Некоторые эффекты роста тождеств линейных алгебр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Череватенко, Ольга Ивановна

• Череватенко, Ольга Ивановна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Череватенко, Ольга Ивановна

Введение.

Глава 1. Предварительные сведения.

1.1. Линейные алгебры и их многообразия.;.

1.2. Необходимые сведения из теории представлений симметрической группы.

Глава 2. О нильпотентных многообразиях алгебр

Лейбница.

2.1. Некоторые многообразия алгебр Лейбница.

2.2. Нильпотентные многообразия алгебр Лейбница.

2.3. Нильпотентные многообразия в классе разрешимых алгебр Лейбница.

Глава 3. Многообразия алгебр Лейбница полиномиального роста.

3.1. Примеры известных многообразий алгебр Лейбница почти полиномиального роста.

3.2. Многообразие алгебр Лейбница слабого роста.

3.3. Критерий полиномиальности роста многообразий алгебр Лейбница на "языке" диаграмм Юнга.

3.4. Полный список многообразий почти полиномиального роста для класса алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые эффекты роста тождеств линейных алгебр»

Изучение линейных алгебр с точки зрения выполнения тождественных соотношений является устоявшимся направлением исследований современной алгебры. Алгебры Ли с тождествами являлись предметом исследования уже в самом начале развития теории этих алгебр. Значительная часть изучаемых классов алгебр Ли выделяется по признаку выполнения (или невыполнения) некоторых тождеств. Таковы классы разрешимых, нильпотентных, свободных алгебр и некоторые другие. Класс всех линейных алгебр над некоторым полем, в которых выполнен фиксированный набор тождественных соотношений, называют многообразием линейных алгебр над заданным полем [24] или, в терминологии А.Г. Куроша, примитивным классом алгебр [21].

В данной диссертационной работе изложены те результаты теории многообразий алгебр Лейбница над полем характеристики ноль, которые относятся к вопросам роста и нильпотентности многообразий данных алгебр.

Алгебра Лейбница над некоторым полем — это неассоциативная алгебра, удовлетворяющая тождеству Лейбница (ху)z = (xz)y+x(yz), которое превращает правое умножение на элемент алгебры в дифференцирование этой алгебры. Это тождество эквивалентно классическому тождеству Якоби, когда выполняется тождество антикоммутативности. Тождество Лейбница позволяет представить любой элемент алгебры как линейную комбинацию левонормированных элементов. Отметим, что многие результаты, полученные для алгебр Лейбница, показывают, что алгебры Лейбница близки к алгебрам Ли, и естественны попытки обобщить некоторые результаты алгебр Ли на алгебры Лейбница. Все эти результаты вовлекают методы, основанные на теории представлений симметрической группы и общей линейной группы. Любая алгебра Ли является, в частности, алгеброй Лейбница.

Вероятно, впервые этот класс алгебр был определен в работе A.M.Блоха [7], а свое название получил позже. Алгебры Лейбница стали активно изучаться в начале 90-х годов. Они появились, для естественной связи с некоторыми темам такими, как дифференциальная геометрия, классическая алгебраическая топология, алгебраическая К-теория и т. д., для обобщения соответствующих приложений алгебр Ли к этим темам. Свободная алгебра Лейбница была описана Ж. Лодеем и Т. Пирашви-ли.

Однако, в "Encyclopaedia of Mathematics" мы обнаруживаем, что самого термина "алгебра Лейбница" в нем нет. Вместо этого используется термин "алгебра Лодея". Алгебры Лодея были введены под названием "алгебры Лейбница" как некоммутативные аналоги алгебры Ли. Термин "алгебра Лейбница" используется во всех статьях до 1996, и во многих последующих. Мы будем придерживаться термина "алгебра Лейбница" . Понятно, что аналогичный класс алгебр возникает и в случае, когда умножение слева является дифференцированием алгебры.

В случае поля нулевой характеристики хорошо известно, что любое тождественное соотношение эквивалентно системе полилинейных тождественных соотношений [25]. Поэтому в этом случае вся информация о многообразии содержится во множестве всех полилинейных элементов степени п от переменных xi,., хп, так называемых полилинейных частях, которые обычно обозначаются Рп, п = 1,2,. относительно свободной алгебры многообразия. Полилинейная часть естественным образом превращается в модуль симметрической группы, что позволяет при их исследовании использовать хорошо разработанный аппарат представлений симметрических групп. Характер пространства полилинейных элементов Рп степени п, как модуля симметрической группы, раскладывается в целочисленную комбинацию xn(V) = Ель?im\X\ неприводимых характеров хх, соответствующих разбиениям Л = (Ai, А2,.), Ai > А2 >,. ■ •, числа п = Ai + А2 + . Число слагаемых в разложении модуля Рп в сумму неприводимых называется кодлиной многообразия.

При изучении многообразия V важную роль играет последовательность размерностей полилинейных частей степенип : Cn(V) = dimPn(V), п = 1,2,. Асимптотическое поведение данной последовательности определяет рост многообразия. Многообразие V имеет почти полиномиальный рост, если любое его собственное подмногообразие имеет полиномиальный рост, а рост самого многообразия не является полиномиальным. Если последовательность коразмерностей Cn(V) экспоненциально ограничена, тогда, для более точного изучения роста многообразия V, вводятся понятия нижней и верхней экспоненты:

Ехр{У) = lim j/cnjV), ЩАУ) = Hm \/cn(V).

Если эти два числовые значения совпадают, то это обозначается как Ехр{ V).

Случай ассоциативных алгебр.

Так, в случае ассоциативных алгебр, А.Р. Кемером [20] был получен критерий полиномиальности роста для многообразий над полем нулевой характеристики:

1. Многообразие V имеет полиномиальный рост;

2. Многообразие V не содержит алгебр G и UT2;

3. V имеет конечную кодлину; где G — бесконечномерная алгебра Грассмана, a UT2 — алгебра верхнетреугольных матриц порядка два. Известно, что только два многообразия, порожденные данными алгебрами G и UT2, являются многообразиями почти полиномиального роста в случае ассоциативных алгебр.

О росте многообразий ассоциативных алгебр хорошо известен следующий результат А.Регева [65], [60]: многообразие ассоциативных алгебр V, в котором выполнено нетривиальное тождество степени т, удовлетворяет неравенству Сп(У) < (т — 1)2п для любого гг, то есть любое многообразие ассоциативных алгебр, в котором выполнено нетривиальное тождество, имеет не более чем экспоненциальный рост. Несколько лет назад, в случае основного поля нулевой характеристики в ассоциативном случае А. Джамбруно и М.В. Зайцев [57] доказали целочислен-ность экспоненты произвольного многообразия, тем самым подтвердив гипотезу С.А. Амицура. Известно, что кодлина любого многообразия ассоциативных алгебр ограничена полиномом [50].

Случай ассоциативных алгебр с инволюцией.

В теории ассоциативных алгебр с инволюцией, согласно результатам A. Giambruno, С.П. Мищенко, A. Valenti [54], [55], [63] известен следующий критерий полиномиальности роста:

1. Многообразие V имеет полиномиальный рост;

2. Многообразие V не содержит алгебр С?2 и М, где (?2 = К ф К — двумерная алгебра над полем К с инволюцией (а, 6)* = (6, а), a М — определенная в статье [63] четырехмерная алгебра над полем К. Первая алгебра G<i играет ту же роль, что и бесконечномерная алгебра Грассмана в теории ассоциативных алгебр, вторая алгебра М играет роль, аналогичную роли верхнетреугольных матриц порядка 2. Известно, что только два многообразия, порожденные данными алгебрами Gi и М, являются многообразиями почти полиномиального роста в случае ассоциативных алгебр с инволюцией [54].

Случай алгебр Ли.

Для случая алгебр Ли И.И. Бенедиктович и А.Е. Залесский в работе [6] сформулировали и доказали критерий полиномиальности роста в терминах диаграмм Юнга. В работах [31], [33] С.П. Мищенко получил еще одно эквивалентное условие. Таким образом, для многообразий алгебр Ли над полем нулевой характеристики следующие условия эквивалентны:

1. Многообразие V имеет полиномиальный рост;

2. Для некоторого s выполнено условие N2A ф. V С NSA;

3. Ненулевые подмодули модуля Pn(V) соответствуют лишь диаграммам с ограниченным числом, не зависящим отп, клеток вне первой строки, где NSA — многообразие алгебр Ли, определяемое тождеством (^1^2) • • • (x2s+i%2s+2) = 0. В работе [61] с использованием техники диаграмм Юнга было доказано, что экспоненты подмногообразий в NSA над полем нулевой характеристики являются целочисленными. Позже В.М. Петроградский доказал, что этот результат верен в случае основного поля произвольной характеристики (см. [40]).

Заметим, что ограничение клеток вне первой строки в разбиениях, порождающих ненулевые слагаемые сумм неприводимых изоморфных подмодулей, построенных по таблицам Юнга, является достаточным для многообразий полиномиального роста.

Из приведенного выше критерия следует, что многообразие N2 А является наименьшим подмногообразием bNsA, которое имеет рост выше полиномиального.

В теории алгебр Ли известны всего пять многообразий почти полиномиального роста. Для единообразия записи обозначим их следующим образом: Vo, Vi, V2, V3 и V4. Построен только один пример неразрешимого многообразия почти полиномиального роста: это многообразие V0 (или var{sh)) — многообразие алгебр Ли, порожденное простой трехмерной алгеброй матриц второго порядка с нулевым следом. Оно подробно исследовано в работах Ю.П. Размыслова [41], [42] и B.C. Дренски [13].

Многообразие алгебр Ли Vi = N2 А изучено в работе С.П. Мищенко [271.

Еще одним примером многообразия почти полиномиального роста является, так называемое, многообразие Воличенко V2. Оно подробно описано в работах И.Б. Воличенко [9] и [10]. Данное многообразие является наименьшим в классе многообразий алгебр Ли, в которых не выполняется ни одно стандартное тождество. Базис тождеств этого многообразия состоит из двух тождественных соотношений: xix2x3)(xAx5x6) = 0, xix2)(x3x4)(xix3) = 0.

Оставшиеся два многообразия V3 и V4 определяются схожим образом (см. [28]). Многообразие алгебр Ли V3 порождается полупрямым произведением трехмерной нильпотентной алгебры Гейзенберга N3 на бесконечномерный неприводимый модуль R. Многообразие алгебр Ли V4 порождается полупрямым произведением двумерной метабелевой (разрешимую ступени 2) алгебры М2 на бесконечномерный приводимый модуль R. Здесь кольцо многочленов R = K[t] от переменной t рассматривается как алгебра с нулевым произведением, R2 = 0.

Если V—многообразие разрешимых алгебр Ли, тогда сформулируем критерий полиномиалыюсти роста в классе разрешимых алгебр из работы С.П. Мищенко [32]:

1. Многообразие V имеет полиномиальный рост;

2. Vi £ V, V2 £ V, V3 £ V и V4 <jL V.

Заметим, что все перечисленные выше многообразия алгебр Ли почти полиномиального роста имеют целые экспоненты ([30]). В случае многообразий алгебр Ли построен пример разрешимого многообразия (см. [66]), верхняя и нижняя экспоненты которого находятся в интервале (3,4), то есть экспонента данного многообразия либо не существует, либо она является дробной; в работе [31] было доказано, что не существует многообразий алгебр Ли с экспонентой, принадлежащей интервалу (1,2) и приведены примеры многообразий экспоненциального роста с экспонентой 2.

Было показано (см. [33]), что многообразия Vi, V2, V3 и V4 исчерпывают весь набор разрешимых многообразий алгебр Ли почти полиномиального роста. Также отметим, что структура полилинейной части и базис тождеств многообразий V3 и V4 неизвестны.

В отличие от ассоциативных алгебр существуют многообразия алгебр Ли, в которых выполняются нетривиальные тождества, со сверхэкспоненциальным ростом (то есть сверху не ограничиваются никакой экспонентой). Одним из хорошо изученных примеров таких многообразий является многообразие алгебр Ли AN2, определяемое тождеством {x\x2xz) (x^x^xq) = 0 (см. [8], [11], [14], [35], [56]). Отметим, что последовательность кодлин данного многообразия растет быстрее любого полинома, но медленнее любой экспоненты, причем кодлина данного многообразия является еще и почти полиномиальной [35]. В случае многообразий алгебр Ли построены примеры многообразий, у которых последовательность кодлин растет выше любого полинома ([16], [35]).

Случай алгебр Лейбница.

В случае алгебр Лейбница известны четыре примера многообразий почти полиномиального роста, которые имеют соответствующие аналогичные свойства рассмотренных выше лиевых многообразий. Многообразие алгебр Лейбница Vi, определяющее тождество которого имеет вид xi(x2xz)(x4x§) = 0, исследовано в работе С.П. Мищенко, А. Вален-ти [62]. Многообразие V2 описано в работе Л.Е. Абаниной [2]. В работе С.М. Рацеева и Л.Е. Абаниной [4] было показано, что многообразие V2 является наименьшим многообразием алгебр Лейбница, в котором не выполняется ни одно стандартное тождество. Данное утверждение можно переформулировать следующим образом: в произвольном многообразии алгебр Лейбница V тогда и только тогда выполняется некоторое стандартное тождество, когда V2 не является подмногообразием многообразия V. Базис тождеств данного многообразия состоит из тождественных соотношений вида: xi(x2xz)(x2xs) = О, Ж1(ж2(ж3ж4)) = 0.

Многообразия V3 и V4 определяются следующим образом (см. [3]). Многообразие алгебр Лейбница V3 порождается конструкцией, аналогичной полупрямому произведению трехмерной нильпотентной алгебры Ли jV3 на бесконечномерный неприводимый модуль R. Многообразие алгебр Лейбница V4 порождается аналогичным произведением двумерной метабелевой (разрешимую ступени 2) алгебры Ли М2 на бесконечномерный приводимый модуль R. Здесь кольцо многочленов R от переменной t рассматривают как алгебру с нулевым умножением.

Отметим, что перечисленные выше многообразия алгебр Лейбница почти полиномиального роста обладают целочисленными экспонентами.

В случае многообразий алгебр Лейбница был построен пример многообразия, схожего по своим свойствам с многообразием AN2. Оно определяется следующим тождественным соотношением xi(x2(x3x4)) = 0 и имеет сверхэкспоненциальный рост [49].

Обозначим через NCA многообразие алгебр Лейбница, определяющее тождество которого имеет вид xix2) • • • (x2c+ix2c+2) = 0.

Данное многообразие рассматривается, например, в [46], [47], [43]. Приведем те результаты, которые нам понадобятся при доказательстве теорем в третьей главе.

Один из результатов описывает асимптотическое поведение последовательности коразмерностей подмногообразий многообразия NCA.

Пусть V — подмногообразие в NCA и основное поле произвольно. Тогда существуют такие константы N, а, {3 и такое целое число d, причем 0 < d < с, что для любого п > N будут выполняться неравенства vPdn < Cn(V) < nadn, в частности, прсп < Сп{N^A) < Пасп.

Из данного результата получено важное следствие. Было показано, что не существует подмногообразий в NCA, рост которых был бы промежуточным между полиномиальным и экспоненциальным. Над полем конечной характеристики, отличной от двух, это свойство распространяется на все многообразия алгебр Лейбница, то есть не существует многообразий алгебр Лейбница с промежуточным между полиномиальным и экспоненциальным ростом [43].

В работе [48] получены эквивалентные условия для оценок роста многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом над полем нулевой характеристики.

Пусть V — подмногообразие в NCA и d — некоторое неотрицательное целое число. Тогда следующие условия эквивалентны: exp(V) < d;

И) существует такое целое р > 0, что в многообразии V выполнено тождество ymx\){yzyAxl).-{y2d+iy2d+2Xpd+l) = 0; in) существует такое целое р > 0, что в многообразии V справедливо следующее полилинейное тождество:

3/12/2^11 • • (УЗ2/4Ж21®22 - - -®2p) - - • (2/2d+l3/2d+2®(d+i)i5(d+1)2. • = 0; iv) существует такая константа С = C(V), что в сумме xn(V) = Yl т\х\ А bn тп\ = 0 в случае, если выполнено условие п — (Ai + А2 + ••• + Ad) > С.

В работе [44] показано, что многообразие алгебр Лейбница NCA является шпехтовым. А также, что любое многообразие алгебр Лейбница полиномиального роста допускает конечный базис тождеств.

Перейдем к описанию структуры представленной диссертации. Работа состоит из трех частей - глав. Первая глава носит обзорный характер. В первом параграфе приводятся основные определения и понятия, а также некоторые обозначения, упрощающие записи. Во втором параграфе данной главы приводятся необходимые сведения из теории представлений симметрической группы.

Во второй главе данной работы мы приводим различные условия нильпотентности многообразий алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики. Основной задачей данной главы — получить критерий нильпотентности в классе разрешимых многообразий алгебр Лейбница. Но сначала в первом параграфе для удобства читателей рассматриваются некоторые многообразия алгебр Ли и Лейбница, которые участвуют в формулировке и доказательстве предложений, теорем и следствий из них. В частности приводятся некоторые необходимые нам свойства метабелева многообразия алгебр Ли А2, определенного тождеством {xix2){x%x4) = 0; многообразия лево-нильпотентных ступени меньше или равной двум алгебр Лейбница В, которое определяется тождеством x{yz) = 0.

Во втором параграфе мы рассматриваем класс алгебр Лейбница Wm, где Wm — многообразие алгебр Лейбница, определяемое тождественным соотношением у\(у2уъ)х\х2. хт = 0, при т > 0. В этом классе многообразий алгебр Лейбница был получен следующий критерий нильпотентности.

Предложение 2.1. Пусть V многообразие алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики. Многообразие V является нильпотентным тогда и только тогда, когда существует такое целое гп, что выполнено условие В V С Wm.

Следствие 2.1. Многообразие В является почти нильпотентным.

Основным результатом данной главы является критерий нильпотентности в классе разрешимых многообразий алгебр Лейбница. Он получен в третьем параграфе.

Теорема 2.3. Пусть V многообразие алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. Многообразие V нилъпотентно;

2. Многообразие V разрешимо и выполнено условие 15, А2 % V;

3. В разрешимом многообразии V выполнено тождество ухп = 0.

Следствие 2.2. Многообразие алгебр Лейбница V либо нилъпотентно, либо Cn(V) > п — 1 для произвольного п.

Следствие 2.3. В случае нулевой характеристики основного поля в классе разрешимых алгебр Лейбница многообразия В и А2 являются единственными почти нильпотентными многообразиями.

Третья глава посвящена числовым характеристикам многообразий алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики. В ней исследуется поведение последовательности коразмерностей многообразий данных алгебр.

В первом параграфе данной главы, для полноты изложения, рассматриваются примеры известных многообразий алгебр Лейбница почти полиномиального роста, некоторые из которых понадобились при доказательстве утверждений в последующих параграфах третьей главы.

Пусть для многообразия алгебр Лейбница V над полем с характеристикой, отличной от двух, для некоторого п выполнено неравенство

Cn(V) < где квадратные скобки означают целую часть числа.

Рост такого многообразия называется слабым. Основной задачей второго параграфа данной главы — показать, что многообразие алгебр Лейбница со слабым ростом последовательности коразмерностей над полем характеристики, отличной от двух, так же как и для случая алгебр Ли, является подмногообразием многообразия NCA. Заметим, что похожий результат был получен для случая алгебр Ли С.П. Мищенко [31].

Теорема 3.1. Пусть V многообразие алгебр Лейбница слабого роста над полем характеристики, отличной от двух. Тогда существует такое натуральное число с, что выполняется условие V С NCA.

В случае произвольного основного поля в работе [47], в частности, показано, что не существует многообразий алгебр Лейбница с ниль-потентным коммутантом промежуточного между полиномиальным и экспоненциальным роста. Так как многообразие промежуточного роста, является, конечно, многообразием слабого роста, то доказанная теорема 3.1 позволяет получить

Следствие 3.1. В случае нулевой характеристики основного поля не существует многообразий алгебр Лейбница промежуточного между полиномиальным и показательным роста.

В третьем параграфе третьей главы в случае нулевой характеристики основного поля получен-критерий полиномиальности роста коразмерностей многообразия алгебр Лейбница в терминах диаграмм Юнга.

Теорема 3.2. В случае нулевой характеристики основного поля многообразие алгебр Лейбница V имеет полиномиальный рост тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число т, что в сумме

Xn(v) = Y, т\х\

А \-п тп\ = 0 в случае, если выполнено условие п — Х\ > т.

Основным результатом данной главы является критерий полиномиальности роста. Он описан в четвертом параграфе главы.

Теорема 3.3. В случае нулевой характеристики основного поля многообразие алгебр Лейбница V имеет полиномиальный рост тогда и только тогда, когда существует такое число с, что выполнено условие

N2A,Vi £ VCNTA.

Следует пояснить, что N2A является многообразием алгебр Ли, которое определено тождеством {xiX2){x2,x^{x^xq) = 0.

Из доказанной выше теоремы получено

Следствие 3.2. В случае нулевой характеристики основного поля в классе алгебр Лейбница с тождеством (х\х2) • ■ • {х2с+1Х2с+2) = 0 существуют только два многообразия почти полиномиального роста — это многообразия N2А и Vi.

Следствие 3.3. Пусть V С NCA является многообразием алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики роста выше полиномиального. Тогда кодлина данного многообразия 1п(У) строго полиномиальна.

Следствие 3.4. В случае поля нулевой характеристики если многообразие алгебр Лейбница V слабого роста, то оно является полиномиальным.

В заключении автор выражает глубокую и искреннюю признательность своему научному руководителю С.П. Мищенко за постановку задач, полезные советы, постоянное внимание к работе и поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Череватенко, Ольга Ивановна, 2008 год

1. Абанина J1.E. Многообразие алгебр Лейбница V2/ j Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань: Казанское математическое общество. 2002. Т. 18. С. 3-4.

2. Абанина Л.Е. Структура и тождества некоторых многообразий алгебр Лейбница// Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ульяновск. УлГУ. 2003.

3. Абанина Л.Е., Мищенко С.П. Некоторые многообразия алгебр Лейбница// Математические методы и приложения. Труды десятых математических чтений МГСУ. Москва: Союз. 2002. С. 95-99.

4. Абанина Л.Е., Рацеев С.М. Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тождествами// Вестник Самарского государственного университета. 2005. №6. С. 36-50.

5. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука. 1985.

6. Бенедиктович И.И., Залесский А.Е. Т-идеалы свободных алгебр Ли с полиномиальным ростом последовательности коразмерностей// Весщ АН БССР: Сер. ф1з. матем. наук. 1980. №3. С. 5-10.

7. Блох A.M. Об одном обобщении понятия алгебры Ли. Доклады Академии наук СССР. 1965. Т.18. №3. С. 471-473.

8. Воличенко И.Б. Многообразие алгебр Ли с тождеством [ж1,ж2,жз], [х4,х5,хв]\ = 0 над полем характеристики нуль// Сиб. матем. журнал. 1984. Т.25. №3. С. 40-54.

9. Воличенко И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами// Весщ АН БССР: Сер. ф1з. матем. наук. 1980. т. С. 23-30.

10. Воличенко И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами// Весщ АН БССР: Сер. с]лз. матем. наук. 1980. №2. С. 22-29.

11. Воличенко И.Б. О многообразиях алгебр Ли AN2 над полем характеристики нуль// ДАН БССР. 1981. Т.25. №12. С. 1063-1066.

12. Джеймс Г. Теория представлений симметрических групп. М.: Мир. 1982.

13. Дренски B.C. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр// Матем. сб. 1981. Т.115. №1(5). С. 98-115.

14. Зайцев М.В., Мищенко С.П. Новое экстремальное свойство многообразия алгебр Ли AN2{/ Вестник Московского университета. Матем., механ. 1999. №5. С. 18-23.

15. Зайцев М.В., Мищенко С.П. О кодлине многообразий линейных алгебр// Математические заметки,-2006. -Т.79 №4, -С.553-559.

16. Зайцев М.В., Мищенко С.П. О полиномиальности роста кодлины многообразий алгебр Ли// Алгебра и логика. 1999. Т.38. №2. С. 161-175.

17. Зельманов Е.И. Глобальная нильпотентность энгелевых алгебр Ли ограниченного индекса над полем нулевой характеристики// ДАН СССР, 1987. Т.292. №. С. 265-268.

18. Кемер А.Р. Замечание о стандартном тождестве// Мат. заметки. 1978. Т.23. №5. С. 753-757.

19. Кемер А.Р. Тождества Капелли и нильпотентность радикала ко-нечнопорожденной PI-алгебры. Докл. АН СССР. 1980. Т.255. №4. С. 793-797.

20. Кемер А.Р. Многообразия конечного ранга// Красноярск: 15 Всесоюзная алгебраическая конференция. 19Т9. Т.2. С. 73.21 222324 2526