Лиевские многообразия с нецелочисленными экспонентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Богданчук, Ольга Александровна

• Богданчук, Ольга Александровна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Богданчук, Ольга Александровна

Содержание

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Необходимые определения и понятия

1.2. Асимптотика степени неприводимых характеров симметрической группы

Глава 2. Об экспонентах многообразий алгебр Ли

2.1. Дискретная серия алгебр Ли с различными дробными экспонентами роста их коразмерностей

2.2. Некоторые подмногообразия многообразия, порожденного простой бесконечномерной алгеброй картановского типа общей серии

Глава 3. Дробные экспоненты многообразий в других классах алгебр

3.1. Серия многообразий алгебр Лейбница с нецелочисленными экспонентами

3.2. Р1-экспоненты некоторых простых конечномерных алгебр с единицей

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Лиевские многообразия с нецелочисленными экспонентами»

Введение

Изучение алгебр с точки зрения выполняющихся в них тождественных соотношений является классическим направлением исследований. Этот подход является актуальным и при изучении алгебр Ли.

Вместе с исследованием конкретной алгебры продуктивно изучать целый класс алгебр, имеющих какие-то схожие свойства. В качестве таких классов алгебр естественно выбирать их многообразия, определяемые как совокупности алгебр, удовлетворяющих фиксированному набору тождеств. Задание тождеств может быть явным, например,- коммутативности, так и неявным, например,- определив многообразие, порожденное какой-нибудь фиксированной алгеброй: все алгебры многообразия должны удовлетворять ее тождествам, даже если они не описаны явным образом. В этом случае избранная алгебра называется носителем построенного многообразия. Таким носителем может служить счетнопорожденная относительно свободная алгебра многообразия, не имеющая никаких соотношений, кроме заданных тождеств и их следствий. Известно, что многообразием является класс алгебр, устойчивый относительно подфакторов и декартовых произведений.

Объектом исследования данной диссертационной работы являются многообразия алгебр Ли и алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики.

Алгебры Ли появились в математике в конце 19 в. в связи с изучением групп Ли, а в неявной форме несколько раньше в механике. Сам термин "алгебра Ли" был введен Г. Вейлем в 1934 в честь норвежского математика Софуса Ли. До этого времени использовались термины "инфинитезималь-ные преобразования рассматриваемой группы" или "инфинитезимальная группа".

Напомним, что алгебра Ли — векторное пространство А над полем

снабженное билинейным отображением (х,у) > [х,у], удовлетворяющим следующим двум тождествам: 1.[а:,гс] = 0; 2.[[x,y],z] + [[y:z\,x}-\-[[z,x],y] = 0. Ассоциативная алгебра обладает естественной структурой алгебры Ли, если определить скобку Ли через ассоциативное умножение по формуле: [х,у] = ху — ух. Также известна теорема Биркгофа-Витта (доказательство можно найти, например, в книге А.Г. Куроша, см. [14]):

Для всякой лиевой алгебры L над любым полем существует такая ассоциативная алгебра R над этим же полем, что алгебра L изоморфно вкладывается в алгебру L{R).

Хорошо известно, что характеристика основного поля существенно влияет на свойства алгебр, их многообразий и приемы их исследования. Например, в случае ассоциативных алгебр при нулевой характеристике основного поля А.Р. Кемером (см. [12]) была положительно решена проблема Шпех-та конечной базируемости идеала тождеств произвольного многообразия. В тоже самое время проблема Шпехта в общем случае над полем положительной характеристики была решена отрицательно А.Я. Беловым (см. [2]), A.B. Гришиным (см. [5]) и В.В. Щиголевым (см. [26]). Поэтому сразу оговорим, что характеристика основного поля, которое мы обозначим Ф, на протяжении всей работы равна нулю. В середине прошлого века А.И. Мальцев (см. [15]) доказал, что в случае нулевой характеристики основного поля любое тождество эквивалентно системе полилинейных тождеств. Таким образом, вся информация о многообразии V содержится в последовательности пространств P„(V), п = 1,2,..., состоящих из полилинейных элементов относительно свободной алгебры этого многообразия. Поэтому важной характеристикой многообразия является последовательность коразмерностей - неотрицательных целых чисел cn(V) = dimPn(V), n = 1,2,... -размерностей пространств полилинейных элементов. Рост этой последовательности называется ростом многообразия. Выделяют многообразия по-

линомиалыгого роста, в случае если существуют числа Сиг, такие что для любого п выполняется неравенство сп < Спг. Экспоненциального роста, когда существуют такие числа С\, С2 > 0 и г\, г2 > 1, что для любого п выполняется неравенство С^ < сп < С2Г2. Промежуточного между полиномиальным и экспоненциальным роста, то есть последовательность чисел сп мажорируется для любого числа В > 1 последовательностью вида Вп и сама мажорирует при любом к последовательность вида пк. А также существуют многообразия сверхэкспоненциального роста, когда последовательность сп не ограничена сверху никакой экспонентой. Более подробно о росте многообразий алгебр Ли можно прочитать в работе С.П. Мищенко — [18]. А. Регев в работе [52] доказал результат, который стал отправной точкой теории коразмерностей, причем выполняется он в алгебрах над полем любой характеристики. А именно:

Пусть А — ассоциативная алгебра над полем Р. Тогда последовательность коразмерностей А экспоненциально ограничена, т.е., существует константа а такая, что сп(А) < ап, для любого п > 1.

В отношении асимптотического поведения последовательности коразмерностей один из результатов был доказан А.Р. Кемером в [11].

Для любой ассоциативной Р1-алгебры А или последовательность коразмерностей полиномиально ограничена, или с точностью до полиномиального множителя сп(А) > 2П асимптотически.

В отличие от ассоциативного случая, уже для алгебр Ли последовательность сп(V) не обязательно экспоненциально ограничена. Так, в работе [4] И.Б. Воличенко впервые доказал существование многообразий алгебр Ли сверхэкспоненциального роста, а В.М. Петроградский в работах [23], [24] ввел шкалу сверхэкспоненциального роста многообразий полинильпотент-ных алгебр Ли. Напомним также, что С.П. Мищенко доказал отсутствие многообразий промежуточного роста в случае алгебр Ли (см. [17]).

В случае экспоненциального роста последовательность \/cn(V) ограничена, поэтому существуют нижний и верхний ее пределы, которые называют нижней (ЕХР(у)) и верхней ( EXP(V) ) экспонентами многообразия соответственно. Если они равны, то есть существует предел этой последовательности, его называют PI-экспонентой (от англ. - polynomial identity exponent) или просто экспонентой многообразия.

EXP{V) = lim y/cn(V).

n—> 00

Доказательство существования экспоненты конкретного многообразия экспоненциального роста является сложной проблемой. Интерес к этой задаче возрос еще больше после построения в 2013 году М.В. Зайцевым примера многообразия алгебр, у которых нижняя и верхняя экспоненты различны, и, следовательно, примера многообразия, у которого экспонента не существует (см. [9]).

Для любого вещественного а > 1 существует алгебра Аа такая, что

ЕХР(Ап) = 1, ЁХР(Аа) = а.

Еще одна интересная тематика исследования - изучение многообразий с целой экспонентой, а также, соответственно, нахождение примеров многообразий, у которых экспонента не является целой.

Например, для многообразия ассоциативных алгебр, порожденного алгеброй Грассмана, последовательность коразмерностей имеет вид cn(V) = 2n_1 (см. например, монографию А. Джамбруно и М.В. Зайцева [38], теорема 4.1.8) и поэтому экспонента этого многообразия равна 2.

В 80-х годах прошлого столетия С.А. Амицур предположил, что для любой ассоциативной алгебры с тождеством экспонента существует и является неотрицательным целым числом. Эта гипотеза была доказана А. Джамбруно и М.В. Зайцевым в работах [34] и [33].

Для любой ассоциативной PI-алгебры А существуют константы С\ > О, С-2, ki, k2 такие, что

СщкЧп < сп(А) < С2пкЧп,

где d > О и является целым. ЕХР(А) существует и является неотрицательным целым числом.

А. Регев предположил, что для любой PI-алгебры А асимптотически

Сп{А) ~ СпЧп,

где С — некоторая константа, d является целым числом, а t — целым или половиной от целого. Это предположение впервые было сформулировано в некоторых специальных случаях (А. Джамбруно и М.В. Зайцевым в работе [36], A.C. Гордиенко в статье [45] и А. Регевым в работе[51]), а затем А. Береле и А. Регевым было доказано в работах [29], [30] для любой ассоциативной PI-алгебры с единицей.

В отношении PI-алгебр с полиномиально ограниченным ростом коразмерностей несколько результатов было получено А. Джамбруно и Д. Ла Маттиной в работах [37], [48]. Отправной точкой стал следующий результат об асимптотиках, доказанный В. Дренски, А. Регевым в работах [31] и [32].

Пусть А — РРалгебра с полиномиально ограниченным ростом коразмерностей. Тогда существует рациональное число q > 0 и целое к > 0 такие, что

сп(А) = qnk + 0(nk~l) ~ qnk. Если А — алгебра с единицей, тогда

1 1 1 (-l)fc 1 _<0<----1-----L ^-L---

к\~ 2! 3! к\

где е — основание натурального логарифма.

Заметим, что в работе [40] для любого к > 1 А. Джамбруно, Д. Л а Мат-тина и В.М. Петроградский построили унитарную Р1-алгебру А конечной размерности, что сп(А) ~ дпк, реализовав тем самым самое маленькое и самое большое значения д. Они доказали, что нижняя граница достигается только в случае, когда к является четным. Если же к — нечетно, то нижняя граница определяется как (к — 1)/к\.

Экспоненту можно также вычислять, когда алгебра содержит единицу (результат принадлежит А. Джамбруно и М.В. Зайцеву, см. [41]).

Пусть А — ассоциативная Р1-алгебра и пусть М — алгебра, полученная присоединением к А единичного элемента. Тогда или ехр(А^) = ехр(А), или ехр(А^) = ехр(А) + 1.

Целочисленность экспоненты роста коразмерностей установлена для любой конечномерной алгебры Ли М.В. Зайцевым в работе [7] и в соавторстве с А. Джамбруно и А. Регевым в работе [35], а для алгебр Ли с нильпотент-ным коммутантом этот факт доказан С.П. Мищенко и В.М. Петроградским в работе [50].

Пусть Ь — конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики. Тогда ЕХР(Ь) существует и является целым числом.

Пусть V — подмногообразие АТ8А — класса алгебр Ли с нильпотент-ным коммутантом (т.е. алгебр, удовлетворяющих тождеству {Х1Х2) • ... • {х2з+\Х2з+2) = тогда экспонента V является целым числом и ЕХР(У)е{1,2,...,з}.

Заметим, что экспонента также не может быть дробной для йордановых (доказательство этого факта принадлежит А. Джамбруно и М.В. Зайцеву, см. [43]), альтернативных (доказано А. Джамбруно, И.П. Шестаковым и М.В. Зайцевым, см. [44]) алгебр и простой алгебры с единицей (результат принадлежит М.В. Зайцеву, см. [8]).

В случае произвольных линейных алгебр для любого действительного

числа а > 1 А. Джамбруно, М.В. Зайцевым и С.П. Мищенко была построена алгебра экспоненты а (см. [42]). Аналогичный результат в классе алгебр Ли в случае счетного основного поля означал бы существование бесконечно базируемого многообразия алгебр Ли, что явилась бы существенным вкладом в теорию многообразий алгебр Ли.

Целью диссертационной работы является построение новых примеров многообразий алгебр Ли (алгебр Лейбница), экспоненты которых не являются целыми, исследование свойств этих многообразий и исследование их асимптотических характеристик. Второй целью работы является изучение многообразий, порожденных простыми конечномерными алгебрами с единицей со значительным расхождением размерности и экспоненты.

Первый пример многообразия алгебр Ли, экспонента которого не является целым числом, был построен М.В. Зайцевым и С.П. Мищенко в 1999 году в работе [49]. Они рассмотрели многообразие А2 всех метабелевых алгебр Ли, которое определяется тождеством

(Х1Х2)(Х3Х4) = 0.

Далее было построено полупрямое произведение М = F-j(A2) — относительно свободной алгебры этого многообразия с множеством свободных образующих X = {х1,Х2,хз} и < d > — одномерной подалгебры в алгебре всех дифференцирований алгебры М, то есть L = М X < d >. Имеет место следующая теорема:

Для многообразия V = var(L) алгебр Ли над полем нулевой характеристики выполняются строгие неравенства 3 < EXP(V) < EXP(V) < 4.

Позже ими же в соавторстве с A.B. Веревкиным в работе [3] было доказано существование экспоненты этого многообразия и найдено ее точное значение.

Экспонента EXP(yar(L)) существует и является дробным числом, приблизительно равным 3, 61.

Автором был найден еще один пример многообразия с нецелочисленной экспонентой (см. [59] и [61]) для алгебр Ь = М\ < с1 >, где М = ^(А2) — относительно свободная алгебра многообразия всех метабелевых алгебр Ли А2 с множеством свободных образующих X = {х\, х2, хз, £4}, а < в, > по-прежнему одномерная подалгебра в алгебре всех дифференцирований алгебры М. Тогда:

В случае поля нулевой характеристики для многообразия алгебр Ли V = иаг(Ь) выполняется равенство ЕХР(V) = ЕХР(V) « 3.83.

Известен еще один классический объект, у которого экспонента роста коразмерностей не является целым числом. Это многообразие, порожденное бесконечномерной простой алгеброй картановского типа общей серии И2 или, другими словами, алгеброй Ли векторных полей на плоскости.

Напомним строение алгебры И7^. Пусть Як — Ф[£ь ¿2, • • •, Ь] ~ кольцо многочленов от переменных ¿1, ¿2, • • •; ^ над полем Ф. Всякий элемент бесконечномерной простой алгебры Ли картановского тина общей серии \¥к может быть записан в виде ^¿=1 /гД"; где дг оператор взятия частной производной по и, а ^ б Як, г — 1,... ,к. В этой алгебре лиевской операцией является коммутирование операторов. Обозначим Wk — многообразие, порожденное соответствующей алгеброй И^.

В 80-х годах С.П. Мищенко в работе [16] доказал экспоненциальность роста многообразия \Ук- А именно: с„(\У"к) < (4^)п. С.С. Мищенко удалось уточнить оценку роста последовательности коразмерностей многообразия, порожденного простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа. В работе [20] С.С. Мищенко доказал, что для верхних экспонент многообразий \Ук выполняются неравенства

ШР{< к{ 1 + к) + ^

В этой же статье была высказана гипотеза о том, что экспонента много-

образия, порожденного алгеброй W&, существует и равна верхней оценке из приведенного выше неравенства, то есть ЕХР(Wk) = к(к + 1)(1 + 1 /к)к.

В работах A.A. Кириллова и А.И. Молева было дана оценка размерности полилинейной части многообразия Wi, порожденного алгеброй Ли W\. Из чего непосредственно следует, что класс алгебр W\ имеет экспоненту равную 4 (см. [13], [22]). Более точно:

При п —^ оо

лп i 00

dimPJW!) - с-=, где с = —= ТТ(1 - 2~к).

В случае же многообразия, порожденного алгеброй W2, экспонента целым числом не является. В работе С.С. Мищенко ([21]) доказано, что в случае поля нулевой характеристики экспонента многообразия W2 является дробной:

13,1 < ЕХР(W2) < ЁХР(W2) < 13,5.

А. Джамбруно иМ.В. Зайцев доказали, что в классе ассоциативных алгебр экспонента многообразия, порожденного простой конечномерной алгеброй, равна размерности алгебры (см. [33]). Позже ими же в соавторстве с А. Регевым (см. [35]) было доказан этот факт и в случае алгебр Ли. Первый пример простой четырехмерной алгебры с единицей, PI-экспонента которой оказалась приблизительно равной 3,61, был найден М.В. Зайцевым, Д. Реповшем в работе [10]. Там же было получено следствие:

Существуют конечномерные простые алгебры с 1 с дробной экспонен-той, строго меньшей их размерности.

Перейдем к описанию структуры представленной диссертационной работы. Работа состоит из трех глав. Первая глава носит обзорный характер.

В первом параграфе приводятся основные определения и понятия, а также некоторые обозначения, используемые в дальнейшем. Все неопределяемые понятия можно найти в монографии Ю.А. Бахтурина (см. [1]) и монографии А. Джамбруно, М.В. Зайцева (см. [38]). Во втором параграфе данной главы сформулированы необходимые результаты, полученные автором диссертации совместно с A.B. Веревкиным, связанные с асимптотикой размерностей неприводимых ^-модулей, форма соответствующих диаграмм Юнга которых имеет некоторое ограничение. А именно: для неотрицательных вещественных переменных ai, c¿2,..., определим функцию

S

F(ai,a2, • ■ • ,ots) = Паг a¿ '

i=1

где по непрерывности справа полагаем 0° = 1 для нулевых значений переменных. Определим Т - компакт арифметического пространства заданный условиями:

/

Oil + OL2 + • • • + = 1

¿(2-г)-ai > 0 (*)

г=1

ai > а2 > ... > as > 0.

Максимумы функций F(ai, q¡2, • • •, o¿s) при различных s мы обозначим F(s),s = 3,4,....

Тогда, как будет доказано во втором параграфе первой главы: функция F(ai, cü2, ..., o;s) на компакте Т достигает максимальное значение в точке с ненулевой последней координатой ais ф 0, и при этом второе неравенство из условий (*) становится равенством. Кроме того, lim F(s) = 4 и

s—Юо

выполняются строгие неравенства:

3 - F{3) < • • • < F(s) < F{s + 1) < ■ • ■ < 4 .

Пусть Dsn — множество разбиений (Ai,..., As) числа п, удовлетворяю-

щих следующему условию:

Ai + Л2 + ... + As = п ¿(г — 2) • А; < О

г—1

к Ai > А2 > ... > As > 0.

Обозначим через А^ разбиение, принадлежащее Z)*, такое что размерность соответствующего неприводимого модуля является максимальной, то есть dsX(n) = max\er>n с?л • Тогда, как доказывается во втором параграфе первой главы, lim ?/d\,n) = F(s).

n—>oo v Л

Предложения, сформулированные во втором параграфе первой главы, будут использованы при доказательстве теорем во второй и третьей главах.

Вторая глава диссертации содержит два новых результата. Результат первого параграфа второй главы связан с построением дискретной серии алгебр Ли с различными дробными экспонентами роста их коразмерностей. Второй результат, доказанный во втором параграфе второй главы, касается такого классического объекта как простая бесконечномерная алгебра картановского типа общей серии Опишем эти результаты более подробно.

Пусть А2 - многообразие всех метабелевых алгебр Ли, определяемое тождеством

(ххх2)(х3х4) = 0.

Обозначим через Ms-\ = FS^\(A2), s = 3,4,... относительно свободную алгебру этого многообразия с множеством свободных образующих {zi,Z2,... ,zs-1}. Рассмотрим линейное преобразование d векторного пространства <2i, z2,..., zs-i>, действующее по правилу zLd = Zi+1, i = 1,2, ...,s — 2, zs_id = 0. В этом случае d можно продолжить до дифференцирования алгебры Ms-1, которое мы обозначим той же буквой. Линейную оболочку этого дифференцирования <d> в пространстве

всех эндоморфизмов алгебры можно считать одномерной алгеброй Ли с нулевым умножением. Построим полупрямое произведение алгебр М5_х и <с1>, которое обозначим Ь3 = М3-\ X <с1>. Многообразие, порожденное алгеброй Ь3, будем обозначать Ь3, где в = 3,4,... .

Теорема. Для экспонент роста коразмерностей алгебр Ли Ь3 выполняются строгие неравенства:

3 = ЕХР(Ъ3) < ... < ЕХР{Ь8) < ЕХР(Ь5+1) < ••■ < 4, где5 = 4,5,... .

Доказательство этого утверждения содержится в параграфе 2.1. второй главы.

Обозначим через где /с = 1,2,..., простые бесконечномерные алгебры Ли картановского типа общей серии, а через ЛУк — многообразия, порожденные соответствующими алгебрами. Алгебры Ли Ь3, где б = 3,4,..., не лежат в многообразии Wl, так как стандартное лиевское тождество степени пять не выполняется в Ь3, но, как хорошо известно, выполняется в И7!. Оказалось, что многообразию \У2 рассматриваемая серия алгебр уже принадлежит.

Теорема. Дискретная серия алгебр Ли Ь3 с различными дробными экспонентами роста коразмерностей принадлежит многообразию, порожденному простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии И^-

Доказательство этой теоремы изложено во втором параграфе главы 2.

Третья глава данной работы обращена к исследованию экспонент многообразий алгебр Лейбница и простых алгебр с единицей. Полученные результаты связаны с применением классических методов алгебр в рассматриваемых неклассических случаях.

Первый параграф третьей главы имеет целью построение серии многообразии с дробной экспонентой в классе алгебр Лейбница. Напомним, что

алгеброй Лейбница называется линейная алгебра, удовлетворяющая тождеству

(ху)г = {хг)у + х{уг).

Многие результаты, полученные для алгебр Лейбница, показывают, что алгебры Лейбница близки к алгебрам Ли, и естественны попытки обобщить некоторые результаты об алгебрах Ли на алгебры Лейбница. Так, в нервом параграфе третьей главы получен аналог теоремы, доказанной в первом параграфе второй главы. А именно:

Пусть 2N — многообразие алгебр Лейбница, определяемое тождеством х[уг) = 0, а М3-\ = .Рз-х^Г^) — относительно свободная алгебра этого многообразия с множеством свободных образующих {^х, 2:2,..., -г5_х}. Рассмотрим линейное преобразование (I векторного пространства <2х, ^2,..., г3-1>, определенное правилом = ^¿+х, ^ = 1, 2,..., в — 2, г3_1(1 = 0. В этом случае б? может быть продолжено до дифференцирования алгебры М3-\. Тогда можно построить алгебру Лейбница Ь3 как прямую сумму векторных пространств М3-\ и В = < (I >, где И — линейная оболочка дифференцирования с? в пространстве всех эндоморфизмов алгебры. То есть Ь3 = М3-\ ф И. Определим умножение векторов таким образом

(тх + аё)(т2 + (Зс1) = тхШг + /Зтхй,тх, т2 € Мв_х, а,/3 е Ф.

Многообразие, порожденное алгеброй Ь3, обозначим через Ь3.

Теорема. 5 случае поля нулевой характеристики для экспонент роста коразмерностей алгебр Лейбница Ь3 выполняются строгие неравенства

3 = ЕХР{Ь3) < • • • < ЕХР{и) < ЕХР(Ь^) < ■ ■ • < 4 , где 5 = 4, 5,... .

Доказательство этой теоремы приводится в параграфе 3.1. главы 3.

Второй параграф третьей главы обобщает результат М.В. Зайцева и Д. Реповша [10] для четырехмерной простой алгебры с едницей на случай

сколь угодно большой размерности. Построенная серия простых алгебр с единицей, последовательность размерностей которых стремится к бесконечности, имеет разные дробные PI-экспоненты, ограниченные числом 4.

Пусть Ат (га > 3) — алгебра размерности га с базисом as, s = — 1, 0,..., га— 2. Определим таблицу умножения так, чтобы ао был единицей алгебры, то есть для любого s выполняются равенства asao = а$а3 = as. Если же ф 0, то положим diCLj = ai+j при выполнении неравенств i > j и — 1 < i + j < т — 2. В остальных случаях, то есть, когда или i + j < —1, или i + j > ra — 2, или i < j будем считать, что a^aj = О

Теорема. PI—экспонента многообразия, порожденного алгеброй Ат, при т > 4 существует и равна дробному числу F(m).

Доказательство этой теоремы находится во втором параграфе третьей главы.

Результаты диссертации докладывались на конференциях и семинарах:

1) 8th International Algebraic Conference in Ukraine. (Lugansk, 5-12 July 2011);

2) Всероссийский конкурс научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук (Ульяновск, 2012 г.);

3) XXII ежегодная научно-практическая конференция ульяновского государственного университета (Ульяновск, апрель-май 2012 г.);

4) Третья международная школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов" , посвященной 75-летию Э.Б.Винберга (Тольятти, Россия, 25-30 июня 2012 г.);

5) International Conference on Algebra dedicated to 100th anniversary of S.M.Chernikov (Dragomanov National pedagogical University, Kyiv, Ukraine, 20-26 August 2012.);

6) XII Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" , посвященная восьмидесятилетию Виктора

Николаевича Латышева (Тула, Россия, 21-25 апреля 2014 г.);

7) Международная конференция "Алгебра и математическая логика: теория и приложения" (Казань, Россия, 2-6 июня 2014 г.);

8) Научно-исследовательские семинары кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского государственного университета.

Полученные результаты диссертации были опубликованы в работах автора [53]-[67], 4 из которых ([60], [61], [62], [66] входят в список ВАК.

В заключении автор выражает глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю С.П. Мищенко за предложенное направление исследований, полезные советы, постоянное внимание и моральную поддержку.

Глава 1. Предварительные сведения

Данная глава носит вспомогательный характер. Сведения, изложенные в этой главе, используются во второй и третьей главах. В параграфе "Необходимые определения и понятия" приводятся необходимые сведения и определения из теории многообразий и представлений симметрической группы, а также вводятся некоторые обозначения для более упрощенных записей. Во втором параграфе первой главы сформулированы результаты, связанные с асимптотикой размерностей неприводимых ¿'.„-модулей, форма соответствующих диаграмм Юнга которых имеет некоторое ограничение.

1.1. Необходимые определения и понятия

Введем необходимые понятия и обозначения. Будем следовать монографии Ю.А. Бахтурина (см. [1]), в которой можно найти все понятия и обозначения, используемые в данной работе без разъяснений. Напомним, что характеристика основного поля Ф предполагается равной нулю. Договоримся также опускать скобки в случае их левонормированной расстановки, т.е. (ab)c = abc.

Обозначим через F(X) - свободную линейную алгебру от счетного множества свободных образующих X = {х\,х2, ■ ■ ■ }■ Тождествами будем называть эквивалентности

f(xi,x2,...) = 0 или /(ж!,ж2,... ) ее д(х1,х2, ■ ■ ■ ),

используя символ равенства с тремя черточками, вместо обычного равенства, которое будем использовать в обычном смысле. Здесь f(xi,x2:... ) и д(хi,X2,. ■ ■ ) элементы свободной алгебры F(X). Отметим, что иногда в качестве образующих будут использоваться другие латинские буквы с одним и двумя индексами или без индексов.

Тождество д = О называется следствием тождества / = О, если первое тождество выполняется во всех алгебрах, в которых выполняется второе. Если же теперь тождество / = 0 является следствием тождества д = 0, то эти два тождества называются эквивалентными.

Например, тождество ш(х3+1, х3+2, х2:..., х3) = 0 является следствием тождества у(х\,х2, ■ ■ ■, х3) = 0, так как и;(ж<,+1, х3+2, х2,..., х3) = у(х3+1 + Х3+2, х2,..., Х8)~ у(х3+1, Х2,..., Х3) - у(х3+2, х2, . . . , Х8).

Системой Капелли порядка т называются семейство тождеств вида

1)Ржр(1)УП • • -УЫгХр^Уы. ..у2п2 ■. .аГр(т),

ре^т

где некоторые п^ могут быть равны нулю.

Элемент линейной алгебры называется полилинейным, если он линеен по каждой входящей в него переменной Х{, то есть

f{xl,..., ¡Зх^,..., хп) = а/(х\:..., х..., хп) 1,..., ,...,

Для проверки выполнимости тождества / = /(х\,х2,..., = 0 в некоторой алгебре Л в случае, когда / — полилинейный многочлен, достаточно вычислять значение многочлена / на базисных элементах этой алгебры. В случае произвольного тождества для упрощения процедуры проверки следует подставлять элементы базиса во всевозможные следствия тождества / = 0, имеющие вид /{уп + ... + у1а, у21 + ... + у2ь, ■ ■ •, Уп\ + • • • + Упс), где все уц — различные переменные. Переход от произвольного тождества к системе полилинейных тождеств называется линеаризацией тождества. Из книги А.И. Мальцева известно, что в случае поля нулевой характеристики любое тождество эквивалентно системе полилинейных тождеств (см. [15]).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Богданчук, Ольга Александровна, 2014 год

Список литературы

[1] Бахтурин, Ю. А. Тождества в алгебрах Ли [Текст] / Ю. А. Бахтурин. - М. : Наука, 1980.

[2] Белов, А. Я. О нешпехтовых многообразиях [Текст] / А. Я. Белов // Фундаментальная и прикладная математика.- 1999.- Т. 5.- № 1- С. 47-66.-ISSN 1560-5159.

[3] Веревкин, А. Б. Достаточное условие совпадения нижней и верхней экспонент многообразия линейных алгебр [Текст] / А. Б. Веревкин, М. В. Зайцев, С. П. Мищенко // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика и механика. - 2011. - № 2. - С. 36-39. - ISSN 0579-9368.

[4] Воличенко, И. Б. Многообразие алгебр Ли с тождеством [[Xi, Х2, Хз], [Xt, Х5, АГ6]] = 0 над полем характеристики нуль [Текст] / И. Б. Воличенко // Сибирский математический журнал.-1984,- Т. 25.- № 3.- С. 40-54,- ISSN 0037-4474.

[5] Гришин, А. В. Примеры не конечной базируемости Т-пространств и Т-идеалов в характеристике 2 [Текст] / А. В. Гришин // Фундаментальная и прикладная математика - 1999.- Т. 5 - № 1- С. 101-118-ISSN 1560-5159.

[6] Зайцев, М. В. О иолиномиальности роста кодлины многообразий алгебр Ли [Текст] / М. В. Зайцев, С. П. Мищенко // Алгебра и логика-1999.- Т. 38,- № 2,- С. 161-175,- ISSN 0373-9252.

[7] Зайцев, М. В. Целочисленность экспонент роста тождеств конечномерных алгебр Ли [Текст] / М. В. Зайцев // Известия РАН. Сер. Математика,- 2002,- Т. 66,- № 3.- С. 23-48 - ISSN 0002-3329.

[8] Зайцев, М. В. Тождества конечномерных унитарных алгебр [Текст] / М. В. Зайцев // Алгебра и логика.- 2011,- Т. 55,- № 5.- С. 563-594.-ISSN 0373-9252.

[9] Зайцев, М. В. Существование PI-эксионент роста тождеств [Текст] / М. В. Зайцев // тезисы докладов международной конференции "Мальцев-ские чтения" (Новосибирск, Россия, 11 - 15 ноября 2013 г.).- Новосибирск, 2013,- С. 130.

[10] Зайцев, М. В. Четырехмерная простая алгебра с дробной PI-экспонентой [Текст] / М. В. Зайцев, Д. Реповш // Математические заметки,- 2014,- Т. 95.- № 4,- С. 538-553,- ISSN 0025-567Х.

[11] Кемер, А. Р. Т—идеалы с сильным ростом коразмерностей Шпехта [Текст] / А. Р. Кемер // Сибирский математический журнал.- 1978-№ 19. - С. 54-69.- ISSN 0037-4474.

[12] Кемер, А.Р. Решение проблемы конечной базируемости тождеств ассоциативных алгебр [Текст] / А. Р. Кемер // ДАН СССР,- 1988.- Т. 298,-№ 2,- С. 273-277.-ISSN 0869-5652.

[13] Кириллов, А. А. Об алгебраической структуре алгебры Ли векторных полей [Текст] / А. А. Кириллов, А. И. Молев. - Препринт N 168. М.: ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР, 1985.

[14] Курош, А. Г. Лекции по общей алгебре [Текст] / А. Г. Курош. — СПб. : Лань, 2005.

[15] Мальцев, А. И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями [Текст] / А. И. Мальцев // Математический сборник-1949.- Т. 25.- № 3,- С. 347-366,- ISSN 1027-9547.

[16] Мищенко, С. П. К проблеме энгелевости [Текст] / С. П. Мищенко // Математический сборник,- 1984. - Т. 124(166).- № 1(5).- С. 56-67,-ISSN 1027-9547.

[17] Мищенко, С. П. О многообразиях алгебр Ли промежуточного роста [Текст] / С. П. Мищенко // Весщ АН БССР,- 1987.- № 2,- С. 42-45.

[18] Мищенко, С. П. Рост многообразий алгебр Ли [Текст] / С. П. Мищенко // Успехи математических наук - 1990 - Т. 45 - № 6(276).- С. 25-45,-ISSN 0042-1316.

[19] Мищенко, С. П. Цветные диаграммы Юнга [Текст] / С. П. Мищенко // Вестник МГУ,- 1993.- № 1,- С. 90-91,- ISSN 0579-9368.

[20] Мищенко, С. С. О росте многообразий коммутативных линейных алгебр [Текст] / С. С. Мищенко // Фундаментальная и прикладная математика,- 2008. - Т. 14,- № 5,- С. 165-170,- ISSN 1560-5159.

[21] Мищенко, С. С. Новый пример многообразия алгебр Ли с дробной экс-понентой [Текст] / С. С. Мищенко // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика и механика. - 2011- № 6.- С. 44-47 - ISSN 0579-9368.

[22] Мол ев, А. И. Об алгебраической структуре алгебры Ли векторных полей на прямой [Текст] / А. И. Молев // Математический сборник,-1987. - Т. 134(176).- № 1(9).- С. 82 - 92,- ISSN 1027-9547.

[23] Петроградский, В. М. О типах сверхэкспоненциального роста тождеств в PI-алгебрах Ли [Текст] / В. М. Петроградский // Фундаментальная и прикладная математика.- 1995.- Т. 1- № 4,- С. 989-1007 - ISSN 15605159.

[24] Петроградский, В. М. Рост иолинильпотентных многообразий алгебр Ли и быстро растущие целые функции [Текст] / В. М. Петроградский // Математический сборник,- 1997,- Т. 188,- № 6,- С. 119-138,- ISSN 1027-9547.

[25] Рацеев, С. М. Структура и тождества некоторых алгебр лиевского типа : Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ульяновск, УлГУ, 2006.

[26] Щиголев, В. В. Примеры бесконечно базируемых Т-идеалов [Текст] / В. В. Щиголев / / Фундаментальная и прикладная математика.- 1999Т. 5,- № 1,- С. 307-313,- ISSN 1560-5159.

[27] Amitsur, S. A. P.I. algebras and their cocharacters [Text] / S. A. Amitsur, A. Regev // J. Algebra.- 1982,- № 78,- P. 248-254,- ISSN 0021-8693.

[28] Berele, A. Homogeneous polynomial identities [Text] / A. Berele // Israel J. Math.- 1982,- V. 42,- № 3,- P. 258-272,- ISSN 0021-2172.

[29] Berele, A. Asymptotic behaviour of codimensions of p. i. algebras satisfying Capelli identities [Text] / A. Berele, A. Regev // Trans. Amer. Math. Soc-2008. - V. 360.- № 10. - P. 5155-5172,- ISSN 0002-9947.

[30] Berele, A. Properties of hook Schur functions with applications to p.i. algebras [Text] / A. Berele // Adv. in Appl. Math.- 2008. - V. 41. - № 1. - P. 52-75.- ISSN 0196-8858.

[31] Drensky, V. Relations for the cocharacter sequences of T-ideals [Text] / V. Drensky // Proceedings of the International Conference on Algebra, Part 2 (Novosibirsk, 1989.).-Amer. Math. Soc., Providence, RI. Contemp. Math.- 1992,- V. 131- P. 285-300,- ISSN 0002-9947.

[32] Drensky, V. Exact asymptotic behaviour of the codimensions of some P.I. algebras [Text] / V. Drensky, A. Regev // Israel J. Math.- 2005. - V. 96. - P. 231-242,- ISSN 0021-2172.

[33] Giambruno, A. On codimension growth of finitely generated associative algebras [Text] / A. Giambruno, M. Zaicev // Advanced in Mathematics-1998.- № 140,- P. 145-155,- ISSN 0001-8708.

[34] Giambruno, A. Exponential codimension growth of P.I. algebras: an exact estimate [Text] / A. Giambruno, M. Zaicev // Adv. Math.- 1999-V. 142-P. 221-243.- ISSN 0001-8708.

[35] Giambruno, A. Simple and semisimple Lie Algebras and codimension growth [Text] / A. Giambruno, A. Regev, M. Zaicev // Trans. Amer. Math. Soc - 2000,- V. 352,- № 4,- P. 1935-1946,- ISSN 0002-9947.

[36] Giambruno, A. Codimension growth and minimal superalgebras [Text] / A. Giambruno, M. Zaicev // Trans. Amer. Math. Soc - 2003 - № 355. -P. 5091-5117,- ISSN 0002-9947.

[37] Giambruno, A. Pi-algebras with slow codimension growth [Text] / A. Giambruno, D. La Mattina //J. Algebra.- 2005. - V. 284. - № 1. - P. 371391,- ISSN 0021-8693.

[38] Giambruno, A. Polynomial Identities and Asymptotic Methods [Text] / A. Giambruno, M. Zaicev // Mathematical Surveys and Monographs, AMS, Providence, RL- 2005.- V. 122.

[39] Giambruno, A. Algebras with intermediate growth of the codimensions [Text] / A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev // Advances in applied mathematics.- 2006.- V. 37,- № 3,- P. 360-377 - ISSN 0196-8858.

[40] Giambruno, A. Matrix algebras of polynomial codimension growth [Text] / A. Giambruno, D. La Mattina, V. Petrogradsky // Israel J. Math - 2007. - V. 158,- P. 367-378,- ISSN 0021-2172.

[41] Giambruno, A. Proper identities, Lie identities and exponential codimension growth [Text] / A. Giambruno, M. Zaicev //J. Algebra-2008,- V. 320,- № 5,- P. 1933-1962,- ISSN 89560021-8693.

[42] Giambruno, A. Codimensions of Algebras and Growth Functions [Text] / A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev // Advances of mathematics.-2008 - V. 217.- P. 1027-1052,- ISSN 0001-8708.

[43] Giambruno, A. Codimension growth of special simple Jordan algebras [Text] / A. Giambruno, M. Zaicev // Trans. Amer. Math. Soc- 2010-V. 362,- № 6,- P. 3107-3123.-ISSN 0002-9947.

[44] Giambruno, A. Finite dimensional nonassociative algebras and codimension growth [Text] / A. Giambruno, I. Shestakov, M. Zaicev // Advanced in Applied Mathematics.- 2011- № 47.- P. 125-139.- ISSN 0196-8858.

[45] Gordienko, A. S. Regev's conjecture and codimensions of P.I. algebras [Text] / A. S. Gordienko // Acta Appl. Math.- 2009. - V. 108.- № 1-P. 33-IJ55.- ISSN 0192-5857.

[46] James, G. The representation theory of the symmetric group [Text] / G. James, A. Kerber // Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Addison-Wesley, London.- 1981,- V. 16.- ISSN 0013-6018.

[47] Kerber, A. Representations of permutation groups I: Representations of Wreath Products and Applications to the Representation Theory of Symmetric and Alternating Groups [Text] / A. Kerber // Lect. Notes in Math. Springer-Verlag.- 1971.- V. 240,- ISSN 0075-8434.

[48] La Mattina, D. Varieties of almost polynomial growth: classifying their subvarieties [Text] / D. La Mattina // Manuscripta Math - 2007 - V. 123-№ 2. - P. 185-203,- ISSN 0025-2611.

[49] Mishchenko, S. P. An example of a variety of Lie algebras with a fractional exponent [Text] / S. P. Mishchenko, M. V. Zaicev // J. Math. Sci. New York.- 1999,- V. 93,- № 6,- P. 977-982,- ISSN 1072-3374.

[50] Mishchenko, S. P. Exponents of Varieties of Lie Algebras with a Nilpotent Commutator Subalgebra [Text] / S. P. Mishchenko, V. M. Petrogradsky // Communications in Algebra.- 1999,- V. 27.- № 5,- P. 2223-2230,- ISSN 0092-7872.

[51] Regev, A. Codimensions and trace codimensions of matrices are asymptotically equal [Text] / A. Regev // Israel J. of Math.- 1984. -№ 47. - P. 246-250.- ISSN 0021-2172.

[52] Regev, A. Existence of polynomial identities in A ® В [Text] / A. Regev 11 Bull. Amer. Math. Soc - 1971. - V. 77.- № 6. - P. 1067-1069.- ISSN 0273-0979.

Работы автора по теме диссертации

[53] Malyusheva, (Bogdanchuk) О. A. An example of Leibniz algebra variety with fractional exponent [Text] / O. A. Malyusheva, S. P. Mishchenko // Book of abstract of the 8th International Algebraic (Lugansk, Ukraine, 5-12 July 2011).- Lugansk, 2011,- P. 213.

[54] Малюшева, (Богданчук) О. A. JIневское многообразие дробной экспоненты [Текст] / О. А. Малюшева // труды молодых ученых ульяновского государственного университета: сборник докладов и тезисов докладов студентов и аспирантов на XXII ежегодной научно-практической

конференции (Ульяновск, апрель-май 2012 г.).- Ульяновск, 2012. - С. 22-23.

[55] Малюшева, (Богданчук) О. А. Лиевское многообразие дробной экспоненты [Текст] / О. А. Малюшева // всероссийский конкурс научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук: сборник работ победителей - Ульяновск, 2012. - С. 21-22

[56] Малюшева, (Богданчук) О. А. Лиевское многообразие дробной эскпо-ненты [Текст] / О. А. Малюшева // третья международная школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов" , посвященной 75-летию Э.Б.Винберга (Тольятти, Россия, 25 -30 июня 2012 г.).- Тольятти, 2012. - С. 31.

[57] Malyusheva, (Bogdanchuk) О. A. The infinite series of Lie algebras variety with different fractional exponents [Text] / O. A. Malyusheva, S. P. Mishchenko // Book of abstracts of the International Conference on Algebra dedicated to 100th anniversary of S.M.Chernikov (Dragomanov National pedagogical University, Kyiv, Ukraine, 20-26 August 2012).-Kyiv, Ukraine, 2012,- P. 90.

[58] Malyusheva, (Bogdanchuk) O. A. New example of variety of Lie algebras with fractional exponent [Text] / O. A. Malyusheva // Book of abstracts of the International Conference on Algebra dedicated to 100th anniversary of S.M.Chernikov (Dragomanov National pedagogical University, Kyiv, Ukraine, 20-26 August 2012).- Kyiv, Ukraine, 2012.- P. 89.

[59] Малюшева, (Богданчук) О. А. Лиевское многообразие дробной эскпо-ненты [Текст] / О. А. Малюшева // Ученые записки ульяновского государственного университета. Сер. Математика и информационные технологии - 2012 - № 1(4).- С. 63-70.

[60] Малюшева, (Богданчук) О. А. О числовых характеристиках некоторых многообразий алгебр Лейбница [Текст] / О. А. Малюшева, С. П. Мищенко, Ю. Ю. Фролова // Ученые записки Орловского государственного университета. Сер. Естественные, технические и медицинские науки,- 2012,- № 6, часть 2. - С. 136-145.- ISSN 1998-2720.

[61] Малюшева, (Богданчук) О. А. Лиевское многообразие дробной экспоненты [Текст] / О. А. Малюшева, С. П. Мищенко // Вестник МГАДА. Сер. Экономика,- 2013. - № 1(20). - С. 75 - 84,- ISSN 2077- 7353.

[62] Malyusheva, (Bogdanchuk) О. A. Series of varieties of Lie algebras of different fractional exponents [Text] /O.A. Malyusheva, S. P. Mishchenko, A. B. Verevkin // Dokl. Bolg. AN.- 2013. - V. 66.- № 3. - P. 321 - 330.-ISSN 0869-5652.

[63] Богданчук, О. A. PI-экспоненты некоторых простых алгебр с единицей [Текст] / О. А. Богданчук, С. П. Мищенко // Фундаментальная и прикладная математика - 2013. - Т. 18. - № 4. - С. 121-128 - ISSN 1560-5159.

[64] Богданчук, О. А. О подмногообразиях многообразия, порожденного простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии [Текст] / O.A. Богданчук / / XII Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", посвященная восьмидесятилетию Виктора Николаевича Латышева (Тула, Россия, 21-25 апреля 2014 г.). - Тула, 2014,- С. 150-151.

[65] Bogdanchuk, О. A. Growth codimensions some simple linear algebras with unit [Text] / O. A. Bogdanchuk, S. P. Mishchenko // Материалы международной конференции "Алгебра и математическая логика: теория и приложения" и сопутствующей молодежной летней школы "Вычисли-

мость и вычислимые структуры", посвященной 210-летию Казанского университета 80-летию со дня основания кафедры алгебры Казанского университета Н. Г. Чеботаревым и 70-летию со дня рождения заведующего кафедрой члена-корреспондента АН РТ М. М. Арсланова (Казань, Россия, 2-6 июня 2014 г.).- Казань, 2014 - С. 45.

[66] Богданчук, О. А. О серии подмногообразий многообразия, порожденного простой бесконечномерной алгеброй картановского типа общей серии W2 [Текст] / О. А. Богданчук // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика- 2014. - Т. 14 - № 2. -С. 125-129,- ISSN 1816-9791.

[67] Bogdanchuk О. A. On Lie algebras with exponential growth of the codimensions [Text] / O. A. Malyusheva, S. P. Mishchenko, A. B. Verevkin // Serdica Math. J.- 2014. - V. 40. - № 3. - P. 209-240,- ISSN 1310-6600.