Необходимые и достаточные условия конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Половинкина, Анастасия Владимировна

• Половинкина, Анастасия Владимировна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Половинкина, Анастасия Владимировна

Содержание

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Линейные алгебры и их многообразия

1.2. Краткие сведения из теории представлений симметрической

группы

Глава 2. Проблема конечности ко длины в различных классах линейных алгебр

2.1. Многообразия линейных алгебр кодлины равной единице

2.2. Условия конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр

2.3. Многообразия N5А, V-!, и2 алгебр Ли и их свойства

2.4. Многообразия алгебр Ли и условия конечности их кодлины

Глава 3. Условия конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница

3.1. Многообразия N5А, Т^ алгебр Лейбница и их подмногообразия

3.2. Необходимое условие конечности кодлины многообразия

алгебр Лейбница

3.3. Достаточное условие конечности кодлины многообразия

алгебр Лейбница

3.4. Необходимые и достаточные условия конечности

кодлины многообразия алгебр Лейбница

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Необходимые и достаточные условия конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница»

Введение

Изучение линейных алгебр и их многообразий над некоторым полем с точки зрения выполнения в них тождественных соотношений является одним из устоявшихся направлений исследований современной алгебры. Наиболее изученными являются многообразия ассоциативных алгебр и алгебр Ли [2], [52]. Данная работа посвящена исследованию многообразий алгебр Лейбница. Вероятно, одно из первых упоминаний алгебр Лейбница встречается в работе A.M. Блоха [4] как обощение понятия алгебры Ли. Эта тематика начала активно развиваться в 90-х годах XX века, появился ряд публикаций отечественных и зарубежных авторов: А.А. Михалев, V. Drensky, G.M.P. Cattaneo [50], J.-L. Loday, Т. Pirashvili [55] и др.

Важным направлением в исследовании многообразий линейных алгебр является изучение их числовых характеристик. К таковым относится рост многообразия, его кратности, кодлина. Данная работа содержит исследование многообразий алгебр Лейбница с конечной кодлиной, то есть многообразий, кодлина которых ограничена некоторой константой.

Одним из самых интересных примеров многообразий алгебр линейных алгебр являются многообразия с кодлиной, равной 1. Эта проблема исследована в работе [29]. В ней доказана, что существует ровно три многообразия с указанным свойством, по одному в классах алгебр ассоциативно-коммутативных алгебр, алгебр Ли и йордановых алгебр.

В случае ассоциативных алгебр рост кодлииы любого многообразия V асимптотически ограничен полиномиальной функцией nq для подходящего Я [48].

Для алгебр Ли ситуация значительно сложнее. Существует широкий класс многообразий алгебр Ли, называемых SPI-многообразиями, наиболее близки по своим свойствам к многообразиям ассоциативных алгебр. Для

них рост кодлины подчиняются аналогичным ограничениям. Существует более широкий класс АР1-многообразий, для которых рост коразмерности экспоненциально ограничен, а про рост кодлины ничего не известно. Поведение роста кодлины многообразий алгебр Ли изучено гораздо хуже, чем рост коразмерности. Известны отдельные примеры многообразий с полиномиальным ростом кодлины. В работе [15] доказана полиномиаль-ность роста кодлины любого АР1-многообразия алгебр Ли и построен ряд примеров, когда кодлина растет быстрее любой полиномиальной функции. Приведенные примеры показывают, что для многих важных многообразий алгебр Ли, таких как многообразия трехступенно разрешимых алгебр Ли, многообразия порожденные некоторыми бесконечномерными простыми алгебрами картановского типа или некоторыми алгебрами Каца-Муди, рост кодлины сверхполиномиален.

В работе [12] доказано, что если в многообразии V выполнена система тождеств Канелли ранга 4, то есть кохарактер многообразия лежит в полосе ширины 3, то при этом кодлина V имеет экспоненциальный рост. В работе [56] содержится доказательство того, что кодлина и коразмерности многообразия удовлетворяют условиям

¡„(V) > ^¡Ш.

уп!

Там же для произведения нильпотентных многообразий алгебр Ли соответствующей степени кодлина ¿„.(N¿,N2) асимптотически ведет себя, как Ъ*. Кодлина многообразия А^ была исследована в работе [51]. В ней определена следующая асимптотика для кодлины этого многообразия

—п—> оо Су/п,

где С — тг\/|, а также доказано, что А^ — минимальное многообразие алгебр Ли со сверхполиномиальным ростом кодлины.

Условия конечности кодлины многообразия алгебр Ли были исследованы в работах [42], [45]. В частности, в работе [42] доказано, что из конечности кодлины многообразия V алгебр Ли над полем нулевой характеристики следует, что оно удовлетворяет условию

и2 £ V с

для некоторого натурального числа 5. В упомянутой работе также установлено, что всякое многообразие алгебр Ли конечной кодлины имеет полиномиальный рост. В работе [45] определено, что условие

и2 <£ V С и2,

является достаточным для конечности кодлины многообразия алгебр Ли. То есть доказано, что многообразие и2 имеет почти конечную кодлину. А также что условие

и2 £ V С

для некоторого натурального числа 5 является не только необходимым, но и достаточным условием конечности кодлины лиева многообразия V.

Для многообразий алгебр Лейбница вопрос роста кодлины является еще менее изученным. В работе [1] рассматривается многообразие У2 алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики. Оно связано с бесконечномерной алгебры Грассмана. В работе определено, что кодлина этого многообразия является полиномиальной и равна Зп — 5 для любого п > 4. Кодлина многообразия Уз, связанного с неприводимыми бесконечномерными представлениями трехмерной алгебры Гейзенберга, была изучена в работе [40]. В ней было доказано, что кодлина этого многообразия выражается следующим образом

г„(У3) =

1, если п = Зк + 1,

где о =

О, если п ф Зк + 1. Объектом исследования данной работы являются многообразия алгебр Лейбница, их полилинейные компоненты, числовые характеристики, и, в частности такая числовая характеристика, как кодлина многообразия.

Предметом исследования являются условия конечности кодлины произвольного многообразия алгебр Лейбница над нолем нулевой характеристики.

Целью данной работы является поиск необходимых, достаточных и необходимых и достаточных условий конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница.

Векторное пространство с билинейным произведением, в котором выполняется так называемое тождество Лейбница

(ху)г = {хг)у + х(уг),

называется алгеброй Лейбница. Из тождества следует, что умножение справа на элемент алгебры является дифференцированием этой алгебры.

Алгеброй Ли называется векторное пространство с билинейным произведением, в котором выполняется тождество антикоммутативности

ху = —ух

и тождество Якоби

х{уг) + у(гх) + г{ху).

Тождества Якоби и Лейбница эквивалентны друг другу по модулю тождества антикоммутативности. Поэтому всякая алгебра Ли является алгеброй Лейбница. Многие результаты, полученные для данных двух классов алгебр показывают близость их свойств. Поэтому естественными являются

попытки обобщить некоторые результаты, полученные для алгебр Ли, на случай алгебр Лейбница.

Выражение тождества Лейбница в виде

х(уг) = (ху)г - (хг)у

позволяет представить любой элемент алгебры Лейбница в виде линейной комбинации элементов, в которых скобки расставлены слева направо. Поэтому договоримся опускать скобки в случае их левонормированной расстановки, то есть

ХЛХ2ХЪ ...Хп= (((Х1Х2)Х3) ..

Договоримся обозначать оператор умножения справа, например, на элемент г алгебры Лейбница, заглавной буквой Z. Тогда можем записывать

элемент ху.. .у в виде хУп.

п

Многообразием V линейных алгебр над некоторым (или примитивным классом алгебр [19]) называется совокупность всех линейных алгебр над этим полем, в которых выполняется некоторый фиксированный набор тождественных соотношений.

А.И. Мальцев в 1950 году доказал [22], что всякое тождество эквивалентно системе полилинейных (линейных по каждой переменной) тождеств в случае нулевой характеристики основного поля. Эта система получается при помощи стандартного метода линеаризации, описанной в упомянутой работе. Поскольку все объекты данной работы рассматриваются над полем нулевой характеристики, то вся информация о них содержится в их полилинейных элементах.

Пусть V — некоторое многообразие линейных алгебр. Обозначим через К(Х, V) относительно свободную алгебру многообразия V от счетного множества образующих X = {ж1, х2, ■.., жп,...}. Рассмотрим множество

полилинейных слов степени п от образующих х\, Х2,..., хп относительно свободной алгебры F(X,V) многообразия V. Они образуют векторное пространство Pn(V), называемое полилинейной компонентой относительно свободной алгебры многообразия V. Поскольку основное поле имеет нулевую характеристику, то вся информация о многообразии V содержится в его полилинейной части. Поэтому изучение этого пространства играет важную роль и активно изучается для различных многообразий.

Зададим на пространстве Pn(V) действие перестановок, в результате чего оно превратится в пространство представлений симметрической группы Sn. Пусть а — элемент группы Sn. Будем считать, что действие элемента а на элемент пространства Pn(V) определяется действием на индексах образующих. Тогда элемент Xi1Xi2...Xin под действием а перейдет в элемент xa(ii)xa(i2)---xcr(i„)- Пространство Pn(V) становится модулем над групповым кольцом KSn. Эта идея позволяет использовать при исследовании многообразий линейных алгебр теорию представлений симметрических групп.

Хорошо известно (см., например, [9], [20]), что групповое кольцо KSn симметрической группы Sn над полем К характеристики ноль раскладывается в прямую сумму левых идеалов. Пространство Pn(V) как К5п-модуль также разлагается в прямую сумму неприводимых подмодулей. Каждое из таких слагаемых определяется множеством эквивалентных друг другу тождественных соотношений.

Строение модуля Pn(V) можно представить на "языке характеров". Рассмотрим разложение характера модуля Pn(V) в целочисленную комбинацию неприводимых характеров ха> соответствующих разбиению А числа п

xn(V) = x(Pn(V)) = £ шаха- (1)

Ahn

Числа 772а, так называемые кратности, равны числу изоморфных неприводимых модулей, соответствующих разбиению А. Сумма кратностей по

всевозможным разбиениям Л числа п называется кодлиной многообразия:

/.(V) = £ тх.

Ahn

Опишем структуру представленной диссертации. Работа состоит из трех глав. Первая глава носит обзорный характер. Первый параграф содержит основные определения и понятия, а также некоторые обозначения, необходимые для упрощающие записи. Во втором параграфе данной главы рассматриваются необходимые сведения из теории представлений симметрической группы.

Вторая глава диссертации носит реферативный характер. Она содержит описание проблемы конечности кодлины в различных классах линейных алгебр. В первом параграфе речь идет о многообразиях, кодлина которых равна единице. Интересно, что таких многообразий оказалось не множество, как можно было ожидать, а всего три: по одному в классах ассоциативных, лиевых и йордановых алгебр. Эти многообразия определены и описаны в первом параграфе.

Второй параграф описывает два многообразия ассоциативных алгебр конечной кодлины. Первое из них связано с бесконечномерной алгеброй Грассмана, второе — с алгеброй верхнетреугольиых матриц порядка два. Кроме того, в нервом параграфе содержится необходимое и достаточное условия конечности кодлины многообразия ассоциативных алгебр.

В третьем параграфе второй главы рассматриваются многообразия Vi, NSA и U2 алгебр Ли. Описываются свойства этих многообразий и их числовые характеристики, а также тождества, которым они удовлетворяют. В данном параграфе приводится критерий полиномиальности роста многообразия алгебр Ли над полем нулевой характеристики. Кроме того, для указанных многообразий подробно описывается поведение кодлины.

Третий параграф второй главы содержит описание взаимосвязи асимп-

тотики функции кодлины многообразий алгебр Ли с другими числовыми характеристиками и условия конечности кодлины этих многообразий.

В четвертом параграфе рассматриваются только многообразия алгебр Ли. Он содержит описание многообразий с полиномиально ограниченным ростом кодлины; многообразия, рост кодлины которого является промежуточным между полиномиальным и экспоненциальным; многообразий со сверхэкспоненциальным ростом кодлины, и, наконец, многообразия с почти конечной кодлиной, одним из которых является многообразие и2. Этот параграф содержит реферативное доказательство необходимого условия конечности кодлины многообразия V алгебр Ли над полем характеристики ноль, которое заключается в существовании натурального числа я, для которого выполняется условие

и2 £ V С ГчГяА.

Из этого утверждения вытекает следствие, приведенное в данном параграфе о том, что рост всякого многообразия алгебр Ли с конечной кодлиной является полиномиальным. Далее рассматриваются многообразия алгебр Ли, не содержащие многообразия и2. Приводится идейное доказательство леммы о том, что существуют такие степени и коэффициенты, для которых в многообразии V выполняется тождество

хУагУр = £ агхУа~1гУр+\

г=0

В конце четвертого параграфа второй главы приводится реферативное доказательство необходимого и достаточного условия конечности кодлины многообразия V алгебр Ли над полем нулевой характеристики, которое заключается в существовании натуральное числа в, для которого выполняется условие

и2 £ V С

В первом параграфе третьей главы рассматриваются многообразия V-!, ]МзА и и2 алгебр Лейбница. Описываются свойства этих многообразий и их числовые характеристики, а также тождества, которым они удовлетворяют. В данном параграфе приводится условие полиномиальности роста многообразия алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики. Кроме того, для указанных многообразий подробно описывается поведение код-лины.

Во втором параграфе третьей главы на "языке" тождественных соотношений указано необходимое условие конечности кодлины для многообразия алгебр Лейбница, которое было опубликовано в работе [62]. Прежде чем изложить содержание данного параграфа, опишем многообразия, которые будут использоваться в процессе доказательств.

Многообразие алгебр Лейбница Г^А определяется тождеством

{Х\Х2){Х21ХА)... (х28+1Х28+2) = О

и называется нильпотеитным многообразием алгебр Лейбница с нильпо-тентным коммутантом ступени нильпотентности не выше 5.

Многообразие Иг состоит только из алгебр Ли, впервые было определено в работе [44]. Через и2 обозначается многообразие алгебр Ли, определяемое всеми тождествами вида /д = О, где элемент /д соответствует разбиению Л = (А1,..., А&) числа п, удовлетворяющему условию п — А1 > 2. Как было доказано в упомянутой работе многообразие алгебр Ли и2 имеет почти конечную длину. Так как любая алгебра Ли является алгеброй Лейбница, то многообразие Т^ является с почти конечной кодлиной многообразия алгебр Лейбница.

Многообразие алгебр Лейбница 112 определяется всеми тождествами, которые соответствуют разбиениям А = (Ах, Х2,... А^) числа п, с условием,

что п — Ах > 2, а также тождествами

х\{х2х^){х^хъ) = 0, хх(ху)у - ху{ху)х = О

Е (-1)РХХр(1)Хр(2)Хр(3) = О, ре Бз

где (—1)р — четность перестановки р. Многообразие и2 имеет следующее строение полилинейной части:

Р„(С/2) = К8п(Нп д{п))П® К Зп(Ип д^^У® К вп(Нп 4-2,2))®

г=0 1=0

п—3

где

4) = ^(п—1,1) = (яЗД - ^Ж!)^"2,

4-1,1) = ^Г1 (ХгХ2 - Х2Х1) г = 1,..., п - 2;

4-2,2) = х1Хг1(х1х2)х2Х- х2Хг1(х1х2)х1Х?-4-\ г = 0,1, ...,п - 4,

9™п—2,2) = Ых2 ~ х2Х1)Х?~4(хгх2); 4-2,1,1)= £ (-1)%(1)Х1ХР(2)ХР(3)ХГ34, г = 0,1,...,71-3.

рб^З

Кодлина этого многообразия является почти конечной. Для любого натурального числа п > 3, рг — = 1,...,ЬП определим множество полиоднородных элементов степени п следующего вида

Полную линеаризацию элемента ^ обозначим через

Л = ... = Ежп(ж1Ж2) ... (ж2р4-1я:2р4)а;<т(2р4+1)... ж<т(п-1),

а

где суммирование ведется по всем перестановкам а множества {2^+1, 2^+ 2,..., п — 1}. Отметим, что так как характеристика основного поля равна нулю, то тождества = 0 и ^ = 0 являются эквивалентными.

*

V

Далее, введем в рассмотрение множества диаграмм Юнга 7^ (£ = 1, 2,...,), построенных по разбиениям Л = (А^Аг,...) числа п, удовлетворяющим свойству п — 2рг — 1 < Ах < п — И отметим, что построенные таким образом множества Тг- и 7} не пересекаются для г

Рассмотрим модуль = Квп^, порожденный полилинейным элементом Для него справедлива лемма:

Лемма 3.1. Пусть V — некоторое многообразие алгебр Лейбница и — подмодуль полилинейной компоненты этого многообразия, порожденный линеаризацией элемента вида

д1 = хп{ххх2)... (Х2Р1-\Х2Р1)УП~2РЬ~~1,

где рг — Зг, £ = 1,..., Ъп. Пусть, кроме того, 7] — множество диаграмм Юнга, которые отвечают разбиениям А = (А^Аг,...) числа п, удовлетворяющие следующему свойству п — 2 рь — 1 < А \ <п— рг. Тогда в разложении КБп-модуля участвуют только те неприводимые модули, которые соответствуют диаграммам из множества 7}.

Основываясь на этой лемме, мы приходим к справедливости следующей теоремы:

Теорема 3.1. Если V — многообразие алгебр Лейбница конечной код-лины, тогда существует такое натуральное число в, что выполняется условие

и2,и2 <£ V С Г^А.

Из данной теоремы непосредственно вытекает

Следствие 3.1. Если V — многообразие алгебр Лейбница конечной код-лины, тогда V имеет полиномиальный рост.

Третий параграф третьей главы посвящен достаточному условию конечности кодлины произвольного многообразия алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики. Результаты, представленные в данной главе были опубликованы в работе [61].

Итак, мы рассматриваем произвольное многообразие V алгебр Лейбница. Достаточным условием конечности его кодлины является следующее:

Теорема 3.2. Пусть V — подмногообразие многообразия в кото-

ром для некоторых натуральных к, т, к < т, и а^,..., а^ Е К выполнено тождество

хУкгУт~к =

г=1

Тогда многообразие V имеет конечную кодлину.

В четвертом параграфе третьей главы доказывается следующее необходимое и достаточное условие конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница, опубликованные в работе [59].

Теорема 3.3. Кодлина многообразия V конечна тогда и только тогда, когда верно включение V С 1^СА и в многообразии V для некоторого натурального п и некоторых элементов а$ из поля выполняется тождество

£ агхУ1хУп-2-{ = О,

г=0

в котором хотя бы один коэффициент с^ отличен от нуля.

Четвертый параграф также содержит еще одно необходимое условие конечной кодлины многообразия алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики.

Теорема 3.4. Если для многообразия V алгебр Лейбница при некотором натуральном в верно условие и2, и2 V С М3А и в нем выполняет-

ся тождество

уУт-1 _ 0;

то кодлина многообразия V конечна.

В конце диссертационной работы приведена гипотеза, которую пока доказать или опровергнуть не удалось.

Гипотеза. В классе алгебр Лейбница условие

и2,и2£ Ус

эквивалентно конечности ко длины многообразия V.

Результаты диссертации докладывались на конференциях и семинарах:

1) Международная конференция, посвященная 80-летию В.П. Шункова. "Алгебра и логика: теория и приложения." (Красноярск, 21-27 июля 2013 г.).

2) XI Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Саратов, 09-14 сентября 2013 г.).

3) XII Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" посвященная восьмидесятилетию Виктора Николаевича Латышева (Тула, 21-25 апреля 2014 г.).

4) Международная конференция "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 10-13 ноября 2014 г.).

5) Семинары кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского государственного университета.

Основная часть результатов опубликована в работах [59], [60], [61], [62], [63], [64], [65].

В заключении автор выражает глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю С.П. Мищенко за предложенное направление исследований, полезные советы, постоянное внимание и моральную поддержку.

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Линейные алгебры и их многообразия

1.1.1. Основные обозначения и понятия

На протяжении всей работы будем обозначать через К основное поле нулевой характеристики.

Рассмотрим свободную линейную алгебру К{Х) от множества свободных образующих X = {х\,..., хП1...} над полем К с сигнатурой (набором операций), состоящим из одной билинейной бинарной операции. Согласно [19] эта алгебра является векторным пространством, элементы которого линейные комбинации слов от свободных образующих с каким-то образом расставленными скобками. Обычным образом определяется степень слова и его степень по образующей. Если слово степени п имеет степень равную единице но каждой из своих п образующих, то оно называется полилинейным. Например, полилинейными словами степени три от образующих хг,х2,хз будут 12 слов вида (х^х^))^) хр{1)(хР{2)ЯР(з)), гДе V перестановка из симметрической группы £3. Пусть А — произвольная алгебра с одной бинарной билинейной операцией. Отображение из X в А единственным образом продолжается до гомоморфизма из К(Х) в А. Это позволяет ввести понятие тождества в алгебре А. Говорят, что в алгебре А выполняется тождество

¡(хь ... ,Хг,. ..) = О

или алгебра А удовлетворяет тождеству /(жх,... ,Х(,...) = 0, где / элемент свободной алгебры К(Х), если /(х\,..., Х{,...) лежит в ядре любого гомоморфизма алгебры К(Х) в алгебру А или, другими словами, если в алгебре А выполняется равенство /(п,..., гг-,...) = 0 для любых ее эле-

ментов гь ..., Vi, — Степень полинома f(x 1,..., х{,...) называется степенью тождества. Множество тождеств, выполняющихся в некоторой алгебре А образуют так называемый Т-идеал, который будем обозначать Id(A). Обратим также внимание, что мы используем тройное равенство в случае тождественных соотношений. Поэтому у нас, например, в тождестве f(x 1,... . ..) = 0 равенство носит условный характер, на самом деле как элемент свободной алгебры / ф 0. В то же время f(r\,..., г^,...) =0, так как последнее является обычным равенством элементов в А.

Множество алгебр с одинаковой сигнатурой и одинаковым набором тождеств называют многообразием алгебр над полем К [21], или в терминологии Куроша A.A. [19], примитивным классом алгебр. В общем случае многообразие алгебр договоримся обозначать через V и многообразие, порожденное алгеброй А, — через var(A).

Обозначим V как некоторое множество тождеств, вернее их левых частей, а А — некоторая алгебра. Множество V(A) будет наименьшим идеалом алгебры А, которое содержит все элементы ip(v), где <р — произвольный гомоморфизм из К(Х) в А, а, v £ V. Идеал V{A) называется вербальным идеалом, отвечающим множеству V. Идеал V(K(X)) — совокупность всех следствий системы тождеств {г* = 0|г> € V}. Если V является некоторым многообразием и V — произвольное множество многочленов, которое определяет это многообразие, то вербальный идеал V(A) алгебры А зависит лишь от самого многообразия V, а не от системы тождеств, определяющих это многообразие, поэтому можно его обозначить V(A).

Если V является некоторым многообразием, определяемым некоторой системой многочленов из свободной алгебры К(Х), тогда факторалгебру K(X)/V(K(X)) будет относительно свободной алгеброй многообразия V со счетным множеством свободных образующих X = {х\, х2,. ■.}. Такую алгебру обозначим через F(X, V).

Многообразие ассоциативных алгебр определяется тождеством ассоциативности (ж!ж2)жз = х\{х2хз). Важным примером ассоциативной алгебры является, бесконечномерная алгебра Грассмана над нолем К, порожденная счетным множеством {е\, е2,...}, е^- = —е^вг для всех г, ].

Другим примером является алгебра Т2 или С/Т2 верхнетреугольных матриц размера 2x2:

Идеал тождеств многообразия, порожденного данной алгеброй, по [23] есть ¿¿(Тг) = Т([х\, ж2][жз, х^]). В дальнейшем мы будем использовать второе обозначение £/Т2.

Стандартным полиномом степени п называется полином

в котором суммирование ведется по элементам симметрической группы, и (—I)9 равно +1 или —1 в зависимости от четности перестановки q. Стандартным тождеством степени п называется тождество вида:

Тождество /1 = 0 называется следствием тождества /2 = 0, если первое тождество выполняется во всех алгебрах, в которых выполняется второе. Если каждое тождество является следствием другого, то эти два тождества называются эквивалентными.

Элемент линейной алгебры называется полиоднородным по переменной х\, если его можно представить в виде суммы элементов одной и той же степени по переменной х\. Элемент / называется нолиоднородным, если он полиоднороден по каждой своей переменной. Полилинейным называется элемент полиоднородный степени однородности 1 по каждой переменной.

Е (-1)%(1)Яд(2)-Хд(п)

Я €Бп

Е (-1)%(1)жд(2)"-^(п) = 0.

Пусть / = f(xi,X2, .-.,xn) — полиоднородный элемент степени п, принадлежащий свободной алгебре L(X), и щ = degXif, г = 1,к. Полилинейная компонента элемента f(xu 4-... + xini) ...,Xki + ... + хкп) называется полной линеаризацией элемента / и обозначается Lin(f). При этом будем полагать, что Lin(f) записан от переменных х\, ...,хп.

В случае поля нулевой характеристики любое тождество эквивалентно системе полилинейных (линейных по каждой переменной) тождеств, которая получается при помощи стандартного метода линеаризации [22]. Приведем пример этого процесса для тождества

х0(ху){ху) = 0. После линеаризации по переменной х получаем

x0(xiy)(x2y) + X0(x2y)(xiy) ЕЕ 0. Полная линеаризация выглядит следующим образом:

Хо (xiyi)(x2y2) + xo(xiy2){x2yi) + x0(x2yi){xiy2) + x0(x2y2)(xiyi) = 0.

1.1.2. Алгебры JIu и алгебры Лейбница

Векторное пространство R над полем К называется линейной алгеброй (или линейной /Г-алгеброй), если на R задана билинейная операция * (то есть отображение *: Rx R —> R) такая, что для любых а, 6, с из R и любых а, /5,7 из К выполнены равенства:

(аа + (ЗЪ) * с = а(а * с) + /3(6 * с),

а * (/ЗЬ + 7с) = /3(а * 6) + j{a * с).

Алгеброй Ли называется неассоциативная алгебра, удовлетворяющая тождеству антикоммутативности

Х\Х2 = ~Х2Х1

и тождеству Якоби

{х\х2)х3 + (х2хг)х\ + (^3^1)2:2 = 0.

С основами теории многообразий алгебр Ли можно познакомиться по монографии Ю.А. Бахтурина [2].

Пусть Я — некоторая алгебра их,у — ее элементы. Дифференцированием алгебры Я называется такой эндоморфизм а : Я —> Я, что для любых х я у из Я выполняется равенство <т(ху) = а{х)у + хсг{у) или в другой записи (;ху)а = (ха)у + х(уа). Название обосновано правилом Ньютона-Лейбница дифференцирования произведения двух функций. Обозначим ас1 у внутреннее дифференцирование алгебры Ли Я, определенное элементом у, задаваемое равенством хай у = ху.

Неассоциативная алгебра Ь (над полем К) с билинейным произведением называется алгеброй Лейбница, если она удовлетворяет тождеству Лейбница:

{ху)г = {хг)у + х(уг). (2)

Согласно этому тождеству правое умножение на элемент алгебры становится дифференцированием этой алгебры. При условии выполнения тождества антикоммутативности ху = —ух, тождество Лейбница эквивалентно тождеству Якоби: х(ух) + у{гх) + г(ху) = 0. Поэтому, если в алгебре Лейбница выполняется тождество хх = 0, то она является алгеброй Ли. В частности, любая алгебра Ли является алгеброй Лейбница. Обратное неверно.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Половинкина, Анастасия Владимировна, 2015 год

Список литературы

[1] Абанина, Л.Е. Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тождествами / Л.Е. Абанина, С.М. Рацеев // Вестник Самарского государственного университета. — 2005. — №6. — С. 36—50.

[2] Бахтурин, Ю.А. Тождества в алгебрах Ли / Ю.А. Бахтурин. — М.: Наука, 1985. — 448 с.

[3] Бенедиктович, А. Н. Т-идеалы свободных алгебр Ли с полиномиальным ростом последовательности коразмерностей / А.Н. Бенедиктович, А.Е. Залесский // Весщ АН БССР. - 1980. - №3. - С. 5-10.

[4] Блох, A.M. Об одном обобщении понятия алгебры Ли / A.M. Блох // Доклады Академии наук СССР. - 1965. - Т. 18. - №3. - С. 471-473.

[5] Ван дер Варден, Б.Л. Алгебра // Б.Л. Ван дер Варден. — М.: Наука, 1979. - 649 с.

[6] Васильева, И.Р. Критерий конечности кодлииы многообразия Z2-градуированных ассоциативных алгебр / И.Р. Васильева // Ученые записки УлГУ. Фундаментальные проблемы математики и механики. Часть 2 / Под ред. Е.В. Дулова. — Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2000. — Вып. 2(7).

[7] Джамбруно, А. Кратности характеров полилинейной части многообразия AN2 / А. Джамбруно, М.В. Зайцев, С.П. Мищенко // Ученые записки Ульяновского государственного университета " Фундаментальные проблемы математики и механики". — 1998. — Вып.1 — №5. — С. 59-62.

[8] Джамбруно, А. Новый результат о тождествах алгебр с инволюцией / Аю Джамбруно, С.П. Мищенко // Тезисы докладов, представленных

на Международный алгебраический семинар посвященный 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ (10-12 февраля 1999 г.), М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 1999. — С. 70.

[9] Джеймс, Г. Теория представления симметрических групп / Г. Джеймс.

- М.: Наука, 1982. - 218 с.

[10] Дренски, B.C. О лиевых идеалах с малым ростом последовательности коразмерностей / B.C. Дренски, П.Е. Когалуков // Плиска. БЪЛГ. мат. студ. - 1986. - №8. — С. 94-100.

[11] Дренски, B.C. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр / B.C. Дренски // Математический сборник. — 1981.

- Т. 115. - №1(5). - С. 98-115.

[12] Зайцев, М.В. Асимптотика функций роста кодлины многообразий алгебр Ли / М.В. Зайцев, С.П. Мищенко // Успехи математических наук.

- 1999. - Т. 54. - №3. - С. 161-162.

[13] Зайцев, М.В. О кодлине многообразий линейных алгебр / М.В. Зайцев, С.П. Мищенко // Математические заметки. — 2006. — Т. 79. — №4. — Р. 511-517.

[14] Зайцев, М.В. Новое экстремальное свойство многообразия алгебр Ли AN2 / М.В. Зайцев, С.П. Мищенко // Вестник Московского государственного университета. Сер. 1. Математика. Механика. — Москва: Изд-во МГУ, 1999. - №5. - С. 15-18.

[15] Зайцев, М.В. О полиномиалыюсти роста кодлины многообразий алгебр Ли / М.В. Зайцев, С.П. Мищенко // Алгебра и логика. — 1999. — Т. 38 - №2. - С. 161-175.

[16] Зельманов, Е.И. Глобальная нильпотентность энгелевых алгебр Ли ограниченного индекса над полем нулевой характеристики /Е.И. Зельманов // ДАН СССР. - 1987. - Т. 292. - №2. - С. 265-268.

[17] Зельманов, Е.И. Об энгелевых алгебрах Ли / Е.И. Зельманов // ДАН СССР. - 1987. - Т.292. - №. - С. 265-268.

[18] Красильников, А.Н. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр Ли / А.Н. Красильников // Вестник Московского государственного университета. Сер. 1. Математика. Механика. — 1982. — №2. — С. 34-38.

[19] Курош, А.Г. Лекции по общей алгебре / А.Г. Курош. — СПб: Лань, 2005. - 400 с.

[20] Кэртис, Ч. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр / Ч. Кэртис, И. Райнер. - М.: Наука. 1969. — 668 с.

[21] Мальцев, А.И. Алгебраические системы / А.И. Мальцев. — М.: Наука, 1970. - 392 с.

[22] Мальцев, А.И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями / А.И. Мальцев // Математический сборник. — 1950. — Т. 26. - №1. - С. 19-33.

[23] Мальцев, Ю.Н. Базис тождеств алгебры верхнетреугольных матриц / Ю.Н. Мальцев // Алгебра и логика. - 1971. - Т. 10. - С. 393-400.

[24] Мищенко, С.П. Базис полилинейной части многообразия алгебр Лейбница Уг / С.П. Мищенко, Ю.Р. Пестова // Вестник Самарского университета. - №. 3 (114). — С. 72-78.

[25] Мищенко, С.П. Кодлина многообразий линейных алгебр / С.П. Мищенко, М.В. Зайцев // Математические заметки. — 2006. — Т. 79. — №4. - С. 553-559.

[26] Мищенко, С.П. Многообразия алгебр Лейбница слабого роста / С.П. Мищенко, О.И. Череватенко // Вестник Самарского государственного университета. Естественно-научная серия. —2006. — №9. — С. 19—23.

[27] Мищенко, С.П. Многообразия алгебр Ли с двуступенно нилыютент-ным коммутатнтом / С.П. Мищенко // Весщ АН БССР. — 1987. — №6. - С. 39-43.

[28] Мищенко, С.П. Многообразия алгебр Ли со слабым ростом последовательности коразмерностей / С.П. Мищенко // Вестник Московского государственного университета. Сер. 1. Математика. Механика. — Москва: Изд-во МГУ, 1982. - №7. - С. 63-66.

[29] Мищенко, С.П. Многообразия линейных алгебр кодлины один / С.П. Мищенко // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика. Механика. - 2010. - №1. - С. 25-30.

[30] Мищенко, С.П. Необходимые и достаточные условия полиномиально-сти роста многообразия алгебр Лейбница / С.П. Мищенко, О.И. Череватенко // Фундаментальная и прикладная математика. — 2006. — Т. 12. - №8. - С. 207-215.

[31] Мищенко, С.П. Новые свойства многообразия алгебр Ли ^А / С.П. Мищенко, Ю.Р. Фятхутдинова // Фундаментальная и прикладная математика. - 2012. - Т. 17. - №7. - С. 165-173.

[32] Мищенко, С.П. О многообразиях почти полиномиального роста алгебр Ли над полем характеристики нуль / С.П. Мищенко // Математиче-

ские заметки. — Москва: Изд-во Наука, 1986. — Т. 4. — №6. — С. 713721.

[33] Мищенко, С.П. О некоторых классах алгебр Ли / С.П. Мищенко // Вестник Московского государственного университета. Сер. 1. Математика. Механика. — 1992. — №3. — С. 27-28.

[34] Мищенко, С.П. О разрешимых подмногообразиях многообразия, порожденного алгеброй Витта / С.П. Мищенко // Математический сборник. - Москва: Изд-во Наука, 1988. — Вып. 136(178). - №3(7). — С. 413-425.

[35] Мищенко, С.П. Рост многообразий алгебр Ли / С.П. Мищенко // Успехи математических наук. — 1990. — Т. 45. — Вып. 6(276). — С. 25-45.

[36] Мищенко, С.П. Цветные диаграммы Юнга / С.П. Мищенко // Вестник Московского государственного университета. Сер. 1. Математика. Механика. - 1993.- №1. - С. 90-91.

[37] Наймарк, М.А. Теория представлений групп / М.А. Наймарк. — М.:Наука, 1976. - 560 с.

[38] Рацеев, С.М. Рост некоторых многообразий алгебр Лейбница / С.М. Рацеев // Вестник Самарского государственного университета. — 2006. - №6(46). - С. 70-77.

[39] Рацеев, С.М. Структура и тождества некоторых алгебр лиевского типа// Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ульяновск. УлГУ. 2006.

[40] Скорая, Т.В. Строение полилинейной части многообразия Уз / Т.В. Скорая // Ученые записки Орловского государственного университета. - 2012. - Вып. 50. - №6. - С. 203-212.

[41] Фролова, Ю.Ю. О нильпотентности энгелевой алгебры Лейбница / Ю.Ю. Фролова // Вестник Московского государственного университета. Серия 1, Математика. Механика. - 2011. - №3. - С. 63-65.

[42] Ханина, И.Р. Критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией / И.Р. Ханина // Ученые записки УлГУ. Фундаментальные проблемы математики и механики. Часть 2 / Под ред. Б.Ф. Мельникова. — 1999. — Вып. 2(6).

[43] Ханина, И.Р. О некоторых подмногообразиях многообразий U2 и N2A / И.Р. Ханина // Труды молодых ученых Ульяновского государственного университета: Тезисы докладов студентов и аспирантов на V ежегодной научно-практической конференции. Апрель 1996 г. — Ульяновск: УлГУ, 1996.

[44] Ханина, И.Р. Необходимое условие конечности кодлины многообразий алгебр Ли в случае поля нулевой характеристики // Фунд. и прикл. математика. - 2000. — №2. - С. 607-616.

[45] Ханина, И.Р. О многообразиях алгебр Ли конечной кодлины в случае поля нулевой характеристики / И.Р. Ханина // Ученые записки УлГУ. Фундаментальные проблемы математики и механики. Под ред. Б.Ф.

[46] Ширшов, А.И. Кольца, близкие к ассоциативным / А.И. Ширшов [и др.]. - М. : Наука, 1978. - 432 с.

[47] Эндрюс, Г. Теория разбиений / Г. Эндрюс // — М.: Наука, 1982. — 256 с.

[48] Berele, A. Applications of hook Young diagrams to P.I. algebras / A. Berele, A. Regev // Journal of Algebra. - 1983. - V. 82. - P. 559-567.

[49] Berele, A. Homogeneous polynomial identities / A. Berele // Israel journal of mathematics. — 1982. — V. 42. — №. 3. — P. 285-272.

[50] Drensky, V. Varieties of Metabelian Leibniz Algebras / V. Drensky, G.M.P. Cattaneo //J. Algebra and its applications. — 2002. — V. 1. — №1. — P. 31-50.

[51] Giambruno, A. On the colength of a variety of Lie algebras / A. Giambruno, S.P. Mishchenko, M.V. Zaicev // International Journal of Algebra and Computation. - 1999. - V. 9. - №5. - P. 483-491.

[52] Giambruno, A. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. / A. Giambruno, M.V. Zaicev // Mathematical Surveys and Monographs 122. American Mathematical Society. Providence. RI. — 2005.

[53] Higgins, P.J. Lie rings satisfying the Engel condition / P.J. Higgins // Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1954. - №1. - P. 8-15.

[54] Kemer, A. T-ideals with power growth of the codimensions are Specht / A. Kemer // Sibirskii Matematicheskii Zhurnal. — 1978. — №19. - P. 54-69.

[55] Loday, J.-L. Universal enviloping algebras of Leibniz algebras and (co)homology / J.-L. Loday, T. Pirashvili // Math. Ann. - 1992. - V. 296. - P. 139-158.

[56] Mishchenko, S.P. Asymptotic behaviour of colength of varieties of Lie algebras / S.P. Mishchenko, M.V. Zaicev // Serdica Mathem. Journal. - 2000. - V. 26. - №. 2. - P. 145-154.

[57] Mishchenko, S.P. A Leibniz variety with almost polynomial growth / S.P. Mishchenko, A. Valenti // J. Pure Appl. Algebra. - 2005. - V. 202. - №. 1-3. - Pp. 82-101.

s

[58] Mishchenko, S. P. Exponents of varieties of Lie algebras with a nilpotent commutator subalgebra. / S.P. Mishchenko, V.M. Petrogradsky // Comm. Algebra. - 1999. - V. 27. — №5. — P. 2223-2230.

Работы автора по теме диссертации

[59] Половинкина, A.B. Условия конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница / A.B. Половинкина, Т.В. Скорая // Вестник Самарского государственного университета. — 2014. — №10(121). — С. 84-90.

[60] Половинкина, A.B. Одно необходимое и достаточное условие конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница / A.B. Половинкина, Т.В. Скорая // Международная конференция "Мальцевские чтения" (10-13 ноября 2014 г.) - Новосибирск, 2014. - С. 116.

[61] Скорая, Т.В. Новые свойства многообразий алгебр Лейбница / Т.В. Скорая, A.B. Швецова // Известия Саратовского государственного университета. Серия математика, механика, информатика. — 2013. — №4(2). - С. 124-129.

[62] Швецова, A.B. Необходимое условие кодлины многообразия алгебр Лейбница / A.B. Швецова // Вестник МГАДА. - 2013. - №2(22). -С. 197-202.Мельникова. — 1997. - Вып. 4. - С. 97-98.

[63] Швецова, A.B. Об одном достаточном условии конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница / A.B. Швецова // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов XI международной конференции (Саратов, 9-14 сентября 2013 г.). — Саратов, 2013. - С. 88-89.

[64] Швецова, A.B. Одно необходимое условие конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница / A.B. Швецова // Алгебра и логика: теория

4

и приложения. Тезисы докладов международной конференции, посвященной 80-летию В.П. Шункова. (Красноярск, 21-27 июля 2013 г.). — Красноярск, 2013. - С. 148-149.

[65] Швецова, A.B. О некоторых условиях конечности кодлины многообразиях алгебр Лейбница / A.B. Швецова // XII Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" посвященная восьмидесятилетию Виктора Николаевича Латышева (Тула, Россия, 21-25 апреля 2014 г.). - Тула, 2014. - С. 185-187.