1.5 Объект и предмет исследования

Объектом исследования являются не более чем счетные системы точечных частиц с квадратичным взаимодействием конечного радиуса, в которых на одну из частиц может действовать случайная или детерминированная внешняя сила.

Предметом исследования являются условия ограниченности траекторий частиц, условия возникновения резонанса, порядок роста (средних) кинетической, потенциальной и полной энергий этих систем.

1.6 Методы исследования

В работе используются методы исследования гамильтоновых систем, как классические, так и используемые в статьях [6, 14, 19, 32, 33, 34, 46]. Эти методы включают в себя методы теории случайных процессов, линейной алгебры, математического, гармонического и функционального анализа.

1.7 Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения более сложных систем частиц с взаимодействием. В частности, может быть рассмотрен более общий класс внешних сил, а также может быть исследовано движение частиц не в К^, ё е N а на окружности и более сложных графах, что в дальнейшем может приблизить нас к пониманию как физических процессов (распространение энергии), так и биологических (строение так называемых «длинных» молекул»), а также траспортных задач.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Системы осцилляторов в различных случайных и детерминированных внешних полях»

1.8 Апробация работы

Результаты опубликованы в семи статьях [49, 50, 51, 52, 53, 54, 55], и тезисах [56, 57, 58], в журналах, удовлетворяющих положению о присуждении учёных степеней в МФТИ. Результаты диссертации были представлены на следующих всероссийских и международных конференциях: 1). Транспортные потоки без водителя, Меликян М.В., Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2015", Москва, Россия, 13-17 апреля 2015.

2). Возможно ли движение без водителя?, Лыков А.А., Меликян М.В., 1-я российская конференция "Социофизика и социоинженерия", МГУ им. М.В.Ломоносова, Москва, Россия, 6-11 июня 2015.

3). Stability and admissible densities in transportation flow models, Малышев В.А., Меликян М.В., Лыков А.А., Distributed computer and communication networks (DCCN-2015): Control, Computation, Communications, Institute of control Science RAS, Россия, 19-22 октября 2015.

4). Микро детерминистический подход в теории транспортных потоков, Лыков А.А., Меликян М.В., Малышев В.А., Отчетная транспортная конференция за 2015 год, МЦНМО, ауд.401, Москва, Россия, 26 декабря 2015.

5). Фазовая диаграмма в одной микромодели транспортного потока, Меликян М.В., Лыков А.А., Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2016", МГУ им. М.В. Ломоносова, Россия, 11-15 апреля 2016.

6). Новые применения стохастических методов в физике (Пленарный), Лыков А.А., Меликян М.В., Малышев В.А., International Conference on Stochastic Methods, Пансионат "Моряк" Новороссийского морского пароходства, Россия, 27 мая - 3 июня 2016.

7). Искусственный интеллект на дорогах, Лыков А.А., Меликян М.В., Малышев В.А., Двенадцатый Международный научный семинар "Дискретная математика и ее приложения" имени академика О. Б. Лупанова, МГУ, Россия, 20-25 июня 2016.

8). New ideas in the non-equilibrium statistical physics and the micro approach to transportation flows (Пленарный), Lykov A.A., Melikian M.V., Malyshev V.A., Stochastic and Analytic Methods in Mathematical Physics, Ереван, Армения, 4-11 сентября 2016.

9). Phase transitions in deterministic traffic flow model, Lykov A.A., Melikian M.V., Malyshev V.A., VIII Московская международная конференция по Исследованию Операций (0RM2016), Москва, Россия, 17-22 октября 2016.

10). Нетрансляционно инвариантная динамика бесконечной гармонической цепочки, Мели-кян М.В., Лыков А.А., XXV Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов - 2018", Москва, Россия, 9-13 апреля 2018.

11). Вопросы ограниченности при малом внешнем воздействии на бесконечную систему частиц, Меликян М.В., Лыков А.А., XXVI Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2019", МГУ имени М.В.Ломоносова, Россия, 8-12 апреля 2019.

12). Stability problems for infinite linear chains (Пленарный), Lykov A., Malyshev V., Melikian M., 4th International Conference on Stochastic Methods, пос. "Дивноморское" (г. Новороссийск), Россия, 2-9 июня 2019.

13). Long-time behaviour of infinite chain of harmonic oscillators (Пленарный), Малышев В.А., Лыков А.А., Меликян М.В., Stochastic and Analytic Methods in Mathematical Physics, Ереван, Армения, Армения, 2-7 сентября 2019.

14). О равномерной ограниченности уклонений в бесконечной системе частиц, Лыков А.А., Меликян М.В., Третья Санкт-Петербургская зимняя молодежная конференция по теории вероятностей и математической физике, Санкт-Петербург, Россия, 16-18 декабря 2019.

15). Динамика бесконечной цепочки гармонических осцилляторов при случайном возмущении, Меликян М.В., XXVII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2020", Москва, Россия, 10-27 ноября 2020.

16). Resonances in Large Systems with Random External Force (Пленарный), Lykov A.A., Malyshev V.A., Melikian M.V., Zamyatin A.A., The 5th International Conference on Stochastic Methods (ICSM-5), November 23-27, 2020, Moscow, Russia, Онлайн, Россия, 23-27 ноября 2020.

17). Сходимость к равновесию бесконечной трансляционно инвариантной системы частиц на прямой под действием слабо случайной внешней силы, Лыков А.А., Меликян М.В., Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2021", 12-23 апреля 2021.

18). Stochastic fluctuations and flows in large particle systems (Пленарный), Lykov A.A., Malyshev V.A., Melikian M.V., Zamyatin A.A., International Conference "Theory of Probability and Its Applications: P.L. Chebyshev - 200" (The 6th International Conference on Stochastic Methods), online, 17-22 May 2021.

19). Большая система осцилляторов с ультралокальным воздействием случайного стационарного внешнего поля, Меликян М.В., XXIX Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2022", Россия, 11-22 апреля 2022.

20). Ряды Фурье в многочастичных системах, Меликян М.В., Лыков А.А., XXVIII Международная конференция "Математика, Экономика, Образование XII Международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения г. Новороссийск, Россия, 27 мая - 3 июня 2022.

21). Сохранение энергии при случайном локальном воздействии на большую систему, Mе-ликян M., 7th International Conference on Stochastic Methods, пос. "Дивноморское" (г. Новороссийск), Россия, 2-9 июня 2022.

1.9 Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Текст работы изложен на 95 страницах. Список литературы содержит 58 наименований.

1.10 Содержание работы

Во введении формулируется цель работы, кратко излагаются ее результаты и содержание, а также освещается место данных исследований в современной механике больших систем.

Содержание главы 2

Во второй главе рассматривается влияние стационарных процессов на поведение счетных гамильтоновых систем частиц, радиус взаимодействия в которых конечен. Важно, что спектр оператора взаимодействия при этом строго положителен (то есть рассматривается оператор с положительным непрерывным спектром). Данное условие необходимо, чтобы в отсутствие внешних сил частицы не «уходили на бесконечность», то есть чтобы траектории были ограниченны. Возмущение системы стационарным процессом локально - действие происходит на одну фиксированную частицу системы. При этом в случае счетной системы, в которой на одну из частиц действует стационарный в широком смысле процесс, получено представление решения (траекторий) в виде суммы сходящегося почти наверное к нулю и стационарного в широком смысле процессов. Найдена асимптотика средней энергии системы. В случае, когда стационарный в широком смысле процесс является также стационарным в узком смысле, получено предельное распределение для решения, найдена его (предельного распределения) средняя энергия.

Содержание главы 3

В третьей главе исследуется счетная гамильтонова система гармонических осцилляторов (на вещественной прямой), где взаимодействие имеет место только между частицами, которые являются соседними в начальный момент времени. Рассмотрен случай начальных условий, лежащих в пространстве 12(Ъ) (и вектор начальных положений я(0) е 12(Ъ), и вектор начальных скоростей p(0) е 12(Ъ)). Выяснено, что в отличие от конечной системы, где резонанс может быть обусловлен лишь внешним воздействием, в счетной системе резонанс возникнет без всяких внешних воздействий, лишь в зависимости от начальных условий. Найден возможный порядок роста траекторий частиц системы (не более const^Уi), условия их ограниченности, асимптотическое поведение (по времени и по номерам частиц).

Результаты будут также иметь место, если предположить, что случайные начальные условия лежат в 12(Ъ) почти наверное.

Содержание главы 4

Четвертая глава посвящена рассмотрению как детерминированного, так и случайного воздействия на конечную гармоническую систему. Матрица взаимодействия вновь выбирается положительно определенной.

В первой части главы внешнее воздействие оказывается на одну выделенную частицу и является гармонической силой. Отсюда легко понять, какова будет картина и в случае воздействия на большее число частиц системы или же в случае, когда на одну и ту же частицу действует несколько гармоник (вплоть до рассмотрения силы, тригонометрический ряд которой совпадает с ней самой). В этой модели получены условия ограниченности траекторий системы, при этом

найдены оценки для траекторий и скоростей частиц, в случае возникновения резонанса найден порядок роста кинетической, потенциальной и полной энергий системы.

Во второй части главы внешнее воздействие моделируется стационарным в широком смысле процессом. В данном случае найдены условия, приводящие к явлению резонанса, посчитана средняя энергия системы в случае его отсутствия, а также порядок роста (по времени) в случае резонанса.

Содержание главы 5

В пятой главе рассматривается уже негамильтонова система частиц (имеется в виду, что взаимодействие несимметрично) с локальным взаимодействием и диссипативной силой, действующей на каждую частицу, какая обычно является следствием последовательности случайных событий (см. [48]). Данная модель имеет не только физическую, но и «практическую» интерпретацию - может рассматриваться как модель движения цепочки транспортных средств, где только лидирующая машина движется согласно некоторому закону, а остальные «подстраиваются» под ее движение. Можно считать, что в машине-лидере есть водитель, в то время как в остальных их нет. В этом случае задача исследования отсутствия столкновений и асимптотического поведения частиц будет интерпретирована как вопрос поиска параметров системы, при которых возможно безопасное устойчивое движение. Здесь получены в зависимости от параметров a,u,d системы (их смысл см. в Главе 5), а также в зависимости от начальных условий и от движения лидирующей частицы (от ее скорости и ускорения) условия ограниченности траекторий, условия отсутствия столкновений между частицами, а также конкретные оценки на расстояния между частицами при всех моментах времени в каждом из случаев.

1.11 Благодарности

Автор выражает благодарность своему научному руководителю д-ру физ.-мат. наук проф. Малышеву В.А. и канд. физ.-мат. наук н.с. лаборатории Больших случайных систем Лыкову А.А. за постановку задач и ценные обсуждения в ходе работы над диссертационной работой. Также автор благодарен всему коллективу кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ за поддержку и вдохновляющую атмосферу науки и творчества.

Глава 2

Гамильтоновы счетные системы с локальным внешним воздействием -стационарным процессом

2.1 Модель и основные результаты

Рассмотрим счётную систему гармонических осцилляторов на прямой с формальным гамильтонианом:

где рт е К - отклонение и импульс частицы соответственно, функция а(к) удовлетворяет трем условиям:

1. симметрия: а(к) = а(-к);

2. ограниченность носителя, то есть: существует К е N такой, что для всех |к| > К выполняется равенство а(к) = 0;

3. для всех Л е К верно, что:

Предположим, что на частицу с номером п е Ъ действует внешняя сила f (г). Тогда движение системы описывается следующей бесконечной системой ОДУ:

к

где 8]уП - символ Кронекера. Мы будем предполагать, что f (г) случайный процесс, удовлетворяющий следующему условию:

(2.1)

(2.2)

А1) вещественнозначный центрированный стационарный в широком смысле с непрерывной ковариационной функцией.

Начальные условия (0)}з-, |рт-(0)}з- мы будем считать лежащими в ¡2(Ъ). Точнее, будем считать, что начальные условия лежат в гильбертовом пространстве Ь:

Будем говорить, что последовательности случайных процессов {як(г)}кеъ, {рк(г)}кеъ решают систему уравнений (2.2), если они непрерывно дифференцируемы в среднеквадратичном и при их подстановке правая и левая части равны почти наверное. Точнее, что для всех ] е Ъ выполняются равенства

с вероятностью единица.

Справедлива следующая лемма о существовании и единственности решения основной системы (2.2).

Предложение 2.1.1. Пусть выполняется условие А1) . Тогда для любого ф е Ь существует, и единственно решение ф(г) = (д(г),р(г)) системы (2.2) с начальным условием ф, такое что Р(ф(г) е Ь) = 1 для всех г ^ 0.

Под единственностью здесь понимается, что если существует другое решение <р(г) системы (2.2) с начальным условием ф, такое что Р(<р(г) е Ь) = 1 для всех г ^ 0, то ф(г) и (р(г) стохастически эквивалентны, т.е. Р(ф(г) = <р(г)) = 1 для всех г ^ 0.

Нас интересует вопрос о том, как ведёт себя решение ф(г) и средняя энергия системы ЕН(ф(г)) при г ^ то. Перед тем, как сформулировать основные результаты, введём ещё одно условие на внешнюю силу.

Рассмотрим множество Е = {ш2(Л) : Л е К} — область значений функции ш2(Л) (спектральное множество нашей системы). Так как ш2(Л) тригонометрический многочлен, то Е -это отрезок [е\; е2] вещественной прямой. Обозначим ^(йх) спектральную меру процесса f (г) и введём условие:

А2) носитель спектральной меры ^ изолирован от плюс-минус «корня» множества Е, т.е. существует открытое множество и, содержащее ±[Л/ё\^ ^/ё^], такое, что ^(и) = 0.

Теорема 2.1. Предположим, что выполняются условия А1) и А2) и ф(0) = (д(0),р(0)) е Ь. Тогда существует случайный стационарный процесс п(£) = (^х(г),гр'х(г)) такой, что выполняются следующие условия:

1. п(г) является решением системы (2.2);

Ь = {ф = (д,р): я е ¡2(Ъ), р е ¡2(Ъ)}.

Яз = рз ,

к

2. разность ö(t) = -0(t) — n(t) стремится к нулю при t ^ покомпонентно с вероятностью единица, т.е. для всех k P Sk(t) = 0) = 1, при этом траектории процесса непрерывны и бесконечно дифференцируемы п.н.;

3. каждая компонента rj(t) является стационарным процессом, удовлетворяющим условию А1) и P(n(t) е L) = 1 для всех t ^ 0;

4. существуют положительные константы c1,c2 и 0 < r < 1 такие, что

Dq™ (0) ^ cir|n-k|, Dp~(0) ^ C2r|n-k|.

Таким образом, процесс ф^) в некотором смысле близок к стационарному процессу n(t). Кроме того, n(t) обладает "хорошими" свойствами. В частности, дисперсия компонент п(0) убывает экспоненциально с ростом расстояния до точки приложения внешней силы.

Из сформулированного утверждения, вообще говоря, не следует слабая сходимость компонент -0(t) к соответствующим компонентам п(0). Однако можно доказать следующее утверждение:

Теорема 2.2. Дополнительно к условиям А1) и А2) предположим, что f (t) стационарный в узком смысле процесс. Тогда каждая компонента ф(^) сходится по распределению к соответствующей компоненте п(0), то есть для всех k е Z имеет место сходимость

Law(qk(t)) ^ Law(q£°(0)), Law(pfc(t)) ^ Law(p^°(0))

при t ^ то.

Сформулируем теоремы о средней энергии системы. Теорема 2.3. Пусть выполняются условия А1) и А2), тогда

lim EH(ф^)) = а + H(ф(0)), EH (п(0)) = а,

где мы ввели следующую константу

1 [ [2п ^2(Л) + x2 ^

а = 4п JJ, (Ы2(Л) — x2)2 ^^

Таким образом, предел по времени средней энергии системы в общем случае отличается от средней энергии предельного распределения, которое не зависит от начального уровня энергии, однако они будут совпадать в случае нулевых начальных условий.

2.2 Доказательства

Для начала отметим, что из спектральной теории следует, что для f (t) - стационарного в широком смысле центрированного случайного процесса:

B (s)= / eis:>(dx), f (s) = [ eiSXZ (dx), (2.3)

JR JR

где Z(dx) - ортогональная мера, ^(dx) - спектральная мера, а B(s) - ковариационная функция.

2.2.1 Доказательство предложения 2.1.1

Обозначим V - линейный оператор над Z, соответствующий {a(k)}, (то есть Vk,j = a(k — j) = a(j — k)).

Для всех ф G L имеем, что преобразование Фурье ф(А) G L2([0; 2п]), где ф(А) = (д(А),р(А)), //(А) = ^keZ eifcA. Тогда Vq(A) = w2(A)g(A). Действительно,

Vq(A) = £ £ a(k — j )qk ej = £ £ a(l)ei(k-l)Aqk = jez kez, |fc-j|<K kez iez, |i|^K

= £( £ a(—l)e-iix)eikx qk = £( £ a(l)eilA)eikAqk = ^2(А)/(А). kez lez, |i|<K kez iez, |i|^K

Далее, оператор V - положительно определенный:

£ a(k — j)qkqj = (q, Vq) = (/, Vq) = (/(A), ^2(A)q(A)) = ^2(А)(/(А), /(А)) > 0, kjez

при q = 0 ввиду (2.1). Здесь во втором равенстве использованно, что если x, y G l2, то (x, y) = (X,/), где x - преобразование Фурье элемента x, то есть что (qi, q2)l2(Z) = /q^ q^A^^dA. Также нам понадобится оператор в L:

A = ( 0 E

—V 0

Перепишем систему (2.2) в гамильтоновом виде:

qj = Р' • (2.4)

Jj = — Eka(k — j )qk + f (t)^>.

Введем вектор ф(£) = ( q( ) ). Тогда система перепишется в виде:

P(t) )

ф = Аф + f (t)g, (2.5)

g = (0, e„)T, 0, e„ G I2(Z), e„(j) = ij,„.

Единственность решения следует из линейности системы. Действительно, пусть ф(г) и (р(г) -решения системы (2.5) с одним и тем же начальным условием. Тогда 8(г) = ф(г) — <р(г) является решением однородного уравнения

8 = А8, (2.6)

с нулевым начальным условием 8(0) = 0 и, более того, 8(1) Е Ь почти наверное для всех г ^ 0. Таким образом, аналогично аргументам классической теории ОДУ в банаховых пространствах имеем нужное утверждение (см. [35]).

Решение системы (2.5) может быть выражено классической формулой решения неоднородного ОДУ (см. [35]):

ф(г) = ел(ф(0) + [* е-л*д/(з)аз) = фо(£)+ фг(£),

где

фо(£) = елф(0), фг(1)= Г ел('-)д/(з)<1з. Отметим, что, так как V^ = а(г—]) и а(к) имеет ограниченный носитель, то оператор А является

т А +

ограниченным линейным оператором на Ь, следовательно, оператор ел является корректно определенным ограниченным оператором на Ь. Отсюда ф0 (г) Е Ь для всех г ^ 0. Далее перейдем к рассмотрению ф1(г). Для этого нам понадобится лемма

Лемма 2.4. Для оператора А верно:

А = ( см(^Уг) Ыу)-1 е у — ^У$\п(^Уг) соъ(^Уг) ),

где синус и косинус оператора определены соответствующими рядами.

Доказательство. Непосредственная проверка или см. [35]. □

Вернемся к доказательству предложения 2.1.1. Обозначим ф1(г) = , р(У (г))Т. Тогда из

леммы 2.4 следует:

Як

(1)

(г) = / (з)Бк,п(£ — 8^8, Б (г) = (л/У)-1 вт(у/Уь), (2.8)

,)0

р(к\г)= [ /(8)Ск,п(г — 8)й8,с(г) = со*(^уг). (2.9)

Jo

Отметим, что рассмотрение корня из оператора возможно ввиду его положительной определен-

1к](£)}к, Ы1

ности. Необходимо доказать, что {Як1(г)}к, {р(к1(£-)}к Е ¡2(^) почти наверное. Доказательство

опирается на лемму:

Лемма 2.5. Для всех Ь ^ 0 верно:

1 (2р)! 1 к'п| (2р +1)!

где 5(Ь) и С(Ь) определены в (2.8) — (2.9), V = || V^ , р = ^^ (здесь [ж] - это наименьшее целое число, не меньшее ж).

Доказательство. См. лемму 3.2 в [14] (стр. 7). □

Продолжим доказательство предложения.

E|qk1)(t)|2 = E ( Г f (s)Sfc>ra(t - s)dsf' f (т)Sfc>ra(t - т)dr

'0 ./0

rt rt

El / eiSXZ (dx) / e-iTy Z (dy) Sfc >ra(t - s)Sfc >ra(t - т )dsdT '0 JO V^R il /

tt

ei(s-r)xp(dx)Sfc >ra(t - s)Sfc >ra(t - т)dsdT

/0 JO Jl

tt

= / / B(s - т)Sfc)n(i - s)Sfc)n(i - т)dsdт < 00

< sup B(s) Г Г (t - s)2P+1 eW(t-s) vp(t - т)2p+ e^(t-т)dsdт <

< sSUUPt]B^ЧЛ (2p +1)! e (2p +1)! e dsdт <

/ vpt2p+2 \2

< sup B(s) -.

< e€[0pt] ( \(2p + 2)! J

Покажем корректность второго равенства. Возможность перестановки интегрирования и взятия математического ожидания следует из непрерывности ковариационной функции процесса f (s) (из условия) и существования интегралов

/ f (s)Sfc>ra(t - s)ds (2.10)

0

(в среднеквадратичном смысле) и интеграла Римана

tt

/ / B(s - т)& >ra(t - s)Sfc>ra(t - т)dsdт. (2.11)

00

Последний интеграл существует в силу непрерывности и ограниченности подынтегральных функций, а для существования интеграла (2.10) достаточно уже описанных условий (см. [36] стр. 94 - 129). Отсюда:

£E|q((1)(t)|2 < sup B(s) £ e^)2 < sup B(s)e2^2 £ ^ =

^ se[0,t] p \(2P + 2)! / se[0,t] p (2p)!

= sup B(s)e2^vtt2ch(vt2) < ж, se[o,t]

откуда по следствию из теоремы Леви о монотонной сходимости (см. [37] стр. 306) следует, что

£ lq{k1)(t)l2 < ж a.s.,

к

то есть [q(k'l(t)}k G l2(Z) почти наверное. Аналогично {p'k\t)}k G l2(Z) почти наверное. Утверждение доказано полностью.

2.2.2 Доказательство Теоремы 2.1

Введем п(г) формулой:

П(г) = — [ eitxRл(гx)Z(йх)д, Jм

где Rл(z) = (А — )-1 - резольвента оператора А (здесь I - единичный оператор над ZxZ), и докажем, что так введенный случайный процесс удовлетворяет всем условиям теоремы. При этом резольвента ограничена в силу условий Теоремы 2.1 (а именно, условия А2) стр. 13), откуда следует сходимость рассматриваемого интеграла.

Для начала докажем, что он является решением системы (2.4):

—'п(г) + Ап(г) + /(г)д = [ гxeitxRл(гx)Z(йх)д — [ eitxARл(гx)Z(йх)д + /(г)д =

Jм Jм

= [ еих^1 — A)Rл(гx)Z(сЬ;)д + [ еихZ^)д = Jм Jм

= [ е^^I — А)(А — гxI)-1 + I)Z^)д = 0. Jм

Внести дифференцирование под знак интеграла можно ввиду существования интеграла

/ ^л^д^л^д) ^¿я)

Jм.

(см. [38], стр. 94).

Доказательство пункта 4. Так как предельный вектор является стационарным, рассмотрим п(0) и для краткости обозначим его через £ = п(0). Так как Еп(0) = 0, то

соу(п3 (0),пк (0)) = Е% (0)пк (0) = Е&- £к. Далее, ввиду того, что имеет место соотношение

E fZ (dx) gZ (dx)) = fg^(dx)

имеем

с = Е££Т

еЛхRл(ix)ggTRл(ix)Tе ^р.^) = Rл(ix)ggTRл(ix)т ^(dx).

(2.12)

Обозначим

С = Rл(ix)ggT Rл(ix)T.

Найдем резольвенту оператора А:

(2.13)

Rл(\) = (А — XI)

-1

—ХЕ Е -V -ХЕ

А В С В

Е0 0Е

откуда

таким образом

(—ХА + С) (—ХВ + В) (—УА — ХС) (—УВ — ХВ)

Е0 0Е

Rл(X)

—XRv (—Х2) —Rv (—Х2) Е — X2Rv (—Х2) —XRv (—Х2)

. —ixRV ^^ —RV ^^ л(х>=\ Е + x2Rv(x2) —ixRv(x2)

Rл(ix)g

—Rv ^2)еп —ixRV (x2)en

дтRл(ix)T = ^ — еПRV^^ , ixeтnRv(x2)j

Для удобства записи обозначим

тогда (2.13) приходит к виду:

р = Rv ^2),Г = епеТ,

(2.14)

С ^)

рГр —ix(рГр) ix(рГр) x2(рГр)

В (2.12) 4 ix(рГр) ^(dx) = 0, так как ^ - симметричная ввиду вещественности мера, xRV^^ - нечетная функция. Перейдем к интегралу /м рГр^(dx). Обозначим

процесса

Ск,з = (Сек,е3)= / (рГрек,е3)у(сЬ;),

(2.15)

Ск,з ^) = (рГрек ,е3) = (Грек, реj).

(2.16)

Отметим, что

Гx(X) = ^^J(Гx)j е^'' = xne"

— гт

ре.

ш2(Л) — ж2 ш2(Л) — ж2

.Л6*(Л),

Грек = (рек )„етЛ = (рек ,е„)етЛ = еггаЛ(рек ,еП) =

3тЛ л2п е-^е»^^^

2п Уо — ж2

отсюда ввиду самосопряженности оператора р:

(рГрек, е.) = (Грек ,ре.) = (-Трек ,ре}) = 1 \ 2 ^ е*(га-3)Л^Л Г2п е^(к-га)Л^Л

2п у у0 ш2(Л) — ж2 У0 ш2(Л) — ж2' и, учитывая четность и периодичность подынтегральных функций, приходим к

ч . 1 \2 Г2п сов((п — з)ЛШ Р2п ео8((к — п)ЛШ (рГрек,е. )= — ' '

у0 ш2(Л) — ж2 У0 ш2(Л) — ж2 '

Рассмотрим случаи:

1. з = к = п ^ Здесь

6ж(Л)со8((к — п)Л)^Л =-(6ж(Л)81п((к — п)Л)|Л=2п — 6Х(Л) в1и((к — п)Л)^Л) = У0 к У0

1 Р2п

= -(б£(Л)со8((к — п)Л)|Л=2п — у б£(Л)сов((к — п)Л)^Л) = ...,

таким образом имеет место экспоненциально быстрое убывание (быстрее любой степени, т.е. 1

(к-п)с

2. В остальных случаях рассмотрим

Ск,. = Ск,. (ж)р(^ж),

где Ск,.(ж) введено в (2.16). Обозначим:

Делаем замену г = егЛ:

^к (ж) = —

1 ^ е»(га-к)Л^Л

2п У0 ш2(Л) — ж2'

где

то есть

^к (ж) = -^т

1

2пг У Р(г) — ж2

N=1

гп-к-1¿г,

Р (г ) = ш2(Л)|л=Л(^

к

Р(г) = £а(з)е3Л = а(0) + ^а(з)(г3 + г-3).

3 .7 = 1

(2.17)

Нас интересуют корни уравнения

к

Р^) — т? = а(0) + ^ а(])(^ + z-j) — ! = 0, j=l

а(К Ук + ... + (—x2 + a(0))zк + ... + а(К) = 0. (2.18)

Очевидно, Р^) = Р(1/z),следовательно, если z - корень, то и 1/z - корень, таким образом, нули инвариатны относительно инверсии единичной окружности ^| = 1. Эти значения и являются значениями из спектра, который мы "избегаем". Итого имеем К инверсных пар, которые необходимо обойти. Можно выбрать кольцо (окрестность единичной окружности), где будет иметь место голоморфность обратной функции

д« = ■ <2Л9)

Для этого найдем максимальный по модулю корень уравнения (2.18), лежащий внутри единичного круга. Его модуль обозначим R(x). Тогда его инверсная пара имеет модуль, равный

, притом это будет наименьший модуль корней, лежащих вне единичного круга. Итак, д голоморфна в кольце

R(x) < < , 0 < R(x) < 1 < 1

R(x), ; R(x)'

Выберем 8 близким к нулю и обозначим через р = , тогда контур ^| = р лежит в кольце голоморфности д^), следовательно можно в (2.17) заменить контур интегрирования на рассматриваемый, тогда

"к « = ¿1 / Р^

\*\=р

оценим модуль:

1"к ^ ^ 1 / 1д^I = 2п § Ш1рп-к-1

\А=р \А=р

в последнем интеграле делаем замену z = рег1р, тогда

рп-к-1 г2п п-к г2п рп-к

1Нк^ 1д(рег1р)Ы<Р = ] 1д(регп^ = ^Ф).

Заметим, что так как существует -, такое что для всех x из М \ Е верно р ^ 1/-> 1, откуда 1/р ^ - < 1 и

дк-п

1"к^ ^ -2^r(x), Г -2(к-п) Г

Скк = &к ^ I"к^^р,^) ^ г2^)^^) ^ 0, к ^

Jм 4п2 Jм

если сходится / r2(x)^(dx). Докажем, что это в самом деле так:

1 [2п 1 г(х) = тг ^рОИр ^ тг шх ■2п = шх

где ) введено в (2.19). Заметим, что

|Р(г) - х2| ^ ||Р(г)| - х2| ^ ш1п{|/ - х2|, |£ - х21} > 0, (2.20)

где

I = I(р)= 1п£ |Р(г)|, £ = 5(р)= вир |Р(г)

а последнее строгое неравенство имеет место в силу выбора радиуса окружности р.

Далее, при р =1 отрезок [I(р), £(р)] совпадает с множеством Е. Так как I и £ - непрерывные функции от р, то существует такая окрестность точки р =1, что для любого р из этой окрестности отрезок [I(р), £(р)] лежит в и, где и определено в условии А2. Тогда существует положительная константа е > 0 такая, что для любого х Е К\и имеем неравенство:

|Р(г) - х2| ^ е > 0,

откуда

|д(*)| ^ 1.

Итого, для всех г : |г| = р,и всех х Е К\и имеем оценку:

1

г(х) ^ -.

е

При х ^ то функция функция г(х) убывает как -2 в силу оценки (2.20), откуда и следует

I функция г(х) убывает как 1

сходимость интеграла.

Далее приступим к пункту 3. Из пункта 4 следует, что начальные условия п(0) Е Ь. Действительно:

г|п-к| < С2У г|к| < то,

ЯдГ(0) ^ с^г|га-к| ^ с^г|к| < то, йеж йеж йеж

£ Вр- (0) ^ С2 £ г|п-к|^ С2

откуда по следствию из теоремы Леви о монотонной сходимости (см. [37] стр. 306) следует, что

2

]>>Г(0)|2 < то а.*.,

то есть {ок°(0) }к Е /2(^) почти наверное. Аналогично {р°(0)}к Е /2(^) почти наверное. Тогда из предложения 2.1.1 следует требуемое.

Докажем второй пункт. Разница ф(£) - п(£) в начальный момент времени лежит в Ь и является решением однородного уравнения, значит, покомпонентно стремится к нулю почти наверное. Действительно, $(£) = ф(£) - п(£) является решением однородного уравнения

$ = А$, (2.21)

с начальным условием $(0) Е Ь почти наверное для всех £ ^ 0, и имеет вид:

$(£) = еА' $(0) = еА

р(0)

Рассмотрим одну из координат:

))=(*" (з) ■ (:))=(- ( )■ (Г1 ' =<"

00^)*)^) + ) ( -и(Л)81п(и(Л)*)д(0)(Л) + со8(ш(Л)ф(0)(Л) / Д 0

= т1 Л (со8(^(Л)£)д(0)(Л) + ^Л 0, £ ^ то.

2п Л V ш(Л) /

В равенстве =(3) используются формулы (2.26) и (2.27). А стремление к нулю имеет место в силу следствия 2 в [39] (стр. 6), так как:

^ Jo2' (ССВИЛХШЛ) + p(0)(A) 1 dA

< -2=, (2,22)

где константа c не зависит от x. Действительно, следствие утверждает:

Следствие 2 (Архипов, Карацуба, Чубариков). Пусть g(x) - кусочно-монотонная непрерывная функция, p - число ее участков монотонности, |g(x)| = H. Пусть вещественная функция f (x) при 0 < x < 1 имеет производную n-го порядка, n > 1, причем при некотором A > 0 для всех 0 < x < 1 выполнено неравенство |f (n)(x)| ^ A. Тогда для G = /0 g(x)e2nif(x)dx верно:

|G| ^ Hmin{1; 24pnA-1/n}. (2.23)

Сделаем замену в интеграле (2.22):

2П /2П cosMA)t)q(0)(A) + Sin^Af @(A)) dA =

= £1 eik2nZ (cos(W(2n<)t)®)(2n<) + )) =

i /• i _

= - / cos (2nkZ) q(0)(2nZ) (eiiw(2nC) + e-iiw(2nC>) d(+ 2o

+- í sin (2nk() q(0)(2n() (ейш(2п° + в-йш(2пС)) d(+ 2 J 0

+- [1 cos (2nkZ) p(0(2nZ) (e^(2n0 - е-гМ2пО) d(+

2i J0 u(2nC)

+ - í1 sin (2nk() p(0)(2lZ) - е-йш(2п0\ d(,

2 Jo u(2nC)

таким образом необходимо оценить 8 интегралов. Рассмотрим один из них (для остальных оценка получается аналогично):

[1 s¡n(2nk() Щ^-^М.

Jo u(2nQ

Согласно обозначениям следствия д(() = sin (2nk() ^. Рассмотрим

к

ш2(2п() = а(0) + 2 ^ a(k) cos(2nk().

Как линейная комбинация косинусов это непрерывная и кусочно-монотонная на [0; 1] функция. Функция Н(1) = VI непрерывна и монотонна на всей области определения, откуда получаем, что композиция ш(2п() этих двух функций будет непрерывна и кусочно-монотонна на [0; 1]. Далее, ввиду (2.1), а также монотонности и непрерывности функции к\(1) = 1, функция непре-

рывна и кусочно-монотонна как композиция функций. Функция р(0)(2п£) также непрерывна как преобразование Фурье элемента из 12 отсюда д(() непрерывна и кусочно-монотонна как произведение функций с соответствующими свойствами. По теореме Вейерштрасса на [0; 1] она достигает на отрезке своего максимума, который обозначим за Н. Теперь рассмотрим I (С) = Ъ ). Эта функция п раз дифференцируема (можно взять произвольное п > 1):

2п

к

f'frt , t,0 ^ J^K=1 a(k)k sin(2nk()

f (() = tuj (2n() = -t----.

ш(2п()

f" (Z) = 2ntu"(2n() = -2nt

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Меликян Маргарита Врежовна, 2022 год

Литература

[1] Dobrushin R. L., Fritz J., Non-Equilibrium Dynamics of One-dimensional Infinite Particle Systems with a Hard-Core Interaction, Commun. math. Phys. 55, 1977, 275 — 292. 1.1

[2] Boldrighini C., Pellegrinotti A., Triolo L., Convergence to Stationary States for Infinite Harmonic Systems, Journal of Statistical Physics, v. 30, 1, 1983. 1.1

[3] Boldrighini C., Dobrushin R. L., Sukhov Yu. M., One-Dimensional Hard Rod Caricature of Hydrodynamics, Journal of Statistical Physics, v. 31, 3, 1983, 123 — 155. 1.1

[4] Dobrushin R. L., Pellegrinotti A., Suhov Yu. M., Triolo L., One-Dimensional Harmonic Lattice Caricature of Hydrodynamics, Journal of Statistical Physics, v. 43, 3/4, 1986. 1.1

[5] Bernardin C., Huveneers F., Olla S., Hydrodynamic Limit for a Disordered Harmonic Chain, Commun. Math. Phys. 365 : 215, 2019. 1.1

[6] Lykov A.A., Malyshev V.A., Convergence to equilibrium due to collisions with external particles, Markov Processes and Related Fields, v. 24, 2, 2018, 197 — 227. 1.1, 1.6

[7] Dyson F.J., The dynamics of a disordered linear chain, Phys. Rev., v. 92, 6, 1953, 1331 — 1338. 1.1

[8] Matsuda H., Ishii K., Localization of normal modes and energy transport in the disordered harmonic chain, Prog. Theor. Phys. Suppl., v. 45, 1970, 56 — 88. 1.1

[9] O'Connor A.J., Lebowitz J.L., Heat conduction and sound transmission in isotopically disordered harmonic crystals, J. Math. Phys., v. 15, 1974, 692 — 703. 1.1

[10] Casher A., Lebowitz J.L., Heat flow in regular and disordered harmonic chains, J. Math. Phys., v. 12, 8, 1971, 1701 — 1711. 1.1

[11] Dudnikova T.V., Behavior for Large Time of a Two-Component Chain of Harmonic Oscillators, ISSN 1061 — 9208, Russian Journal of Mathematical Physics, v. 25, 4, 2018, 470 — 491. 1.1

[12] Dudnikova T., Long-time asymptotics of solutions to a hamiltonian system on a lattice, Journal of Mathematical Sciences, 219, 1, 2016, 69 — 85. 1.1

[13] Dudnikova T., Komech A., Spohn H., On the convergence to statistical equilibrium for harmonic crystals, J. Math. Phys., 44, 6, 2003, 2596 - 2620. 1.1

[14] Lykov A.A., Energy Growth of Infinite Harmonic Chain under Microscopic Random Influence, Markov Processes and Related Fields, v. 26, 2020, 287 - 304. 1.1, 1.6, 2.2.1

[15] Kuzkin V.A., Krivtsov A.M., Energy transfer to a harmonic chain under kinematic and force loadings: Exact and asymptotic solutions, Journal of Micromechanics and Molecular Physics, J. Micromech. and Mol. Phys., 3, 1-2, 2018, 1850004. 1.1

[16] Hemmen J., Dynamics and ergodicity of the infinite harmonic crystal, Physics Reports, 65, 2, 1980, 43 - 149. 1.1

[17] Fox R., Long-time tails and diffusion, Phys. Rev. A, 27, 6, 1983, 3216 - 3233. 1.1

[18] Florencio J., Lee H., Exact time evolution of a classical harmonic-oscillator chain, Phys. Rev. A, 31, 5, 1985, 3221 - 3236. 1.1

[19] Lykov A., Malyshev V., From the N-body problem to Euler equations, Russian Journal of Mathematical Physics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), т. 24, 1, 2017, 79 - 95. 1.1, 1.2, 1.6

[20] Prigogine I., Herman R., Kinetic theory of vehicular traffic, N.Y.: Elsevier, 1971. 1.1

[21] Helbing D., Traffic and related self-driven many particle systems, Rev. Mod. Phys. 73, 2001, 1067 - 1141. 1.1

[22] Feintuch A., Francis B., Infinite chains of kinematic points, Automatica 48, 2012 901 - 908. 1.1

[23] Хейт Ф., Математическая теория транспортных потоков, М.: Мир, 1966. 1.1

[24] Renyi A., On two mathematical models of the traffic on a divided highway, Journal of Applied Probability, 1, 1964, 311-320. 1.1

[25] Solomon H., Wang P., Nonhomogeneous Poisson fields of random lines with applications to traffic flow, Proc. Sixth Berkeley Symp. on Math. Statist. and Prob., 3, 1972, 383-400. 1.1

[26] Jost D., Nagel K., Probabilistic Traffic flow breakdown in stochastic car following models, Traffic and Granular Flow, 3, Part 2, 2005, 87-103. 1.1

[27] Замятин А.А., Малышев В.А., Введение в стохастические модели транспортных потоков, сборник Введение в математическое моделирование транспортных потоков, 2 изд, место издания MXNMO Москва, 2013, 271 - 303. 1.1

[28] Kerner B.S., Klenov S.L., Probabilistic breakdown phenomenon at on-ramp bottlenecks in three-phase traffic theory: Congestion nucleation in spatially non-homogeneous traffic, Phys. A. 364, 2006, 473-492. 1.1

[29] Lanford O., Lebowitz J., Time evolution and ergodic properties of harmonic systems, Dynamical Systems, Theory and Applications, J. Moser (eds), Springer, Berlin, Heidelberg, Lect. Notes Phys. 38, 1975, 144 — 177. 1.1, 3.1

[30] Bogolyubov N.N., On Some Statistical Methods in Mathematical Physics, Ac. Sci. USSR, Kiev, 1945. 1.1

[31] Spohn H., Lebowitz J., Stationary non-equilibrium states of infinite harmonic systems, Commun. Math. Phys. 54, 1977, 97 — 120. 1.1

[32] Lykov A.A., Malyshev V.A., Harmonic Chain with Weak Dissipation, Markov Processes and Related Fields, 18, 2012, 1 — 10. 1.2, 1.6

[33] Лыков А.А., Малышев В.А., Чубариков В.Н., Регулярные континуальные системы точечных частиц. I: системы без взаимодействия, Чебышёвский сборник, 17, 3, 2016, 148 — 165. 1.2, 1.6

[34] Lykov A.A., Malyshev V.A., Convergence to Gibbs Equilibrium — Unveiling the Mystery, Markov Processes and Related Fields, 19, 2013, 643 — 666. 1.2, 1.6

[35] Daletskij Yu. L., Krejn M. G., Stability of solutions of differential equations in Banach space, Nauka, Moscow, 1970. 2.2.1, 2.2.1, 3.1, 5.2.4, 4

[36] Крамер Г., Лидбеттер М., Стационарные случайные процессы, Мир, Москва, 1969. 2.2.1, 2.2.4

[37] Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа, Наука, Москва, 1976. 2.2.1, 2.2.2

[38] Вентцель А.Д., Курс теории случайных процессов, 2-е изд., доп. - М.:Наука. Физматлит, 1996. - 400 с. 2.2.2

[39] Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н., Тригонометрические интегралы, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1979, том 43, выпуск 5, 971-1003. 2.2.2, 2.2.4

[40] Богачев В.И., Смолянов О.Г., Действительный и функциональный анализ: университетский курс, М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. - 724 с. 2.2.4

[41] Филиппов А.Ф., Введение в теорию дифференциальных уравнений, КомКнига, Москва, 2007. 4.1.2, 4.2, 4.2.2

[42] Deimling K., Ordinary Differential Equations in Banach Spaces, Springer, 1977. 3.1

[43] Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M., Table of Integrals, Series, and Products, Academic Press, 2007. 3.2.1, 3.2.1, 3.2.1, 3.2.3

[44] Erdelyi A., Asymptotic Expansions, Dover Pub., New York, 1956. 3.2.2, 3.2.2, 3.2.3

[45] Федорюк М.В., Метод перевала, Наука, Москва, 1977. 3.2.2, 3.2.2

[46] Malyshev V.A., Musychka S.A., Dynamical phase transition in the simplest molecular chain model, Theoretical and mathematical physics, v. 179, 1, 2014, 123 - 133. 1.6, 5

[47] N. G. De Bruijn, Asymptotic methods in analysis, Second Edition, 1961. 2, 5.3.2.2, 5.3.2.2

[48] Goriachkin V., Turova T.S., Linear Dissipative Force as a Result of Discrete Time Collisions, Markov Processes And Related Fields, v. 26, 2, 2020, 315 - 337. 1.10

Список публикаций автора по теме диссертации

Статьи в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных для защиты в диссертационном совете

[49] Lykov A.A., Malyshev V.A., Melikian M.V., Stability and admissible densities in Transportation flow models, Сборник: Distributed Computer And Communication Networks, Серия: Communications in Computer and Information Science, 601, 2016, 289 - 295. 1.8

Индексируется в Web of Science. DOI 10.1007/978-3-319-30843-2_30

(Scopus) eid 2-s2.0-84960157604

2016 sjr 0.176 2020, sjr 0.16

[50] Lykov A.A., Malyshev V.A., Melikian M.V., Phase diagram for one-way traffic flow with local control, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, Elsevier BV (Netherlands), v. 486, 2017, 849 - 866. 1.1, 1.8

Статья опубликована в журнале из списка Web of Science, Scopus. DOI 10.1016/j.physa.2017.06.004

(Scopus) eid 2-s2.0-85021139593

2017 sjr 0.773, 2020 sjr 0.64

[51] Lykov A., Melikian M., Long time behavior of infinite harmonic chain with l2 initial conditions, Markov Processes and Related Fields, v. 26, 2, 2020, 189 — 212. 1.8

Статья опубликована в журнале из списка Web of Science. DOI W0S:000531734300002 2020 jCT 0.556, 2020 sjr 0.234

[52] Lykov A., Malyshev V., Melikian M., Zamyatin A., Resonances in Large Finite Particle Systems, Springer Proceedings in Mathematics: Statistics, серия Shiryaev A.N., Samouylov K.E., Kozyrev D.V. (eds) Recent Developments in Stochastic Methods and Applications. ICSM-5 2020, издательство Springer International Publishing AG (Cham, Switzerland), том 371, 2021, 120 — 130. 1.8

Статья опубликована в журнале из списка Scopus. DOI 10.1007/978-3-030-83266-7_9

(Scopus) eid 2-s2.0-85113711454 2020 sjr 0.203

[53] Lykov A.A., Malyshev V.A., Melikian M.V., Resonance in Multicomponent Linear Systems, Moscow University Mechanics Bulletin, 76, 3, 2021, 88 — 93. 1.8

Статья опубликована в журнале из списка Scopus, Web of Science. DOI 10.3103/S0027133021030043

(Scopus) eid 2-s2.0-85114440414

2020 sjr 0.314

[54] Меликян М.В., Большая система осцилляторов с ультралокальным воздействием случайного стационарного внешнего поля, Чебышевский сборник. Том 23, Вып. 1, 2022, 130 — 141. 1.8

Статья опубликована в журнале из списка RSCI Web of Science, а также в журнале из перечня ВАК

[55] Lykov A., Melikian M., Infinite chain of Harmonic oscillators under the action of the stationary stochastic force, Markov Processes and Related Fields, Vol. 28, 3, 2022, 451 — 475. 1.8

Статья опубликована в журнале из списка Web of Science. DOI WOS:000531734300002

2020 jCT 0.556,

2020 sjr 0.234

Тезисы докладов

[56] Лыков А.А., Малышев В.А., Меликян М.В., Новые применения стохастических методов в физике, Теория вероятностей и ее применения, 61, 3, тезисы, 2016, 612 - 613. 1.8

Статья опубликована в журнале из списка RSCI Web of Science, а также в журнале из перечня ВАК

[57] Лыков А.А., Малышев В.А., Меликян М.В., Проблемы устойчивости для бесконечной цепочки осцилляторов, в сборнике Тезисы докладов, представленных на четвертой международной конференции по стохастическим методам, серия 1, Москва, том 65, тезисы, 2020, 178. 1.8

[58] Lykov A., Malyshev V., Melikian M., Zamyatin A., Resonances in Large Systems with Random External Force, Proceedings of the international scientific conference 'The 5th International Conference On Sto^ast^ Methods (ICSM-5)', Типография РУДН, Москва, 2020, 93 - 96.

1.8