Многообразия алгебр конечной кодлины в случае поля нулевой характеристики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Васильева, Ирина Романовна

• Васильева, Ирина Романовна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Васильева, Ирина Романовна

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1 Основные определения и обозначения

1.2. Элементы теории представлений симметрической группы и структура полилинейной части многообразия ассоциативных алгебр

1.3. Элементы теории представлений гипероктаэдральной группы и структура полилинейной частрх многообразия ассоциативных алгебр с инволюцией

Глава 2. Критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр

2.1. Обзор результатов о росте и ко длине многообразий ассоциативных алгебр .

2.2. Критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр

Глава 3. Критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией

3.1. Обзор результатов о росте и ко длине многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией

•3.2. Критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией

Глава 4. Критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных ¿^-градуированных алгебр

4.1. Обзор результатов о росте и ко длине многообразий ^-градуированных ассоциативных алгебр

4.2. Критерий конечности кодлины многообразий ¿^-градуированных ассоциативных алгебр

Глава 5. Критерий конечности кодлины многообразий алгебр Ли.

5.1 Рост многообразий алгебр Ли

5.2 Кодлина многообразий алгебр Ли

5.3 Необходимое условие конечности кодлины многообразий алгебр Ли.

5.4 Достаточное условие конечности кодлины многообразий алгебр Ли.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многообразия алгебр конечной кодлины в случае поля нулевой характеристики»

Теория многообразий алгебр, или примитивных классов в терминологии Куроша А.Г., стремительно развивалась последние 50 лет.

В данной работе будет исследовано свойство конечности кодлины многообразий линейных алгебр над полем нулевой характеристики. Мы будем работать с многообразиями ассоциативных алгебр, многообразиями ассоциативных алгебр с инволюцией *, многообразиями ¿^-градуированных ассоциативных алгебр и многообразиями алгебр Ли.

Пусть V - некоторое многообразие алгебр, К{Х, V) - относительно-свободная алгебра данного многообразия, где X = {х]. Х2, ■ • •} - счетное множество свободных образующих. Известно ([23]), что в случае поля нулевой характеристики вся информация о многообразии содержится в его полилинейной компоненте, поэтому мы будем работать лишь с полилинейными частями, а не с относительно-свободными алгебрами многообразия. Напомним, что полилинейная часть степени п многообразия является линейным подпространством в пространстве K(X,V) и состоит из полилинейных элементов степени п от переменных .Г]. хп. В зависимости от сигнатуры алгебры К(Х. V) обозначение полилинейной части степени п будет различным. Если сигнатура состоит только из одной билинейной бинарной операции, то полилинейная часть обозначается через Рп(\ ): если же в сигнатуре дополнительно задана линейная унарная операция, то обозначение будет либо Рп{У- *), либо P%r(V). Так. для многообразий ассоциативных алгебр и многообразий алгебр Ли их полилинейные части есть векторные пространства вида:

Pn(V) =< Х{1 . . . .r7;n [{¿1, . . ., in} = {1,.,п}>, для многообразий ¿^-градуированных ассоциативных алгебр

PniV) =< я?1 • • •, • • •, in} = {1, • • •, «}, 9h, ■ ■ •, 9in е {1, Ф} >, где ф - автоморфизм порядка 2 относительно-свободной алгебры данного многообразия. Для многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией их полилинейная часть степени п выглядит следующим образом: где * : а —>• а*, а £ А - унарная операция инволюции, заданная на некоторой алгебре многообразия V.

Размерность п-той полилинейной части многообразия определяет n-тую коразмерность многообразия cn(V) = dim Pn(V) (соответственно cn(V, *) = dim Pn(V, *), cgnr(V) = dim P%r(V)). В зависимости от функции, которой мажорируется или которую мажорирует числовая последовательность коразмерностей, будем различать полиномиальный или степенной, экспоненциальный или показательный рост и сверхэкспоненциальный рост многообразия.

Помимо роста коразмерностей, ключевым понятием в данной работе будет понятие ко длины многообразия, которую мы сейчас определим.

Известно, что полилинейную часть степени п можно рассматривать как модуль над групповой алгеброй некоторой конечной группы: в зависимости от сигнатуры это будет либо 5^-модуль. если сигнатура состоит из одной операции, либо -//„-модуль, если сигнатура состоит из двух операций. Здесь Sn - симметрическая группа порядка п. Нп - гипероктаэдральная группа. Тогда, по теореме Машке, полилинейную часть степени п можно разложить в прямую сумму неприводимых подмодулей.

Определение!. Число слагаемых в разложении полилинейной части степени п многообразия на неприводимые подмодули называется ко длиной многообразия.

Поясним данное понятие, использую язык кратностей и характеров.

Каждому подмодулю из разложения полилинейной части степени п на неприводимые модули соответствует либо разбиение A h п, если мы имеем дело с Sn-MOдулями, либо пара разбиений (A, /¿), A h mi, \i Ь m2, гп\ + m<2 — п. если имеем дело с ^„-модулями. Напомним, что под разбиением Ahn понимается набор чисел (Ai,., А*), такой что ^t, Ai + . -f At — п. Неразложимый характер, соответствующий разбиению А (паре разбиений (A,/i)), обозначим через ха соответственно Х\ц)

Тогда, для многообразия V линейных алгебр с сигнатурой из одной билинейной бинарной операции ^„-характер равен

Xn(V) = x(Pn(V)) = Етххл,

Ahn, где тп\ - степени неприводимых представлений, соответствующих разбиению Л числа п.

Кодлину многообразия тогда можно определить как

L = L(V) = Е

Ahn,

Для многообразия V линейных алгебр с сигнатурой из одной билинейной бинарной операции и одной линейной унарной операции Нп-характер равен п

Хп(У• *) = Е Е m\.nXx,ß

Г-0 Ahr ßhn — г в случае многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией *. либо y„(F) = £ £ mX flXX fi

Г—0 Ahr ¿¿Нп — г в случае многообразий Z^-rpajynpoBaHHbix ассоциативных алгебр, и кодлину многообразия V тогда можно определить как п

LiV. *) = Е Е m\.ß

Г=0 Ahr ßhn—r i3n(v) -ЕЕ rnKli, r=0 Ahr ßbn — r где m\ ß - степени неприводимых представлений, соответствующих паре разбиений (А,/х).

Дадим еще два определения, связанные с основным объектом нашего исследования - кодлиной.

Определение2. Многообразие V имеет конечную кодлину, если существует константа С, не зависящая от п, такая, что для любых п выполняется неравенство 1п{\г) < С (соответственно 1п(У,*)<С или /Г(У)<С).

ОпределениеЗ. Многообразие V имеет почти конечную кодлину, если любое его собственное подмногообразие имеет конечную кодлину, в то время как кодлина самого многообразия V конечной не является.

В 1978 А.Р. Кемером году был получен критерий конечности код-лины в случае многообразий ассоциативных алгебр ([17]). Он утверждает: многообразие V имеет конечную кодлину тогда и только тогда, когда рост его коразмерностей полиномиально ограничен.

Основной целью данной работы является нахождение эквивалентных условий конечности кодлины в трех случаях: многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией, многообразий супералгебр или многообразий £2-градуированных ассоциативных алгебр и многообразий алгебр Ли. Каждому из трех случаев посвящена отдельная глава. Таким образом, центральными результатами диссертационного исследования являются доказательства следующих трех критериев.

1. Критерий конечностн кодлины многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией:

Пусть V - многообразие ассоциативных алгебр с инволюцией над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) многообразие V имеет конечную кодлину: и) многообразие V имеет полиномиальный рост.

2. Критерий конечности кодлины многообразий супералгебр, то есть многообразий ¿¡^-градуированных ассоциативных алгебр:

Пусть V - многообразие ассоциативных ¿¡^-градуированных алгебр над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) многообразие V имеет конечную кодлину; и) многообразие V имеет полиномиальный рост.

3. Критерий конечности кодлины многообразий алгебр Ли:

Пусть V - многообразие алгебр Ли над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквиваленты:

I) существует натуральное число 5 > 2, такое что Ьт2 <£. V С А^А;

II) кодлина многообразия V конечна.

Все три результата формулируются в виде теорем: первый результат - в виде теоремы 3.1 в главе 3, второй результат - в виде теоремы 4.1 в главе 4, третий результат - в виде теоремы 5.1 в главе 5.

Результаты диссертации изложены в 5 статьях [50], [46], [49], [74] и [48], а также опубликованы в тезисах 6 конференций [45], [48], [50], [73], [74], [85].

Результаты диссертации докладывались на рабочих научно-исследовательских семинарах кафедры х\лгебро-геометрических вычислений Ульяновского государственного университета, в Ульяновском педагогическом университете, на ежегодных научно-практических конференциях студентов и аспирантов Ульяновского государственного университета.

Теперь перейдем в более подробному изложению содержания диссертации по Главам.

Первая глава "'Предварительные сведения"' носит вводный характер и состоит из трех пунктов.

В пункте "Определения и обозначения'1 напоминаются основные определения и обозначения. Здесь же вводятся соглашения о некоторых обозначениях и приводятся примеры многообразий ассоциативных алгебр, ассоциативных алгебр с инволюцией, ¿^-градуированных ассоциативных алгебр или супералгебр и многообразий алгебр Ли. большинство из которых понадобится при дальнейшем изложении.

Во втором и третьем пунктах Главы 1 даются необходимые сведения из теории представления симметрической группы биекпий п-элементного множества и гипероктаэдральной группы Нп соответственно. Здесь же описывается строение полилинейных частей многообразий как модулей над соответствующими групповыми алгебрами.

В частности, в пункте 1.2 описано строение ¿"„-модуля Рп(У), где V - многообразие ассоциативных алгебр или многообразие алгебр Ли.

В пункте 1.3 описано строение Нп-модуля Р„(У, *), где V - многообразие ассоциативных алгебр с инволюцией *. В начале данного пункта мы даем определение гипероктаэдральной группы Нп, поскольку данная группа не так широко известна по сравнению с группой 5П, и показываем в общих чертах, как можно описать модуль Р„(У, *) в терминах модулей над групповыми алгебрами симметрических групп.

Глава 2 носит название "Критерий конечности ко длины многообразий ассоциативных алгебр"; она не содержит новых результатов. В начале данной главы приводятся результаты о многообразиях ассоциативных алгебр, связанные с ростом и кодлиной данных многообразий и приводится критерий конечности ко длины многообразий ассоциативных алгебр, сформулированный и доказанный А.Р. Кемером (теорема 5, [17]). Здесь мы приводим передоказательство этого результат с использованием другой техники, которая понадобится нам при доказательстве критериев конечности кодлины в других случаях. Сам критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр звучит следующим образом:

Теорема 2.1. Пусть V - многообразие ассоциативных алгебр над полем нулевой харатеристики. Тогда следующие условия эквивалентны: г) многообразие имеет, конечную ко длину: и) многообразие имеет полиномиальный рост.

Для доказательства критерия мы используем два многообразия ассоциативных алгебр, которые описаны в пункте 1.1, а именно, многообразие, порожденное бесконечномерной алгеброй Грассмана С, и многообразие, порожденное алгеброй иТъ верхнетреугольных матриц порядка 2.

Бесконечномерная алгебра Грассмана <9 над полем К порождается счетным множеством {е1,е2,.}, причем для порождающих выполнены соотношения = —е^ег- для всех г,

Алгебра ТЛ'ч верхнетреугольных матриц размера 2x2: имеет идеал тождеств гд.{Т-2) = Т([:Г1, #4]) (см. [24]).

Кодлины многообразий, порожденных данными алгебрами, являются почти конечными ([77], [24] и [79]). Отметим также, данные многообразия являются единственными многообразиями ассоциативных алгебр почти полиномиального роста ([24], [58], [17]). Таким образом, условие полиномиальности роста некоторого многообразия ассоциативных алгебр V эквивалентно отсутствию в данном многообразии бесконечномерной алгебры Грассмана С и алгебры 17Т2 верхнетреугольных матриц порядка 2.

Теорема 2.2. Пусть V - многообразие ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквивалентны: г) многообразие V имеет конечную ко длину;

И) многообразие V не содержит алгебр С и иТ-2.

Заметим также, что в приведенном доказательстве большую роль играет тождество специального вида:

Д гу»-*-1 = Е (1)

КМ где М.У - некоторые константы, коэффициенты -ц лежат К.

Третья глава посвящена изучению многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией. Центральным результатом данной главы является критерий конечности кодлины. сформулированный в следующем виде:

Теорема 3.1. Пусть V - многообразие ассоциативных алгебр с инволюцией над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквивалентны:

I) многообразие V имеет конечную ко длину;

И) многообразие V имеет полиномиальный рост.

В начале Главы 3, как и в предыдущей главе, мы сделали краткий обзор известных на сегодняшний день результатов о росте и кодлине многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией.

При доказательстве критерия используются два многообразия ассоциативных алгебр с инволюцией, которые были описаны в пункте 1.1. А именно:

1. Многообразие, порожденное четырехмерной алгеброй М с базисом {а, 6, с, с*}, таким что а* = а, Ъ* = 6, о? = а, Ь2 = Ь,ас = сЬ — с, с*а — Ьс* = с* и всеми остальными произведениями равными нулю (см. [78]). Идеал тождеств данного многообразия (согласно той же работе) равен Ы(М, *) = Т^г^). Переменные ¿1,22 являются кососиметрическими относительно действия инволюции, то есть ¿ = 1,2.

2. Многообразие, порожденное двумерной коммутативной алгеброй С2 = Р © Р с инволюцией (а, Ъ)* = (Ь. а) ( [61]).

Отметим, что кодлины данных многообразий не являются конечными ([60], [78]). Таким образом, верен также следующий критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией на "'языке носителей":

Теорема 3.2. Пусть V - многообразие ассоциативных алгебр с инволюцией над полем, нулевой характеристики. Тогда следующие у словил эквивалентны: г) многообразие V имеет конечную ко длину: и) многообразие V не содержит алгебр 6'-> и М.

Аналогично ассоциативному случаю, при доказательстве критерия конечности кодлины большую роль играет тождество вида згу-'-т = Е 7,гЛ«/-'-' (2)

КТ где Т, N - некоторые константы, коэффициенты 7i принадлежат К, переменная у - симметрическая, а переменная х может быть как симметрической так и кососимметрической относительно действия инволюции *. Данное тождество выполняется в многообразиях V ассоциативных алгебр с инволюцией, не содержащих алгебру М.

Вывод условия полиномиальности роста из условия конечности кодлины является несложным результатом, так как описанные выше многообразия являются единственными в своем классе многообразиями почти полиномиального роста [78].

Заметим, что Теорема 3.1 имеет такую же формулировку, как и Теорема 2.1. Это обусловлено связью между многообразиями просто ассоциативных алгебр и многообразиями ассоциативных алгебр с инволюцией. (см. работы [66], [54]). Многообразия ассоциативных алгебр с инволюцией являются частными примерами многообразий алгебр, сигнатура которых содержит помимо бинарной билинейной операции еще к унарных линейных операций, представляющих собой действия элементов конечной группы порядка к на относительно-свободной алгебре данного многообразия. О таких многообразия см. подробнее в работе Джамбруно А., Мищенко С. П. и Зайцева М.В. [63].

В данной работе мы затрагиваем лишь случай, когда группа состоит их двух элементов. Как показано в работе ([65]), такие алгебры тесно связаны с ^-градуированными алгебрами, которым посвящена четвертая глава.

В четвертой главе формулируется и доказывается критерий конечности кодлины многообразий ^-градуированных ассоциативных алгебр или супералгебр.

В начале данной главы мы поясняем понятия полилинейной части Р%Г(У) многообразия V супералгебр и кодлины. данные в пункте 1.1. В частности, модуль РЦГ{У) является ^„-модулем (его строение сходно со строением Я„-модуля Рп{У- *). см. пункт 1.3) и разлагается в прямую сумму неприводимых подмодулей, число которых определяет кодлину многообразия V. Как и в случае с инволюцией, изучение строения модуля РЦГ(У) сводится к изучению модулей симметрических групп.

Кроме того, в этой главе мы приводим краткое описание всех многообразий ^-градуированных ассоциативных алгебр почти полиномиального роста. В отличие от предыдущих случаев, в рассматриваемом классе существует пять многообразий почти полиномиального роста [65]:

• многообразия, порожденные бесконечномерной ^-градуированной алгеброй Грассмана С над полем К и ¿^-градуированной алгеброй иТч верхнетреугольных матриц размера 2x2 над полем К с тривиальным типом градуировки (<2 = (7® О, ?7Т2 = £/Т2©0).

Мы будем обозначать их зириаг (? и вируаг ПТ-2 соответственно;

• многообразия, порожденные алгебрами С и ¿772 с заданой на них стандартными градуировками <2 = (7о©Сп, 11Т2 = (А'ец+ЛГегг)© Кех2, где ^о - линейной пространство, порожденное мономами от ег- четной длины, а (?! - нечетной длины. Мы будем обозначать их соответственно вириаг и вириаг 11Т

• многообразие супералгебр, порожденное алгеброй Кф1К, £2 = 1.

Сам критерий конечности кодлины многообразий супералгебр формулируется в следующем виде:

Теорема 4.1. Пусть V - многообразие ассоциативных 2ч-градуиро-ванных алгебр над полем нулевой харатеристики. Тогда следующие условия эквивалентны: г) многообразие V имеет конечную ко длину ; и) многообразие V имеет полиномиальный рост.

Заметим, что кодлины перечисленных выше многообразий растут полиномиально ([17]. [79]. см. также [77], [24], [65], [84], [62]).

Таким образом, верен также следующий критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией на "языке носителей"':

Теорема 4.2. Пусть V - многообразие ассоциативных 2-1-градуиро-ванных алгебр над полем нулевой харатеристики. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) многообразие V имеет, конечную ко длину; п) многообразие V не содержит алгебр С, иТ->. СРГ. I Т|7 и К Ш / А' *2 = 1.

Идея доказательства Теоремы 4.1 аналогична идее доказательств теорем 3.1 и теорем 2.1. При доказательстве одной импликации мы находим тождество специального вида утху«-1-т = Е 7««/V-1-' (3)

КТ где Т, N - некоторые константы, коэффициенты 7г- лежат в К, переменная у - четная, а переменная х - произвольная.

Выполнение данного тождества следует из выполнения двух других аналогичных тождеств, только в первом тождестве переменная х -четная, что соответствует условию иТ% ^ V, а во втором тождестве переменная х - нечетная, что соответствует случаю ?7Т|Г 0 V.

Наконец, пятая глава посвящена многообразиям алгебр Ли. Мы считаем результат данной главы центральным результатом диссертационного исследования, поэтому в диссертации сделан более подробный обзор известных на сегодняшний день результатов по росту и ко длине многообразий алгебр Ли, и мы вынесли этот обзор в отдельные пункты (пункты 5.1 и 5.2 соответственно).

При доказательстве критерия использовались два многообразия алгебр Ли:

1. Многообразие Л .4 с нильпотентным коммутантом ступени нильпотентности не выше Оно определяется тождеством вила хЬГ2) . ■ • 1^25+2) = 0.

Рост данного многообразия экспоненциальный [40].

2. Многообразие 1~2 алгебр Ли. Данное многообразие определяется всеми тождествами вида = 0. где полином }\ соответствует разбиению А = (Ах.Аг) числа п. удовлетворяющему условию п--А) > 2. В пункте 5.2 данной диссертации мы показали строение полилинейной части данного многообразия, подсчитали его кодлину ¡пЦЬ) = п — 2. п > 3 и формулу п-й коразмерности с„(С72) = п - 1 + Ц + = п2 - 2гг.

Как несложно заметить, данное многообразие имеет полиномиальный рост коразмерностей, но при этом его кодлина также полиномиальна, в отличии от рассмотренных ранее случаев.

Сам критерий конечности кодлины многообразий алгебр Ли сформулирован в пункте 5.4 в следующем виде:

Теорема 5.1. Пусть V - многообразие алгебр Ли над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквиваленты:

I) кодлина многообразия V конечна, и) существует натуральное число з > 3, такое что и? У С

Данная теорема является самостоятельным результат'ом.

В случае алгебр Ли доказательство критерия оказывается более технически сложным, поэтому мы разбили его доказательство на доказательство необходимого и достаточного условия. Вкратце скажем, что идеи доказательств и в том и в другом случае состоят в нахождении тождеств специального вида, из которых следует, что либо многообразие V удовлетворяет первому условию Теоремы 5.1, либо оно имеет конечную ко длину.

Подчеркнем еще раз тот факт, что в отличие от случаев многообразий ассоциативных алгебр, рассмотренных в главах 2, 3. 4. для многообразий алгебр Ли полиномиальность роста является необходимым, но не достаточным условием конечности ко длины.

Отметим, в главе 5 получено полное описание многообразий алгебр Ли. ко длина которых равна 2. начиная со значения п = 4.

Предложение 5Л. Если при любом п > 4 для многообразия, V алгебр Ли выполняется 1п(У) = 2. тогда имеет место одно из следующих равенств:

1. V = 1~2 П (Л2)2

2. V = С~2 П иаг(з1-2).

Здесь многообразие (Л2)2 есть многообразие 2-метабелевых алгебр Ли (подробности см. в работах [26], [83]). многообразие тг^) - многообразие алгебр Ли, порожденное алгеброй матриц размера 2 х 2 со следом 0 (см. работы [10], [41]). В ходе доказательства получено описание полилинейных частей данных многообразий. Отметим, что описание многообразий с условием 1п{У) — 2 при п > 4 явилось первым результатом автора по тематике диссертации.

Отметим также, что из критерия конечности кодлины для многообразий алгебр Ли немедленно вытекает, что многообразие II2 и многообразия Уо, У2, Уз, У4 разрешимых алгебр, описанных в работе [31], имеют почти конечную ко длину.

Следствие 5.1. Многообразие 112 и многообразия Т^о, V*}, разрешимых алгебр почти полиномиального роста имеют почти конечную кодлину.

Полное описание многообразий алгебр Ли почти полиномиальной кодлины, является, вероятно, сложной задачей. Мы ограничимся только формулировкой гипотезы:

Гипотеза. Многообразия ЬЦ, ^о, и только они, имеют почти конечную кодлину.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Васильева, Ирина Романовна, 2000 год

1. Ананьин А.З., Кемер А.Р. Многообразия ассоциативных алгебр, решетки подмногообразий которых дистрибутивны// Сиб. ма-тем. журнал. 1976. Т. 17. N 4(98). С. 723-730.

2. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука. 1985.

3. Бенедиктович А.Н., Залесский А.Е. Т-идеалы свободных алгебр Ли с полиномиальным ростом последовательности коразмерностей// Весщ АН БССР. 1980. N 3. С. 5-10.

4. Васильева И.Р. Критерий конечности кодлины многообразия градуированных ассоциативных алгебр// В сб. "Ученые записки УлГУ. "Фундаментальные проблемы математики и механики." Часть 2/ Под ред. Е.В. Дулова. Выпуск 2(7). Ульяновск: УлГУ. 2000.

5. Вайс А. Я. О специальных многообразиях алгебр Ли// Алгебра и логика. 1989. Т.28. N 1. С. 29-40.

6. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.

7. Воличенко И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли. связанном со стандартными тождествами. I// Весщ АН БССР: Сер. ф1з,-матем. навук. 1980. N 1. С. 23-30. И. // Там же. N 2. С. 22-29.

8. Гришков А.И. О росте многообразий алгебр Ли// Математические заметки. 1988. Т. 44. N 1. С. 51-54.

9. Джеймс Г. Теория представления симметрических групп. М.: Наука. 1982.

10. Дренски B.C. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр// Матем. сб. 1981. Т. 115. N 1 (5). С. 98-115.И. Зайцев М.В. Многообразия аффинных алгебр Каца-Муди// Математические заметки. 1997. Т. 92. N 1. С. 92-105.

11. Зайцев М.В., Мищенко С.П. Асимптотика функций роста код-лины многообразий алгебр Ли// УМН. 1999. Т. 54. N 3. С. 161162.13