Некоторые экстремальные многообразия алгебр Лейбница тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Скорая, Татьяна Владимировна

• Скорая, Татьяна Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Скорая, Татьяна Владимировна

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Линейные алгебры и их многообразия.

1.2. Некоторые сведения из теории представлений симметрических групп.

Глава 2. Об экспонентах подмногообразий многообразия зN.

2.1. Строение элементов полилинейной части многообразия зN.

2.2. Целочисленность экспонент подмногообразий многообразия зN

Глава 3. Подмногообразия почти полиномиального роста многообразия зN.

3.1. Свойства многообразия зN.

3.2. Известные подмногообразия почти полиномиального роста многообразия зN.

3.3. Полный список подмногообразий почти полиномиального роста многообразия зN.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые экстремальные многообразия алгебр Лейбница»

Устоявшимся направлением исследований современной алгебры является изучение линейных алгебр с точки зрения выполнения тождественных соотношений. Алгебры Лейбница с тождествами являлись предметом исследования уже в самом начале развития теории этих алгебр. Значительная часть изучаемых классов алгебр Лейбница выделяется по признаку выполнения (или невыполнения) некоторых тождеств. Таковы классы разрешимых, нильпотентных алгебр и некоторые другие.

Вероятно, впервые класс алгебр Лейбница был определен в работе [7]. Однако свое название он получил позже. В начале исследования этого класса линейных алгебр их называли алгебрами Лодея. Начиная с 1993 года алгебры Лодея были введены под названием алгебр Лейбница как некоммутативные аналоги алгебр Ли. Название они приобрели в связи с выполнением в них тождества Лейбница. Они появились для естественной связи с некоторыми темами, такими, как дифференциальная геометрия, классическая алгебраическая топология и т. д., для обобщения соответствующих приложений алгебр Ли к этим темам.

Алгебры Лейбница начали активно изучаться в начале 90х годов. Свободная алгебра Лейбница была описана Лодеем и Пирашвили.

Объектом исследования данной работы являются многообразия алгебр Лейбница и их подмногообразия, полилинейные компоненты указанных объектов, а также их числовые характеристики.

Исследование экстремальных многообразий алгебр Лейбница является предметом исследования. Говорят, что многообразие V экстремально по отношению к некоторому свойству, если само многообразие им не обладает, но любое его собственное подмногообразие обладает этим свойством.

Целью диссертационной работы является исследование пространства полилинейных элементов многообразия левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница; изучение асимптотики последовательности коразмерностей вербального идеала собственного подмногообразия многообразия 3]\Г; рассмотрение многообразий алгебр Лейбница почти полиномиального роста, удовлетворяющих тождеству х(у(гЬ)) = 0.

Прежде чем обратиться к понятию алгебры Лейбница, рассмотрим линейную алгебру Ф(Х) над полем Ф нулевой характеристики с зафиксированным счетным множеством свободных образующих X. Если для любых элементов Г1,Г2, .,гп из произвольной Ф-алгебры Я и для некоторого элемента / = /(¿С]., Х2,., хп) из алгебры Ф(Х) выполнено условие /(п, Г2, ., гп) — 0, ТО говорят, ЧТО тождество /(^1, а?2, Хп) = 0 имеет место в алгебре Д. Напомним также, что дифференцированием алгебры Я называется эндоморфизм сг, в котором для любых двух элементов х и у из этой алгебры выполняется тождество а(ху) = и(х)у 4- ха(у).

Все неопределяемые понятия можно найти, например, в монографии [С].

Алгеброй Лейбница называется векторное пространство с билинейным произведением, в котором выполняется тождество: ху)г = (хг)у + х(уг).

Согласно этому тождеству умножение справа на элемент алгебры становится дифференцированием этой алгебры. При условии выполнения тождества антикоммутативности ху = -ух, тождество Лейбница эквивалентно тождеству Якоби: х(уг) + у(гх) + г(ху) = 0.

Поэтому, если в алгебре Лейбница выполняется тождество хх = 0. то она является алгеброй Ли. В частности, любая алгебра Ли является алгеброй Лейбница. Обратное неверно.

Отметим, что многие результаты, полученные для алгебр Лейбница, показывают, что алгебры Лейбница близки к алгебрам Ли, и естественны попытки обобщить некоторые результаты алгебр Ли на алгебры Лейбница. Все эти результаты вовлекают методы, основанные на теории представлений симметрической группы и общей линейной группы.

Определяющее тождество алгебр Лейбница можно представить следующим образом: х(уг) = (ху)г - (хг)у.

Данный вид тождества позволяет любой элемент алгебры Лейбница представить в виде линейной комбинации элементов, в которых скобки расставлены слева направо. Поэтому договоримся опускать скобки в случае их левонормированной расстановки, то есть

Х1Х2Х3 .хп = (((Ж1Ж2)Ж3) • • • хп .

Совокупность всех линейных алгебр над некоторым полем, в которых выполняется некоторый фиксированный набор тождественных соотношений называется многообразием этих алгебр и обозначается V.

В 1949 году А.И. Мальцев доказал, что в случае, когда основное поле имеет нулевую характеристику, всякое тождество эквивалентно системе полилинейных (линейных по каждой переменной) тождеств, которая получается при помощи стандартного метода линеаризации [20]. Договоримся результат этого процесса, примененного к элементу /, обозначать Ып(/).

Изучение полилинейных элементов более удобно. Поэтому рассмотрим множество полилинейных слов степени п относительно свободной алгебры Ф(Х, V) многообразия V. Они образуют векторное пространство Рп(V), называемое полилинейной компонентой относительно свободной алгебры многообразия V. В случае основного поля нулевой характеристики вся информация о многообразии V содержится в его полилинейной части.

Поэтому изучение этого пространства играет важную роль и активно изучается для различных многообразий.

Пространство Рп(У) можно естественным образом превратить в модуль симметрической группы вп. Пусть а — элемент группы Зп. Будем считать, что в результате действия элемента а на элемент пространства

Рп{V) мы получим элемент ха^ха^2у.ха^пу Тогда Рп(У) становится модулем над групповым кольцом Ф5"п. Эта идея позволяет использовать при исследовании многообразий линейных алгебр теорию представлений симметрических групп.

Групповое кольцо Ф5П симметрической группы над полем Ф характеристики ноль разлагается в прямую сумму левых идеалов. Более подробно об этом можно прочитать в монографиях по теории представлений, например [14], [18]. Тогда Рп(У) как Ф5п-модуль также разлагается в прямую сумму неприводимых подмодулей. Каждое из таких слагаемых определяется множеством эквивалентных друг другу тождественных соотношений.

Напомним, что стандартный полином степени п имеет вид: ж 1,Ж2, .,ж„)= Е (-1)%(1)^д(2) • • г), где суммирование ведется по элементам симметрической группы, а (—I)*7 равно +1 или —1 в зависимости от четности перестановки q. Договоримся переменные, входящие в стандартный полином обозначать специальными символами сверху (чертой, волной и так далее). Например, стандартный ПОЛИНОМ степени п ОТ переменных Х\, х2, ■ ■ ■, хп будем записывать следующим образом: = Х\Х2 ■ ■ .хп. Понятно, что стандартный полином является кососимметрическим. Переменные, входящие в разные кососим-метрические наборы, будем обозначать разными символами, например:

Е (-1)9(-1)%(1)^д(2) ■ • • Хд(п)Ур(1)Ур(2) ■ ■ ■ Ур(т) = ■ • • ЗДШ • • • УтП

Отметим, что если элемент содержит одни и те же переменные, входящие в разные кососимметрические наборы, то его знак уже зависит от четности перестановок неявным образом, поэтому переменные в этом элементе будем называть альтернированными. Например, элемент х\. хпх\. хт содержит два альтернированных набора переменных. Договоримся стандартный полином от операторов Х\,Х2, ■ • - ,Хт обозначать через Stm — Stm{X\,., Хт) = Хр(±). Хр(т). Отметим, что стандартные полиномы, выражающие разные альтернированные наборы переменных мы будем записывать, используя разные верхние символы. В этих обозначениях также имеет место обобщение на случай степени стандартного полинома от операторов.

В данной работе рассматривается многообразие 3N левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница, определенное тождеством x(y(zt)) = 0.

Вероятно впервые это многообразие было рассмотрено в работе [4]. В работе [3] были доказаны следующие теоремы:

1) Совокупность элементов вида — ,im,jl,.,jm) = xi{xiixji) (я^г^г) • • • (XimXjm)Xki • • -^fc^m-l 5 где is < js. s = 1, .,ra, ¿1 < 12 < ••• < im, kl < < ••• < kn-2m-i, образуют базис пространства Pn(3N).

2) Коразмерность вербального идеала многообразия 3N определяется равенством сп(зN) = п • inv(n — 1), где inv(m) — число инволюций (элементов порядка два) симметрической группы Sm.

3) Для многообразия 3N кратности т\ в разложении

Е т\Хх = X,N

Ahn равны числу угловых клеток диаграммы Юнга, соответствующей разбиению Ab п.

4) Для кодлины многообразия 3N выполняются следующие неравенства р(п) < Z„(3N) < л/2п-р(п), где р(п) — количество разбиений числа п.

Отметим, что по своим своим свойствам многообразие 3N близко к многообразию AN2 алгебр Ли, изученному в работах [9], [10], [13], [15], [24], |43] и других работах.

Перейдем к описанию структуры представленной диссертации. Работа состоит из трех глав. Первая глава носит обзорный характер. В первом параграфе приводятся основные определения и понятия, а также некоторые обозначения, упрощающие записи. Во втором параграфе данной главы рассматриваются необходимые сведения из теории представлений симметрической группы.

Вторая глава диссертации содержит новые результаты и посвящена рассмотрению элементов полилинейной части многообразия 3N левонильпо-тентных ступени не выше трех алгебр Лейбница, а также изучению роста подмногообразий данного многообразия.

В первом параграфе данной главы определен вид элементов, порождающих неприводимые Ф5п-модули из разложения пространства полилинейных элементов многообразия 3N в прямую сумму подпространств.

Для описания полученного результата нам понадобятся понятия разбиения и диаграммы Юнга. Разбиением Л числа п называют набор целых положительных чисел Л = (Ai, А2,., Afc), в котором Ai > Аг > . Afc > 0 и п — Ai + А2 +. + А/,. Разбиение А числа п обозначают следующим образом Ahn. Каждому разбиению А числа п взаимно однозначно соответствует диаграмма, состоящая из п клеток в к строках и содержащая в г-ой строке

Л7; клеток. Эту диаграмму мы обозначим d\ и будем называть диаграммой Юнга, отвечающей разбиению Л.

Пусть Рп = Рп(зN) — полилинейная компонента многообразия 3N алгебр Лейбница. Пространство Рп раскладывается в прямую сумму неприводимых Ф5П-модулей, соответствующих различным разбиениям натуральных чисел п, то есть различным диаграммам Юнга. Для многообразия 3N алгебр Лейбница известно (см. [40]), что число изоморфных Ф5п-модулей равно числу угловых клеток диаграммы Л (клетка диаграммы Юнга называется угловой, если справа от нее и ниже ее нет клеток).

Если диаграмма Юнга содержит к угловых клеток, то она отвечает разбиению Л = (п™1, П™'2, • . . , n™fc), ГДе 711 > П2 > • ■ ■ > Wfc > 0 И П1Ш1 +712777,2 + . + п^Шк = п. Такой диаграмме соответствуют следующие элементы: gi = x1x2.xdkStdk Stdkx .Std2 Stdl , g2 = xxx2. • • • Std2 stdi , gk = xix2.xdlStdkStdki .Std2 Stdj где dj = Е^=17Дг, j = 1 ,.,/c. Для построенных элементов справедлива следующая теорема, доказанная во второй главе диссертации.

Теорема 2.1 Пусть Рп = Рп(3N). Тогда для любого натурального числа п > 1 имеет место равенство к( а) Ahn г=1 где И^-(Л) — неприводимый Ф ¿^-модуль, порожденный линеаризацией элемента дг, соответствующий разбиению Л.

При изучении многообразий линейных алгебр важную роль играет последовательность размерностей их полилинейных компонент степени п: сп(У) = йътРп{у) (п — 1,2,.), асимптотическое поведение которой называется ростом многообразия. Саму последовательность (сп(V)) называют также последовательностью коразмерностей многообразия.

В случае существования таких чисел С\ > 0, Сг > 0, (1\ > 1, ¿2 > 1, что для всех чисел п выполняются неравенства

СХ < сп{V) < ад, говорят, что рост многообразия является экспоненциальным. Если последовательность (сп(У)) удовлетворяет указанным неравенствам, то последовательность (\/Сп(У)), п = 1,2,. является ограниченной. Тогда существуют верхний и нижний пределы этой последовательности, которые мы назовем верхней и нижней экспонентами многообразия V соответственно и обозначим: Ехр(V) и Ехр{у). В случае совпадения указанных пределов мы запишем Ехр(V) и назовем значение этого предела экспонентой многообразия V. Таким образом, мы будем использовать следующие обозначения:

Ехр{ V) = Итп^ оо \/сп(У), Ехр( V) = Ытп^ оо ^сп(У) и, наконец, если

Итп^ оо ^сп(У) = Ншп-^оо </сп{ V), то

Яжр(У) = Егр(У) = Ежр(У).

Во втором параграфе второй главы приведено доказательство целочис-ленности экспоненты произвольного подмногообразия многообразия

Пусть V — собственное подмногообразие многообразия Определим Яп ^ -Рп+1 как линейную оболочку элементов:

Яп = {хп+1Ха(1).Ха{п)\(Т е 5п>. 10

На пространстве С}п, как и на пространстве Рп, естественным образом вводится действие перестановок и определяется структура Ф5п-модуля. Последовательность размерностей пространства С}п обозначим через (1п{V) = сИтС^п. В случае существования верхнего и нижнего пределов последовательности введем следующие обозначения:

Ехр(С}п) = /гтПп^оо

Ехр(дп) = Шкп^оофйу).

Кроме того, если Ехр(Рп) существует, то будем записывать Ехр(V) = Ехр(Рп). Тогда для введенного пространства п справедлива следующая лемма:

Лемма 2.1 Пусть V — собственное подмногообразие многообразия з]М. Тогда

Ехр{Яп) = Ехр{ V) и

Ехр{Яп) = Ехр{ V).

Рассмотрим относительно свободную алгебру Ф от счетного множества образующих X = {х\,х2, ■■■} многообразия левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница. Полилинейные элементы от п + 1 переменной с фиксированным первым элементом хп+1 этой алгебры лежат в пространстве Для таких элементов алгебры Ф имеет место следующее свойство.

Лемма 2.2 Пусть для некоторого целого М и некоторых х\, .,хп+1 € Ф выполняется тождество хп+1 ¿>¿2^+1 = 0 (2к + 1 < п). Тогда для этих элементов также верно тождество

Рассматриваемое пространство как Фй^-модуль раскладывается в прямую сумму неприводимых подмодулей:

Яп = Фднгг™д (У)Мд.

Как доказано в работе [40], в случае, когда V = з!Ч, кратности Шд (V) равны единицам. Отсюда следует, что если V — собственное подмногообразие многообразия з!М, то кратности т\ в разложении пространства его полилинейных элементов в прямую сумму подпространств не превосходят единиц. Каждый из Ф5п-модулей из указанной суммы порождается линеаризацией некоторого ненулевого элемента, соответствующего диаграмме Юнга определенного вида (или некоторому разбиению числа п).

Пусть А = (Ах,., А к) — некоторое разбиение числа пи А' = (А'х,., А^) — сопряженное разбиение. Используя обозначения введенные нами ранее для операторов умножения на элемент х и стандартных полиномов от операторов, мы можем записать ассоциативный элемент, соответствующий разбиению А':

9\ = Хи .,ХуДу2(Хъ .,Хх,).Мх,т(Хи ., ХУт). (1)

Для таким образом построенных элементов имеет место следующая лемма

Лемма 2.3 Всякий неприводимый Ф5п-модуль Т\ в разложении пространства полилинейных элементов многообразия V в прямую сумму подпространств порожден с помощью Ып(удх), где у = хп+\, элемент д\ определяется равенством (1) и Ып{/) означает полную линеаризацию полинома /•

Определение порождающего элемента позволяет найти значения кратностей Шд (V) из разложения пространства полилинейных элементов многообразия V в прямую сумму подпространств.

Лемма 2.4 Если V — собственное подмногообразие многообразия з!М, то кратности тд (V) в разложении пространства в прямую сумму Ф5П-модулей равны единицам.

Опираясь на указанные леммы и предложение и используя технику оценки размерности неприводимого модуля симметрической группы с помощью формулы крюков, мы приходим к выводу, что для введенного пространства справедливо следующее утверждение:

Теорема 2.2 Пусть V — собственное подмногообразие многообразия зК и Яп = <5п(У). Если Ехр(Яп) < к, то Ехр(Яп) < к - 1.

Из данной теоремы вытекает следующая теорема, являющаяся основным результатом второй главы.

Теорема 2.3 Всякое собственное подмногообразие многообразия зН имеет целую экспоненту.

Третья глава посвящена определению полного списка подмногообразий почти полиномиального роста многообразия зN алгебр Лейбница.

Напомним, что рост многообразия V называют полиномиальным, если существуют неотрицательные числа С, т такие, что для любого п выполняется неравенство сп(V) < Спт. Говорят, что многообразие V имеет почти полиномиальный рост, если рост самого многообразия не является полиномиальным, а любое собственное подмногообразие многообразия V имеет полиномиальный рост. Отметим, что слово "почти" относится к свойству многообразия.

В первом параграфе, для полноты изложения, рассматривается многообразие А^ алгебр Ли, обладающее сходными свойствами с многообразием зN алгебр Лейбница. В частности, приведен полный список подмногообразий почти полиномиального роста многообразия А^ алгебр Ли. Также в данном параграфе приведены уже известные факты о многообразии зN алгебр Лейбница.

Во втором параграфе для удобства читателей рассматриваются уже известные подмногообразия почти полиномиального роста многообразия зN алгебр Лейбница. Эти многообразия носят обозначения У2 и Уз и по своим свойствам похожи на хорошо изученные многообразия алгебр Ли почти полиномиального роста и Уз соответственно. В данном параграфе перечислены основные свойства данных многообразий алгебр Лейбница, а также указаны порождающие их алгебры.

Третий параграф посвящен рассмотрению подмногообразий многообразия зТЧГ, отличных от многообразий У2 и Уз. О многообразии V2 известно (см., например, [5]), что оно является наименьшим многообразием, в котором не выполняется ни одно стандартное тождество. Поэтому, если Уг ^ У, то в V выполняется стандартное тождество некоторой степени. Следующим шагом является доказательство такой леммы.

Лемма 3.1 Если Уг ^ V Сз ]М, то для некоторого числа т в многообразии V выполнено тождество

ХоХ1Х2.Хт = 0.

Исключив первую переменную из кососимметрического набора, мы получили возможность применять следствия из тождества Лейбница к рассматриваемому тождеству. Благодаря этому мы можем получить более сложный вид тождеств, выполняющихся в многообразии У.

Предложение 3.1 Если Уг / V Сз К, то в многообразии V выполняется тождество хо{х1У1){х2У2)-(хмУм) = 0. (2)

Другими словами, в многообразии V элемент, содержащий М пар, в которые входит по одной кососимметризованной переменной, тождественнен нулю. Аналогичный вывод о парах, содержащих по одной симметризован-пой переменной, мы получим, накладывая на V условие Уз ^ V:

Предложение 3.2 Если У3 ^ V Сз 1М, то в многообразии V выполняется тождество х0(х1у)(х2у).(хму) = 0. (3)

При условии выполнения тождеств, указанных в предложениях 3.1 и 3.2, в многообразии V выполняется тождество (х1х2) .(х2с+1х2с+2) = 0. Другими словами, многообразие V принадлежит многообразию алгебр Лейбница с нильпотентным ступени не выше с коммутантом, которое принято обозначать 1МСА. Подробнее об этом многообразии можно прочитать в работах [29], [30] и [36]. Таким образом, мы получаем следующую теорему.

Теорема 3.1 Если в многообразии V С зК выполняются тождества (2) и (3), то многообразие V С ГЧСА.

Из данной теоремы следует, что всякое собственное подмногообразие многообразия з!Ч, не содержащее многообразий и Уз, согласно критерию полиномиальности роста многообразий алгебр Лейбница, доказанному в работе [30], имеет полиномиальный рост. Это приводит нас к следующему утверждению, являющемуся основным результатом третьей главы.

Теорема 3.2 Многообразие зN имеет только два подмногообразия V9 и Уз почти полиномиального роста.

Схема доказательства последних теорем принадлежит научному руководителю С.П. Мищенко, а проработка деталей — автору.

Таким образом, в диссертационной работе представлен вид элементов, порождающих неприводимые Ф¿^-модули из разложения пространства полилинейных компонент многообразия з!Ч; доказана целочисленность экспонент подмногообразий этого многообразия; а также приведен полный список подмногообразий почти полиномиального роста многообразия ле-вонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница.

Результаты диссертации докладывались на конференциях и семинарах:

1)Молодежный научный форум "Университетское образование: проблемы и перспективы" (Ульяновск, 2009г.).

2)Летняя школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов" (Самара, 2009г.).

3) Международный молодежный научный форум "Университетское образование: традиции и инновации" (Ульяновск, 2010г.).

4) 8ih International Algebraic Conference in Ukraine (Lugansk, 2011).

5) Международная конференция "Алгебра и математическая логика" (Казань 2011г.).

6) Семинары кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского Государственного Университета.

Основная часть результатов опубликована в работах автора [27], [31], [32], [35], [37], [38], [39], [52].

В заключении автор выражает глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю С.П. Мищенко за предложенное направление исследований, полезные советы, постоянное внимание и моральную поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Скорая, Татьяна Владимировна, 2011 год

1. Абанина, J1.E. Многообразие алгебр Лейбница Vi / Л.Е. Абанина // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. — Казань: Казанское математическое общество, 2002. — Т. 18. — С. 3—4.

2. Абанина, Л.Е. Многообразия алгебр Лейбница почти полиномиального роста / Л.Е. Абанина // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V международной конференции. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2003. - С. 3-4.

3. Абанина, Л.Е. Структура и тождества некоторых многообразий алгебр Лейбница / Л.Е. Абанина // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Ульяновск. УлГУ, 2003.

4. Абанина, Л.Е. Некоторые многообразия алгебр Лейбница / Л.Е. Абанина, С.П. Мищенко // Математические методы и приложения. Труды девятых математических чтений МГСУ. — Москва: "Союз 2002. — С. 95-99.

5. Абанина, Л.Е. Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тождествами / Л.Е. Абанина, С.М. Рацеев // Вестник Самарского государственного университета. — Самара, 2005. — №6. — С. 36—50.

6. Бахтурин, Ю.А. Тождества в алгебрах Ли / Ю.А. Бахтурин. — М.: Наука, 1985.

7. Блох, A.M. Об одном обобщении понятия алгебры Ли / A.M. Блох // Доклады Академии наук СССР. 1965. - Т.18. - №3. - С. 471-473.

8. Воличенко, И.Б. Исследование некоторых экстремальных многообразий алгебр Ли / И.Б. Воличенко // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Минск, 1981.

9. Воличенко, И.Б. Многообразия алгебр Ли с тождеством [жі, Х2, жз], [ж4, х5, же]] = 0 над полем характеристики нуль / И.Б. Воличенко // Сибирский математический журнал. — 1984. — Т. 25. — №3. С. 40-54.

10. Воличенко, И.Б. О многообразии алгебр Ли А^ над полем характеристики нуль / И.Б. Воличенко // ДАН БССР. 1981. - Т. 25. - №12.- С. 1063-1066.

11. Воличенко, И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами / И.Б. Воличенко // Весці АН БССР: Серия фіз. — матем. навук. — 1980. — №1. — С. 23—30.

12. Воличенко, И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами / И.Б. Воличенко // Весці АН БССР: Серия фіз. — матем. навук. — 1980. — №2. — С. 22—29.

13. Джамбруно, А. Кратности характеров полилинейной части многообразия А^ / А. Джамбруно, М.В. Зайцев, С.П. Мищенко // Ученые записки. Фундаментальные проблемы математики и механики. — 1988.- Т. 1. №5 - С. 59-62.

14. Джеймс, Г. Теория представлений симметрических групп / Г. Джеймс.- М.: Мир, 1982.

15. Зайцев, М.В. Новое экстремальное свойство многообразия алгебр Ли АИ2 / М.В. Зайцев, С.П. Мищенко // Вествник МГУ. Серия 1. Математика. Механика. — 1999. — №5. — С. 18—23.

16. Зайцев, М.В. О кодлине многообразий линейных алгебр / М.В. Зайцев, С.П. Мищенко // Математические заметки. — 2006. — Т. 79.— №4. — С. 553-559.

17. Курош, А.Г. Лекции по общей алгебре / А.Г. Курош. — СПб: Лань, 2005.

18. Кэртис, Ч. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр / Кэртис Ч., Райнер И. — М.: Наука, 1969.

19. Мальцев, А.И. Алгебраические системы / А.И. Мальцев. — М.: Наука, 1970.

20. Мальцев, А.И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями / А.И. Мальцев // Математический сборник. — 1950. — Т. 26. №1. - С. 19-33.

21. Мищенко, С.П. Многообразие алгебр Ли с двуступенно нильпотент-ным коммутанотом / С.П. Мищенко // Весці АН БССР: Серия фіз. — матем. навук. — 1987. — №6. — С. 39—43.

22. Мищенко, С.П. Нижние оценки размерностей неприводимых представлений симметричеких групп и показателей экспоненты многообразий алгебр Ли / С.П. Мищенко // Математический сборник. — 1996. — Т. 187. №1. - С. 83-94.

23. Мищенко, С.П. О многообразиях полиномиального роста алгебр Ли над полем характеристики нуль / С.П. Мищенко // Математические заметки. 1986. - Т. 40. - №. 6. - С. 713-721.

24. Мищенко С.П. О некоторых классах алгебр Ли / С.П. Мищенко'// Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 1992. - т. - С. 55-57.

25. Мищенко, С.П. Рост многообразий алгебр Ли. / С.П. Мищенко // Успехи математических наук. — 1990. — Т. 45. — №6(276). С. 25-45.

26. Мищенко, С.П. Цветные диаграммы Юнга / С.П. Мищенко // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. — 1993. №1. - С. 90-91.

27. Мищенко, С.П. Некоторые экстремальные свойства многообразия ле-вонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница / С.П. Мищенко, Ю.Ю. Фролова // Математические заметки, (в печати)

28. Мищенко, С.П. Многообразия алгебр Лейбница слабого роста / С.П. Мищенко, О.И. Череватенко // Вестник Самарского государственного университета. Естественно-научная серия. —2006. — №9. — С. 19—23.

29. Мищенко, С.П. Необходимые и достаточные условия полиномиально-сти роста многообразия алгебр Лейбница / С.П. Мищенко, О.И. Череватенко // Фундаментальная и прикладная математика. — 2006. — Т. 12. №8. - С. 207-215.

30. Мищенко, С.П. О многообразиях алгебр Лейбница почти полиномиального роста с тождеством x(y(zt)) ~ 0 / С.П. Мищенко, Т.В. Шишкина // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2010. - №3. - С. 18-23.

31. Мищенко, С.П. О почти полиномиального роста многообразиях алгебр Лейбница / С.П. Мищенко, Т.В. Шишкина // Летняя школакофнренция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов. Тезисы докладов. — Самара, 2009. — С. 37-38.

32. Рацеев, С.М. Рост некоторых многообразий алгебр Лейбница / С.М. Рацеев // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия — 2006. — Т. 1(46). — №6. — С. 70—77.

33. Рацеев, С.М. Рост многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутанотом /С.М. Рацеев // Математические заметки — 2007. — Т. 22 Выпуск 5. - Р. 108-117.

34. Скорая, Т.В. О некоторых многообразиях алгебр Лейбница / Т.В. Скорая, Ю.Ю. Фролова // Вестник Самарского государственного университета. (в печати).

35. Череватенко, О.И. Некоторые эффекты роста тождеств линейных алгебр / О.И. Череватенко // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Ульяновск. УлГУ, 2008.

36. Шишкина, Т.В. О целочисленности экспоненты подмногообразий многообразия зК / Т.В. Шишкина // Ученые записки Ульяновского Государственного Университета. Серия Математика и информационные технологии. Ульяновск: УлГУ, 2011. - Т. 1(3). - №3. - С. 18-23.

37. Шишкина, Т.В. Левонильпотентные почти полиномиального роста многообразия алгебр Лейбница / Т.В. Шишкина // Университетскоеобразование: проблемы и перспективы. — Ульяновск, УлГПУ, 2009, — С. 94-97.

38. Abanina, L.E. The variety of Leibniz algebras defined by the identity x(y(zt)) = о / L.E. Abanina, S.P. Mishchenko // Sedrica Math. J. — 2003. №3. P. 291-300.

39. Giambruno, A. Codimensions of Algebras and Growth Functions / A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev // Advances of mathematics. — 2008. №217. - P. 1027-1052.

40. Giambruno, A. Polynomial Identites and Asymptotic Methods / A. Giambruno, M.V. Zaicev // Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society. — Providence, 2005. — Vol. 122

41. Giambruno, A. On the colength of a variety of Lie algebras / A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev // Internat. J. Algebra Comput. — 1999. — №5.- P. 483-491.

42. Giambruno, A. Exponential codimension growth of PI algebras: an exact estimate / Giambruno A., Zaicev M.V. // Adv. Math. — 1999. — V. 142.- P. 221Ц-243.

43. Giambruno, A. On codimension growth of finitely generated associative algebras / Giambruno A., Zaicev M.V. // Adv. Math. — 1998. — V. 140.- P. 145Ц-155.

44. Higgins, P.J. Lie rings satisfying the Engel condition / P.J. Higgins // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1954. - №1. - P. 8-15.

45. Mishchenko, S.P. Varieties of linear algebras with almost polynomial growth / S.P. Mishchenko // Polynomial identities and combinatorial methods. — Pantelleria, 2001. — P. 383—395.

46. Mischchekno, S. P. Integrality of exponents of some abelian-by-nilpotent varieties of Lie algebras / Mischchekno S. P., Regev A., Zaicev M.V. // Comm. Algebra. 2000. - V. 28. - №9. - P. 4105-4130.

47. Mishchenko, S. A Leibniz variety with almost polynomial growth / S. Mishchenko, A. Valenti // J. Pure Appl. Algebra. 2005. - V. 202. -№1-3. - P. 82-101.

48. Mishchenko, S. A star-variety with almost polynomial growth / S. Mishchenko, A. Valenti // Journal of Algebra. 2000. - V. 223. - P. 66-84.

49. Mishchenko, S. P. An example of a variety of Lie algebras with a fractional exponent / S. P. Mishchenko, M.V. Zaicev // Algebra, 11. J. Math. Sci. — New York, 1993. №6. - P. 977-982.

50. Skoraya, T.V. A new property of the Leibniz algebra variety with the identitu x(y(zt)) = 0 / T.V. Skoraya // 8th Algebraic Conference in Ukraine. Book of abstracts. — Lugansk, 2011. — P.224.