Почти нильпотентные многообразия в различных классах линейных алгебр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Шулежко Олеся Владимировна

• Шулежко Олеся Владимировна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Шулежко Олеся Владимировна

Введение

Глава 1. Необходимые определения и обозначения

1.1. Тождества в линейных алгебрах

1.2. Теория представлений симметрической группы и её применение к исследованию многообразий

1.3. Числовые характеристики, связанные с многообразиями

Глава 2. Почти нильпотентные многообразия в различных классах алгебр

2.1. Описание почти нильпотентных многообразий в классе ассоциативных алгебр

2.2. Описание почти нильпотентных многообразий в классе алгебр Ли

2.3. Почти нильпотентные многообразия в классе йордановых алгебр

2.4. Описание всех почти нильпотентных многообразий в классе алгебр Лейбница

Глава 3. Почти нильпотентные многообразия с целой экспонентой

3.1. Структура и тождества одного почти нильпотентного многообразия экспоненты два

3.2. Дискретная серия почти нильпотентных многообразий любых целых экспонент

3.2.1. В классе левонильпотентных ступени не выше двух алгебр

3.2.2. В случае коммутативных метабелевых алгебр

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Почти нильпотентные многообразия в различных классах линейных алгебр»

Введение

На протяжении долгого времени существенным являлся вопрос о нильпотентности неассоциативных алгебр. Решить этот вопрос довольно эффективно позволяет наличие разнообразных инструментов для определения нильпотентности алгебры. Одним из таких инструментов является исследование выполнимости тех или иных тождественных соотношений, а именно так называемого условия "ниль". Например, условие "ниль" ограниченного индекса на элементы для случая ассоциативной алгебры имеет вид: элемент алгебры в определенной степени равен нулю.

Понятно, что нильпотентность каждого элемента (некоторой его степени нулю) не гарантирует нильпотентность всей алгебры. Индекс нильпотентности каждого элемента может зависеть от самого элемента, в то время как в случае нильпотентной алгебры индексы нильпотентности всех элементов ограничены в совокупности.

С другой стороны не тривиальным является вопрос о нильпотентности всей алгебры в случае выполнения условия ограниченности индекса нильпотентности всех элементов некоторой константой.

Так, например, по хорошо известной теореме Нагаты-Хигмана ( [45] и [50]) ассоциативная алгебра в случае основного поля характеристики ноль и условием хп = 0 является нильпотентной индекса не больше 2п — 1 [9].

Возвращаясь к вопросу о взаимосвязи "ниль" условия ограниченного индекса на все элементы и нильпотентности алгебры, заметим, что в любой антикоммутативной алгебре квадрат любого элемента равен нулю, то есть в ней выполняется "ниль" условие ограниченного индекса, однако существует не нильпо-тентные антикоммутативные алгебры. Например, таковыми являются все алгебры Ли.

В алгебрах Ли умножение справа на фиксированный элемент, в силу определяющих тождеств, является дифференцированием алгебры, так называемым внутренним дифференцированием. Отметим, что в каждой нильпотентной алгебре любое внутреннее дифференцирование является нильпотентным операто-

ром алгебры, причем индекс нильпотентности ограничен числом, не зависящим от выбора элемента, а связан только с индексом нильпотентности самой алгебры.

Интерес к исследованию задач о тождествах представляли проблемы берн-сайдовского типа. К концу двадцатого века была решена большая часть этих задач. На изучение тождеств алгебры Ли и их представлений значительное влияние оказала так называемая ослабленная проблема Бернсайда и работы А.И. Кострикина, опубликованные в 1950-х годах, по энгелевым алгебрам Ли.

Исследованием нильпотентных алгебр Ли занимался В.В. Морозов. В 1958 году в работе [26] была представлена классификация точных представлений нильпотентных алгебр Ли шестого порядка над полем нулевой характеристики. В.В. Морозов и его ученики разработали методы классификации нильпотентных и разрешимых алгебр небольших размерностей. Однако стоит отметить, что современные исследования основаны на изучении алгебр с точки зрения выполняющихся в них тождественных соотношений, что значительно упрощает многие рассуждения.

В начале двадцатого века был поставлен вопрос о выполнимости обратного утверждения. Будет ли из "ниль" условия ограниченного индекса для внутреннего дифференцирования следовать нильпотентность всей алгебры. Это условие можно заменить условием выполнимости в алгебре Ли тождества энгелево-сти:

ху.. .у = 0,

где в левой части скобки расставлены левонормированным образом, а именно ху.. .у = (...(...((ху)у)...)у). Алгебру Ли, удовлетворяющую такому тождеству степени п + 1, называют алгеброй с условием энгелевости индекса п.

Эта проблема была успешно решена. Исторически сначала П. Хиггинс в 1954 году в работе [44] доказал, что при некотором ограничении на характеристику поля разрешимые многообразия с условием энгелевости являются нильпотент-ными.

В 1958 году А.И. Кострикин в статье [10] представил результат о том, что конечно порожденные алгебры Ли с условием энгелевости ограниченного ин-

декса являются нильпотентными. В 1987 году Е.И. Зельманов решил еще одну важную проблему. В статье [8] был опубликован результат о локальной нильпотентности кольца Ли, удовлетворяющее тождеству Энгеля.

Позднее, в 1983 году в статье [23] был опубликован важный результат С.П. Мищенко, который состоит в том, что в многообразии, порожденном простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа, тождество Энгеля влечет нильпотентность.

В своей статье [16], опубликованной в 1984 году, С.П. Мищенко привел одно достаточное дополнительное требование, при котором алгебра Ли с условием энгелевости ограниченного индекса оказывается нильпотентной. Найденное в этой статье достаточное условие связано со степенью роста последовательности коразмерностей вербального идеала многообразия. Оказалось, что многообразие показательного (экспоненциального) роста с условием энгелевости ограниченного индекса является нильпотентным. Полученный результат аналогичен результату, полученному в случае выполнения тождеств простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии. В этой же работе было доказано, что многообразие, порожденное простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии, имеет экспоненциальный рост. Доказательство этого утверждения, как и предыдущего, носит комбинаторный характер и не использует результат о локальной нильпотентности многообразия с тождеством Энгеля, полученный ранее А.И. Кострикиным [10].

В работе [16] также было доказано, что многообразие ассоциативных алгебр, в котором выполнено, так называемое, слабое тождество уп = 0 нильпотент-но. Доказательство этого факта основывается на результате из работы В. Н. Латышева [14] о том, что любое многообразие ассоциативных алгебр имеет показательный рост.

Более широкая гипотеза, связанная с этим направлением, такая: будет ли разрешимо или локально разрешимо многообразие алгебр Ли, не содержащее простую трехмерную алгебру Ли. В трехмерной простой алгебре Ли не выполняется тождество энгелевости, поэтому положительное решение этой проблемы вместе с классическим результатом Хиггинса дали бы в качестве следствия

положительное решение о нильпотентности многообразия алгебр Ли с тождеством энгелевости. В связи с этим М. Вон-Ли в работе [52] поставил вопрос о разрешимости многообразие 2-метабелевых алгебр Ли, так как оно не содержит простую трехмерную алгебру Ли. Для удобства приведем определение. Алгебра Ли называется 2-метабелевой, если любая 2-порожденная подалгебра является метабелевой. Во второй части статьи [23] С.П. Мищенко рассматривает многообразие 2-метабелевых алгебр Ли. Основной результат второй части статьи [23] состоит в том, что многообразие 2-метабелевых алгебр Ли над полем нулевой характеристики или характеристики р > 7 является разрешимым, что дает положительный ответ на поставленный М. Вон-Ли вопрос.

Отметим, что существует примеры, когда над полем не нулевой характеристики из выполнения условия энгелевости не следует нильпотентность. В монографии Ю.А. Бахтурина [1, с. 43 (пример 1.8.7)] приведен пример П. Кона [35] не нильпотентной метабелевой алгебры Ли ступени п + 1.

Положительное решение проблемы энгелевости в общем случае без дополнительных условий было получено в конце 80-х годов прошлого столетия. В 1987 году Е.И. Зельманов в работе [7] доказал глобальную нильпотентность энгеле-вых алгебр Ли ограниченного индекса над полем нулевой характеристики.

Используя технику, разработанную П. Хиггинсом и опираясь на результат Е.И. Зельманова о нильпотентности алгебры Ли, в которой выполняется тождество энгелевости, Ю.Ю. Фроловой в статье [30] удалось обобщить результат на случай алгебр Лейбница.

Большой вклад в изучение нильпотентных алгебр, многообразий линейных алгебр, алгебр Ли и метабелевых алгебр Лейбница внесли работы В. Дренски

( [3], [4], [36]).

Изучению многообразий и их характеристик посвящены работы С.М. Рацее-ва, Л.Е. Абаниной, О.И. Череватенко, Т.В. Скорой, С.С. Мищенко, Ю.Ю. Фроловой и др. Значимые результаты, полученные С.П. Мищенко и его учениками, позволяют сделать вывод о существовании алгебраической научной школы при Ульяновском государственном университете.

В данном диссертационном исследовании проведено изучение многообразий

в различных классах линейных алгебр. Единственным примером почти ниль-потентного многообразия ассоциативных алгебр является многообразие всех коммутативных ассоциативных алгебр. Размерность так называемых полилинейных частей этого многообразия равна единице, поэтому нет ничего удивительного, что любое его собственное многообразие является нильпотентным. В случае алгебр Ли почти нильпотентным является многообразие всех метабеле-вых алгебр Ли. В классе йордановых алгебр почти нильпотентным является многообразие с тождеством разрешимости второго порядка: (х1х2)(х3х4) = 0.

При рассмотрении алгебр Лейбница было найдено два примера почти ниль-потентных многообразий и доказано, что других нет. Следует отметить, что все представленные выше примеры сами имеют незначительный не выше полиномиального рост. В общем случае оказалось, что существуют примеры почти нильпотентных многообразий со значительным ростом. К таким можно отнести многообразие экспоненты два, построенное С.П. Мищенко и А. Валенти в статье [47].

В случае неассоциативных алгебр существуют достаточно экзотические примеры почти нильпотентных многообразий. Так, в работе [56] в неассоциативном случае построены примеры почти нильпотентных многообразий со значительной размерностью полилинейных частей. Более точно, для любого натурального числа в упомянутой работе построено почти нильпотентное многообразие с целой экспонентой. В данном исследовании, для случая коммутативных метабе-левых алгебр, построена дискретная серия почти нильпотентных многообразий различных целых экспонент.

Опишем структуру представленного диссертационного исследования. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Первая глава содержит необходимые сведения, которые используются во второй и третьей главах данной работы. Все дополнительные сведения о теории многообразий и представлений симметрической группы можно найти в монографиях Ю.А. Бахтурина [1] и книге А. Джамбруно, М.В. Зайцева [43]. Также для упрощения записей вводятся специальные обозначения. В первом параграфе первой главы сформулированы определения и основные положения из

теории линейных алгебр. Приведены необходимые определения многообразий алгебр, ставших уже классическими.

Второй параграф посвящен основам применения теории представлений симметрической группы при исследовании многообразий. Используемая при исследовании техника существенно зависит от характеристики основного поля. Поскольку рассматривается случай поля нулевой характеристики, то основным инструментом является хорошо разработанная теория представлений симметрической группы и техника диаграмм Юнга.

В свободной алгебре Г(X) многообразия V со счетным множеством свободных образующих X = {хо,Х1,Х2,... } рассматривается множество полилинейных элементов степени п от х1,х2,... ,хп. Они образуют векторное пространство Рп^), называемое полилинейной компонентой степени п относительно свободной алгебры. Полилинейную компоненту Рп^) степени п можно рассматривать как модуль над групповым кольцом ФSn симметрической группы Sn, задавая действие перестановки на индексах образующих: если а € Sn, ] (х1,... ,хп) е Рп (V), то

а](х1,..., хп) = f (ха(1),... , ха(п)).

Это действие симметрической группы Sn превращает полилинейную компоненту в левый Ф$п-модуль. Именно эта идея позволяет при исследовании многообразий линейных алгебр использовать теорию представлений симметрических групп. Заметим, что при этом каждый неприводимый подмодуль является множеством эквивалентных друг другу тождественных соотношений. О всех дополнительных сведениях из классической теории Юнга о неприводимых представлениях симметрической группы более подробно можно прочитать в книгах Г. Джеймса [2], или Ч. Кэртиса и И. Райнера [12].

Исследование структуры Рп^) как $п-модуля имеет важное значение при изучении многообразия V, поскольку в случае нулевой характеристики основного поля Ф вся информация о многообразии V содержится в пространствах Рп^),п = 1, 2,....

Вполне устоявшимся стало направление исследований алгебр и их многообразий на языке тождественных соотношений. Большой вклад в развитие теории

многообразий сделал А.И. Мальцев. В середине двадцатого века в работе [15] он доказал, что в случае нулевой характеристики основного поля всякое тождество эквивалентно системе полилинейных (линейных по каждой образующей) тождеств, которая получается при помощи метода линеаризации.

Третий параграф содержит сведения о числовых характеристиках многообразий. Так как характеристика основного поля равна нулю, то по теореме Машке полилинейную часть степени п можно разложить в прямую сумму неприводимых подмодулей. Строение модуля Рп(У) можно представить также на "языке характеров". Разложение характера модуля Рп(V) в целочисленную комбинацию неприводимых характеров будет иметь вид:

ХпСЮ = х(РпСЮ) = ^ тх^)хх,

АЬп

где тА^) — кратность неприводимого характера ха, отвечающего разбиению Л числа п. Число слагаемых /„.(V) = ^ тА^) в последней сумме называют

АЬп

кодлиной многообразия.

Коразмерностью степени п многообразия V называют размерность сп^) = &ш(Рп^)) пространства Рп(V).

Хорошо известно, что в случае основного поля характеристики ноль важной для изучения является последовательность коразмерностей многообразия V. Асимптотическое поведение последовательности коразмерностей называют ростом многообразия V, в свою очередь он служит своеобразной количественной оценкой для тождеств, которым удовлетворяет алгебра.

В последние годы, благодаря тщательному изучению асимптотического поведения последовательности коразмерностей, появились классификационные теоремы (см., например, [6], [18], [43]). Важным результатом в этой области является факт, что последовательность коразмерностей ассоциативной Р1-алгебры (ассоциативной алгебры, удовлетворяющей нетривиальному полиномиальному тождеству) является экспоненциальная ограниченность последовательности коразмерностей [51].

Если последовательность коразмерностей сп^) экспоненциально ограничена, тогда можно определить верхнюю и нижнюю границы многообразия [19].

Приведем соответствующие обозначения для верхней и нижней границы многообразия V:

exp(V = lim sup Пcn(V), exp(V) = lim inf Пcn(V).

Если exp(V) = exp(V) тогда exp(V) = exp(V) является экспонентой многообразия.

Заметим, что в статье М. Зайцева [53] построен пример многообразия, у которого нижняя и верхняя экспонента существуют, но являются различными. Таким образом, построено многообразие экспоненциального роста, у которого экспонента не существует.

В случае нулевой характеристики основного поля в классе ассоциативных алгебр было доказано, что экспонента всегда существует и является целым числом

( [39], [41], [43]).

При рассмотрении алгебр Ли интересна градация роста, от экспоненциальной функции до почти факториала, проведенная В.М. Петроградским в [27]. Даже при экспоненциально ограниченной коразмерности экспоненциальная скорость роста может быть не целым числом (см. [48]). В общем случае в [38] авторы построили для любого действительного а > 1 алгебру, экспоненциальный рост коразмерности которой асимптотически равен ан. Для неассоциативных PI-алгебр и алгебр Ли соответствующие коразмерности могут расти сверх экспоненциально.

Сейчас различают многообразия полиномиального, экспоненциального, сверхэкспоненциального роста, а также промежуточного между полиномиальным и экспоненциальным ростом (см., например, [21]). Подэкспоненциальный рост подразумевает, что многообразие имеет полиномиальный или промежуточный рост.

Многообразие V имеет полиномиальный рост, если существуют константы a,t > 0 , такие, что выполняется неравенства cn(V) < an1 для любого неотрицательного числа n. Кроме того, многообразие V имеет промежуточный рост, если для любых k > 0, a > 1 существуют константы C1,C2, что для любого n неравенства C1nk < cn(V) < C2an справедливо для любого n. Хорошо известно, что в случае ассоциативных алгебр и алгебр Ли не существует многообразий

промежуточного или экспоненциального роста между единицей и двумя [22]. Дискретная серия многообразий различного промежуточного роста была построена в статье [37].

Наконец, можно сказать, что многообразие V имеет подэкспоненциальный рост, если для любой константы В, В > 1, существует по, такое, что для всех п > п0, выполняется неравенства сп^) < Вп. Очевидно, что многообразия с полиномиальным ростом или промежуточным ростом имеют подэкспоненци-альный рост (пример таких многообразий был приведен в работе [49]).

Если многообразие нильпотентно, то есть для него существует такое число с, что любое произведение с или большего числа сомножителей равно нулю, то, понятно, что при п > с выполняется равенство сп^) = 0.

Многообразие назовем почти нильпотентным, если оно само не является нильпотентным, но каждое собственное его подмногообразие нильпотентно. В случае нильпотентного многообразия говорят, что его рост является нулевым. В классических случаях, например, в случае ассоциативных алгебр, алгебр Ли или алгебр Лейбница, почти нильпотентные многообразия сами имеют незначительный рост. Нахождение примеров почти нильпотентных многообразий является интересной задачей.

Вторая глава посвящена описанию почти нильпотентных многообразий в ставших уже классическими классах линейных алгебр: ассоциативных, алгебр Ли, йордановых алгебр, алгебр Лейбница. Здесь приведены два примера почти нильпотентных многообразий в классе алгебр Лейбница, а также доказано, что их ровно два.

В первом пункте второй главы описано единственное ассоциативное почти нильпотентное многообразие. Таким многообразием является многообразие всех ассоциативно-коммутативных алгебр. Действительно, в случае многообразий ассоциативных алгебр хорошо известно, что почти нильпотентное многообразие является многообразием всех ассоциативно-коммутативных алгебр. Для этого многообразия V последовательность коразмерностей равна сп(V) = 1, для всех п > 1.

Во втором пункте рассмотрено, что в случае алгебр Ли единственным по-

чти нильпотентным многообразием является многообразие всех метабелевых алгебр Ли. Метабелевы многообразия, или разрешимые ступени 2, являются одними из простейших классов многообразий алгебр Ли. Общепринятое обозначение для этого многообразие А2. Последовательность коразмерностей имеет вид сп(А2) = п — 1. Более подробно сведения из теории метабелевых алгебр Ли можно найти в монографии Ю. А. Бахтурина [1].

В следующем пункте было рассмотрено многообразие йордановых алгебр ^ в котором выполнено, так называемое, тождество разрешимости второго прядка (Ж1Ж2ХЖ3Ж4) = 0.

В работе [34] (см. также [9], пример 2, стр. 104) построена алгебра, которая порождает многообразие ^

Многообразие J является многообразием, для которого кодлина равна единице при любой степени. Как показано в работе [18], в случае нулевой характеристики основного поля, таких многообразий ровно три: по одному в каждом из трех классов (в классе ассоциативных алгебр — это многообразие всех ассоциативно-коммутативных алгебр, в классе алгебр Ли — это многообразие всех метабелевых алгебр, а в классе йордановых алгебр — многообразие J).

В четвертом пункте второй главы также рассматривается многообразие алгебр Лейбница 2^", тождеством ж(уг) = 0, полное описание которого можно найти в статье [36].

В последнем пункте второй главы приведены примеры почти нильпотентных многообразий алгебр Лейбница. Автору совместно с Ю.Ю. Фроловой удалось доказать, что других примеров нет. Данный результат является основным результатом второй главы и выносится на защиту.

Теорема 2.1. В случае нулевой характеристики основного поля существует ровно два почти нильпотентных многообразия алгебр Лейбница. Это многообразие метабелевых алгебр Ли А2 и многообразие левонильпотентных ступени не выше двух алгебр Лейбница

Доказательство этой теоремы представлено в пункте 2.4. второй главы диссертации.

Третья глава связана с многообразиями линейных алгебр и содержит экзо-

тические примеры почти нильпотентных многообразий со свойствами, которые не встречаются в классах ассоциативных, алгебр Ли или алгебр Лейбница.

Первый пункт третьей главы посвящен описанию примера почти нильпо-тентного многообразия экспоненты два впервые построенного С.П. Мищенко и А. Валенти в работе [47]. В этой работе открытыми остались вопросы нахождения числовых характеристик этого многообразия: кратности многообразия экспоненты два, его кодлины, коразмерности. В первом параграфе третьей главы автором завершено исследование числовых характеристик этого многообразия.

Приведем формулировку теоремы об основных числовых характеристиках многообразия экспоненты два, обозначенного как уатЛ. Доказательство находится в первом пункте третьей главы.

Теорема 3.3. Разложение характера %п(^атЛ) в сумму неприводимых над полем характеристики ноль, имеет вид:

п

2Х(к,к) + 2Х(&+1,&-1) + , к = 2,

Хп(УатЛ) = ^ п _ 1

2Х(к+2,к-1) + 3Х(к+1,к) + 2Х(к+1,к-1,1), к =

Для кодлины многообразия экспоненты два многообразия уатЛ верны формулы

I 6, к = ^

¡п(уатЛ) = I п - 1

17'к = — ■

Позднее, совместно с научным руководителем, удалось обобщить идею построения примера почти нильпотентного многообразия экспоненты два. В опубликованной статье [56] для любого целого числа построено почти нильпотентное многообразие соответствующей экспоненты. Этот результат изложен в первой части второго пункта третьей главы.

В первом подпункте построена неассоциативная алгебра Лт, для любого натурального т > 2. Многообразие, порожденное алгеброй Лт, обозначается ит.

Определение 3. Алгебра Лт является линейной алгеброй над основным полем Ф, которая порождается образующими {г, а1,а2,..., ат} и удовлетворяет следующим определяющим соотношениям:

= aiZ = 0, 1 < г,] < т;

(zw(Rai ,...,Ram ))(zw/(Rai ,...,Ram )) = 0, для некоторых, возможно, пустых слов w,w; от операторов Rai;

z(Rai . . . Ram) a¿i . . . aisais+i . . . ait + z(Rai . . . Ram) aii . . . ais+ia¿s . . . ait 0

для всех k > 0 и 1 < s < t < m, 1 < i1, . . . , < m.

Приведем некоторые простые свойства алгебры Am. Из последних соотношений из определения следует, что

z (Rai Ra2 ...Ram )* w^, . . . , Ram ) = 0,

где w любой ассоциативный моном, степень которого удовлетворяет таким неравенствам 2 < deg w < m, а степень хотя бы по одному Ra. больше 1. Кроме того, базис алгебры Am состоит из элементов

ai, a-2, . . . , am, z(RaiRa2 . . . Ram) , z(RaiRa2 . . . R

am ) aii ai2 . . . ait,

для всех k > 0, 1 < t < m, и 1 < i1 < i2 < • • • < < m.

Предложение 3.2.1. Алгебра Am удовлетворяет тождествам:

1. xi(x2x3) = 0;

2. = 0;

3. x0xxz1 • • • zsyy, в котором остаток при делении s на m отличен от m — 2.

В следующей теореме сформулирован основной результат первого пункта, который выносится на защиту.

Теорема 3.4. Пусть V ненильпотентное подмногообразие многообразия Um. Тогда Exp(V) = m.

Эта теорема и результат о том, что любое ненильпотентное многообразие имеет почти нильпотентное подмногообразие, доказывают существование почти нильпотентного многообразия экспоненты m, где m —любое натуральное число.

В последнем пункте аналогичный результат получен автором совместно с научным руководителем в классе коммутативных метабелевых алгебр и опубликован в статье [54].

Во второй части пункта 3.2. для любого натурального числа m доказано существование коммутативного метабелева почти нильпотентного многообразия экспоненты m.

Алгебру будем называть метабелевой, аналогично со случаем алгебр Ли, если в ней выполнено тождество

(Ж1Ж2ХЖ3Ж4) = 0.

Определение 4. Обозначим Bm, m > 2, алгебру, порожденную образующими {z,a1 ,a2,... ,am} и удовлетворяющую следующим определяющим соотношениям:

22

aiaj = aiZ = zai = 0, 1 < i,j < m; z z = zz =0;

(z2w(Rai,..., Ram))(zV(Rai,..., Ram)) = 0,

для всех, включая пустых, слов w,w' от операторов правого умножения Rai. Кроме того, uak = aku, 1 < k < m, для любого элемента u £ Bm степени по образующим не менее двух и

z 2 (Rai . . . Ram )k aii . . . ais ais+i ...ait + z 2(Rai . . . Ram )k aii . . . ais+i ais . . . a4 = 0

для всех k > 0 и 1 < s <t < m, 1 < i1,... ,it < mi.

Отметим, что единственным ненулевым элементом степени два относительно образующих является z2.

Алгебра Bm удовлетворяет тождеству коммутативности xy = yx и тождеству метабелевости. Из этих тождеств получаем, что любой элемент относительно свободной алгебры может быть записан как линейная комбинация левонорми-рованных одночленов, причем слева расположен z2, а далее слева направо ai, 1 < i < m.

Предложение 3.2.5. В алгебре Bm выполняются следующие тождественные соотношения:

y1y2xxx = 0, yiy2xxzi • • • zsyy = 0, где натуральное число s имеет остаток при делении на m отличный от m-2.

Основной результат последнего подпункта третьей главы сформулирован в теореме 3.6.

Теорема 3.6. В случае нулевой характеристики основного поля для любого целого ш, ш > 2, существует почти нильпотентное коммутативное метабелево многообразие экспоненты ш.

Результаты диссертации были представлены на семинарах и международных конференциях:

1. XI Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Россия, Саратов, 09—14 сентября 2013 г.);

2. XII Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", посвященная восьмидесятилетию профессора Виктора Николаевича Латышева (Россия, Тула, 21—25 апреля 2014 г.);

3. XIII Международная конференция "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения", посвященная восьмидесятипятилетию со дня рождения профессора Сергея Сергеевича Рышкова (Россия, Тула, 25—30 мая 2015 г.);

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шулежко Олеся Владимировна, 2015 год

Список литературы

1. Бахтурин, Ю. А. Тождества в алгебрах Ли [Текст] / Ю. А. Бахтурин. — М. : Наука, 1985. — 448 с.

2. Джеймс, Г. Теория представлений симметрических групп [Текст] / Г. Джеймс. — М. : Мир, 1982. — 214 с.

3. Дренски, В. С. О тождествах в алгебрах Ли [Текст] / В. С. Дренски // Алгебра и логика. — 1974.— Т. 13, № 3. — С. 265-290. — ISSN 0373-9252.

4. Дренски, В. С. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр [Текст] / В. С. Дренски // Математический сборник. — 1981. — Т. 115, № 1. — С. 98-115. — ISSN 0368-8666.

5. Зайцев, М.В. О кодлине многообразий линейных алгебр [Текст] / М.В. Зайцев, С.П. Мищенко // Математические заметки. — 2006. — Т. 79, №4. — С. 553-559. — ISSN 0025-567X.

6. Зайцев, М. В. Целочисленность экспонент роста тождеств конечномерных алгебр Ли [Текст] / М. В. Зайцев // Изв. РАН. Сер. матем. — 2002. — Т. 66, № 3. — С. 23-48. — ISSN 0373-2436.

7. Зельманов, Е. И. Глобальная нильпотентность энгелевых алгебр Ли ограниченного индекса над полем нулевой характеристики [Текст] / Е. И. Зельманов // ДАН СССР. — 1987. — Т. 292, № 2. — С. 265-268. — ISSN 0869-5652.

8. Зельманов, Е. И. Об энгелевых алгебрах Ли [Текст] / Е. И. Зельманов // Сибирский математический журнал. — 1988. — Т.29, №5. — С.112-117. — ISSN 0037-4474.

9. Кольца, близкие к ассоциативным [Текст] / А. И. Ширшов [и др.]. — М. : Наука, 1978. — 432 с.

10. Кострикин, А. И. О локальной нильпотентности колец Ли, удовлетворяющих условию Энгеля [Текст] / А. И. Кострикин // ДАН СССР. — 1958. — Т. 118, № 6. — С. 1047—1077. — ISSN 0869-5652.

11. Курош, А. Г. Лекции по общей алгебре [Текст] / А. Г. Курош. — СПб. : Лань, 2007. — 560 с. — ISBN 978-5-8114-0617-3

12. Кэртис, Ч. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр [Текст] / Ч. Кэртис, И. Райнер. — М.: Наука, 1969. — 668 с.

13. Латышев, В. Н. О некоторых многообразиях ассоциативных алгебр [Текст] / В.Н. Латышев // Изв. АН СССР. Сер. математическая. — 1973. — Т. 37, вып. 5. — С. 1010-1037. — ISSN 0373-2436.

14. Латышев, В. Н. Теорема Регева о тождествах тензорного произведения PI-алгебр [Текст] / В.Н. Латышев // Успехи математических наук. — 1972.— Т. 27, вып. 4. — С. 213-—214. — ISSN 0042-1316.

15. Мальцев, А.И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями [Текст] / А.И. Мальцев // Математический сборник. — 1950. — Т. 26, №1. — C. 19—33. — ISSN 0368-8666.

16. Мищенко, С. П. К проблеме энгелевости [Текст] / С. П. Мищенко // Математический сборник. — 1984. — Т. 124(166), № 1(5). — С. 56-67. — ISSN 0368-8666.

17. Мищенко, С.П. Многообразие йордановых алгебр, определяемое тождеством (xy)(zt) = 0, имеет почти полиномиальный рост / С.П. Мищенко, A.B. Попов // Математические заметки. — 2010. — Т. 87, вып. 6. — с. 877884. — ISSN 0025-567X.

18. Мищенко, С. П. Многообразия линейных алгебр кодлины один [Текст] / С. П. Мищенко // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика. Механика. — 2010. — № 1. — С. 25-30. — ISSN 0579-9368.

19. Мищенко, С. П. Нижние оценки размерностей неприводимых представлений симметрических групп и показателей экспоненты многообразий [Текст] / С. П. Мищенко // Математический сборник. — 1996. — Т. 187, № 1. — С. 8192. — ISSN 0368-8666.

20. Мищенко, С. П. О многообразиях алгебр Ли промежуточного роста [Текст] / С. П. Мищенко // Весщ АН БССР. — 1987. — № 2. — С. 4245. — ISSN 0002-3590.

21. Мищенко, С. П. О многообразиях полиномиального роста алгебр Ли над полем характеристики нуль [Текст] / С. П. Мищенко // Математические заметки. — 1986. — Т. 40, № 6. — С. 713-721. — ISSN 0025-567X.

22. Мищенко, С. П. Рост многообразий алгебр Ли [Текст] / С. П. Мищенко // Успехи математических наук. — 1990. — T. 45, № 6(276). — С. 25-45. — ISSN 0042-1316.

23. Мищенко, С. П. Тождество энгелевости и его приложение [Текст] / С. П. Мищенко // Математический сборник. — 1983. — Т. 121(163), № 3(7). — С. 423-430. — ISSN 0368-8666.

24. Мищенко, С. П. Цветные диаграммы Юнга [Текст] / С. П. Мищенко // Вестник МГУ. — 1993. — № 1. — С. 90-91. — ISSN 0579-9368.

25. Мищенко, С. П. Числовые характеристики многообразий линейных алгебр [Текст] / С. П. Мищенко // Материалы XII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной восьмидесятилетию профессора Виктора Николаевича Латышева. Тула: Изд—во Тул. гос. пед. ун—та им. Л. Н. Толстого, 2014.— С. 35-38.

26. Морозов, В. В. Классификация нильпотентных алгебр Ли шестого порядка [Текст] / В. В. Морозов // Известия вузов. Серия "Математика". — 1958.— № 4. С. 161-171. — ISSN 0021-3446.

27. Петроградский, В. М. О функциях сложности для T-идеалов ассоциативных алгебр [Текст] / В. М. Петроградский // Математические заметки. — 2000. — Т. 68, вып. 6. — С. 887-897. — ISSN 0025-567X.

28. Попов, А. В. Некоторые экстремальные многообразия линейных алгебр : дис. ... канд. физ.—мат. наук : 01.01.06. / А. В. Попов. — Ульяновск, 2011.— 80 с.

29. Размыслов, Ю. П. Тождества алгебр и их представлений [Текст] / Ю. П. Размыслов. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. —432 с. — ISBN 5020139173.

30. Фролова, Ю. Ю. О нильпотентности энгелевой алгебры Лейбница [Текст] / Ю. Ю. Фролова // Вестник Московского государственного университета. — Серия 1, Математика. Механика. — 2011. — №. 3. —С. 63-65. — ISSN 05799368.

31. Фултон, У. Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии [Текст] / У. Фултон; пер. с англ. —М. : МЦНМО, 2006. —328 с. — ISBN 5-94057-165-4.

32. Хамфрис, Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений [Текст] / Дж.Хамфрис. — М: МЦНМО, 2003. —216 с. — ISBN 5-900916-79-0.

33. Череватенко, О. И. Некоторые эффекты роста тождеств линейных алгебр : дис. ... канд. физ.—мат. наук : 01.01.06. / О. И. Череватенко.—Ульяновск, 2008. —69 с.

34. Шестаков, И. П. Об одной проблеме Ширшова [Текст] / И. П. Шестаков // Алгебра и логика. — 1977. — Т.16, № 2. — С. 227-246. — ISSN 0373-9252.

35. Cohn, P. M. A non-nilpotent Lie ring satisfying the Engel condition and a non-nilpotent Engel group [Text] / P. M. Cohn // Proc. Cambridge Phil. Soc.: Math. and Phys. Sci. — 1955. — Vol. 51, № 3. — p. 401-405.

36. Drensky,V. Varieties of Metabelian Leibniz Algebras [Text] / V. Drensky, G.M.P. Cattaneo //J. Algebra and its applications. — 2002. — Vol. 1, № 1.— P. 31-50. — ISSN 0219-4988.

37. Giambruno, A. Algebras with intermediate growth of the codimensions [Text] / A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev // Advances in applied mathematics. — 2006. —Vol. 37, № 3. —P. 360-377. — ISSN: 0196-8858.

38. Giambruno, A. Codimensions of Algebras and Growth Functions [Text] / A.

Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev // Advances in mathematics. — 2008.— Vol. 217. —P. 1027-1052. — ISSN 0001-8708.

39. Giambruno, A. Exponential codimension growth of P.I. algebras: an exact estimate [Text] / A. Giambruno, M. Zaicev // Advances in Mathematics. — 1999. — Vol. 142.— P. 221-243. — ISSN 0001-8708.

40. Giambruno, A. Irreducible characters of the symmetric group and exponential growth [Электронный ресурс] / A. Giambruno, S. P. Mishchenko // arXiv:1406.1653.2014. Режим доступа: http://arxiv.org/pd//1406.1653.pdf.

41. Giambruno, A. On codimension growth of finitely generated associative algebras [Text] / A. Giambruno, M. Zaicev // Advances in Mathematics. — 1998. —Vol. 140. — P. 145-155. — ISSN 0001-8708.

42. Giambruno, A. On the colength of a variety of Lie algebras [Text] / A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev // International journal of algebra and computation. —2002.—Vol. 9, № 5. —P. 483-491. — ISSN 0218-1967.

43. Giambruno, A. Polynomial Identities and Asymptotic Methods [Text] / A. Giambruno, M. Zaicev. — Mathematical Surveys and Monographs, AMS, Providence, RI, 2005. —Vol. 122. —352 p. — ISBN 9780821838297.

44. Higgins, P. J. Lie rings satisfying the Engel condition [Text] / P. J. Higgins // Proc. Cambr. Philos. Soc. — 1954. — Vol. 50. —№1. P. 8-15.

45. Higman, G. On a conjecture of Nagata [Text] / G. Higman // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. — 1956 — Vol.52 — P. 1—4.

46. Littlewood, D.E., Richardson, A.R. Group characters and algebra [Text] / D.E. Littlewood, A.R. Richardson// Phil. Trans. R. Soc., Ser. A, 1934. — Vol.233. — p. 99—141.

47. Mishchenko, S. An almost nilpotent variety of exponent 2 [Text] / S. Mishchenko, A. Valenti //Israel Journal of Mathematics. — 2014.—Vol. 199, Iss. 1. —P. 241257. — ISSN 0021-2172.

48. Mishchenko, S. An example of a variety of Lie algebras with a fractional exponent [Text] / S. Mishchenko, M. Zaicev // Journal of Mathematical Sciences. — 1999. — Vol. 93. — P. 977-982. — ISSN 1072-3374.

49. Mishchenko, S. On almost nilpotent varieties of subexponential growth [Text] / S. Mishchenko, A. Valenti // Journal of Algebra. — 2015.— Vol. 423. —Р. 902915. — ISSN 0021-8693.

50. Nagata, M. On the nilpotency of nil-algebras [Text] / M. Nagata //J. Math. Soc. Japan. — 1952. — Vol. 4.— P. 296-301. — ISSN 0025-5645.

51. Regev, A. Existence of identities in A 0 B [Text] / A. Regev // Israel Journal of Mathematics. — Vol. 11. —1972. —P. 131-152. — ISSN 0021-2172.

52. Vaughan-Lee, M. R. Varieties of Lie algebras [Text] / M. R. Vaughan-Lee // The Quarterly Journal of Mathematics. — 1970. — Vol. 21. — P. 297-308. — ISSN 0033-5606.

53. Zaicev, M. On existence of PI-exponents of codimension growth [Text] / M. Zaicev // Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences. — 2014. — Vol. 21. — P. 113 - 119. — ISSN 1079-6762.

Работы автора по теме диссертации

54. Мищенко, С. П. О почти нильпотентных многообразиях в классе коммутативных метабелевых алгебр [Текст] / С. П. Мищенко, О. В. Шулежко // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия.—2015. —№3(125). — С.21-28. — ISSN 1810-5378.

55. Мищенко, С.П. О почти нильпотентных многообразиях в классе коммутативных метабелевых алгебр [Текст] / С. П. Мищенко, О. В. Шулежко // Материалы XIII Международной конференции Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения, посвященной восьмидесятипятилетию со дня рождения профессора Сергея Сергеевича Рышкова. — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2015. — С. 168-171.

56. Мищенко, С. П. Почти нильпотентные многообразия любой целой экспоненты [Текст] / С. П. Мищенко, О. В. Шулежко // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика и механика. — 2015. — № 2. — С. 53-57. — ISSN 0579-9368.

57. Мищенко, С. П. Почти нильпотентные многообразия любой целой экспоненты [Текст] / С. П. Мищенко, О. В. Шулежко // Материалы XII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной восьмидесятилетию профессора Виктора Николаевича Латышева — Тула: Изд—во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого. — 2014. — С. 176-178.

( English: Mishchenko, S. P. Almost nilpotent varieties of any integer exponent [Text] / S. P. Mishchenko, O. V. Shulezhko // Proceedings XII International Conference Algebra and Number Theory: Modern Problems and Application, dedicated to 80—th anniversary of Professor V. N. Latyshev Tula, 21—25 April 2014, Tula. — 2014. — p. 127-128.)

58. Фролова, Ю. Ю. О почти нильпотентных многообразиях [Текст] / Ю. Ю. Фролова, О. В. Шулежко // Материалы XII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной восьмидесятилетию профессора Виктора Николаевича Латышева - Тула: Изд—во Тул. гос. пед. ун—та им. Л. Н. Толстого. — 2014. — С. 184-185.

59. Фролова, Ю. Ю. О почти нильпотентных многообразиях алгебр Лейбница [Текст] / Ю. Ю. Фролова, О. В. Шулежко // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: тез. докл. XI Междунар. конф. Саратов: Изд—во Сарат. ун—та. — 2013. — С. 84-85.

60. Фролова, Ю. Ю. Почти нильпотентные многообразия алгебр Лейбница [Текст] / Ю. Ю. Фролова, О. В. Шулежко // Прикладная дискретная математика. Томск. —2015. —№ 2(28).—С. 30-36. — ISSN 2071-0410.

61. Шулежко, О. В. Новые свойства почти нильпотентного многообразия экспоненты два [Текст] / О. В. Шулежко // Изв. Сарат. ун—та. Нов. сер. Сер.

Математика. Механика. Информатика. — 2014. — Т. 14, Вып. 3. — С. 316320. — ISSN 1816-9791.

62. Шулежко, О. В. О почти нильпотентных многообразиях в различных классах линейных алгебр [Текст] / О. В. Шулежко // Чебышевский сборник. Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого. Тула, 2015. —Т. 16, вып. 1. —С. 67—88. — ISSN 2226-8383.