Числовые характеристики некоторых многообразий линейных алгебр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Рацеев, Сергей Михайлович

• Рацеев, Сергей Михайлович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Рацеев, Сергей Михайлович

Оглавление

Введение

1 Многообразия алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом

1.1 Полилинейная часть свободной алгебры Лейбница

1.2 Техника диаграмм Юнга и некоторые оценки роста, связанные с ними

1.3 Понятие т-алгоритма и его свойства

1.4 Рост подмногообразий в N5 А

1.5 5п-модули многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом

1.6 Оценки роста многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом

1.7 Функции сложности некоторых алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом

1.8 Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр Лейбница

1.9 Минимальные алгебры Ли с нильпотентным коммутантом

2 Многообразия ассоциативных алгебр, порожденные алгебрами верхнетреугольных матриц

2.1 Рост подмногообразий в уаг{11Т8) в случае произвольного поля

2.2 Несколько технических лемм

2.3 Экспоненты подмногообразий в уаг(иТ8)

2.4 Случай поля нулевой характеристики

3 Числовые характеристики многообразий алгебр Пуассо-

на

3.1 Примеры алгебр Пуассона

3.2 Пространство полилинейных элементов

3.3 Многообразия алгебр Пуассона полиномиального роста

3.4 Минимальные алгебры Пуассона полиномиального роста

3.5 Лиево нильпотентные многообразия алгебр Пуассона

3.6 Полилинейные пространства специального вида

3.7 Рост некоторых многообразий алгебр Пуассона

3.8 Многообразия алгебр Пуассона почти полиномиального роста152

3.9 Взаимосвязь алгебр Пуассона и алгебр Ли «на языке» тождеств

3.10 Некоторые алгебры Пуассона с экстремальными свойствами

4 PI-алгебры Лейбница-Пуассона

4.1 Пространство полилинейных элементов

4.2 Алгебры Лейбница-Пуассона с тождеством

{х\,х2} • {23,я4} = 0

4.3 Алгебры Лейбница-Пуассона экспоненциального роста

4.4 Некоторые алгебры Лейбница-Пуассона с экстремальными свойствами

4.5 Нильпотентные алгебры Лейбница-Пуассона

4.6 Некоторые минимальные алгебры Лейбница-Пуассона

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Числовые характеристики некоторых многообразий линейных алгебр»

Введение

Работа посвящена изучению числовых характеристик многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом; многообразий ассоциативных алгебр, порожденных алгебрами верхнетреугольных матриц; многообразий алгебр Пуассона и многообразий алгебр Лейбница-Пуассона.

Основные определения и обозначения. Обозначим через К{Х} (абсолютно) свободную линейную алгебру от счетного множества свободных образующих X = {^1,^2? • • •} над полем К. Пусть А — некоторая /С-алгебра. Если рассмотреть произвольное отображение из X в А, то оно единственным образом продолжается до гомоморфизма алгебры К{Х} в А. Исходя из этого факта, можно определить понятие тождества в алгебре А. Говорят, что в алгебре А выполнено тождество /(#1,..., хп) = О, где /(#1,..., жп) — элемент свободной алгебры К{Х}, если /(х\,..., хп) принадлежит ядру любого гомоморфизма алгебры К{Х} в алгебру А, т.е. в А выполняется равенство /(а1,...,ап) = 0 для любых элементов ах,..., ап £ А. Алгебра А, удовлетворяющая ненулевому тождеству, называется Р1-алгеброй. Обозначим через Ы{А) множество всех тождеств алгебры А. Множество Ы(А) является идеалом свободной алгебры К{Х}. При этом данный идеал замкнут относительно всех эндоморфизмов алгебры К{Х}. Идеалы, обладающие таким свойством, называются вербальными идеалами (Т-идеалами). Нетрудно видеть, что любой вербальный идеал I является идеалом тождеств некоторой алгебры, например алгебры К{Х}/1.

Многообразием линейных алгебр над полем К называют класс всех алгебр над этим полем, в которых выполнен некоторый фиксированный набор тождеств. Между вербальными идеалами и многообразиями алгебр существует взаимно однозначное соответствие. Задание набора тождеств

может быть неявным. Например, можно рассматривать многообразия, порожденные некоторым классом алгебр М над произвольным фиксированным полем К, тогда var(M) — наименьшее многообразие алгебр над полем К, содержащее М. В частности, М может состоять из одной линейной алгебры А. В данном случае алгебра А будет называться носителем многообразия. Независимая система тождеств, определяющая некоторое многообразие V, называется базисом тождеств многообразия V. Если V — некоторое многообразие, определенное некоторой системой неассоциативных многочленов из К{Х}, Id(V) — идеал тождеств многообразия V, то свободной алгеброй многообразия V называют фактор-алгебру K(X,V) = K{X}/Id(V). Исследованию многообразий линейных алгебр посвящена обширная литература [4, 41, 70, 58, 65, 85].

Для произвольного натурального п обозначим через Рп пространство в К{Х}, состоящее из полилинейных элементов степени п от переменных Xi,..., хп. Пусть А — некоторая алгебра над полем К. Обозначим

Рп(А) = Рп/(Рп П Id(A)), Сп(А) = dim Рп(А). Например, для свободной алгебры К{Х} выполнено равенство

сп(К{Х}) = ^ • п!, п

СП—1

2п—2

где С„ — число сочетаний из п по к,--п-е число Каталана. Для

ТЬ

свободной ассоциативной алгебры А(Х) и свободной алгебры Ли L{X) выполнены такие равенства: Сп(А(Х)) = n!, cn(L(X)) = (п — 1)!. Понятно, что если в К-алгебре В выполнены все тождества К-алгебры А, то Id(A) С Id(B) и сп(В) ^ Сп(А), п ^ 1.

Пусть V — некоторое многообразие алгебр над полем нулевой характеристики и a G Sn, где Sn — симметрическая группа степени п. Действие ст(х{) = естественным образом продолжается до автоморфизма свободной алгебры K(X,V) многообразия V. Пространство Pn(V) = Рп/(Pnf\Id(V)) становится при этом ^-модулем. Модуль Pn(V) является вполне приводимым, разложение его характера в целочислен-

ную комбинацию неприводимых характеров имеет следующий вид:

Хп(У) = x(Pn(V)) = £ ЫЮхх- (1)

Л1-п

Xn(V) называется п-м кохарактером многообразия V. Кохарактеры содержат информацию о структуре представления симметрической группы на пространстве Pn(V). Величину Zn(V) = ]CAHimA(V) назовем п-й кодлиной многообразия. По каждому разбиению Л можно построить диаграмму Юнга, которая представляет собой таблицу из к строк, где г-я строка состоит из Ai клеток. Скажем, что диаграмма Юнга лежит в крюке H(i,j), если Af+i ^ j.

Хорошо известно, что в случае основного поля нулевой характеристики идеал тождеств произвольного многообразия V порождается совокупностью полилинейных тождеств данного многообразия, т.е. последовательность пространств Рп П IdÇV), п ^ 1, полностью определяет Id(V). Поэтому одной из важных числовых характеристик многообразия V является последовательность {cn(V)}n>h Cn(V") = dim PnÇV), которая называется последовательностью коразмерностей многообразия V. Асимптотическое поведение данной последовательности называют ростом многообразия V. Говорят, что многообразие V имеет полиномиальный рост, если существуют такие константы С и к, что для любого п выполнено неравенство c^V) ^ Спк. Аналогично вводится понятие экспоненциального роста: для любого п выполнено неравенство cn(V) ^ Сап, где С и а — некоторые константы.

Рост многообразия служит своеобразной оценкой количества тождеств, которым удовлетворяет та или иная алгебра. Пусть d\ — размерность соответствующего разбиению Л неприводимого ¿»'„-модуля. Так как cn(V) = ]Сд|-тг mx(V)d\, то кохарактеры представляют собой более тонкую характеристику тождеств многообразия.

Договоримся опускать скобки при их левонормированной расстановке, т.е. ((ab)c) = abc.

Пусть f(n) и д(п) — две функции натурального аргумента. Будем

обозначать /(п) « д(п), если

Шп М = 1.

9\Р)

П—¥ ОО

Актуальность темы. В случае многообразий ассоциативных алгебр А. Регевым [82] показано, что рост любого нетривиального многообразия экспоненциально ограничен: для многообразия ассоциативных алгебр V над произвольным полем, в котором выполнено нетривиальное тождество степени т, выполнено неравенство Сп(V) ^ (га — 1)2п, п ^ 1.

Для случая основного поля нулевой характеристики С.А. Амицуром, А. Берелем и А. Регевым [50, 55] получен результат для кохарактеров полиномиальных ассоциативных алгебр (из которого, в частности, следует экспоненциальность роста): для нетривиального многообразия ассоциативных алгебр V над полем нулевой характеристики верны следующие утверждения:

(г) найдется такой крюк Н(к, I), что ХпОО С Н(к, I), п ^ 1.

(гг) последовательность кодлин {1п(У)}п^1 ограничена полиномом.

М.В. Зайцевым и А. Джамбруно [65] приведена более тонкая оценка для кохарактеров полиномиальных ассоциативных алгебр, используя понятие «существенных» крюков.

Если многообразие V имеет экспоненциальный рост, то введем в рассмотрение нижнюю и верхнюю экспоненты:

Ехр(V) = Иш Усп(V), Щ1(у) = ЕЕ

--П-¥ ОО

Если имеет место Ехр{V) = Ехр{V), то эту величину обозначим через Ехр{у) и будем называть экспонентой многообразия V.

Опираясь на результат А. Регева [83], С.А. Амицур выдвинул следующую гипотезу.

Гипотеза (С.А. Амицур). Для любого нетривиального многообразия ассоциативных алгебр V над полем нулевой характеристики Ехр(У) существует и является целым числом.

Гипотеза С.А. Амицура была усилена А. Регевым.

Гипотеза (А. Регев). Для любого нетривиального многообразия ассоциативных алгебр V над полем нулевой характеристики найдутся такие целые d,t и такая константа С, что

Cn(V) « Cn*dn.

М.В. Зайцев и А. Джамбруно [66, 67] в 1999 году доказали справедливость гипотезы СА. Амицура, доказав более сильный результат: для любого нетривиального многообразия ассоциативных алгебр V над полем нулевой характеристики существует такое неотрицательное целое число d и такие константы А, В, а и /3, причем А ^ 0, что

Anadn ^ c„(V) < Bn^dn.

М.В. Зацевым [17] в 2002 году доказан аналог гипотезы С.А. Амицура для конечномерных алгебр Ли. Гипотеза А. Регева была подтверждена сначала для некоторых частных случаев [64, 68], а затем в 2008 году А. Регев и А. Берел доказали гипотезу А. Регева для любой ассоциативной Р/-алгебры с единицей [52, 53].

В теории ассоциативных алгебр очень важную роль играет бесконечно порожденная алгебра Грассмана А и алгебра верхнетреугольных матриц порядка 2, которую обозначим через UT2. Из работы А.Р. Кемера [19] следует, что в случае основного поля нулевой характеристики многообразие ассоциативных алгебр V имеет полиномиальный рост тогда и только тогда, когда A ^ V, UT2 $ V.

Интересным объектом являются многообразия почти полиномиального роста — это многообразия, рост которых не является полиномиальным, но такие, что всякое собственное подмногообразие имеет полиномиальный рост. Из результата А.Р. Кемера следует что существует только два многообразия ассоциативных алгебр почти полиномиального роста: var(A), variUT?). Также из данного результата следует, что при char К = 0 произвольное многообразие ассоциативных алгебр V либо имеет полиномиальный рост, либо cn(V) ^ 2п~1 для любого п. В случае унитарных ассоциативных алгебр В. Дренски и А. Регев [59] показали,

что это свойство распространяется на случай произвольного поля. При этом если многообразие V имеет полиномиальный рост, то в случае поля нулевой характеристики найдется такое рациональное q и целое к, что Сп(У) ~ цпк [57]. Это утверждение верно и для многообразия ассоциативных алгебр с единицей над произвольным полем [59], при этом

1 А (-IV 1

к\ г\ е

г=2

где е — основание натурального логарифма. Заметим, что в работе [75] Д. Л а Маттиной полностью описаны все подмногообразия в уаг(А) и уаг(иТ2).

В отличие от ассоциативных алгебр существуют нетривиальные многообразия алгебр Ли со сверхэкспоненциальным ростом (т.е. сверху не ограничиваются никакой экспонентой). Одним из хорошо изученных примеров таких многообразий является многообразие алгебр Ли А^, определяемое тождеством (х\х2хъ)(х ±хг,хъ) = 0 [10, 11]. Для коразмерностей последовательности {сп(А^)}П5г1 выполняется такое равенство [37]:

^(АК2) = V® (1 + о(1))п,

при этом рост произвольного собственного подмногообразия в А^ ограничен экспоненциальной функцией [10].

Рассматривая более общий случай, В.М. Петроградский [36] получил формулу для коразмерностей любого полинильпотентного многообразия алгебр Ли:

{а1+о(1)-1

(га!) , д=2,

п\_ „ О

—-—-— п а о,

где 1п(*+1) X = 1п(1п(к) х), 1п(1) х = \пх.

Для произвольного многообразия V определим функцию сложности

П— 1

Несмотря на существование многообразий алгебр Ли сверхэкспоненциального роста, Ю.П. Размысловым [41] показано, что для произвольного

нетривиального многообразия алгебр Ли V функция С(У, г) является целой функцией комплексного аргумента. В.М. Петроградским [35, 36] была предложена шкала типов сверхэкспоненциального роста и доказан следующий аналог теоремы А. Регева: для многообразия алгебр Ли V, удовлетворяющего нетривиальному тождеству степени т > 3, существует такая бесконечно малая, зависящая только от т, что

Вопрос описания всех многообразий алгебр Ли почти полиномиального роста остается до сих пор открытым, за исключением того, что С.П. Мищенко [27] найдены все разрешимые многообразия, обладающие данным свойством.

Также в отличие от ассоциативных алгебр в случае многообразий алгебр Ли при нулевой характеристике основного поля имеются примеры многообразий, не имеющих целую экспоненту [79, 7, 34].

В теории алгебр с тождествами важную роль играет проблема конечной базируемости систем тождеств. Многообразие алгебр называется шпехтовым, если в нем выполняется условие обрыва возрастающих цепей для вербальных идеалов. Одним из главных вдохновителей исследований, связанных с проблемой Шпехта, стал В.Н. Латышев, положительно решивший проблему Шпехта в некоторых важных случаях [22]. Полное решение проблемы Шпехта для многообразий ассоциативных алгебр в случае основного поля нулевой характеристики положительно решена А.Р. Кемером [20]. Для многообразий алгебр Ли данная проблема остается нерешенной, за исключением частных случаев. Так, любое многообразие алгебр Ли, порожденное конечномерной алгеброй Ли, является шпехтовым [69]. А.Н. Красильниковым [21] доказана шпехтовость многообразий алгебр Ли с нильпотентным коммутантом над полем нулевой характеристики.

Заметим, что над полями положительной характеристики имеется ряд примеров бесконечно базируемых многообразий. Первые примеры бесконечно базируемых многообразий алгебр Ли построены Воон-Ли [88] и

B.C. Дренски [15]. В ассоциативном случае первые примеры бесконечно базируемых многообразий построены А.Я Беловым [5], A.B. Гришиным [12], В.В. Щиголевым [47].

В 1965 г. A.M. Блох [6] ввел в рассмотрение неантикоммутативные алгебры Ли, которые определяются тождеством Лейбница

(xy)z = (xz)y + x(yz)

и носят название алгебр Лейбница (A.M. Блох называл их D-алгебрами). Тождество Лейбница представляет собой следующее условие: оператор правого умножения на любой элемент алгебры является дифференцированием. Если в алгебре Лейбница выполняется тождество х2 = 0, то она будет являться алгеброй Ли. Позже эти алгебры возникли в работе Ж.-Л. Лодея и Д. Куиллена [73] при изучении свойств циклических го-мологий и гомологий Хохшильда алгебр матриц. Более активно алгебры Лейбница стали изучаться в 90-х годах, начиная с работы Ж.-Л. Лодея [72]. Ж.-Л. Лодей и Т. Пирашвили [74] исследовали свободные алгебры Лейбница также и с комбинаторной точки зрения. A.A. Михалев и У.У. Умирбаев [76] доказали финитную отделимость подалгебр свободных алгебр Лейбница.

Данные алгебры связаны естественным образом с дифференциальной геометрией, гомологической алгеброй, классической алгебраической топологией и некоммутативной геометрией [72]. В последние годы алгебры Лейбница активно исследуются [56, 2, 78, 49, 33, 44, 3] математиками России, Казахстана, Болгарии, Франции, Германии, США и т.д.

Наряду с алгебрами Ли и ассоциативными алгебрами естественным образом в некоторых разделах алгебры, дифференциальной геометрии, топологии, современной теоретической физике и т.д. возникают и алгебры Пуассона. Векторное пространство А над полем К с двумя К-билинейными операциями умножения • и {,} называется алгеброй Пуассона,, если относительно операции • пространство А является коммутативной ассоциативной алгеброй с единицей, относительно операции {,} — алгеброй Ли, и данные операции связаны правилом Лейбница:

{а • Ь, с} = а ■ {Ь, с} + {а, с} -6, а,6,с6 А.

С использованием свободных алгебр Пуассона и Пуассоновых скобок У.У. Умирбаевым и И.П. Шестаковым [86] была решена известная проблема Нагаты [80] о существовании диких автоморфизмов свободной ассоциативной алгебры с тремя порождающими над полем нулевой характеристики.

Д. Фаркашом [60, 61] было начато исследование полиномиальных алгебр Пуассона, А. Джамбруно, С.П. Мищенко, В.М. Петроградским, А. Регевым [77, 63] также исследовался рост полиномиальных алгебр Пуассона.

Структура и содержание работы. В структурном плане диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

Глава 1 посвящена исследованию многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом. Большая часть полученных здесь результатов является новой и для случая алгебр Ли.

В § 1.1 приводятся конструкции алгебр Лейбница на базе ассоциативных и лиевых алгебр. Также приводится базис полилинейной части Рп, п ^ 1, свободной алгебры Лейбница счетного ранга.

В § 1.2 приводятся необходимые сведения и определения из теории представлений симметрических групп. Также приводится формула размерности неприводимого ^-модуля, записанная через компоненты Ах, ..., Хк разбиения А числа п, и асимптотическое поведение размерностей неприводимых 5п-модулей, соответствующих диаграммам Юнга с некоторыми ограничениями.

В § 1.3 приводится понятие ш-алгоритма выделения возрастающего набора цепочек, определенного В.М. Петроградским в [36], и некоторые его свойства. Данный алгоритм понадобится в следующем параграфе для комбинаторных оценок.

Определим многообразие алгебр Лейбница ]М5А тождеством

{ХХХ2) • • • (х28+1х2з+2) = 0.

Пусть ]М5А — подмногообразие в N3 А, определенное тождеством х2 = 0. В работах [36, 81] В.М. Петроградский, используя разработанный им так называемый метод ожерелий, доказал, что в случае произвольного поля

экспоненты всех подмногообразий в уаг(иТ3), а также подмногообразий в N3 А существуют и являются целыми числами. Этот результат интересен тем, что в нем нет ограничений на основное поле, а также тем, что в случае алгебр Ли имеются примеры алгебр с дробной экспонентой [79, 7, 34].

В § 1.4 с помощью доработанной и усовершенствованной техники метода ожерелий приводятся более точные оценки роста и обобщение их со случая алгебр Ли на случай алгебр Лейбница.

В § 1.5 исследуются кохарактеры многообразия Г^А. Показано, что последовательность кодлин многообразия ^А ограничена полиномом. Также показано такое важное свойство многообразий V С N5А: для любого подмногообразия V в найдутся такие целые р, р ^ в, и С, С ^ Зз — 1, что для любого £ = 1,2,... и любого п найдется такая диаграмма Юнга степени п, которая содержит прямоугольник с боковой стороной при этом число клеток вне прямоугольника не более чем С и эта диаграмма соответствует ненулевому неприводимому ¿'„-модулю многообразия V.

В § 1.6 исследуется вопрос поиска значений экспонент для произвольного подмногообразия в N5А.

В § 1.7 исследуются многообразия алгебр Лейбница, идеалы тождеств которых содержат тождество вида

^0(^1^2) (^3^4) • • • (Х28-1Х2з) = 0.

В § 1.8 рассматривается вопрос конечной базируемости идеала тождеств любого подмногообразия в ]Ч8А.

В § 1.9 приводятся два класса алгебр Ли с нильпотентным коммутантом с экстремальными свойствами.

Глава 2 посвящена исследованию многообразий ассоциативных алгебр, порожденных алгебрами верхнетреугольных матриц.

В § 2.1 приводятся оценки роста подмногообразий в 5^2, где многообразие из определяется тождеством

[Х1Х2] . . . [Х2в-1,Х2з] = 0.

В § 2.2 доказывается несколько вспомогательных лемм, которые понадобятся в параграфе 2.4.

В § 2.3 исследуются многообразия ассоциативных алгебр слабого роста. В случае алгебр Ли известен такой результат С.П. Мищенко [26]: если характеристика основного поля не равна двум и для некоторого многообразия алгебр Ли V существует такое п, что выполнено неравенство сп(У) < где квадратные скобки означают целую часть числа, то

коммутант многообразия V будет нильпотентным. В данном параграфе, в частности, показано, что подобный результат имеет место и в случае ассоциативных алгебр.

Одним из важных следствий данного результата является отсутствие многообразий ассоциативных алгебр, рост которых был бы промежуточным между полиномиальным и экспоненциальным, если характеристика основного поля не равна двум.

В § 2.4 приводятся эквивалентные условия для нахождения экспонент подмногообразий в

Глава 3 посвящена исследованию числовых характеристик Р1-алгебр Пуассона.

В § 3.1 приводится несколько примеров и конструкций алгебр Пуассона.

В § 3.2 приводится базис пространства Рп, п ^ 1. Для произвольного многообразия алгебр Пуассона V над произвольным полем строится базис пространства Рп(У) на основе имеющихся базисов собственных пространств к = 2,... п. Показано, что в случае поля нулевой характеристики последовательность пространств {Гп П /б?(\г)}п^1 полностью определяет идеал тождеств Ы{у).

В § 3.3 приведены эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Пуассона над произвольным полем и показана шпех-товость многообразий алгебр Пуассона полиномиального роста в случае основного поля нулевой характеристики. В данном параграфе также показано, что последовательность коразмерностей любого многообразия алгебр Пуассона V над произвольным полем либо ограничена полиномом, либо не ниже показательной функции 2П-1. При этом если данная после-

довательность ограничена полиномом, то найдется такой многочлен R(x) с рациональными коэффициентами, что Cn(V) = R(n) для всех достаточно больших п. Приводится нижняя и верхняя границы для многочленов R(x) произвольной фиксированной степени.

В § 3.4 приводятся конструкции алгебр Пуассона на базе ассоциативных алгебр и исследуется взаимосвязь между полученными алгебрами Пуассона и исходными ассоциативными алгебрами. На основе полученных конструкций приводятся два класса минимальных многообразий алгебр Пуассона полиномиального роста, т.е. последовательность коразмерностей любого такого многообразия растет как полином некоторой степени к, но последовательность коразмерностей любого собственного подмногообразия растет как полином строго меньшей степени чем к.

В § 3.5 рассматриваются лиево нильпотентные многообразия алгебр Пуассона.

В § 3.6 получены асимптотические оценки роста последовательностей коразмерностей customary- и extended customary-пространств произвольного многообразия алгебр Пуассона и эквивалентные условия полиноми-альности роста данных пространств.

В § 3.7 рассматриваются многообразия алгебр Пуассона, идеалы тождеств которых содержит тождества вида

{{zi, У\}, • • , {Хт, Ут}} = 0, {xi,yi}- {хт, ут} = 0.

§ 3.8 посвящен получению эквивалентных условий для многообразий алгебр Пуассона полиномиального роста в случае основного поля нулевой характеристики. Будет показано, что существует только два многообразия алгебр Пуассона почти полиномиального роста. Также в данном параграфе будет показано, что два класса минимальных многообразий алгебр Пуассона из параграфа 3.4 полностью исчерпывают все подмногообразия двух многообразий алгебр Пуассона почти полиномиального роста.

В § 3.9 исследуются алгебры Пуассона с полилинейным тождеством {xi,x2} • {^3,^4} = 0. В результате этого построено многообразие алгебр Пуассона с дробной экспонентой, многообразие алгебр Пуассона с почти

экспоненциальным ростом и серия многообразий алгебр Пуассона, для которых функция сложности не является целой функцией комплексного аргумента.

В § 3.10 приведены некоторые алгебры Пуассона с экстремальными свойствами последовательности коразмерностей.

Глава 4 посвящена исследованию алгебр Пуассона с неантикомму-тативной операцией {,}, которые будем называть алгебрами Лейбница-Пуассона. Более точно, векторное пространство А над полем К с двумя ^-билинейными операциями умножения • и {,} называется алгеброй Лейбница-Пуассона, если относительно операции • пространство А является коммутативной ассоциативной алгеброй с единицей, относительно операции {,} — алгеброй Лейбница, и данные операции связаны правилами

{а • 6, с} = а ■ {Ь, с} + {а, с} • Ь,

{с, а ■ Ь} = а • {с, 6} + {с, а} • Ь,

где а,Ь,с € А. Некоторые результаты предыдущей главы со случая алгебр Пуассона переносятся на случай алгебр Лейбница-Пуассона. Рассмотрим здесь только те результаты, которые верны только для алгебр Лейбница-Пуассона.

В § 4.1 приводится базис полилинейной части свободной алгебры Лейбница-Пуассона. Также приводится полезная конструкция алгебр Лейбница-Пуассона на базе алгебр Лейбница.

В § 4.2 приводится многообразие алгебр Лейбница-Пуассона почти полиномиального роста.

В § 4.3 приводятся эквивалентные условия полиномиального роста многообразий алгебр Лейбница-Пуассона над полем нулевой характеристики.

В § 4.4 приводятся некоторые многообразия алгебр Лейбница-Пуассона с экстремальными свойствами относительно последовательности коразмерностей.

В § 4.5 строятся носители многообразий алгебр Лейбница-Пуассона,

которые определятся тождествами вида

{хъ х2} - {х3, х4} = 0, {хъ ..., хп} = 0.

В § 4.6 приводятся два класса алгебр Лейбница-Пуассона с экстремальными свойствами.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем.

В области алгебр Пуассона

• Получены эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Пуассона и показано, что существует только два многообразия алгебр Пуассона почти полиномиального роста.

• Построено два класса минимальных многообразий алгебр Пуассона полиномиального роста и показано, что эти два класса многообразий исчерпывают все подмногообразия двух многообразий алгебр Пуассона почти полиномиального роста.

• Доказано, что рост любого многообразия алгебр Пуассона над произвольным полем либо ограничен полиномом, либо не ниже показательной функции 2П-1, причем коразмерности многообразия алгебр Пуассона полиномиального роста асимптотически вычисляются как значения конкретного полинома.

• Исследована взаимосвязь многообразий алгебр Пуассона с тождеством {х1,х2} • {хз,Х4} = 0 и многообразий алгебр Ли «на языке» тождеств. В результате чего построено многообразие алгебр Пуассона с дробной экспонентой, многообразие алгебр Пуассона с почти экспоненциальным ростом и серия многообразий алгебр Пуассона, для которых функция сложности не является целой функцией комплексного аргумента.

• Показана целочисленность экспонент многообразий алгебр Пуассона над произвольным полем, идеалы тождеств которых содержат тождества вида

{{яъ 2/1 }> • • • , {^т, Ут}} = 0, {хи У1} • . . . • {хт, ут} = 0.

Также получены эквивалентные условия для значений данных экспонент.

• Получены асимптотические оценки роста последовательностей коразмерностей customary- и extended customary-пространств произвольного многообразия алгебр Пуассона и эквивалентные условия полиномиальности роста данных пространств.

В области алгебр Лейбница-Пуассона

• Построено многообразие алгебр Лейбница-Пуассона почти полиномиального роста и получены эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Лейбница-Пуассона.

• Построено два класса многообразий алгебр Лейбница-Пуассона с экстремальными свойствами.

В области ассоциативных алгебр

• Получены оценки роста многообразий ассоциативных алгебр над произвольным полем, идеалы тождеств которых содержат тождества вида

[xi, х2]... [x2s-i, x2s] =0. (2)

Также получены эквивалентные условия для значений экспонент многообразий ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики, идеалы тождеств которых содержат тождества вида (2). В результате этого доказано отсутствие многообразий ассоциативных алгебр промежуточного роста между полиномиальным и экспоненциальным в случае, если характеристика основного поля не равна двум.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Рацеев, Сергей Михайлович, 2014 год

Литература

[1] Абанина JI.E., Мищенко С.П. Некоторые многообразия алгебр Лейбница // Математические методы и приложения. Труды десятых математических чтений МГСУ. М.: МГСУ, 2002. С. 95-99.

[2] Абдыхалыков А.Т. Проблема вхождения для свободных разрешимых алгебр Лейбница // Вестник КазГУ. Сер. матем. мех информ. 2000. Т. 23, № 4. С. 19-25.

[3] Аюпов Ш.А., Омиров Б.А. О некоторых классах нильпотентных алгебр Лейбница // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42, № 1. С. 18-29.

[4] Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985. 448 с.

[5] Белов А.Я. О нешпехтовых многообразиях // Фунд. и прикл. математика. 1999. Т. 5, № 1. С. 47-66.

[6] Блох A.M. Об одном обобщении понятия алгебры Ли // Доклады Академии наук СССР. 1965. Т. 18, № 3. С. 471-473.

[7] Веревкин A.B., Зайцев М.В., Мищенко С.П. Достаточное условие совпадения нижней и верхней экспонент многообразия линейных алгебр // Вестн. Московск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2011. № 2. С. 36-39.

[8] Воличенко И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами // Весщ АН БССР: Сер. ф1з. матем. наук. 1980. № 1. С. 23-30.

[9] Воличенко И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами // Весщ АН БССР: Сер. ф!з. матем. наук. 1980. № 2. С. 22-27.

10] Воличенко И.Б. Многообразие алгебр Ли с тождеством [[х1,Х2,Хз\Лх4,х5,Хб\] = 0 над полем характеристики нуль // Сиб. матем. журн. 1984. Т. 25, № 3. С. 40-54.

И

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Воличенко И.Б. О многообразиях алгебр Ли AN2 над полем характеристики нуль // ДАН БССР. 1981. Т. 25, № 12. С. 1063-1066.

Гришин A.B. Примеры не конечной базируемости Т-пространств и Т-идеалов в характеристике 2 // Фунд. и прикл. математика. 1999. Т. 5, № 1. С. 101-118.

Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. М.: Мир. 1998. 703 с.

Гульден Я., Джексон Д. Перечислительная комбинаторика. М.: Наука. 1990.

Дренски B.C. О тождествах в алгебрах Ли // Алгебра и логика. 1974. Т. 13, № 3. С. 265-290.

Дренски B.C. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр // Матем. сборник. 1981. Т. 115, № 1. С. 98-115.

Зайцев М.В. Целочисленность экспонент роста тождеств конечномерных алгебр Ли // Изв. РАН. Сер. матем. 2002. Т. 66, № 3. С. 23-48.

Зельманов Е.И. Об энгелевых алгебрах Ли // Сиб. матем. журн. 1988. Т. 29, № 5. С. 112-117.

Кемер А.Р. Шпехтовость Т-идеалов со степенным ростом коразмерностей // Сиб. матем. журн. 1978. Т. 19, № 1. С. 54-69.

Кемер А.Р. Решение проблемы конечной базируемости тождеств ассоциативных алгебр // ДАН СССР. 1988. Т. 298, № 2. С. 273-277.

Красильников А.Н. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр Ли // Вестн. Московск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1982. № 2. С. 34-38.

[22] Латышев В.Н. Нематричные многообразия ассоциативных алгебр. Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Москва, 1977.

[23] Мальцев Ю.Н. Базис тождеств алгебры верхнетреугольных матриц // Алгебра и логика. 1971. Т. 10. С. 393-400.

[24] Мищенко С.П. Нижние оценки размерностей неприводимых представлений симметрических групп и показателей экспоненты многообразий // Мат. сборник. 1996. Т. 187, № 1. С. 81-92.

[25] Мищенко С.П. О многообразиях полиномиального роста алгебр Ли над полем характеристики нуль // Матем. заметки. 1986. Т. 40, № 6. С. 713-721.

[26] Мищенко С.П. Многообразия алгебр Ли со слабым ростом последовательности коразмерностей // Вестн. Московск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1982. № 5. С. 63-66.

[27] Мищенко С.П. Рост многообразий алгебр Ли // Успехи мат. наук. 1990. Т. 45, № 6. С. 25-45.

[28] Мищенко С.П. Цветные диаграммы Юнга // Вестн. Московск. унта. Сер. 1. Математика. Механика. 1993, № 1. С. 90-91.

[29] Мищенко С.П. Многообразия алгебр Ли с двуступенно нильпотент-ным коммутантом // Весщ АН БССР: Сер. ф1з. матем. наук. 1987. № 6. С. 39-43.

[30] Мищенко С.П. О многообразиях полиномиального роста алгебр Ли над полем характеристики нуль // Матем. заметки. 1986. Т. 40, № 6. С. 713-721.

[31] Мищенко С.П. О многообразиях разрешимых алгебр Ли // ДАН СССР. 1990. Т. 313, № 6. С. 1345-1348.

[32] Мищенко С.П., Череватенко О.И. Многообразия алгебр Лейбница слабого роста // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. 2006. Т. 32, № 9. С. 19-23.

[33] Мищенко С.П., Череватенко О.И. Необходимые и достаточные условия полиномиальности роста многообразия алгебр Лейбница // Фунд. и прикл. математика. 2006. Т. 12, № 8. С. 207-215.

[34] Мищенко С.С. Новый пример многообразия алгебр Ли с дробной экспонентой // Вестн. Московск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2011. Т. 66, № 6. С. 44-47.

[35] Петроградский В.М. О типах сверхэкспоненциального роста тождеств в PI-алгебрах Ли // Фунд. и прикл. математика. 1995. Т. 1, № 4. С. 989-1007.

[36] Петроградский В.М. О численных характеристиках подмногообразий трех многообразий алгебр Ли // Матем. сборник. 1999. Т. 190, № 6. С. 111-126.

[37] Петроградский В.М. О функциях сложности для Т-идеалов ассоциативных алгебр // Матем. заметки. 2000. Т. 68, № 6. С. 887-897.

[38] Петроградский В.М. Рост полинильпотентных многообразий алгебр Ли и быстро растущие целые функции // Матем. сборник. 1997. Т. 188, № 6. С. 119-138.

[39] Размыслов Ю.П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль // Алгебра и логика. 1973. Т. 12, № 1. С. 83-113.

[40] Размыслов Ю.П. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр // Алгебра и логика. 1974. Т. 13, № 6. С. 685-693.

[41] Размыслов Ю.П. Тождества алгебр и их представлений. М.: Наука. 1989. 432 с.

[42] Скорая Т.В., Фролова Ю.Ю. О многообразии 3N алгебр Лейбница и его подмногообразиях // Чебышевский сборник. 2014. Т. 15, № 1. С. 155-185.

[43] Стовба В.В. О конечной базируемости некоторых многообразий алгебр Ли и ассоциативных алгебр // Вестн. Московск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1982. № 2. С. 54-58.

[44] Фролова Ю.Ю. О нильпотентности энгелевой алгебры Лейбница // Вестн. Московск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2011. № 3. С. 63-65.

[45] Череватенко О.И. О лиево нильпотентных алгебрах Пуассона // Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика, Физика. 2012. Т. 142, № 23. С. 14 -16.

[46] Шестаков И.П. Квантования супералгебр Пуассона и специальность йордановых супералгебр Пуассона // Алгебра и логика. 1993. Т. 32, № 5. С. 572-585.

[47] Щиголев В.В. Примеры бесконечно базируемых Т-идеалов // Фунд. и прикл. математика. 1999. Т. 5, № 1. С. 307-313.

[48] Эндрюс Г. Теория разбиений. М.: Наука. 1982. 255 с.

[49] Abanina L.E., Mishchenko S.P. The variety of Leibniz algebras defined by the identity x{y(zt)) = 0 // Serdica Math. J. 2003. Vol. 29, № 3. P. 291-300.

[50] Amitsur S.A., Regev A. P.I. algebras and their cocharacters // J. Algebra. 1982. Vol. 78. P. 248-254.

[51] Bahturin Yu., Mishchenko S., Regev A. On the Lie and Associative Codimensions Growth // Communications in Algebra. 1999. Vol. 27, № 10. P. 4901-4908.

[52] Berele A. Properties of hook Schur functions with applications to P.I. algebras // Adv. in Appl. Math. 2008. Vol. 41, № 1. P. 52-75.

[53] Berele A., Regev A. Asymptotic behaviour of codimensions of P.I. algebras satisfying Capelli identities. Trans. Amer. Math. Soc. 2008. Vol, 360, № 10. P. 5155-5172.

[54] Berele A., Regev A. Applications of hook diagrams to P.I. algebras // J. Algebra. 1983. Vol. 82. P. 559-567.

[55] Berele A., Regev A. Hook Young diagrams with applications to combinatorics and to representations of Lie superalgebras // Adv. in Math. 1987. Vol. 64, № 2. P. 118-175.

[56] Drensky V., Cattaneo G.M.P. Varieties of Metabelian Leibniz Algebras // J. Algebra and its applications. 2002. № 1. P. 31-50.

[57] Drensky V. Relations for the cocharacter sequences of T-ideals // Proc. of the International Conference on Algebra Honoring A. Malcev, Contemp. Math. 1992. Vol. 131, part 2. P. 285-300.

[58] Drensky V. Free algebras and Pi-algebras. Graduate course in algebra. Singapore: Springer-Verlag. 2000. 272 p.

[59] Drensky V., Regev A. Exact asymptotic behaviour of the codimention of some P.I. algebras // Israel J. Math. 1996. Vol. 96. P. 231-242.

[60] Farkas D.R. Poisson polynomial identities // Comm. Algebra. 1998. Vol. 26, № 2. P. 401-416.

[61] Farkas D.R. Poisson polynomial identities II // Arch. Math. (Basel). 1999. Vol. 72, № 4. P. 252-260.

[62] Giambruno A., Mattina D.La., Petrogradsky V.M. Matrix algebras of polynomial codimention growth // Israel J. Math. 2007. Vol. 158. P. 367-378.

[63] Giambruno A., Petrogradsky V.M. Poisson identities of enveloping algebras // Arch. Math. 2006. Vol. 87. P. 505-515.

[64] Giambruno A., Zaicev M.V. Codimension growth and minimal superalgebras // Trans. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 355. P. 5091-5117.

[65] Giambruno A., Zaicev M.V. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. AMS Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 122. Providence R.I., 2005.

[66] Giambruno A., Zaicev M.V. On codimention growth of finitely-generated associative algebras // Adv. Math. 1998. Vol. 140. P. 145-155.

[67] Giambruno A., Zaicev M.V. Exponential codimension growth of P.I. algebras: an exact estimate // Adv. Math. 1999. Vol. 142. P. 221243.

[68] Gordienko A.S. Regev's conjecture and codimensions of P.I. algebras // Acta Appl. Math. 2009. Vol. 108, № 1. P. 33-55.

[69] Iltiakov A. V. On finite basis of identities of Lie algebra representations // Nova Journ. Algebra Geometry. 1992. Vol. 1, № 3.

[70] Kemer A.R. Ideal of Identities of Associative Algebras. Amer. Math. Soc. Translations of Math. Monographs. Vol. 87. 1991.

[71] Kerber A. Representations of permutation groups I // Lect. Notes in Math. 1971. V.240.

[72] Loday J.-L. Une version non commutative des algQebres de Lie: les algQebres de Leibniz // Enseign. Math. 1993. Vol. 39. P. 2691,1-293.

[73] Loday J., Quillen D. Cyclic homology and the Lie algebra homology of matrices // Comment. Math. Helw. 1984. Vol. 59. P. 565-591.

[74] Loday J.-L., Pirashvili T. Universal enviloping algebras of Leibniz algebras and (co)homology // Math. Ann. 1993. Vol. 296. P. 139-158.

[75] Mattina D. La. Varieties of almost polynomial growth: classifying their subvarieties // Manuscripta Math. 2007. Vol. 123, № 2. P 185-1^203.

[76] Mikhalev A.A., Umirbaev U.U. Subalgebras of free Leibniz algebras // Commun. algebra. 1998. Vol. 26, № 2. P. 435-446.

[77] Mishchenko S.P., Petrogradsky V.M., Regev A. Poisson PI algebras // Transactions of the American Mathematical Society. 2007. Vol. 359, № 10. P. 4669-4694.

[78] Mishchenko S., Valenti A. A Leibniz variety with almost polynomial growth // J. Pure Appl. Algebra. 2005. Vol. 202, № 1-3. P. 82-101.

[79] Mishchenko S. P., Zaicev M. V. An example of a variety of Lie algebras with a fractional exponent // Journal of Mathematical Sciences (New York). 1999. Vol. 93, № 6. P. 977-982.

[80] Nagata M. On the automorphism group on k[x,y] // Lect. in Math. Tokyo: Kyoto Univ. 1972.

[81] Petrogradsky V.M. Exponents of subvarieties of upper triangular matrices over arbitrary fields are integral // Serdica Mathematical Journal. 2000. Vol. 26, № 2. P. 167-176.

[82] Regev A. Existence of identities in A®B // Israel J. Math. 1972. Vol. 11. P. 131-152.

[83] Regev A. Codimensions and trace codimensions of matrices are asymptotically equal // Israel J. Math. 1984. Vol. 47. P. 246Ц-250.

[84] Robbins H. A remark on Stirling's formula // Amer. Math. Monthly. 1955. Vol. 62. P. 26-29.

[85] Rowen L.H., Kenel-Belov A. Computation Aspects of Polynomial Identities. Wellesley, Massachusetts. 2005.

[86] Shestakov I.P., Umirbaev U.U. The tame and the wild automorphisms of polynomial rings in three variables //J. Amer. Math. Soc. 2004. Vol. 17., № 1. P. 197-227.

[87] Specht W. Gesetze in Gingen. I // Math. Z. B. 1950. Vol. 52, № 5. P. 557-589.

[88] Vaughan-Lee M. R. Varieties of Lie algebras // Quart. J. Math. Oxford Ser. 1970. Vol. 21, Ж 83. P. 297-308.

Работы автора по теме диссертации

[89] Рацеев С.М. Рост в алгебрах Пуассона // Алгебра и логика. 2011. Т. 50, № 1. С. 68-88.

[90] Рацеев С.M. Рост многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом // Матем. заметки. 2007. Т. 82, № 1. С. 108-117.

[91] Рацеев С.М. Взаимосвязь алгебр Пуассона и алгебр Ли на языке тождеств // Матем. заметки. 2014. Т. 96, № 4. С. 567-577.

[92] Рацеев С.М. Тождества в многообразиях, порожденных алгебрами верхнетреугольных матриц // Сиб. матем. журн. 2011. Т. 52, № 2. С. 416-429.

[93] Рацеев С.М. Алгебры Пуассона полиномиального роста // Сиб. матем. журн. 2013. Т. 54, № 3. С. 700-711.

[94] Рацеев С.М. Эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Пуассона // Вестн. Московск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2012. Т. 67, № 5. С. 8-13.

[95] Рацеев С.М. Необходимые и достаточные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Лейбница-Пуассона // Изв. вузов. Матем. 2014. № 3. С. 33-39.

[96] Рацеев С.М. О минимальных алгебрах Пуассона // Изв. вузов. Матем. (в печати)

[97] Ratseev S.M. On varieties of Leibniz-Poisson algebras with the identity {;x, y} ■ {z, t} = 0 // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. 2013. Т. 6, № 1. С. 97-104.

[98] Рацеев С.М. Рост и кодлина пространств специального вида многообразий алгебр Пуассона // Изв. вузов. Поволжский регион. 2006. Т. 26, № 5. С. 125-135.

[99] Рацеев С.М. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр Лейбница // Изв. вузов. Поволжский регион. 2007. Т. 33, № 6. С. 12-16.

[100] Абанина Л.Е., Рацеев С.М. Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тождествами // Вестн. СамГУ. Естественно-научн. сер. 2005. Т. 40, № 6. С. 36-50.

[101] Рацеев С.М. Рост некоторых многообразий алгебр Лейбница // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. 2006. Т. 46, № 6/1. С. 70-77.

[102] Рацеев С.М. О росте некоторых ассоциативных алгебр и алгебр Лейбница // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. 2008. Т. 65, № 6. С. 177-184.

[103] Рацеев С.М. Оценки роста многообразий алгебр Лейбница с ниль-потентным коммутантом // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. 2010. Т. 78, № 4. С. 65-72.

[104] Рацеев С.М. Коммутативные алгебры Лейбница-Пуассона полиномиального роста // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. 2012. Т. 94, № 3/1. С. 54-65.

[105] Рацеев С.М., Череватенко О.И. Экспоненты некоторых многообразий алгебр Лейбница-Пуассона // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. 2013. Т. 104, № 3. С. 42-52.

[106] Рацеев С.М. Об экспонентах некоторых многообразий линейных алгебр // ПДМ. 2013. Т. 21, № 3. С. 32-34.

[107] Рацеев С.М. О тождествах специального вида в алгебрах Пуассона // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, № 2. С. 150-155.

[108] Рацеев С.М., Череватенко О.И. О некоторых многообразиях алгебр Лейбница-Пуассона с экстремальными свойствами // Вестн. Томск, гос. ун-та. Матем. и мех. 2013. Т. 22, № 2. С. 57-59.

[109] Рацеев С.М., Череватенко О.И. О нильпотентных алгебрах Лейбница-Пуассона // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2012. Т. 29, № 4. С. 207-211.

[110] Рацеев С.М., Череватенко О.И. О метабелевых многообразиях алгебр Лейбница-Пуассона // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2013. Т. 6., № 1. С. 72-77.

[111] Рацеев C.M. О некоторых алгебрах Пуассона с экстремальными свойствами // Научн. ведомости БелГУ. Математика. Физика. 2013. № 5. С. 107-110.

[112] Рацеев С.М. Оценки роста некоторых многообразий алгебр Пуассона // Научн. ведомости БелГУ. Математика. Физика. 2013. № 11. С. 93-101.

[113] Ratseev S.M. Growth of some varieties of Leibniz-Poisson algebras // Serdica Math. J. 2011. Vol. 37, № 4. P. 331-340.

[114] Рацеев C.M. Некоторые многообразия алгебр Лейбница с целыми экспонентами // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 31. Лобачевские чтения-2005. Материалы Четвертой молодежной научной школы-конференции, Казань, 14-16 декабря 2005 г. Казань: Казанское математическое общество, 2005. С. 133— 135.

[115] Ratseev S.M. Exponents of varieties of Leibniz algebras with a nilpotent commutator subalgebra // 5th International Algebraic Conference in Ukraine. Odessa, 20-27 July, 2005. P. 167-168.

[116] Ratseev S.M. On the growth of Poisson PI algebras // 7th International Algebraic Conference in Ukraine. Kharkov, 18-23 August, 2009. P. 114115

[117] Рацеев C.M. О многообразиях алгебр Пуассона полиномиального роста // Международная конференция «Алгебра и математическая логика», посвященная 100-летию со дня рождения В.В. Морозова. Казань, 25-30 сентября, 2011. С. 156-157.

[118] Ratseev S.M. About Leibniz-Poisson algebras of polynomial growth // Abstracts of the International Conference on Algebra dedicated to 100th anniversary of the S.M. Chernikov. Kiev, 20-26 August, 2012. P. 126.

[119] Рацеев C.M. О многообразии алгебр Пуассона с тождеством {х\, х2}-{хз, Х4} = 0 // Третья международная школа-конференция

«Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов», по-свящцнная 75-летию Э.Б. Винберга. Тольятти, 25-30 июня, 2012. С. 43-45.

[120] Рацеев С.М. О многообразии алгебр Лейбница-Пуассона с тождеством {^1,^2} • {жз,Ж4} = 0 // Международная заочная конференция «Проблемы современного математического образования в высшей школе». 14-15 декабря 2012 г. Тезисы докладов. Ульяновск: УлГПУ, 2012. С. 31-32.

[121] Рацеев С.М. Об экспонентах некоторых ассоциативных алгебр // Международная конференция «Алгебра и Логика : Теория и Приложения», посвященная памяти В.П. Шункова. 21-27 июля 2013 г. Тезисы докладов. Красноярск: СФУ, 2013. С. 104-105.

[122] Рацеев С.М. Об экспонентах некоторых алгебр Пуассона // 45-я международная молодежная школа-конференция «Современные проблемы математики и ее приложения», посвященная 75-летию В.И. Бердышева. 02-08 февраля 2014 г. Екатеринбург. 2014. С. 4445.

[123] Рацеев С.М. О пространствах специального вида многообразий алгебр Пуассона // Международная научная конференция «Алгебра и математическая логика: теория и приложения». 02-06 июня 2014 г. Казань. 2014. С. 124-125.