Проблемы бернсайдовского типа для алгебр Лейбница тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Фролова, Юлия Юрьевна

• Фролова, Юлия Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фролова, Юлия Юрьевна

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Линейные алгебры и их многообразия

1.2. Алгебра Ли и алгебра Лейбница.

1.3. Необходимые сведения из теории представлений симметрической группы.

1.4. Многообразие алгебр Ли А^ и его свойства.

Глава 2. О нильпонентности алгебр с условием энгелевости

2.1. Взаимосвязь нильпотентности и условия энгелевости в случае алгебр Ли

2.2. Нильпотентность энгелевой алгебры Лейбница в случае нулевой характеристики основного поля

2.3. Пример ненильпотентной энгелевой алгебры Лейбница над полем простой характеристики.

Глава 3. Многообразие зК почти ассоциативного типа.

3.1. Некоторые свойства многообразия зЫ.

3.2. Новое экстремальное свойство многообразия зК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проблемы бернсайдовского типа для алгебр Лейбница»

Одним из устоявшихся направлений исследований современной алгебры является изучение линейных алгебр с точки зрения выполнения в них тождественных соотношений. Класс всех линейных алгебр над некоторым полем, в которых выполнен фиксированный набор тождественных соотношений называют многообразием линейных алгебр над заданным полем [20] или, в терминологии А.Г. Куроша, примитивным классом алгебр [18]. Классическими примерами многообразий алгебр являются многообразия ассоциативных алгебр, алгебр Ли, йордановых алгебр, а, в последнее время, также и алгебр Лейбница.

Напомним, что алгебра называется нильпотентной алгеброй ступени с, если в ней выполняется тождество Х\Х2 • ■. хс+1 = 0, но не выполняется тождество Х\Х2 • ■ • хс = 0. Понятно, что в нильпотентной алгебре ступени с выполняется тождество хс+1 = 0. Естественно возникает вопрос о том, верно ли обратное. По теореме Нагаты-Хигмана, например, в случае пулевой характеристики основного поля, ассоциативная алгебра с условием хп = 0 нильпотентна индекса не больше 2п — 1 (см., например, [13]).

В теории многообразий алгебр Ли проблема энгелевости в случае ноля нулевой характеристики оставалась нерешенной проблемой около ста лет. Тождеством энгелевости называется тождество вида хУт = 0, где У — оператор умножения справа на элемент у в алгебре Ли, а скобки, расставленные левонормированным способом, опущены. Алгебра Ли, удовлетворяющая этому условию называется алгеброй с условием энгелевости порядка т.

Проблема энгелевости восходит своими корнями к проблеме, сформулированной Бернсайдом для групп в 1902 году [3]. Ослабленной проблемой Бернсайда занимались В. Магнус, И.Н. Санов, Г. Хигман, А.И. Ко-стрикин, С.П. Мищенко, Е.И. Зельманов и др. Все они работали в направлении, намеченном Магнусом, то есть исследовали лиевы кольца с условием энгелевости.

Более пятидесяти лет назад А.И. Кострикин в работе [17] доказал, что п-энгелева алгебра Ли над полем нулевой характеристики или простой характеристики р > п содержит ненулевой абелев идеал. В этой же работе А.И. Кострикин доказал, что п-энгелева алгебра Ли над полем нулевой характеристики или простой характеристики р > п локально нилыютентна, решив тем самым ослабленную проблему Бернсайда для групп простого показателя (см. [16], [17]). Возник вопрос, по существу ли этот результат локален, то есть не будет ли п-энгелева алгебра Ли над нолем нулевой характеристики или простой характеристики р > п нилыютентной?

Тридцать лет назад Мищенко С.П. в работе [28] установил нильпотентность энгелевого подмногообразия многообразия, порожденного простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского тина общей серии И^.

Напомним строение алгебры У/к. Пусть Л = Ф[[21,., — кольцо формальных степенных рядов от к переменных над полем Ф. Дифференциальные операторы £) : Я —>■ В, вида И = где £ Л, а ¿г — формальное дифференцирование по г-й переменной {О^И^ = — образуют необходимую алгебру Ли У/к

Кроме того, в работе [22] С.П. Мищенко была доказана нильпотентность п-энгелевой алгебры Ли над полем нулевой характеристики, лежащих в многообразии экспоненциального роста.

При доказательстве данного результата были использованы комбинаторные методы и теория представления симметрической группы, что дало ограничение на характеристику поля. В то же время техника, разработанная Кострикиным А.И., а так же его результаты использованы не были.

Позже, опираясь на результат А.И. Кострикина о наличии абелева идеала в алгебре с условным энгелевости, Е.И. Зельманов в работе [15], доказал теорему о том, что тг-энгелева алгебра Ли нилыютентна в случае нулевой характеристики основного поля.

Именно за результаты по ослабленной проблеме Бернсайда в 1994 году Е.И. Зельманову была присуждена Филдсовская премия.

Перейдем к описанию структуры представленной диссертации. Работа состоит из трех глав. Первая глава носит обзорный характер. В первом параграфе приводятся основные определения и понятия, а также некоторые обозначения, упрощающие записи. Во втором параграфе приводятся основные понятия, связанные с алгебрами Лейбница. В третьем параграфе данной главы приводятся необходимые сведения из теории представлений симметрической группы. Четвертый параграф посвящен многообразию алгебр Ли, определенному тождеством (xix2xz){xAx5x6) = 0.

Все неопределяемые понятия можно найти, например, в [4], [50]. Сле дует отметить, что в отличие от правонормированной записи слов в [4], в данной работе опускаются скобки при их левонормированной записи, то есть abc = ((ab)c).

Алгебра Лейбница над некоторым полем — это линейная алгебра, удовлетворяющая тождеству Лейбница

Xy)z = (xz)y + X(yz), которое превращает правое умножение на элемент алгебры в дифференцирование этой алгебры. Это тождество эквивалентно классическому тождеству Якоби, когда выполняется тождество антикоммутативности. Тождество Лейбница позволяет представить любой элемент алгебры как линейную комбинацию левонормированных элементов. Отметим, что многие результаты, полученные для алгебр Лейбница, показывают, что алгебры Лейбница близки к алгебрам Ли, и естественны попытки обобщить некоторые результаты алгебр Ли на алгебры Лейбница. Все эти результаты вовлекают методы, основанные на теории представлений симметрической группы и общей линейной группы. Любая алгебра Ли является, в частности, алгеброй Лейбница. Однако не всякая алгебра Лейбница является алгеброй Ли. Для примера можно рассмотреть двумерную алгебру L с базисом {о, Ъ} и таблицей умножения аа = b, ab — Ьа = ЪЪ = 0.

Вероятно, впервые многообразие алгебр Лейбница было определено в работе A.M.Блоха [5], а свое название получило позже. Алгебры Лейбница стали активно изучаться в начале 90-х годов. Они появились, для естественной связи с некоторыми темам такими, как дифференциальная геометрия, классическая алгебраическая топология и т. д., для обобщения соответствующих приложений алгебр Ли к этим темам. Свободная алгебра Лейбница была оиисана Ж. Лодеем и Т. Пирашвили [52]. Однако, в "Encyclopaedia of Mathematics" самого термина "алгебра Лейбница" нет. Вместо этого встречаем термин "алгебра Лодея", который используется во всех статьях до 1992 года, и во многих последующих. Будем придерживаться термина "алгебра Лейбница" .

Если не оговорено особо, то характеристика поля Ф в формулировках результатов предполагается нулевой.

Пусть Ф — поле, V — некоторое многообразие алгебр Лейбница над полем Ф, a F(X, V) его относительно свободная алгебра со счетным множеством свободных образующих X = {х±, Х2, • • .}•

В случае поля нулевой характеристики хорошо известно, что любое тождественное соотношение эквивалентно системе полилинейных тождественных соотношений [21]. Поэтому в этом случае вся информация о многообразии V содержится во множестве всех полилинейных элементов степени п от переменных ., хп, так называемых полилинейиых частях относительно свободной алгебры многообразия, которые обычно обозначаются Pn(V), п = 1,2,.

Действие a(xi) = ха^ симметрической группы Sn естественным образом продолжается до автоморфизма относительно свободной алгебры Р(Х, V), при этом пространство Рп(У) становится модулем группового кольца Ф8п или, допуская вольность речи, ¿"„-модулем. Одной из важных числовых характеристик многообразия V является последовательность {сп(У)), п = 1, 2,. ,п размерностей пространств полилинейных элементов степени п от переменных £1,2:2, принадлежащих относительно свободной алгебре данного многообразия. Асимптотическое поведение данной последовательности называют ростом многообразия V.

Например, если существуют такие числа С, к, что для любого п выполняется неравенство сп(V) < Сп, то многообразие называют многообразием полиномиального роста. В противном случае, если найдется действительное число г такое, что для всех достаточно больших п выполнено условие сп(Л^) < Сгп, то говорят, что рост многообразия V не выше экспоненциального.

Многообразие V имеет строго экспоненциальный рост или строго показательный рост, если существуют такие числа С2, а,Ь > 1, что для любого п выполняется условие С\ап < (^("У) < 626".

Естественным образом определяется многообразие промежуточного между полиномиальным и показательным роста, а также многообразие сверхэкспоненциального роста.

Многообразие V имеет почти полиномиальный рост, если любое его собственное подмногообразие имеет полиномиальный рост, а рост самого многообразия не является полиномиальным. Аналогично определяется многообразие почти экспоненциального роста.

В случае нулевой характеристики основного поля модуль Рп{У) является вполне приводимым, то есть раскладывается в прямую сумму неприводимых модулей. Известно, что с точностью до изоморфизма неприводимые ¿^-модули можно описывать на языке разбиений и диаграмм Юнга.

Разбиением числа п называют набор целых положительных чисел Л = (Аь Л2, •., Ак), при этом Ах > Л2 > . > Afc > 0 и n = Ах + Л2 + . + А&. Разбиение А числа п обозначают следующим образом Ahn.

Для каждого такого разбиения А строится диаграмма Юнга, состоящая из к строк, причем строка с номером г должна содержать А; клеток. Если диаграмму Юнга d, отвечающей разбиению А числа п, заполнить числами от 1 до п, то получим таблицу Юнга, соответствующей данной диаграмме. По каждой таблице Юнга rd можно построить элемент следующего вида erd = £qV4, p^Rrd, <izCTd где sq = ±1 четность перестановки q, а RTd и CTd — подгруппы группы Sn, состоящие из перестановок, оставляющее на месте множество символов, принадлежащих соответственно каждой фиксированной строке или каждому фиксированному столбцу таблицы rd.

Построенный элемент eTd с точностью до постоянного множителя равен минимальному идемпотенту групповой алгебры Ф5П и порождает минимальный левый идеал ФSn (другими словами, порождает неприводимый 5П-модуль).

Пусть Dn — множество диаграмм Юнга с п клетками. Тогда, в случае нулевой характеристики основного поля Ф модуль Pn(V) можно представить в виде следующей прямой суммы

Pn(V) = 0 Pd(V), deDn где слагаемые либо нулевые, либо неприводимые, либо являются суммами изоморфных неприводимых модулей, построенных по диаграмме d.

Если W — собственное многообразие ассоциативных алгебр, то существует такое число га, что в последней сумме при любом п равны нулю все слагаемые, соответствующие диаграммам, содержащим квадрат размером тхт. Многообразие алгебр Ли с аналогичным свойством называется многообразием ассоциативного типа порядка т2. Это понятие введено Мищенко С.П. в работе [27]. Сохраним это определение на случай алгебр Лейбница.

Строение модуля Рп(У) можно представить на "языке характеров". Рассмотрим разложение характера модуля Рп(У) в целочисленную комбинацию неприводимых характеров хх, соответствующих разбиению А числа п

ХпСЮ = х(Рп(У)) = Х>лХА. (1)

АЬтг

Числа 772.д, так нызываемые кратности, равны числу изоморфных неприводимых модулей, соответствующих разбиению Л, в сумме (1).

Обозначим через размерность соответствующего разбиению Л неприводимого модуля. Понятно, что имеет место такое равенство сп(у) = тРп(у) = ^тхй А.

Хгп

Кодлиной многообразия V называют число слагаемых в разложении модуля в сумму неприводимых и определяется следующим образом

АН п

Во второй главе данной работы рассматривается взаимосвязь нильпотентности и условия энгевости для алгебр Лейбница. В первом параграфе для удобства читателей перечислены результаты, связанные с проблемой энгелевости, полученные для алгебр Ли. Е.И. Зельманов в работе [15] доказал теорему о том, что п-энгелева алгебра Ли является нильпотентной в случае нулевой характеристики основного поля. Для случая ненулевой характеристики р основного поля П.М. Кон в работе [45] построил пример ненильпотентной алгебры Ли в которой выполнены тождества {ху){г£) = 0 и хУр+1 = 0.

Основным результатом второй главы является теорема о нильпотентности энгелевой алгебры Лейбница, доказанная во втором параграфе. При доказательстве этой теоремы использовался результат Зельма-нова о нильпотентности энгелевой алгебры Ли.

Теорема 2.2. В случае нулевой характеристики основного поля алгебра Лейбница с условием энгелевости является нильпотентной.

Схема доказательства следующая. Пусть L — алгебра Лейбница с условием энгелевости порядка т. В алгебре Лейбница L удалось построить идеал с нулевым умножением I = (а2|а € L). Так как L/I является энгелевой алгеброй Ли, то факторалгебра L/I нильпотентна. Пусть ступень нильпотентности равна s — 1, тогда L — разрешимая алгебра ступени разрешимости не выше, чем к, где к — наименьшее натуральное число такое, что 2к > 2s.

Используя индукцию по ступени разрешимости, получаем, что в алгебре L для некоторого с выполняется тождество xiX2){X3XA).(x2c+lX2c+2) = 0.

По критерию, доказанному Мищенко С.П., Череватенко О.И., в статье [32] получаем, что многообразие L = varL имеет полиномиальный рост. Тогда для многообразия L, существует такое число t, что в сумме

Xn(V) = x(Pn(V)) = 1>ЛХА

Хгп т,\ = 0 в случае, если выполнено условие п — Ai > t. Рассмотрим п > m(t + 1), зафиксируем некоторое разбиение Ahn такое, что п — Ai < t и кратность т\ в данной сумме не равна нулю. Построим по этому разбиению таблицу Юнга и рассмотрим полилинейный элемент /л относительно свободной алгебры многообразия L, соответствующий этой таблице. Пусть элемент д\ получен из элемента /д отождествлением образующих с номерами из первой строки таблицы Юнга. Хорошо известно, что тождества Д — 0 и д\ = 0 эквивалентны между собой. Каждый моном элемента д\ содержит в своей записи конечное число (меньшее или равное различных образующих, а все остальные были отождествлены и совпадают с образующей, которую обозначим х. Так как для степени монома выполняется неравенство п > + 1), то моном содержит фрагмент вида . . Таким образом, в силу тождества энгелевости получаем, что тождество д\ = О выполняется в многообразии Ь, а следовательно и тождество /д = 0 выполняется в Ь вопреки предположению. Полученное противоречие, доказывает, что все кратности равны нулю, а следовательно, полилинейная часть РП(Ь) = 0, то есть многообразие Ь является нильпотентным ступени с = 771^+1).

Следуя идеям П.М. Кона, в третьем параграфе построена ненильпо-тентная энгелева алгебра Лейбница М, в которой выполняется тождество энгелевости хУр = 0.

Пусть Ш — векторное пространство над полем Ф простой характеристики р базисом которого является множество множество всех функций натурального аргумента со значениями в Ф. Определим на пространстве операцию умножения, считая, что алгебра \У является абелевой алгеброй Ли. Обозначим 6т эндоморфизм векторного пространства И7, который на базисном элементе е/ принимает значение еу, где

Положим Х{ = бг — е, г — 1, 2,., где е — тождественный эндоморфизм векторного пространства \¥, тогда относительно операции коммутирования Ф-оболочка множества г 6 Н} является абелевой алгеброй Ли Ь, а, У/ — правым ¿-модулем. Алгебра ф Ь, с умножением

771

ДО г), если г ф т, /(г) + 1, если г = т. w\ + li)(w2 + h) = u>ik> где wi,w2,wil2 G W, ¿i,l2 G L, является необходимой алгеброй Лейбница М.

Теорема 2.4. Пусть Ф — поле простой характеристики р. Многообразие U алгебр Лейбница над полем Ф, удовлетворяющих тождествам xYp = 0 и x(yz) = 0, ненильпотентно.

Третья глава посвящена многообразию левонильпотентиых ступени не выше трех алгебр Лейбница, которое определяется тождеством x(y(zt)) = 0 и обозначается 3N.

Напомним строение семейства алгебр, которые порождают многообразие 3N. Пусть Tfc = .,tk] — кольцо многочленов от переменных t\, .,tk- Hk — алгебра Гейзенберга с базисом а 1, .,ak,bi, .,bk,c и таблицей умножения biüj = —ajbi = 5¿jC, где — символ Кронексра, a, остальные произведения базисных элементов равны нулю. Алгебра Нк является алгеброй Ли. Превратим кольцо многочленов в правый модуль алгебры Нк- Базисные элементы действуют на полином / из Tk следующим образом: fas = f'sJbs = tsf, fe = /, где f's частная производная полинома / по переменной ts.

Необходимая алгебра Лейбница является прямой суммой векторных пространств Tk и Нк, в котором умножение задается правилом: f + v){g + u) = fu + vu, где f,g € Тк; v, и, vu G Нк.

Отметим, что многообразие 3N имеет сверх экспоненциальный рост, его кодлина не может быть ограничена полиномиальной функцией от п, а кратности не ограничены в совокупности константой. Более точно, коразмерность многообразия 3N определяются следующей формулой где inv(m) — число инволюций (перестановок порядка два) в симметрической группе Sm, а через d\ обозначена размерность соответствующего разбиению Л неприводимого модуля (см., [43]).

Для многообразия 3N кратность т\ в разложении Xn^N) = ]Саь-н тАХл равна числу угловых клеток диаграммы Юнга, соответствующей разбиению Ab п. Поясним, что клетка диаграммы Юнга называется угловой, если левее нее и ниже нее нет клеток. Например, для разбиения (3,2,2,1) число угловых клеток равно 3, а для разбиения (4,2,2) — равно 2. Таким образом, понятно, что кратности не ограничены в совокупности, но для любого разбиения Ahn выполнено следующее неравенство 1 < т\ < \[Ъп. Поэтому код л и на ln{ 3N) удовлетворяет следующим неравенствам где р(п) количество различных разбиений числа п. Напомним асимптотическую формулу для р(п) (См., [44]),

Таким образом, получаем, что последовательность кодлин многообразия зN имеет промежуточный между полиномиальным и экспоненциальным рост.

Под бесконечным крюком Н(ъ^) понимаем фигуру плоскости, состоящую из г бесконечных строк и 3 бесконечных столбцов. Говорят, что А лежит в крюке Н{г^) если Аг-+1 < j.

Основным результатом третьей главы является теорема, доказанная во втором параграфе.

Ab-(n-l) р(п) < 1п(зN) < v{n)Vbi.

Теорема 3.3. Пусть М — собственное подмногообразие многообразия зГ^. Тогда существуют такие натуральные р, д, что кратность т\ в разложении хп(М) = равна нулю, если Лр+1 > q.

Схема доказательства этой теоремы принадлежит научному руководителю, а проработка деталей автору.

Доказательство теоремы выполнено в три этапа. Сначала доказано, что что в многообразии М выполнено тождество вида д\ = 0, в котором диаграмма Юнга соответствующая разбиению Л Ь (п— 1) имеет четную длину всех столбцов, то есть имеет вид Л = о^"2, • • • > акПк)•

Далее показано, что, если длину одного из самых коротких столбов увеличить на два, то получим тождество, которое является следствием исходного. Используя эту возможность, легко понять, что в многообразии выполнено тождество, соответствующее некоторой прямоугольной диаграмме Юнга.

Последний этап — это доказательство того, что, "приклеивая" к прямоугольной диаграмме Юнга "ногу" и "руку", получаем диаграммы, которые также соответствуют тождествам многообразия М.

Предполагаем, что многообразие М удовлетворяет тождеству д\ = О, где последняя строка разбиения Л длины q, а последний столбец длины 2г. Покажем, что приклеив к диаграмме Юнга Л произвольную "ногу" ширины не более q и произвольную "руку" высоты не более 2г, получим такую диаграмму ¡1, что соответствующее тождество д^ = О выполняется в многообразии М.

Пусть Л = (р2г, Агг+1, • • ■, ^2(г+в)) О21) — разбиение 2т со столбцами четной длины, а л = (р+а\,. ,р+а2г, А2г+1, • • •, А2(г+в), с\2\ ^2(г+5+/)+ь№(г+5+г)+2, • • •) разбиение N. Тогда тождество д^ = 0 является следствием тождества дх = О

V

- 2в я 21

Из этой теоремы и описанных выше результатов о многообразии зК получаем ряд следствий об экстремальных свойствах многообразия з!М.

Следствие 3.1. Пусть М собственное подмногообразие многообразия з1Ч, Тогда существуют такие константы сх, г\, что для любого п выполнено следующее неравенство

Сп(М) < С\Г™.

Значит, многообразие является многообразием почти экспоненциального роста.

Следствие 3.2. Пусть М собственное подмногообразие многообразия з!Ч. Тогда существуют такие константы с2, г2, что для любого п выполнено следующее неравенство

1п{М) < с2пг\

То есть, многообразие зN является многообразием с почти полиномиальным ростом кодлины.

Следствие 3.3. Пусть М собственное подмногообразие многообразия з!Ч. Тогда существует такая константа сз, что тх < с3.

Таким образом, многообразие 3N имеет почти конечные кратности.

А также, как говорят, кохарактер его любого собственного подмногообразия лежит в крюке. Любое собственное подмногообразие многообразия 3N является многообразием ассоциативного типа, то есть многообразие 3N является многообразием почти ассоциативного типа.

Основные результаты и вопросы диссертации обсуждались в виде выступлений на следующих конференциях и семинарах:

Международный молодежный научный форум "Университетское образование: традиции и инновации". Ульяновск. 26 января 2010 г;

8th International Algebraic Conference in Ukraine dedicated to the memory of Professor Vitaliy Mikhailovich Usenko. Lugansk. 5-12 july 2011;

Восьмая международная конференция, посвященная 190-летию П.Л. Чебышева и 120-летию И.М. Виноградова "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Саратов. 12-17 сентября 2011 г;

Международная конференция "Алгебра и математическая логика", посвященная 100-летию со дня рождения профессора В.В. Морозова. Казань. 25-30 сентября 2011 г;

Семинары кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского Государственного Университета.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [29], [31], [36], [37], [38], [39], [40], [48].

Автор выражает благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Мищенко Сергею Петровичу за постановку задач, полезные советы, постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фролова, Юлия Юрьевна, 2011 год

1. Абанина, Л.Е. Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тождествами / Л.Е. Абанина, С.М. Рацеев // Вестник Самарского государственного университета. — 2005. — №6. — С. 3650.

2. Адян, С.И. Исследования по проблеме Бернсайда и связанным с ней вопросам / С.И. Адян // Труды Математического института АН СССР. 1984. - Т. 168. - С. 171-196.

3. Бахтурин, Ю.А. Тождества в алгебрах Ли / Ю.А. Бахтурин. М.: Наука, 1985. - 448 с.

4. Блох, A.M. Об одном обобщении понятия алгебры Ли /A.M. Блох // Доклады Академии наук СССР. 1965. - Т.18. - №3. — С. 471-473.

5. Воличенко, И.Б. Многообразие алгебр Ли с тождеством [a?i, Ж2,жз][ж4,Ж5, Жб]] = 0 над полем характеристики нуль / И.Б. Воличенко // Сибирский математический журнал — 1984. — Т.25. №3. - С.40-54.

6. Воличенко, И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами / И.Б. Воличенко // Весщ АН БССР: Сер. ф13. матем. навук. — 1980. — №1. — С. 23-30.

7. Воличенко, И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами / И.Б. Воличенко // Весщ АН БССР: Сер. 4»з. матем. навук. — 1980. — №2. — С. 22-29.

8. Воличенко, И.Б. О многообразии алгебр Ли AN2 над полем характеристики нуль / И.Б. Воличенко // ДАН БССР 1981. — Т.25. — №12. С. 1063-1066.

9. Джамбруно, А. Кратности характеров полилинейной части многообразия AN2 / А. Джамбруно, М.В. Зайцев, С.П. Мищенко // Ученые записки. Фундаментальные проблемы математики и механики, выпуск 1 (5). — 1998. — С. 59-62.

10. Джеймс, Г. Теория представлений симметрических групп / Г. Джеймс. — М.: Мир, 1982.

11. Дренски, B.C. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр / B.C. Дренски // Математический сборник. 1981. - Т.115. - №1(5). - С. 98-115.

12. Жевлаков, К.А. Кольца, близкие к ассоциативным / К.А. Жевла-ков, A.M. Слинько, И.П. Шестаков, А.И. Ширшов. — М.: Наука, 1978.

13. Зайцев, М.В. Новое экстремальное свойство многообразия алгебр Ли AN2 / М.В. Зайцев, С.П. Мищенко // Вестник Московского университета. Серия 1, Математика и механика. — 1999.

14. Зельманов, Е.И. Об энгелевых алгебрах Ли / Е.И. Зельманов // ДАН СССР. 1987. — Т. 292. - №2. - 265-268.

15. Кострикин, А.И. Вокруг Бернсайда / А.И. Кострикин. — М.: Наука. гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 232 с.

16. Кострикин, А.И. О проблеме Бернсайда / А.И. Кострикин // Изв. АН СССР. Серия математика. — 1959. — Т. 23. — №1. — С. 3-34.

17. Курош, А.Г. Лекции по общей алгебре. / А.Г. Курош. СПб: Лань, 2005.

18. Кэртис, Ч. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр / Ч. Кэртис, И. Райнер. — М.: Наука, 1969.

19. Мальцев, А.И. Алгебраические системы / А.И. Мальцев. — М.: Наука, 1970.

20. Мальцев, А.И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями / А.И. Мальцев // Математический сборник. — 1950.- Т. 26. №1. - С. 19-33

21. Мищенко, С.П. К проблеме энгелевости / С.П. Мищенко // Математический сборник. — 1984. — Т. 124. — №1. — С. 56-67.

22. Мищенко, С.П. Многообразия алгебр Ли с двуступенно нильпо-тентным коммутантом / С.П. Мищенко // Весщ АН БССР: Сер. ф1з. матем. навук. — 1987. — №6. — С. 39-43.

23. Мищенко, С.П. Многообразия алгебр Ли со слабым ростом последовательности коразмерностей / С.П. Мищенко // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. — 1982.- №5. С. 63-66.

24. Мищенко, С.П. Многообразия центрально-метабелевых алгебр Ли над полем характеристики нуль / С.П. Мищенко // Математические заметки. 1981. — Т.ЗО. — №5. — С. 649-657.

25. Мищенко, С.П. О многообразиях полиномиального роста алгебр Ли над полем нулевой характеристики / С.П. Мищенко // Математические заметки. — 1986. — Т. 4. — №6. — С. 713-721.

26. Мищенко, С.П. О некоторых классах алгебр Ли. / С.П. Мищенко // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и Механика. 1992. - №3. — С. 55-57.

27. Мищенко, С.П. Тождество энгелевости и его приложение / С.П. Мищенко // Математический сборник. — 1983. — Т.121. — №3. С. 423-430.

28. Мищенко, С.П. О многообразиях алгебр Лейбница почти полиномиального роста с тождеством x(y(zt)) = 0. / С.П. Мищенко, Т.В. Шишкина // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. — 2010. — №3. — С. 18-23.

29. Мищенко, С.П. Некоторые экстремальные свойства многообразия левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница / С.П. Мищенко, Ю.Ю. Фролова // Математические заметки, (в печати)

30. Мищенко, С.П. Необходимые и достаточные условия полиноми-альности роста многообразия алгебр Лейбница / С.П. Мищенко, О.И. Череватенко // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. - 12. - № 8. - 207-215.

31. Размыслов, Ю.П. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр / Ю.П. Размыслов // Алгебра и логика. — 1974. — Т.13. —№6. С. 685-693.

32. Размыслов, Ю.П. О конечной базируемоети тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль / Ю.П. Размыслов // Алгебра и логика. — 1973. — Т.12. — №1. — С. 83-113.

33. Размыслов, Ю.П. Об энгелевых алгебрах Ли / Ю.П. Размыслов // Алгебра и логика. — 1971. — Т. 10. — №1. С. 33-44.

34. Скорая, Т.В. О некоторых многообразиях алгебр Лейбница / Т.В. Скорая, Ю.Ю. Фролова. // Вестник Самарского государственного университета, (в печати).

35. Фролова, Ю.Ю. О нильпотентности энгелевой алгебры Лейбница / Ю.Ю. Фролова // Вестник Московского государственного уни-верситетата. Серия 1, Математика. Механика. — 2011. — №3. — С. 63-65.

36. Фролова, Ю.Ю. Нильпотентность энгелевой алгебры Лейбница / Ю.Ю. Фролова // Материалы международного молодежного научного форума "Университетское образование: традиции и инновации". Ульяновск, 2010. — С. 289-291

37. Фултон, У. Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии / У. Фултон // Пер. с англ. М.: МЦНМО, 2006. - 328 с.

38. Шишкина, Т.В. О целочисленности экспоненты многообразия 3N / Т.В. Шишкина // Ученые записки Ульяновского государственного университета. Сер. Математика и информационные технологии. — 2011. Выпуск 1(3). - С. 40-48

39. Abanina, L. Е. The variety of Leibniz algebras defined by the identity x(y(zt)) =0 / L.E. Abanina, S.P. Mishchenko // Serdica Math. J. — 29. -2003. P. 291-300.

40. Andrews, G.E. The Theory of Partitions Mass / G.E. Andrews // Addison-Wesley Publ. Reading, 1976

41. Cohn, P.M. A non-nilpotent Lie ring satisfying the Engel condition and a non-nilpotent Engel group / P.M. Cohn // Proc. Cambridge Phil. Soc.: Math, and Phys.Sci., 1955. 51. - №3. - P. 401-405.

42. Dzhumadil'daev, A.S. Jordan elements and left-center of a free Leibniz algebra / A.S. Dzhumadil'daev // Electronic research announcements in mathematical sciences. — Volume 18. — P. 31-49

43. Drensky, V. Free algebras and Pi-algebras. Graduate course in algebra / Drensky V. // Springer-Verlag Singapore, Singapore, 2000.

44. Giambruno, A. On the colength of a variety of Lie algebras/ A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev // International Journal of Algebra and Computation. — Vol.9. — №5. — 1999. — P. 483-491.

45. Giambruno, A. Polynomial Identities and Asymptotic Methods Providence / A. Giambruno, M. V. Zaicev// RI Mathematical Surveys and Monographs 122, American Mathematical Society, 2005

46. Higgins, P. J. Lie rings satisfying the Engel condition / P. J. Higgins // Proc. Cambr. Philos. Soc. 1954. - V. 50. - №1. - P. 8-15.

47. Loday, J.-L. Universal enviloping algebras of Leibniz algebras and (co)homology / J.-L. Loday and T. Pirashvili // Math. Ann. — 1992.- V.296. P. 139-158.

48. Mishchenko, S.P. Poisson PI algebras / S.P. Mishchenko, V.M. Petrogradsky, and A. Regev // Transactions of the American Mathematical Society. Vol. 359. - №. 10. — P. 4669-4694. 2007

49. Mischchenko, S.P. Integrality of exponents of some abelian-by-nilpotent varieties of Lie algebras / S.P. Mischchenko, A. Regev, M.V. Zaicev // Comm. Algebra. 2000. — V.28. — №9. - P.4105-4130.

50. Mishchenko, S. A Leibniz variety with almost polynomial growth / S. Mishchenko, A. Valenti // J. Pure Appl. Algebra. — 2005. — V.202.- P. 82-101.