Числовые характеристики и другие свойства лиевых многообразий почти полиномиального роста тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Пестова Юлия Рямильевна

• Пестова Юлия Рямильевна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Пестова Юлия Рямильевна

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Линейные алгебры и их многообразия

1.2. Необходимая информация из теории представлений симметрических групп

1.3. Ассоциативные многообразия почти полиномиального роста

Глава 2. Многообразия почти полиномиального роста. Случай многообразий алгебр Ли

2.1. Известные лиевы многообразия почти полиномиального роста

2.2. Кодлина многообразия, порожденного простой алгеброй Ли в12

2.3. Новые свойства многообразия алгебр Ли ^А

Глава 3. Многообразия почти полиномиального роста. Случай многообразий алгебр Лейбница

3.1. О многообразиях алгебр Лейбница

3.2. Новые свойства многообразия алгебр Лейбница VI

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Числовые характеристики и другие свойства лиевых многообразий почти полиномиального роста»

Введение

Первыми примерами неассоциативных алгебр стали алгебры Ли, прочно закрепившиеся в математике в конце 19 века в связи с изучением групп Ли. В неявной форме алгебры Ли возникли несколько раньше в механике. Общей предпосылкой возникновения этого понятия было понятие "инфи-нитезимального преобразования", восходящего по меньшей мере ко времени возникновения исчисления бесконечно малых. До 1934 года использовались термины "инфинитезимальные преобразования рассматриваемой группы" или "инфинитезимальная группа" , а потом Г. Вейлем был введен сам термин "алгебра Ли". Теории групп Ли и алгебр Ли продолжительное время развивались параллельно, а преобладание методов анализа и топологии лишь способствовало укоренившейся привычке смотреть на аппарат алгебр Ли, прежде всего, как на полезное и мощное средство линеаризации теоретико-групповых задач. С течением времени роль алгебр Ли возрастала пропорционально месту, занимаемому группами Ли в математике (особенно в геометрии), а также в классической и квантовой механике. Этим в первую очередь объясняется особое место алгебр Ли среди многих других универсальных алгебр.

Что касается класса алгебр Лейбница, то вероятно, что впервые А.М. Блох определил его в работе [6]. Сами алгебры Лейбница получили свое название позднее. Поначалу этот класс назывался алгебрами Лодея. Алгебры Лейбница стали активно изучаться в начале 90-х годов как неантикомму-тативные аналоги алгебр Ли. Для того чтобы обобщить необходимые приложения лиевых алгебр с такими разделами, как алгебраическая К-теория, классическая алгебраическая топология, дифференциальная геометрия и т. д. для непосредственной связи возникли эти алгебры. Ж. Лодей и Т. Пирашвили описали свободную алгебру Лейбница [58].

Тождество

(ху)г = (хг )у + х(уг)

определяет алгебры Лейбница, которые, в свою очередь, обобщают лиевы алгебры. В алгебрах Ли по определению выполняются тождество антикоммутативности

х2 = 0

и тождество Якоби

(ху)г + (у г )х + (гх)у = 0.

Обратим внимание, что в случае выполнения в алгебре Лейбница тождества антикоммутативности, такая алгебра будет алгеброй Ли.

В математике при изучении разных математических структур хорошо известен и давно используем такой алгебраический прием, как выделение классов исследуемых объектов с помощью тождеств. Так в качестве классов алгебраических объектов могут быть определены класс групп, класс ассоциативных алгебр, класс алгебр Ли, классы альтернативных и йор-дановых алгебр. Эти классы стали классическими. За последнее время к ним присоединился еще класс алгебр Лейбница. Если в некотором классе всех линейных алгебр над некоторым полем выполняется определенный набор тождеств, то такой класс Мальцевым А.И. в монографии [24] назван многообразием линейных алгебр над заданным полем, а А.Г. Курош в монографии [22] использует в этом случае термин "примитивный класс алгебр".

В качестве объекта исследования данной диссертационной работы выступают многообразия алгебр Ли и Лейбница почти полиномиального роста, их полилинейные компоненты и числовые характеристики. Предмет исследования - это исследование поведения числовых характеристик и базисов полилинейных частей некоторых многообразий алгебр Ли и Лейбница почти полиномиального роста.

Г. Биркгоф в своей основополагающей работе по универсальным алгебрам [46] перечислил следующие операции:

а) взятие полных декартовых произведений,

б) взятие подалгебр,

в) взятие гомоморфных образов.

Любой класс универсальных алгебр, который задан определенными тождественными соотношениями, должен быть замкнутым относительно этих операций. Им также было доказано, что для класса алгебр, обладающих этим свойством, оно является характеристическим. Это означает, что если в каком-то классе универсальных алгебр имеют место указанные выше три операции, то его можно задать своими тождествами. Понятие многообразия стало достаточно наглядным благодаря утверждению Г. Биркгофа. В универсальной алгебре оно явно указало соотношение между аксиоматическим и модельным подходом при изучении многообразий. Таким образом, закрепилось понимание того, что многообразие исследуемых алгебр может быть явно задано либо своими тождествами, либо конкретными алгебрами, которыми порождается это многообразие относительно перечисленных ранее операций.

Пусть V — некоторое многообразие алгебр, а Ф(Х, V) — относительно свободная алгебра этого многообразия со счетным множеством свободных образующих X = {х1, х2,...}. Множество всех полилинейных элементов от х\,... ,хп в алгебре Ф(Х, V) обозначим через Рп(V) и определим естественным способом на нем структуру модуля симметрической группы Sn. Результат действия перестановки р € Sn на полилинейном левонормиро-ванном мономе х{1 х{2.. .Х{п € Рп (V) равен хр({1)Хр({2)... хр({п). Еще в середине прошлого века в работе [24] было установлено, что если основное поле имеет характеристику нуль, то любое тождество эквивалентно системе полилинейных тождеств. Таким образом, пространства Рп(У), п = 1, 2,...,

содержат в себе всю информацию о многообразии V. Эти пространства принято называть полилинейными частями многообразия. Поэтому важную роль при изучении многообразия V играет исследование структуры Sn-модуля Pn(V). Модуль Pn(V) вполне приводим. Рассмотрим разложение его характера в целочисленную комбинацию неприводимых характеров ХА с кратностями ша, где Л b n — разбиение числа n,

Xn(V) = x(Pn(V)) = Е шаха.

Abn

Обозначим cn(V) размерность пространства Pn(V). По сложившейся традиции последовательность чисел cn(V), n = 1, 2,..., называют последовательностью коразмерностей вербального идеала многообразия или просто последовательностью коразмерностей многообразия. Эта последовательность является одной из основных числовых характеристик многообразия.

Также значимыми числовыми характеристиками являются кратности шА и последовательность кодлин

ln(V) = Е Шд,

Abn

где n = 1, 2,..., то есть последовательность длин модулей Pn(V). Размерность соответствующего разбиению Л неприводимого модуля будем обозначать через dA, то есть dA = deg xA. Тогда будет выполняться следующее равенство

Cn(V) = dim Pn(V) = Е mAdA.

Abn

Асимптотическое поведение размерности пространства Pn(V) определяет рост многообразия.

В математическом анализе принято, что рост может быть полиномиальным или степенным, экспоненциальным или показательным. Отметим,

что в случае многообразия полиномиального роста, рост любого его подмногообразия будет таковым же. А в случае многообразия показательного роста его подмногообразия могут иметь показательный, промежуточный или полиномиальный рост.

Пусть некоторое свойство Q не выполняется в многообразии V, но им обладает любое собственное подмногообразие в V, тогда многообразие V называют экстремальным по отношению к свойству Q. Говорят еще, что V почти обладает свойством Q. Таким образом, многообразие V обладает почти полиномиальным ростом, если рост самого многообразия не полиномиален, но любое собственное подмногообразие имеет полиномиальный рост. Многообразия такого роста важны в теории многообразий.

Только два многообразия почти полиномиального роста существуют в классе ассоциативных алгебр [20]. Одно порождается бесконечномерной алгеброй Грассмана О, а другое порождает алгебра верхнетреугольных матриц иТ2 порядка два [25]. В классе алгебр Ли существует ровно четыре разрешимых многообразий почти полиномиального роста и найдено одно неразрешимое многообразие почти полиномиального роста. В случае алгебр Лейбница найдены еще четыре многообразия с аналогичным экстремальным свойством (см. по этому поводу обзоры [28], [63]).

В теории многообразий алгебр Ли существуют многообразия сверхэкспоненциального роста, то есть рост таких многообразий не ограничивается ни одной показательной функцией. Достаточно хорошо исследованным примером такого многообразия алгебр Ли является многообразие А^, в котором выполняется тождество (х^2х3)(х4х5х6) = 0. В работе [10] доказано, что оно имеет почти показательный рост. В работе [45] было построено многообразие алгебр Лейбница, имеющее свойства аналогичные со свойствами многообразия А^. Это многообразие сверхэкспоненциального роста и удовлетворяет тождеству х1(х2(х3х4)) = 0.

В случае же ассоциативных алгебр не существует многообразий сверхэкспоненциального роста, что подтверждает результат А. Регева [67] о том, что любое собственное многообразие ассоциативных алгебр ограничивает некоторая экспонента: если в многообразии ассоциативных алгебр V выполняется нетривиальное тождество степени т, то его рост коразмерностей удовлетворяет неравенству < (т — 1)2п для любого п. Позже было доказано, что в классе ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики не может быть многообразий промежуточного роста (между полиномиальным и экспоненциальным). А также последовательность коразмерностей имеет здесь ассимптотическое поведение: она ведет себя или как экспонента с целым показателем, или как полином с целой степенью

([49], [52]).

Мищенко С.П. в работе [29] доказал, что в классе алгебр Ли не существует многообразий промежуточного роста в случае основного поля нулевой характеристики. Также им показано, что не существует лиевых многообразий с экспонентой роста, расположенной в интервале (1, 2), и приведены примеры многообразий экспоненциального роста с экспонентой равной двум. В работе [68] построено разрешимое многообразие. Верхняя и нижняя его экспоненты лежат в промежутке (3,4). Это означает, что у данного многообразия или нет экспоненты, или она дробная.

Обозначим через А многообразие всех абелевых алгебр Ли, в которых выполняется тождество х1х2 = 0. Известно, что многообразие А2, в котором выполняется тождество (ж1ж2)(жзж4) = 0, имеет почти нулевой рост. Это связано с тем, что любое собственное подмногоообразие состоит из нильпотентных алгебр. Другими словами, можно сказать, что оно является почти нильпотентным. Размерность полилинейной части РП(А2) равна (п — 1). Полилинейная часть является неприводимым модулем симметрической группы, соответствующей разбиению (п — 1,1) Ь п, то есть отвечает

диаграммам Юнга с одной клеткой вне первой строки. В работе [13] описан более общий случай, когда в сумме неприводимых изоморфных подмодулей для всех ненулевых слагаемых соответствующие им разбиения вне первой строки имеют не более двух клеток.

Многообразие, которое определяется тождеством х1х2...х5+1 = 0, обозначим через N5. В его состав входят все нильпотентные алгебры ступени нильпотентности не выше й. Так как при п > й + 1 числа сп(^) равны нулю, то это многообразие имеет нулевой рост.

Произведением двух многообразий UV называется многообразие, которое состоит из всех таких алгебр Я, в которых содержится идеал I € и такой, что факторалгебра Я/1 принадлежит многообразию V. Произведение многообразий ^А удовлетворяет тождеству

(х1х2)...(х2в+1х2в+2) = 0

и состоит из алгебр, коммутанты которых принадлежат многообразию N5. При й = 1 получится уже известное многообразие А2, а если й = 2, то получим многообразие ^А, которое имеет достаточно богатую структуру подмногообразий [13]. Многообразия N5А имеют показательный рост.

Используя технику диаграмм Юнга, С.П. Мищенко и В.М. Петроградский в работе [64] доказали, что подмногообразия в ^А над полем характеристики нуль имеют целочисленные экспоненты. Позднее оказалось, что этот результат является верным и в случае, когда основное поле имеет произвольную характеристику [36].

Бенедиктовичем И.И. и Залесским А.Е. в работе [5] сформулирован критерий полиномиальности роста в терминах диаграмм Юнга для класса лиевых алгебр. Он заключается в том, что если в разбиениях, которые порождают ненулевые слагаемые сумм неприводимых изоморфных подмодулей, полученных из таблиц Юнга, ограничить клетки, содержащиеся вне первой строки, то это характерно лишь для многообразий, рост которых

полиномиален. Мищенко С.П. нашел дополнительное схожее утверждение в работах [28], [29]: для некоторого в должно выполняться условие

^А С V С ^А.

Таким образом, наименьшее подмногообразие в ^А, имеющее рост выше полиномиального, - это многообразие ^А.

Рост кратностей и кодлину многообразий ассоциативных алгебр ограничивает полиномиальная функция п9 для подходящего д (см., напр., [48], теорема 16). Как было показано М.В. Зайцевым и С.П. Мищенко в статье [16], в случае алгебр Ли это свойство остается верным для, так называемых, многообразий ассоциативного типа и может нарушаться в общем случае. Однако в предложенных ранее примерах рост кратностей и кодлины оставался субэкспоненциальным.

В статье [37] найдена асимптотика роста полинильпотентных многообразий. В работах [15], [62] доказано, что кодлина и коразмерность любого многообразия линейных алгебр связаны неравенством: /«(V) > ^уПр. На основе найденных асимптотик и сформулированного утверждения там же получены нижние оценки кодлины многообразий алгебр Ли, у которых она не может быть ограничена экспоненциальной функцией. Так, для многообразия Аз всех разрешимых ступени не выше трех алгебр Ли имеется

з^, п!

сп(А3) , ЦА3) >

(1п п)п' (1п п)п

Для полинильпотентного многообразия V = N3... , представляющего из себя произведение нильпотентных многообразий алгебр Ли, были получены следующие результаты:

1) если д > з,тогда > ^^,

2) если д = 2 и а > 3, тогда > Ьп/а(п!),

3) если Ь > 2, то многообразие N^N2 имеет экспоненциальный рост кодлины ^(N,N2) ~ (VЬ)п.

В статье [54] получена следующая оценка кодлины многообразия А^: /п(А^) ~ ехр(^2пп). Для данного многообразия рост кодлины оказался промежуточным (между полиномиальным и экспоненциальным). В классе всех линейных алгебр построено [17] многообразие V такое, что последовательность его кодлин удовлетворяет неравенствам:

1 2п < 1п(V) < п2п.

2п(п - 1)'

Более того, последовательность кохарактеров хп^), где п = 1, 2,..., лежит в полосе высоты 3, что невозможно в случае алгебр Ли.

Многообразие с дробно-полиномиальным ростом было построено в статье [33], откуда вытекает, что существует такое многообразие V, что последовательность его кодлин удовлетворяет условиям

1 3/2 < /пСУ) < 2п3/2.

-г= п

3^/3

Причем, ненулевые кратности в нем будут получены только в случаях Ш(п) =0 и Ш(п_1;1) = 0. Отметим, что данное многообразие не является многообразием алгебр Ли, ассоциативных алгебр, и поведение кодлины данного многообразия определяется различными расстановками скобок в мономах.

Доказано ([32]), что существует только три многообразия, кодлина которых равна единице для всех п. Это многообразие всех ассоциативных коммутативных алгебр, многообразие всех метабелевых алгебр Ли и многообразие йордановых алгебр, порожденных алгеброй Шестакова.

Если в многообразии лейбницевых алгебр V в случае поля характеристики, отличающейся от двух, для какого-то п выполняется неравенство сп(У) < 2[^з1] (здесь квадратные скобки ни что иное, как целая часть числа), то многообразие V имеет нильпотентный коммутант [34]. А если же в

случае нулевой характеристики основного поля помимо выполнения данного неравенства для некоторого п, V является лиевым многообразием, то тогда его рост полиномиален [28].

Многообразие алгебр Лейбница ^А, определяемое тождеством

(х1х2)... (х25+1х25+2) = 0,

рассматривается, например, в работах [40], [41], [42]. В последней работе Рацеев С.М. доказал, что в случае поля, имеющего конечную характеристику, отличную от двух, лейбницевых многообразий с промежуточным ростом не может быть найдено.

Начнем описывать структуру представленной диссертационной работы. Ее целью является нахождение новых свойств известных примеров лиевых и лейбницевых многообразий почти полиномиального роста. В работе содержится три главы и на всем ее протяжении основное поле имеет нулевую характеристику. Характер первой главы обзорный. В первом разделе вводятся некоторые обозначения для упрощения записей, а также приводятся основные определения и понятия из теории многообразий. Второй параграф этой главы посвящен сведениям из теории представлений симметрической группы, необходимым нам в изложении. В третьем параграфе рассматриваются ассоциативные алгебры и их многообразия почти полиномиального роста. Здесь важную роль играют алгебра верхнетреугольных матриц порядка два иТ2 и бесконечномерная алгебра Грассмана О. Они соответственно порождают два многообразия ассоциативных алгебр, имеющих почти полиномиальный рост.

Во второй главе исследованы и найдены числовые характеристики некоторых лиевых многообразий, имеющих почти полиномиальный рост. Для дальнейшего удобства в первом разделе описаны алгебры Ли, показана их связь с ассоциативными алгебрами и рассматриваются известные примеры

лиевых многообразий почти полиномиального роста, для которых в работе [28] принято обозначение Vo, VI, V2, V3, V4. В упомянутой работе и в статье [29] С.П. Мищенко нашел критерий полиномиальности роста в случае алгебр Ли, который мы здесь также сформулируем.

Во втором параграфе речь идет о многообразии V0, порожденном трехмерной простой алгеброй Ли в/2, которую образует множество матриц порядка два с нулевым следом над главным полем относительно операции коммутирования. Это многообразие пока единственное найденное неразрешимое многообразие почти полиномиального роста в классе алгебр Ли.

Строение полилинейных частей этого многообразия как модулей симметрических групп описано в работе [12]. Там же построены ненулевые элементы относительно свободной алгебры многообразия V0, линеариза-циями которых порождаются неприводимые модули в полилинейной части Р„(^), а также доказана

Теорема 2.2. В разложении

Хп^о) = Х(РП(^)) = Е тлхл

ЛЬп

характера полилинейной части Рп^0), п > 1, для кратностей выполняются следующие равенства:

{1, если Л = (р + д + г, р + д, р), где р + д = 0 и д или г нечетное;

0, в остальных случаях.

Для доказательства основной теоремы этого параграфа нами были получены следующие вспомогательные результаты. Эти результаты автора изложены в работах [72], [76].

Лемма 2.1. Для кодлин многообразия V0 при п > 4 верно следующее соотношение:

/п(^) = /п—3^0) + ап + еп, 13

4'

если п = 4к;

где ап = ^ п++2, если п = 4к + 2; и £п =

п1

1, если п = 2т; 0, если п = 2т + 1.

2 -, если п = 2т + 1

Лемма 2.2. Для кодлин многообразия Vo при п > 4 верно следующее соотношение:

/п+1^о) = /пГ^о) + бп,

к, если п = 4к;

где бп =

1, если п = 4к + 1; к, если п = 4к + 2; 1, если п = 4к + 3.

Используя формулы для кратностей, а также леммы 2.1 и 2.2, доказан основной результат второго параграфа второй главы — формула для вычисления кодлины многообразия V0.

Теорема 2.3. Для всех п > 2 кодлина многообразия V0 вычисляется по формулам:

п2+4п 16 ,

/пС^о) =

если п = 4к;

п2+66п_7, если п = 4к + 1;

, если п = 4к + 2;

п2+1п-11, если п = 4к + 3.

В третьем параграфе второй главы исследуется многообразие алгебр Ли V1 = N2A, удовлетворяющее тождеству (х1х2)(х3х4)(х5х6) = 0. Оно состоит из алгебр Ли с нильпотентным ступени не выше двух коммутантом. Это многообразие было достаточно подробно исследовано в работе С.П. Мищенко [27]. Выпишем основные результаты, которые были получены в этой работе:

1) В случае многообразия ^А нулевой подмодуль соответствует диаграмме Юнга, которая покрывает два столбца по четыре и три клетки или

п

три столбца по три клетки.

2) Для этого многообразия определены две числовые величины, которые зависят от целых неотрицательных аргументов, где квадратные скобки означают целую часть числа:

/ \ I [2] + 1, если р или д нечетное число;

т(р> д) = \ а

I 2, если оба парметра четные;

, \ } [^ ], при р=0;

п(р,д) = \

I д + 1, в противном случае.

3) Найдены формулы для кратностей вхождения неприводимых модулей в разложение полилинейной части, рассматриваемой как модуль симметрической группы. Они имеют вид

т(р,д), если Л = (р + д + 1,р + 1,1,1), п = 2р + д + 4;

т(р, д), если Л = (р + д + 2,р + 2, 2), п = 2р + д + 6;

т(р,д), если Л = (р + д,р),р > 2, п = 2р + д;

п(р, д), если Л = (р + д + 1,р + 1,1),п = 2р + д + 3;

1, если Л = (п — 1,1);

0 в остальных случаях.

4) Многообразие ^А имеет показательный рост. Любое собственное подмногобразие многообразия NА имеет степенной рост последовательности коразмерностей вербального идеала. Поэтому само многообразие имеет почти полиномиальный рост.

Учитывая формулы для кратностей, непосредственным вычислением в третьем параграфе автором совместно с научным руководителем найдена формула для вычисления кодлины данного многообразия, а так же базисы полилинейных частей. Эти результаты опубликованы в работах [69], [70],

тл =

Теорема 2.5. Кодлина многообразия N2А для п > 2 вычисляется по следующим формулам:

8

5п2 -24п+36

8

5п2 -24п+35

Основным результатом этого параграфа является нахождение базиса полилинейной части упомянутого многообразия и формулы для вычисления его коразмерности.

Теорема 2.6. Базис полилинейной части Рп(^А) состоит из элементов вида:

гр , гр гр , Гр ,

где ¿1 < п > ¿2 > ... > ¿п-Ъ

(гр . гр гр . гр . I I ^У ■ ^У ■ /у> . |

Х«1ХпХг2 . . . Х«и-к-1 )(ХЛ Х.?2 . . . Х3к

где к = 2,..., (п - 2) и ¿1 < п > ¿2 > ... > ¿п-к-1,31 < 32 > Зз > ... > Зк. При п > 2 коразмерность многообразия задается формулой

■)П—3

Сп№А) = (п - 1) ((п - 4)2п-3 + 2) .

Для доказательства первой части теоремы мы используем тот факт, что в многообразии ^А выполняются следующие тождественные соотношения:

(>УХр(1) . . .хр(к))(^(1) .. . Уд(т )) = (жуЖ1 . ..Хк)(2йу1 . . . ут )

где р Е , д Е £т, а также ссылаемся на формулы для кратностей данного многообразия. Для доказательства второй части теоремы опираемся на комбинаторные соображения и равенства, касающиеся биноминальных коэффициентов.

2

п

В третьей главе продолжается исследование и нахождение новых свойств многообразий алгебр Лейбница почти полиномиального роста.

В первом параграфе дается описание алгебр Лейбница. В них, как и в алгебрах Ли, не выполняется тождество ассоциативности, поэтому необходимо следить за расстановкой скобок. В случае алгебр Лейбница существует девять многообразий, имеющих почти полиномиальный рост. Пять упомянутых выше лиевых многообразий V0, VI, V2, V3, V4 являются многообразиями алгебр Лейбница. Оставшиеся четыре это многообразия почти полиномиального роста VI, V2, V3, V4, по свойствам схожие с разрешимыми лиевыми многообразиями почти полиномиального роста. В работе рассмотрены их важные характеристики. Найденный в работе С.П. Мищенко и О.И. Череватенко [35] критерий полиномиального роста лейбницевых алгебр над полем характеристики нуль сформулирован в этом параграфе.

Утверждение 3.2. Многообразие алгебр Лейбница V имеет полиномиальный рост над полем характеристики нуль в том и только в том случае, если найдется такое число в, что будет выполняться условие

^А, V1 С V С ^А.

Следуя этому критерию, можно сделать вывод, что в классе алгебр Лейбница, который определяется тождеством (ж1ж2)... (ж25+1ж25+2) = 0, есть всего лишь два многообразия почти полиномиального роста. Многообразия N2 А и V1 являются таковыми.

Второй параграф посвящен как раз многообразию алгебр Лейбница V1, определяемому тождеством ж1(ж2ж3)(ж4ж5) = 0. Это многообразие порождается алгеброй и, которая представляет из себя прямую сумму двух векторных пространств иТ2 (ассоциативной алгебры верхнетреугольных матриц размера 2 х 2 над основным полем) и иТ^ (той же самой алгебры только с другим умножением, когда результат произведения двух ее элементов

равен нулю). На и задана структура алгебры с определенным следующим образом умножением

(а0 + а!)(а° + а2) = (а^)0 + [аь а2],

где [а1,а2] = а1 а2 — а2а1 коммутатор матриц, а е^е^/ =

вц , если 3 = Н

0 , если 3 = Н.

Приведенные ниже результаты были получены в соавторстве с научным руководителем и опубликованы в следующих работах [71], [75].

Для того чтобы найти базис полилинейной части данного многообразия, нами была доказана следующая лемма.

Лемма 3.1. В многообразии алгебр Лейбница V! выполняются следующие тождественные соотношения для р Е , д Е £т :

(жжр(1) ... Хр(к))(г^Уа(1)... Уа(т)) = (жж... Жк... уто).

Также необходимо заметить, что тождество

(^1^1 . . . ЖкУк+1 . . . Уп-2)(^2^3Ш ... УкХк+1 ... Жп-2) = 0

не выполняется в алгебре и, а значит и в многообразии V1. Сформулируем основной результат этой главы.

Теорема 3.1. Базис полилинейной части Рп^1) состоит из элементов вида:

гр , гр , Гр ,

%<1 ' ' ' 5

где ¿2 > ... > ¿п

(гр . гр . гр . I I ^У ■ ^У ■ /у> . |

. . . )(Ж?1 . . . ),

где к = 2,..., (п - 1), ¿2 > ... > ¿п-к, З1 < З2 и З2 > 33 > ... > 3к.

Научным руководителем С.П. Мищенко была предложена схема доказательства теоремы, а автор диссертации занимался проработкой деталей.

Для многообразия ассоциативных алгебр иТ2, порожденного алгеброй верхнетреугольных матриц порядка два иТ2, многообразия N2 А всех алгебр Ли, коммутанты которых нильпотентны ступени не выше двух и многообразия алгебр Лейбница 'У1 выявлена взаимосвязь формул для коразмерностей.

Утверждение 3.3. Для всех п > 1 для коразмерностей выполнены равенства

Сп(У 1) = п • сп-1(иТ2) = Cn+l(N2A).

Таким образом, подводя итог, в диссертационной работе найдены формулы для вычисления кодлины многообразия У0, порожденного трехмерной простой алгеброй Ли; построен базис полилинейной части многообразия N2А, состоящего из алгебр Ли с нильпотентным ступени не выше двух коммутантом, а также найдены явные формулы для вычисления его код-лин и коразмерностей; построен базис полилинейной части многообразия алгебр Лейбница почти полиномиального роста У1, определенного тождеством х1(х2х3)(х4х5) = 0.

Основные результаты диссертации обсуждались и были представлены на конференциях и семинарах:

1) Семинары кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского Государственного Университета;

2) XI Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Саратов, 9-14 сентября 2013 г.);

3) XII Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" , посвященная восьмидесятилетию профессора В.Н. Латышева (Тула, 21-25 апреля 2014 г.);

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Пестова Юлия Рямильевна, 2015 год

Список литературы

[1] Абанина, Л.Е. Структура и тождества некоторых многообразий алгебр Лейбница [Текст] : дис. ... канд. физ-мат наук : 01.01.06 / Л.Е. Абанина.

- Ульяновск : УлГУ, 2003. - 65 с.

[2] Абанина, Л.Е. Некоторые многообразия алгебр Лейбница / Л.Е. Абанина, С.П. Мищенко // Математические методы и приложения. Труды десятых математических чтений МГСУ. - М. : Союз, 2002. - С. 95-99.

[3] Абанина Л.Е. Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тождествами. / Л.Е. Абанина, С.М. Рацеев // Вестник Самарского государственного университета. - 2005. - № 6. - С. 36-50.

[4] Бахтурин, Ю.А. Тождества в алгебрах Ли / Ю.А. Бахтурин. - М.: Наука, 1985. - 448 с.

[5] Бенедиктович, И.И. T-идеалы свободных алгебр Ли с полиномиальным ростом последовательности коразмерностей / И.И. Бенедиктович, А.Е. Залесский // Весщ АН БССР: Сер. ф1з. матем. наук. - 1980. - № 3. -C. 5-10.

[6] Блох, А.М. Об одном обобщении понятия алгебры Ли / А.М. Блох // Доклады Академии наук СССР. - 1965. - Т. 18, № 3. - С. 471-473.

[7] Вейль, Г. Классические группы, их инварианты и представления / Г. Вейль. - М.: ИЛ, 1947. - 404 с.

[8] Веревкин, А.Б. Достаточное условие совпадения нижней и верхней экспонент многообразия линейных алгебр / А.Б. Веревкин, М.В. Зайцев, С.П. Мищенко // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика.

- 2011. - № 2. - С. 36-39.

[9] Воличенко, И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами / И.Б. Воличенко // Весщ АН БССР: Сер. ф1з. матем. наук. - 1980. - № 1. - С. 23-30; - № 2. - С. 22-29.

[10] Воличенко, И.Б. Многообразие алгебр Ли с тождеством [[ж1,ж2,ж3], [ж4, ж5, ж6]] = 0 над полем характеристики нуль / И.Б. Воличенко // Сиб. матем. журнал. - 1984. - Т.25, № 3. - С. 40-54.

[11] Джеймс, Г. Теория представлений симметрических групп / Г. Джеймс.

- М. : Мир, 1982. - 218 с.

[12] Дренски, В.С. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр / В.С. Дренски // Матем. сб. - 1980. - Т. 115, № 1. -С. 98-115.

[13] Дренски, В.С. О лиевых идеалах с малым ростом последовательности коразмерностей / В.С. Дренски, П.Е. Кошлуков // Плиска. БЪЛГ. мат. студ. - 1986. - № 8. - С. 94-100.

[14] Дренски, В.С. Многообразия метабелевых алгебр Лейбница / В.С. Дренски, Г.М. Пиацентини Каттанео // Алгебра и ее применения. -2002. - № 1. - С. 31-50.

[15] Зайцев, М.В. Асимптотика функций роста кодлины многообразий алгебр Ли / М.В. Зайцев, С.П. Мищенко // Успехи математ. наук. - 1999.

- Т. 54, № 3. - С. 661-662.

[16] Зайцев, М.В. О полиномиальности роста кодлины многообразий алгебр Ли / М.В. Зайцев, С.П.Мищенко // Алгебра и логика. - 1999. - Т. 38, № 2. - С. 161-175.

[17] Зайцев, М.В. Кодлина многообразий линейных алгебр / М.В. Зайцев, С.П. Мищенко // Матем. заметки. - 2006. - Т. 79, № 4. - С. 553-559.

[18] Кемер, А.Р. Замечание о стандартном тождестве / А.Р. Кемер // Мат. заметки. - 1978. - Т. 23, № 5. - С. 753-757.

[19] Кемер, А.Р. Тождества Капелли и нильпотентность радикала конеч-нопорожденной Р1-алгебры / А.Р. Кемер // Докл. АН СССР. - 1980. - Т. 255, № 4. - С. 793-797.

[20] Кемер, А.Р. Т-идеалы со степенным ростом коразмерностей / А.Р. Кемер // Сиб. матем. журнал. - 1978. - № 19. - С. 37-48.

[21] Клячко, А.А. Элементы Ли в тензорной алгебре / А.А. Клячко // Сиб. мат. ж. - 1974. - Т.15, № 6. - С. 1296-1304.

[22] Курош, А.Г. Лекции по общей алгебре / А.Г. Курош. - СПб : Лань, 2005. - 560 с.

[23] Кэртис, Ч. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр / Ч. Кэртис, И. Райнер. - М. : Наука, 1969. - 669 с.

[24] Мальцев, А.И. Алгебраические системы / А.И. Мальцев. - М.: Наука, 1970. - 392 с.

[25] Мальцев, Ю.Н. Базис тождеств алгебры верхнетреугольных матриц / Ю.Н. Мальцев // Алгебра и логика. - 1971. - Т. 10. - С. 393-400.

[26] Мальцев, А.И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями / А.И. Мальцев // Математический сборник. - 1950. - Т. 26, № 1. - С. 19-33.

[27] Мищенко, С.П. Многообразия алгебр Ли с двуступенно нильпотент-ным коммутантом / С.П. Мищенко // Весщ АН БССР: Сер. ф1з. матем. наук. - 1987. - № 6. - С. 39-43.

[28] Мищенко, С.П. Рост многообразий алгебр Ли / С.П. Мищенко // Успехи мат. наук. - 1990. - Т. 45, № 6. - С. 25-45.

[29] Мищенко, С.П. О многообразиях полиномиального роста алгебр Ли над полем характеристики нуль / С.П. Мищенко // Математические заметки. - 1986. - Т. 40, № 6. - С. 713-721.

[30] Мищенко, С.П. Нижние оценки размерностей неприводимых представлений симметрических групп и показателей экспоненты многообразий алгебр Ли / С.П. Мищенко // Матем. сб. - 1996. - Т. 187, № 1. - С. 83-94.

[31] Мищенко, С.П. О многообразиях разрешимых алгебр Ли / С.П. Мищенко // ДАН СССР. - 1990. - Т. 313, № 6. - С. 1345-1348.

[32] Мищенко, С.П. Многообразия линейных алгебр кодлины один / С.П. Мищенко // Вестн. Моск. ун-та. - 2010. № 1. - С. 25-30.

[33] Мищенко, С.П. Пример многообразия линейных алгебр с дробным полиномиальным ростом меньшим трех / С.П. Мищенко // Вестн. Моск. ун-та. - 2013. - № 3. - С. 51-54.

[34] Мищенко, С.П. Многообразия алгебр Лейбница слабого роста / С.П. Мищенко, О.И. Череватенко // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. - Казань: Казанское математическое общество. -2005. - Т. 31. - С. 103-104.

[35] Мищенко, С.П. Необходимые и достаточные условия полиномиально-сти роста многообразия алгебр Лейбница / С.П. Мищенко, О.И. Череватенко // Фундаментальная и прикладная математика. - 2006. - Т. 12, № 8. - С. 207-215.

[36] Петроградский, В.М. О численных характеристиках подмногообразий трех многообразий алгебр Ли / В.М. Петроградский // Матем. сб. -1999. - Т. 190, № 6. - С. 111-126.

[37] Петроградский, В.М. Рост полинильпотентных многообразий алгебр Ли и быстро растущие целые функции / В.М. Петроградский // Матем. сб. - 1997. - Т. 188, № 6. - С. 119-138.

[38] Размыслов, Ю.П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль / Ю.П. Размыслов // Алгебра и логика. - 1973. - Т. 12, № 1. - С. 83-113.

[39] Размыслов, Ю.П. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр / Ю.П. Размыслов // Алгебра и логика. - 1974. Т. 13, № 6. - С. 685-693.

[40] Рацеев, С.М. Структура и тождества некоторых алгебр лиевского типа: дис. ... канд. физ-мат наук : 01.01.06 / С.М. Рацеев. - Ульяновск: УлГУ, 2006. - 101 с.

[41] Рацеев, С.М. Рост многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом / С.М. Рацеев // Матем. заметки. - 2007. - Т. 82, № 1. -С. 108-117.

[42] Рацеев, С.М. Рост некоторых многообразий алгебр Лейбница / С.М. Рацеев // Вестник Самарского государственного университета. - 2006. - № 6(46). - С. 70-77.

[43] Череватенко, О.И. Некоторые эффекты роста тождеств линейных алгебр : дис. ... канд. физ-мат наук : 01.01.06 / О.И. Череватенко. - Ульяновск: УлГУ, 2008. - 69 с.

[44] Эндрюс, Г. Теория разбиений / Г. Эндрюс. - М.: Наука, 1982. - 256 с.

[45] Abanina, L.E. The variety of Leibniz algebras defined by the identity x(y(zt)) = 0 / L.E. Abanina, S.P. Mishchenko // Serdika Math. J. -2003. - V. 29. - P. 291-300.

[46] Birkhoff, G. On the strukture of abstract algebra / G. Birkhoff // Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1935. - V. 31. - P. 433-454.

[47] Berele, A. Applications of hook Young diagrams to P.I. algebras / A. Berele, A. Regev //J. Algebra. - 1983. - V.82. - P. 559-567.

[48] Berele, A. Codimensions of products and of intersections of verbally prime T-ideals / A. Berele, A. Regev // Izrael J.Math. - 1998. - № 103. - P. 17-28.

[49] Drensky, V. Relations for the cocharacter sequences of T-ideals / V. Drensky // Contemporary Mathematics. - 1992. - V. 131 (Part 2). - P. 285-300.

[50] Dzhumadil'daev, A.S. q-Leibniz algebras / A.S. Dzhumadil'daev. - Bonn: MPI, 2006. - 33 p.

[51] Fulton, W. Young tableaux with aplications to representation theory and geometry / W. Fulton. - Cambridge university press, 1997. - 260 p.

[52] Giambruno, A. Exponential codimension growth of PI algebras: an exact estimate / A. Giambruno, M.V. Zaicev // Adv. in Math. - 1999. - V.142. - P. 221-243.

[53] Giambruno, A. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. / A. Giambruno, M.V. Zaicev. Mathematical Surveys and Monographs. AMS, Providence, RI, 2005. - V. 122. - 352 p.

[54] Giambruno, A. On the colength of a variety of Lie algebras / A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev // Int. J. of Algebra and Computations. - 1999.

- V. 9. - P. 483-491.

[55] Kemer, A. T-ideals with power growth of the codimensions are Specht / A. Kemer. // (Russian) Sibirskii Matematicheskii Zhurnal. - 1978. - V. 19. -P. 54-69; (English) Siberian Math. J. - 1978. - V. 19. - P. 37-48.

[56] Kerber, A. Representations of permutation groups I / A. Kerber // Lect. Notes in Math. - 1971. - V. 240.

[57] Krakowsky, A. The polynomial identities of the Grassmann algebra / A. Krakowsky, A. Regev. // Trans. Amer. Math. Soc. - 1973. - V. 181. - P. 429-438.

[58] Loday, J.-L. Universal enviloping algebras of Leibniz algebras and (co)homology / Loday, J.-L. and Pirashvili T. // Math. Ann. - 1992. -V. 296. - P. 139-158.

[59] Loday, J.-L. Une version non commutative des algebres de Lie: les algebres de Leibniz / Loday, J.-L. and Pirashvili // T.L'Enseignement Math. -1993. - V. 39. - P. 269-293.

[60] Mal'cev, Yu. N. A basis of identities of the algebra of upper triangular matrices / Yu. N. Mal'cev // (Russian) Algebra i Logika. - 1971. - V. 10.

- P. 393-400; (English) Algebra and Logic. - 1971. - V. 10. - P. 242-247.

[61] Mikhalev, A.A. Superalgebras of free Leibniz algebras / A.A. Mikhalev, U.U. Umirbaev // Commun. algebra. - 1998. - V. 26, № 2. - P. 435-446.

[62] Mishchenko, S.P. Asymptotic behaviour of colength of varieties of Lie algebras / S.P. Mishchenko, M.V. Zaicev // Serdica Math. J. - 2000. -V. 26, № 2. - P. 145-154.

[63] Mishchenko, S.P. Linear algebra varieties with almost polynomial growth / S.P. Mishchenko // Polynomial identities and combinatorial methods. Pantelleria. - 2001.

[64] Mishchenko, S.P. Exponents of varieties of Lie algebras with a nilpotent commutator subalgebra / S.P. Mishchenko, V.M. Petrogradsky // Communications in Algebra. - 1999. - V. 27, № 5. - P. 2223-2230.

[65] Mishchenko, S. A Leibniz variety with almost polynomial growth / S. Mishchenko, A. Valenti //J. Pure Appl. Algebra. - 2005. - V. 202. -P. 82-101.

[66] Mishchenko, S.P. A characterization of P.I. algebras with bounded multiplicities of the cocharacters / S.P. Mishchenko, A. Regev, M.V. Zaitcev // J. Algebra. - 1999. - V. 219, № 1. - P. 356-368.

[67] Regev, A. Existence of polynomial identities in A 0 B / A. Regev // Bull. Amer. Math. Soc. - 1971. - V. 77, № 6. - P. 1067-1069.

[68] Zaitcev, M.V. Example of variety of Lie algebras with fractional exponent / M.V. Zaitcev, S.P. Mishchenko // Journal Of Mathematical Sciences. -1999. - V. 93, № 6. - P. 977-982.

Работы автора по теме диссертации

[69] Мищенко, С.П. Кодлина многообразия алгебры Ли N2A / С.П. Мищенко, Ю.Р. Фятхутдинова (Пестова) // Ученые записки УлГУ. Сер. Математика информационные технологии. - 2012. - № 1(4). - С. 70-72.

[70] Мищенко, С.П. Новые свойства многообразия алгебр Ли N2A / С.П. Мищенко, Ю.Р. Фятхутдинова (Пестова) // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: XI междунар. конф. - Саратов: СГУ, 2013. - C. 62.

[71] Mishchenko, S.P. Leibniz algebras variety V1 / S.P. Mishchenko, Yu.R. Pestova // Proceedings XII International Conference Algebra and Number Theory: Modern problems and Applications. - Tula, 2014. - P. 121.

[72] Пестова, Ю.Р. О многообразии, порожденном трехмерной простой алгеброй Ли / Ю.Р. Пестова // Мальцевские чтения: междунар. конф. -Новосибирск, 2014. - C. 107.

[73] Пестова, Ю.Р. О новых свойствах некоторых многообразий алгебр Ли и Лейбница почти полиномиального роста / Ю.Р. Пестова // XIII Международная конференция "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения". - Тула, 2015. - С. 173-176.

[74] Мищенко, С.П. Новые свойства многообразия алгебр Ли N2A / С.П. Мищенко, Ю.Р. Фятхутдинова (Пестова) // Фундаментальная и прикладная математика. - 2012. - Т. 17, № 7. - С. 165-173 (English: Mishchenko, S.P. New properties of the Lie algebra variety N2A / S.P. Mishchenko, Yu.R. Fyathutdinova (Pestova) // Journal of Mathematical Sciences. - March, 2014. - Vol. 197, № 4. - P. 558-564.)

[75] Мищенко, С.П. Базис полилинейной части многообразия алгебр Лейбница V1 / С.П. Мищенко, Ю.Р. Пестова // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2014. - № 3 (114). - С. 76-82.

[76] Пестова, Ю.Р. Кодлина многообразия, порожденного трехмерной простой алгеброй Ли / Ю.Р. Пестова // Вестник Моск. Унив-та. Сер. 1. Математика. Механика. - 2015. - № 3. - С. 58-61.

[77] Пестова, Ю.Р. О новых свойствах некоторых многообразий почти полиномиального роста / Ю.Р. Пестова // Чебышевский сборник. - 2015. - Т. 16, выпуск 2. - С. 186-207.