Моделирование динамики и исследование устойчивости вязкоупругого трубопровода и его элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Акимов, Михаил Юрьевич

• Акимов, Михаил Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Акимов, Михаил Юрьевич

ВВЕДЕНИЕ.~.

1. ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ.

1.1. Вывод уравнений движения идеальной жидкости .14,

1.2. Вывод уравнений продольно-изгибных плоских колебаний неоднородно стареющих вязкоупругих стержней и пластин.

2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ТРУБОПРОВОДА

2.1. Устойчивость трубопровода-из неоднородно стареющего материала.

2.2. Исследование динамической устойчивости и статической неустойчивости трубопровода с учетом нелинейной осевой упругой силы.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ВЯЗКОУПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ ТРУБОПРОВОДА.

3.1. Динамика вязкоупругого элемента стенки плоского канала

3.2. Исследование динамики вязкоупругой оболочки, являющейся частью трубопровода, на основе интегрального метода наименьших квадратов

3.3. Исследование динамики вязкоупругой оболочки -составной части осесимметричного канала, на основе метода Галеркина

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование динамики и исследование устойчивости вязкоупругого трубопровода и его элементов»

Диссертация посвящена разработке математических моделей и исследованию динамики и устойчивости вязкоупругого трубопровода и его вязкоупругих элементов.

При проектировании трубопроводов различного назначения и их элементов необходимо решить задачи, связанные с определением требуемых характеристик соответствующих устройств и надежностью их эксплуатации. Существенными факторами, влияющими на прочностные характеристики и динамику указанных конструкций, являются старение (вязкоупругость) материала и воздействие потока жидкости или газа.

Характерной особенностью большей части задач аэрогидроупругости является невозможность определения силового воздействия потока на обтекаемое деформируемое тело заранее, до решения задачи об определении деформации тела. Математически это выражается в том, что совместное движение деформируемого тела и жидкости (газа) описывается связанной системой интегро-дифференциапьных уравнений для функций, определяющих деформации тел и параметры течения жидкости.

При исследовании динамики конструкций существенное значение имеет учет вязкоупругих свойств материала (старения материала), что приводит к появлению в дифференциальных уравнениях движения тел дополнительных интегральных членов.

Указанные особенности увеличивают сложность решения задач о динамике вязкоупругих тел при аэрогидродинамическом воздействии и приводят к необходимости разработки методов исследования, отличающихся от методов расчета деформаций упругих элементов конструкций при заданных нагрузках.

За1 последние десятилетия проведено большое количество теоретических и экспериментальных исследований, посвященных теории вязкоупругости и устойчивости вязкоупругих тел, среди которых отметим работы Арутюняна H.X., Дроздова А.Д., Колмановского В. Б. [28-32] , Работнова Ю. Н. [106-1083.

Предметом большого количества исследований является также динамика упругих тел, взаимодействующих с потоком жидкости или газа. Исследования в- этом направлении изложены в работах Болотина

B. В. [35], Вольмира A.C. [66-69], Галиева Ш. У. [70-71], Горшкова

A. Г., Григолюка 3. Г., Кабанова В. В., Кузнецова В. И., Селезова И. Т., Тарлаковского Д. В. [73-80], Гузя А.Н., Кубенко В. Д., Бабаева А. 3. [82, 83], Девнина С. И. [84], Ильгамова М. А. [87-89], Илыошина A.A., Кийко И. А. [91], Мовчана A.A. [100], Новичкова 10. Н. [104] и других авторов. Среди зарубежных работ отметим монографии Бисплингхоффа P. J1., Зшли X., . Халфмана P. JI. [124] и Фына Я.Ц. [116]. Исследованию динамики трубопровода с протекающей в нем жидкостью посвящены работы Светлицкого В. А. [111], Челомея

C.B. [117,118], Феодосьева В.И. [112] и других.

Некоторые результаты по исследованию устойчивости деформируемых тел с учетом как старения (вязкоупругости) материала, так и с учетом взаимодействия с жидкостью (газом) изложены в работах [36-64].

В основу предлагаемых в диссертации исследований положена модель стареющего (вязкоупругого) тела, которая основана на фундаментальных концепциях Больцмана и Вольтерра и теории реологических моделей, восходящих к Дж. Максвеллу [129,130],

B.Фойхту [138,139] и Дж. Томпсону [133]. Согласно этой модели напряжение в любой точке тела зависит от предыстории деформирования материала в данной точке. Связь между напряжением и деформацией подчиняется уравнению Вольтерра-Фойхта. Под старением материала понимается изменение его физико-механических свойств с течением времени. Аэрогидродинамическая нагрузка определяется из асимптотических уравнений аэрогидромеханики для идеального газа (жидкости) в модели несжимаемой среды.

При исследовании колебаний деформируемых тел, взаимодействующих с потоком жидкости или газа, одним из важнейших является вопрос об устойчивости этих колебаний. Поток, воздействия на тело, может не только возбуждать колебания/ но и приводить к увеличению с течением времени . амплитуды или (и) скорости колебаний, что в свою очередь приводит к разрушению конструкции или ее элементов. В то же время, для функционирования некоторых технических устройств это явление (возбуждение колебаний), указанное выше в качестве негативного, является обязательным.

Принятые в работе определения устойчивости вязкоупругого тела соответствуют концепции устойчивости динамических систем по Ляпунову.

Задача об исследовании динамической устойчивости (иначе ~ устойчивости по начальным данным, или устойчивости.по Ляпунову) может быть сформулирована так: при каких значениях параметров, характеризующих систему "жидкость-тело" (основными параметрами являются скорость потока, прочностные и инерционные характеристики тела, сжимающие усилия, силы трения), малым отклонениям прогибов (деформаций) тел от положения равновесия в начальный момент времени t=0 будут соответствовать малые прогибы и в любой момент времени Ь>0. В более общем случае начальные возмущения могут быть и не малыми. В этом случае также возникает вопрос: будут ли колебания затухающими с течением времени, или же амплитуда колебаний будет возрастать. Такая постановка вопроса является актуальной для многих задач механики и техники, описываемых дифференциальными уравнениями, В которых важно знать не только (а иногда не столько) значения решения этих уравнений при данном конкретном значении аргумента, но в первую очередь характер поведения при изменении аргумента, в частности, при его неограниченном возрастании.

В некоторых случаях удается разделить решение задачи определения силового воздействия потока на деформируемое тело и задачи исследования деформаций тела. Это можно осуществить, либо используя основные законы теоретической механики и оценивая воздействие газа(жидкости) на тело интегрально (без детального исследования аэрогидродинамического течения), либо с помощью исключения аэрогидродинамических функций на основе решения начально-краевых задач для них в областях с неизвестными границами, уравнения которых выражаются через неизвестные функции прогибов. В диссертации рассмотрены оба подхода для исследования устойчивости деформируемых тел при аэрогидродинамическом воздействии. Используется также и третий подход, при реализации которого аэрогидродинамическая нагрузка и деформации тела определяются одновременно, в процессе решения связанной задачи аэрогидроупругости.

В известных работах исследование динамики и устойчивости вязкоупругих трубопроводов и их элементов при аэрогидродинамическом воздействии на основе моделей, разработанных в диссертации, не проводилось.

Отмеченное выше подтверждает актуальность проведенных в диссертации исследований динамики и устойчивости колебаний вязкоупругих конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости или газа.

Целью диссертационной работы является разработка математических моделей и исследование динамики и устойчивости трубопровода и его элементов с одновременным учетом вязкоупругих свойств материала исследуемых объектов и взаимодействия с потоком протекающей в трубопроводе жидкости (газа).

Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

1. Построение математических'моделей в задачах о динамике и устойчивости трубопровода и его элементов, адекватно отражающих расширенный спектр механических свойств исследуемых физических объектов и внешних воздействий, таких как старение материала, воздействие потока жидкости (газа), вязкоупругого основания и сжимающего (растягивающего) продольного усилия.

2. Разработка аналитических и численных методов, алгоритмов и соответствующих компьютерных программ исследования динамики и устойчивости вязкоупругого трубопровода и его элементов.

3. Проведение аналитических исследований и вычислительных экспериментов на ЭВМ в задачах устойчивости движения вязкоупругого трубопровода или его элементов на основе созданных математических моделей, методов, алгоритмов и программного обеспечения.

Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что:

-построены математические модели в задачах о динамике трубопровода и его элементов, адекватно отражающие расширенный спектр механических свойств исследуемых физических объектов и характер их взаимодействия. В построенных моделях одновременно учитывается старение материала, взаимодействие деформируемого трубопровода или его элемента с потоком жидкости (газа) и вязкоупругим основанием, влияние сжимающих (растягивающих) I

I продольных усилий;

-разработаны численные модели, алгоритмы и соответствующие | компьютерные программы, которые позволяют проводить исследования ! динамики и устойчивости вязкоупругого трубопровода или его вязкоупругого элемента. Достоинством разработанных численных моделей является то, что они позволяют определять значения параметров, соответствующих как устойчивости, так • и 1 неустойчивости колебаний трубопровода или его элемента, а I

I • заданное продольное усилие может изменяться с течением времени по ! произвольному закону;

-разработана методика (основанная на построении функционала) аналитического исследования динамической устойчивости трубопровода с учетом вязкоупругости и неоднородности материалов | трубопровода и основания (в общем случае с нелинейными реакцией и ! демпфированием основания или другим нелинейным внешним воздействием).

-разработана методика аналитического решения задачи о статической неустойчивости (бифуркации) трубопровода в нелинейной модели.

Практическая ценность работы состоит в том, что разработанные математические модели и программное обеспечение позволяют реализовать современный подход при проектировании трубопроводов, их элементов и соответствующих технических устройств, сократить время, затрачиваемое на натурные эксперименты, а в некоторых случаях заменить их аналитическими оценками или проведением компьютерных исследований.

Достоверность результатов, полученных в диссертации, подтверждается строгостью математической постановки задач и аналитических выкладок, оценкой погрешностей численного моделирования и сравнением с известными ранее исследованиями.

Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе дается вывод асимптотических уравнений движения жидкости (газа). Представлен вывод интегро-дифференциальных уравнений, описывающих продольноI изгибные колебания вязкоупругого неоднородного стержня (пластины-полосы), упруго связанного с вязкоупругим основанием, и приведено уравнение колебаний осесимметричной оболочки из. неоднородного вязкоупругого материала.

Во второй главе на примерах задач о динамике трубопровода, представляющего собой полый стержень с протекающей в нем I

I жидкостью, показаны два подхода к исследованию устойчивости тонкостенных конструкций из стареющего материала с учетом взаимодействия с потоком жидкости. Первый подход (аналитический) основан на конструировании функционалов типа Ляпунова. В рамках теории получены достаточные условия устойчивости для различных I типов закреплений. Приведен ряд ограничений на основные параметры 1 системы, позволяющих обеспечить устойчивость движения. Второй I подход (численный) основан на построении решениях интегро-дифференциального уравнения, описывающего колебания трубопровода, в виде разложений по некоторым полным системам базисных функций, вид которых зависит от граничных условий, и последующем применении метода Галеркина. Численная реализация (в отличие от метода исследования устойчивости на основе функционалов) позволяет: учитывать зависимость от времени продольного усилия, которое может изменятся по произвольному закону; исследовать как устойчивость, так и неустойчивость колебаний; строить закон изменения деформации трубопровода с течением времени, а также дает возможность исследовать устойчивость для тех видов закреплений, для которых не удается вывести эти условия при использовании аналитических методов.

1 Приведены примеры расчетов для конкретных значений параметров, характеризующих свойства материала трубопровода и протекающей в нем жидкости. Построены графики прогибов трубопровода,

I соответствующие случаям динамической устойчивости и неустойчивости. Построена область устойчивости на плоскости двух. параметров (скорость потока - сжимающее усилие), при фиксированных значениях остальных параметров. Оба подхода исследования устойчивости реализованы для нелинейных моделей.

Все возможности численных исследований, отмеченные выше, реализованы и для задач, рассматриваемых в Следующей главе диссертации.

В третьей главе исследуется динамическая устойчивость пластины и оболочки, являющихся элементами стенок канала, на основе созданных численных моделей и алгоритмов. Исследования проводятся для задач, описывающих движение жидкости или газа в

I • • плоском или осесимметричном канале бесконечной длины, часть

I стенки которого представляет собой вязкоупругую пластину или оболочку с шарнирно закрепленными концами. Разработанные модели и алгоритмы можно использовать и для других типов закреплений. I

Представленные в этой главе задачи основаны на линейных моделях, которые приводят к исследованию связанных систем интегро-дифференциальных уравнений, описывающих движение жидкости и колебания пластины или оболочки. Решение задач ищется в виде разложений по полным системам базисных функций, вид которых зависит от граничных условий. Созданное программное обеспечение позволяет моделировать на компьютере динамическое поведение вязкоупругого элемента (пластины или оболочки). Тем -самым представляется возможность без реальных физических экспериментов определять допустимые значения параметров системы с точки зрения устойчивости ее движения. В частности, приведены примеры подобных исследований (в смысле нахождения допустимого диапазона) для двух наиболее важных параметров - скорости протекающей в трубопроводе жидкости (или газа) и величины сжимающей (или растягивающей) осевой упругой силы. Показано, как влияет на динамику вязкоупругого элемента увеличение или уменьшение значений указанных двух параметров системы. Рассмотрены случаи динамической устойчивости и неустойчивости. Под неустойчивостью в физической интерпретации понимается неограниченное увеличение амплитуды колебаний вязкоупругого элемента (и как следствие его разрушение) при превышении критических значений параметров.

Рассмотрено численное исследование сходимости введенных в математической модели разложений, а также показан пример метода оценки погрешности вычислений.

В приложении приведен исходный текст на языке высокого уровня Си двух компьютерных программ, позволяющих моделировать динамику и исследовать динамическую устойчивость вязкоупругого элемента, который представляет собой пластинку или осесимметричную оболочку. . Тексты программ для других задач, решаемых с помощью численных методов, не приведены в силу их схожести по большей части с текстом программы моделирования осесимметричной оболочки. Изменения касаются только вида функций математической части программного обеспечения и не вносят отличий в основную конструкцию компьютерной программы. Возможности исследований, предоставляемые программным обеспечением, для всех численно решаемых задач одинаковы.

Основные результаты работы докладывались на Международных, республиканских и межвузовских конференциях, коллоквиумах, школах и семинарах: VII Саратовская школа "Теория функций и приближений" (Саратов, 1994); Украинская конференция "Моделирование . и исследование устойчивости систем" (Киев,1995, 1996); Международная конференция "Математические методы в химии и химической технологии" (Тверь, 1995); Воронежская математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики" (Воронеж, 1995); Международный семинар "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, 1996); шестая межвузовская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1996); Воронежская математическая школа "Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения VII." (Воронеж, 1996);. II международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 1996); XXII Summer School "Application of Mathematics in Engineering" (Bulgaria, Sozopol.,1996); научно-практическая конференция с международным участием "Новые методы, средства и технологии в науке, промышленности и экономике" (Ульяновск,1997); четвертый Международный совещание-семинар "Использование новых информационных технологий в учебном процессе кафедр физики и математики" (Ульяновск,!997); International Conference "Modelling and investigation cf systems stabil ity" (Kl.evv 1997); Eighth International Colloquium on Differential Equations (Buigaria, Plovdiv,1997); Международная научно-техническая конференция "Нейронные, реляторные и непрерывные сети и ' модели" (Ульяновск, 1998); ежегодные конференции профессорско-преподавательского состава Ульяновского государственного технического университета (1994-1999).

Результаты диссертации получены в рамках межвузовской научно-технической программы "'Сохранение научных школ", подпрограммы "Динамика" (проект "Разработка. моделей деформирования и методов расчета тонкостенных конструкций с учетом старения, аэрогидродинамического и теплового воздействия") и госбюджетной НИР "Исследования по дифференциальным уравнениям и механике сплошных сред" в Ульяновском государственном техническом университенте.

По теме диссертации опубликовано 26 печатных работ, из них 4 статьи и 22 тезисов докладов.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 140 наименований и 2 приложений, содержит 151 страницу машинописного текста (без учета приложений), 75 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Акимов, Михаил Юрьевич

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом:

1. Построены математические модели вязкоунругого трубопровода и его вязкоупругих элементов, учитывающие расширенный спектр механических свойств физических объектов и внешних воздействий. В разработанных моделях производится одновременный учет старения материала деформируемых тел (вязкоупругости), взаимодействия тел с потоком жидкости или газа и вязкоупругим основанием, а также влияния сжимающих (растягивающих) продольных усилий.

2. Разработаны численные модели, алгоритмы, соответствующие компьютерные программы и проведено численное моделирование на ЭВМ динамики вязкоупругих плоского и осесимметричного шарнирно закрепленных элементов трубопровода с учетом взаимодействия с потоком жидкости (газа), вязкоупругим основанием и влияния продольного сжимающего (растягивающего) усилия. На плоскости (М,V) построены области устойчивости и неустойчивости колебаний. Проведен расчет колебаний оболочки при воздействии продольного усилия, изменяющегося по периодическому закону.

3. Построен функционал и на его основе проведено аналитическое исследование динамической устойчивости трубопровода с учетом вязкоупругих свойств неоднородных материалов трубопровода и основания и влияния продольного усилия. Получены достаточные условия устойчивости, налагающие ограничения на значение сжимающего усилия Р0, скорость потока и, меры релаксации материала трубопровода и основания, коэффициенты жесткости основания, внешнего и внутреннего демпфирования и другие параметры (прочностные, геометрические, инерционные). На плоскости (Р0,Ш построена область устойчивости. Определены также типы допустимых закреплений трубопровода и ограничения на внешние нелинейные воздействия, необходимые для обеспечения устойчивости.

4. Получено аналитическое решение нелинейной задачи о статической неустойчивости (бифуркации) упругого трубопровода в случае шарнирного закрепления с учетом нелинейного продольного усилия, определены криволинейные формы равновесия трубопровода и соответствующие им ограничения на параметры.

5. В нелинейной задаче о динамической устойчивости вязкоуп-ругого трубопровода, связанного со стареющим основанием, разработан численный алгоритм и проведены исследования на ЭВМ для двух типов закреплений, не допускающих аналитического исследования.

6. Проведено численное исследование сходимости введенных разложений в задачах о динамической устойчивости вязкоупругих элементов трубопровода, взаимодействующих с потоком жидкости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ